《2.2.1对数与对数的运算(1)》导学案1

2.2.1 对数与对数运算第一课时 对数的概念 三维目标定向 〖知识与技能〗理解对数的概念，掌握对数恒等式及常用对数的概念，领会对数与指数的关系。

〖过程与方法〗 从指数函数入手，引出对数的概念及指数式与对数式的关系，得到对数的三条性质及对数恒等式。

〖情感、态度与价值观〗增强数学的理性思维能力及用普遍联系、变化发展的眼光看待问题的能力，体会对数的价值，形成正确的价值观。

教学重难点：指、对数式的互化。

教学过程设计 一、问题情境设疑引例1：已知2524,232==，如果226x =，则x = ？ 引例2、改革开放以来，我国经济保持了持续调整的增长，假设2006年我国国内生产总值为a 亿元，如果每年平均增长8%，那么经过多少年国内生产总值比2006年翻两番？分析：设经过x 年国内生产总值比2006年翻两番，则有a a x4%)81(=+，即1.08 x = 4。

这是已知底数和幂的值，求指数的问题，即指数式ba N =中，求b 的问题。

能否且一个式子表示出来？可以，下面我们来学习一种新的函数，他可以把x 表示出来。

二、核心内容整合1、对数：如果)10(≠>=a a N a x且，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作Nx a log =。

其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数。

根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系：当 a > 0且1a ≠时，Nx N a a x log =⇔=（符号功能）——熟练转化如：1318log 131801.101.1=⇔=x x ，4 2 = 16 ⇔ 2 = log 4 162、常用对数：以10为底10log N写成lg N ；自然对数：以e 为底log e N写成ln N （e = 2.71828…）3、对数的性质：（1）在对数式中N = a x > 0（负数和零没有对数）；（2）log a 1 = 0 , log a a = 1（1的对数等于0，底数的对数等于1）；（3）如果把b a N =中b 的写成log a N ，则有N a N a =log （对数恒等式）。

§2.2.1 对数与对数运算（2）问题1：由p q p q a a a +=，探讨log a MN 和log a M 、log a N 之间的关系？对数的运算性质如果0,0,1,0>>≠>N M a a 且，则（1）()=MN a log ；（2）=⎪⎭⎫⎝⎛N M a log ； （3）=n a M log .问题2：根据对数的定义推导换底公式log log log c a c bb a=（0a >，且1a ≠；0c >，且1c ≠；0b >）．运用换底公式推导下列结论.（1）log log m n a a nb b m=；（2）1log log a b b a =.※ 典型例题例1用log a x , log a y , log a z 表示下列各式： （1）2log a xyz ； （2）log a .变式训练：已知lg2＝0.3010，lg3＝0.4771，求lg6、.例2计算：（1）5log 25； （2）0.4log 1； （3）852log (42)⨯；（4）变式训练：计算：（1）7lg142lg lg7lg183-+-；（2）lg 243lg9.※ 知识拓展① 对数的换底公式log log log b a b NN a =；② 对数的倒数公式1log log a b b a=. ③ 对数恒等式：log log n n a a N N =，log log m n a a nN N=，log log log 1a b c b c a =. ※当堂检测1. 下列等式成立的是（ ） A ．222log (35)log 3log 5÷=- B ．222log (10)2log (10)-=- C ．222log (35)log 3log 5+= D ．3322log (5)log 5-=-2. 如果lgx =lga +3lgb －5lgc ，那么（ ）.A ．x =a +3b －cB ．35abx c=C ．35ab x c= D ．x =a +b 3－c 33. 若()2lg 2lg lg y x x y -=+，那么（ ）.A ．y x =B ．2y x =C ．3y x =D ．4y x =4. 已知35a b m ==，且112a b+=，则m 之值为 .5. 计算：（1）99log 3log 27+= ；（2）2121log log 22+= .（3）15lg 23= . ※课下演练 1. 计算：（1；（2）2lg 2lg2lg5lg5+⋅+.2. 设a 、b 、c 为正数，且346a b c ==，求证：1112c a b-=.。

