扬州市2011—2012学年度高三数学第一学期检测试题
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扬州市2011—2012学年度第一学期检测试题高三数学2011.11第 一 部 分一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 集合M={}220x x x -<，N={}1x x <，则M ∩N= ▲ . 2. 复数z 满足条件z （1+i ）=2，则z = ▲ . 3. 已知()2,απ∈π，sin α，则tan α= ▲ .4. 已知向量a =（1,1），b =（2,x ），若a + b 与a -2b 平行，则实数x = ▲ .5. 函数()xf x x=e 的单调递增区间是 ▲ . 6. 已知a 、b 表示不重合的直线，α、β、γ表示不重合的平面，给出下列条件：①a ,b ,a ,b αββα⊂⊂ ； ②a ,b ,a b αβ⊥⊥ ； ③,αγβγ⊥⊥； ④,αγβγ .则αβ 的充分条件有 ▲ .（填上所有满足的条件的序号）7. 在等比数列｛a n ｝中，已知a 1 + a n = 66，a 2 a n -1=128，且前n 项和S n =126，则项数n = ▲ . 8. 已知O 为坐标原点，点M （x ,y ）为平面区域x y x y +⎧⎪⎨⎪⎩≥2≤1≤2上的动点，则x -y 的取值范围是▲ .9. 已知正四棱锥的底面边长为2，体积为4，则其侧面积为 ▲ .10. 在△ABC 中，D 为BC 的中点，AD =1，∠ADB =120o，若ABAC ，则BC = ▲ . 11. 已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC , ∠ADC =90o，AD =2，BC =1，P 为腰DC 上的动点，则23PA PB +的最小值为 ▲ . 12. 若实数a 、b 、c 满足()lg 1010a b a b +=+，()lg 101010a b c a b c ++=++，则c 的最大值是 ▲ . 13. 对于数列｛a n ｝，定义数列｛b n ｝、｛c n ｝：b n = a n +1- a n ，c n = b n +1 - b n .若数列｛c n ｝的所有项均为1，且a 10=a 20=0，则a 30= ▲ .14. 已知a > 0,方程x 2-2ax -2a ln x =0有唯一解,则a = ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15. （本小题满分14分）已知数列｛a n ｝是公差为2的等差数列，其前n 项和为S n 且a 1、a 4、a 16成等比数列. （Ⅰ）求数列｛a n ｝的通项公式；（Ⅱ）求1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为T n .16. （本小题满分14分）已知向量a =(cos x ,sin x ),b =(2sin x ,sin x-cos x ),c =(-1,0).（Ⅰ）若x =6π,求向量a 与c 的夹角；（Ⅱ）当x 928,ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,函数f (x )=p a ·b +q (p >0)的最大值为1,最小值为,求p 、q的值.如图，在四棱锥P -ABCD 中，AB ∥CD ，CD =2AB ，E 为PC 的中点. （Ⅰ）求证：BE ∥平面P AD ；（Ⅱ）若AB ⊥平面P AD ，平面PBA ⊥平面PBD ，求证：P A ⊥PD .18. （本小题满分14分）如图是一个储油罐，它的下部是圆柱，上部是半球，半球的半径等于圆柱底面的半径. （Ⅰ）若圆柱的底面直径和高都是6米，求此储油罐的容积和表面积；（Ⅱ）若容积一定，当圆柱的高与底的半径的比是多少时，制造这种储油罐的成本最低（即此几何体的表面积最小）？（球的表面积公式是S=4πR 2，体积公式是43πR 3，R 是球的半径）B DP A E已知()()0a f x x x x =+>，当[]13x ,∈时，()f x 的值域为A ，且A []()n,m n m ⊆<.（Ⅰ）若a =1,求m －n 的最小值； （Ⅱ）若m =16，n =8，求a 的值；（Ⅲ）若m －n ≤1，且A []n,m =，求a 的取值范围.20. （本小题满分14分）已知常数a ≠0，数列｛a n ｝前n 项和为S n ，a 1=1，且()1nn S a a n n=+-. （Ⅰ）求证：数列｛a n ｝为等差数列；（Ⅱ）若b n =3n+(－1)n a n ,且数列｛b n ｝是单调递增数列，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）若a =12，数列｛c n ｝满足：2011nn n a c a =+，对于任意给定的正整数k ，是否存在p 、q *∈N ，使得c k =c p ·c q ？若存在，求出p 、q 的值（只要写出一组即可）；若不存在说明理由.扬州市2011—2012学年度第一学期期中调研测试试题高 三 数 学 参 考 答 案1．(0,1) 2．1i - 3．12-4．2 5．(1,)+∞(或[1,)+∞) 6．②④ 7．6 8．[2,0]- 9． 10．2 11．7 12．4lg3 13．100 14．1215．