高三数学人教版a版数学(理)高考一轮复习教案：8.9.1 直线与圆锥曲线的位置关系 word版含答案
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第九节 圆锥曲线的综合问题
第一课时 直线与圆锥曲线的位置关系
1．直线与圆锥曲线的位置关系
(1)能解决直线与椭圆、抛物线的位置关系等问题．
(2)理解数形结合的思想．
(3)了解圆锥曲线的简单应用．
2．定值(定点)与最值问题
理解基本几何量，如：斜率、距离、面积等概念，掌握与圆锥曲线有关的定值(定点)、最值问题．
3．存在性问题
能够合理转化，掌握与圆锥曲线有关的存在性问题．
知识点一 直线与圆锥曲线的位置关系
判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程．
即 Ax＋By＋C＝0，Fx，y＝0，消去y，得ax2＋bx＋c＝0.
(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C相交；
Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C相切；
Δ<0⇔直线与圆锥曲线C相离．
(2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．
易误提醒 (1)直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，事实上不一定相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点．
(2)直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视直线与对称轴平行时也相交于一点．
[自测练习]
1．若过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，则这样的直线有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条 解析：结合图形(图略)分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x＝0，过点(0,1)且平行于x轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x＝0)，故选C.
答案：C
2．直线y＝kx－k＋1与椭圆x29＋y24＝1的位置关系为( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．不确定
解析：直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒过定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．
答案：A
知识点二 弦长问题
设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
|AB|＝1＋k2|x1－x2|
＝1＋k2·x1＋x22－4x1x2
＝1＋1k2·|y1－y2|
＝1＋1k2·y1＋y22－4y1y2.
必备方法 遇到中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．在椭圆x2a2＋y2b2＝1中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝－b2x0a2y0；在双曲线x2a2－y2b2＝1中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝b2x0a2y0；在抛物线y2＝2px中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝py0.
[自测练习]
3．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，F(2，0)为其右焦点，过F且垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2.则椭圆C的方程为________．
解析：则由题意得 c＝2，b2a＝1，a2＝b2＋c2，
解得 a＝2，b＝2，
∴椭圆C的方程为x24＋y22＝1. 答案：x24＋y22＝1
4．已知抛物线y＝ax2的焦点到准线的距离为2，则直线y＝x＋1截抛物线所得的弦长等于________．
解析：由题设p＝12a＝2，∴a＝14.
抛物线方程为y＝14x2，焦点为F(0,1)，准线为y＝－1.
直线过焦点F，联立 y＝14x2，y＝x＋1，消去x，
整理得y2－6y＋1＝0，∴y1＋y2＝6，
∴所得弦|AB|＝|AF|＋|BF|＝y1＋1＋y2＋1＝8.
答案：8
考点一 直线与圆锥曲线的位置关系|
1．(2016·兰州检测)若直线mx＋ny＝4和圆O：x2＋y2＝4没有交点，则过点(m，n)的直线与椭圆x29＋y24＝1的交点个数为( )
A．至多一个 B．2
C．1 D．0
解析：∵直线mx＋ny＝4和圆O：x2＋y2＝4没有交点，∴4m2＋n2>2，∴m2＋n2<4.∴m29＋n24
∴点(m，n)在椭圆x29＋y24＝1的内部，∴过点(m，n)的直线与椭圆x29＋y24＝1的交点有2个，故选B.
答案：B
2．若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同的两点，则k的取值范围是( )
A.－153，153 B.0，153
C.－153，0 D.－153，－1
解析：由 y＝kx＋2，x2－y2＝6，得(1－k2)x2－4kx－10＝0. 设直线与双曲线右支交于不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则 1－k2≠0，Δ＝16k2－41－k2×－10>0，x1＋x2＝4k1－k2>0，x1x2＝－101－k2>0，
解得－153
答案：D
考点二 弦长问题|
已知F1，F2是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的两个焦点，O为坐标原点，点P－1，22在椭圆上，且PF1→·F1F2→＝0，⊙O是以F1F2为直径的圆，直线l：y＝kx＋m与⊙O相切，并且与椭圆交于不同的两点A，B.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)当OA→·OB→＝λ，且满足23≤λ≤34时，求弦长|AB|的取值范围．
[解] (1)依题意，可知PF1⊥F1F2，
∴c＝1，1a2＋12b2＝1，a2＝b2＋c2，解得a2＝2，b2＝1，c2＝1.∴椭圆的方程为x22＋y2＝1.
