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Bezier 曲线什么是 Bezier 曲线？Bezier 曲线是一种数学曲线，由法国工程师 Pierre Bézier 于20世纪50年代发明。
它是计算机图形学中最基本和最常用的曲线之一。
由于其简单性和灵活性，Bezier 曲线被广泛应用于计算机图形、工业设计、动画制作等领域。
Bezier 曲线的特点Bezier 曲线由一系列控制点确定，并通过调整这些控制点的位置和参数来定义曲线的形状。
以下是 Bezier 曲线的一些特点：1.可调节性：调整控制点的位置和参数可以改变曲线的形状、弯曲程度和速度。
2.平滑性：Bezier 曲线能够平滑连接控制点，使得曲线在控制点之间呈连续曲率。
3.参数化形状：Bezier 曲线可以通过调整参数来生成无限多种形状，从简单的直线到复杂的曲线。
4.逼近性：Bezier 曲线可以用来逼近其他复杂的曲线，如圆弧、椭圆等。
Bezier 曲线的数学表达Bezier 曲线是通过插值和多项式生成的数学曲线。
根据控制点的个数，可以确定 Bezier 曲线的阶数。
一般情况下，Bezier 曲线的阶数等于控制点数减1。
对于一维的 Bezier 曲线，它可由以下公式表示：Bezier 1DBezier 1D其中，n 为阶数，t 为参数，Pi 为控制点，Bi, n(t) 为 Bezier 基函数。
对于二维的 Bezier 曲线，它可由以下公式表示：Bezier 2DBezier 2D其中，n 为阶数，t 为参数，Pi 为控制点，Bi, n(t) 为 Bezier 基函数。
Bezier 曲线的应用Bezier 曲线的应用非常广泛，以下是一些常见的应用场景：1.计算机图形学：Bezier 曲线可以用来绘制平滑的曲线和曲面，用于构建2D和3D图形。
2.工业设计：Bezier 曲线可以用来设计平滑的汽车车身、家具等产品。
3.动画制作：Bezier 曲线可以用来定义动画路径，使得动画流畅而自然。
（4条消息）曲线曲面基本理论（二）一、Bezier曲线的生成生成一条Bezier 曲线实际上就是要求出曲线上的点。
下面介绍两种曲线生成的方法：1、根据定义直接生成 Bezier 曲线绘制Bezier曲线主要有以下步骤：2、Bezier 曲线的递推 (de Casteljau)算法根据 Bezier 曲线的定义确定的参数方程绘制 Bezier 曲线，因其计算量过大，不太适合在工程上使用。
de Casteljau 提出的递推算法则要简单得多。
Bezier 曲线上的任一个点(t)，都是其它相邻线段的同等比例( t ) 点处的连线，再取同等比例( t ) 的点再连线，一直取到最后那条线段的同等比例 ( t )处，该点就是Beizer曲线上的点( t ) 。
以二次 Bezier 曲线为例，求曲线上t=1/3的点：当t 从0变到1时，它表示了由三顶点P0、P1、P2三点定义的一条二次Bezier曲线。
二次Bezier曲线P02可以定义为分别由前两个顶点(P0,P1)和后两个顶点(P1,P2)决定的一次Bezier曲线的线性组合。
由(n+1)个控制点Pi(i=0,1,...,n)定义的n次Bezier曲线P0n可被定义为分别由前、后n个控制点定义的两条(n-1)次Bezier曲线P0n-1与P1n-1的线性组合：这便是著名的de Casteljau算法。
用这一递推公式，在给定参数下，求Bezier曲线上一点P(t)非常有效。
de Casteljau算法稳定可靠，直观简便，可以编出十分简捷的程序，是计算Bezier曲线的基本算法和标准算法。
这一算法可用简单的几何作图来实现。
3、Bezier曲线的拼接几何设计中，一条Bezier曲线往往难以描述复杂的曲线形状。
