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7 扬州市高三2016—2017学年度第一学期期末检测数学试题(含答案)

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扬州2016—2017学年度第一学期期末检测试数学一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应位置）1．已知集合{0}A x x =≤，{1012}B =-，，，，则A B = ▲ ． 2．设1i i 1ia b +=+-(i 为虚数单位，a ，b ∈R )，则ab = ▲ ．3．某学校共有师生3200人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样本，已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数是 ▲ ． 4．如图是一个求函数值的算法流程图，若输入的x 的值为5， 则输出的y 的值为 ▲ ． 5．已知直线:20l x -=与圆22C :x +y =4交于,A B 两点， 则弦AB 的长度为 ▲ ．6．已知,A B {}3,1,1,2∈--且A B ≠，则直线10Ax By ++=的斜率 小于0的概率为 ▲ ．7．若实数,x y 满足10101x y y x x +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩，则23zx y =+的最大值为 ▲ ．8．若正四棱锥的底面边长为2（单位：cm ），侧面积为8（单位：2cm ）， 则它的体积为 ▲ （单位：3cm ）.9．已知抛物线216y x =的焦点恰好是双曲线222112x y b -=的右焦点，则双曲线的渐近线方程为 ▲ ． 10．已知1cos()33πα+=()2πα<<0，则sin()πα+= ▲ ．扬州11．已知1,5x x ==是函数()()()cos 0f x x ωϕω=+>两个相邻的极值点，且()f x 在2x =处的导数()20f '<，则()0f = ▲ ．12．在正项等比数列{}n a 中，若4321226a a a a +--=，则56a a +的最小值为 ▲ ．13．已知ABC ∆是边长为3的等边三角形，点P 是以A 为圆心的单位圆上一动点，点Q 满足2133AQ AP AC =+，则BQ的最小值是 ▲ ．14．已知一个长方体的表面积为48（单位：2cm ），12条棱长度之和为36（单位：cm ），则这个长方体的体积的取值范围是 ▲ （单位：3cm ）．二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分14分） 在ABC ∆中，6AB =，AC =18AB AC ⋅=-． （1）求BC 的长； （2）求tan 2B 的值．（第4题图）如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是矩形，点E 、F 分别是棱PC 和PD 的中点. （1）求证：EF ∥平面P AB ；（2）若AP =AD ，且平面P AD ⊥平面ABCD ，证明：AF ⊥平面PCD .17．（本小题满分14分）如图，矩形ABCD 是一个历史文物展览厅的俯视图，点E 在AB 上，在梯形BCDE 区域内部展示文物，DE 是玻璃幕墙，游客只能在∆ADE 区域内参观．在AE 上点P 处安装一可旋转的监控摄像头，MPN ∠为监控角，其中M 、N 在线段DE （含端点）上，且点M 在点N 的右下方.经测量得知：AD =6米，AE =6米，AP =2米，4MPN π∠=.记EPM θ∠=（弧度），监控摄像头的可视区域∆PMN 的面积为S 平方米． （1）求S 关于θ的函数关系式，并写出θ的取值范围；（参考数据：5tan 34≈） （2）求S 的最小值.如图，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，圆222:O x y b +=，过椭圆C 的上顶点A 的直线l :y kx b =+分别交圆O 、椭圆C 于不同的两点P 、Q ，设AP PQ λ=． （1）若点(3,0),P -点(4,1),Q --求椭圆C 的方程； （2）若3λ=，求椭圆C 的离心率e 的取值范围．19．（本小题满分16分）已知数列{}n a 与{}n b 的前n 项和分别为n A 和n B ，且对任意n *∈N ，112()n n n n a a b b ++-=-恒成立． （1）若21,2n A n b ==，求n B ； （2）若对任意n *∈N ，都有n n a B =及3124122334113n n n b b b b a a a a a a a a ++++++<成立，求正实数1b 的取值范围； （3）若12,a =2n n b =，是否存在两个互不相等的整数,s t (1)s t <<，使11,,s ts tA A AB B B 成等差数列？若存在，求出,s t 的值；若不存在，请说明理由．已知函数()()()f x g x h x =⋅，其中函数()x g x e =，2()h x x ax a =++． （1）求函数()g x 在()1,(1)g 处的切线方程；（2）当02a <<时，求函数()f x 在[2,]x a a ∈-上的最大值；（3）当0a =时，对于给定的正整数k ，问函数()()2(ln 1)F x e f x k x =⋅-+是否有零点？请说明理由．（参考数据 1.649, 4.482,ln 20.693e ≈≈≈≈）2016—2017学年度第一学期期末检测试题高 三 数 学 2017.01试 题Ⅱ（全卷满分40分，考试时间30分钟）21．（本小题满分10分）已知,a b ∈R ，若点(1,2)M -在矩阵14a b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A 对应的变换作用下得到点(2,7)N -，求矩阵A 的特征值. 22．（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 1sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），以直角坐标系原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为4πθ=，试求直线l 与曲线C 的交点的直角坐标. 23．（本小题满分10分）为了提高学生学习数学的兴趣，某校决定在每周的同一时间开设《数学史》、《生活中的数学》、《数学与哲学》、《数学建模》四门校本选修课程，甲、乙、丙三位同学每人均在四门校本课程中随机选一门进行学习，假设三人选择课程时互不影响，且每人选择每一课程都是等可能的. （1）求甲、乙、丙三人选择的课程互不相同的概率；（2）设X 为甲、乙、丙三人中选修《数学史》的人数，求X 的分布列和数学期望()E X .24．（本小题满分10分）已知010011(1)C ()(1)C ()(1)C (),()n n nn n n n F x f x f x f x n *=-+-++-∈N ()(0)x >， 其中i ()f x {}(i 0,1,2,,)n ∈是关于x 的函数.（1）若ii ()=f x x (i )∈N ，求21F ()，20172F ()的值；（2）若i ()=(i )ixf x x+∈N ，求证：!=(1)(2)()n n F x x x x n +++()()n *∈N .2016-2017学年度高三第一学期期末测试数 学 试 题Ⅰ参 考 答 案2017．1一、填空题 1．{1,0}-2．03．2004．15- 5． 6．17．889．y x = 101112．48 132314．[16,20] 15.⑴因为cos 18AB AC AB AC A =⨯⨯=-，且6AB =，AC =BC 分⑵方法一：在ABC ∆中，6AB =，AC =BC222222cos =210BA BC AC B BA BC +⨯-(-(， --------------------9分 又(0,)B π∈，所以sin B sin 1tan cos 3B B B ==，-------------11分所以2222tan 33tan 2=11tan 41()3BB B ==--. ---------------------14分 方法二：由6AB =，AC =cos 18AB AC AB AC A =⨯⨯=-可得cos =2A -， 又(0,)A π∈，所以34A π=.---------------------8分 在ABC ∆中，sin sin BC ACA B =，所以sin sin AC AB BC⨯===，-----------10分又(0,)4B π∈，所以cos 10B ，所以sin 1tan cos 3B B B ==， 所以2222tan 33tan 2=11tan 41()3B B B ==--. ---------------------14分 16. （1）证明：因为点E 、F 分别是棱PC 和PD 的中点，所以EF ∥CD ，又在矩形ABCD 中，AB ∥CD ，所以EF ∥AB ， ---------------------3分又AB ⊂面P AB ，EF ⊄面P AB ，所以EF ∥平面P AB . ---------------------6分⑵证明：在矩形ABCD 中，AD ⊥CD ，又平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD =AD ，CD ⊂面ABCD ，所以CD ⊥平面P AD ， ---------------------10分 又AF ⊂面P AD ，所以CD ⊥AF .①因为P A =AD 且F 是PD 的中点，所以AF ⊥PD ，②由①②及PD ⊂面PCD ，CD ⊂面PCD ，PD ∩CD =D ，所以AF ⊥平面PCD . -----------------14分 17.⑴方法一：在∆PME 中，EPM θ∠=，PE =AE -AP =4米，4PEM π∠=，34PME πθ∠=-， 由正弦定理得sin sin PM PEPEM PME =∠∠，所以sin 43sin sin cos sin()4PE PEM PM PME πθθθ⨯∠===∠+-， ---------------------2分同理在∆PNE 中，由正弦定理得sin sin PN PEPEN PNE=∠∠，所以sin sin cos sin()2PE PEN PN PNE πθθ⨯∠===∠-， - --------------------4分所以∆PMN 的面积S 1sin 2PM PN MPN =⨯⨯∠24cos sin cos θθθ=+ 41cos 21sin 222θθ=++88sin 2cos 2)4πθθθ==++1++1， --------------------8分 当M 与E 重合时，0θ=；当N 与D 重合时，tan 3APD ∠=,即54APD ∠=，3544πθ=-， 所以35044πθ≤≤-.综上可得：8)4S πθ=++1,350,44πθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦. ---------------------10分方法二：在∆PME 中，EPM θ∠=，PE =AE -AP =4米，4PEM π∠=，34PME πθ∠=-，由正弦定理可知：sin sin ME PEPMEθ=∠，所以sin 4sin 3sin sin()4PE ME PME θθπθ⨯===∠-， ---------------------2分在∆PNE 中，由正弦定理可知：sin sin NE PEEPN PNE=∠∠，所以sin()4sin()44cos sin()2PE NE ππθθπθθ⨯++===----------------------4分所以2cos sin cos MN NE ME θθθ=-=+,又点P 到DE的距离为4sin 4d π==， ---------------------6分所以∆PMN 的面积S=21441cos 212cos sin cos sin 222MN d θθθθθ⨯==+++88sin 2cos 2)4πθθθ==++1++1， ---------------------8分 当M 与E 重合时，0θ=；当N 与D 重合时，tan 3APD ∠=,即54APD ∠=，3544πθ=-， 所以35044πθ≤≤-.综上可得：8)4S πθ=++1,350,44πθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦. ---------------------10分⑵当242ππθ+=即350,844ππθ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦时，S1)=.---------13分 所以可视区域∆PMN面积的最小值为1)平方米. ---------------------14分 18.（1）由P 在圆222:O x y b +=上得3,b =又点Q 在椭圆C 上得2222(4)(1)1,3a --+= 解得218,a = ∴椭圆C 的方程是221.189x y += --------------------------------------5分 （2）由222y kx b x y b =+⎧⎨+=⎩得0x =或221P kbx k =-+ --------------------------------------7分 由22221y kx bx y ab =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得0x =或22222Q kba x a k b =-+ --------------------------------------9分 AP PQ λ= ，3λ=，34AP AQ ∴=，2222223241kba kb k a b k ∴⋅=++即222223141a a k b k⋅=++ 222223441a b k e a -∴==- 20k >241e ∴>，即12e >，又01e <<,11.2e ∴<< ----16分19. （1）因为2,n A n =，所以221,1(1),n 2n n a n n =⎧=⎨--≥⎩ 即21n a n =- --------------------------------------2分故111()12n n n n b b a a ++-=-=，所以数列{}n b 是以2为首项，1为公差的等差数列，所以21132(1)1222n B n n n n n =⋅+⋅⋅-⋅=+ --------------------------------------4分（2）依题意112()n n n n B B b b ++-=-，即112()n n n b b b ++=-，即12n nbb +=，所以数列{}n b 是以1b 为首项，2为公比的等比数列，所以1112(21)12nn n n a B b b -==⨯=--，所以11112(21)(21)nn n n n n b a a b +++=-⋅- --------------------------5分因为111111112111()(21)(21)2121n n n n n n n n b b a a b b b ++++⋅==--⋅--- --------------------------8分所以31241112233411111()2121n n n n b b b b a a a a a a a a b +++++++=---，所以1111111()21213n b +-<--恒成立， 即1113(1)21n b +>--，所以13b ≥。

