江苏省扬州市2017~2018学年第一学期期末试卷(高一数学)含答案

扬州市2017-2018学年度第一学期期末检测试题高三数学2017-2018学年度第一学期期末检测试题高三数学2018.2第一部分一、 填空题1. 若集合A ={x |1<x <3}，B ={0,1,2,3}，则A ∩B =___________。

2. 若复数(a −2ⅈ)(1+3ⅈ)是纯虚数，则实数a 的值为__________。

3. 若数据31，37，33，a ，35的平均数是34，则这组数据的标准差为_________。

4. 为了了解某学校男生的身体发育情况，随机调查了该校100名男生的体重情况，整理所得数据并画出样本的频率分布直方图，根据此图估计该校2000名男生中体重在70-80kg 的人数为________。

5. 运行右边的流程图，输出的结果是_________。

6. 从两名男生2名女生中任选两人，则恰有一男一女的概率为__________。

7. 若圆锥的侧面展开图是面积为3π且圆心角为2π3的扇形，则此圆锥的体积为______。

8. 若实数x ，y 满足{x ≤4y ≤33x +4y ≥12，则x 2+y 2的取值范围是________。

9. 已知各项都是正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若4a 4,a 3,6a 5成等差数列，且a 3=3a 22，则S 3=_________。

10. 在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的渐近线与圆x 2+y 2−6y +5=0没有焦点，则双曲线离心率的取值范围是__________。

11. 已知函数f (x )=sⅈn x −x +1−4x 2x，则关于x 的不等式f (1−x 2)+f (5x −7)<0的解集为_________。

12. 已知正ΔABC 的边长为2，点P 为线段AB 中垂线上任意一点，Q 为射线AP 上一点，且满足AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1，则|CQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值为_________。

