7.2空间几何体的表面积和体积

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课时提升作业四十空间几何体的表面积与体积(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2021·福建高考)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积等于( )A.8+2√2B.11+2C.14+2√2D.15【解析】选B.由三视图可知,该几何体为底面是直角梯形的直四棱柱,所以S=2×(1+2)×1×12+2×2+1×2+1×2+√12+12×2=11+2√2.2.(2021·重庆高考)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ) A.13+π B.23+π C.13+2π D.23+2π【解析】选A.由三视图可知,该几何体为三棱锥和半个圆柱构成的组合体.由图中数据可知,三棱锥的体积为V1=13×12×1×2×1=13,半个圆柱的体积为V2=12×π×12×2=π,所以几何体的体积为13+π.3.(2022·日照模拟)一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A.9B.10C.11D.232【解析】选C.如图所示,据三视图,可知几何体为长方体截去三棱锥A1-AED1所剩的几何体,所以几何体的体积V=V长方体-V三棱锥A1−AED1=2×2×3-13×(12×2×1)×3=11.4.(2022·菏泽模拟)某几何体的三视图如图所示,若其正视图为等腰梯形,侧视图为正三角形,则该几何体的表面积为( )A.2√3+2B.6C.4√3+2D.8【解析】选B.依据几何体的三视图,知该几何体是一个三棱柱在两端各去掉一个全等的三棱锥,如图所示:底面ABCD是矩形,AB=2,AD=1,EF平行底面,且EF=1.过点E作EM⊥AB,垂足为M,则AM=12,所以EM=1,DE=AE=√12+(12)2=√52.所以S梯形ABFE=12×(1+2)×1=32=S梯形CDEF,S△ADE=S△BCF=12×1×√DE2−(AD2)2=12×1×1=12,S矩形ABCD=2×1=2;所以该几何体表面积S表面积=2+2×32+2×12=6.【加固训练】(2022·抚顺模拟)已知一个空间几何体的三视图如图所示,其中俯视图是边长为6的正三角形,若这个空间几何体存在唯一的一个内切球(与该几何体各个面都相切),则这个几何体的表面积是( )A.18√3B.36C.45√3D.54√3【解析】选D.由三视图知,几何体为正三棱柱.由于俯视图是边长为6的正三角形,所以几何体的内切球的半径R=6×√32×13=√3,所以三棱柱的侧棱长为2√3.所以几何体的表面积S=2×12×6×6×√32+3×6×2√3=54√3.5.(2022·滨州模拟)一几何体的三视图如图所示,若正视图和侧视图都是等腰直角三角形,直角边长为1,则该几何体外接球的表面积为( )A.4πB.3πC.2πD.π【解析】选B.由三视图知几何体是四棱锥,且四棱锥的一条侧棱垂直于底面,高等于1,其底面是边长为1的正方形,所以四棱锥的外接球即是边长为1的正方体的外接球,所以外接球的直径为√3,所以外接球的表面积为S=4π(√32)2=3π.【加固训练】(2022·杭州模拟)三棱锥S-ABC的全部顶点都在球O的表面上,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,又SA=AB=BC=1,则球O的表面积为( )A.√32π B.32π C.3π D.12π【解析】选C.依题意,球O的直径为SC,且SC=√SA2+AC2,又AB⊥BC,所以AC2=AB2+BC2,故SC=√12+12+12=√3,即球O 的半径为√32,所以球O的表面积为S=4π×(√32)2=3π.二、填空题(每小题5分,共15分)6.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为.【解析】由三视图可知,该几何体是一个长方体内挖去一个圆柱体,如图所示.长方体的长、宽、高分别为4,3,1,表面积为4×3×2+3×1×2+4×1×2=38,圆柱的底面圆直径为2,母线长为1,侧面积为2π×1×1=2π,圆柱的两个底面面积和为2×π×12=2π.故该几何体的表面积为38+2π-2π=38.答案:387.(2021·四川高考)在三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,其正视图和侧视图都是边长为1的正方形,俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形,设点M,N,P分别是AB,BC,B1C1的中点,则三棱锥P-A1MN的体积是.【解析】由三视图易知几何体ABC-A1B1C1是上、下底面为等腰直角三角形的直三棱柱, 则又S△PMN=12MN·NP=12×12×1=14,点A到平面PMN的距离h=12,所以1P A MNV=V A-PMN=13S△PMN·h=13×14×12=124.答案:1248.一个几何体的三视图如图所示,且其侧视图是一个等边三角形,则这个几何体的体积为.【解析】由已知中的三视图可得,该几何体由一个半圆锥和一个四棱锥组合而成,其中半圆锥的底面半径为1,四棱锥的底面是一个边长为2的正方形,它们的高均为√3,则V=13·(12π+4)·√3=(8+π)√36.答案:(8+π)√36三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形,正视图是一个底边长为8,高为4的等腰三角形,侧视图是一个底边长为6,高为4的等腰三角形.(1)求该几何体的体积V.(2)求该几何体的侧面积S.【解析】由已知可得,该几何体是一个底面为矩形,高为4,顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥V-ABCD,如图所示.(1)V=13×(8×6)×4=64.(2)该四棱锥有两个侧面VAD,VBC是全等的等腰三角形,且BC边上的高为h1=√42+(82)2=4√2,另两个侧面VAB,VCD也是全等的等腰三角形,AB边上的高为h2=√42+(62)2=5,因此S=2(12×8×5+12×6×4√2)=40+24√2.10.如图是一个以A1B1C1为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何体,截面为ABC,已知A1B1=B1C1=2,∠A1B1C1=90°,AA1=4,BB1=3,CC1=2,求:(1)该几何体的体积.(2)截面ABC的面积.【解析】(1)过C作平行于A1B1C1的截面A2B2C,交AA1,BB1分别于点A2,B2. 由直三棱柱性质及∠A1B1C1=90°可知B2C⊥平面ABB2A2,则=12×2×2×2+13×12×(1+2)×2×2=6.(2)在△ABC中,AB=√22+(4−3)2=√5,BC=√22+(3−2)2=√5,AC=√(2√2)2+(4−2)2=2√3.则S△ABC=12×2√3×√(√5)2−(√3)2=√6.【一题多解】本题(1)问还可以用以下方法解答:延长B1B,C1C到B3,C3,使得B3B1=C3C1=AA1.则=12×2×2×4-13×12×(1+2)×2×2=6.(20分钟40分)1.(5分)(2022·东营模拟)已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A.8π3B.3π C.10π3D.6π【解析】选B.由三视图可知,此几何体(如图所示)是底面半径为1,高为4的圆柱被从母线的中点处截去了圆柱的14,所以V=34×π×12×4=3π.【一题多解】解答本题,还有以下解法:选B.由三视图可知,此几何体是底面半径为1,高为4的圆柱从母线的中点处截去了圆柱的14,直观图如图(1)所示,我们可用大小与外形完全相同的几何体补成一个半径为1,高为6的圆柱,如图(2)所示,则所求几何体的体积为V=12×π×12×6=3π.2.(5分)(2022·日照模拟)点A,B,C,D在同一个球的球面上,AB=BC=AC=√3,若四周体ABCD体积的最大值为√3,则这个球的表面积为( ) A.16916π B.8π C.289π16D.25π16【解题提示】依据几何体的特征,判定外接球的球心,求出球的半径,即可求出球的表面积.【解析】选C.依据题意知,△ABC是一个等边三角形,其面积为3√34,外接圆的半径为1.小圆的圆心为Q,若四周体ABCD的体积取最大值,由于底面积S△ABC不变,高最大时体积最大,所以,DQ与平面ABC垂直时体积最大,最大值为13S△ABC×DQ=√3,所以DQ=4,设球心为O,半径为R,则在Rt△AQO中,OA2=AQ2+OQ2,即R2=12+(4-R)2,所以R=178,则这个球的表面积为S=4π(178)2=289π16.【加固训练】(2022·郑州模拟)一个棱长都为a的直三棱柱的六个顶点全部在同一个球面上,则该球的表面积为( )A.73πa2 B.2πa2C.114πa2 D.43πa2【解析】选A.如图,设O1,O2为直三棱柱两底面的中心,球心O为O1O2的中点.又直三棱柱的棱长为a,可知OO1=12a,AO1=√33a,设该球的半径为R,则R2=OA2=O O12+A O12=7a212,因此该直三棱柱外接球的表面积为S=4πR2=4π×7a212=73πa2.3.(5分)(2022·安徽高考)一个多面体的三视图如图所示,则该多面体的表面积为( )A.21+√3B.18+√3C.21D.18【解析】选A.由三视图可知原几何体是一个正方体截去两个全等的小正三棱锥.正方体的表面积为S=24,两个全等的三棱锥是以正方体的相对顶点为顶点,侧面是三个全等的直角边长为1的等腰直角三角形,其侧面面积的和为3,三棱锥的底面是边长为√2的正三角形,其表面积的和为√3,故所求几何体的表面积为24-3+√3=21+√3.4.(12分)已知一个几何体的三视图如图所示.(1)求此几何体的表面积.(2)假如点P,Q在正视图中所示位置:P为所在线段中点,Q为顶点,求在几何体表面上,从P点到Q点的最短路径的长. 【解析】(1)由三视图知:此几何体是一个圆锥加一个圆柱,其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和.S圆锥侧=12(2πa)·(√2a)=√2πa2,S圆柱侧=(2πa)·(2a)=4πa2,S圆柱底=πa2,所以S表面=√2πa2+4πa2+πa2=(√2+5)πa2.(2)沿P点与Q点所在母线剪开圆柱侧面,如图.则PQ=√AP2+AQ2=√a2+(πa)2=a√1+π2,所以从P点到Q点在侧面上的最短路径的长为a√1+π2.5.(13分)已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为20cm和30cm的正三角形,侧面是全等的等腰梯形,且侧面面积等于两底面面积之和,求棱台的体积.【解析】如图所示,在三棱台ABC-A′B′C′中,O′,O分别为上、下底面的中心,D,D′分别是BC,B′C′的中点,且DD′是等腰梯形BCC′B′的高,又由于B′C′=20cm,BC=30cm,所以S侧=3×12×(20+30)×DD′=75DD′.S上+S下=√34×(202+302)=325√3(cm2).由S侧=S上+S下,得75DD′=325√3,所以DD′=133√3cm,又由于O ′D ′=√36×20=10√33(cm),OD=√36×30=5√3(cm),所以棱台的高h=O ′O=√D′D 2−(OD −O′D′)2 =√(13√33)2−(5√3−10√33)2=4√3(cm),由棱台的体积公式,可得棱台的体积为 V=h3(S 上+S 下+√S 上S 下)=4√33×(325√3+√34×20×30)=1900(cm 3).即棱台的体积为1900cm 3.关闭Word 文档返回原板块。