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扬州市2017-2018学年度第一学期期末检测试题高三数学

扬州市2017-2018学年度第一学期期末检测试题高三数学

扬州市2017-2018学年度第一学期期末检测试题高三数学2017-2018学年度第一学期期末检测试题高三数学2018.2第一部分一、 填空题1. 若集合A ={x |1<x <3}，B ={0,1,2,3}，则A ∩B =___________。

2. 若复数(a −2ⅈ)(1+3ⅈ)是纯虚数，则实数a 的值为__________。

3. 若数据31，37，33，a ，35的平均数是34，则这组数据的标准差为_________。

4. 为了了解某学校男生的身体发育情况，随机调查了该校100名男生的体重情况，整理所得数据并画出样本的频率分布直方图，根据此图估计该校2000名男生中体重在70-80kg 的人数为________。

5. 运行右边的流程图，输出的结果是_________。

6. 从两名男生2名女生中任选两人，则恰有一男一女的概率为__________。

7. 若圆锥的侧面展开图是面积为3π且圆心角为2π3的扇形，则此圆锥的体积为______。

8. 若实数x ，y 满足{x ≤4y ≤33x +4y ≥12，则x 2+y 2的取值范围是________。

9. 已知各项都是正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若4a 4,a 3,6a 5成等差数列，且a 3=3a 22，则S 3=_________。

10. 在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的渐近线与圆x 2+y 2−6y +5=0没有焦点，则双曲线离心率的取值范围是__________。

11. 已知函数f (x )=sⅈn x −x +1−4x 2x，则关于x 的不等式f (1−x 2)+f (5x −7)<0的解集为_________。

12. 已知正ΔABC 的边长为2，点P 为线段AB 中垂线上任意一点，Q 为射线AP 上一点，且满足AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1，则|CQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值为_________。