江苏省扬州中学2017-2018学年度第一学期阶段性测试高一数学2017.12 第Ⅰ卷（共60分）一、填空题：（本大题共14个小题,每小题5分,共70分．将答案填在答题纸上．） 1．若{}224,x x x ∈++，则x = ．2．计算：2331log 98-⎛⎫+= ⎪⎝⎭．3．sin1320︒的值为 ． 4．若一个幂函数()f x 的图象过点12,4⎛⎫⎪⎝⎭，则()f x 的解析式为 ． 5．方程lg 2x x +=的根()0,1x k k ∈+，其中k Z ∈，则k = ． 6．函数()tan 24f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的定义域为 ．7．函数()2log 23a y x =-+（0a >，且1a ≠）恒过定点的坐标为 ． 8．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为 ．9．已知点P 在直线AB 上，且4AB AP =uu u r uu u r ，设AP PB λ=uu u r uu r，则实数λ= ．10．设函数()sin 0y x ωω=>在区间,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，则ω的取值范围为 ．11．若关于x 的方程21220xx a +-+=在[]0,1内有解，则实数a 的取值范围是 ．12．点E 是正方形ABCD 的边CD 的中点，若2AE DB ⋅=-uu u r uu u r ，则AE BE ⋅=uu u r uur．13．已知函数()4f x x a a x=+-+在区间[]1,4上的最大值为32，则实数a = ． 14．已知函数()()22,22,2x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，则函数()()1528y f x f x =+--有 个零点．第Ⅱ卷（共90分）二、解答题 （本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．设全集U R =，集合{}121x A x -=≥，{}2450B x x x =--<. （1）求A B I ，()()U U C A C B U ；（2）设集合{}121C x m x m =+<<-，若B C C =I ，求实数m 的取值范围.16．设()2,1OA =-uu r ，()3,0OB =uu u r ，(),3OC m =uu u r.（1）当8m =时，将OC uuu r 用OA uu r 和OB uu u r表示；（2）若A B C 、、三点能构成三角形，求实数m 应满足的条件. 17． 已知函数()()sin 0,03f x A x A πωω⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.（1）求A 和ω的值；（2）求函数()y f x =在[]0,π的单调增区间；（3）若函数()()1g x f x =+在区间(),a b 上恰有10个零点，求b a -得最大值.18． 某批发公司批发某商品，每件商品进价80元，批发价120元，该批发商为鼓励经销商批发，决定当一次批发量超过100个时，每多批发一个，批发的全部商品的单价就降低0.04元，但最低批发价不能低于102元.（1）当一次订购量为多少个时，每件商品的实际批发价位102元？（2）当一次订购量为x 个，每件商品的实际批发价为P 元，写出函数()P f x =的表达式； （3）根据市场调查发现，经销商一次最大订购量为500个，则当经销商一次批发多少个零件时，该批发公司可获得最大利润.19． 已知定义在实数集R 上的偶函数()f x 在区间(],0-∞上是单调递增，且()20f -=. （1）若()12sin 21f f x ⎛⎫<⎪+⎝⎭，求x 的取值范围；（2）若()5cos 216g x x a π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，7,242x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，a R ∈.是否存在实数a ，使得()0f g x >⎡⎤⎣⎦恒成立？若存在，求a 的范围；若不存在，说明理由.20． 已知函数()()()log 101a f x x a =+<<，()()2log 33a g x x x =-+. （1）解关于x 的不等式()()g x f x >； （2）若函数()g x 在区间[]3,2m n m ⎛⎫> ⎪⎝⎭上的值域为()()log 3,log 3a a t n t m ++⎡⎤⎣⎦，求实数t 的取值范围； （3）设函数()()()f xg x F x a -=，求满足()F x Z ∈的x 的集合.高一数学参考答案及评分标准一、填空题1．1 2．6 3．2-4．()2f x x -= 5．1 6．3,28k x x k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭7．()3,3 8．6 9．13，15- 10．(]0,2 11．[]0,1 12． 3 13．18 14． 4 二、解答题15．解：（1）∵{}1A x x =≥，{}15B x x =-<<∴{}15A B x x =≤<I ，()(){}15U U C A C B x x x =<≥或U （2）当C =∅时，211m m -<+ 即2m <当C B ⊆时，12111215m m m m +<-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩解之得33m <≤综上所述：m 的取值范围是(],3-∞.16．解：（1）当8m =时，()8,3OC =uu u r，设OC xOA yOB =+uu u r uu r uu u r，则()()()()8,32,13,023,x y x y x =-+=+-∴2383x y x +=⎧⎨-=⎩∴3143x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩；（2）∵A B C 、、三点能构成三角形∴,AB AC uu u r uuu r不共线又()1,1AB =uu u r ，()2,4AC m =-uu u r∴()14120m ⨯-⨯-≠，∴6m ≠. 17．解：（1）2A =，243124T πππω=-=，2ω= 所以()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）令222232k x k πππππ-+≤+≤+，k Z ∈得51212k x k ππππ-+≤≤+ 又因为[]0,x π∈，所以函数()y f x =在[]0,π的单调增区间为0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和7,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 注：区间端点可开可闭，都不扣分. （3）()2sin 213f x x π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭， 得512x k ππ=+或()34x k k Z ππ=+∈ 函数()f x 在每个周期上有两个零点，所以共有5个周期， 所以b a -最大值为217533T ππ+=. 18．解：（1）设一次订购量为()100n n N +∈， 则批发价为1200.04n -，令1200.04102n -=， ∴1201020.04n -=，∴450n =，所以当一次订购量为550个时，每件商品的实际批发价为102元.（2）由题意知()()1200100,1200.0410*******,x x N f x x x x N⎧≤≤∈⎪=⎨--<≤∈⎪⎩（3）当经销商一次批发个零件x 时，该批发公司可获得利润为y ，根据题意知：()()400100400.0410*******xx f x x x x ⎧≤≤⎪=⎨--⋅<≤⎡⎤⎪⎣⎦⎩ 设()140f x x =，在100x =时，取得最大值为4000；设()220.0444f x x x =-+=()220.045500.04550x --+⨯，所以当500x =时，()2f x 取最大值.答：当经销商一次批发500个零件时，该批发公司可获得最大利润. 19．解：（1）∵()f x 为偶函数， ∴()()220f f -==∵偶函数()f x 在(],0-∞上单调递增 ∴()f x 在[)0,+∞上单调递减 ∴12sin 21x >+∴12sin 21x >+或12sin 21x <-+ ∴31sin 2,11,22x ⎛⎫⎛⎫∈---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U ，又[]sin 21,1x ∈-，∴1sin 21,2x ⎛⎫∈--⎪⎝⎭故x 的取值范围为73311,,124412k k k k ππππππππ⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U ，()k Z ∈（2）由题意知，当22t -<<时，()0f t > 又()sin 213g x x a π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，7,242x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∵7,242x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴22,343x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，∴sin 2123x π⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭ 要使()0f g x >⎡⎤⎣⎦恒成立，则()22g x -<<恒成立 ①当0a >时，则()11g x a ≤≤-+12a -+<，01a <<②当0a =时，()1g x =显然成立 ③当0a <时，则()11a g x -+≤≤12a -+>-，∴30a -<<综上所述，使()0f g x >⎡⎤⎣⎦恒成立时，a的范围为31a -<<.20．解：（1）原不等式等价于20331x x x <-+<+，解得22x <故解集为(22.（2）∵23324y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在32x >上是单调递增的，又01a <<，（或设1232x x >>，则120x x ->，123x x +>， ∴()()2211223333x x x x -+--+=()()121230x x x x -+->⎡⎤⎣⎦ ∴()()2211223333x x x x -+>-+，∵01a <<，∴()()221122log 33log 33a a x x x x -+<-+）所以函数()g x 在区间[]3,2m n m ⎛⎫>⎪⎝⎭上为减函数，因此 ()()()2log 33log 3a a g m m m t m =-+=+，()()()2log 33log 3a a g n n n t n =-+=+.即2333m m t m -+=+，2333n n t n -+=+,32m n ⎛⎫<<⎪⎝⎭. 所以m n 、是方程2333x x t x -+=+，3,2x ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭的两个相异的解. 设()263h x x x t =-+-，则()36430393630242332t h t ⎧⎪∆=-->⎪⎪⎛⎫=-⨯+->⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪>⎪⎩所以1564t -<<-为所求. （3）()()()()()()2log 1log 332133a a x x x f x g x x F x a ax x +--+-+===-+，()1x >-∵()71551x x ++-≥+，当且仅当1x =时等号成立，（可用对勾函数单调性说明，不证不扣分）∴()211733151x x x x x ⎛+=∈ -+⎝⎦++-+，∵5343<<，∴()F x 有可能取得整数有且只有1,2,3， 当21133x x x +=-+时，解得2x =，2x =当21233x x x +=-+时，解得5,12x x ==； 当21333x x x +=-+时，解得2x =，43x =.故集合451,2,,,2232M ⎧=-⎨⎩.。

