四种命题及充要条件

四种命题及充要条件

四种命题及充要条件学案

编制单位 临朐⼀中 编制⼈ 聂升 贾春茂 审核⼈ 贾庆 编号

学习⽬标1.掌握充分必要条件的意义，能够判定给定的两个命题的充要关系．

2.了解命题的四种形式，并能判断真假.

3.弄清四种命题的相互关系，学会⽤等价转化法解决相关问题.

重点难点1.充分不必要条件、必要不充分条件的概念；

2.充要条件关系的判定．

3.命题的四种形式及真假判断.

知识链接1．⼀般地，命题“若p 则q ”为真，记作“p ?q ”； “若p 则q ”为假，记作“p q ” ．

2．前⾯讨论了“若p 则q ”形式的命题的真假判断，请同学们判断下列命题的真假．

（1）若y x =，则22y x = （ ）

（2）若0=ab ，则0=a （ ）

（3）若12>x ，则1>x （ ）

（4）若1=x 或2=x ，则0232=+-x x （ ）

（5）若两个三⾓形相似，则这两个三⾓形对应⾓相等 （ ）3.将下列命题改写为“如果p ，则q ”形式的命题：

（1）平⾏四边形的两组对⾓相等

（2）两组对⾓相等的四边形是平⾏四边形 学习过程

⼀、课内探究

问题1：⼀般地，如果 ，那么称p 是q 的充分条件；同时称q 是p 的必要条件；

如果 ，且 ，那么称p 是q 的充分必要条件，简记为p 是q 的充要条件，记作 ；

如果 ，且 ，那么称p 是q 的充分不必要条件；

如果 ，且 ，那么称p 是q 的必要不充分条件；

如果 ，且 ，那么称p 是q 的既不充分⼜不必要条件 问题2：从集合的观点来看“q p ?，则p 是q 的充分条件”

给定两个条件q p ,，要判断p 是q 的什么条件，也可考虑集合：{}p x x A 满⾜条件=，{}q x x B 满⾜条件=

q p ?,相当于A B ；

p q ?,相当于A B ；

,q p ?相当于A B问题3：四种命题的形式

⼀般到，我们⽤p 和q 分别表⽰原命题的条件和结论，

⽤┐p 和┐q 分别表⽰p 和q 的否定，于是四种命题的形式

就是：

原命题：若p 则q ；

逆命题：若q 则p ；

否命题：若┐p 则┐q ；

逆否命题：若┐q 则┐p.

⼆、典例剖析

例1：指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选⼀种作答）

（1）在ABC ?中，:p A B >，:sin sin q A B >

（2）对于实数,x y ，:8p x y +≠，:2q x ≠或6y ≠

（3）在ABC ?中，:sin sin p A B >，:tan tan q A B >

（4）已知,x y R ∈，22:(1)(2)0p x y -+-=，:(1)(2)0q x y --=

跟踪训练: 若命题甲是命题⼄的充分⾮必要条件，命题丙是命题⼄的必要⾮充分条件，命题丁是命题丙的充要条件，则命题丁是命题甲的（ ）A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

例2：．已知()0012:;2311:22>≤-+-≤--m m x x q x p ，若﹁p 是﹁q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围

跟踪训练: 设命题p:∣4x-3∣≤1；命题q:0)1()12(2≤+++-a a x a x 。若⾮p 是⾮q 的必要⽽不充分条件，则实数a 的取值范围是 。

例3：写出命题“若a=0,则ab=0”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断各命题的真假。

跟踪训练: 写出“若x 2+y 2=0，则x =0且y =0”的逆否命题： ； 三、⼩结反思(1)定义法：判断B 是A 的什么条件，实际上就是判断B A 或A B 是否成⽴，只要把题⽬中所给条件按逻辑关系画出箭头⽰意图，再利⽤定义即可判断．

（2）集合法：在对命题的条件和结论间的关系判断p q A B A B p q A B p q A B p q A B p q A B p q A B A B p q ??有困难时，有时可以从集合的⾓度来考虑，记条件、对应的集合分别为、，则：

若，则是的充分条件；

若，则是的充分⾮必要条件；

若，则是的必要条件；若＝，则是的必要⾮充分条件；若＝，则是的充要条件；

若，且，则是的既⾮充分条件

也⾮必要条件．刭

(3)⽤命题的等价性判断：判断p 是q 的什么条件，其实质是判断“若p ，则q ”及其逆命题“若q ，则p ”是真还是假，原命题为真⽽逆命题为假，p 是q 的充分不必要条件；原命题为假⽽逆命题为真，则p 是q 的必要不充分条件；原命题为真，逆命题为真，则p 是q 的充要条件；原命题为假，逆命题为假，则p 是q 的既不充分也不必要条件．同时要注意反例法的运⽤．

四、当堂检测1. ①“b a =”是“bc ac =”充要条件；②“5+a 是⽆理数”是“a 是⽆理数”的充要

条件③“a >b ”是“a 2>b 2”的充分条件；④“a <5”是“a <3”的必要条件.

其中真命题的个数是 （ ）A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

2．下列判断正确的是( ).

