充分条件、必要条件与命题的四种形式

第一章充分条件、必要条件与命题的四种形式(总12页)

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2014高考会这样考 1.考查对充分条件、必要条件、充要条件的理解应用，主要以客观题形式出现；2.和其他数学知识相结合，考查充要条件的推理判断和命题的等价性．

复习备考要这样做 1.在解与命题有关的问题时，要理解命题的含义，准确地分清命题的条件与结论；2.注意条件之间关系的方向性、充分条件与必要条件方向正好相反；3.注意等价命题的应用．

1．充分条件、必要条件与充要条件

(1)“若p，则q”形式的命题为真时，记作p⇒q，称p是q的充分条件，q是p的充要条件．

(2)如果既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q，则p是q的充要条件，q也是p的充要条件．

p是q的充要条件又常说成q当且仅当p，或p与q等价．

2．命题的四种形式及真假关系

互为逆否的两个命题等价(同真或同假)；互逆或互否的两个命题不等价．

[难点正本 疑点清源]

1．等价命题和等价转化

(1)逆命题与否命题互为逆否命题；

(2)互为逆否命题的两个命题同真假；

(3)当判断原命题的真假比较困难时，可以转化为判断它的逆否命题的真假．

2．集合与充要条件

设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，则有

(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分不必要条件；

(2)若B⊆A，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要不充分条件；

(3)若A＝B，则p是q的充要条件； (4)若A⃘B，且B⃘A，则p是q的既不充分也不必要条件．

1．下列命题：

①“全等三角形的面积相等”的逆命题；

②“若ab＝0，则a＝0”的否命题；

③“正三角形的三个角均为60°”的逆否命题．

其中真命题的序号是________．(把所有真命题的序号填在横线上)

答案 ②③

解析 ①“全等三角形的面积相等”的逆命题为“面积相等的三角形全等”，显然该命题为假命题；②“若ab＝0，则a＝0”的否命题为“若ab≠0，则a≠0”，而由ab≠0，可得a，b都不为零，故a≠0，所以该命题是真命题；③因为原命题“正三角形的三个角均为60°”是一个真命题，故其逆否命题也是一个真命题．

2．“x>2”是“1x<12”的________条件．

答案 充分不必要

解析 ①x>2⇒2x>0⇒x2x>22x⇒1x<12，

∴“x>2”是“1x<12”的充分条件．

②1x<12⇒x<0或x>2D⇒/x>2.

∴“x>2”是“1x<12”的不必要条件．

3．已知a，b∈R，则“a＝b”是“a＋b2＝ab”的

( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

答案 B

解析 因为若a＝b<0，则a＋b2≠ab，所以充分性不成立；反之，因为a＋b2＝ab⇔a＝b⇔a＝b≥0，所以必要性成立，故“a＝b”是“a＋b2＝ab”的必要不充分条件．

4．(2011·天津)设集合A＝{x∈R|x－2>0}，B＝{x∈R|x<0}，C＝{x∈R|x(x－2)>0}，则“x∈A∪B”是“x∈C”的 ( )

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

答案 C

解析 因为A＝{x|x－2>0}＝{x|x>2}＝(2，＋∞)，

B＝{x|x<0}＝(－∞，0)，

所以A∪B＝(－∞，0)∪(2，＋∞)，

C＝{x|x(x－2)>0}＝{x|x<0或x>2}

＝(－∞，0)∪(2，＋∞)．

即A∪B＝C.故“x∈A∪B”是“x∈C”的充要条件.

5．(2012·天津)设φ∈R，则“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数”的 ( )

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

答案 A

解析 由条件推结论和结论推条件后再判断．

若φ＝0，则f(x)＝cos x是偶函数，

但是若f(x)＝cos(x＋φ)是偶函数，

则φ＝π也成立．故“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数”的充分而不必要条件.

题型一 命题的四种形式及其关系

例1 已知命题“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是

( )

A．否命题“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是减函数，则m>1”是真命题

B．逆命题“若m≤1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数”是假命题

C．逆否命题“若m>1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是减函数”是真命题

D．逆否命题“若m>1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题

思维启迪：根据定义判断一个原命题的逆命题、否命题、逆否命题的表达格式．当命题较简单时，可直接判断其真假，若命题本身复杂或不易直接判断时，可利用其等价命题——逆否命题进行真假判断．

答案 D 解析 命题“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”是真命题，所以其逆否命题“若m>1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题．

探究提高 (1)熟悉概念是正确书写或判断命题的四种形式真假的关键；(2)根据“原 命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接

判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假；(3)认真仔细读题，必要时举特

例．

命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是

( )

A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数

B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数

C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数

D．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数

答案 C

解析 由于“x，y都是偶数”的否定表达是“x，y不都是偶数”，“x＋y是偶数”的否定表达是“x＋y不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x＋y不是偶数，则x，y不都是偶数”，故选C.