2017-2018学年江苏省扬州市高一（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共14小题，共60.0分）1.设集合A={0，1}，B={1，3}，则A∪B=______．2.tan=______．3.设幂函数f（x）的图象过点（2，），则f（4）=______．4.函数f（x）=x3sin x的奇偶性为______函数．（在“奇”、“偶”、“非奇非偶”、“既奇又偶”中选择）5.已知扇形的面积为4cm2，该扇形圆心角的弧度数是，则扇形的周长为______cm．6.（）+log49•log32=______．7.已知单位向量，的夹角为60°，则||______．8.已知cos（）=，则sin（）=______．9.如图，在△ABC中，==2，若，则λ-μ=______．10.不等式2-x≤log2（x+1）的解集是______．11.已知△ABC的面积为16，BC=8，则的取值范围是______．12.已知函数f（x）=2sin（ωx-）（ω＞0）与g（x）=cos（2x+θ）（0＜θ＜π）的零点完全相同，则g（）=______．13.设函数f（x）=a x-（k-1）a-x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．若f（1）=，且g（x）=a2x+a-2x-2mf（x）在[1，+∞）上的最小值为-2，则m的值为______．14.设a为实数，函数f（x）=（3-x）|x-a|-a，x∈R，若f（x）在R上不是单调函数，则实数a的取值范围为______．二、解答题（本大题共6小题，共90.0分）15.已知函数f（x）=的定义域为A，集合B={x|2≤2x≤16}，非空集合C={x|m+1≤x≤2m-1}，全集为实数集R．（1）求集合A∩B和∁R B；（2）若A∪C=A，求实数m取值的集合．16.已知向量=（2，1），=（sin（π-α），2cosα）（1）若α=，求证： ⊥；（2）若向量，共线．求||17.函数f（x）=2sin（ωx+φ）（其中ω＞0，|φ|＜），若函数f（x）的图象与x轴的任意两个相邻交点间的距离为且过点（0，1）．（1）求f（x）的解析式；（2）求f（x）的单调增区间：（3）求f（x）在（-，0）的值域．18.近年来，共享单车的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资240万元，根据行业规定，每个城市至少要投资80万元，由前期市场调研可知：甲城市收益p与投入a（单位：万元）满足p=4-6，乙城市收益Q与投入a（单位：万元）满足：Q=，，＜，设甲城市的投入为x（单位：万元），两个城市的总收益为f（x）（单位：万元）．（1）当投资甲城市128万元时，求此时公司总收益；（2）试问如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使公司总收益最大？19.已知关于x的函数g（x）=mx2-2（m-1）x+n为R上的偶函数，且在区间[-1，3]上的最大值为10．设f（x）=．（1）求函数的解析式；（2）若不等式f（2x）-k•2x≤2在x∈[-1，1]上恒成立，求实数k的取值范围；（3）是否存在实数t，使得关于x的方程f（|2x-1|）+-3t-2=0有四个不相等的实数根？如果存在，求出实数t的范围，如果不存在，说明理由．20.已知函数f（x）=lg．（1）求不等式f（f（x））+f（1g2）＞0的解集；（2）函数g（x）=2-a x（a＞0，a≠1），若存在x1，x2∈[0，1），使得f（x1）=g（x2）成立，求实数a的取值范围；（3）若函数h（x）=或，讨论函数y=h（h（x））-2的零点个数（直接写出答案，不要求写出解题过程）．答案和解析1.【答案】{0，1，3}【解析】解：设集合A={0，1}，B={1，3}，则A∪B={0，1，3}，故答案为：{0，1，3}找出两集合的并集即可．此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．2.【答案】【解析】解：tan=tan（2π+）=tan=．故答案为：．直接利用诱导公式以及特殊角的三角函数求值即可．本题考查诱导公式的应用，特殊角的三角函数求值，考查计算能力．3.【答案】2【解析】解：设f（x）=x a，因为幂函数图象过（2，），则有=2a，∴a=，即f（x）=，∴f（4）==2故答案为：2．设出幂函数的解析式，由图象过（2，），确定出解析式，然后令x=4即可得到f（4）的值．考查学生会利用待定系数法求幂函数的解析式．会根据自变量的值求幂函数的函数值．4.【答案】偶【解析】解：函数f（x）=x3sinx的定义域关于原点对称，函数y=x3，是奇函数，函数y=sinx也是奇函数，由奇×奇=偶，∴函数f（x）=x3sinx是偶函数．故答案为：偶．定义域关于原点对称，奇×奇=偶，可得答案．解决函数的奇偶性时，一定要注意定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件，属于基础题．5.【答案】10【解析】解：设扇形的弧长为l，半径为r，∵扇形圆心角的弧度数是，∴l=r，∵S=lr=4，扇∴•r•r=4，∴r2=16，r=4．∴其周长c=l+2r=2+8=10．故答案为：10．设扇形的弧长为l，半径为r，利用弧长公式，扇形的面积公式可求r，即可得解周长的值．本题考查扇形面积公式，关键在于掌握弧长公式，扇形面积公式及其应用，属于基础题．6.【答案】【解析】解：（）+log49•log32=．故答案为：．直接由分数指数幂和对数的运算性质计算得答案．本题考查了对数的运算性质，是基础题．7.【答案】=解：单位向量，的夹角为60°，则=+2•+=1+2×1×1×cos60°+1=3，∴|+2|=．故答案为：．根据平面向量的数量积求模长即可．本题考查了平面向量的数量积与模长公式的应用问题，是基础题．8.【答案】【解析】解：已知cos（）=，则sin（）=-cos（）=-cos（）=-．