空间几何体的表面积与体积公式大全一、 全（表）面积（含侧面积） 1、柱体① 棱柱 ② 圆柱 2、锥体① 棱锥：h c S ‘底棱锥侧21=② 圆锥：l c S 底圆锥侧21=3、 台体① 棱台：h c c S )(21‘下底上底棱台侧+=② 圆台：l c c S )(21下底上底棱台侧+=4、 球体① 球：r S 24π=球 ② 球冠：略 ③ 球缺：略 二、 体积 1、柱体① 棱柱 ② 圆柱 2、锥体① 棱锥 ② 圆锥3、① 棱台 ② 圆台 4、① 球：rV 334π=球②球冠：略 ③ 球缺：略说明：棱锥、棱台计算侧面积时使用侧面的斜高h '计算；而圆锥、圆台的侧面积计算时使用母线l 计算。

三、 拓展提高 1、祖暅原理：（祖暅：祖冲之的儿子）夹在两个平行平面间的两个几何体，如果它们在任意高度上的平行截面面积都相等，那么这两个几何体的体积相等。

最早推导出球体体积的祖冲之父子便是运用这个原理实现的。

2、阿基米德原理：（圆柱容球）圆柱容球原理：在一个高和底面直径都是r 2的圆柱形容器内装一个最大的球体，则该球体的全面积等于圆柱的侧面积，体积等于圆柱体积的32。

分析：圆柱体积：r r hSV r 3222)(ππ=⨯==圆柱圆柱侧面积：r hcS r r 242)2(ππ=⨯==圆柱侧因此：球体体积：r r V 3334232ππ=⨯=球球体表面积：r S 24π=球通过上述分析，我们可以得到一个很重要的关系（如图）+=即底面直径和高相等的圆柱体积等于与它等底等高的圆锥与同直径的球体积之和 3、台体体积公式公式： )(31S SS S h V 下下上上台++=证明：如图过台体的上下两底面中心连线的纵切面为梯形ABCD 。

延长两侧棱相交于一点P 。

设台体上底面积为S 上，下底面积为S 下高为h 。

易知：PDC ∆∽PAB ∆，设h PE 1=， 则h h PF +=1由相似三角形的性质得：PFPEAB CD =即：hh hSS +=11下上(相似比等于面积比的算术平方根)整理得：SS h S h 上下上-=1又因为台体的体积=大锥体体积—小锥体体积 ∴hS S S h h S h h S V 下上下上下台）（31)(313131111+-=-+=代入：SS h S h 上下上-=1得：h S S S SS h S V 下上下上下上台31)(31+--=即：)(3131)(31S SS S h h S S S hS V 下下上上下上下上台++=++=∴)(31S SS S h V 下下上上台++=4、球体体积公式推导分析：将半球平行分成相同高度的若干层（层n ），n 越大，每一层越近似于圆柱，+∞→n 时，每一层都可以看作是一个圆柱。