这是由于增加特征多边形的顶点数，会引起Bezier曲线次数的提高，而高次多项式又会带来计算上的困难。
采用分段设计，然后将各段曲线相互连接起来，并在接合处保持一定的连续条件。
用四个顶点的函数表示Bezier曲线一、Bezier曲线简介Bezier曲线是计算机图形学中常用的曲线类型，它通过定义一组控制点来描述曲线的路径。
其中，使用四个顶点来表示Bezier曲线是一种较为常见的方式。
二、Bezier曲线的表示方法在计算机图形学中，Bezier曲线通常使用参数方程来表示。
而使用四个顶点来定义Bezier曲线的参数方程为：B(t) = (1-t)^3 * P0 + 3*(1-t)^2 * t * P1 + 3*(1-t) * t^2 * P2 + t^3 * P3其中： - P0、P1、P2、P3分别代表四个控制点的坐标； - t是一个介于0和1之间的参数。
三、Bezier曲线的控制点选择选择合适的控制点是绘制出符合需求的Bezier曲线的关键。
由于Bezier曲线的性质，曲线会通过起始点P0和结束点P3，而中间的两个控制点P1和P2则决定了曲线的形状。
四、Bezier曲线的性质Bezier曲线具有以下特点： 1. 平滑性：Bezier曲线具有良好的平滑性，可以绘制出流畅的曲线。
2. 局部控制性：通过调整控制点的位置和权重，可以灵活地调整Bezier曲线的形状。
3. 可递推性：Bezier曲线的参数方程可以通过递推公式进行计算，从而实现高效绘制。
4. 可与直线相连：由于参数t的取值范围为0到1之间，因此Bezier曲线的起始点和结束点可以与其他直线段相连，实现复杂形状的绘制。
五、绘制Bezier曲线的算法绘制Bezier曲线的算法主要包括以下几个步骤： 1. 确定四个控制点P0、P1、P2、P3的坐标； 2. 将t的取值范围划分为一系列小的步长，例如0.01； 3. 对于每个t值，根据参数方程计算Bezier曲线上的点坐标； 4. 将计算得到的点坐标连接起来，即可绘制出Bezier曲线。
六、示例代码下面是一个使用Python编写的绘制Bezier曲线的示例代码：import matplotlib.pyplot as pltimport numpy as npdef bezier_curve(P0, P1, P2, P3, t):u = 1 - treturn u**3 * P0 + 3 * u**2 * t * P1 + 3 * u * t**2 * P2 + t**3 * P3# 设置四个控制点的坐标P0 = np.array([0, 0])P1 = np.array([1, 3])P2 = np.array([4, 2])P3 = np.array([6, 5])# 设置t的取值范围t = np.linspace(0, 1, 100)# 计算Bezier曲线上的点坐标x = bezier_curve(P0[0], P1[0], P2[0], P3[0], t)y = bezier_curve(P0[1], P1[1], P2[1], P3[1], t)# 绘制Bezier曲线plt.plot(x, y)plt.scatter([P0[0], P1[0], P2[0], P3[0]], [P0[1], P1[1], P2[1], P3[1]], c='red ')plt.xlabel('x')plt.ylabel('y')plt.title('Bezier Curve')plt.show()七、总结通过四个顶点的函数可以轻松地表示和绘制Bezier曲线。
双三次Bézier曲面片的光滑拼接
贾红丽;汤正诠
【期刊名称】《应用数学与计算数学学报》
【年(卷),期】2001(015)001
【摘要】本文根据曲面的总曲率和平均曲率推导出双三次Bézier曲面片拼接的C2连续条件.