故答案为：-．利用已知条件，对三角函数的关系式进行变换，利用sin进一步求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，角的变换的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于与基础题型．9.【答案】-【解析】解：根据题意得：AD=2DC，BE=2EA，∴=；=，∴=-=（+）-=-+∴λ=-，μ=；故答案为-．=-，运用共线向量的知识可得λ和μ的值．本题考查平面向量基本定理的应用．10.【答案】[1，+∞）解：令g（x）=log2（x+1）-（2-x），则不等式2-x≤log2（x+1）⇔g（x）≥0，∵g′（x）=，故g（x）=log2（x+1）-（2-x）在（-1，+∞）上为增函数，又g（1）=log22-（2-1）=0，∴g（x）≥0⇒g（x）≥g（1）⇒x≥1．∴不等式2-x≤log2（x+1）的解集是[1，+∞）．故答案为：[1，+∞）．构造函数g（x）=log2（x+1）-（2-x），利用导数证明g（x）=log2（x+1）-（2-x）在（-1，+∞）上为增函数，且g（x）≥0，可得g（x）≥g（1），则x≥1，由此可得原不等式的解集．本题考查对数不等式的解法，训练了利用导数研究函数的单调性，是中档题．11.【答案】[0，+∞）【解析】解：建立平面直角坐标系如图所示，设△ABC边BC上的高为h，则面积为×8h=16，解得h=4，又A（0，4），设C（x，0），则B（x-8，0），x∈R；∴=（x-8，-4），=（x，-4）；则=x（x-8）+16=x2-8x+16=（x-4）2≥0，∴•的取值范围是[0，+∞）．建立平面直角坐标系，利用坐标表示△ABC顶点的坐标，求出的取值范围．本题考查了平面向量的数量积应用问题，是基础题．12.【答案】【解析】解：∵函数f（x）=2sin（ωx-）（ω＞0）与g（x）=cos（2x+θ）（0＜θ＜π）的零点完全相同，∴两函数周期相同，则ω=2，∴f（x）=2sin（2x-），由，可得x=，k∈Z；∴g（）=cos（）=±cos（）=0，则=，k∈Z．∴θ=，k∈Z．取k=0，可得．则g（x）=cos（2x+θ）=cos（2x），∴g（）=cos（）=cos=．故答案为：．由已知可知两函数周期相等，求得ω，由两函数零点相同求得θ值，则g（）可求．本题考查三角函数的化简求值，考查y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，是中档题．13.【答案】【解析】解：函数f（x）=a x-（k-1）a-x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数，可得f（0）=0，即1-（k-1）=0，可得k=2，由f（1）=，可得a-a-1=，解得a=2，则g（x）=a2x+a-2x-2mf（x）=22x+2-2x-2m（2x-2-x），可令t=2x-2-x，由x≥1，可得t≥，可得函数y=t2+t（2-2m），当m-1≥时，g（x）的最小值为-（m-1）2，由-（m-1）2=-2，解得m=1±＜，不成立；当m-1＜时，g（x）的最小值为+（2-2m），由+（2-2m）=-2，解得m=＜成立．故答案为：．由奇函数的性质可得f（0）=0，可得k=2，由条件解方程可得a=2，求得g（x）=22x+2-2x-2m（2x-2-x），可令t=2x-2-x，由x≥1，可得t≥，可得函数y=t2+t（2-2m），讨论对称轴与区间的关系，结合单调性可得最小值，解方程可得m 的值．本题考查函数的奇偶性的定义和指数函数的单调性，考查换元法和二次函数的最值求法，考查运算能力，属于中档题．14.【答案】{a|a≠3}【解析】解：根据题意，f（x）=（3-x）|x-a|-a=，二次函数y=x2-（a+3）x+2a的对称轴为x=＜a，二次函数y=-x2+（a+3）x-4a的对称轴也为x=，若＜a，即a＞3时，二次函数y=x2-（a+3）x+2a在（0，a）上不单调，符合题意；若＞a，即a＜3时，二次函数y=-x2+（a+3）x-4a在（a，+∞）上不单调，符合若=a，即a=3时，二次函数y=x2-（a+3）x+2a在（0，a）上单调减，二次函数y=-x2+（a+3）x-4a在（a，+∞）上单调减，此时函数f（x）在R上单调递减，不符合题意；则a的取值范围为{a|a≠3}；故答案为：{a|a≠3}．根据题意，将函数的解析式写成分段函数的形式即f（x）=，结合二次函数的性质分析其对称轴，综合即可得答案．本题考查分段函数的应用，涉及函数的单调性的性质，注意结合二次函数的性质进行分析．15.【答案】解：（1）由-x2+5x-6≥0得：2≤x≤3，故A=[2，3]，集合B={x|2≤2x≤16}=[1，4]，则A∩B=[2，3]，∁R B=（-∞，1）∪（4，+∞）；（2）若A∪C=A，则C⊆A＋，解得：1≤m≤2，∴m=2，当m≥2时，C≠∅，则综上可得实数m取值的集合．【解析】本题考查的知识点是集合的交并补混合运算，难度不大，属于基础题．（1）解不等式分别求出AB，进而可得集合A∩B和∁R B；（2）若A∪C=A，则C⊆A，求出满足条件的m，可得答案．16.【答案】证明：（1）∵向量=（2，1），=（sin（π-α），2cosα），α=，∴=（sin，2cos）=（，-），∴=2×+1×（-）=0．∴ ⊥．解：（2）∵向量=（2，1），=（sin（π-α），2cosα）向量，共线．∴sinα=4cosα，∵sin2α+cos2α=17cos2α=1，∴sin2α=，cos2α=，∴||====．【解析】（1）向量=（2，1），α=时，=（sin，2cos）=（，-），由=0．能证明⊥．（2）由向量，共线．得sinα=4cosα，从而sin2α+cos2α=17cos2α=1，进崦sin2α=，cos2α=，由此能求出||．