（Ⅰ）因为1a 、4a 、16a 成等比数列，所以16124a a a ⋅=， ┄┄┄2分则2111(6)(30)a a a +=+，解得12a =， ┄┄┄5分 故n a n 2=； ┄┄┄7分 （Ⅱ）因为)1(2)22(+=+=n n nn S n ， ┄┄┄9分 则111)1(11+-=+=n n n n S n ， ┄┄┄11分 1111)111()3121()2111(+=+-=+-+⋅⋅⋅+-+-=n n n n n T n ． ┄┄┄14分16．（Ⅰ）当6π=x 时，||||,cos c a ⋅>=<x cos -=23-= ┄┄┄4分 π>≤≤<,0 ，65,π>=∴<． ┄┄┄6分 （II ）a b ⋅ 22sin cos sin sin cos x x x x x =+-)24x π=- ┄┄┄9分]89,2[ππ∈x ，]2,43[42πππ∈-∴x ，∴]22,1[)42sin(-∈-πx ． ┄11分 ∵ 0>p ，∴11()22p q p q +=⎧⎪⎨-++=⎪⎩21p q =⎧⎨=-⎩． ┄┄┄14分17．（Ⅰ）（思路1：转化为线线平行，构造一个平行四边形ABEF ，其中F 为PD 的中点） 取PD 中点F ，连AF 、EF ，则EF 为中位线∴EF ∥CD 且EF =12CD ┄┄┄2分 又∵AB ∥CD 且AB =12CD ∴EF ∥AB 且EF =AB ∴四边形ABEF 为平行四边形 ┄┄┄5分 ∴BE ∥AF ，∵BE ⊄面P AD ，AF ⊂面P AD ，∴BE ∥面P AD ； ┄┄┄8分（思路2：转化为线线平行，延长DA 、CB ，交于点F ，连结PF ，易知BE ∥PF ） （思路3：转化为面面平行，取CD 中点F ，易证平面BEF ∥平面P AD ） （思路2、3参照思路1给分）（Ⅱ）在平面PBA 内作AH PB ⊥于H ，∵平面PBA ⊥平面PBD 且平面PBA ⋂平面PBD =PB ∴AH ⊥平面PBD ┄12分 ∴AH PD ⊥，又∵AB ⊥平面P AD ，∴AB ⊥PD ，∵AB AH ⋂=A ∴PD ⊥平面PBA ，∴P A ⊥PD ． ┄┄┄15分18．设圆柱的底面半径为r ，高为h ， （Ⅰ）∵32183V r ππ==半球，254V r h ππ==圆柱， ∴容积V V V =+半球圆柱=72π（米3）， ┄┄┄3分 ∵2218S r ππ==半球，236S rh ππ==圆柱侧，29S r ππ==圆柱底，∴表面积63S S S S π=++=半球圆柱侧圆柱底（米2）； ┄┄┄6分（Ⅱ）∵3223V V V r r h ππ=+=+半球圆柱，∴3223V r h rππ-=， ┄┄┄8分 ∴2222S S S S r rh r πππ=++=++半球圆柱侧圆柱底3222323V r r r rππππ-=⨯+2253V r r π=+， ┄┄┄10分 ∴2210'3V r S r π=-+，令'0S =得335V r π=时表面积有最小值， ┄┄┄13分此时333225231333V r h V r r r πππ-==-=-=． 即圆柱的高与底的比为1时，制造这种储油罐的成本最低． ┄┄┄15分19．（Ⅰ）∵1a =，∴()f x 在区间[1,3]上单调递增，∴()[(1),(3)]f x f f ∈， ┄┄3分∴当[1,3]x ∈时，4(3)(1)3m n f f -≥-=即m n -的最小值是43； ┄┄5分 （Ⅱ）解法一∵当0x >时，()af x x x=+在上单调递减，在)+∞上单调递增， ∴⎧⎨⎩(1)(3)f m f m ≤≤⇒⎧⎨⎩1163163a a+≤+≤⇒15a ≤ ┄┄┄6分1，即01a <≤时，()af x x x=+在[1,3]单调递增， ∴(1)f n ≥，7a ≥（舍去）；②当13<<，即19a <<时，()af x x x=+的最小值是∴n ≥，16a ≥（舍去）；3，即9a ≥时， ()af x x x=+在[1,3]单调递减， ∴(3)f n ≥，15a ≥． ┄┄┄9分 综上可得：15a =． ┄┄┄10分 解法二 当16m =时，16ax x+≤恒成立，即216a x x ≤-恒成立， ∴[]()2min16,1,315a x x x ≤-+∈=； ┄┄┄7分当8n =时，8ax x+≥恒成立，即28a x x ≥-恒成立， ∴[]()2max8,1,315a x x x ≥-+∈=； ┄┄┄9分综上可得：15a =． ┄┄┄10分1≤，即01a <≤时，()af x x x=+在[1,3]单调递增，∴⎧⎨⎩21(3)(1)2301m n f f a a ≥-=-=-<≤，无解； ┄┄┄11分②当13<<即19a <<时()af x x x=+在递减，在递增，∴1(3)13m n f f a ⎧≥-=-⎪⎨<≤⎪⎩或1(1)39m n f f a ⎧≥-=-⎪⎨<<⎪⎩∴124a -≤≤ ┄┄┄13分3≥，即9a ≥时，函数()f x 在区间[1,3]上单调递减，∴⎧⎨⎩21(1)(3)239m n f f a a ≥-=-=-≥，无解； ┄┄┄14分综上可得：124a -≤ ┄┄┄16分20．