7.2 空间几何的体积与表面积（提升版）思维导图考点一柱锥台表面积【例1-1】（2022·青海）以边长为4的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周，所得圆柱的侧面积为（）A．32πB．16πC．32D．16【答案】A【解析】以边长为4的正方形的一边所在直线为旋转轴，旋转一周得到的旋转体为圆柱，其底面半径4r=，高4h=，故其侧面积224432S r hπππ=⋅=⨯⨯=．故选：A【例1-2】（2022·天津·南开中学模拟预测）已知圆锥PO的母线长与底面直径都等于2，一个圆柱内接于这个圆锥，即圆柱的上底面是圆锥的一个截面，下底面在圆锥的底面内，则圆柱侧面积的最大值为()A．3π2B．3πC．()633π-D．3【答案】A【解析】如图，1AB=，2BE=，3AE=，则30AEB∠=，设DC r=，01r<<，则2EC r=，3DE r=，则33AD AE DE r=-=-，考点呈现例题剖析∴圆柱侧面积为：)()221132π2π3323π23π22S r AD r r r r ⎡⎤⎛⎫=⋅=⋅=-+≤-+=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，当12r =时取等号．故选：A ． 【一隅三反】1．（2023·全国·高三专题练习）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥，若某直角圆锥内接于一球（圆锥的顶点和底面上各点均在该球面上），求此圆锥侧面积和球表面积之比（ ） A ．24B 22C 2D ．24π【答案】A【解析】设直角圆锥底面半径为r 2r ， ()222rr r -=，所以底面圆的圆心即为外接球的球心，所以外接球半径为r ， 所以22224S rl r S r πππ==圆锥侧球故选：A. 2．（2022·福建三明·模拟预测）如图所示的建筑物是号称“神州第一圆楼”的福建土楼——二宜楼，其外形是圆柱形，圆楼直径为73.4m ，忽略二宜楼顶部的屋檐，若二宜楼的外层圆柱墙面的侧面积略小于底面直径为40m ，高为77的圆锥的侧面积的23，则二宜楼外层圆柱墙面的高度可能为（ ）A ．16mB ．17mC ．18mD ．19m【答案】A【解析】底面直径为40m ，高为77m ()2210772090m +=，所以该圆锥的侧面积为220901800cm ππ⋅⋅=，设二宜楼外层圆柱墙面的高度为h ，则由36.72h π⨯1200π=，解得16.3h ≈因为二宜楼的外层圆柱墙面的侧面积略小于底面直径为40m ，高为77的圆锥的侧面积的23， 所以二宜楼外层圆柱墙面的高度可能为16m ， 故选：A3．（2022·江苏·阜宁县东沟中学模拟预测）民间娱乐健身工具陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏县发现的新石器时代遗址.如图所示的是一个陀螺的立体结构图.已知.底面圆的直径16cm AB =，圆柱体部分的高8cm BC =，圆锥体部分的高6cm CD =，则这个陀螺的表面积是（ ）A ．2192m c πB ．2252m c πC ．2272m c πD ．2336m c π【答案】C【解析】由题意可得圆锥体的母线长为226810l =+=， 所以圆锥体的侧面积为10880ππ⨯=，圆柱体的侧面积为168128ππ⨯=，圆柱的底面面积为2864ππ⨯=， 所以此陀螺的表面积为8012864272ππππ++=（2cm ），故选：C考点二 柱锥台的体积【例2-1】（2022·全国·高三专题练习）已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC 是边长为2的正三角形，SC 为球O 的直径，且4SC =，则此棱锥的体积为（ ）A 42B 43C 82D ．42【答案】A【解析】解：因为ABC 是边长为2的正三角形，所以ABC 外接圆的半径12232sin 60r =⋅=︒所以点O 到平面ABC 的距离2226d R r -SC 为球O 的直径，点S 到平面ABC 的距离为462d =此棱锥的体积为2111464222sin 60332ABCV S d =⨯=⨯⨯，故选：A ．【例2-2】（2022·天津·高考真题）如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形，直三棱柱的底面是顶角为120︒，腰为3的等腰三角形，则该几何体的体积为（ ）A ．23B ．24C ．26D ．27【答案】D【解析】该几何体由直三棱柱AFD BHC -及直三棱柱DGC AEB -组成，作HM CB ⊥于M ，如图， 因为3,120CH BH CHB ==∠=，所以3332CM BM HM ==， 因为重叠后的底面为正方形，所以33AB BC ==, 在直棱柱AFD BHC -中，AB ⊥平面BHC ，则AB HM ⊥, 由AB BC B ⋂=可得HM ⊥平面ADCB ， 设重叠后的EG 与FH 交点为,I则132713813333,=3333=322224I BCDA AFD BHC V V --=⨯=⨯⨯则该几何体的体积为8127222742AFD BHC I BCDA V V V --=-=⨯-=.故选：D. 【例2-3】（2022·湖北·高三阶段练习）已知四面体D ABC -中，1AC BC AD BD ====，则D ABC -体积的最大值为（ ） A 42B 32C 23D 3【答案】C【解析】设M 为CD 的中点，连接AM,BM , 设四面体A -BCD 的高为h ，则h AM ≤,由于1AC BC AD BD ====，故ACD BCD ≌ , 则ACD BCD ∠=∠,设π,(0,)2BCD ACD αα∈∠=∠=，则sin sin ,22cos 2cos AM BM BC CD CM BC αααα======, 所以1136D ABC A DBC BCDV V Sh CD BM AM --==⋅≤⋅⋅222222231112cos sin sin cos sin 2cos sin sin ()333232αααααααα++==⋅⋅23， 当且仅当平面ACD 与平面BCD 垂直且sin 2αα=即arctan 2α=时取等号，故选：C 【一隅三反】1．（2022·江苏）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S 甲和S 乙，体积分别为V 甲和V 乙．若=2S S 甲乙，则=VV 甲乙（ ） A 5B ．22C 10D 510【答案】C【解析】设母线长为l ，甲圆锥底面半径为1r ，乙圆锥底面圆半径为2r ，则11222S rl rS r l r ππ===甲乙，所以122r r =，又12222r r l l πππ+=，则121r r l +=，所以1221,33r l r l ==，所以甲圆锥的高221459h l l =-=，乙圆锥的高2221229h l l =-=，所以221122221453931011223r h l V V r h l l ππ==⨯甲乙故选：C. 2．（2022·广西桂林）一个三棱锥S -ABC 的侧棱上各有一个小洞D ，E ，F ，且SD ：DA =SE ：EB =CF ：FS =3：1，则这个容器最多可盛放原来容器的（ ） A ．89B ．49C ．5564D ．23【答案】C【解析】由题意，这个容器最多可盛放原来容器的比例为DEF ABC S ABC S DEFS ABC S ABC V V V V V ------=，设C 到平面SAB 的距离为h ，则13S ABC C ABS SAB V V Sh --==.又91991646464S DEF F SDE SABSAB C ABS V V S h S h V ---==⨯=⨯=，故915564164DEF ABC S ABC S DEFS ABC S ABCV V V V V -------=== 故选：C3．（2023·全国·高三专题练习）足球起源于中国古代的蹴鞠游戏.“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，如图所示.已知某“鞠”的表面上有四个点,,,P A B C，满足1,PA PA =⊥面ABC ，AC BC ⊥，若23P ABC V -=，则该“鞠”的体积的最小值为（ ）A ．256π B ．9πC ．92πD ．98π【答案】C【解析】取AB 中点为D ,过D 作//OD PA ,且11==22OD PA ,因为PA ⊥平面ABC,所以OD ⊥平面ABC .由于AC BC ⊥,故DA DB DC ==,进而可知OA OB OC OP ===,所以O 是球心,OA 为球的半径.由112==4323P ABC V AC CB PA AC CB -=⨯⋅⋅⇒⋅,又2222=8AB AC BC AC BC =+≥⋅,当且仅当2AC BC ==,等号成立,故此时22AB =所以球半径()2222113+2222R OA OD AB ⎛⎫⎛⎫==+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故min 3=2R ,体积最小值为334439πππ3322R ⎛⎫== ⎪⎝⎭故选:C4．（2023·全国·高三专题练习）已知正四棱锥的侧棱长为l ，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36π，且333l ≤≤ ） A ．8118,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．2781,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．2764,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[18,27]【答案】C【解析】∴ 球的体积为36π，所以球的半径3R =,设正四棱锥的底面边长为2a ，高为h ，则2222l a h =+，22232(3)a h =+-,所以26h l =，2222a l h =-所以正四棱锥的体积42622411214()=333366936l l l V Sh a h l l ⎛⎫==⨯⨯=⨯-⨯- ⎪⎝⎭，所以5233112449696l l V l l ⎛⎫⎛⎫-'=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当326l ≤≤0V '>，当2633l ≤0V '<， 所以当26l =时，正四棱锥的体积V 取最大值，最大值为643， 又3l =时，274V =，33l =814V =,所以正四棱锥的体积V 的最小值为274， 所以该正四棱锥体积的取值范围是276443⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.