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专题函数常见题型归纳三个不等式关系：（1）a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号．（2）a ，b ∈R ＋，a ＋b ≥2，当且仅当a ＝b 时取等号．ab （3）a ，b ∈R ，≤()2，当且仅当a ＝b 时取等号．a 2＋b 22a ＋b2上述三个不等关系揭示了a 2＋b 2 ，ab ，a ＋b 三者间的不等关系．其中，基本不等式及其变形：a ，b ∈R ＋，a ＋b ≥2(或ab ≤()2)，当且仅当ab a ＋b2a ＝b 时取等号，所以当和为定值时，可求积的最值；当积为定值是，可求和的最值．利用基本不等式求最值：一正、二定、三等号．【题型一】利用拼凑法构造不等关系【典例1】（扬州市2015—2016学年度第一学期期末·11）已知且1，，b a ，则的最小值为 .7log 3log 2=+a b b a 112-+b a 【解析】∵且∴，解得1，，b a 7log 3log 2=+a b b a 32log 7log a a b b+=或，∵∴，即．1log 2a b =log 3a b =1，，b a 1log 2a b =2a b =2111111a ab a +=-++--．13≥=练习：1．（南京市、盐城市2015届高三年级第一次模拟·10）若实数,x y 满足0x y >>，且22log log 1x y +=，则22x y x y+-的最小值为．解析：由log 2x+log 2y=1可得log 2xy=1=log 22，则有xy=2，那么y x y x -+22=y x xy y x -+-2)(2=（x －y ）+y x -4≥2y x y x -⋅-4)(=4，当且仅当（x －y ）=yx -4，即x=3+1，y=3－1时等号成立，故y x y x -+22的最小值为4．2.（苏北四市（徐州、淮安、连云港、宿迁）2017届高三上学期期末）若实数满足,x y，则的最小值为 ．133(02xy x x +=<<313x y +-3.（无锡市2017届高三上学期期末）已知，且，则0,0,2a b c >>>2a b +=的最小值为 .2ac c c b ab +-+【典例2】（南京市2015届高三年级第三次模拟·12）已知x ，y 为正实数，则＋4x4x ＋y 的最大值为 ．yx ＋y 解析：由于＋==4x 4x ＋y yx ＋y ))(4()4()(4y x y x y x y y x x +++++22225484yxy x y xy x ++++=1+=1+≤1+=，22543y xy x xy ++345x y y x ⋅++5423+⋅xy y x 43当且仅当4=，即y=2x 时等号成立．y x xy【典例3】若正数、满足,则的最小值为__________.a b 3ab a b =++a b +解析：由,得,解得,a b R +∈223(),()4()1202a b ab a b a b a b +=++≤+-+-≥(当且仅当且,即时,取等号).6a b +≥a b =3ab a b =++3a b ==变式：1.若,且满足,则的最大值为_________.,a b R +∈22a b a b +=+a b +解析：因为,所以由,,a b R +∈22222()2a b a b a b a b a b ++=+⇒+=+≥2()a b +-,解得(当且仅当且,即时,取等号).2()0a b +≤02a b <+≤a b =22a b a b +=+1a b ==2.设，，则的最小值为_______ 40,0>>y x 822=++xy y x y x 2+3.设，，则的最大值为_________R y x ∈,1422=++xy y x y x +210524.（苏北四市（淮安、宿迁、连云港、徐州）2017届高三上学期期中）已知正数，满a b 足，则的最小值为 195a b+=-ab 【题型二】含条件的最值求法【典例4】（苏州市2017届高三上期末调研测试）已知正数满足，则y x ,1=+y x的最小值为 1124+++y x 练习1．（江苏省镇江市高三数学期末·14）已知正数满足，则y x ,111=+yx 的最小值为 .1914-+-y yx x 解析：对于正数x ，y ，由于+=1，则知x>1，y>1，那么x 1y1+=（+）（1+1－－）=（+）（+）≥（14-x x 14-y y 14-x x 14-y y x 1y 114-x x 14-y y x x 1-yy 1-+）2=25，当且仅当·=·时等号成x x x x 114-⋅-y y y y 114-⋅-14-x x y y 1-14-y y x x 1-立．2.（2013~2014学年度苏锡常镇四市高三教学情况调查（一）·11）已知正数,x y 满足22x y +=，则8x yxy+的最小值为 ．解析：8181828145922x y x y x y xy y x y x y x ⎛⎫++⎛⎫=+=+⋅=+++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当82x yy x=时，取等号．故答案为：9．3．（南通市2015届高三第一次调研测试·12）已知函数的图像经过点(0)xy a b b =+>，如下图所示，则的最小值为 .(1,3)P 411a b+-解析：由题可得a+b=3，且a>1，那么+=（a －1+b ）（+）=（4+14-a b 12114-a b 121++1）≥（2+5）=，当且仅当=时等号成立．b a 1-14-a b 21141-⋅-a b b a 29b a 1-14-a b4．（江苏省苏北四市2015届高三第一次模拟考试·12）己知a ，b 为正数，且直线60ax by +-=与直线2(3)50x b y +-+=互相平行，则2a+3b 的最小值为________．【解析】由于直线ax+by －6=0与直线2x+（b －3）y+5=0互相平行，则有2a =3-b b ，即3a+2b=ab ，那么2a+3b=（2a+3b ）·ab b a 23+=（2a+3b ）（b 3+a 2）=b a 6+ab6+13≥2a b b a 66⋅+13=25，当且仅当b a 6=ab6，即a=b 时等号成立．5.常数a ，b 和正变量x ，y 满足ab ＝16，＋＝.若x ＋2y 的最小值为64，则ax 2by 12a b ＝________.答案：64；(考查基本不等式的应用).6.已知正实数满足，则的最大值为．,a b ()()12122a b b b a a +=++ab 答案：2【题型三】代入消元法【典例5】（苏州市2016届高三调研测试·14）已知，，则的14ab =,(0,1)a b ∈1211ab+--最小值为 ．解析：由得 ，14ab =14a b=2221211424122711411451451a b b b b b b b b b bb +---+--=+==+---+--+-令 则当且仅当71b t -=227149*********5142718427b t b bt t t t-+=+=-≥+-+--+-+- 等号成立．t =练习1．（江苏省扬州市2015届高三上学期期末·12）设实数x ，y 满足x 2＋2xy －1＝0，则x 2＋y 2的最小值是 ．解析：由x 2＋2xy －1＝0可得y=，那么x 2＋y 2=x 2＋=x 2+－≥2212x x -222(1)4x x -54214x 12－，当且仅当x 2=，即x 4=时等号成立． 121254214x 152．（苏州市2014届高三调研测试·13）已知正实数x ，y 满足，则x + y 的最小值为．解析：∵正实数x ，y 满足xy+2x+y=4，∴（0＜x ＜2）．∴x+y=x+==（x+1）+﹣3，当且仅当时取等号．∴x+y 的最小值为．故答案为：．3．（南通市2014届高三第三次调研测试·9）已知正实数满足，则,x y (1)(1)16x y -+=的最小值为．x y +解析：∵正实数x ，y 满足（x ﹣1）（y+1）=16，∴，∴x+y=1116++=y x ，当且仅当y=3，（x=5）时取等号．∴x+y 的最小值为()8116121116=+⋅+≥+++y y y y 8．故答案为：8．4.（扬州市2017届高三上学期期中）若，且，则使得取2,0>>b a 3=+b a 214-+b a 得最小值的实数=。

2016届江苏省扬州市高三上学期期末数学试卷(带解析)

2016届江苏省扬州市高三上学期期末数学试卷(带解析)

