人教版九年级数学上册 圆 几何综合单元练习(Word版 含答案)
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人教版九年级数学上册
圆
几何综合单元练习（Word版 含答案）
一、初三数学 圆易错题压轴题（难）
1．如图，在直角体系中,直线AB交x轴于点A(5,0),交y轴于点B,AO是⊙M的直径,其半圆交AB于点C,且AC=3.取BO的中点D,连接CD、MD和OC．
（1）求证：CD是⊙M的切线；
（2）二次函数的图象经过点D、M、A,其对称轴上有一动点P,连接PD、PM,求△PDM的周长最小时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下,当△PDM的周长最小时,抛物线上是否存在点Q，使S△PDM=6S△QAM？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】解：（1）证明：连接CM，
∵OA 为⊙M直径，∴∠OCA=90°．∴∠OCB=90°．
∵D为OB中点，∴DC=DO．∴∠DCO=∠DOC．
∵MO=MC，∴∠MCO=∠MOC．
∴．
又∵点C在⊙M上，∴DC是⊙M的切线．
（2）∵A点坐标（5，0），AC=3
∴在Rt△ACO中，．
∴545(x)x5)12152（，∴，解得10OD3．
又∵D为OB中点，∴15524．∴D点坐标为（0，154)．
连接AD，设直线AD的解析式为y=kx+b，则有
解得．
∴直线AD为．
∵二次函数的图象过M（56，0)、A(5，0)，
∴抛物线对称轴x=154．
∵点M、A关于直线x=154对称，设直线AD与直线x=154交于点P，
∴PD+PM为最小．
又∵DM为定长，∴满足条件的点P为直线AD与直线x=154的交点．
当x=154时，45y(x)x5)152（．
∴P点的坐标为（154，56）．
（3）存在．
∵，5ya(x)x5)2（
又由（2）知D（0，154)，P（154，56），
∴由，得，解得yQ=±103．
∵二次函数的图像过M(0，56)、A(5，0），
∴设二次函数解析式为，
又∵该图象过点D（0，154)，∴，解得a=512．
∴二次函数解析式为．
又∵Q点在抛物线上，且yQ=±103．
∴当yQ=103时，，解得x=15524或x=15524；
当yQ=512时，，解得x=154．
∴点Q的坐标为（15524，103)，或（15524，103)，或（154，512）．
【解析】
试题分析：（1）连接CM，可以得出CM=OM，就有∠MOC=∠MCO，由OA为直径，就有∠ACO=90°，D为OB的中点，就有CD=OD，∠DOC=∠DCO，由∠DOC+∠MOC=90°就可以得出∠DCO+∠MCO=90°而得出结论．
（2）根据条件可以得出2222OCOAAC534和OCOBtanOACACOA，从而求出OB的值，根据D是OB的中点就可以求出D的坐标，由待定系数法就可以求出抛物线的解析式，求出对称轴，根据轴对称的性质连接AD交对称轴于P，先求出AD的解析式就可以求出P的坐标．
（3）根据PDMDAMPAMSSS，求出Q的纵坐标，求出二次函数解析式即可求得横坐标．
2．在直角坐标系中，A（0，4），B（4，0）．点C从点B出发沿BA方向以每秒2个单位的速度向点A匀速运动，同时点D从点A出发沿AO方向以每秒1个单位的速度向点O匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点C、D运动的时间是t秒(t>0)．过点C作CE⊥BO于点E，连结CD、DE．
⑴ 当t为何值时，线段CD的长为4；
⑵ 当线段DE与以点O为圆心，半径为的⊙O有两个公共交点时，求t的取值范围；
⑶ 当t为何值时，以C为圆心、CB为半径的⊙C与⑵中的⊙O相切？
【答案】(1); (2) 4-＜t≤; (3)或．
【解析】
试题分析：（1）过点C作CF⊥AD于点F，则CF，DF即可利用t表示出来，在Rt△CFD中利用勾股定理即可得到一个关于t的方程，从而求得t的值；
（2）易证四边形ADEC是平行四边形，过点O作OG⊥DE于点G，当线段DE与⊙O相切时，则OG=，在直角△OEG中，OE可以利用t表示，则OG也可以利用t表示出来，当
OG＜时，直线与圆相交，据此即可求得t的范围；
（3）分两圆外切与内切两种情况进行讨论，当外切时，圆心距等于两半径的和，当内切时，圆心距等于圆C的半径减去圆O的半径，列出方程即可求得t的值．
（1）过点C作CF⊥AD于点F，
在Rt△AOB中，OA=4，OB=4，
∴∠ABO=30°，
由题意得：BC=2t，AD=t，
∵CE⊥BO，
∴在Rt△CEB中，CE=t，EB=t，
∵CF⊥AD，AO⊥BO，
∴四边形CFOE是矩形，
∴OF=CE=t，OE=CF=4-t，
在Rt△CFD中，DF2+CF2=CD2，