故选：C.考点三 球的体积与表面积【例3】（2022·甘肃省武威第一中学）如图，半径为4的球O 中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与圆柱的表面积之差为（ ）A ．64πB ．48πC ．32πD ．16π【答案】D 【解析】如图.设圆柱底面半径为r ，球的半径与圆柱底面夹角为OMN α∠=，则cos 4cos MN r R αα==⋅=，sin 4sin ON R αα=⋅=，∴圆柱的高8sin h α=，∴圆柱的侧面积为232sin2S r h ππα=⋅⋅=⋅，当且仅当4πα=时，sin21α=，圆柱的侧面积最大，为32π， 球的表面积与圆柱的表面积之差为22422(22)64321616R rh πππππππ--⨯=--=.故选：D ． 【一隅三反】1．（2022·全国·赣州市第三中学）已知某正三棱锥S ABC -的内切球与外接球的球心恰好重合，如果其内切球的半径为1，其外接球的体积为36π，那么这个三棱锥的表面积为（ ） A ．24 B ．243C ．48D ．483【答案】B【解析】由题意可知，点S 在底面ABC 内的射影点D 为等边ABC 的中心，取线段BC 的中点E ，连接AE ，则2AD DE =，易知三棱锥S ABC -的外接球球心O 在线段SD 上，设正三棱锥S ABC -的外接球半径为R ，则34363R ππ=，解得3R =，设正三棱锥S ABC -的内切球的半径为r ，则1r =，故314SD R r =+=+=，SD ⊥平面ABC ，AD ⊂平面ABC ，SD AD ∴⊥，易知3OA R ==，则222222AD OA OD R r --=所以，122DE AD ==32AE =26sin 3AEAB π== 由勾股定理可得2226SA SD AD =+=所以，正三棱锥S ABC -是边长为6 因此，正三棱锥S ABC -的表面积为(23426=243故选：B.2．（2022·天津·耀华中学二模）一个圆锥的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的内切球的表面积和圆锥的侧面积的比为（ ） A ．2:3 B ．3:2 C ．1:2 D ．3:4【答案】A【解析】设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，圆锥的高为h ，内切球的半径为R ，其轴截面如图所示，设O 为内切球球心，因为圆锥的侧面展开图是一个半圆， 所以2l r ππ=，得2l r =，即2PA PB r ==， 所以222243PD PB BD r r r =--， 所以3PO PD OD r R =-=-， 因为POE △∴PBD △，所以PO OEPB BD=, 3r R Rr -=，得3R =， 所以圆锥的内切球的表面积和圆锥的侧面积的比为 22214:4:22:33R rl r r ππππ=⋅=，故选：A3．（2022·山东青岛·二模）《九章算术》中记录的“羡除”是算学和建筑学术语，指的是一段类似隧道形状的几何体，如图，羡除ABCDEF 中，底面ABCD 是正方形，EF ∥平面ABCD ，2EF =，其余棱长都为1，则这个几何体的外接球的体积为（ ）A 2B ．4π3C 82D ．4π【答案】B【解析】连接AC ,BD 交于点M ,取EF 的中点O ，则OM ⊥平面ABCD ,,取BC 的中点G ,连接FG ,作GH EF ⊥,垂足为H ，如图所示由题意可知，13,2HF FG ==222HG FG HF =- 所以2OM HG ==2AM =所以221OA OM AM +=,又1OE =, 所以1OA OB OC OD OE OF ======，即这个几何体的外接球的球心为O ，半径为1， 所以这个几何体的外接球的体积为33444ππ1π333V R ==⨯⨯=.故选：B.考点四 空间几何的截面【例4-1】（2022·全国·高三专题练习）已知圆锥的母线长为2，侧面积为23π，则过顶点的截面面积的最大值等于（ ） A 3B 2C ．3 D ．2【答案】D【解析】由圆锥的母线长为2，侧面积为3π，假设底面圆周长为l ，因此12232l π⨯⨯=，故底面圆周长为23π3由于轴截面为腰长为2，底边长为底面圆直径32π3.故当截面为顶角是π2的等腰三角形时面积最大，此时1π22sin 222S =⋅⋅⋅=.故选：D【例4-2】．（2022·湖南·长沙一中模拟预测）（多选）传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等．“圆柱容球”是阿基米德最为得意的发现；如图是一个圆柱容球，12O O ，为圆柱上下底面的圆心，O 为球心，EF 为底面圆1O 的一条直径，若球的半径2r =，则（ ）A ．球与圆柱的表面积之比为12：B ．平面DEF 截得球的截面面积最小值为165π C ．四面体CDEF 的体积的取值范围为3203⎛⎤⎥⎝⎦，D ．若P 为球面和圆柱侧面的交线上一点，则PE PF +的取值范围为22543⎡+⎣，【答案】BCD【解析】由球的半径为r ，可知圆柱的底面半径为r ，圆柱的高为2r ，则球表面积 为24r π，圆柱的表面积222226r r r r πππ+⋅=， 所以球与圆柱的表面积之比为23，故A 错误；过O 作1OG DO ⊥于G ，则由题可得125225OG ==设O 到平面DEF 的距离为1d ，平面DEF 截得球的截面圆的半径为1r ，则1d OG ≤，22221114164455r r d d =-=-≥-=， 所以平面DEF 截得球的截面面积最小值为165π，故B 正确； 由题可知四面体CDEF 的体积等于12E DCO V -，点E 到平面1DCO 的距离(0,4]d ∈， 又114482DCO S=⨯⨯=，所以123228(0,]33E DCO V d -=⨯∈，故C 正确；由题可知点P 在过球心与圆柱的底面平行的截面圆上，设P 在底面的射影为P '，则2222222,2,2,16PP PE P E PF P F P E P F '''''==+++=，设2t P E '=，则20,4t ⎡⎤∈⎣⎦，222216PE PF t t +++-所以()222222216241680PE PF t tt t +=++-=+-++()224281442485,48t ⎡⎤=+--++⎣⎦，所以225,43PE PF ⎡+∈+⎣，故D 正确.故选：BCD.【一隅三反】1．（2022·江西鹰潭·二模）《算数术》竹简于上世纪八十年代出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相乘也，叉以高乘之，三十六成一."该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式2136V L h ≈.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.现有一圆锥底面周长为563，侧面面积为1123，其体积的近似公式为23112V L h ≈，用此π的近似取值（用分数表示）计算过该圆锥顶点的截面面积的最大值为（ ） A ．15 B ．37C ．8821D ．8【答案】D【解析】若圆锥母线长为l ，底面半径为r ，则156112233l ⨯=，故4l，又5623r π=，故283r π=， 而22133112V r h L h π=≈，则2228356()()31123ππ⨯≈⨯，可得289π=， 所以3r =，若截面顶角θ，当截面为轴截面时2221cos 108r l θ=-=-<，此时2πθπ<<，又截面面积为21sin 8sin 2l θθ=，故当2πθ=时截面面积的最大值为8.故选：D2．（2022·河南·方城第一高级中学）某中学开展劳动实习，学生对圆台体木块进行平面切割，已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，要求切割面经过圆台的两条母线且使得切割面的面积最大.3则切割面的面积为______3______. 【答案】 2 33【解析】解法一：如图，将圆台1O O 补成圆锥PO ，设圆台1O O 的上、下底面半径分别为r ，R ，高和母线长分别为h ，l ，则()222l h R r =+-.因为等腰梯形ABCD 为过两条母线的截面，设PC x =.APB θ∠=，则r x R x l=+，得rl x R r=-，则()()2221sin sin 22PAB PCD ABCD R r S S S x l x l R r θθ+⎡⎤=-=+-=⎣⎦-△△梯形.∴若33h ，则23l =，0120θ︒<≤︒，当90θ=︒时，切割面的面积最大，最大面积2S =；∴若3h =2l =，060θ︒<︒≤，当60θ=︒时，切割面的面积最大，最大面积33S =解法二：如图，设圆台上底面圆心为1O ，下底面圆心为O ，过两条母线的截面为四边形11ABB A ，可得四边形11ABB A 为等腰梯形.设111AO B AOB θ∠=∠=，圆台的高1O O h =，取11A B ，AB 的中点分别为1C ，D ，连接11O C ，1C D ，OD ，则四边形11O C DO 为直角梯形，过1C 作11C C O O ∥交OD 于点C.因为111O B =，2OB =，所以11cos2O C θ=，111122sin2A B B C θ==，2cos2OD θ=，24sin 2AB BD θ==，所以11cos 2CD OD O C θ=-=，所以221cos 2DC h θ=+则()11221111cos 222ABB A S S AB A B DC h θθ==+⋅=+梯形令sin 2t θ=，因为(]0,θπ∈，所以(]0,1t ∈，则2231S t h =-+(]0,1t ∈.∴当3h 时，2222244333232t t S t t ⎛⎫+- ⎪⎛⎫=-≤= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭，当且仅当2243t t =-，即6t =max 2S =.∴当3h =()22423434S t t t t =--+令2t x =，则(]0,1x ∈，()24224424t t x x x -+=-+=--+，当1x =时，取最大值3.此时max 33S =故答案为：2；333．（2022·青海·海东市第一中学）已知圆锥的底面直径为2323则该圆锥的体积为________． 5π【解析】由题意知：圆锥的底面半径3r =设圆锥的母线长为l ，则2213sin 2323l π⋅==22l =∴圆锥的高22835h l r =--=∴圆锥的体积2153V r h ππ=⋅=.5π.。