绝密★启用前2016届江苏省扬州市高三上学期期末数学试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：162分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）第II卷（非选择题）一、填空题（题型注释）1、（2015秋•扬州期末）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=（|x﹣a|+|x﹣2a|﹣3|a|）．若集合{x|f（x﹣1）﹣f（x）＞0，x∈R}=∅，则实数a的取值范围为．2、（2015秋•扬州期末）已知数列{a n}中，a1=a（0＜a≤2），a n+1=（n∈N*），记S n=a1+a2+…+a n，若S n=2015，则n= ．3、（2015秋•扬州期末）已知圆O：x2+y2=4，若不过原点O的直线l与圆O交于P、Q 两点，且满足直线OP、PQ、OQ的斜率依次成等比数列，则直线l的斜率为．4、（2015秋•扬州期末）已知a＞b＞1且2log a b+3log b a=7，则的最小值为．5、（2015秋•扬州期末）已知，，，若，则= ．6、（2015秋•扬州期末）已知函数（0≤x＜π），且（α≠β），则α+β=．7、（2015秋•扬州期末）已知正四棱锥底面边长为，体积为32，则此四棱锥的侧棱长为．8、（2015秋•扬州期末）已知等比数列{a n}满足a2+2a1=4，，则该数列的前5项的和为．10、（2015秋•扬州期末）已知双曲线的方程为﹣=1，则双曲线的焦点到渐近线的距离为 ．11、（2015秋•扬州期末）某学校从高三年级共800名男生中随机抽取50名测量身高．据测量被测学生身高全部介于155cm 和195cm 之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155，160）、第二组[160，165）、…、第八组[190，195]．按上述分组方式得到的频率分布直方图的一部分如图所示，估计这所学校高三年级全体男生身高180cm 以上（含180cm ）的人数为 ．12、（2015秋•扬州期末）如图，若输入的x 值为，则相应输出的值为 ．13、（2015秋•扬州期末）若复数z=i （3﹣2i ）（i 是虚数单位），则z 的虚部为 ．14、（2015秋•扬州期末）已知集合A={x|x 2﹣2x ＜0}，B={0，1，2}，则A∩B= ．15、（2015秋•扬州期末）若数列{a n }中不超过f （m ）的项数恰为b m （m ∈N *），则称数列{b m }是数列{a n }的生成数列，称相应的函数f （m ）是数列{a n }生成{b m }的控制函数． （1）已知a n =n 2，且f （m ）=m 2，写出b 1、b 2、b 3； （2）已知a n =2n ，且f （m ）=m ，求{b m }的前m 项和S m ；（3）已知a n =2n ，且f （m ）=Am 3（A ∈N *），若数列{b m }中，b 1，b 2，b 3是公差为d （d≠0）的等差数列，且b 3=10，求d 的值及A 的值．16、（2015秋•扬州期末）已知函数f （x ）=（ax 2+x+2）e x （a ＞0），其中e 是自然对数的底数．（1）当a=2时，求f （x ）的极值；（2）若f （x ）在[﹣2，2]上是单调增函数，求a 的取值范围；（3）当a=1时，求整数t 的所有值，使方程f （x ）=x+4在[t ，t+1]上有解．17、（2015秋•扬州期末）某隧道设计为双向四车道，车道总宽20米，要求通行车辆限高4.5米，隧道口截面的拱线近似地看成抛物线形状的一部分，如图所示建立平面直角坐标系xOy ．（1）若最大拱高h 为6米，则隧道设计的拱宽l 是多少？（2）为了使施工的土方工程量最小，需隧道口截面面积最小．现隧道口的最大拱高h 不小于6米，则应如何设计拱高h 和拱宽l ，使得隧道口截面面积最小？（隧道口截面面积公式为S=lh ）18、（2015秋•扬州期末）如图，已知椭圆（a ＞b ＞0）的左、右焦点为F 1、原点．（1）若椭圆方程为，且，求点M 的横坐标；（2）若λ=2，求椭圆离心率e 的取值范围．19、（2015秋•扬州期末）已知函数f （x ）=ωx+sinωxcosωx （ω＞0）的周期为π． （1）当时，求函数f （x ）的值域；（2）已知△ABC 的内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，若，且a=4，b+c=5，求△ABC 的面积．20、（2015秋•扬州期末）如图，已知直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB=AC ，D 、E 分别为BC 、CC 1中点，BC 1⊥B 1D ．（1）求证：DE ∥平面ABC 1； （2）求证：平面AB 1D ⊥平面ABC 1．参考答案1、（﹣∞，]2、1343．3、±1．4、35、．6、．7、58、319、．10、411、14412、．13、315、（1）b1=1；b2=2；b3=3．（2）．（3）d=3，A=64或65．16、（1），；（2）a的取值范围是．（3）t=﹣4，0．17、（1）40米；（2）当拱高为米，拱宽为米时，使得隧道口截面面积最小．18、（1）；（2）（，1）．19、（1）．（2）．20、见解析【解析】1、试题分析：把x≥0时的f（x）改写成分段函数，求出其最小值，由函数的奇偶性可得x＜0时的函数的最大值，条件等价为对∀x∈R，都有f（x﹣1）≤f（x），进行转化求解即可求解该不等式得答案．解：若{x|f（x﹣1）﹣f（x）＞0，x∈R}=∅，则等价为f（x﹣1）﹣f（x）≤0恒成立，即f（x﹣1）≤f（x）恒成立，当x≥0时，f（x）=（|x﹣a|+|x﹣2a|﹣3|a|）．若a≤0，则当x≥0时，f（x）=（x﹣a+x﹣2a+3a）=x，∵f（x）是奇函数，∴若x＜0，则﹣x＞0，则f（﹣x）=﹣x=﹣f（x），则f（x）=x，x＜0，综上f（x）=x，此时函数为增函数，则f（x﹣1）≤f（x）恒成立，若0≤x≤a时，f（x）=[﹣x+a﹣（x﹣2a）﹣3a]=﹣x；当a＜x≤2a时，f（x）=[x﹣a﹣（x﹣2a）﹣3a]=﹣a；当x＞2a时，f（x）=（x﹣a+x﹣2a﹣3a）=x﹣3a．即当x≥0时，函数的最小值为﹣a，由于函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）的最大值为a，作出函数的图象如图：由于∀x∈R，f（x﹣1）≤f（x），故函数f（x﹣1）的图象不能在函数f（x）的图象的上方，结合图可得1﹣3a≥3a，即6a≤1，求得0＜a≤，综上a≤，故答案为：（﹣∞，]考点：函数恒成立问题．2、试题分析：a1=a（0＜a≤2），a n+1=（n∈N*），可得a2=﹣a1+3=3﹣a∈[1，3）．对a分类讨论：①当a∈[1，2]时，3﹣a∈[1，2]，∴a3=﹣a2+3=a，…．②当a∈（0，1）时，3﹣a∈（2，3），可得a3=a2﹣2=1﹣a∈（0，1），∴a4=﹣a3+3=a+2∈（2，3），a5=a4﹣2，对n分类讨论即可得出．解：∵a1=a（0＜a≤2），a n+1=（n∈N*），∴a2=﹣a1+3=3﹣a∈[1，3）．①当a∈[1，2]时，3﹣a∈[1，2]，∴a3=﹣a2+3=a，…．∴当n=2k﹣1，k∈N*时，a1+a2=a+3﹣a=3，∴S2k﹣1=3（k﹣1）+a=2015，a=1时舍去，a=2时，k=672，此时n=1343；当n=2k，k∈N*时，a1+a2=a+3﹣a=3，∴S2k=3k=2015，k=671+，不是整数，舍去；②当a∈（0，1）时，3﹣a∈（2，3），∴a3=a2﹣2=1﹣a∈（0，1），∴a4=﹣a3+3=a+2∈（2，3），a5=a4﹣2=a∈（2，3），…．当n=4k﹣1，k∈N*时，a1+a2+a3=a+3﹣a+1﹣a=4﹣a，∴S4k﹣1=6（k﹣1）+（4﹣a）=2015，舍去；当n=4k﹣2，k∈N*时，a1+a2=3，∴S4k﹣2=6（k﹣1）+3=2015，舍去．当4k﹣3，k∈N*时，∴S4k﹣2=6（k﹣1）+a=2015，舍去．综上可得：n=1343．故答案为：1343．考点：数列递推式．3、试题分析：设P（x1，y1），Q（x2，y2）．由题意可设直线l的方程为：y=kx+t（t≠0），与圆的方程联立可得（1+k2）x2+2ktx+t2﹣4=0，得到根与系数的关系．利用直线OP、PQ、OQ的斜率成等比数列，可得=k2，化为k2=1，即可求出直线l的斜率．解：设P（x1，y1），Q（x2，y2）．由题意可设直线l的方程为：y=kx+t（t≠0，±1）．联立圆O：x2+y2=4，化为（1+k2）x2+2ktx+t2﹣4=0．∴x1+x2=﹣，x1x2=．∵直线OP、PQ、OQ的斜率成等比数列，∴=k2，∴（kx1+t）（kx2+t）=k2x1x2，化为tk（x1+x2）+t2=0，∴k•（﹣）+t=0，∴k2=1，∴k=±1．故答案为：±1．考点：直线与圆的位置关系．4、试题分析：由对数的运算可得b2=a，整体代入可得=a+=a﹣1++1，由基本不等式可得．解：∵a＞b＞1，∴t=log a b＜1，又∵2log a b+3log b a=7，∴2t+=7，解得t=，或t=3（舍去），∴t=log a b=，∴b2=a，≥2+1=3，当且仅当a﹣1=即a=2且b=时取等号．故答案为：3考点：基本不等式．5、试题分析：通过数量积推出三角函数关系，然后利用诱导公式化简所求的表达式，利用平方关系式，即可求出结果．解：，，，，可得2cosα+sinα=1.，又sin2α+cos2α=1，解得cosα=，=﹣cos2α=1﹣2cos2α=1﹣2×=．