【总页数】6页(P91-96)
【作者】贾红丽;汤正诠
【作者单位】上海大学理学院,上海,200436;上海大学理学院,上海,200436
【正文语种】中文
【中图分类】O1
【相关文献】
1.双三次Bézier曲面片光滑拼接条件的一个推导 [J], 白鸿武
2.用有理双三次Bézier曲面片混合二次曲面 [J], 方美娥;汪国昭
3.双三次Bézier曲面片光滑拼接的实现 [J], 邱曹勇;贾红丽;汤正诠;张娟
4.5×5片双三次Bézier曲面片的一类C2光滑拼接方案 [J], 陈炼;汤正诠;贾红丽
5.多片双三次Bézier曲面片的C2连续拼接探讨 [J], 张娟;汤正诠;邱曹勇
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贝塞尔曲线坐标算法贝塞尔曲线是一种常见的数学曲线，它由一系列控制点定义，并通过这些控制点来描绘平滑的曲线路径。
贝塞尔曲线在计算机图形学、插值、动画和游戏开发等领域被广泛应用。
在本文中，我们将讨论贝塞尔曲线的坐标算法。
贝塞尔曲线的坐标算法主要有两种类型：二次贝塞尔曲线和三次贝塞尔曲线。
二次贝塞尔曲线由三个控制点定义，而三次贝塞尔曲线由四个控制点定义。
我们来看二次贝塞尔曲线的坐标算法。
假设有三个控制点：P0，P1和P2。
曲线上的点可以通过参数t来确定，其中t的范围通常是0到1之间。
算法如下：1.计算参数t的平方和立方：t2 = t * t，t3 = t * t * t。
2.计算贝塞尔曲线上的点的x坐标：x = (1 - t) * ((1 - t) *P0.x + t * P1.x) + t * ((1 - t) * P1.x + t * P2.x)。
3.计算贝塞尔曲线上的点的y坐标：y = (1 - t) * ((1 - t) *P0.y + t * P1.y) + t * ((1 - t) * P1.y + t * P2.y)。
对于三次贝塞尔曲线，我们需要四个控制点：P0，P1，P2和P3。
算法如下：1.计算参数t的平方和立方：t2 = t * t，t3 = t * t * t。
2.计算贝塞尔曲线上的点的x坐标：x = (1 - t) * (1 - t) *(1 - t) * P0.x + 3 * (1 - t) * (1 - t) * t * P1.x + 3 * (1 - t) * t * t * P2.x + t * t * t * P3.x。
3.计算贝塞尔曲线上的点的y坐标：y = (1 - t) * (1 - t) *(1 - t) * P0.y + 3 * (1 - t) * (1 - t) * t * P1.y + 3 * (1 - t) * t * t * P2.y + t * t * t * P3.y。
Bézier曲面的G1保凸拼接
金席卷;姚杰;方逵
【期刊名称】《软件》
【年(卷),期】2011(032)012
【摘要】利用参数曲面的几何连续性条件,导出了有公共边界线的两个Bézier曲面保凸G1拼接的充分条件.讨论了二次Bezier 曲面的G1和G2保凸拼接方法.最后,给出了二次Bezier曲面的G1和G2保凸拼接实例.
【总页数】3页(P65-67)
【作者】金席卷;姚杰;方逵
【作者单位】长沙大学电子与通信工程系,长沙410003;湖南农业大学信息科学技术学院,长沙410128;湖南农业大学信息科学技术学院,长沙410128
【正文语种】中文
【中图分类】FP391.72
【相关文献】
1.Bezier曲面的凸性分析及保凸拼接 [J], 方逵;邓四清;姚杰;吴泉源
2.关于Bézier三角曲面的保凸条件 [J], 刘植;檀结庆;陈晓彦;张莉
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4.非参数二次B—B三角凸曲面片的保凸拼接 [J], 钟谭卫
5.两三角域上Bēzier曲面片在PPG^n变换下的保凸对接 [J], 张同琦
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T-Bézier曲线及G1拼接条件
王刘强;刘旭敏
【期刊名称】《计算机工程与应用》
【年(卷),期】2007(043)001
【摘要】针对目前NURBS模型的局限性问题,在对T-Bézier基函数及曲线端点特性分析的基础上,提出了k次T-Bézier基函数的表达式,通过重新参数化使其参数区间范围规范为[0,1],给出了椭圆弧和心脏线的T-Bézier表示,并给出T-Bézier曲线间G1拼接的几何条件,所得结论具有明确的几何意义,能够较好地应用于曲面造型中.