⾼中数学必修2《空间⼏何体的表⾯积与体积》教案 ⾼中数学必修2《空间⼏何体的表⾯积与体积》教案 1教学⺫标 1.知道柱体、锥体、台体侧⾯展开图，弄懂柱体、锥体、台体的表⾯积的求法. 2.能运⽤公式求解柱体、锥体和台体的表⾯积，并知道柱体、锥体和台体表⾯积之间的关系. 2学情分析 通过学习空间⼏何体的结构特征，空间⼏何体的三视图和直观图，了解了空间⼏何体和平⾯图形之间的关系，从中反映出⼀个思想⽅法，即平⾯图形和空间⼏何体的互化，尤其是空间⼏何问题向平⾯问题的转化。

该部分内容中有些是学⽣已经熟悉的，在解决这些问题的过程中，⾸先要对学⽣已有的知识进⾏再认识，提炼出解决问题的⼀般思想——化归的思想，总结出⼀般的求解⽅法，在此基础上通过类⽐获得解决新问题的思路，通过化归解决问题，深化对化归、类⽐等思想⽅法的应⽤。

3重点难点 重点：知道柱体、锥体、台体侧⾯展开图，弄懂柱体、锥体、台体的表⾯积公式。

难点：会求柱体、锥体和台体的表⾯积，并知道柱体、锥体和台体表⾯积之间的关系. 4教学过程 4.1 第⼀学时教学活动活动1【导⼊】第1课时　柱体、锥体、台体的表⾯积 (⼀)、基础⾃测： 1.棱⻓为a的正⽅体表⾯积为__________. 2.⻓、宽、⾼分别为a、b、c的⻓⽅体，其表⾯积为___________________. 3.⻓⽅体、正⽅体的侧⾯展开图为__________. 4.圆柱的侧⾯展开图为__________. 5.圆锥的侧⾯展开图为__________. (⼆).尝试学习 1.柱体的表⾯积 (1)侧⾯展开图：棱柱的侧⾯展开图是____________，⼀边是棱柱的侧棱，另⼀边等于棱柱的__________，如图①所⽰;圆柱的侧⾯展开图是_______，其中⼀边是圆柱的⺟线，另⼀边等于圆柱的底⾯周⻓，如图②所⽰. (2)⾯积：柱体的表⾯积S表=S侧+2S底.特别地，圆柱的底⾯半径为r，⺟线⻓为l，则圆柱的侧⾯积S侧=__________，表⾯积S表=__________. 2.锥体的表⾯积 (1)侧⾯展开图：棱锥的侧⾯展开图是由若干个__________拼成的，则侧⾯积为各个三⾓形⾯积的_____，如图①所⽰;圆锥的侧⾯展开图是_______，扇形的半径是圆锥的______，扇形的弧⻓等于圆锥的__________，如图②所⽰. (2)⾯积：锥体的表⾯积S表=S侧+S底.特别地，圆锥的底⾯半径为r，⺟线⻓为l，则圆锥的侧⾯积S侧=__________，表⾯积S表=__________. 3.台体的表⾯积 (1)侧⾯展开图：棱台的侧⾯展开图是由若干个__________拼接⽽成的，则侧⾯积为各个梯形⾯积的______，如图①所⽰;圆台的侧⾯展开图是扇环，其侧⾯积可由⼤扇形的⾯积减去⼩扇形的⾯积⽽得到，如图②所⽰. (2)⾯积：台体的表⾯积S表=S侧+S上底+S下底.特别地，圆台的上、下底⾯半径分别为r′，r，⺟线⻓为l，则侧⾯积S侧=____________，表⾯积S表=________________________. (三).互动课堂 例1：在三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=a，∠AA1B1=∠AA1C1=60°，∠BB1C1=90°，侧棱⻓为b，则其侧⾯积为( ) A. B.ab C.(+)ab D.ab 例2:(1)若⼀个圆锥的轴截⾯是等边三⾓形，其⾯积为，则这个圆锥的侧⾯积是( )A.2πB.C.6πD.9π (2)已知棱⻓均为5，底⾯为正⽅形的四棱锥S-ABCD，如图，求它的侧⾯积、表⾯积. 例3：⼀个四棱台的上、下底⾯都为正⽅形，且上底⾯的中⼼在下底⾯的投影为下底⾯中⼼(正四棱台)两底⾯边⻓分别为1,2，侧⾯积等于两个底⾯积之和，则这个棱台的⾼为( ) A. B.2 C. D. (四).巩固练习： 1.⼀个棱柱的侧⾯展开图是三个全等的矩形，矩形的⻓和宽分别为6 cm,4 cm，则该棱柱的侧⾯积为________. 2.已知⼀个四棱锥底⾯为正⽅形且顶点在底⾯正⽅形射影为底⾯正⽅形的中⼼(正四棱锥)，底⾯正⽅形的边⻓为4 cm，⾼与斜⾼的夹⾓为30°，如图所⽰，求正四棱锥的侧⾯积________和表⾯积________(单位：cm2). 3.如图所⽰，圆台的上、下底半径和⾼的⽐为1：4：4，⺟线⻓为10，则圆台的侧⾯积为( )A.81πB.100πC.14πD.169π (五)、课堂⼩结： 求柱体表⾯积的⽅法 (1)直棱柱的侧⾯积等于它的底⾯周⻓和⾼的乘积;表⾯积等于它的侧⾯积与上、下两个底⾯的⾯积之和. (2)求斜棱柱的侧⾯积⼀般有两种⽅法：⼀是定义法;⼆是公式法.所谓定义法就是利⽤侧⾯积为各侧⾯⾯积之和来求，公式法即直接⽤公式求解. (3)求圆柱的侧⾯积只需利⽤公式即可求解. (4)求棱锥侧⾯积的⼀般⽅法：定义法. (5)求圆锥侧⾯积的⼀般⽅法：公式法：S侧=πrl. (6)求棱台侧⾯积的⼀般⽅法：定义法. (7)求圆台侧⾯积的⼀般⽅法：公式法S侧=2(r+r′)l. 五、当堂检测 1.(2011·北京)某四棱锥的三视图如图所⽰，该四棱锥的表⾯积是( )A.32B.16+16C.48D.16+32 ⺴] 2.(2013·重庆)某⼏何体的三视图如图所⽰，则该⼏何体的表⾯积为( )A.180B.200C.220D.240 3.(2013⼲东)若⼀个圆台的正视图如图所⽰，则其侧⾯积等于( )A.6B.6πC.3πD.6π 六、作业：(1)课时闯关(今晚交) 七、课后反思：本节课你会哪些?还存在哪些问题? 1.3　空间⼏何体的表⾯积与体积 课时设计课堂实录 1.3　空间⼏何体的表⾯积与体积 1第⼀学时教学活动活动1【导⼊】第1课时　柱体、锥体、台体的表⾯积 (⼀)、基础⾃测： 1.棱⻓为a的正⽅体表⾯积为__________. 2.⻓、宽、⾼分别为a、b、c的⻓⽅体，其表⾯积为___________________. 3.⻓⽅体、正⽅体的侧⾯展开图为__________. 4.圆柱的侧⾯展开图为__________. 5.圆锥的侧⾯展开图为__________. (⼆).尝试学习 1.柱体的表⾯积 (1)侧⾯展开图：棱柱的侧⾯展开图是____________，⼀边是棱柱的侧棱，另⼀边等于棱柱的__________，如图①所⽰;圆柱的侧⾯展开图是_______，其中⼀边是圆柱的⺟线，另⼀边等于圆柱的底⾯周⻓，如图②所⽰. (2)⾯积：柱体的表⾯积S表=S侧+2S底.特别地，圆柱的底⾯半径为r，⺟线⻓为l，则圆柱的侧⾯积S侧=__________，表⾯积S表=__________. 2.锥体的表⾯积 (1)侧⾯展开图：棱锥的侧⾯展开图是由若干个__________拼成的，则侧⾯积为各个三⾓形⾯积的_____，如图①所⽰;圆锥的侧⾯展开图是_______，扇形的半径是圆锥的______，扇形的弧⻓等于圆锥的__________，如图②所⽰. (2)⾯积：锥体的表⾯积S表=S侧+S底.特别地，圆锥的底⾯半径为r，⺟线⻓为l，则圆锥的侧⾯积S侧=__________，表⾯积S表=__________. 3.台体的表⾯积 (1)侧⾯展开图：棱台的侧⾯展开图是由若干个__________拼接⽽成的，则侧⾯积为各个梯形⾯积的______，如图①所⽰;圆台的侧⾯展开图是扇环，其侧⾯积可由⼤扇形的⾯积减去⼩扇形的⾯积⽽得到，如图②所⽰. (2)⾯积：台体的表⾯积S表=S侧+S上底+S下底.特别地，圆台的上、下底⾯半径分别为r′，r，⺟线⻓为l，则侧⾯积S侧=____________，表⾯积S表=________________________. (三).互动课堂 例1：在三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=a，∠AA1B1=∠AA1C1=60°，∠BB1C1=90°，侧棱⻓为b，则其侧⾯积为( ) A. B.ab C.(+)ab D.ab 例2:(1)若⼀个圆锥的轴截⾯是等边三⾓形，其⾯积为，则这个圆锥的侧⾯积是( )A.2πB.C.6πD.9π (2)已知棱⻓均为5，底⾯为正⽅形的四棱锥S-ABCD，如图，求它的侧⾯积、表⾯积. 例3：⼀个四棱台的上、下底⾯都为正⽅形，且上底⾯的中⼼在下底⾯的投影为下底⾯中⼼(正四棱台)两底⾯边⻓分别为1,2，侧⾯积等于两个底⾯积之和，则这个棱台的⾼为( ) A. B.2 C. D. (四).巩固练习： 1.⼀个棱柱的侧⾯展开图是三个全等的矩形，矩形的⻓和宽分别为6 cm,4 cm，则该棱柱的侧⾯积为________. 2.已知⼀个四棱锥底⾯为正⽅形且顶点在底⾯正⽅形射影为底⾯正⽅形的中⼼(正四棱锥)，底⾯正⽅形的边⻓为4 cm，⾼与斜⾼的夹⾓为30°，如图所⽰，求正四棱锥的侧⾯积________和表⾯积________(单位：cm2). 3.如图所⽰，圆台的上、下底半径和⾼的⽐为1：4：4，⺟线⻓为10，则圆台的侧⾯积为( )A.81πB.100πC.14πD.169π (五)、课堂⼩结： 求柱体表⾯积的⽅法 (1)直棱柱的侧⾯积等于它的底⾯周⻓和⾼的乘积;表⾯积等于它的侧⾯积与上、下两个底⾯的⾯积之和. (2)求斜棱柱的侧⾯积⼀般有两种⽅法：⼀是定义法;⼆是公式法.所谓定义法就是利⽤侧⾯积为各侧⾯⾯积之和来求，公式法即直接⽤公式求解. (3)求圆柱的侧⾯积只需利⽤公式即可求解. (4)求棱锥侧⾯积的⼀般⽅法：定义法. (5)求圆锥侧⾯积的⼀般⽅法：公式法：S侧=πrl. (6)求棱台侧⾯积的⼀般⽅法：定义法. (7)求圆台侧⾯积的⼀般⽅法：公式法S侧=2(r+r′)l. 五、当堂检测 1.(2011·北京)某四棱锥的三视图如图所⽰，该四棱锥的表⾯积是( )A.32B.16+16C.48D.16+32 ⺴] 2.(2013·重庆)某⼏何体的三视图如图所⽰，则该⼏何体的表⾯积为( )A.180B.200C.220D.240 3.(2013⼲东)若⼀个圆台的正视图如图所⽰，则其侧⾯积等于( )A.6B.6πC.3πD.6π 六、作业：(1)课时闯关(今晚交) 七、课后反思：本节课你会哪些?还存在哪些问题? ⼩编推荐各科教学设计： 、、、、、、、、、、、、 ⼩编推荐各科教学设计： 、、、、、、、、、、、、。

《空间几何体》知识点总结一、 空间几何体的结构特征（1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体旋转体一一把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。

其 中，这条定直线称为旋转体的轴。

（2 ）柱，锥，台，球的结构特征1.1棱柱一一有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都 互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。