故答案为：．考点：运用诱导公式化简求值；平面向量数量积的运算．6、试题分析：由条件利用正弦函数的图象的对称性，求得α+β的值．解：∵函数（0≤x＜π），∴≤2x+＜，且（α≠β），不妨设α＜β，∴2α+=，2β+=2π+，∴2α+2β=，∴α+β=，故答案为：．考点：两角和与差的余弦函数．7、试题分析：利用体积求出正四棱锥的高，求出底面对角线的长，然后求解侧棱长．解：正四棱锥底面边长为，体积为32，可得正四棱锥的高为h，=32，解得h=3，底面对角线的长为：4=8，侧棱长为：=5．故答案为：5．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；点、线、面间的距离计算．8、试题分析：由题意可得首项和公比的方程组，解方程组代入求和公式计算可得．∵a2+2a1=4，，∴a1（q+2）=4，a12q4=a1q4，联立解得a1=1，q=2，∴数列的前5项的和为=31故答案为：31．考点：等比数列的前n项和．9、试题分析：从1，2，3，4，5这5个数中，随机抽取2个不同的数，求出基本事件总数和这2个数的和为偶数包含的基本事件个数，由此能求出这2个数的和为偶数的概率．解：从1，2，3，4，5这5个数中，随机抽取2个不同的数，基本事件总数n==10，这2个数的和为偶数包含的基本事件个数m==4，∴这2个数的和为偶数的概率：p==．故答案为：．考点：古典概型及其概率计算公式．10、试题分析：先由题中条件求出焦点坐标和渐近线方程，再代入点到直线的距离公式即可求出结论．解：由题得：其焦点坐标为（﹣5，0），（5，0）．渐近线方程为y=±x，即±3y﹣4x=0，所以焦点到其渐近线的距离d==4．故答案为：4．考点：双曲线的简单性质．11、试题分析：根据频率和为1，求出男生身高在180cm以上（含180cm）的频率和频数．解：根据频率分布直方图，得；男生身高在180cm以上（含180cm）的频率为1﹣（0.008+0.016+0.04+0.04+0.06）×5=0.18；对应的人数有800×0.18=144．故答案为：144．考点：程序框图．12、试题分析：根据题意得出执行程序框图后输出的是分段函数y=，由此求出输入x=时输出y的值．解：根据题意，执行程序框图后输出的是分段函数y=，当输入x=时，sin＞cos，所以输出的y=cos=．故答案为：．考点：程序框图．13、试题分析：由复数z=i（3﹣2i）（i是虚数单位），得z=2+3i，则z的虚部可求．解：由z=i（3﹣2i）=2+3i，则z的虚部为：3．故答案为：3．考点：复数代数形式的乘除运算．14、试题分析：求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集即可．解：由A中不等式变形得：x（x﹣2）＜0，解得：0＜x＜2，即A=（0，2），∵B={0，1，2}，∴A∩B={1}，故答案为：{1}考点：交集及其运算．15、试题分析：（1）利用生成数列，与控制函数的意义即可得出．（2）对m分类讨论：可得b m．进而得出前n项和．（3）依题意：，f（1）=A，f（2）=8A，f（5）=125A，设b1=t，即数列{a n}中，不超过A的项恰有t项，所以2t≤A＜2t+1，同理：2t+d≤8A＜2t+d+1，2t+2d≤125A＜2t+2d+1，可得d＜4，d为正整数，得出d=1，2，3，分类讨论即可得出．解：（1）m=1，则a1=1≤1，∴b1=1；m=2，则a1=1＜4，a2=4≤4，∴b2=2；m=3，则a1=1＜9，a2=4＜9，a3=9≤9，∴b3=3．（2）m为偶数时，则2n≤m，则；m为奇数时，则2n≤m﹣1，则；∴，m为偶数时，则；m为奇数时，则；∴．（3）依题意：，f（1）=A，f（2）=8A，f（5）=125A，设b1=t，即数列{a n}中，不超过A的项恰有t项，所以2t≤A＜2t+1，同理：2t+d≤8A＜2t+d+1，2t+2d≤125A＜2t+2d+1，可得：故，由以下关系：得d＜4，∵d为正整数，∴d=1，2，3．当d=1时，，不合题意，舍去；当d=2时，，不合题意，舍去；当d=3时，，，适合题意．此时，b1=t，b2=t+3，b5=t+6，∴t+3≤b3≤t+6．∵b3=10，∴4≤t≤7，∵t为整数，∴t=4，t=5，t=6或t=7．∵f（3）=27A，b3=10，∴210≤27A＜211，∴．当t=4时，，∴无解．当t=5时，，∴无解．当t=6时，，∴．当t=7时，，∴无解，∴．∵A∈N*，∴A=64或A=65．综上：d=3，A=64或65．考点：数列的应用．16、试题分析：（1）求函数的导数，利用函数极值和导数之间的关系进行求解即可．（2）根据函数单调性和导数之间的关系进行转化求解即可．（3）根据函数单调性结合函数零点的判断条件进行求解即可．解：（1）f（x）=（2x2+x+2）e x，则f′（x）=（2x2+5x+3）e x=（x+1）（2x+3）e x令f′（x）=0，∴，（2）问题转化为f′（x）=[ax2+（2a+1）x+3]e x≥0在x∈[﹣2，2]上恒成立；又e x＞0即ax2+（2a+1）x+3≥0在x∈[﹣2，2]上恒成立；令g（x）=ax2+（2a+1）x+3，∵a＞0，对称轴①当﹣1﹣≤﹣2，即时，g（x）在[﹣2，2]上单调增，∴g（x）的最小值g（x）=g（﹣2）=1＞0，∴0＜a≤②当﹣2＜﹣1﹣＜0，即时，g（x）在[﹣2，﹣1﹣]上单调减，在[﹣1﹣，2]上单调增，∴△=（2a+1）2﹣12a≤0，解得：，∴＜a≤1+，综上，a的取值范围是．（3）∵a=1，设h（x）=（x2+x+2）e x﹣x﹣4，h′（x）=（x2+3x+3）e x﹣1令φ（x）=（x2+3x+3）e x﹣1，φ′（x）=（x2+5x+6）e x令φ′（x）=（x2x∴，∵，∴存在x0∈（﹣1，0），x∈（﹣∞，x0）时，φ（x）＜0，x∈（x0，+∞）时，φ（x）＞0∴h（x）在（﹣∞，x1）上单调减，在（x1，+∞）上单调增又∵由零点的存在性定理可知：h（x）=0的根x1∈（﹣4，﹣3），x2∈（0，1）即t=﹣4，0．考点：利用导数研究函数的极值；导数的几何意义．17、试题分析：（1）设抛物线的方程为：y=﹣ax2（a＞0），利用待定系数法求出，由此能求出隧道设计的拱宽．（2）抛物线最大拱高为h米，h≥6，利用待定系数法求出，从而20＜l≤40，S=，由此利用导数性质能求出当拱高为米，拱宽为米时，使得隧道口截面面积最小．解：（1）设抛物线的方程为：y=﹣ax2（a＞0），则抛物线过点，代入抛物线方程解得：，令y=﹣6，解得：x=±20，则隧道设计的拱宽l是40米．（2）抛物线最大拱高为h米，h≥6，抛物线过点（10，﹣（h﹣）），代入抛物线方程得：令y=﹣h，则，解得：，则，，∵h≥6，∴≥6，即20＜l≤40，∴，∴，当时，S'＜0；当时，S'＞0，即S在上单调减，在（20，40]上单调增，∴S在时取得最小值，此时，答：当拱高为米，拱宽为米时，使得隧道口截面面积最小．考点：直线与圆锥曲线的关系．18、试题分析：（1）由椭圆方程求得焦点坐标，求得OP，MF1，MF2，的斜率，求得直线F1M的方程，F2M的方程，求得交点，即可得到所求M的横坐标；（2）设P（x0，y0），M（x M，y M），运用向量的坐标和向量共线和垂直的条件，再由椭圆的性质可得﹣a＜x0＜a，解不等式即可得到所求离心率的范围．解：（1）∵椭圆的方程为∴F1（﹣2，0），F2（2，0），∴，∴直线F2M的方程为：，直线F1M的方程为：，由解得：，∴点M的横坐标为；（2）设P（x0，y0），M（x M，y M），∵∴∴，∵PO⊥F2M，∴即，联立方程得：，消去y0得：，解得：或，∵﹣a＜x0＜a，∴x0=∈（0，a），∴0＜a2﹣ac＜ac解得：，综上，椭圆离心率e的取值范围为（，1）．考点：椭圆的简单性质；椭圆的标准方程．19、试题分析：（1）由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，利用正弦函数的周期性求得ω可得函数的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域求得当时，求函数f（x）的值域．（2）由条件求得A，利用余弦定理求得bc的值，可得△ABC的面积．解：（1）∵，∵f （x）的周期为π，且ω＞0，∴，解得ω=1，∴．又，得，，，即函数f（x）在[0，]上的值域为．（2）∵，∴，由A∈（0，π），知，解得：，所以．由余弦定理知：a2=b2+c2﹣2bccosA，即16=b2+c2﹣bc，∴16=（b+c）2﹣3bc．因为b+c=5，所以bc=3，∴．考点：三角函数的周期性及其求法；两角和与差的正弦函数；正弦定理．20、试题分析：（1）推导出DE∥BC1，由此能证明DE∥平面ABC1．（2）推民导出CC1⊥AD，AD⊥BC，从而AD⊥平面BCC1B1，进而AD⊥BC1，由此能证明平面AB1D⊥平面ABC1．证明：（1）∵D、E分别为BC、CC1中点，∴DE∥BC1，∵DE⊄平面ABC1，BC1⊂平面ABC1．∴DE∥平面ABC1．（2）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，∵AD⊂平面ABC，∴CC1⊥AD，∵AB=AC，D为BC中点，∴AD⊥BC，又∵CC1∩BC=C，CC1，BC⊂平面BCC1B1，∴AD⊥平面BCC1B1，∵BC1⊂平面BCC1B1，∴AD⊥BC1，又∵BC1⊥B1D∩AD=D，B1D∩AD=D，B1D，AD⊂平面AB1D，∴BC1⊥平面AB1D，∵BC1⊂平面ABC1，∴平面AB1D⊥平面ABC1．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．。