本题考查向量垂直的证明，考查向量模的求法，考查向量垂直、向量共线等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．17.【答案】解：（1）∵函数f（x）=2sin（ωx+φ）（其中ω＞0，|φ|＜），若函数f（x）的图象与x轴的任意两个相邻交点间的距离为，∴=2×，∴ω=2．再根据图象过点（0，1），可得1=2sinφ，即sinφ=，∴φ=，∴f（x）=2sin（2x+）．（2）令2kπ-≤2x+≤2kπ+，求得kπ-≤x≤kπ+，故f（x）的单调增区间为[kπ-，kπ+]，k∈Z．（3）在（-，0）上，2x+∈（-，），故当2x+=-时，函数取得最小值为-2，当2x+趋于时，函数趋于最大值1，股函数f（x）的值域为[-2，1）．【解析】（1）利用正弦函数的周期性求的ω，根据图象经过定点，求得φ的值，可得函数的解析式．（2）利用正弦函数的单调性求的f（x）的单调增区间．（3）利用正弦函数的定义域以及值域，求的f（x）在（-，0）的值域．本题主要考查正弦函数的周期性、单调性、定义域以及值域，属于基础题．18.【答案】解：（1）当投资甲城市128万元时，投资乙城市112万元，此时公司总收益：f（x）=4-6+=4×16-6+28+2=88（万元）．（2）甲城市的投入为x，则乙城市投资240-x万元，当80≤x≤120时，f（x）=4-6+（240-x）+2=4-x+56，∴f′（x）=2•-==＞0恒成立，∴f（x）在[80，120]上单调递增，∴f（x）max=f（120）=16+26，当120＜x≤160时，f（x）=4-6+32=4+26，∴f（x）在（120，160]上单调递增，∴f（x）max=f（160）=4+26=16+26，∵16+26＞16+26，∴该公司在甲城市投资160万元，在乙城市投资80万元，总收益最大．【解析】（1）根据收益公式计算；（2）得出f（x）的解析式，判断f（x）在定义域上的单调性，从而可得f（x）取得最大值时对应的x的值，从而得出最佳投资方案．本题考查了函数模型的应用，函数最值的计算，属于中档题．19.【答案】解：（1）∵函数g（x）=mx2-2（m-1）x+n为R上的偶函数，可得m-1=0，即m=1．则g（x）=x2+n，由g（x）在区间[-1，3]上的最大值为10．即g（3）=10，可得n=1．∴函数的解析式为g（x）=x2+1；（2）由f（x）==不等式f（2x）-k•2x≤2在x∈[-1，1]上恒成立，即在x∈[-1，1]上恒成立，∴k≥设，∵x∈[-1，1]∴s∈[，2]．则s2-2s+1=（s-1）2∈[0，1]；∴k≥1，即所求实数k的取值范围为[1，+∞）．（3）由方程f（|2x-1|）+-3t-2=0，可得|2x-1|+-3t-2=0，可化为：|2x-1|2-（3t+2）|2x-1|+（2t+1）=0（|2x-1|≠0），令r=|2x-1|，则r2-（3t+2）r+（2t+1）=0，r∈（0，+∞），方程f（|2x-1|）+-3t-2=0有四个不相等的实数根；则关于r的方程r2-（3t+2）r+（2t+1）=0必须有两个不相等的实数根r1和r2，并且0＜r1＜1，0＜r2＜1，记h（r）=r2-（3t+2）r+（2t+1）=0，r∈（0，+∞），其对称轴＜＜，可得：＜＜∴＞△＞＞即＞＞＞解得：＜＜故得存在实数t的范围为（，）．【解析】（1）根据偶函数的图象关于y轴对称，可得m的值．在区间[-1，3]上的最大值为10，即可求解n，可得解析式；（2）利用换元法，分离参数即可求解实数k的取值范围；（3）利用换元法，转化为函数图象交点的问题．根据函数与方程之间的关系，进行转化，利用参数分离法进行求解即可．本题主要考查函数解析式的求解，函数恒成立以及函数与方程的应用，利用参数转化法是解决本题的关键．考查学生的运算能力，综合性较强，难度较大．20.【答案】解：（1）函数f（x）=lg，由＞0，可得-1＜x＜1，f（-x）=lg=-f（x），即f（x）为奇函数，且0＜x＜1时，f（x）=lg（-1+）递减，可得f（x）在（-1，1）递减，且f（x）的值域为R，不等式f（f（x））+f（1g2）＞0，即为f（f（x））＞-f（lg2）=f（-lg2），则-1＜f（x）＜-lg2，即-1＜lg＜lg，即为0.1＜＜，解得＜x＜，则原不等式的解集为（，）；（2）函数g（x）=2-a x（a＞0，a≠1），若存在x1，x2∈[0，1），使得f（x1）=g（x2）成立，当0≤x＜1，f（x）=lg的值域为（-∞，0]，当a＞1时，g（x）在[0，1）递减，可得g（x）的值域为（2-a，1]，由题意可得f（x）和g（x）的值域存在交集，即有2-a＜0，即a＞2；若0＜a＜1，则g（x）在[0，1）递增，可得g（x）的值域为[1，2-a），由题意可得f（x）和g（x）的值域不存在交集，综上可得a的范围是（2，+∞）；（3）由y=h[h（x）]-2，得h[h（x）]=2，令t=h（x），则h（t）=2，作出图象，当k≤0时，只有一个-1＜t＜0，对应3个零点，当0＜k≤1时，1＜k+1≤2，此时t1＜-1，-1＜t2＜0，t3=≥1，由k+1-==（k+）（k-），得在＜k≤1，k+1＞，三个t分别对应一个零点，共3个，在0＜k≤时，k+1≤，三个t分别对应1个，1个，3个零点，共5个，综上所述：当k＞1或k=0或k＜-时，y=h[h（x）]-2只有1个零点，当-≤k＜0或＜k≤1时，y=h[h（x）]-2有3个零点，当0＜k≤时，y=h[h（x）]-2有5个零点．【解析】（1）求得f（x）的定义域和值域、单调性，由题意可得0.1＜＜，解不等式即可得到所求范围；（2）求得当0≤x＜1时，f（x）的值域；以及讨论a＞1，0＜a＜1时，g（x）的值域，由题意可得f（x）和g（x）的值域存在交集，即可得到所求范围；（3）由y=h[h（x）]-2，得h[h（x）]=2，令t=h（x），则h（t）=2，作出图象，分类讨论，即可求出零点的个数．本题主要考查函数的定义域和奇偶性、单调性，以及不等式的解法，方程根的存在性以及个数判断，体现了转化、数形结合的数学思想，属于难题．。

