二元一次方程组的应用配套问题课件

浙江教育出版社 七年级 | 下册
感悟新知
知识点一 建立二元一次方程组解百分率问题
思考 某公园六一期间举行特优读书游园活动，成人票和
儿童票均有较大的折扣，张凯、李利都随他们的家人参 加了本次活动，王斌也想去，就打听张凯、李利买门票 花了多少钱。张凯说他家去了3个大人和4个小孩，共花 了38元钱；李利说他家去了4个大人和2个小孩，共花了 44元钱。王斌家计划去3个大人和2个小孩，请你帮他算 一下，需准备________元钱买门票。
由题意得
x
60 x源自 60 y 80 y 40
10 从而可得
15
x y

300 400
解得则300＋400＝700(米)。
总结
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此题采用间接设元法，先求出小华从家到学校平路、 下坡路的路程，再求小华家离学校的距离。解此题时， 一定要明白往返过程中平路没有变化，但是去时是下 坡路，回来时却成了上坡路。
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知识点二 建立二元一次方程组解行程、工程问题
行程问题--题型1：相遇(追及)问题 张明沿公路匀速前进，每隔4min就遇到迎面开来的一辆 公共汽车，每隔6min就有一辆公共汽车从背后超过他。 假定公共汽车的速度不变, 而且迎面开来的相邻两车的距 离和从背后开来的相邻两车的距离都是1200m，求张明前 进的速度和公共汽车的速度。
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知识点二 建立二元一次方程组解行程、工程问题
行程问题--题型1：相遇(追及)问题--分析 设张明前进的速度是x m/min，公共汽车的速度是y m/min。
根据题意，得
4x 6y

解法的注意事项
注意验证
解出方程组的解后要进行验证，确保正确性。
注意应用
在实际应用中要根据实际情况选择合适的解法。
注意单位
在求解过程中要注意单位的转换。
05
实际应用中遇到的问题与挑战
确定方程组的未知数
在实际问题中，有时难以确定需要求解的未知数。
搜集相关数据
可能无法获得足够的数据来建立方程组，或者数据的质量和精度不够。
2023
二元一次方程组的应用
引言方程组的应用案例分析解法总结与技巧实际应用中遇到的问题与挑战如何进一步拓展与应用
contents
目录Biblioteka 01引言含有两个未知数，并且未知数的最高次数为1的方程。如：ax+by+c=0。
二元一次方程
由两个或多个二元一次方程组成的方程系统。如：{ax+by+c=0，dx+ey+f=0}。
总结词
投资组合问题
生产计划问题
生产计划问题是一种常见的二元一次方程组应用，通过建立方程组和求解，可以确定企业的最优生产计划。
总结词
生产计划问题通常涉及到企业的生产能力和市场需求两个主要因素。在建立方程组时，通常以这两个因素作为变量，通过引入生产数量、生产成本等参数来描述企业的生产计划。求解时，利用二元一次方程组的求解方法，如代入法、加减消元法等，求得最优生产计划方案。
加减消元法
用矩阵表示方程组，通过计算矩阵得到解。主要用于大型复杂方程组的求解。
矩阵求解法
02
方程组的应用
列方程
实际问题转化为数学问题
用数学模型描述问题
实际问题转化为方程
用二元一次方程组解决实际问题
解方程组

(7)浓度问题．解这类问题的基本关系式是：溶液质量×浓度＝溶质质量．
列方程组解应用题时，常出现的错误主要是在“设”“答”时漏写 或错写单位，如速度单位一般为千米/时，米/秒或米/分，而经常有同学 错设为“某某的速度为 x 千米”；在审题时理解错等量关系，如将“多” “少”“快”“慢”“相向而行”“相对而行”“同向而行”“相背而 行”“增加几倍”“增加到几倍”等关键词理解错误，要突破它需细心审 题，检验结果.
和 3 艘小船一次可以载乘客 57 名，绵阳市某船家有 3 艘大船和 6 艘小船，
一次可载乘客的人数为
（D ）
A．129
B．120
C．108
D．96
3．某车间有 28 个工人生产某种螺栓和螺母，每人每天能生产螺栓 12 个 或螺母 18 个，为了合理分配劳动，使生产的螺栓和螺母配套(一个螺栓 配两个螺母)，应分配_1_2___人生产螺栓．
知识点 2：用二元一次方程组解决几何问题
5．如图，10 块相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设小长方形墙列方程正确的是__x_＝__3_y_____.
6．一个长方形的长减少 15 cm，宽增加 6 cm，就变成一个正方形，并且 这两个图形的面积相等，则原长方形的面积为_1_0_0_____cm2.
(4)航速问题．此类问题分水中航行和风中航行两类，基本关系式为：① 顺流(风)：速度＝静水(无风)中的速度＋水(风)速；②逆流(风)：速度＝静水 (无风)中的速度－水(风)速．
(5)工程问题．解这类问题的基本关系式为：工作量＝工作效率×工作时 间．
(6)增长率问题．解这类问题的基本等量关系式是：原量×(1＋增长率)＝ 增长后的量，原量×(1－减少率)＝减少后的量．
解：设 A 种饮料生产了 x 瓶，B 种饮料生产了 y 瓶．

