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18.11 抛物线应用

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E ．设线段 AB 的中点为 P ，线段 DE 的中点为 Q ，记线段 PQ 的中点为 N ．问是否存在一条直线和一
个定点，使得点 N 到它们的距离相等？若存在，求出这条直线和这个定点；若不存在，请说明理由．
章末归纳总结
1 1．已知双曲线 9y2－m2x2＝1（m>0）的一个顶点到它的一条渐近线的距离为 ，则 m＝ 5 A． 1 B．2 C．3 D． 4 （ ）
2．已知点 P 是抛物线 y2＝2x 上的一个动点，则点 P 到点（0,2）的距离与 P 到该抛物线准线的距离之和的 最小值为 A． 17 2 B．3 C． 5 D． 9 2 （ ）
3．已知抛物线 y2＝2px（p>0） ，过焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A、B 两点，若线段 AB 的中点的纵 坐标为 2，则该抛物线的准线方程为 A． x ＝ 1 B．x＝－1 C．x＝2 D．x＝－2 （ ） x2 y2 4．过原点的直线 l 与双曲线 － ＝－1 交于两点，则直线 l 的斜率的取值范围是 4 3 A． C． － － 3 3 ， 2 2 3 3 ， 2 2 B． D． －∞，－ －∞，－ 3 3 ，＋∞焦点，A 是抛物线上的一点，FA与 x 轴正向的夹角 （ C． 13 p 6 D． 13 p 36 ） ）
3．抛物线 y2＝2px 与直线 ax＋y－4＝0 的一个交点是（1,2） ，则抛物线的焦点到该直线的距离为（ A． 3 3 2 2 B． 5 5 7 5 C． 10 D． 17 2
1．直线 y＝x－3 与抛物线 y ＝4x 交于 A、B 两点，过两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为 P、Q，则
2
8.11 抛物线应用
梯形 APQB 的面积为 A．48 B．56 C．64 D．72
（
）
2．设 O 是坐标原点，F 是抛物线 y2＝2px → 为 60°，则|OA|为 A． 21p 4 B． 21p 2
→ → → → → → 4．设 F 为抛物线 y2＝4x 的焦点，A，B，C 为该抛物线上三点，若FA＋FB＋FC＝0，则|FA|＋|FB|＋|FC|等 于 A． 9 B．6 C．4 D． 3 ） （ ）
→ → 5． 设 O 为坐标原点， F 为抛物线 y2＝4x 的焦点， A 为抛物线上一点， 若OA·AF＝－4， 则点 A 的坐标为 （ A． （2，±2 2） B． （1，±2） C． （1,2） D． （2,2 2）
π π 8．过抛物线 y2＝2px（p>0）的焦点 F 作两弦 AB 和 CD，其所在直线的倾斜角分别为 与 ，则|AB|与|CD| 6 3 的大小关系是 A．|AB|>|CD| B．|AB|＝|CD| C．|AB|<|CD| D．|AB|≠|CD| （ ）
x2 y2 9．设双曲线 2－ 2＝1（a>0，b>0）的渐近线与抛物线 y＝x2＋1 相切，则该双曲线的离心率等于________． a b 10．已知直线 l1：4x－3y＋6＝0 和直线 l2：x＝－1，抛物线 y2＝4x 上一动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之 和的最小值是________． 11．已知当抛物线型拱桥的顶点距水面 2 米时，量得水面宽 8 米，当水面升高 1 米后，水面宽度是____米． 12．已知抛物线 y2＝4x 的一条过焦点的弦 AB，A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，AB 所在直线与 y 轴交点坐标（0,2） ， 1 1 则 ＋ ＝________． y1 y2 9 13．在已知抛物线 y＝x2 上存在两个不同的点 M、N 关于直线 y＝kx＋ 对称，则 k 的取值范围为________． 2 → → 14． 已知以 F 为焦点的抛物线 y2＝4x 上的两点 A、 B 满足AF＝3FB， 则弦 AB 的中点到准线的距离为________．
y2 5．设 P 是双曲线 x2－ ＝1 的右支上的动点，F 为双曲线的右焦点，已知 A（3,1） ，则|PA|＋|PF|的最小值 3 为________． 6．如图，抛物线顶点在原点，圆 x2＋y2－4x＝0 的圆心恰是抛物线的焦点． （1）抛物线的方程为________； （2）一直线的斜率等于 2，且过抛物线焦点，它依次截抛物线和圆于 A、B、 C、D 四点，则|AB|＋|CD|＝________．
解答题 7．在 Rt△ABC 中，AB＝AC＝1．如果一个椭圆通过 A，B 两点，它的一个焦点为点 C，另一个焦点在边 AB 上，求这个椭圆的焦距．
8．如图所示，有一张长为 8，宽为 4 的矩形纸片 ABCD，按图示的方法进 行折叠，使每次折叠后 B 都落在 AD 边上，此时将 B 记为 B′（图中 EF 为 折痕，点 F 也可落在边 CD 上， ）过 B′作 B′T∥CD 交 EF 于点 T，求点 T 的轨迹方程．
2
y1 ) 、 B ( x 2 ,
y2 ) ．
0) 时，证明 y1 y 2 为定值；
（2）当 y1 y 2 p 时，直线 l 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由； （3）如果直线 l 过点 M ( p,
0) ，过点 M 再作一条与直线 l 垂直的直线 l 交抛物线 C 于两个不同点 D 、
6．已知点 P 在抛物线 y2＝4x 上，那么点 P 到点 Q（2，－1）的距离与点 P 到抛物线焦点距离之和取得最 小值时，点 P 的坐标为 1 ，－1 A． 4 1 ，1 B． 4 C． （1,2） D． （1，－2） （ ）
7．已知直线 y＝k（x＋2） （k>0）与抛物线 C：y2＝8x 相交于 A、B 两点，F 为 C 的焦点．若|FA|＝2|FB|， 则 k＝ A． 1 3 B． 2 3 2 C． 3 D． 2 2 3 （ ）
解答题 15．设抛物线 y2＝8x 的焦点是 F，有倾角为 45°的弦 AB，|AB|＝8 5，求△FAB 的面积．
16．已知抛物线 y＝－x2＋3 上存在关于直线 x＋y＝0 对称的相异两点 A、B，求 A、B 两点间的距离．
17．已知抛物线 C ： y 2 px ( p 0) ，直线 l 交此抛物线于不同的两个点 A( x1 , （1）当直线 l 过点 M ( p,