∴（4-t-t）2+（4-t）2=42，即7t2-40t+48=0，
解得：t=，t=4，
∵0＜t＜4，
∴当t=时，线段CD的长是4；
（2）过点O作OG⊥DE于点G（如图2），
∵AD∥CE，AD=CE=t
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴DE∥AB
∴∠GEO=30°，
∴OG=OE=（4-t）
当线段DE与⊙O相切时，则OG=，
∴当（4-t）＜，且t≤4-时，线段DE与⊙O有两个公共交点．
∴当 4-＜t≤时，线段DE与⊙O有两个公共交点；
（3）当⊙C与⊙O外切时，t=；
当⊙C与⊙O内切时，t=；
∴当t=或秒时，两圆相切．
考点：圆的综合题．
3．如图，以A（0，3）为圆心的圆与x轴相切于坐标原点O，与y轴相交于点B，弦BD的延长线交x轴的负半轴于点E，且∠BEO＝60°，AD的延长线交x轴于点C．
（1）分别求点E、C的坐标；
（2）求经过A、C两点，且以过E而平行于y轴的直线为对称轴的抛物线的函数解析式；
（3）设抛物线的对称轴与AC的交点为M，试判断以M点为圆心，ME为半径的圆与⊙A的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）点C的坐标为（－3，0）（2）2343333yxx（3）⊙M与⊙A外切
【解析】
试题分析：（1）已知了A点的坐标，即可得出圆的半径和直径，可在直角三角形BOE中，根据∠BEO和OB的长求出OE的长进而可求出E点的坐标，同理可在直角三角形OAC中求出C点的坐标；
（2）已知了对称轴的解析式，可据此求出C点关于对称轴对称的点的坐标，然后根据此点坐标以及C，A的坐标用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（3）两圆应该外切，由于直线DE∥OB，因此∠MED=∠ABD，由于AB=AD，那么
∠ADB=∠ABD，将相等的角进行置换后可得出∠MED=∠MDE，即ME=MD，因此两圆的圆心距AM=ME+AD，即两圆的半径和，因此两圆外切.
试题解析：（1）在Rt△EOB中，3cot602323EOOB，
∴点E的坐标为（－2，0）．
在Rt△COA中，tantan60333OCOACAOOA，
∴点C的坐标为（－3，0）．
（2）∵点C关于对称轴2x对称的点的坐标为F（－1，0），
点C与点F（－1，0）都在抛物线上．
设13yaxx，用03A，代入得
30103a，
∴33a．
∴3133yxx，即
2343333yxx．
（3）⊙M与⊙A外切，证明如下：
∵ME∥y轴，
∴MEDB．
∵BBDAMDE，
∴MEDMDE．
∴MEMD．
∵MAMDADMEAD，
∴⊙M与⊙A外切．
4．已知：
图1 图2 图3
（1）初步思考：
如图1， 在PCB中，已知2PB，BC=4，N为BC上一点且1BN，试说明：
12PNPC
（2）问题提出：
如图2，已知正方形ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求12PDPC的最小值．
（3）推广运用：
如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠B﹦60°，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求12PDPC的最大值．
【答案】（1）详见解析；（2）5；（3）最大值37DG
【解析】
【分析】
（1）利用两边成比例，夹角相等，证明BPN∽BCP，得到PNBNPCBP，即可得到结论成立；
（2）在BC上取一点G，使得BG=1，由△PBG∽△CBP，得到12PGPC，当D、P、G共线时，12PDPC的值最小，即可得到答案；
（3）在BC上取一点G，使得BG=1，作DF⊥BC于F，与（2）同理得到12PGPC，当点P在DG的延长线上时，12PDPC的值最大，即可得到答案.
【详解】
（1）证明：∵2,1,4PBBNBC，
∴24,4PBBNBC，
∴2PBBNBC，
∴BNBPBPBC，
∵BB，
∴BPNBCP∽，
∴12PNBNPCBP，
∴12PNPC；
（2）解：如图，在BC上取一点G，使得BG=1，
∵242,212PBBCBGPB，
∴,PBBCPBGPBCBGPB，
∴PBGCBP∽，
∴12PGBGPCPB，
∴12PGPC，
∴12PDPCDPPG；
∵DPPGDG，
∴当D、P、G共线时，12PDPC的值最小，
∴最小值为：22435DG；
（3）如图，在BC上取一点G，使得BG=1，作DF⊥BC于F，
与（2）同理，可证12PGPC，
在Rt△CDF中，∠DCF=60°，CD=4，
∴DF=CD•sin60°=23，CF=2，
在Rt△GDF中，DG=22(23)537，
∴12PDPCPDPGDG，
当点P在DG的延长线上时，12PDPC的值最大，
∴最大值为：37DG.
【点睛】