§2.2 对数函数2.2.1 对数与对数运算第1课时 对 数学习目标 1.了解对数的概念.2.会进行对数式与指数式的互化.3.会求简单的对数值．知识点一 对数的概念对数的概念：一般地，如果a x＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．常用对数与自然对数：通常将以10为底的对数叫做常用对数，以e(e ＝2.71828…)为底的对数称为自然对数，log 10N 可简记为lg_N ，log e N 简记为ln_N .知识点二 对数与指数的关系思考 求log a 1(a >0，且a ≠1)的值．答案 设log a 1＝t ，化为指数式a t ＝1，则不难求得t ＝0，即log a 1＝0.梳理 一般地，有对数与指数的关系：若a >0，且a ≠1，则a x ＝N ⇔log a N ＝x .对数恒等式：＝N ；log a a x ＝x (a >0，且a ≠1)．对数的性质：(1)1的对数为零；(2)底的对数为1；(3)零和负数没有对数．1．若3x＝2，则x ＝log 32.( √ )2．因为a 1＝a (a >0且a ≠1)，所以log a a ＝1.( √ )3．log a N >0(a >0且a ≠1，N >0)．( × )4．若ln N ＝12，则N ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12e .( × )类型一 对数的概念例1 在N ＝log (5－b )(b －2)中，实数b 的取值范围是( )A ．b <2或b >5B ．2<b <5C ．4<b <5D ．2<b <5且b ≠4考点 对数的概念题点 对数的概念答案 D 解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧ b －2>0，5－b >0，5－b ≠1，∴2<b <5且b ≠4.反思与感悟 由于对数式中的底数a 就是指数式中的底数a ，所以a 的取值范围为a >0，且a ≠1；由于在指数式中a x ＝N ，而a x >0，所以N >0.跟踪训练1 求f (x )＝log x1－x 1＋x的定义域． 考点 对数的概念题点 对数的概念 解 要使函数式有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧ x >0，x ≠1，1－x 1＋x >0，解得0<x <1.∴f (x )＝log x 1－x 1＋x的定义域为(0,1)． 类型二 对数基本性质的应用例2 求下列各式中x 的值：(1)log 2(log 5x )＝0；(2)log 3(lg x )＝1.考点 对数式与指数式的互化题点 对数式化为指数式 解 (1)∵log 2(log 5x )＝0，∴log 5x ＝20＝1，∴x ＝51＝5.(2)∵log 3(lg x )＝1，∴lg x ＝31＝3，∴x ＝103＝1000.反思与感悟 此类题型应利用对数的基本性质从整体入手，由外到内逐层深入来解决问题．log a N ＝0⇒N ＝1；log a N ＝1⇒N ＝a 使用频繁，应在理解的基础上牢记．跟踪训练2 若log 2(log 3x )＝log 3(log 4y )＝log 4(log 2z )＝0，则x ＋y ＋z 的值为( )A ．9B ．8C ．7D ．6考点 对数式与指数式的互化题点 对数式化为指数式答案 A解析 ∵log 2(log 3x )＝0，∴log 3x ＝1.∴x ＝3.同理y ＝4，z ＝2.∴x ＋y ＋z ＝9.类型三 对数式与指数式的互化命题角度1 指数式化为对数式例3 将下列指数式写成对数式：(1)54＝625；(2)2－6＝164；(3)3a ＝27；(4)⎝ ⎛⎭⎪⎫13m＝5.73.考点 对数式与指数式的互化题点 指数式化为对数式解 (1)log 5625＝4；(2)log 2164＝－6；(3)log 327＝a ；(4)反思与感悟 指数式化为对数式，关键是弄清指数式各部位的去向：跟踪训练3 (1)如果a ＝b 2 (b >0，b ≠1)，则有( )A ．log 2a ＝bB ．log 2b ＝aC ．log b a ＝2D ．log b 2＝a考点 对数式与指数式的互化题点 指数式化为对数式答案 C解析 log b a ＝2，故选C.(2)将3－2＝19，⎝ ⎛⎭⎪⎫126＝164化为对数式．考点 对数式与指数式的互化题点 指数式化为对数式解 3－2＝19可化为log 319＝－2；⎝ ⎛⎭⎪⎫126＝164可化为(3)解方程：⎝ ⎛⎭⎪⎫13m＝5.考点 对数式与指数式的互化题点 指数式化为对数式命题角度2 对数式化为指数式例4 求下列各式中x 的值：(1)log 64x ＝－23；(2)log x 8＝6；(3)lg100＝x ； (4)－lne 2＝x ；(5)log (2－1)13＋22＝x . 考点 对数式与指数式的互化题点 对数式化为指数式解 (1)(2)因为x 6＝8，所以(3)10x ＝100＝102，于是x ＝2.(4)由－lne 2＝x ，得－x ＝lne 2，即e －x ＝e 2. 所以x ＝－2.(5)因为所以(2－1)x ＝13＋22＝12＋2＝12＋1＝2－1，所以x ＝1.反思与感悟 要求对数的值，设对数为某一未知数，将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求解．跟踪训练4 计算：(1)log 927；考点 对数式与指数式的互化题点 对数式化为指数式解 (1)设x ＝log 927，则9x ＝27,32x ＝33，∴x ＝32.∴x ＝16.(3)∴x ＝3.1．log b N ＝a (b >0，b ≠1，N >0)对应的指数式是( )A ．a b ＝NB ．b a ＝NC ．a N ＝bD ．b N ＝a 考点 对数式与指数式的互化题点 对数式化为指数式答案 B2．若log a x ＝1，则( )A ．x ＝1B ．a ＝1C ．x ＝aD ．x ＝10考点 对数式与指数式的互化题点 对数式化为指数式答案 C 3．下列指数式与对数式互化不正确的一组是( )A ．e 0＝1与ln1＝0B ．＝12与log 812＝－13C ．log 39＝2与＝3D ．log 77＝1与71＝7考点 对数式与指数式的互化题点 对数式与指数式的互化答案 C4．已知log x 16＝2，则x ＝________.考点 对数式与指数式的互化题点 对数式化为指数式答案 45．设10lg x ＝100，则x ＝________.考点 对数的运算题点 对数恒等式的应用答案 1001．对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即a b ＝N ⇔log a N ＝b (a >0，且a ≠1，N >0)，据此可得两个常用恒等式：(1)log a a b ＝b ；(2)a log a N ＝N .2．在关系式a x＝N 中，已知a 和x 求N 的运算称为求幂运算；而如果已知a 和N 求x 的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算.一、选择题1．有下列说法：①零和负数没有对数；②任何一个指数式都可以化成对数式；③以10为底的对数叫做常用对数；④以e 为底的对数叫做自然对数．其中正确命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4考点 对数的概念题点 对数的概念答案 C解析 ①③④正确，②不正确，只有a >0，且a ≠1时，a x ＝N 才能化为对数式．2．已知log 3a ＝2，则a 等于( )A ．6B ．7C ．8D ．9考点 对数式与指数式的互化题点 对数式化为指数式答案 D解析 把log 3a ＝2化为指数式，有a ＝32＝9.3．ln e 等于( )A ．0B.12C ．1D ．2考点 对数式与指数式的互化题点 对数式化为指数式答案 B解析 设ln e ＝x ，则e x ＝e ＝e ，∴x ＝12.4．方程2＝14的解是( )A ．x ＝19B ．x ＝33C ．x ＝3D ．x ＝9考点 对数式与指数式的互化题点 对数式与指数式的互化答案 A解析 ∵2＝2－2，∴log 3x ＝－2，∴x ＝3－2＝19.5．下列四个等式：①lg(lg10)＝0；②lg(lne)＝0；③若lg x ＝10，则x ＝10；④若ln x ＝e ，则x ＝e 2. 其中正确的是( )A ．①③B．②④C．①②D．③④考点 对数式与指数式的互化题点 对数式化为指数式答案 C解析 ①lg(lg10)＝lg1＝0；②lg(lne)＝lg1＝0；③若lg x ＝10，则x ＝1010；④若ln x ＝e ，则x ＝e e .6.⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＋log 0.54的值为( )A ．6B.72C ．0D.37考点 对数式与指数式的互化题点 对数式化为指数式答案 C解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＋log 0.54＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＋log4＝2－2＝0.7．若log a 3＝m ，log a 5＝n ，则a 2m ＋n的值是( )A ．15B ．75C ．45D ．225考点 对数式与指数式的互化题点 对数式化为指数式答案 C解析 由log a 3＝m ，得a m ＝3，由log a 5＝n ，得a n＝5，∴a 2m ＋n ＝(a m )2·a n ＝32×5＝45.8．log(3－22)等于( )A ．－2B ．－4C ．2D ．4考点 对数式与指数式的互化题点 对数式化为指数式答案 A解析 3－22＝2－22＋1＝(2)2－22＋12＝(2－1)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12＝(2＋1)－2. 设log(3－22)＝t ，则(2＋1)t ＝3－2 2＝(2＋1)－2，∴t ＝－2.二、填空题9．log81＝________.考点 对数式与指数式的互化题点 对数式化为指数式 答案 8解析 设log81＝t ，则(3)t ＝81,3＝34，t2＝4，t ＝8.10．已知log 7[log 3(log 2x )]＝0，那么x ＝________. 考点 对数式与指数式的互化题点 对数式化为指数式答案 24解析 ∵log 7[log 3(log 2x )]＝0，∴log 3(log 2x )＝1， ∴log 2x ＝3，∴23＝x ，∴x ＝(23)＝18＝122＝24.11．设a ＝log 310，b ＝log 37，则3a －b＝________. 考点 对数式与指数式的互化题点 对数式化为指数式答案 107解析 ∵a ＝log 310，b ＝log 37，∴3a ＝10,3b＝7，∴3a －b ＝3a3b ＝107.三、解答题12．(1)先将下列式子改写成指数式，再求各式中x 的值．①log 2x ＝－25；②log x 3＝－13.(2)已知6a ＝8，试用a 表示下列各式．①log 68；②log 62；③log 26.考点 对数式与指数式的互化题点 对数式化为指数式解 (1)①因为log 2x ＝－25，所以x ＝2＝582.②因为log x 3＝－13，所以x ＝3，所以x ＝3－3＝127.(2)①log 68＝a .②由6a ＝8得6a ＝23，即6a 3＝2，所以log 62＝a3. ③由6a3＝2得23a ＝6，所以log 26＝3a .13．求2＋3的值．考点 对数的运算题点 对数恒等式的应用解 2＋3＝22×2＋＝4×3＋99＝12＋1＝13.四、探究与拓展14．已知f (log 2x )＝x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝________.考点 对数式与指数式的互化题点 对数式与指数式的互化答案 2解析 令log 2x ＝12，则x ＝212＝2，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f (log 22)＝ 2.15．已知x ＝log 23，求23x －2－3x2x －2－x ＝________.考点 对数式与指数式的互化题点 对数式化为指数式 答案 919解析 由x ＝log 23，得2x ＝3，∴2－x ＝12x ＝13，∴23x ＝(2x )3＝33＝27,2－3x ＝123x ＝127，∴23x－2－3x2x－2－x＝27－1273－13＝272－13×27－9＝72872＝919.。