1.2圆柱一一以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何 体叫圆柱.2.1棱锥一一有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的 几何体叫做棱锥。

2.2圆锥一一以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所 围成的几何体叫圆锥。

3.1棱台——用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面与底面之间的部分称为棱台 3.2圆台一一用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台4.1球一一以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球二、 空间几何体的三视图与直观图1. 投影：区分中心投影与平行投影。

平行投影分为正投影和斜投影。

2. 三视图一一正视图；侧视图；俯视图；是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而 画出的图形；画三视图的原则： 长对齐、高对齐、宽相等3. 直观图：直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。

4. 斜二测法：在坐标系 x'o'y'中画直观图时，已知图形中平行于坐标轴的线段保持平行性 不变，平行于x 轴（或在x 轴上）的线段保持长度不变，平行于y 轴（或在y 轴上）的线 段长度减半。

三、空间几何体的表面积与体积1、空间几何体的表面积① 棱柱、棱锥的表面积： 各个面面积之和2② 圆柱的表面积S = 2二「I • 2二r 2 ③圆锥的表面积 S =理「I •二r 2、空间几何体的体积 ④圆台的表面积S 二rl + Tt r 2 2 2 R ⑤球的表面积S = 4二R ⑥扇形的面积公式s 扇形 360^1|r （其中I 表示弧长，r 表示半径） ①柱体的体积 v = s 底②锥体的体积 1 VjS 底 h③台体的体积 v =丄（S 上S 上 S 下 • S 下）h ④球体的体积v3 知识赠送以下资料英语万能作文（模板型）Along with the adva nee of the society more and more problems arebrought to our atte nti on, one of which is that....随着社会的不断发展，出现了越来越多的问题，其中之一便是As to whether it is a blessing or a curse, however, people take differe nt attitudes.然而，对于此类问题，人们持不同的看法。

空间几何体的表面积与体积教案第一章：引言1.1 教学目标让学生了解空间几何体的概念让学生理解表面积与体积的意义让学生掌握空间几何体的表面积与体积的计算方法1.2 教学内容空间几何体的定义与分类表面积与体积的概念空间几何体的表面积与体积的计算方法1.3 教学方法采用多媒体课件进行讲解配合实物模型进行演示引导学生进行分组讨论与实践1.4 教学步骤引入空间几何体的概念，分类介绍常见的空间几何体讲解表面积与体积的定义，引导学生理解其意义演示空间几何体的表面积与体积的计算方法引导学生进行分组讨论与实践，巩固所学知识第二章：立方体2.1 教学目标让学生掌握立方体的表面积与体积的计算方法让学生能够应用立方体的表面积与体积解决实际问题2.2 教学内容立方体的定义与性质立方体的表面积与体积的计算公式立方体表面积与体积的应用实例2.3 教学方法采用多媒体课件进行讲解配合实物模型进行演示引导学生进行分组讨论与实践2.4 教学步骤引入立方体的定义与性质，讲解立方体的特点讲解立方体的表面积与体积的计算公式给出立方体表面积与体积的应用实例，引导学生进行实践引导学生进行分组讨论与练习，巩固所学知识第三章：球体3.1 教学目标让学生掌握球体的表面积与体积的计算方法让学生能够应用球体的表面积与体积解决实际问题3.2 教学内容球体的定义与性质球体的表面积与体积的计算公式球体表面积与体积的应用实例3.3 教学方法采用多媒体课件进行讲解配合实物模型进行演示引导学生进行分组讨论与实践3.4 教学步骤引入球体的定义与性质，讲解球体的特点讲解球体的表面积与体积的计算公式给出球体表面积与体积的应用实例，引导学生进行实践引导学生进行分组讨论与练习，巩固所学知识第四章：圆柱体4.1 教学目标让学生掌握圆柱体的表面积与体积的计算方法让学生能够应用圆柱体的表面积与体积解决实际问题4.2 教学内容圆柱体的定义与性质圆柱体的表面积与体积的计算公式圆柱体表面积与体积的应用实例4.3 教学方法采用多媒体课件进行讲解配合实物模型进行演示引导学生进行分组讨论与实践4.4 教学步骤引入圆柱体的定义与性质，讲解圆柱体的特点讲解圆柱体的表面积与体积的计算公式给出圆柱体表面积与体积的应用实例，引导学生进行实践引导学生进行分组讨论与练习，巩固所学知识第五章：圆锥体5.1 教学目标让学生掌握圆锥体的表面积与体积的计算方法让学生能够应用圆锥体的表面积与体积解决实际问题5.2 教学内容圆锥体的定义与性质圆锥体的表面积与体积的计算公式圆锥体表面积与体积的应用实例5.3 教学方法采用多媒体课件进行讲解配合实物模型进行演示引导学生进行分组讨论与实践5.4 教学步骤引入圆锥体的定义与性质，讲解圆锥体的特点讲解圆锥体的表面积与体积的计算公式给出圆锥体表面积与体积的应用实例，引导学生进行实践引导学生进行分组讨论与练习，巩固所学知识第六章：圆台体6.1 教学目标让学生掌握圆台体的表面积与体积的计算方法让学生能够应用圆台体的表面积与体积解决实际问题6.2 教学内容圆台体的定义与性质圆台体的表面积与体积的计算公式圆台体表面积与体积的应用实例6.3 教学方法采用多媒体课件进行讲解配合实物模型进行演示引导学生进行分组讨论与实践6.4 教学步骤引入圆台体的定义与性质，讲解圆台体的特点讲解圆台体的表面积与体积的计算公式给出圆台体表面积与体积的应用实例，引导学生进行实践引导学生进行分组讨论与练习，巩固所学知识第七章：椭球体7.1 教学目标让学生掌握椭球体的表面积与体积的计算方法让学生能够应用椭球体的表面积与体积解决实际问题7.2 教学内容椭球体的定义与性质椭球体的表面积与体积的计算公式椭球体表面积与体积的应用实例7.3 教学方法采用多媒体课件进行讲解配合实物模型进行演示引导学生进行分组讨论与实践7.4 教学步骤引入椭球体的定义与性质，讲解椭球体的特点讲解椭球体的表面积与体积的计算公式给出椭球体表面积与体积的应用实例，引导学生进行实践引导学生进行分组讨论与练习，巩固所学知识第八章：锥台的表面积与体积8.1 教学目标让学生掌握锥台的表面积与体积的计算方法让学生能够应用锥台的表面积与体积解决实际问题8.2 教学内容锥台的定义与性质锥台的表面积与体积的计算公式锥台表面积与体积的应用实例8.3 教学方法采用多媒体课件进行讲解配合实物模型进行演示引导学生进行分组讨论与实践8.4 教学步骤引入锥台的定义与性质，讲解锥台的特点讲解锥台的表面积与体积的计算公式给出锥台表面积与体积的应用实例，引导学生进行实践引导学生进行分组讨论与练习，巩固所学知识第九章：空间多面体的表面积与体积9.1 教学目标让学生掌握空间多面体的表面积与体积的计算方法让学生能够应用空间多面体的表面积与体积解决实际问题9.2 教学内容空间多面体的定义与性质空间多面体的表面积与体积的计算方法空间多面体表面积与体积的应用实例9.3 教学方法采用多媒体课件进行讲解配合实物模型进行演示引导学生进行分组讨论与实践9.4 教学步骤引入空间多面体的定义与性质，讲解空间多面体的特点讲解空间多面体的表面积与体积的计算方法给出空间多面体表面积与体积的应用实例，引导学生进行实践引导学生进行分组讨论与练习，巩固所学知识第十章：空间几何体的表面积与体积的综合应用10.1 教学目标让学生能够综合运用空间几何体的表面积与体积解决实际问题培养学生解决复杂问题的能力10.2 教学内容空间几何体表面积与体积在实际问题中的应用空间几何体表面积与体积的综合练习题10.3 教学方法采用多媒体课件进行讲解配合实物模型进行演示引导学生进行分组讨论与实践10.4 教学步骤讲解空间几何体表面积与体积在实际问题中的应用实例给出空间几何体表面积与体积的综合练习题，引导学生进行实践引导学生进行分组讨论与练习，巩固所学知识第十一章：空间几何体的表面积与体积的数学理论基础11.1 教学目标让学生了解空间几何体表面积与体积的数学理论基础让学生理解空间几何体表面积与体积的公式的推导过程11.2 教学内容空间几何体表面积与体积的数学理论基础空间几何体表面积与体积公式的推导过程11.3 教学方法采用多媒体课件进行讲解配合实物模型进行演示引导学生进行分组讨论与实践11.4 教学步骤讲解空间几何体表面积与体积的数学理论基础推导空间几何体表面积与体积的公式的过程引导学生进行分组讨论与练习，巩固所学知识第十二章：空间几何体的表面积与体积在工程中的应用12.1 教学目标让学生了解空间几何体表面积与体积在工程中的应用培养学生解决实际问题的能力12.2 教学内容空间几何体表面积与体积在工程中的应用实例12.3 教学方法采用多媒体课件进行讲解配合实物模型进行演示引导学生进行分组讨论与实践12.4 教学步骤讲解空间几何体表面积与体积在工程中的应用实例引导学生进行分组讨论与实践，巩固所学知识第十三章：空间几何体的表面积与体积在建筑设计中的应用13.1 教学目标让学生了解空间几何体表面积与体积在建筑设计中的应用培养学生解决实际问题的能力13.2 教学内容空间几何体表面积与体积在建筑设计中的应用实例13.3 教学方法采用多媒体课件进行讲解配合实物模型进行演示引导学生进行分组讨论与实践13.4 教学步骤讲解空间几何体表面积与体积在建筑设计中的应用实例引导学生进行分组讨论与实践，巩固所学知识第十四章：空间几何体的表面积与体积在物理中的应用14.1 教学目标让学生了解空间几何体表面积与体积在物理中的应用培养学生解决实际问题的能力14.2 教学内容空间几何体表面积与体积在物理中的应用实例14.3 教学方法采用多媒体课件进行讲解配合实物模型进行演示引导学生进行分组讨论与实践14.4 教学步骤讲解空间几何体表面积与体积在物理中的应用实例引导学生进行分组讨论与实践，巩固所学知识第十五章：空间几何体的表面积与体积的拓展与研究15.1 教学目标激发学生对空间几何体表面积与体积的拓展与研究的兴趣培养学生创新思维与研究能力15.2 教学内容空间几何体表面积与体积的拓展与研究实例15.3 教学方法采用多媒体课件进行讲解配合实物模型进行演示引导学生进行分组讨论与实践15.4 教学步骤讲解空间几何体表面积与体积的拓展与研究实例引导学生进行分组讨论与实践，巩固所学知识鼓励学生进行创新思维与研究重点和难点解析本文主要介绍了空间几何体的表面积与体积的概念、计算方法以及在各个领域的应用。