2015-2016年江苏省扬州市高三(上)期末数学试卷及参考答案

2015-2016年江苏省扬州市高三(上)期末数学试卷及参考答案

2015-2016学年江苏省扬州市高三（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应位置）1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x＜0}，B={0，1，2}，则A∩B=．2．（5分）若复数z=i（3﹣2i）（i是虚数单位），则z的虚部为．3．（5分）如图，若输入的x值为，则相应输出的值为．4．（5分）某学校从高三年级共800名男生中随机抽取50名测量身高．据测量被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155，160）、第二组[160，165）、…、第八组[190，195]．按上述分组方式得到的频率分布直方图的一部分如图所示，估计这所学校高三年级全体男生身高180cm以上（含180cm）的人数为．5．（5分）已知双曲线的方程为﹣=1，则双曲线的焦点到渐近线的距离为．6．（5分）从1，2，3，4，5这5个数中，随机抽取2个不同的数，则这2个数的和为偶数的概率是．7．（5分）已知等比数列{a n}满足a2+2a1=4，，则该数列的前5项的和为．8．（5分）已知正四棱锥底面边长为，体积为32，则此四棱锥的侧棱长为．9．（5分）已知函数（0≤x＜π），且（α≠β），则α+β=．10．（5分）已知=（cosα，sinα），=（2，1），a∈（﹣，），若•=1，则sin（2a+）=．11．（5分）已知a＞b＞1且2log a b+3log b a=7，则的最小值为．12．（5分）已知圆O：x2+y2=4，若不过原点O的直线l与圆O交于P、Q两点，且满足直线OP、PQ、OQ的斜率依次成等比数列，则直线l的斜率为．13．（5分）已知数列{a n}中，a1=a（0＜a≤2），a n+1=（n∈N*），记S n=a1+a2+…+a n，若S n=2015，则n=．14．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=（|x ﹣a|+|x﹣2a|﹣3|a|）．若集合{x|f（x﹣1）﹣f（x）＞0，x∈R}=∅，则实数a 的取值范围为．二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）如图，已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC，D、E分别为BC、CC1中点，BC1⊥B1D．（1）求证：DE∥平面ABC1；（2）求证：平面AB1D⊥平面ABC1．16．（14分）已知函数f（x）=ωx+sinωxcosωx（ω＞0）的周期为π．（1）当时，求函数f（x）的值域；（2）已知△ABC的内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若，且a=4，b+c=5，求△ABC的面积．17．（15分）如图，已知椭圆=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，P 是椭圆上一点，M在PF1上，且满足（λ∈R），PO⊥F2M，O为坐标原点．（1）若椭圆方程为=1，且P（2，），求点M的横坐标；（2）若λ=2，求椭圆离心率e的取值范围．18．（15分）某隧道设计为双向四车道，车道总宽20米，要求通行车辆限高4.5米，隧道口截面的拱线近似地看成抛物线形状的一部分，如图所示建立平面直角坐标系xOy．（1）若最大拱高h为6米，则隧道设计的拱宽l是多少？（2）为了使施工的土方工程量最小，需隧道口截面面积最小．现隧道口的最大拱高h不小于6米，则应如何设计拱高h和拱宽l，使得隧道口截面面积最小？（隧道口截面面积公式为S=lh）19．（16分）已知函数f（x）=（ax2+x+2）e x（a＞0），其中e是自然对数的底数．（1）当a=2时，求f（x）的极值；（2）若f（x）在[﹣2，2]上是单调增函数，求a的取值范围；（3）当a=1时，求整数t的所有值，使方程f（x）=x+4在[t，t+1]上有解．20．（16分）若数列{a n}中不超过f（m）的项数恰为b m（m∈N*），则称数列{b m}是数列{a n}的生成数列，称相应的函数f（m）是数列{a n}生成{b m}的控制函数．（1）已知a n=n2，且f（m）=m2，写出b1、b2、b3；（2）已知a n=2n，且f（m）=m，求{b m}的前m项和S m；（3）已知a n=2n，且f（m）=Am3（A∈N*），若数列{b m}中，b1，b2，b3是公差为d（d≠0）的等差数列，且b3=10，求d的值及A的值．2015-2016学年江苏省扬州市高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应位置）1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x＜0}，B={0，1，2}，则A∩B={1} ．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：x（x﹣2）＜0，解得：0＜x＜2，即A=（0，2），∵B={0，1，2}，∴A∩B={1}，故答案为：{1}2．（5分）若复数z=i（3﹣2i）（i是虚数单位），则z的虚部为3．【分析】由复数z=i（3﹣2i）（i是虚数单位），得z=2+3i，则z的虚部可求．【解答】解：由z=i（3﹣2i）=2+3i，则z的虚部为：3．故答案为：3．3．（5分）如图，若输入的x值为，则相应输出的值为．【分析】根据题意得出执行程序框图后输出的是分段函数y=，由此求出输入x=时输出y的值．【解答】解：根据题意，执行程序框图后输出的是分段函数y=，当输入x=时，sin＞cos，所以输出的y=cos=．故答案为：．4．（5分）某学校从高三年级共800名男生中随机抽取50名测量身高．据测量被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155，160）、第二组[160，165）、…、第八组[190，195]．按上述分组方式得到的频率分布直方图的一部分如图所示，估计这所学校高三年级全体男生身高180cm以上（含180cm）的人数为144．【分析】根据频率和为1，求出男生身高在180cm以上（含180cm）的频率和频数．【解答】解：根据频率分布直方图，得；男生身高在180cm以上（含180cm）的频率为1﹣（0.008+0.016+0.04+0.04+0.06）×5=0.18；对应的人数有800×0.18=144．故答案为：144．5．（5分）已知双曲线的方程为﹣=1，则双曲线的焦点到渐近线的距离为4．【分析】先由题中条件求出焦点坐标和渐近线方程，再代入点到直线的距离公式即可求出结论．【解答】解：由题得：其焦点坐标为（﹣5，0），（5，0）．渐近线方程为y=±x，即±3y﹣4x=0，所以焦点到其渐近线的距离d==4．故答案为：4．6．（5分）从1，2，3，4，5这5个数中，随机抽取2个不同的数，则这2个数的和为偶数的概率是．【分析】从1，2，3，4，5这5个数中，随机抽取2个不同的数，求出基本事件总数和这2个数的和为偶数包含的基本事件个数，由此能求出这2个数的和为偶数的概率．【解答】解：从1，2，3，4，5这5个数中，随机抽取2个不同的数，基本事件总数n==10，这2个数的和为偶数包含的基本事件个数m==4，∴这2个数的和为偶数的概率：p==．故答案为：．7．（5分）已知等比数列{a n}满足a2+2a1=4，，则该数列的前5项的和为31．【分析】由题意可得首项和公比的方程组，解方程组代入求和公式计算可得．