(2)直线l：y＝kx＋m与⊙O：x2＋y2＝1相切，则|m|k2＋1＝1，即m2＝k2＋1，由 x22＋y2＝1，y＝kx＋m，得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，
∵直线l与椭圆交于不同的两点A，B.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
∴Δ>0⇒k2>0⇒k≠0，
x1＋x2＝－4km1＋2k2，x1x2＝2m2－21＋2k2，
y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝m2－2k21＋2k2＝1－k21＋2k2，
∴OA→·OB→＝x1x2＋y1y2＝1＋k21＋2k2＝λ ∴23≤1＋k21＋2k2≤34，∴12≤k2≤1，
∴|AB|＝1＋k2x1＋x22－4x1x2＝22k4＋k24k4＋k2＋1
设u＝k4＋k212≤k2≤1，
则34≤u≤2，|AB|＝22u4u＋1
＝212－124u＋1，u∈34，2，
∵|AB|(u)在34，2上单调递增，
∴62≤|AB|≤43.
解决弦长问题的注意点
(1)利用弦长公式求弦长要注意斜率k不存在的情形，若k不存在时，可直接求交点坐标再求弦长．
(2)涉及焦点弦长时要注意圆锥曲线定义的应用．
已知抛物线y2＝8x的焦点为F，直线y＝k(x－2)与此抛物线相交于P，Q两点，则1|FP|＋1|FQ|＝( )
A.12 B．1
C．2 D．4
解析：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由题意可知，
|PF|＝x1＋2，|QF|＝x2＋2，则1|FP|＋1|FQ|＝1x1＋2＋1x2＋2＝x1＋x2＋4x1x2＋2x1＋x2＋4，联立直线与抛物线方程消去y得，k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0，可知x1x2＝4，故1|FP|＋1|FQ|＝x1＋x2＋4x1x2＋2x1＋x2＋4＝x1＋x2＋42x1＋x2＋8＝12.故选A.
答案：A
考点三 中点弦问题|
弦的中点问题是考查直线与圆锥曲线位置关系的命题热点．归纳起来常见的探究角度有：
1．由中点弦确定直线方程．
2．由中点弦确定曲线方程．
3．由中点弦解决对称问题．
探究一 由中点弦确定直线方程
1．已知(4,2)是直线l被椭圆x236＋y29＝1所截得的线段的中点，则l的方程是________________．
解析：设直线l与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)．
则x2136＋y219＝1，且x2236＋y229＝1，
两式相减得y1－y2x1－x2＝－x1＋x24y1＋y2.
又x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，
所以y1－y2x1－x2＝－12，故直线l的方程为
y－2＝－12(x－4)，即x＋2y－8＝0.
答案：x＋2y－8＝0
探究二 由中点弦确定曲线方程
2．过点M(2，－2p)作抛物线x2＝2py(p>0)的两条切线，切点分别为A，B，若线段AB的中点的纵坐标为6，则抛物线方程为________．
解析：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，依题意得，y′＝xp，切线MA的方程是y－y1＝x1p(x－x1)，即y＝x1px－x212p.又点M(2，－2p)位于直线MA上，于是有－2p＝x1p×2－x212p，即x21－4x1－4p2＝0；同理有x22－4x2－4p2＝0，因此x1，x2是方程x2－4x－4p2＝0的两根，则x1＋x2＝4，x1x2＝－4p2.由线段AB的中点的纵坐标是6得，y1＋y2＝12，即x21＋x222p＝x1＋x22－2x1x22p＝12，16＋8p22p＝12，解得p＝1或p＝2.
答案：x2＝2y或x2＝4y
探究三 由中点弦解决对称问题
3．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a，b>0)上的一点到双曲线的左、右焦点的距离之差为4，若抛物线y＝ax2上的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线y＝x＋m对称，且x1x2＝－12，则m的值为( )