7.2 空间几何的体积与表面积（精练）（提升版）1．（2022·陕西西安）一个直角三角形的两条直角边长分别为2和23，将该三角形的斜边旋转一周得到的几何体的表面积为（ ） A ．()623π+ B ．()623π-C ．23πD ．6π【答案】A【解析】如图所示，在直角ABC 中，23,2AC BC ==，可得224AB AC BC =+=， 可得3AC BCOC AB⋅==，即旋转体的底面圆的半径为3r =，所以该旋转体的表面积为： 32332(623)S r AC r BC πππππ=⋅+⋅=⋅⨯+⋅⨯=+.故选：A.2．（2022·山东日照）某正四棱锥的侧棱与底面所成的角为45°，则该正四棱锥的侧面与底面的面积之比为（ ） A ．32B ．22C ．2D ．3【答案】D【解析】如图，PO 是正四棱锥P ABCD -的高，设底面边长为a ，则底面积为21S a =，因为正四棱锥的侧棱与底面所成的角为45︒，题组一 柱锥台的表面积所以45PAO ∠=︒，又AO =，所以PA a ==， 所以PAB △是正三角形，面积为22S =，所以214S S =D. 3．（2022·全国·高三专题练习（理））已知Rt ABC △中，3AC =，4BC =，CD 是斜边AB 上的高，ACD △与ABC 绕AC 旋转一周得到的几何体的表面积分别为1S 和2S ，则12S S 的值为（ ） A ．21125B ．181400 C ．35D ．57【答案】A【解析】由题意得5AB =，125BC AC CD AB ⋅==，95AD ==，过点D 作DE AC ⊥，垂足为E ，则3625AD CD DE AC ⋅==，所以 1756125S DE AD DE CD πππ=⨯⨯+⨯⨯=，2236S BC AB BC πππ=⨯⨯+⨯=，所以127562112536125S S ππ==． 故选：A.4．（2022·宁夏石嘴山·一模（文））过圆锥的顶点P 作圆锥的截面，交底面圆O 于A ，B 两点，已知圆O 的半径为1，3APB π∠=，2AOB π∠=，则圆锥的侧面积为（ ）A ．2πBC ．(1πD ．【答案】B 【解析】如图所示，在Rt AOB中AB ==因为PA PB =且3APB π∠=所以PAB △为正三角形所以PA PB AB ==所以圆锥的侧面积S rl π==故选：B5．（2022·内蒙古呼和浩特·一模（文））攒尖是中国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为撮尖，清代称攒尖．通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分．多见于亭阁式建筑，园林建筑．如图所示的建筑屋顶是圆形攒尖，可近似看作一个圆锥，已知其轴截面(过圆锥旋转轴的截面)是底边长为6 m ，顶角为23π的等腰三角形，则该屋顶的侧面积约为( ) A ．26m π B ．263m π C ．233m π D ．2123m π【答案】B【解析】如图所示为该圆锥轴截面，由题意，底面圆半径为3r m ＝，母线23sin3r l mπ＝＝，侧面积πrl ＝π×3×23＝623m ﹒故选：B.6．（2022·江西·赣州市第三中学）斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”，如图给出了它的画法：以斐波那契数1，1，2，3，5，…为边的正方形依序拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为90︒的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线.如果用图中接下来的一段圆弧所对应的扇形做圆锥的侧面，那么该圆锥的表面积为（ ）A ．16πB ．20πC ．32πD ．36π【答案】B【解析】由斐波那契数的规律可知，从第三项起，每一个数都是前面两个数之和，即接下来的圆弧所在的扇形的半径是3+5=8，对应的弧长12844l ππ=⨯⨯=. 设圆锥底面半径为r ，则24r ππ=，即r =2. 该圆锥的表面积为21842202πππ⨯⨯+⨯=.故选：B.7（2022·全国·高三专题练习）（多选）某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台12O O ，在轴截面ABCD 中，2cm AB AD BC ===，且2CD AB =，则（ ）A ．该圆台的高为1cmB ．该圆台轴截面面积为2C 3D ．一只小虫从点C 沿着该圆台的侧面爬行到AD 的中点，所经过的最短路程为5cm【答案】BCD 【解析】如图，作BE CD ⊥交CD 于E ，易得12CD ABCE -==，则22213BE ，则圆台的高为，A 错误；圆台的轴截面面积为()2133c 4m 232⨯+⨯=，B 正确；圆台的体积为()3173cm 33443πππππ⨯⨯++⋅=，C 正确；将圆台一半侧面展开，如下图中ABCD ，设P 为AD 中点，圆台对应的圆锥一半侧面展开为扇形COD ，由1CE EO =可得2BC OB ==，则4OC =，4242COD ππ∠==，又32ADOP OA =+=，则22435CP =+=， 即点C 到AD 的中点所经过的最短路程为5cm ，D 正确. 故选：BCD.8．（2022·湖北·武汉二中模拟预测）陀螺是中国民间的娱乐工具之一，也叫作陀罗.陀螺的形状结构如图所示，由一个同底的圆锥体和圆柱体组合而成，若圆锥体和圆柱体的高以及底面圆的半径长分别为1h ，2h ，r ，且12h h r ==，设圆锥体的侧面积和圆柱体的侧面积分别为S 1和S 2，则12S S =___________. 【答案】22【解析】由题意，圆锥的母线长为2212l h r r =+=，则圆锥的侧面积为212S rl r ππ==， 根据圆柱的侧面积公式，可得圆柱的侧面积为22222S rh r ππ==，所以1222S S =.故答案为：22.1．（2022·全国·高三专题练习）在正四棱锥P ABCD -中，22AB =，若正四棱锥P ABCD -的体积是8，则该四棱锥的侧面积是（ ） A ．22 B ．222C ．422D ．822【答案】C【解析】如图，连接AC ，BD ，记ACBD O =，连接OP ，所以OP ⊥平面ABC D.题组二 柱锥台的体积取BC 的中点E ，连接OE PE ，.因为正四棱锥P ABCD -的体积是8，所以218833AB OP OP ⋅==，解得3OP =.因为12BE BC ==POE 中,PE ==则PBC 的面积为1122BC PE ⋅=⨯故该四棱锥的侧面积是故选：C2．（2022·湖北武汉·高三开学考试）2022年7月，台风“暹芭”登陆我国.某兴趣小组为了解台风“暹芭”对本市降雨量的影响，在下雨时，用一个圆台形的容器接雨水.已知该容器上底直径为56cm ，下底直径为24cm ，容器深18cm ，若容器中积水深9cm ，则平地降雨量是（ ）（注：平地降雨量等于容器中积水体积除以容器的上底面积） A ．2cm B ．3cm C ．4cm D ．5cm【答案】B【解析】根据题意可得，容器下底面面积为224π144π2⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭，上底面面积为256π784π2⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭,因为容器中积水高度为容器高度的91182=，则积水上底面恰为容器的中截面， 所以积水上底直径为5624402+=cm ，积水上底面面积为240π400π2⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭，所以积水体积为((1211144π400π92352π33S S S h =+=+⨯=， 则平地降雨量是2352π3784π=cm.故选：B. 3．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则下列四个结论错误的是（ ）A ．直线11A C 与1AD 为异面直线B ．11AC //平面1ACDC ．三棱锥1D ADC -的表面积为6+D ．三棱锥1D ADC -的体积为83【答案】D【解析】因为11A C ⊂平面11A C ,1AD 平面111A C D =,1AD ⊄平面11A C ,111D AC ∉,所以直线11A C 与1AD 为异面直线,故A 对.11//,AC A C AC ⊂平面1ACD ，11A C ⊄平面1ACD ，∴11A C 平面1ACD ，故B 对.1112222ADD CDD ADCSSS===⨯⨯=,(12213sin 6024ACD S AC =⨯==,所以三棱锥1D ADC -的表面积为6+C 对.1111142223323AD AD C D CV S DD -=⋅=⨯⨯⨯⨯=,故D 错.