（Ⅰ）∵(1)nn S a a n n=+-∴(1)n n S na an n =--，11n n n a S S ++=-， ┄┄┄2分 ∴11[(1)(1)][(1)]n n n a n a a n n na an n ++=+-+---化简得：12n n a a a +-=（常数），∴数列{}n a 是以1为首项，公差为2a 的等差数列； ┄┄┄4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知12(1)n a a n =+-，又∵3(1)n n n n b a =+-，1n n b b +<，∴1113(1)3(1)n n n n n n a a ++++-<+-，∴(1)[1(21)]3nnn a -+-<①当n 是奇数时，∵[1(21)]3nn a -+-<，∴3121n a n +>--，1,3,5,7,n =令31()21n f n n +=--，∴max ()a f n >∵231314(43)34(2)()02321(21)(23)n n n n f n f n n n n n +++--++-=-+=<+--+∴(1)(3)(5)()f f f f n >>>>> ，且(1)4f =-，∴4a >-； ┄7分②当n 是偶数时，∵1(21)3nn a +-<，∴3121n a n -<-，2,4,6,8,n =令31()21n g n n -=-，∴min ()a g n <∵231314(43)34(2)()02321(21)(23)n n n n g n g n n n n n +---++-=-=>+--+∴(2)(4)(6)()g g g g n <<<<< ，且8(2)3g =，∴8(2)3a g <=；综上可得：实数a 的取值范围是8(4,)3-． ┄10分（Ⅲ）由（Ⅰ）知，n a n =，又∵2011n nc n =+，设对任意正整数k ，都存在正整数,p q ，使k p q c c c =，∴201120112011k p q k p q =⋅+++，∴(2011)k q p q k+=- ┄┄┄12分 令1q k =+，则(2012)p k k =+（或2,22011q k p k ==+）∴(2012)1k k k k c c c ++=⋅（或220112k k k c c c +=⋅） ┄16分扬州市2011—2012学年度第一学期检测试题高三数学2011.11第二部分（加试部分）21.（本题满分10分）已知矩阵22bd⎛⎫= ⎪⎝⎭A，若矩阵A属于特征值2的一个特征向量32⎛⎫= ⎪-⎝⎭e.求矩阵A22.（本题满分10分）某中学排球队进行发球训练，每人在一轮练习中最多可发球3次，且规定一旦发球成功即停止该轮练习，否则一直发到3次为止.已知队员甲发球成功的概率为0.6，求一轮练习中队员甲的发球次数ξ的分布列，并求出的数学期望Eξ.23.（本题满分10分）如图,已知三棱锥O —ABC 的侧棱OA ，OB ，OC 两两垂直，且OA =2，O B =2，OC =4，E 是OC 的中点，求二面角E —AB —C 的余弦值.24.（本题满分10分）已知二项式)1nx ，其中n ∈N ，且n ≥3. （Ⅰ）若再展开式中，第4项是常数项，求n;（Ⅱ）设n ≤2012，在其展开式中，若存在连续三项的二项式．．．系数成等差数列，问这样的n 共有多少个？B E O A理科加试部分21．依题意：2A =e e ， ┄┄4分即2332222b d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，∴⎧⎨⎩ 626624b d -=-=-⇒⎧⎨⎩05b d == ┄┄8分 ∴2025A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦． ┄┄10分22．ξ的可能取值为1，2，3.当1ξ=时，(1)0.6P ξ==，当2ξ=时，(2)0.6(10.6)0.24p ξ==⨯-=，当3ξ=时，2(3)(10.6)0.16P ξ==-=∴ξ的分布列为………………6分∴ξ的数学期望10.620.2430.16 1.56E ξ=⨯+⨯+⨯=. ………………10分23．以O 为原点，OB ，OC ，OA 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则有 A （0，0，2），B （2，0，0），C （0，4，0），E （0，2，0），(3 0 2)AB =- ，，，(0 2 2)AE =- ，，，(0 4 2)AC =- ，，， ………………3分 设平面ABE 的法向量为1()x y z =，，n ，则由1AB ⊥ n ，1AE ⊥ n ，得220,220.x z y z -=⎧⎨-=⎩，取1(1 1 1)=，，n ， ……..5分 由2AB ⊥ n ，2AC ⊥ n ，得220,420.x z y z -=⎧⎨-=⎩，取2(2 1 2)=，，n ， ……..7分所以121212cos||||⋅<>===⋅，nnnnnn为二面角A－BE－C的余弦值．……..10分24．（Ⅰ）∵5183333534)1(C)1()(C---=-=nnnnxxxT为常数项，∴518-n=0，即18=n；………..3分（Ⅱ）连续三项的二项式系数分别为1-knC、knC、1+knC（11-≤≤nk），由题意112+-+=knknknCCC，依组合数的定义展开并整理得024)14(22=-++-knkn，故298142,1+±+=kkn，………..6分则2)12(98+=+mk222-+=⇒mmk，代入整理得2)1(21-+=mn，222-=mn，1936442=，2025452=，故n的取值为2442-，2432-，…，232-，共42个．………..10分。
