因式分解3

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龙文教育学科教师辅导讲义

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课 题

因式分解

教学目标 1、 了解因式分解的意义。

2、 熟练运用适当的方法进行因式分解。

重点、难点 重点：因式分解的概念以及运用提取公因式法和公式法分解因式。

难点：运用因式分解进行多项式的除法以及解简单的一元二次方程。

教学内容

一、概述

定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。

意义：它是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具。因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。学习它，既可以复习的整式四则运算，又为学习分式打好基础；学好它，既可以培养学生的观察、注意、运算能力，又可以提高学生综合分析和解决问题的能力。

分解因式与整式乘法互为逆变形。

二、因式分解的方法

因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。而在竞赛上，又有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式轮换对称多项式法，余数定理法，求根公式法，换元法，长除法，除法等。

注意三原则

1 分解要彻底

2 最后结果只有小括号

3 最后结果中多项式首项系数为正（例如：-32x +x=-x(3x-1)）

基本方法

1】提取公因式

这种方法比较常规、简单，必须掌握。有时提公因式后再用公式法。常用的公式有：完全平方公式、平方差公式等

涌泉初中 数学 学科导学案 年级 八 班级 学生

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课题：因式分解（公式法：完全平方公式） 章节：第十二章第5节（3）

学习目标 1.知识与技能：理解因式分解的过程，会用公式法进行因式分解.

2.过程与方法：经历探索公式法因式分解的过程，培养学生合作、观察、分析、归纳的能力，并向学生渗透逆向思维的数学思想方法.

3.情感、态度与价值观：在探索中进行新旧知识的比较，体会事物之间互相转化的辨证思想，从而初步接受对立统一观点.

学习重点：因式分解的完全平方公式公式的理解，用公式进行因式分解.

学习难点：因式分解的完全平方公式公式的熟练应用.

预习笔记 自主学习

一、旧知回顾

1、分解因式学了哪些方法?

⑴提取公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c)

⑵运用公式法： ①a2-b2=(a+b)(a-b)

练习 把下列各式分解因式

①

② x4-16

2．除了平方差公式外，还学过了哪些公式？

完全平方式: 用公式法正确分解因式关键是什么？

(首项) 2 ± 2 (首项)• (尾项) + (尾项)2 = (首项)±(尾项)2

仔细观察，试着发现以上式子所具有的特征：

从每一项看：都有两项可化为两个数(或整式)的平方,另一项为这两个数

(或整式)的乘积的2倍.

从符号看：平方项符号相同（即：两平方项的符号同号，首尾2倍中间项）

二、讨论探究：

填一填

多项式 是否是

完全平方式 a、b各表示什么 表示（a+b）2或

（a－b）2

四、四、巩固提高

练习填空：

（1）a2+ +b2=(a+b)2 （2）a2-2ab+ =(a-b) 2

（3）m2+2m+ =( ) 2 （4）n2-2n + =( ) 2

1 因式分解一提公因式法

【知识要点】

1、分解因式的概念

把一个多项式公成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式 。

2、分解因式与整式乘法的关系

分解因式与整式乘法是 的恒等变形。

3．分解因式的一些注意点

（1）结果应该是 的形式；（2）必须分解到每个因式都不能 为止；

（3）如果结果有相同的因式，必须写成 的形式。

4．公因式

多项式中各项都含有的公共的因式，我们把这个因式叫做这个多项式的 .

5.提公因式法

如果多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提到括号外面,将多项式写成因式乘积的形式,这种分解因式的方示叫做提公因式法.

6.确定公因式的方法

(1)系数公因式:应取多项式中各项系数为 ;

(2)字母公因式:应取多项式中各项字母为 .

《重点辨析》

提取公因式时的注意点

多项式的形式 注意点

多项式的首项系数为负数 (1)首项为负数,一般要提出“-”号;(2)在括号内的多项式的各项都要变号.如)(cbammcmbma

公因式是多项式 公因式是多项式时,可把这个因式作为一个整体提出,如)23)(()(2)(3nmbabanbam

多项式的某一项恰是公因式 提公因式后,括号内的项数,不增不减,特殊是某一项为1,千万不要漏掉此项,如)1(bammmbma

底数需调整为同底数幂 32)()(abba可调整为:32)()(baba或32)()(abab

1 师航教育一对一个性化辅导讲义

3因式分解---完全平方公式

一、目标要求

1．理解完全平方公式的意义。

2．能运用完全平方公式进行多项式的因式分解。

二、重点难点

完全平方公式的意义及运用。

1．完全平方公式的意义：

公式：a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2

a2－2ab＋b2＝(a－b)2

意义：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或者差）的平方。

2．完全平方公式的应用：

用完全平方公式分解因式时要先判断是否是完全平方公式，再运用公式分解因式。

知识点一：因式分解---完全平方公式

用完全平方公式因式分解：即两个数（整式）的平方和加上（减去）这两个数（整或式）的积的

，等于这两个数（整式）的和（差）的平方．如：，其中

叫做完全平方式。

注：①与整式乘法中完全平方公式正好相反．

②形式和结构特征：左边是一个三项式，其中两项同号且均为一个整式的平方(平方项)，另一项是平方项幂的底数的2倍(乘积项)，符号可正也可负，右边是两个整式的和(或差)的平方，中间的符号同左边的乘积项的符号

3、用公式法进行因式分解的关键要在这个多项式中找出符合公式（平方差公式，完全平方公式）的条件．这就要求必须清楚每个公式的结构特点．不要忽视完全平方公式的中间项，而错误的认为：

a2±b2＝(a±b)2。

4、理解公式中的字母a、b不仅可以表示数，而且还可以表示单项式，多项式等。

．【例1】把4a2－12ab＋9b2分解因式。

分析：多项式4a2－12ab＋9b2共有三项，第一项是(2a)2，第三项是(3b)2，4a2＋9b2是2a、3b的平方和，第二项正好是2a与3b的积的2倍，所以4a2－12ab＋9b2是一个完全平方式，可分解为(2a－3b)2。

解：原式＝(2a)2－2·2a·3b＋(3b)2＝(2a－3b)2。