2017-2018学年江苏省扬州市高一（下）期末数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．）1．（5分）求值：sin75°•cos75°＝．2．（5分）不等式x2﹣x﹣2＜0的解集为．3．（5分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若A＝30°，a＝，则＝．4．（5分）已知变量x、y满足，则z＝y﹣x的最大值为．5．（5分）已知S n是数列{a n}的前n项和，且满足S n＝n2+n（n∈N*），则数列{a n}的通项公式a n＝．6．（5分）函数f（x）＝4sin x+3cos x﹣1的最大值为．7．（5分）在△ABC中，sin A：sin B：sin C＝2：3：4，则cos C的值为．8．（5分）已知数列{a n}的通项公式为a n＝，则它的前20项的和为．9．（5分）已知正四棱柱的底面边长为2cm，侧面的对角线长是cm，那么这个正四棱柱的体积是cm2．10．（5分）设α，β为两个不重合的平面，l，m，n为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①若m⊂β，n⊂β，m∥α，n∥α，则α∥β；②若α∥β，l⊂β，则l∥α；③若l⊥m，l⊥n，则m∥n；④若l⊥α，l∥β，则α⊥β．其中真命题的序号是．11．（5分）设S n，T n分别是等差数列{a n}，{b n}的前n项和，已知＝，n∈N*，则＝12．（5分）如图，勘探队员朝一座山行进，在前后A、B两处观察山顶C的仰角分别是30°和45°，两个观察点A、B之间的距离是100米，则此山CD的高度为米．13．（5分）已知正实数x，y满足x+y＝xy，则+的最小值为14．（5分）对于数列{x n}，若对任意n∈N*，都有x n+2﹣x n+1＞x n+1﹣x n成立，则称数列{x n}为“增差数列”．设a n＝．若数列a4，a5，a6，…，a n（n≥4，n∈N*）是“增差数列”，则实数t的取值范围是．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（14分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱AA1、BB1、CC1上的中点分别为P、Q、R．（1）求证：PQ∥平面ABCD；（2）求证：平面PQR⊥平面BB1D1D．16．（14分）已知cos（α+）＝，α∈（0，）．（1）求sinα的值；（2）若cosβ＝，β∈（0，π），求cos（α﹣2β）的值．17．（14分）已知等比数列{a n}的公比q＞0，a1a5＝8a2，且3a4，28，a6成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记b n＝，求数列{b n}的前n项和T n．18．（16分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其外接圆的直径为1，b2+c2﹣sin2A＝2sin2B•sin C，且角B为钝角．（1）求B﹣A的值；（2）求2a2+c2的取值范围．19．（16分）共享汽车的出现为我们的出行带来了极大的便利，当然也为投资商带来了丰厚的利润．先某公司瞄准这一市场，准备投放共享汽车．该公司取得了在10个省份投放共享汽车的经营权，计划前期一次性投入16×106元．设在每个省投放共享汽车的市的数量相同（假设每个省的市的数量足够多），每个市都投放1000辆共享单车．由于各个市的多种因素的差异，在第n个市的每辆共享汽车的管理成本为（kn+1000）元（其中k为常数）．经测算，若每个省在5个市投放共享汽车，则该公司每辆共享汽车的平均综合管理费用为1920元（本题中不考虑共享汽车本身的费用）．注：综合管理费用＝前期一次性投入的费用+所有共享汽车的管理费用，平均综合管理费用＝综合管理费用÷共享汽车数量．（1）求k的值；（2）问要使该公司每辆共享汽车的平均综合管理费用最低，则每个省有几个市投放共享汽车？此时每辆共享汽车的平均综合管理费用为多少元？20．（16分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a4＝2且2S n+n＝na n，数列{b n}满足b n＝（n∈N*）．（1）证明：数列{a n}为等差数列；（2）是否存在正整数p，q（1＜p＜q），使得b1，b p，b q成等比数列，若存在，求出p，q 的值；若不存在，请说明理由．2017-2018学年江苏省扬州市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．）1．（5分）求值：sin75°•cos75°＝．【解答】解：sin75°•cos75°＝＝故答案为：2．（5分）不等式x2﹣x﹣2＜0的解集为（﹣1，2）．【解答】解：不等式x2﹣x﹣2＜0化为（x﹣2）（x+1）＜0，解得﹣1＜x＜2．∴不等式x2﹣x﹣2＜0的解集为（﹣1，2）．故答案为：（﹣1，2）．3．（5分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若A＝30°，a＝，则＝2．【解答】解：∵A＝30°，a＝，∴由正弦定理，∴＝＝＝2．故答案为：2．4．（5分）已知变量x、y满足，则z＝y﹣x的最大值为2．