பைடு நூலகம்-5-
6.3 二元一次方程组的应用
解析：四个小组每天能制造螺栓： 8+9+7+6=30（个）， 四个小组每天能制造螺母： 10+12+11+7=40（个）．
设四个小组制造螺栓 x 天，制造螺母 y 天．依据“把一个螺母和一个螺
栓配套组装成一个新型零件，以及一共制造了 7 天”列方程组，得
解得
所以 30x=120，即 7 天中这四个小组最 多可组装120 个零件．
解析：本题中的等量关系是：①七年级人数+八年级人数=2 350 人；②七 年级人数的 2 倍=八年级人数的 3 倍-550 人．
答案：解：设七、八年级学生分别有 x 人，y 人.由题意，得 解这个方程组，得
答：七、八年级学生分别有 1 300 人和 1 050 人． 易错：列方程组为 错因：七年级人数的 2 倍比八年级人数的 3 倍少 550 人，这个等量关 系找错. 满分备考：解决和差倍分问题时，要弄清楚谁是谁的几倍，或谁比谁多多 少，切记不要弄反等量关系.
汤.仔细阅读小明父母之间的对话，妈妈：“今天买这两样食材共花了 45 元， 上月买同质量的这两样食材只要 36 元.”爸爸：“报纸上说了萝卜的单价上涨 50%，排骨的单价上涨 20%.”小明听后很快计算出今天排骨的单价为 ____ 元.
解析：设上个月萝卜的单价为 x 元，排骨的单价为 y 元.由题意，得
答案：120
易错：100
错因：弄错题目中存在的等量关系或直接设 7 天 中这四个小组最多可组
装 x 个零件，从而找不到等 量关系，列不出方程组，导致出错.
-6-
6.3 二元一次方程组的应用
满分备考：应用二元一次方程组解决实际问题时，有时可以直接设所求的 量列出方程组，有时直接设所求的量找不到等量关系，则需设与所求量相关联 的量，列出方程组，解决问题.

分析：
行走时间
2小时
5小时
所走的路程
2v
5v
此时小琴离他自己家距离
S+2 vS+5 v
.
13
解：设她走路的速度为v千米/时，她家与外祖母家相距s千米.
由题意可得，
s 2v 13 s 5v 25
解得，
v 4
s
5
答：她走路的速度为4千米/时，她家 与外祖母家相距5千米
.
14
例2 甲、乙两人从相距36米的两地相向而行。如果甲比乙先 走2小时，那么他们在乙出发后经2.5小时相遇；如果乙比甲 先走2小时，那么他们在甲出发后经3小时相遇；求甲、乙两 人每小时各走多少千米？ 36千米
房间号多少?”
.
31
3． 某市现有42万人口，计划一年后城镇人口增加0.8%， 农村人口增加1.1%，这样全市人口将增加1%，求这个市 现在的城镇人口与农村人口?
4．有两块合金，第一块含铜90%，第二块含铜80%，现在 要把两块合金熔合在一起，得到含铜82.5%的合金240 问两块合金各应取多少克?
（1）若商场同时购进其中两种不同型号的手机共40部，并将60000 元恰好用完，请你帮助商场计算一下如何购买；
（2）若商场同时购进其中三种不同型号的手机共40部，并将60000 元恰好用完，并且要求乙种型号的手机购买数量不少于6部且 不多于8部，请你求出商场每种型号手机的购买数量。
分析：（1）有三种方案①甲、乙②甲、丙③乙、丙 数量关系分析：
浓度：
15%， 45%
15%x45%y x y
可见，混合前后溶液，溶质、溶剂质量不变，浓度改变
.
20
例2 由浓度为30%的酒精与浓度为60%的酒精混合，制成