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抛物线的使用方法及应用

抛物线的使用方法及应用

抛物线的使用方法及应用抛物线，又称二次曲线，是解析几何中的重要概念之一。

它的方程一般可以表示为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数。

抛物线具有许多重要的性质和应用，下面我将详细介绍抛物线的使用方法及应用。

一、抛物线的基本性质：1. 对称性：抛物线关于y轴对称，即（-x,y）和（x,y）在抛物线上；2. 角度性质：抛物线的切线与x轴的夹角等于斜率的倒数，即tanθ=-1/a；3. 零点性质：如果抛物线与x轴有交点，则该点的x坐标满足方程ax^2+bx+c=0，即求根公式x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)；4. 顶点性质：抛物线的顶点坐标为（-b/2a,f(-b/2a)），其中f(x)为抛物线的函数；5. 函数性质：抛物线的函数在顶点处取得极值（最大值或最小值）。

二、抛物线的应用：1. 物理学中的抛物线：抛体最常见的运动轨迹就是抛物线。

例如，一个斜向上抛的物体在空中会呈现出一个抛物线轨迹，这就是自由落体运动和水平运动的合成结果。

抛物线的性质可以帮助我们分析自由落体运动的轨迹、时间、速度等。

2. 建筑设计中的抛物线：抛物线具有均匀分散、受力均匀、力传递稳定等特点，因此被广泛应用于拱桥、拱门、穹顶等建筑结构的设计中。

由于抛物线的力学性质良好，所以能够保证结构的稳定性和坚固性。

3. 抛物线的光学应用：在光学中，抛物面镜和抛物线透镜是重要的光学元件。

抛物面镜通过反射实现了成像，可以应用于望远镜、太阳能反射器等领域。

而抛物线透镜则通过折射实现成像，广泛应用于摄影、望远镜、显微镜等光学仪器中。

4. 导弹轨迹的设计：导弹的弹道通常会选择抛物线轨迹，这样可以使导弹的飞行距离最远，并且能够最大程度地减小外界干扰。

利用抛物线的性质，可以计算导弹的飞行时间、最大射程等重要参数。

5. 星球引力的研究：根据牛顿定律，天体在引力作用下的运动轨迹是抛物线。

通过研究抛物线轨迹，我们可以推断出星球的质量、轨道周期等重要物理量，揭示宇宙中行星和卫星的运动规律。

抛物线的应用于实际问题

抛物线的应用于实际问题

抛物线的应用于实际问题抛物线是一种经典的曲线，其在数学和物理领域有广泛的应用。

在实际问题中，抛物线的应用涉及到许多不同的领域，包括物理学、工程学、建筑学等。

以下将介绍一些抛物线在实际问题中的应用。

物理学在物理学中，抛物线经常用于描述物体在自由落体运动或抛体运动中的轨迹。

抛物线的特点使得它成为描述这些运动的理想模型。

例如，当一个物体从一定高度以一定的速度水平抛出时，其运动轨迹会形成一个抛物线。

这种模型可以帮助我们计算物体的飞行距离、落地点等重要信息。

工程学在工程学中，抛物线的应用也非常广泛。

例如，在建筑设计中，抛物线的形状经常用于设计门廊、拱桥等具有美观和稳定性要求的结构。

抛物线的特点使得其能够有效分散荷载并提供均匀的支撑力。

此外，数学上的抛物线方程也可以在工程设计中用于优化管道、路面等结构的设计。

建筑学在建筑学中，抛物线的应用同样十分重要。

抛物线的形状可以用于设计屋顶、拱门等建筑元素。

抛物线的特点使得其能够分散荷载并提供良好的结构稳定性。

此外，抛物线还被广泛应用于建筑中的照明设计。

利用抛物面反射的特性，可以将光线集中到一个焦点上，提高照明效果。

数学教育抛物线作为一个经典的数学曲线，也在数学教育中扮演重要的角色。

通过教学抛物线的基本概念和性质，可以培养学生的几何直观和空间想象能力。

此外，数学教育中的抛物线应用也包括了一些有趣的问题，如求解一个物体在一堵抛物线墙上的反射角度等。

抛物线作为一种具有特殊性质的曲线，其在实际问题中有着广泛的应用。

从物理学的运动轨迹到工程设计的结构稳定性，从建筑元素的美观性到教育教学的重要性，抛物线在多个领域中发挥着重要作用。