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a2+2a1=4，，∴a1（q+2）=4，a12q4=a1q4，联立解得a1=1，q=2，∴数列的前5项的和为=31故答案为：31．8．（5分）已知正四棱锥底面边长为，体积为32，则此四棱锥的侧棱长为5．【分析】利用体积求出正四棱锥的高，求出底面对角线的长，然后求解侧棱长．【解答】解：正四棱锥底面边长为，体积为32，可得正四棱锥的高为h，=32，解得h=3，底面对角线的长为：4=8，侧棱长为：=5．故答案为：5．9．（5分）已知函数（0≤x＜π），且（α≠β），则α+β=．【分析】由条件利用正弦函数的图象的对称性，求得α+β的值．【解答】解：∵函数（0≤x＜π），∴≤2x+＜，且（α≠β），不妨设α＜β，∴2α+=，2β+=2π+，∴2α+2β=，∴α+β=，故答案为：．10．（5分）已知=（cosα，sinα），=（2，1），a∈（﹣，），若•=1，则sin（2a+）=．【分析】通过数量积推出三角函数关系，然后利用诱导公式化简所求的表达式，利用平方关系式，即可求出结果．【解答】解：，，，，可得2cosα+sinα=1.，又sin2α+cos2α=1，解得co sα=，=﹣cos2α=1﹣2cos2α=1﹣2×=．故答案为：．11．（5分）已知a＞b＞1且2log a b+3log b a=7，则的最小值为3．【分析】由对数的运算可得b2=a，整体代入可得=a+=a﹣1++1，由基本不等式可得．【解答】解：∵a＞b＞1，∴t=log a b＜1，又∵2log a b+3log b a=7，∴2t+=7，解得t=，或t=3（舍去），∴t=log a b=，∴b2=a，∴=a+=a﹣1++1≥2+1=3，当且仅当a﹣1=即a=2且b=时取等号．故答案为：312．（5分）已知圆O：x2+y2=4，若不过原点O的直线l与圆O交于P、Q两点，且满足直线OP、PQ、OQ的斜率依次成等比数列，则直线l的斜率为±1．【分析】设P（x1，y1），Q（x2，y2）．由题意可设直线l的方程为：y=kx+t（t≠0），与圆的方程联立可得（1+k2）x2+2ktx+t2﹣4=0，得到根与系数的关系．利用直线OP、PQ、OQ的斜率成等比数列，可得=k2，化为k2=1，即可求出直线l的斜率．【解答】解：设P（x1，y1），Q（x2，y2）．由题意可设直线l的方程为：y=kx+t（t≠0，±1）．联立圆O：x2+y2=4，化为（1+k2）x2+2ktx+t2﹣4=0．∴x1+x2=﹣，x1x2=．∵直线OP、PQ、OQ的斜率成等比数列，∴=k2，∴（kx1+t）（kx2+t）=k2x1x2，化为tk（x1+x2）+t2=0，∴k•（﹣）+t=0，∴k2=1，∴k=±1．故答案为：±1．13．（5分）已知数列{a n}中，a1=a（0＜a≤2），a n+1=（n∈N*），记S n=a1+a2+…+a n，若S n=2015，则n=1343．【分析】a1=a（0＜a≤2），a n+1=（n∈N*），可得a2=﹣a1+3=3﹣a∈[1，3）．对a分类讨论：①当a∈[1，2]时，3﹣a∈[1，2]，∴a3=﹣a2+3=a，…．②当a∈（0，1）时，3﹣a∈（2，3），可得a3=a2﹣2=1﹣a∈（0，1），∴a4=﹣a3+3=a+2∈（2，3），a5=a4﹣2，对n分类讨论即可得出．【解答】解：∵a1=a（0＜a≤2），a n+1=（n∈N*），∴a2=﹣a1+3=3﹣a∈[1，3）．①当a∈[1，2]时，3﹣a∈[1，2]，∴a3=﹣a2+3=a，…．∴当n=2k﹣1，k∈N*时，a1+a2=a+3﹣a=3，∴S2k﹣1=3（k﹣1）+a=2015，a=1时舍去，a=2时，k=672，此时n=1343；当n=2k，k∈N*时，a1+a2=a+3﹣a=3，∴S2k=3k=2015，k=671+，不是整数，舍去；②当a∈（0，1）时，3﹣a∈（2，3），∴a3=a2﹣2=1﹣a∈（0，1），∴a4=﹣a3+3=a+2∈（2，3），a5=a4﹣2=a∈（2，3），…．当n=4k，k∈N*时，a1+a2+a3+a4=a+3﹣a+1﹣a+a+2=6，∴S4k=6k=2015，k不为整数，舍去；当n=4k﹣1，k∈N*时，a1+a2+a3=a+3﹣a+1﹣a=4﹣a，∴S4k﹣1=6（k﹣1）+（4﹣a）=2015，舍去；当n=4k﹣2，k∈N*时，a1+a2=3，∴S4k﹣2=6（k﹣1）+3=2015，舍去．当4k﹣3，k∈N*时，∴S4k=6（k﹣1）+a=2015，舍去．﹣2综上可得：n=1343．故答案为：1343．14．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=（|x ﹣a|+|x﹣2a|﹣3|a|）．若集合{x|f（x﹣1）﹣f（x）＞0，x∈R}=∅，则实数a的取值范围为．【分析】把x≥0时的f（x）改写成分段函数，求出其最小值，由函数的奇偶性可得x＜0时的函数的最大值，条件等价为对∀x∈R，都有f（x﹣1）≤f（x），进行转化求解即可求解该不等式得答案．【解答】解：若{x|f（x﹣1）﹣f（x）＞0，x∈R}=∅，则等价为f（x﹣1）﹣f（x）≤0恒成立，即f（x﹣1）≤f（x）恒成立，当x≥0时，f（x）=（|x﹣a|+|x﹣2a|﹣3|a|）．若a≤0，则当x≥0时，f（x）=（x﹣a+x﹣2a+3a）=x，∵f（x）是奇函数，∴若x＜0，则﹣x＞0，则f（﹣x）=﹣x=﹣f（x），则f（x）=x，x＜0，综上f（x）=x，此时函数为增函数，则f（x﹣1）≤f（x）恒成立，若a＞0，若0≤x≤a时，f（x）=[﹣x+a﹣（x﹣2a）﹣3a]=﹣x；当a＜x≤2a时，f（x）=[x﹣a﹣（x﹣2a）﹣3a]=﹣a；当x＞2a时，f（x）=（x﹣a+x﹣2a﹣3a）=x﹣3a．即当x≥0时，函数的最小值为﹣a，由于函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）的最大值为a，作出函数的图象如图：由于∀x∈R，f（x﹣1）≤f（x），故函数f（x﹣1）的图象不能在函数f（x）的图象的上方，结合图可得1﹣3a≥3a，即6a≤1，求得0＜a≤，综上a≤，故答案为：（﹣∞，]二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）如图，已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC，D、E分别为BC、CC1中点，BC1⊥B1D．（1）求证：DE∥平面ABC1；（2）求证：平面AB1D⊥平面ABC1．【分析】（1）推导出DE∥BC1，由此能证明DE∥平面ABC1．（2）推民导出CC1⊥AD，AD⊥BC，从而AD⊥平面BCC1B1，进而AD⊥BC1，由此能证明平面AB1D⊥平面ABC1．【解答】证明：（1）∵D、E分别为BC、CC1中点，∴DE∥BC1，…（2分）∵DE⊄平面ABC1，BC1⊂平面ABC1．∴DE∥平面ABC1．…（6分）（2）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，∵AD⊂平面ABC，∴CC1⊥AD，…（8分）∵AB=AC，D为BC中点，∴AD⊥BC，又∵CC1∩BC=C，CC1，BC⊂平面BCC1B1，∴AD⊥平面BCC1B1，∵BC1⊂平面BCC1B1，∴AD⊥BC1，…（11分）又∵BC1⊥B1D∩AD=D，B1D∩AD=D，B1D，AD⊂平面AB1D，∴BC1⊥平面AB1D，∵BC1⊂平面ABC1，∴平面AB1D⊥平面ABC1．…（14分）16．（14分）已知函数f（x）=ωx+sinωxcosωx（ω＞0）的周期为π．