解得
x=50 y=300
答：火车的速度为50 m/s，长度为300m.
知识要点
CONTENTS
3
知识要点
1.(2019·自贡)某活动小组购买了4个篮球和5个 足球，一共花费
了466元，其中篮球的单价比足球 的单价多4元，求篮球的单
价和足球的单价.设篮 球的单价为x元，足球的单价为y元，依
题意，可列方程组为
七年级数学下册冀教版
第六章 二元一次方程组
6.3 二元一次方程组的应用
知识要点
1
知识要点
CONTENTS
1
知识要点
想一想：
前面所学的解二元一次方程组的基本思路及常见方法是什么呢？
基本思路:
加减消元法
消元: 二元
一元
代入消元法
1.代入法：求表示式 代入消元 解一元一次方程 回代求解
2.加减法 ：变换系数 加减消元 解一元一次方程 回代求解
(2)如果设大马驮货x包，小马驮货y包，请列出二元一次方程组. (3)请你试着解出2中所列的二元一次方程组，并和同学们进行交流.
知识要点
利用二元一次方程组解决实际问题
根据题意，得 x1 y1, x+1=2( y1).
整理，得 x y2, ① x2 y3. ② ①－②， 得 y=5. 把y=5代入①，得 x=7. 所以，方程组的解为 x7, y 5. 答：大马驮物7包，小马驮物5包.
x y 4, 4x 5y
466.
.
知识要点
2.如图，周长为68 cm的长方形ABCD被分成7个相同的小长方 形，设小长方形的长为x cm，宽为y cm，
（ 3x y） 2 68,
则可以列出的方程组为 2x=5y.

解：设小李预定了x张小组赛的球票，y张淘汰赛的球票。
x + y = 10 550x +700y = 5800
小组赛票数+淘汰赛票数=10张
x + y =10
小组赛票价+淘汰赛票价=5800元
解得：
550x + 700y =5800
答：小李预定了8张小组赛的球票，2张淘汰赛的球票。
方程组解应用题
练习（2014•海南）海南五月瓜果飘香，某超市出售的“无核荔枝”
分析：（1）每个螺栓配两个螺母
分析：（2）每人每天生产螺栓14个或螺母20个
解：设应分配x人生产螺栓，y人生产螺母。
由题意可得方程：
螺栓 螺母
解得：
x=25 y=35
答：设应分配25人生产螺栓，35人生产螺母。
2、一张方桌由1个桌面、4条桌腿组成，如果1立方米木料可以做桌 面50个，或做桌腿300条。现有5立方米的木料，那么用多少立方米 木料做桌面，用多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿，恰好 配成方桌？能配多少张方桌？
一辆客车同时从内江、成都两地相向开出，经过1小时10分钟相遇
，小汽车比客车多行驶21千米．求小汽车和客车的平均速度。
内江
x
7h
成都
6
汽车
yHale Waihona Puke 客车140km解：设小汽车和客车的速度分别为 x km/h，y km/h.
7x 6
+
7 6
y
=140
7 x - 7 y =21
66
解得： x=69 y=51
汽车路程+客车路程=140千米
7 x
6
7
+
y 6

解:设甲乙两车的速度分别为 x Km/h、y Km/h
若甲车先出发1ｈ后乙车出 发，则乙车出发后5ｈ追上 甲车
根据题意，得 5y=6x
4y=4x+40
解之得
X=50 Y=6o
答：甲乙两车的速度分别为50km、 60km
若甲车先开出30ｋｍ后乙车出 发，则乙车出发4ｈ后乙车所走 的路程比甲车所走路程多10ｋ ｍ．
同时同地同向在同一跑道进行比赛
A
B
当男生第一次赶上女生时 男生跑的路程-女生跑的路程=跑道的周长
同时异地追及问题 乙的路程-甲的路程=甲乙之间的距离
T ( V乙 - V甲 )=s
t
乙
甲
S
例1.某站有甲、乙两辆汽车， 若甲车先出发1ｈ后乙车出发， 则乙车出发后5ｈ追上甲车； 若甲车先开出30ｋｍ后乙车出 发，则乙车出发4ｈ后乙车所 走的路程比甲车所走路程多10 ｋｍ．求两车速度．
x+y=3/5(10+y) x+2y=7/10(10+2y)
解得
x=4 y=5
所以第一次加入 的金属5kg,原来这块合金 中含种甲金属40%
甲对乙说：“当我的岁数是你现在的岁数时，你 才4岁．”乙对甲说：“当我的岁数是你现在的岁 数时，你将61岁．”问甲、乙现在各多少岁？
现在年龄
将来年龄
甲比乙大的岁数
练习.一辆汽车从甲地驶往乙地，途中要过一桥。用 相同时间，若车速每小时60千米，就能越过桥2千米； 若车速每小时50千米，就差3千米才到桥。问甲地与 桥相距多远？用了多长时间？
船在逆水中的速度=船在 静水中的速度-水流的速度
水流方向
轮船航向
船在顺水中的速度=船在 静水中的速度+水流的速度

