方差分析
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方差分析
一．方差分析的概念及意义
方差分析，又称“变异数分析”或“F检验”，用于两个及两个以上样本均数差别的显著检验。由于各种因素的影响，研究所得的数据呈现波动状。造成波动的原因可分成两类，一是不可控的随机因素，另一是研究种施加的对结果形成影响的可控因素。
方差分析的意义，工业生产中产品质量优劣，农业生产中产量高低，由诸多因素造成。如农业生产中，肥料，浇灌，良种，管理等；化工生产中，原料成分，催化剂，剂量，反应温度，压力，溶液，机器设备与操作人员水平。每种因素的改变，可影响产品质量与数量，那么在诸因素中找出对质量的某种指标有显著影响的因素，还要弄清这些显著因素在什么状态下（水平）起的作用大。方差分析就是根据试验结果进行分析，鉴别各个因素对试验结果影响的有效方法。
二．方差分析的基本思想
根据实验设计的类型及研究目的,将全部观察值之间所表现出来的总变异,分解为两个或多个部分。除随机误差作用外,其余每个部分的变异均可由某个因素的作用加以解释。通过比较不同变异来源的均方(MS),借助F分布做出统计推断,从而推断研究因素对试验结果有无影响
三．方差分析的假定条件及假设检验
3.1方差分析的假定条件为：
（1）各处理条件下的样本是随机的。
（2）各处理条件下的样本是相互独立的，否则可能出现无法解析的输出结果。
（3）各处理条件下的样本分别来自正态分布总体，否则使用非参数分析。
（4）各处理条件下的样本方差相同，即具有齐效性。
3.2方差分析的假设检验
假设有K个样本，如果原假设H0样本均数都相同，K个样本有共同的方差σ ，则K个样本来自具有共同方差σ和相同均值的总体。
如果经过计算，组间均方远远大于组内均方，则推翻原假设，说明样本来自不同的正态总体，说明处理造成均值的差异有统计意义。否则承认原假设，样本来自相同总体，处理间无差异。
四．方差分析中的常用术语
4.1 因素（Factor）
因素是指所要研究的变量，它可能对因变量产生影响。如果方差分析只针对一个因素进行，称为单因素方差分析。如果同时针对多个因素进行，称为多因素方差分析。本章介绍单因素方差分析和双因素方差，它们是方差分析中最常用的。
4.2 水平（Level）
水平指因素的具体表现，如销售的四种方式就是因素的不同取值等级。有时水平是人为划分的，比如质量被评定为好、中、差。
4.3单元（Cell）
单元指因素水平之间的组合。如销售方式一下有五种不同的销售业绩，就是五个单元。方差分析要求的方差齐性就是指的各个单元间的方差齐性。
4.4 元素（Element）
元素指用于测量因变量的最小单位。一个单元里可以只有一个元素，也可以有多个元素。
4.5均衡（Balance）
如果一个试验设计中任一因素各水平在所有单元格中出现的次数相同，且每个单元格内的元素数相同，则称该试验是为均衡，否则，就被称为不均衡。不均衡试验中获得的数据在分析时较为复杂。
4.6 交互作用（Interaction）
如果一个因素的效应大小在另一个因素不同水平下明显不同，则称为两因素间存在交互作用。当存在交互作用时，单纯研究某个因素的作用是没有意义的，必须在另一个因素的不同水平下研究该因素的作用大小。如果所有单元格内都至多只有一个元素，则交互作用无法测出。
五．方差分析的用途及优点
5.1用途
1、用于进行两个或多个样本均数的比较;
2、分析两因素或多因素间的交互作用;
3、用于回归方程的线性假设检验。
5.2优点
1、不受比较组数的限制,可比较多组均数;
2、可同时分析多个因素的作用;
3、可分析因素间的交互作用
六．单因素方差分析
6.1单因素方差分析的数据结构
在单因素方差分析中，若因素A共有r个水平，对均衡试验而言，每个水平的样本容量为k，则共有kr个观察值，如表7.2所示。对不均衡试验，各水平中的样本容量可以是不同的，设第i个样本的容量是in，则观测值的总个数为1riinn。
表7.2 单因素方差分析的数据结构
观测值j
水平i 1 2 …… k
因
素
A 水平1 11x 12x …… kx1
水平2 21x 22x …… kx2
┋ ┋ ┋ ┋ ┋
水平r 1rx 2rx …… rkx
6.2单因素方差分析的步骤
（一）单因素方差模型与建立假设
方差分析最初是针对试验设计的试验结果的分析而提出的。设在某试验中，因素A有r个水平rAA,,1，在水平iA下的试验结果iX服从),(2iN，ri,,1，这里rXX,,1相互独立。在水平iA下做了in次试验，得到in个观测结果ijx，inj,,1，它们可以看作是来自iX的一个容量为in的样本。因为),(~2iijNx，所以可得单因素方差分析模型如下：