2.2.1 对数与对数运算一、教材分析：人教版普通高中数学课程标准实验教科书《必修①》中，本节课是在先生学习了指数函数及其性质以后学习的，其次要内容是对数概念及指对数互化、对数运算等。

教材采用欧拉提出的指对运算关系，经过理论成绩直接引入对数概念，简明扼要地指出“对数”研讨的必要性，揭示了对数与指数之间的内在关系，同时也很好地保持了“基本初等函数”这一章节的零碎性。

本节学习内容包含转化化归数学思想，类比与对比等基本数学方法。

对数与指数的互化是对指数函数及其性质的巩固，也是后面学习对数函数的基础。

二、学情分析：先生在§2.1学习了指数和指数函数的次要性质，对指数相关知识已很清晰；另外，在第一章学习了函数及其性质，对学习本课已具备前提条件。

尽管如此，对先生而言，“对数”毕竟是一种新的运算，它的表示及其运算规则都是之前所不熟习的。

因而，接受起来还是比较困难，且不能很好的领悟其中的“算理”。

教材在“课后浏览与考虑”中特别介绍了“对数的发明”，供先生了解对数的发展史。

但从实行情况来看，大部分先生并未给予应有的关注，而教师常常由于课时的限制未能将之纳入到课堂之内。

因而，对数这一在历史中近乎狂喜的发明也就被淹没了，先生领会不到其中的奥妙。

三、教学重难点：重点：对数概念的理解；对数与指数的互化.难点：对数概念的理解.四、教学目标根据课程标准，结合先生的认知程度和年龄特点，确定本节课的教学目标如下：（1）知识技能目标①理解对数的概念；②纯熟地进行指数式与对数式互换；③掌握对数的运算性质，并运用运算性质解决相关成绩；（2）过程与方法目标①经历对数发展历程，引出对数的定义与性质，掌握指数式与对数式互化方法.②在得出对数运算性质的过程中经过证明强调数学的严谨同时领会转化化归思想.（3）情感态度与价值观①经过指数式与对数式的互化，使先生感受对数式是指数式的另一种表达方式，进一步领会运用指数式探求对数的基本思绪及方法，发展先生的数学表达能力和严谨有序的思想品质.②让先生探求、领会、感受对数概念的构成和发展过程；了解历史发展过程，数学家的奋斗精神；以此激发先生的学习兴味，加强先生的成功感体验，帮助先生认识自我、建立自信.五、教学流程六、教学过程过程与成绩 设计意图 师生活动【情境设计】（1）请计算299792.458+31536000=（2）若要算299792.458*31536000=从大数据运算中感知“加法好算，乘法难算，却又不得不算”，以繁杂的计算为映托，凸显出“简化运算”的迫切性教师提出成绩计算两数的和，先生完成，再呈现两数之积的计算过程，对比体验加法与乘法运算的难易区别；教师明确两数的明确意义，引发先生考虑如何简化运算。