【点拨】设 103 路公交车行驶速度为 x 米/分钟，爸爸行走速度 为 y 米/分钟，相邻两辆 103 路公交车间的间距为 s 米． 根据题意，得75xx－ ＋75yy＝ ＝ss， ，解得 x＝6y.
【答案】6
3．(2019·百色)一艘轮船在相距90千米的甲、乙两地之间匀速航行，从甲地到乙 地顺流航行用了6小时，逆流航行比顺流航行多用了4小时．
(1)用8辆汽车装运乙、丙两种水果共22 t到A地销售，问 装运乙、丙两种水果的汽车各多少辆？
(2)水果基地计划用20辆汽车装运甲、乙、丙三种水果共 72 t到B地销售（每种水果不少于一车)，假设装运甲 种水果的汽车为m辆，则装运乙、丙两种水果的汽车 各多少辆（结果用m表示)？
(1)设装运乙、丙两种水果的汽车分别为x辆、y辆．
应用2 生产配套问题
8．某教育服装厂要生产一批某种型号的学生服装，已 知3 m长的布料可做上衣2件或裤子3条，一件上衣 和一条裤子为一套，计划用600 m长的这种布料生 产，应分别用多少布料生产上衣和裤子才能恰好配 套？共能生产多少套？
解：设用x m布料做上衣，ym布料做裤子，
列方程组得
x＋y＝600
题型 1 行程问题 (1)求笔记本的单价和单独购买一支笔芯的价格；
根据题意，得W＝5m＋7(50－m)＝－2m＋350.
设乙的速度为x m/min，环形场地的周长为y m，则
答：用360 m布料生产上衣、240 m布料生产裤子才能恰好配套，共能生产240套．
1．基本关系式： 设张明前进的速度是x m/min，公共汽车的速度是y m/min.
(3)航行问题：顺流速度＝静水速度＋水流速度； 逆流速度＝静水速度－水流速度.
应用1 相遇（追及)问题

你能算出鸡兔 各几只吗？
02 新知探究
新知探究
一、列二元一次方程组解决实际问题
题目中存在的等量关系有：
{ 鸡头+兔头=35, 鸡脚+兔脚=94.
你能归纳出列方 程组解决实际问 题的步骤吗？
新知探究 一、列二元一次方程组解决实际问题
列方程组解决实际问题的步骤：
第一步：审题，弄清题意及题目中的数量关系； 第二步：设未知数，可直接设元，也可间接设元； 第三步：列出方程组，根据题目中能表示全部含义 的相等关系列出方程，并组成方程组； 第四步：解所列方程组，并检验解的正确性； 第五步：回答问题，写出答案。
目录
01 新课导入 02 新知探究
03 典型例题 04 拓展提高 05 课堂小结 06 作业布置
01 新课导入
新课导入
“鸡兔同笼”是我国古代著名的数学趣题之一 。大约在1500年前成书的《孙子算经》中，就有关 于“鸡兔同笼”的记载：今有雉兔同笼，上有三十 五头，下有九十四足，问雉兔各几何?
这句话的意思是：有若干只鸡和兔子关在一个 笼子里，从上面数，有35个头，从下面数，有94条 腿。问笼子里各有几只鸡和兔子？
列方程组解决实际问题时要注意：
（1）列方程组的关键在于根据题意找出等量关系； （2）“设”和“答”时，要写清楚单位； （3）一般来说，设几个未知数，应列出几个方程组成方程组； （4）列方程时，要注意单位的统一； （5）一定要检验所得数值是否与现实相符。
新知探究 二、典例剖析——行程问题
【例1】甲、乙二人在一环形场地上从A点同时同向匀速跑步，甲的速 度是乙的2.5倍，4min后两人首次相遇，此时乙还需要跑300m才跑完 第一圈，求：甲、乙二人的速度以及环形场地的周长。
已知：A、B两件服装的成本共500元，鑫洋服装店老板分别以30%和20%的 利润率定价后进行销售，该服装店共获利130元。 求：A、B两件服装的成本各是多少元？