【解答】解：设z＝y﹣x得y＝x+z，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分ABC）：平移直线y＝x+z由图象可知当直线y＝x+z经过点A时，直线y＝x+z的截距最大此时z也最大，由，解得，即A（0，2）．代入目标函数z＝y﹣x＝2﹣0＝2，故答案为：2．5．（5分）已知S n是数列{a n}的前n项和，且满足S n＝n2+n（n∈N*），则数列{a n}的通项公式a n＝2n．【解答】解：由S n＝n2+n，当n＝1时，a1＝S1＝1+1＝2当n≥2时，a n＝S n﹣S n＝n2+n﹣（n﹣1）2﹣（n﹣1）＝2n，当n＝1时，得a1＝2成立，∴a n＝2n故答案为：2n6．（5分）函数f（x）＝4sin x+3cos x﹣1的最大值为4．【解答】解：函数f（x）＝4sin x+3cos x﹣1，＝5sin（x+θ）﹣1，当sin（x+θ）＝1，时，函数取得最大值为4．故答案为：4．7．（5分）在△ABC中，sin A：sin B：sin C＝2：3：4，则cos C的值为．【解答】解：在△ABC中，sin A：sin B：sin C＝2：3：4，由正弦定理可得，可设其三边分别为2k，3k，4k，由余弦定理可得16k2＝4k2+9k2﹣12k2cos C，解方程可得cos C＝，故答案为：．8．（5分）已知数列{a n}的通项公式为a n＝，则它的前20项的和为．【解答】解：a n＝＝，故它的前20项的和为（1﹣+﹣+…+﹣）＝（1﹣）＝，故答案为：．9．（5分）已知正四棱柱的底面边长为2cm，侧面的对角线长是cm，那么这个正四棱柱的体积是cm2．【解答】解：如图，ABCD﹣A1B1C1D1为正四棱住，底面边长AB＝2，，则．∴这个正四棱柱的体积是V＝．故答案为：．10．（5分）设α，β为两个不重合的平面，l，m，n为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①若m⊂β，n⊂β，m∥α，n∥α，则α∥β；②若α∥β，l⊂β，则l∥α；③若l⊥m，l⊥n，则m∥n；④若l⊥α，l∥β，则α⊥β．其中真命题的序号是②④．【解答】解：由α，β为两个不重合的平面，l，m，n为两两不重合的直线，知：在①中，若m⊂β，n⊂β，m∥α，n∥α，则α与β相交或平行，故①错误；在②中，若α∥β，l⊂β，则由面面平行的性质定理得l∥α，故②正确；在③中，若l⊥m，l⊥n，则m与n相交、平行或异面，故③错误；在④中，若l⊥α，l∥β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故④正确．故答案为：②④．11．（5分）设S n，T n分别是等差数列{a n}，{b n}的前n项和，已知＝，n∈N*，则＝【解答】解：S n，T n分别是等差数列{a n}，{b n}的前n项和，且＝，∴＝．故答案为：．12．（5分）如图，勘探队员朝一座山行进，在前后A、B两处观察山顶C的仰角分别是30°和45°，两个观察点A、B之间的距离是100米，则此山CD的高度为50（+1）米．【解答】解：设山高CD为x，在Rt△BCD中有：BD＝CD＝x，在Rt△ACD中有：AC＝2x，AD＝x．而AB＝AD﹣BD＝（﹣1）x＝100．解得：x＝米．故答案为：50（+1）．13．（5分）已知正实数x，y满足x+y＝xy，则+的最小值为2+5【解答】解：+＝＝将x+y＝xy转化为+＝1代入得：上式＝＝2x+3y，（2x+3y）×1＝（2x+3y）×（+）＝+2+3+＝++5≥2+5＝2+5故答案为：2+514．（5分）对于数列{x n}，若对任意n∈N*，都有x n+2﹣x n+1＞x n+1﹣x n成立，则称数列{x n}为“增差数列”．设a n＝．若数列a4，a5，a6，…，a n（n≥4，n∈N*）是“增差数列”，则实数t的取值范围是（，+∞）．【解答】解：∵a4，a5，a6，…，a n（n≥4，n∈N*）是“增差数列”，n≥4时，a n+a n+2＞2a n+1，∴+＞2•，化为t（2n2﹣4n﹣1）＞2，n≥4可得2n2﹣4n﹣1＞0，则t＞，由递减，可得n＝4时，的最大值为，∴t＞．∴实数t的取值范围是（，+∞）．故答案为：（，+∞）．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（14分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱AA1、BB1、CC1上的中点分别为P、Q、R．（1）求证：PQ∥平面ABCD；（2）求证：平面PQR⊥平面BB1D1D．【解答】证明：（1）∵在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱AA1、BB1、CC1上的中点分别为P、Q、R．∴PQ∥AB，∵PQ⊄平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PQ∥平面ABCD．（2）由（1）得PQ∥平面ABCD，∵棱AA1、BB1、CC1上的中点分别为P、Q、R．∴QR∥BC，∵QR⊄平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴QR∥平面ABCD，∵PQ∩QR＝Q，∴平面P AR∥平面ABCD，∵在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，平面ABCD⊥平面BB1D1D．∴平面PQR⊥平面BB1D1D．16．（14分）已知cos（α+）＝，α∈（0，）．（1）求sinα的值；（2）若cosβ＝，β∈（0，π），求cos（α﹣2β）的值．