2.2.1（1）对数与对数运算一、复习回顾，新课引入：引例1：一尺之锤，日取其半，万世不竭。

（1）取5次，还有多长？（答：1/32）（2）取多少次，还有0.125尺？（答：10.1252x=（），则x=?引例2：2002年我国GDP 为a 亿元，如果每年平均增长8%，那么经过多少年GDP 是2002年的2倍？略解：(1+8%)x =2，则x=?二、师生互动，新课讲解：1．定义一般地，如果N a x =（0>a ，且1≠a ），那么数x 叫做以a 为底N 的对数（logarithm ），记作N x a log =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．（解答引例）问：以4为底16的对数是2，用等式怎么表达？讨论：按照对数的定义，以4为底16的对数是2，可记作216log 4=；同样从对数的定义出发，可写成1642=．2．对数式与指数式的互化当0>a ，且1≠a 时，如果N a x =，那么N x a log =；如果N x a log =，那么N a x =．即N a x =等价于N x a log =， 记作当0>a ，且1≠a 时，N a x =⇔N x a log =．负数和零没有对数3．两个重要的对数（常用对数和自然对数）通常我们将以10为底的对数叫做常用对数（common logarithm ），并且把N 10log 记作N lg ．在科学技术中常使用以无理数 597182818284.2=e 为底数的对数，以e 为底的对数称为自然对数（natural logarithm ），并且把N e log 记作N ln ．例1：将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式（1）62554=；（2）64126=-；（3）373=a ；（4）73.5)31(=m （5）416log 21-=；（6）7128log 2=；（7）a =27log 3；（8）201.0lg -= 变式训练1：（课本P64练习 NO ：1；2）例2（课本P63例2）：求下列各式中x 的值。

2.2.1 对数与对数运算第一课时 对数的概念 三维目标定向 〖知识与技能〗理解对数的概念，掌握对数恒等式及常用对数的概念，领会对数与指数的关系。

〖过程与方法〗 从指数函数入手，引出对数的概念及指数式与对数式的关系，得到对数的三条性质及对数恒等式。

〖情感、态度与价值观〗增强数学的理性思维能力及用普遍联系、变化发展的眼光看待问题的能力，体会对数的价值，形成正确的价值观。

教学重难点：指、对数式的互化。

教学过程设计 一、问题情境设疑引例1：已知2524,232==，如果226x =，则x = ？ 引例2、改革开放以来，我国经济保持了持续调整的增长，假设2006年我国国内生产总值为a 亿元，如果每年平均增长8%，那么经过多少年国内生产总值比2006年翻两番？分析：设经过x 年国内生产总值比2006年翻两番，则有a a x4%)81(=+，即1.08 x = 4。

这是已知底数和幂的值，求指数的问题，即指数式ba N =中，求b 的问题。

能否且一个式子表示出来？可以，下面我们来学习一种新的函数，他可以把x 表示出来。

二、核心内容整合1、对数：如果)10(≠>=a a N a x且，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作N x a log =。

其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数。

根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系：当 a > 0且1a ≠时，Nx N a a x log =⇔=（符号功能）——熟练转化如：1318log 131801.101.1=⇔=x x ，4 2 = 16 ⇔ 2 = log 4 162、常用对数：以10为底10log N写成lg N ；自然对数：以e 为底log e N写成ln N （e = 2.71828…）3、对数的性质：（1）在对数式中N = a x > 0（负数和零没有对数）；（2）log a 1 = 0 , log a a = 1（1的对数等于0，底数的对数等于1）；（3）如果把b a N =中b 的写成log a N ，则有N a N a =log （对数恒等式）。