A.(x+1)(x-2)=0是x=-1的充分条件

B.x 2＞4是x 2

＞23的必要条件 C.｜x+1｜＜1是-2＜x ＜0的充要条件D.(a-2)2+(b+3)2=0是(a-2)(b+3)=0的必要条件

3．直线,a b 和平⾯,αβ，//a b 的⼀个充分条件是（ ）

A.//,//a b αα

B.//,//,//a b αβαβ

C. ,,//a b αβαβ⊥⊥

D. ,,a b αβαβ⊥⊥⊥ 4. “m ＜14

”是“⼀元⼆次⽅程x 2+x+m=0有实数解”的 ( ) A.充分⾮必要条件 B.充分必要条件

C.必要⾮充分条件

D.⾮充分必要条件

5.命题“内错⾓相等，则两直线平⾏”的否命题为（ ）

A ．两直线平⾏，内错⾓相等

B ．两直线不平⾏，则内错⾓不相等

C ．内错⾓不相等，则两直线不平⾏

D ．内错⾓不相等，则两直线平⾏

6.05x <

7．若, 是两个⾮零向量，则“32=”是“//” 的 条件． 8.把下列命题写成“若p 则q ”的形式，并判断其真假.

(1)实数的平⽅是⾮负数；

(2)等底等⾼的两个三⾓形是全等三⾓形；

(3)能被6整除的数既能被3整除也能被2整除；

(4)弦的垂直平分线经过圆⼼，并平分弦所对的弧.1．命题“若a b >，则

1a b >”的逆否命题为（ ） A ．若1a b

>，则a b > B ．若a ≤b ，则b a ≤1 C ．若a b >，则b a < D ．若b

a ≤1，则a ≤b

3.如果A 是B 的必要不充分条件，B 是C 的充分必要条件，D 是C 的充分不必要条件，那么A 是D 的（ ）

Ａ．必要不充分条件 Ｂ．充分不必要条件

Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件4.设:05p x <<，:25q x -<，那么p 是q 的（ ）

Ａ．充分⽽不必要条件

Ｂ．必要⽽不充分条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件5.“A ∩B=A ”是A=B 的( ).

A.充分⽽不必要条件

B.必要⽽不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

6. ⽤“充分”或“必要”填空：

①“a 和b 都是偶数”是“a+b 也是偶数”的 条件；

②“x ＞5”是“x ＞3”的 条件；

③“x ≠3”是“|x|≠3”的 条件；

④“个位数字是5的⾃然数”是“这个⾃然数能被5整除”的 条件；

⑤“⾄少有⼀组对应边相等”是“两个三⾓形全等”的 条件；

⑥对于⼀元⼆次⽅程ax 2+bx+c=0（其中a,b,c 都不为0）来说，“b 2

-4ac ≥0”是“这个⽅程有两个正根”的 条件；

7.把下列命题改写成“若p 则q ”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题，同时指出它们的真假。

（1）两个全等的三⾓形的三边对应相等；

（2）四边相等的四边形是正⽅形；

（3）负数的平⽅是正数；8.已知p ：)0()15(22>>-a a x ，q ：01322>+-x x ，若p 是q 的充分不必要条件，

求实数a 的取值范围9.求⽅程2

210ax x ++=⾄少有⼀个负根的充要条件．

六、学习后记

答案

例1. 解：（1）在ABC ?中，∴sin sin A B a b >?> ⼜由a b A B >?>

所以，sin sin A B A B >?> 即p 是q 的的充要条件．

（2）因为命题“若2x =且6y =，则8x y +=”是真命题，故p q ?，

命题“若8x y +=，则2x =且6y =”是假命题，故q 不能推出p ，

所以p 是q 的充分不必要条件．

（3）取120,30A B == ，p 不能推导出q ；取30,120A B == ，q 不能推导出p 所以，p 是q 的既不充分也不必要条件．

（4）因为{(1,2)}P =，{(,)|1Q x y x ==或2}y =，P Q ≠，

所以，p 是q 的充分⾮必要条件。 跟踪训练:

解：因为甲是⼄的充分⾮必要条件，故甲能推出⼄，⼄不能推出甲，

因为丙是⼄的必要⾮充分条件，故⼄能推出丙，丙不能推出⼄，

因为丁是丙的充要条件，故丁能推出丙，丙也能推出丁，

由此可知，甲能推出丁，丁不能推出甲即丁是甲的必要不充分条件，选B ．

例2.若?p 是?q 的必要⽽不充分条件的等价命题即逆否命题为：p 是q 的充分不必要条件.p :|1－

31-x |≤2?－2≤31-x －1≤2?－1≤3

1-x ≤3?－2≤x ≤10 q :x 2－2x +1－m 2≤0?［x －(1－m )］［x －(1+m )］≤0 * ∵p 是q 的充分不必要条件，

∴不等式|1－3

1-x |≤2的解集是x 2－2x +1－m 2≤0(m >0)解集的⼦集. ⼜∵m >0

∴不等式*的解集为1－m ≤x ≤1+m

∴?

≥≥≥+-≤-9110121m m m m ，∴m ≥9， ∴实数m 的取值范围是［9，+∞).

例3.解：原命题：若a=0,则ab=0是真命题；

逆命题：若ab=0，则a=0是假命题；

否命题：若a ≠0，则ab ≠0”是假命题；

逆否命题：若ab ≠0，则a ≠0”是真命题；

变式：逆否命题: 若x ≠0或y ≠0,则x 2+y 2≠0；

当堂检测1.B

2.C

3.C

4.A

5.C

6. 充分不必要条件

7. 充分不必要条件