（1）当时，求函数f（x）的值域；（2）已知△ABC的内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若，且a=4，b+c=5，求△ABC的面积．【分析】（1）由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，利用正弦函数的周期性求得ω可得函数的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域求得当时，求函数f（x）的值域．（2）由条件求得A，利用余弦定理求得bc的值，可得△ABC的面积．【解答】解：（1）∵，∵f （x）的周期为π，且ω＞0，∴，解得ω=1，∴．又，得，，，即函数f（x）在[0，]上的值域为．（2）∵，∴，由A∈（0，π），知，解得：，所以．由余弦定理知：a2=b2+c2﹣2bccosA，即16=b2+c2﹣bc，∴16=（b+c）2﹣3bc．因为b+c=5，所以bc=3，∴．17．（15分）如图，已知椭圆=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，P 是椭圆上一点，M在PF1上，且满足（λ∈R），PO⊥F2M，O为坐标原点．（1）若椭圆方程为=1，且P（2，），求点M的横坐标；（2）若λ=2，求椭圆离心率e的取值范围．【分析】（1）由椭圆方程求得焦点坐标，求得OP，MF1，MF2，的斜率，求得直线F1M的方程，F2M的方程，求得交点，即可得到所求M的横坐标；（2）设P（x0，y0），M（x M，y M），运用向量的坐标和向量共线和垂直的条件，再由椭圆的性质可得﹣a＜x0＜a，解不等式即可得到所求离心率的范围．【解答】解：（1）∵椭圆的方程为∴F1（﹣2，0），F2（2，0），∴，∴直线F2M的方程为：，直线F1M的方程为：，由解得：，∴点M的横坐标为；（2）设P（x0，y0），M（x M，y M），∵∴∴，∵PO⊥F2M，∴即，联立方程得：，消去y0得：，解得：或，∵﹣a＜x0＜a，∴x0=∈（0，a），∴0＜a2﹣ac＜ac解得：，P位于右端点处，e=，综上，椭圆离心率e的取值范围为（，1）．18．（15分）某隧道设计为双向四车道，车道总宽20米，要求通行车辆限高4.5米，隧道口截面的拱线近似地看成抛物线形状的一部分，如图所示建立平面直角坐标系xOy．（1）若最大拱高h为6米，则隧道设计的拱宽l是多少？（2）为了使施工的土方工程量最小，需隧道口截面面积最小．现隧道口的最大拱高h不小于6米，则应如何设计拱高h和拱宽l，使得隧道口截面面积最小？（隧道口截面面积公式为S=lh）【分析】（1）设抛物线的方程为：y=﹣ax2（a＞0），利用待定系数法求出，由此能求出隧道设计的拱宽．（2）抛物线最大拱高为h米，h≥6，利用待定系数法求出，从而20＜l≤40，S=，由此利用导数性质能求出当拱高为米，拱宽为米时，使得隧道口截面面积最小．【解答】解：（1）设抛物线的方程为：y=﹣ax2（a＞0），则抛物线过点，代入抛物线方程解得：，…（3分）令y=﹣6，解得：x=±20，则隧道设计的拱宽l是40米．…（5分）（2）抛物线最大拱高为h米，h≥6，抛物线过点（10，﹣（h﹣）），代入抛物线方程得：令y=﹣h，则，解得：，则，，…（9分）∵h≥6，∴≥6，即20＜l≤40，∴，…（12分）∴，当时，S'＜0；当时，S'＞0，即S在上单调减，在（20，40]上单调增，∴S在时取得最小值，此时，答：当拱高为米，拱宽为米时，使得隧道口截面面积最小．…（15分）19．（16分）已知函数f（x）=（ax2+x+2）e x（a＞0），其中e是自然对数的底数．（1）当a=2时，求f（x）的极值；（2）若f（x）在[﹣2，2]上是单调增函数，求a的取值范围；（3）当a=1时，求整数t的所有值，使方程f（x）=x+4在[t，t+1]上有解．【分析】（1）求函数的导数，利用函数极值和导数之间的关系进行求解即可．（2）根据函数单调性和导数之间的关系进行转化求解即可．（3）根据函数单调性结合函数零点的判断条件进行求解即可．【解答】解：（1）f（x）=（2x2+x+2）e x，则f′（x）=（2x2+5x+3）e x=（x+1）（2x+3）e x…（2分）令f′（x）=0，∴，…（4分）（2）问题转化为f′（x）=[ax2+（2a+1）x+3]e x≥0在x∈[﹣2，2]上恒成立；又e x＞0即ax2+（2a+1）x+3≥0在x∈[﹣2，2]上恒成立；…（6分），令g（x）=ax2+（2a+1）x+3，∵a＞0，对称轴①当﹣1﹣≤﹣2，即时，g（x）在[﹣2，2]上单调增，∴g（x）的最小值g（x）=g（﹣2）=1＞0，∴0＜a ≤…（8分）②当﹣2＜﹣1﹣＜0，即时，g（x）在[﹣2，﹣1﹣]上单调减，在[﹣1﹣，2]上单调增，∴△=（2a+1）2﹣12a≤0，解得：，∴＜a≤1+，综上，a 的取值范围是．…（10分）（3）∵a=1，设h（x）=（x2+x+2）e x﹣x﹣4，h′（x）=（x2+3x+3）e x﹣1令φ（x）=（x2+3x+3）e x﹣1，φ′（x）=（x2+5x+6）e x令φ′（x）=（x2+5x+6）e x=0，得x=﹣2，﹣3∴，…（13分）∵，∴存在x0∈（﹣1，0），x∈（﹣∞，x0）时，φ（x）＜0，x∈（x0，+∞）时，φ（x）＞0∴h（x）在（﹣∞，x1）上单调减，在（x1，+∞）上单调增又∵由零点的存在性定理可知：h（x）=0的根x1∈（﹣4，﹣3），x2∈（0，1）即t=﹣4，0．…（16分）20．（16分）若数列{a n}中不超过f（m）的项数恰为b m（m∈N*），则称数列{b m}是数列{a n}的生成数列，称相应的函数f（m）是数列{a n}生成{b m}的控制函数．（1）已知a n=n2，且f（m）=m2，写出b1、b2、b3；（2）已知a n=2n，且f（m）=m，求{b m}的前m项和S m；（3）已知a n=2n，且f（m）=Am3（A∈N*），若数列{b m}中，b1，b2，b3是公差为d（d≠0）的等差数列，且b3=10，求d的值及A的值．【分析】（1）利用生成数列，与控制函数的意义即可得出．（2）对m分类讨论：可得b m．进而得出前n项和．（3）依题意：，f（1）=A，f（2）=8A，f（5）=125A，设b1=t，即数列{a n}中，不超过A的项恰有t项，所以2t≤A＜2t+1，同理：2t+d≤8A＜2t+d+1，2t+2d ≤125A＜2t+2d+1，可得d＜4，d为正整数，得出d=1，2，3，分类讨论即可得出．【解答】解：（1）m=1，则a1=1≤1，∴b1=1；m=2，则a1=1＜4，a2=4≤4，∴b2=2；m=3，则a1=1＜9，a2=4＜9，a3=9≤9，∴b3=3．（2）m为偶数时，则2n≤m，则；m为奇数时，则2n≤m﹣1，则；∴，m为偶数时，则；m为奇数时，则；∴．（3）依题意：，f（1）=A，f（2）=8A，f（5）=125A，设b1=t，即数列{a n}中，不超过A的项恰有t项，所以2t≤A＜2t+1，同理：2t+d≤8A＜2t+d+1，2t+2d≤125A＜2t+2d+1，可得：故，由以下关系：得d＜4，∵d为正整数，∴d=1，2，3．当d=1时，，不合题意，舍去；当d=2时，，不合题意，舍去；当d=3时，，，适合题意．此时，b1=t，b2=t+3，b5=t+6，∴t+3≤b3≤t+6．∵b3=10，∴4≤t≤7，∵t为整数，∴t=4，t=5，t=6或t=7．∵f（3）=27A，b3=10，∴210≤27A＜211，∴．当t=4时，，∴无解．当t=5时，，∴无解．当t=6时，，∴．当t=7时，，∴无解，∴．∵A∈N*，∴A=64或A=65．综上：d=3，A=64或65．第21页（共21页）。

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