2.2.1对数与对数运算（一）（一）教学目标①理解对数的概念，了解对数与指数的关系； ②掌握对数式与指数式的关系 .（二）教学重点、难点；对数式与指数式的互化 （三）教学过程（课本P 57例8）13 1.01x y =⨯中，哪一年的人口数要达到18亿、20亿、30亿……，该如何解决？ 即：1820301.01, 1.01, 1.01,131313x x x ===在个式子中，x 分别等于多少？ 象上面的式子，已知_____________，求_______，这就是我们这节课所要学习的对数（引出对数的概念）.一．对数概念：_________________________________________________________________________________________________________________________________________例：24416,2log 16==则，读作2是以4为底，16的对数.1242=，则41log 22=，读作12是以4为底2的对数 二. 对数式与指数式的互化（1）底数的限制a ＞0，且a ≠1； N ＞0（2）log xa aN N x =⇔= 例：若log (x —1)（2x —1），则x 的取值范围为＿＿＿log a N 可看作一记说明：对数式号，表示底为a （a ＞0，且a ≠1），幂为程xaN =（a ＞0，N 的指数,也表示方以看作一种运算，即且a ≠1）的解. 也可已知底为a （a ＞0，且a ≠1）幂为N ，求此，对数式log aN幂指数的运算. 因又可看幂运算的逆运算. 三. 对数的性质：（1）负数和零没有对数 （2）l og a 1=__ , l og a a =___（3） 恒等式：log a N a= ___, l og aa n = ___应用：log a N =b ⇔a b=N （a ＞0，a ≠1，N ＞0）四. 两类对数① 以10为底的对数称为常用对数，10log N 常记为lg N .②以无理数e =2.71828…为底的对数称为自然对数，log e N 常记为ln N . 五．例题分析例1 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： （1）54=625； （2）2－6=641； （3）（31）m =5.73； （4）log 2116=－4； （5）lg0.01=－2； （6）ln10=2.303.例2：求下列各式中x 的值 （1）642log 3x =- （2）log 86x =（3）lg100x =（4）2ln e x -=例3 求下列各式中的x .（1）0)22(log 22=--+x x x ；（2） log ２（log ５ｘ）＝１；（3）0)(log log 52=x ； （4）21log 5424log 3log 54-+练习：课本P 64 1、2、3、4．课堂小结： 1.对数的定义及其记法； 2.对数式和指数式的关系；3.自然对数和常用对数的概念.2.2.1对数与对数运算（二）（第一课时）（一）教学目标:掌握对数的运算性质，能较熟练地运用对数的运算性质解决有关对数式的化简、求值问题. （二）教学重点、难点1.掌握对数的运算性质.2.应用对数运算性质求值、化简.（三）教学过程一、复习回顾，引入新课上一节课我们学习了对数的概念、指数式与对数式的互化，我们知道，对数和指数都是一种运算，而且对数运算是指数运算的逆运算，指数有它自己的一套运算性质.从指数与对数的关系以及指数运算性质，能得出相应的对数运算性质吗？这就是本节课所要探究的知识.二、讲解新课（一）对数的运算性质的探究问题：指数幂运算有哪些性质？a m·a n=＿， a m÷a n=＿＿，（a m）n=＿，m n a=＿.根据对数的定义可得：log a N=b a b=N（a＞0，a≠1，N＞0），那么，对数运算也有相应的运算性质吗？如果有，它们的运算性质会与指数幂的运算性质之间有什么联系呢？探究（1）：由于a m·a n=a m+n（a＞0，且a≠1），＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿探究（2）：由a m÷a n=a m－n和（a m）n=a mn，得出对数运算的其他性质.＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿探究（3）：∵（a m）n=a mn，设M=a m，∴M n=a mn.＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿(二)对数的运算性质：a＞0，a≠1，M＞0，N＞0l og a（MN）=＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿M=＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿log aNlog a M n=＿＿＿＿＿＿＿＿＿（1）三个性质可归纳为：（1）积的对数等于各因式对数的和；（2）商的对数等于被除数的对数减除数的对数；（3）幂的对数等于指数乘以底数的对数.分析：这几条运算性质会对我们进行对数运算带来以下方便：利用以上性质，可以使两正数的积、商的对数运算问题转化为两正数各自的对数的和、差运算，大大的方便了对数式的化简、求值.（2）概念理解底数a＞0，且a≠1，真数M＞0，N＞0；只有所得结果中对数和所给出的数的对数都存在时，等式才能成立.性质推广性质（1）可以推广到n 个正数的情形，即log a （M 1M 2M 3…M n ）=log a M 1+log a M 2+log a M 3+…+log a M n （其中a ＞0，且a ≠1，M 1、M 2、M 3…M n ＞0）. 知识拓展：当a ＞0，a ≠1，M ＞0时，还有log m a M n =mnlog a M . （三）运算性质的应用 例1（课本P 65例3）、 用log a x ，log a y ，log a z 表示下列各式：（1）log a zxy；（2）log a32zy x .例2（P 65例4）、求下列各式的值：（1）log 2（47×25）；（2）lg 5100.例3、 已知lg2≈0.3010，lg3≈0.4771，求下列各式的值：（结果保留4位有效数字）（1）lg12；（2）lg 1627.例4、 计算： （1）lg14－2lg37+lg7－lg18；（2）9lg 243lg ；（3）21lg 10lg 38lg 27lg ∙-+.（4）2log 2log 4log 7101.0317103-+（5）lg 25 + 32lg8 + lg5 ×lg20+ l 2g2例5解方程（1）lg(x 2+11x+8)-lg(x+1)=1．（2）l 2g (x+10)-3lg(x+10) -4=0．（四）课堂小结:1.对数的运算性质. 2.对数运算法则的综合运用，应掌握变形技巧：（1）各部分变形要化到最简形式，同时注意分子、分母的联系；（2）要避免错用对数运算性质.2.2.1对数与对数运算（三）（第二课时）（一）教学目标:1.掌握换底公式，会用换底公式将一般的对数化为常用对数或自然对数，并能进行一些简单的化简和证明； 2.能将一些生活实际问题转化为对数问题并加以解答. （二）教学重点：1.换底公式及其应用；2.对数的应用问题. 教学难点：换底公式的灵活应用. （三）教学过程一、复习与引入： 对数和指数比较：引入新课：我们学习了对数运算法则，可以看到对数的运算法则仅适用于对数的底数相同的情形，若在解题过程中，遇到对数的底数不相同时怎么办？例如：求ｌｏｇ２３×ｌｏｇ３４的值从对数的定义可以知道，任何不等于1的正数都可以作为对数的底.数学史上，人们经过大量的努力，制作了常用对数、自然对数表，只要通过查表就能求出任意正数的常用对数或自然对数.这样，如果能将其他底的对数转换为以10或e 为底的对数，就能方便地求出任意不为1的正数为底的对数.二、讲解新课（一）探求换底公式，明确换底公式的意义和作用 根据对数的定义推导出下面的换底公式log a N =aNc c log log （a ＞0，且a ≠1；c ＞0，且c ≠1；N ＞0）.推导：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿一般地，log a N =aNc c log log （a ＞0，且a ≠1；c ＞0，且c ≠1；N ＞0），这个公式称为换底公式.log a b ·log b a =＿＿＿， log a b ·log b c =＿＿＿＿换底公式作用：是把一个对数式的底数改变，可将不同底问题化为同底问题，为使用运算法则创设条件，如换底公式可以解决如下问题：例如 1． n a b m log =mnlog a b （a 、b ＞0且均不为1）. ｌｏｇ２３×ｌｏｇ３４＝2.求我国人口达到18亿的年份，就是计算x =log 1.011318的值，利用换底公式与对数的运算性质， （查表得：1139.113lg ,2553.118lg ≈≈）x =＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. （二）换底公式的应用例1． 求值.（1）log 89·log 2732； （2）（log 25+log 4125）·5lo g 2l o g 33.例2． 计算： log 34·log 48·log 8m =log 416，求m 的值.方法：在利用换底公式进行化简求值时，一般情况是根据题中所给的对数式的具体特点选择恰当的底数进行换底，如果所给的对数式中的底数和真数互不相同，我们可以选择以10为底数进行换底. 知识拓展：（1）不同底的对数要尽量化为同底的对数来计算；（2）在第（3）小题的计算过程中，用到了性质log m a M n =m nlog a M 及换底公式log a N =a N b b log log .（三）对数的应用问题：用已学过的对数知识解决实际问题例3． 20世纪30年代，里克特（C.F .Richter ）制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大.这就是我们常说的里氏震级M ，其计算公式为M =lg A －lg A 0，其中，A 是被测地震的最大振幅，A 0是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）.（1）假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.001，计算这次地震的震级（精确到0.1）； （2）5级地震给人的震感已比较明显，计算7.6级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍（精确到1）.分析：可以看到，虽然7.6级地震和5级地震仅相差2.6级，但7.6级地震的最大振幅却是5级地震最大振幅的398倍.所以，7.6级地震的破坏性远远大于5级地震的破坏性.例4．科学研究表明，宇宙射线在大气中能够产生放射性碳14.碳14的衰变极有规律，其精确性可以称为自然界的“标准时钟”.动植物在生长过程中衰变的碳14，可以通过与大气的相互作用得到补充，所以活着的动植物每克组织中的碳14含量保持不变.死亡后的动植物，停止了与外界环境的相互作用，机体中原有的碳14按确定的规律衰减，我们已经知道其“半衰期”为5730年.湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳14的残余量约占原始含量的76.7%，试推算马王堆古墓的年代.三、课堂小结1.换底公式及其应用条件（注意字母的范围）.2.解决实际问题的一般步骤：。