题型二 充要条件的判断

例2 已知下列各组命题，其中p是q的充分必要条件的是

( )

A．p：m≤－2或m≥6；q：y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同的零点

B．p：f－xfx＝1；q：y＝f(x)是偶函数

C．p：cos α＝cos β；q：tan α＝tan β

D．p：A∩B＝A；q：A⊆U，B⊆U，∁UB⊆∁UA

思维启迪：首先要分清条件和结论，然后可以从逻辑推理、等价命题或集合的角度思考问题，做出判断．

答案 D

解析 对于A，由y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同的零点，可得Δ＝m2－4(m＋3)>0，从而可得m<－2或m>6.所以p是q的必要不充分条件；

对于B，由f－xfx＝1⇒f(－x)＝f(x)⇒y＝f(x)是偶函数，但由y＝f(x)是偶函数不能推出f－xfx＝1，例如函数f(x)＝0，所以p是q的充分不必要条件； 对于C，当cos α＝cos β＝0时，不存在tan α＝tan β，反之也不成立，所以p是q的既不充分也不必要条件；

对于D，由A∩B＝A，知A⊆B，所以∁UB⊆∁UA；

反之，由∁UB⊆∁UA，知A⊆B，即A∩B＝A.

所以p⇔q.

综上所述，p是q的充分必要条件的是D.

探究提高 判断p是q的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p能否推得条件q；二是由条件q能否推得条件p.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题．

给出下列命题：

①“数列{an}为等比数列”是“数列{anan＋1}为等比数列”的充分不必要条件；

②“a＝2”是“函数f(x)＝|x－a|在区间[2，＋∞)上为增函数”的充要条件；

③“m＝3”是“直线(m＋3)x＋my－2＝0与直线mx－6y＋5＝0互相垂直”的充要条件；

④设a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C所对的边，若a＝1，b＝3，则“A＝30°”是“B＝60°”的必要不充分条件．

其中真．命题的序号是________．

答案 ①④

解析 对于①，当数列{an}为等比数列时，易知数列{anan＋1}是等比数列，但当数列{anan＋1}为等比数列时，数列{an}未必是等比数列，如数列1,3,2,6,4,12,8显然不是等比数列，而相应的数列3,6,12,24,48,96是等比数列，因此①正确；对于②，当a≤2时，函数f(x)＝|x－a|在区间[2，＋∞)上是增函数，因此②不正确；对于③，当m＝3时，相应的两条直线互相垂直，反之，这两条直线垂直时，不一定有m＝3，也可能m＝0.因此③不正确；对于④，由题意得ba＝sin Bsin A＝3，若B＝60°，则sin A＝12，注意到b>a，故A＝30°，反之，当A＝30°时，有sin B＝32，由于b>a，所以B＝60°或B＝120°，因此④正确．综上所述，真命题的序号是①④.

题型三 充要条件的应用

例3 已知集合M＝{x|x<－3或x>5}，P＝{x|(x－a)·(x－8)≤0}．

(1)求实数a的取值范围，使它成为M∩P＝{x|5

(2)求实数a的一个值，使它成为M∩P＝{x|5

思维启迪：解决此类问题一般是先把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之7 间的关系，再根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解．

解 (1)由M∩P＝{x|5

因此M∩P＝{x|5

(2)求实数a的一个值，使它成为M∩P＝{x|5

探究提高 利用充要条件求参数的值或范围，关键是合理转化条件，准确地将每个

条件对应的参数的范围求出来，然后转化为集合的运算，一定要注意区间端点值的

检验．

已知p：x2－4x－5≤0，q：|x－3|0)．若p是q的充分不必要条件，求a的取值范围．

解 设A＝{x|x2－4x－5≤0}＝{x|－1≤x≤5}，B＝{x|－a＋3

从而有AB.故 －a＋3<－1，a＋3>5， 解得a>4.

等价转化思想在充要条件关系中的应用

典例：(12分)已知p：1－x－13≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0 (m>0)，且綈p是綈q的必要而不充分条件，求实数m的取值范围．

审题视角 (1)先求出两命题的解集，即将命题化为最简．

(2)再利用命题间的关系列出关于m的不等式或不等式组，得出结论．

规范解答

解 方法一 由q：x2－2x＋1－m2≤0，

得1－m≤x≤1＋m，

[2分]

∴綈q：A＝{x|x>1＋m或x<1－m，m>0}，

[3分]

由p：1－x－13≤2，解得－2≤x≤10，

[5分]

∴綈p：B＝{x|x>10或x<－2}．