故选:D 4．（2022·全国·高三专题练习）（多选）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”．它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄､决胜千里､大智大勇的象征（如图1）．图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧,DE AC 所在圆的半径分别是3和9，且120ABC ∠=，则该圆台的（ ）A ．高为BC ．表面积为34πD ．上底面积､下底面积和侧面积之比为1:9:22【答案】AC【解析】设圆台的上底面半径为r ，下底面半径为R ，则11223,22933r R ππππ=⨯⨯=⨯⨯，解得1,3r R ==．圆台的母线长6l =，圆台的高为h ==，则选项A 正确；圆台的体积()221331133π=⨯+⨯+=，则选项B 错误；圆台的上底面积为π，下底面积为9π，侧面积为()13624ππ+⨯=，则圆台的表面积为92434ππππ++=，则C 正确；由前面可知上底面积､下底面积和侧面积之比为1:9:24，则选项D 错误．故选：AC ． 5．（2022·重庆）（多选）攒尖是中国传统建筑表现手法，是双坡屋顶形式之一，多用于面积不大的建筑，如塔、亭、阁等，常用于圆形、方形、六角形、八角形等平面的建筑物上，形成圆攒尖和多边形攒尖．以四角攒尖为例，如图，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥，已知此正四棱锥的侧面与底面所成的二面角为30°，侧棱长为 ）A ．底面边长为4米B ．侧棱与底面所成角的正弦值为77C ．侧面积为D ．体积为32立方米【答案】BD【解析】如图，在正四棱锥P ABCD -中，O 为底面ABCD 的中心，E 为CD 的中点，PE CD ⊥， 设底面边长为2a ，正四棱锥的侧面与底面所成的二面角为30，所以30PEO ∠=︒，则OE a =，OP =，PE =，所以222PE CE PC +=，即224283a a +=，可得a =底面边长为A 错误；侧棱与底面所成角的正弦值为OP CP ==B 正确；侧面积142PE CD =⨯⨯⨯=C 错误；体积21323V PO AB =⨯⨯=，D 正确．故选：BD1．（2022·全国·高三专题练习）如图，一个四分之一球形状的玩具储物盒，若放入一个玩具小球，合上盒盖，可放小球的最大半径为r .若是放入一个正方体，合上盒盖，可放正方体的最大棱长为a ，则ra=（ ） A ．22B ．34C ．22-D ．()3212-【答案】D【解析】设储物盒所在球的半径为R ，如图，小球最大半径r 满足()21r R +=，所以()2121Rr R ==-+，正方体的最大棱长a 满足()22222a a R ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得：23a R =，题组三 球的体积与表面积∴)3123ra==，故选：D.2．（2022·江苏南通·模拟预测）如图，在底面半径为1，高为5的圆柱内放置两个球，使得两个球与圆柱侧面相切，且分别与圆柱的上下底面相切．一个与两球均相切的平面斜截圆柱侧面，得到的截线是一个椭圆．则该椭圆的离心率为()A．22B ．32C．53D．63【答案】C【解析】如图所示，1BF=，32BO=，2sin3BOF∠=，则21sin3OMDOMOD OD∠===，∴32OD=，即32a=，而22b=，即1b=，∴c==，∴cea==．故选：C．3（2023·全国·高三专题练习）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥.若一个直角圆锥的侧面积为42π，圆锥的底面圆周和顶点都在同一球面上，则该球的体积为（）A ．83πB ．323πC ．16πD ．32π【答案】B【解析】设球半径为R ，圆锥的底面半径为r，若一个直角圆锥的侧面积为，设母线为l，则2224l l r l +=⇒=，所以直角圆锥的侧面积为：112222r l r ππ⨯⋅=⨯=， 可得：2r =，l ==12BO ==，由()2222r R R +-=，解得：2R =，所以球O 的体积等于344328333R πππ=⨯=， 故选：B4．（2022·全国·高三专题练习）圆柱上、下底面的圆周都在一个体积为5003π的球面上，圆柱底面直径为8，则该圆柱的体积为_______【答案】96π【解析】球的半径为R ，3450033R ππ=，解得5R =6=．可得16696V ππ=⋅=．故答案为：96π． 5．（2022·湖南岳阳·模拟预测）某球形巧克力设计了一种圆柱形包装盒，每盒可装7个球形巧克力，每盒只装一层，相邻的球形巧克力相切，与包装盒接触的6个球形巧克力与包装盒相切，如图是平行于底面且过圆柱母线中点的截面，设包装盒的底面半径为R ，球形巧克力的半径为r ，每个球形巧克力的体积为1V ，包装盒的体积为2V ，则12V V = ________【答案】227【解析】由图知3R r=，包装盒的高为2r，因此，232π218πV R r r=⋅=，又314π3V r=，所以31324π2318π27rVV r==.故答案为：2276．（2022·全国·高三专题练习）已知一个棱长为a的正方体木块可以在一个圆锥形容器内任意转动，若圆锥的底面半径为1，母线长为2，则a的最大值为______.【答案】23【解析】问题等价于求圆锥的内切球的半径r，由题意得：圆锥的轴截面为等边三角形，且边长为2123⨯，即r= max2r==max23a=.故答案为：237．（2023·全国·高三专题练习）如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB＝4，E是AD的中点，将,ABE CDE分别沿BE，CE折起，使得平面ABE∴平面BCE，平面CDE∴平面BCE，则所得几何体ABCDE的外接球的体积为______．【答案】323π【解析】由题可得,,ABE CDE BEC△△△均为等腰直角三角形，如图，设,,BE EC BC 的中点为,,M N O ，连接,,,,,,AM OM AO DN NO DO OE ，则,OM BE ON CE ⊥⊥，因为平面ABE ⊥平面BCE ，平面CDE ⊥平面BCE ，所以OM ⊥平面,ABE ON ⊥平面DEC ，易得2OA OB OC OD OE =====，则几何体ABCDE 的外接球的球心为O ，半径2R =，所以几何体ABCDE 的外接球的体积为3432ππ33V R ==． 故答案为：32π3 1．（2022·全国·高三专题练习）若一个圆锥的母线长为4，且其侧面积为其轴截面面积的4倍，则该圆锥的高为（ ）A ．π2B ．πC ．12D ．1【答案】B【解析】如图所示，设圆锥的高为h ，底面半径为r ，则侧面积为14242r r ππ⨯⨯=，轴截面为等腰三角形P AB ，面积为rh ，其侧面积为其轴截面面积的4倍，所以44r rh π=，解得：h π=故选：B2．（2023·全国·高三专题练习）已知圆锥的母线长为5，侧面积为20π，过此圆锥的顶点作一截面，则截面面积最大为__________题组四 空间几何截面【答案】252【解析】设圆锥的底面半径为r ，则520S r ππ==侧，4r ∴=，∴圆锥的高3h ，设轴截面中两母线夹角为2θ，则4tan 13θ=>，,242ππθθ∴>>， 所以当两母线夹角为2π时，过此圆锥顶点的截面面积最大，最大面积为221125sin 52222S l π==⨯=. 故答案为：2523．（2022湖南）古人为避雷和便于雨水下泄，常将屋顶设计成圆锥形状，多见于我国东南沿海地带，经测算某圆锥屋顶的轴截面为一个斜边长约为20米的等腰直角三角形，则圆锥的侧面积约为______ 平方米.【答案】【解析】依题意，圆锥的底面半径为10米，母线长为于是其侧面积为1π202⨯⨯⨯（平方米）.故答案为：． 4．（2022·甘肃）轴截面为正方形的圆柱，它的两底面圆周上的各点都在一个直径为4的球的球面上，则该圆柱的体积为_________.【答案】 【解析】因为轴截面为正方形，所以它的底半径与高之比为12，设底半径为r ，高为2r ，则外接球的半径=R ，因为球的直径为4，所以4=，解得r =h =所以圆柱的体积为2πV r h ==.故答案为：。