锦山蒙中高一数学导学案 姓名：课题： 2.2.1对数与对数运算目标：1、理解对数的概念，能进行指对式转换；2、掌握对数运算公式；3、掌握换底公式.重点：对数概念及运算.难点：对数运算及换底公式的应用.一、复习回顾1、庄子：一尺之棰，日取其半，万世不竭.（1）取4次，还有多长？（2）取多少次，还有0.125尺？2、假设2016年我国国民生产总值为a 亿元，如果每年平均增长8%，那么经过多少年国民生产 是2016年的2倍？ （只列式）二、新知探究阅读教材第62-66页探究任务一：对数问题：截止到1999年底，我国人口约13亿. 如果今后能将人口年平均增长率控制在1%，那么多少年后人口数可达到18亿，20亿，30亿？讨论：（1）问题具有怎样的共性？（2）已知底数和幂的值，求指数怎样求呢？例如：由1.01x m =，求x .对数概念：一般地，如果a (0,1a a >≠)的b 次幂等于N ，即b a N =，那么数b 叫做 ，记作log a N b =．其中，a 叫做对数的 ，N 叫做 ．例如：2339 log 92=⇒=，读作：以3为底9的对数为2 ．（1）概念分析：对数式log a b N =中各字母的取值范围：a ： ；b ： ； N ： ．（2）特殊对数：以10为底的对数记为 ；以e(e= )为底的对数称记为 .（3）性质：log 1a = ； log a a = ；log b a a = ； log a N a = .思考：负数与零是否有对数？为什么？例1：下列指数式化为对数式，对数式化为指数式.（1）35125= ； （2）712128-=； （3）327a =； （4） 2100.01-=；（5）12log 325=-； （6）lg0.001=3-； （7）ln100=4.606.变式：12log 32?= lg0.001=？例2：求下列各式中x 的值：（1）642log 3x = （2）log 86x =- （3）lg 4x = （4）3ln e x =练习： 求下列各式的值（1）5log 25 （2）21log 16（3）lg 10000 （4）log ?n a a =探究任务二： 对数的运算对数运算性质：如果0,1,0,0a a M N >≠>>，则（1）log ()a MN =________________________；（2）log a M N=__________________________； （3） log n a M =____________________()n R ∈.例3：用log a x , log a y , log a z 表示下列各式：（1）2log a xy z ； （2） 35log a x y z .例4：计算：（1）852log (42)⨯； （2）lg 9100.（3）22log 6log 3- （4）lg5lg 2+；练习：（1）551log 3log 3+ （2）552log 10log 0.25+（3）lg 27lg83lg 10lg1.2+- （4）2lg 2lg 2lg5lg5+⋅+.尝试做一做：已知 2log 3 = a ， 3log 7 = b ，用 a ，b 表示42log 56.探究任务三：换底公式 根据对数的定义推导换底公式log log log c a c b b a =（0a >，且1a ≠；0c >，且1c ≠；0b >）．例5： 计算（1）83log 9log 32⨯ （2）25log 5log 4⋅ （3）427125log 9log 25log 16⋅⋅（4）235111log log log 2589⨯⨯（5）2lg 4lg5lg 20(lg5)++练1. 设lg 2a =,lg3b =，试用a 、b 表示5log 12.练2. 运用换底公式推导下列结论.（1）log log m n a a n b b m =；（2）1log log a b b a=.练3. 计算：（1）7lg142lg lg 7lg183-+-；（2）lg 243lg9.※ 知识拓展① 对数的换底公式log log log b a b N N a=； ②对数的倒数公式1log log a b b a=. ③ 对数恒等式：log log n n a a N N =， log log m n a a n N N m =，log log log 1a b c b c a = . 三、巩固训练1. 若2log 3x =，则x =（ ）.A. 4B. 6C. 8D. 9 2. (1)log (1)n n n n +-++= （ ）A. 1B. －1C. 2D. －23. 对数式2log (5)a a b --=中，实数a 的取值范围是（ ）.A ．(,5)-∞B ．(2,5)C ．(2,)+∞D ． (2,3)(3,5)4. 计算：21log (322)++= .5. 若log (21)1x +=-，则x =________， 若2log 8y =，则y =___________6.已知n m a a ==3log ,2log ，求n m a +2的值7.已知log 189=a ,18b =5,求log 3645.(用a ,b 表示)四、课堂小结。

2.2.1 对数与对数运算第一课时 对数的概念 三维目标定向 〖知识与技能〗理解对数的概念，掌握对数恒等式及常用对数的概念，领会对数与指数的关系。

〖过程与方法〗 从指数函数入手，引出对数的概念及指数式与对数式的关系，得到对数的三条性质及对数恒等式。

〖情感、态度与价值观〗增强数学的理性思维能力及用普遍联系、变化发展的眼光看待问题的能力，体会对数的价值，形成正确的价值观。

教学重难点：指、对数式的互化。

教学过程设计 一、问题情境设疑引例1：已知2524,232==，如果226x =，则x = ？ 引例2、改革开放以来，我国经济保持了持续调整的增长，假设2006年我国国内生产总值为a 亿元，如果每年平均增长8%，那么经过多少年国内生产总值比2006年翻两番？分析：设经过x 年国内生产总值比2006年翻两番，则有a a x4%)81(=+，即1.08 x = 4。

这是已知底数和幂的值，求指数的问题，即指数式ba N =中，求b 的问题。

能否且一个式子表示出来？可以，下面我们来学习一种新的函数，他可以把x 表示出来。

二、核心内容整合1、对数：如果)10(≠>=a a N a x且，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作Nx a log =。