进一步研究抛物线的应用，有助于我们更好地理解和运用这一曲线的特性。

抛物线方程及性质的应用

抛物线方程及性质的应用

抛物线方程及性质的应用抛物线是一种常见的二次函数，其方程可以写为y=ax²+bx+c，其中a、b、c是常量，a≠0。

抛物线在数学和物理中有着广泛的应用，如描述抛体的运动轨迹、优化问题等。

本文将介绍抛物线方程及其性质在不同领域的具体应用。

一、物理学中的应用1. 抛体的运动轨迹：当抛体在空中自由运动时，其运动轨迹为抛物线。

假设抛体的初速度为v₀，抛射角为θ，则抛物线方程为y=tanθx-(g/(2v₀²cos²θ))x²，其中g为重力加速度。

通过分析抛物线方程可以得知抛体的最高点、最远点、落地点等参数，为物理教学和研究提供了重要基础。

2.反射定律：光在经过抛物面反射时，其入射角和反射角满足辐射射线与法线的关系。

因此，抛物面可以用于设计反射镜、汽车头灯等光学设备。

3.合适地点选择：在物理学中，通过研究抛物线的性质，可以确定抛体的最佳发射角度和合适的发射高度。

这对于设计射击、发射导弹等有很大的实际意义。

二、工程学中的应用1.建筑设计：在建筑设计中，根据抛物线的美学特点，可以将抛物线运用到建筑物的拱门、墙面等设计中。

抛物线结构能够提供良好的支撑和力学性能，使建筑物更加稳固。

2.桥梁设计：抛物线的形状使得其在承载重量时能够均匀分布荷载，提供了较好的力学性能。

因此，桥梁设计中常常采用抛物线形状，以确保桥梁的稳定性和安全性。

3.弹道学：在弹道学中，抛物线方程被用来描述导弹、火箭等飞行器的飞行轨迹。

通过分析抛物线的性质，可以优化飞行轨迹，提高飞行器的准确性和效率。

三、数学学科中的应用1.数学建模：抛物线方程是数学建模中经常使用的工具。

通过建立抛物线方程，可以模拟并研究各种现实问题，如炮弹轨迹、天体运动等。

2.几何学：抛物线是几何学中常见的曲线，研究抛物线的性质可以拓展几何学知识。

例如，抛物线的对称性、焦点与直角、切线方程等都是几何学中的重要概念。

3.最优化问题：在最优化问题中，通过分析抛物线的性质，可以确定函数的极值点。

抛物线在实际生活中应用ppt课件

抛物线在实际生活中应用ppt课件


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解生活中的抛物线问题的一般步骤：
• 若无坐标系，则应先建立适当的坐标 系；
• 根据题意得出关键点的坐标； • 求出抛物线解析式； • 根据实际问题，用数学方法解答。
经 营 者 提 供 商品或 者服务 有欺诈 行为的 ，应当 按照消 费者的 要求增 加赔偿 其受到 的损失 ，增加 赔偿的 金额为 消费者 购买商 品的价 款或接 受服务 的费用
经 营 者 提 供 商品或 者服务 有欺诈 行为的 ，应当 按照消 费者的 要求增 加赔偿 其受到 的损失 ，增加 赔偿的 金额为 消费者 购买商 品的价 款或接 受服务 的费用
•如图，某公司的大门呈抛物线型，大门地面宽AB 为4m，顶部C距地面的高度为4.4m。
•（1）试建立适当的直角坐标系，求抛物线对应
他因素，那么水池的半径至少是多 少米时，才能使喷出的水流不致落 到池外？
x O1 C
练一练：1.如图，一条隧道的截面由一段抛物线和一个 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 矩形的三条边围成。矩形的长为8m，宽是2m，隧道距 地面的最高高度为6m （1）一辆货运卡车高4m,宽2m，它能通过该隧道吗？ （2）如果该隧道内的路面为双车道，那么这辆货运卡 车是否可以通过？
如图，公园要见到一个圆形喷水池，
在水池中央O点处安装一根垂直于
水面的柱子OA,OA=1.25m,水流由
柱子顶端A处的喷头向外喷出，从
各个方向呈完全相同的抛物线形状 落下。为使水流形状看起来比较美 观，设计要求水流在与柱子OA的距
y
2.25
离为1m处达到最高点，这时距水面 的最大高度为2.25m。如果不计其 (0，1.25A）