ijiijx
（7.1）
其中随机误差ij相互独立，都服从),0(2N分布。要检验的假设是
rrHH,,,:,:211210不全相等。
以表示这r个总体均值的平均值，即riir11称为一般水平或平均水平，令ii称为因素A的第i个水平的效应，由第四章算术平均数的性质易得01rii。把原参数i变换成新参数i后，ri,,1，单因素方差分析模型则变为：
ijiijx （7.2）
其中ijx表示水平iA的第j个观察值。上述要检验的假设则等价于
rrHH,,,:,0:211210不全为0。
（二）构造检验F统计量
1. 水平的均值
我们令ix为第i（或iA）水平的样本均值，则
11iniijjixxn （7.3）
当各水平的的观察值个数均相等的时候，公式（7.3）变为：
11kiijjxxk （7.4）
2. 全部观察值的总均值
我们令x为全部观察值的总均值，则
111inrijijriixxn （7.5）
当各水平的的观察值个数均相等的时候，公式（7.5）变为：
111rkrijiijixxxrkr （7.6）
对例7.1而言，各jn都相等，即k=5。计算结果见表7.1。
3. 离差平方和
在单因素方差分析中，离差平方和有三个：
（1）总离差平方和（Sum of Squares for Total，简称SST），计算公式为：
211)(rinjijixxSST （7.7）
总离差平方和反映全部观察值的离散状况，是全部观察值与总平均值的离差平方和。
（2）误差项离差平方和（Sum of Squares for Error，简称SSE），计算公式为：
211)(rinjiijixxSSE （7.8）
误差项离差平方和又称为组内离差平方和，它反映了水平内部观察值的离散情况，即随机因素产生的影响。
（3）水平项离差平方和（Sum of Squares for Factor A，简称SSA）。计算公式为：
21()riiiSSAnxx （7.9）
水平项离差平方和又称组间离差平方和，是各组平均值与总平均值的离差平方和。它既包括随机误差，也包括系统误差。
由于各样本的独立性，使得变差具有可分解性，即总离差平方和等于误差项离差平方和加上水平项离差平方和，用公式表达为：
SST = SSE + SSA （7.10）
对例7.1而言，计算结果见表7.3。
表7.3 单因素方差分析计算表（1）
序号 方式一 方式二 方式三 方式四 1 77 95 71 80
2 86 92 76 84
3 81 78 68 79
4 88 96 81 70
5 83 89 74 82 总均值
水平均值 83 90 74 79
81.5
合计
总离差平方 85.25 571.25 379.25 147.25 1183
误差项离差平方 74 210 98 116 498
水平项离差平方 11.25 361.25 281.25 31.25 685
4. 均方和（Mean Square）
各离差平方和的大小与观察值的多少有关，为了消除观察值多少对离差平方和大小的影响，需要将其平均，这就是均方和。计算方法是用离差平方和除以相应的自由度df，见表7.4所示，表中1riinn。
表7.4 方差分析表
方差来源 离差平方和SS df 均方和MS F
组间 SSA r-1 MSA = SSA /（r-1）
MSA/MSE
组内 SSE n-r MSE = SSE /（n-r）
总方差 SST n-1
自由度，英文是Degrees of Freedom，简称df，我们可能把它理解为一个表达式中可以自由变动的变量个数。举个例子，如：a+b+c=0中，如果a、b自由取值，要使约束条件成立，c就不能自由取值，它必须满足c=-(b+c)，所以a+b+c=0的自由度为2。
我们再看SSE，对每一种水平而言，其观察值个数为jn，在其计算过程中，必须满足0)(1xxrjj这样一个条件，故该种水平下的自由度为1jn，总共有r个水平，因此拥有的自由度个数为1(1)rjjnnr。
5. 构造检验统计量F
F= 组间方差 / 组内方差= MSA / MSE （7.11）
对例7.1而言，计算结果见表7.5。
表7.5 单因素方差分析计算表（2）
方差来源 离差平方和SS df 均方和MS F
组间 685 3 228.3333 7.3360
组内 498 16 31.125
总方差 1183 19
（三）判断与结论
在假设条件成立时，F统计量服从第一自由度1df为1r、第二自由度2df为nr的 F分布（F分布表见附表五）。将统计量F与给定的显著性水平α的临界值),1(rnrF比较，可以作出拒绝或不能拒绝原假设0H的判断，见图7.1。