其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数。

根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系：当 a > 0且1a ≠时，Nx N a a x log =⇔=（符号功能）——熟练转化如：1318log 131801.101.1=⇔=x x ，4 2 = 16 ⇔ 2 = log 4 162、常用对数：以10为底10log N写成lg N ；自然对数：以e 为底log e N写成ln N （e = 2.71828…）3、对数的性质：（1）在对数式中N = a x > 0（负数和零没有对数）；（2）log a 1 = 0 , log a a = 1（1的对数等于0，底数的对数等于1）；（3）如果把b a N =中b 的写成log a N ，则有N a N a =log （对数恒等式）。

§2.2对数函数2.2.1 对数与对数运算第1课时对数学习目标 1.理解对数的概念、掌握对数的性质(重、难点).2.掌握指数式与对数式的互化，能应用对数的定义和性质解方程(重点).知识点1 对数1.对数(1)指数式与对数式的互化及有关概念：(2)底数a的范围是a>0，且a≠1.2.常用对数与自然对数【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)根据对数的定义，因为(－2)4＝16，所以log(－2)16＝4.( )(2)对数式log32与log23的意义一样.( )(3)对数的运算实质是求幂指数.( )提示(1)×因为对数的底数a应满足a>0且a≠1，所以(1)错；(2)×log32表示以3为底2的对数，log23表示以2为底3的对数，所以(2)错；(3)√由对数的定义可知(3)正确.知识点2 对数的基本性质 (1)负数和零没有对数. (2)log a 1＝0(a >0，且a ≠1). (3)log a a ＝1(a >0，且a ≠1). 【预习评价】若log 32x －33＝1，则x ＝________；若log 3(2x －1)＝0，则x ＝________.解析 若log 32x －33＝1，则2x －33＝3，即2x －3＝9，x ＝6；若log 3(2x －1)＝0，则2x －1＝1，即x ＝1. 答案 6 1题型一 对数的定义【例1】 (1)在对数式y ＝log (x －2)(4－x )中，实数x 的取值范围是________； (2)将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式. ①54＝625；②log 216＝4；③10－2＝0.01；④log5125＝6.(1)解析 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧4－x >0，x －2>0，x －2≠1，解得2<x <4且x ≠3.答案 (2，3)∪(3，4)(2)解 ①由54＝625，得log 5625＝4. ②由log 216＝4，得24＝16. ③由10－2＝0.01，得lg 0.01＝－2. ④由log5125＝6，得(5)6＝125.规律方法 指数式与对数式互化的思路(1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式. (2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式. 【训练1】 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：(1)43＝64；(2)ln a ＝b ；(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫12m＝n ；(4)lg 1000＝3.解 (1)因为43＝64，所以log 464＝3；(2)因为ln a ＝b ，所以e b＝a ；(3)因为⎝ ⎛⎭⎪⎫12m＝n ，所以log 12n ＝m ； (4)因为lg 1 000＝3，所以103＝1 000. 题型二 利用指数式与对数式的互化求变量的值 【例2】 (1)求下列各式的值.①log 981＝________.②log 0.41＝________.③ln e 2＝________. (2)求下列各式中x 的值. ①log 64x ＝－23；②log x 8＝6；③lg 100＝x ；④－ln e 2＝x .(1)解析 ①设log 981＝x ，所以9x ＝81＝92，故x ＝2，即log 981＝2；②设log 0.41＝x ，所以0.4x ＝1＝0.40，故x ＝0，即log 0.41＝0；③设ln e 2＝x ，所以e x ＝e 2，故x ＝2，即ln e 2＝2. 答案 ①2 ②0 ③2(2)解 ①由log 64x ＝－23得x ＝64－23＝43×(－23)＝4－2＝116； ②由log x 8＝6，得x 6＝8，又x >0，即x ＝816＝23×16＝2；③由lg 100＝x ，得10x＝100＝102，即x ＝2； ④由－ln e 2＝x ，得ln e 2＝－x ，所以e －x＝e 2， 所以－x ＝2，即x ＝－2.规律方法 对数式中求值的基本思想和方法 (1)基本思想.在一定条件下求对数的值，或求对数式中参数字母的值，要注意利用方程思想求解. (2)基本方法.①将对数式化为指数式，构建方程转化为指数问题. ②利用幂的运算性质和指数的性质计算.【训练2】 利用指数式、对数式的互化求下列各式中x 的值. (1)log 2x ＝－12；(2)log x 25＝2；(3)log 5x 2＝2.解 (1)由log 2x ＝－12，得2－12＝x ，∴x ＝22. (2)由log x 25＝2，得x 2＝25. ∵x ＞0，且x ≠1，∴x ＝5. (3)由log 5x 2＝2，得x 2＝52，∴x ＝±5.∵52＝25＞0，(－5)2＝25＞0， ∴x ＝5或x ＝－5.题型三 利用对数的性质及对数恒等式求值 【例3】 (1)71－log 75；(2)100⎝⎛⎭⎪⎪⎫12lg 9－lg 2； (3)alog ab ·log bc(a ，b 为不等于1的正数，c >0).解 (1)原式＝7×7－log 75＝77log 75＝75. (2)原式＝10012lg 9×100－lg 2＝10lg 9×1100lg 2＝9×1102lg 2 ＝9×110lg 4＝94.(3)原式＝(alog ab )log bc＝blog bc＝c .规律方法 对数恒等式a log a N ＝N 的应用 (1)能直接应用对数恒等式的直接应用即可.(2)对于不能直接应用对数恒等式的情况按以下步骤求解.【训练3】 (1)设3log 3(2x ＋1)＝27，则x ＝________.(2)若log π(log 3(ln x ))＝0，则x ＝________. 解析 (1)3log 3(2x ＋1)＝2x ＋1＝27，解得x ＝13.(2)由log π(log 3(ln x ))＝0可知log 3(ln x )＝1，所以ln x ＝3，解得x ＝e 3. 答案 (1)13 (2)e 3课堂达标1.有下列说法：(1)只有正数有对数；(2)任何一个指数式都可以化成对数式；(3)以5为底25的对数等于±2；(4)3log 3(－5)＝－5成立.