【解答】解：（1）∵cos（α+）＝，α∈（0，），∴sin（α+）＝＝，∴sinα＝sin[（α+）﹣]＝sin（α+）cos﹣cos（α+）sin＝×﹣×＝．（2）由（1）知cosα＝＝，若cosβ＝，β∈（0，π），则sinβ＝＝，∴cos2β＝2cos2β﹣1＝﹣，sin2β＝2sinβcosβ＝2××＝，∴cos（α﹣2β）＝cosαcos2β+sinαsin2β＝×（﹣）+×＝．17．（14分）已知等比数列{a n}的公比q＞0，a1a5＝8a2，且3a4，28，a6成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记b n＝，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）由a1a5＝8a2得：a1q3＝8，即a4＝8，又∵3a4，28，a6成等差数列，∴3a4+a6＝56，将a4＝8代入得：a6＝32．从而：a1＝1，q＝2．∴a n＝2n﹣1；（2）b n＝＝2n•（）n﹣1，T n＝2×（）0+4×（）1+6×（）2+…+2（n﹣1）•（）n﹣2+2n•（）n﹣1……………………①T n＝2×（）1+4×（）2+6×（）3+…+2（n﹣1）•（）n﹣1+2n•（）n……………………②①﹣②得：T n＝2×[（）0+2（）1+（）2+…+（）n﹣1]﹣2n•（）n＝2+2×﹣2n•（）n＝4﹣（n+2）•（）n﹣1．∴T n＝8﹣（n+2）•（）n﹣2．18．（16分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其外接圆的直径为1，b2+c2﹣sin2A＝2sin2B•sin C，且角B为钝角．（1）求B﹣A的值；（2）求2a2+c2的取值范围．【解答】解：（1）∵△ABC的外接圆的直径为1，b2+c2﹣sin2A＝2sin2B•sin C，且角B为钝角．∴a＝2R sin A＝sin A，b＝2R sin B＝sin B，∴b2+c2﹣a2＝2b2•c，∴2bc cos A＝2bc sin B，可得：cos A＝sin B，所以sin（）＝sin B，所以：，即：B﹣A＝．（2）由（1）知：B﹣A＝，C＝，由于：C＝，解得：A．所以：．则：2a2+c2＝2sin2A+sin2C，＝，＝2sin2A+cos22A，＝4sin4A﹣2sin2A+1，＝，由于，所以：，则：，所以：，则：，故：2a2+c2的取值范围是．19．（16分）共享汽车的出现为我们的出行带来了极大的便利，当然也为投资商带来了丰厚的利润．先某公司瞄准这一市场，准备投放共享汽车．该公司取得了在10个省份投放共享汽车的经营权，计划前期一次性投入16×106元．设在每个省投放共享汽车的市的数量相同（假设每个省的市的数量足够多），每个市都投放1000辆共享单车．由于各个市的多种因素的差异，在第n个市的每辆共享汽车的管理成本为（kn+1000）元（其中k为常数）．经测算，若每个省在5个市投放共享汽车，则该公司每辆共享汽车的平均综合管理费用为1920元（本题中不考虑共享汽车本身的费用）．注：综合管理费用＝前期一次性投入的费用+所有共享汽车的管理费用，平均综合管理费用＝综合管理费用÷共享汽车数量．（1）求k的值；（2）问要使该公司每辆共享汽车的平均综合管理费用最低，则每个省有几个市投放共享汽车？此时每辆共享汽车的平均综合管理费用为多少元？【解答】解：（1）每个省在个市投放共享汽车，则所有共享汽车为辆，所有共享汽车管理费用总和为[（k+1000）+（2k+1000）+（3k+1000）+（4k+1000）+（5k+1000）]×1000×10＝（15k+5000）×10000＝（3k+1000）×50000，所以＝1920，解得k＝200．（2）设在每个省有n（n∈N*）个市投放共享汽车，每辆共享汽车的平均综合管理费用为f （n），由题设可知f（n）＝{16×106+[（200+1000）+（400+1000）+…+（200n+1000）]×1000×10}＝100n++1100≥2+1100＝1900，当且仅当100n＝，即n＝4时取等号答：每个省有4 个市投放共享汽车时，每辆共享汽车的平均综合管理费用最低，此时每辆共享汽车的平均综合管理费用为1900元．20．（16分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a4＝2且2S n+n＝na n，数列{b n}满足b n＝（n∈N*）．（1）证明：数列{a n}为等差数列；（2）是否存在正整数p，q（1＜p＜q），使得b1，b p，b q成等比数列，若存在，求出p，q 的值；若不存在，请说明理由．【解答】（1）证明：2S n+n＝na n，n≥2时，2S n﹣1+n﹣1＝（n﹣1）a n﹣1，相减可得：（n﹣2）a n﹣（n﹣1）a n﹣1＝1，于是（n﹣1）a n+1﹣na n＝1，相减可得：2a n＝a n﹣1+a n+1．∴数列{a n}为等差数列．（2）解：取n＝1，可得：2a1+1＝a1，解得a1＝﹣1，又a4＝2，∴﹣1+3d＝2，解得d＝1．∴a n＝﹣1+n﹣1＝n﹣2．∴b n＝＝．（n∈N*）．假设存在正整数p，q（1＜p＜q），使得b1，b p，b q成等比数列，则＝b1•b q，∴＝•，∴＝+．容易证明：b n＝在n≥1时单调递减．p＝2时，可得：1＝+，解得q＝2，舍去．p＝3时，可得：4q＝2q，解得q＝4．p≥4时，左边≤＝，＝+不成立．综上可得：只有一组：p＝3，q＝4时满足题意．。