其中正确的个数为( )A.0B.1C.2D.3解析 (1)正确；(2)，(3)，(4)不正确. 答案 B2.使对数log a (－2a ＋1)有意义的a 的取值范围为( ) A.a >12且a ≠1B.0<a <12C.a >0且a ≠1D.a <12解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋1>0，a >0，a ≠1，解得0<a <12.答案 B3.方程lg(2x －3)＝1的解为________.解析 由lg(2x －3)＝1知2x －3＝10，解得x ＝132.答案1324.计算：2log 23＋2log 31－3log 77＋3ln 1＝________.解析 原式＝3＋2×0－3×1＋3×0＝0. 答案 05.把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式. (1)2－3＝18；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫17a ＝b ；(3)lg 11 000＝－3；(4)ln 10＝x .解 (1)由2－3＝18可得log 218＝－3；(2)由⎝ ⎛⎭⎪⎫17a＝b 得log 17b ＝a ；(3)由lg 11 000＝－3可得10－3＝11 000；(4)ln 10＝x 可得e x＝10.课堂小结1.对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即a b＝N ⇔log a N ＝b (a ＞0，且a ≠1，N ＞0)，据此可得两个常用恒等式：(1)log a ab ＝b ；(2)a log a N ＝N .2.在关系式a x＝N 中，已知a 和x 求N 的运算称为求幂运算，而如果已知a 和N 求x 的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算. 3.指数式与对数式的互化基础过关1.有以下四个结论：①lg(lg 10)＝0；②ln(ln e)＝0；③若10＝lg x ，则x ＝10；④若e ＝ln x ，则x ＝e 2.其中正确的是( ) A.①③ B.②④ C.①②D.③④解析 lg(lg 10)＝lg 1＝0，ln(ln e)＝ln 1＝0，故①②正确；若10＝lg x ，则x ＝1010，故③错误；若e ＝ln x ，则x ＝e e，故④错误. 答案 C2.log a b ＝1成立的条件是( ) A.a ＝b B.a ＝b 且b >0 C.a >0，a ≠1D.a >0，a ＝b ≠1解析 由log a b ＝1得a >0，且a ＝b ≠1. 答案 D3.设a ＝log 310，b ＝log 37，则3a －b 的值为( )A.107B.710C.1049D.4910解析 3a －b＝3a÷3b＝3log 310÷3log 37＝10÷7＝107.答案 A4.若log (1－x )(1＋x )2＝1，则x ＝________. 解析 由题意知1－x ＝(1＋x )2， 解得x ＝0或x ＝－3.验证知，当x ＝0时，log (1－x )(1＋x )2无意义， 故x ＝0时不合题意，应舍去.所以x ＝－3. 答案 －35.若log 3(a ＋1)＝1，则log a 2＋log 2(a －1)＝________.解析 由log 3(a ＋1)＝1得a ＋1＝3，即a ＝2，所以log a 2＋log 2(a －1)＝log 22＋log 21＝1＋0＝1. 答案 16.将下列指数式化成对数式，对数式化成指数式. (1)35＝243；(2)2－5＝132；(3)log 1381＝－4；(4)log 2128＝7.解 (1)log 3243＝5；(2)log 2132＝－5；(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫13－4＝81；(4)27＝128.7.求下列各式中的x 的值. (1)log x 27＝32；(2)log 2x ＝－23；(3)log x (3＋22)＝－2； (4)log 5(log 2x )＝0； (5)x ＝log 2719.解 (1)由log x 27＝32，得x 32＝27，∴x ＝2723＝32＝9.(2)由log 2x ＝－23，得2－23＝x ，∴x ＝1322＝322.(3)由log x (3＋22)＝－2，得3＋22＝x －2， ∴x ＝(3＋22)－12＝2－1.(4)由log 5(log 2x )＝0，得log 2x ＝1.∴x ＝21＝2. (5)由x ＝log 2719，得27x＝19，即33x＝3－2， ∴x ＝－23.能力提升8.对于a >0且a ≠1，下列说法正确的是( )(1)若M ＝N ，则log a M ＝log a N ；(2)若log a M ＝log a N ，则M ＝N ；(3)若log a M 2＝log a N 2，则M ＝N ；(4)若M ＝N ，则log a M 2＝log a N 2.A.(1)(2)B.(2)(3)(4)C.(2)D.(2)(3)解析 (1)中若M ，N 小于或等于0时，log a M ＝log a N 不成立；(2)正确；(3)中M 与N 也可能互为相反数且不等于0；(4)中当M ＝N ＝0时不正确. 答案 C9.已知log 3(log 5a )＝log 4(log 5b )＝0，则a b的值为( ) A.1 B.－1 C.5D.15解析 由log 3(log 5a )＝0得log 5a ＝1，即a ＝5，同理b ＝5，故a b＝1. 答案 A 10.方程3log 2x ＝127的解是________. 解析 3log 2x ＝3－3，∴log 2x ＝－3，x ＝2－3＝18.答案 1811.若正数a ，b 满足2＋log 2a ＝3＋log 3b ＝log 6(a ＋b )，则1a ＋1b＝________.解析 设2＋log 2a ＝3＋log 3b ＝log 6(a ＋b )＝k ，则a ＝2k －2，b ＝3k －3，a ＋b ＝6k ，即4a ＝2k，27b ＝3k ，所以108ab ＝6k，∴108ab ＝a ＋b ，∴108＝1a ＋1b.答案 10812.(1)若f (10x)＝x ，求f (3)的值； (2)计算23＋log 23＋35－log 39.解 (1)令t ＝10x，则x ＝lg t ，∴f (t )＝lg t ，即f (x )＝lg x ，∴f (3)＝lg 3. (2)23＋log 23＋35－log 39＝23·2log 23＋353log 39 ＝23×3＋359＝24＋27＝51.13.(选做题)若log 2(log 12(log 2x ))＝log 3(log 13(log 3y ))＝log 5(log 15(log 5z ))＝0，试确定x ，y ，z 的大小关系.解 由log 2(log 12(log 2x ))＝0，得log 12(log 2x )＝1，log 2x ＝12，x ＝212＝(215)130.由log 3(log 13(log 3y ))＝0，得log 13(log 3y )＝1，log 3y ＝13，y ＝313＝(310)130.由log 5(log 15(log 5z ))＝0，得log 15(log 5z )＝1，log 5z ＝15，z ＝515＝(56)130.∵310>215>56，∴y >x >z .。