【总页数】4页(P47-49,60)
【作者】王刘强;刘旭敏
【作者单位】首都师范大学,信息工程学院,北京,100037;首都师范大学,信息工程学院,北京,100037
【正文语种】中文
【中图分类】TP391
【相关文献】
1.C-B样条曲线与T-B样条曲线的G1拼接 [J], 刘旭敏;黄厚宽;徐维祥
2.C-Bézier曲线分割算法及G1拼接条件 [J], 樊建华;邬义杰;林兴
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4.λαβ-Bézier曲线与3次Bézier曲线的拼接条件 [J], 杨林英;张贵仓
5.C-Bézier曲线与NURBS曲线的光滑拼接条件 [J], 戴中寅;杨松林
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有理Bézier曲线的自交点I. 引言- 简述Bézier曲线概念、应用与意义- 介绍本文研究的问题II. Bézier曲线的性质- 描述Bézier曲线的数学性质- 分析Bézier曲线的运动学性质- 说明Bézier曲线的几何性质III. 自交点的定义和分类- 解释自交点的概念- 研究自交点的分类IV. Bézier曲线的自交现象- 证明Bézier曲线可能出现自交现象- 分析自交现象的原因- 比较不同控制点位置对自交现象的影响V. 自交点的判定和避免- 引入自交点的判定方法- 提出避免自交点的算法- 通过实验验证自交点避免算法的效果VI. 结论- 总结自交点的研究意义和现实意义- 创新地提出进一步的研究方向- 结论注：此提纲可供参考和修改。
实际论文写作时，应具体考虑研究对象和目的制定符合本文需要的章节安排。
I. 引言Bézier曲线是计算机图形学中常用的曲线，其具有简单、高效的优点，被广泛应用于各种图像生成和处理的场景中。
Bézier曲线能够通过给定的控制点和权重，生成具有柔性、平滑和优美的曲线。
它被广泛使用于汽车设计、空气动力学、建筑设计、动画制作等领域。
然而，随着Bézier曲线的应用越来越广泛，因其特殊的曲线形状，Bézier曲线自身存在一些问题，其中之一就是自交。
自交是指曲线自身相交的现象，其会对曲线的视觉效果产生很大影响。
如图1所示的一个自交的示例，虽然曲线仍然具有平滑的特点，但通过视觉效果可以明显感受到其不和谐。
[图1 自交曲线的示例]因此，本文将重点研究Bézier曲线的自交点问题。
本文将逐步讲解Bézier曲线的性质、自交点的定义和分类、自交点的形成原因、自交点的判定和避免等方面。
同时，本文将通过实验验证自交点避免算法的效果，并提出未来研究的方向，为Bézier曲线在实际应用中提供更好的使用体验。
Computer Engineering and Applications 计算机工程与应用2010，46（4）r （图1有理Bezier 曲面的拼接Bezier 方法是曲线曲面造型中的一个里程碑，它以逼近原理为基础，应用Bezier 方法，可以方便地逼近数学曲线或曲线设计时勾画的草图，真正起到辅助设计的作用。
工业产品形状的数学描述重在解决曲面的数学描述，由于实际形状的复杂性，用单一曲面片已不能满足外形设计的要求，必须采用组合曲面，及对复杂的曲线、曲面在满足光滑拼接的条件下，采用分段与分片拟合以满足实际的需要。
因此要解决的关键问题就是怎样实现光滑拼接的问题。
对此引入几何连续的概念，来构造一个具有光滑程度的组合曲面，达到设计任意曲面外形的目的。
工程中常应用切平面连续光滑拼接，这里给出了具有公共边界曲线的两张双四次有理Bezier 曲面G 1光滑拼接条件，得到了更多的可调形状参数。
1数学背景为了给出有理Bezier 曲面G 1光滑拼接算法，首先给出一般有理曲面G 1拼接条件。
设两个有理曲面r （u ，v ）、r （u ，v ）具有公共边界曲线（位置连续），即Γ：r （1，v ）=r （0，v），如图1所示。
引理1两个有理Bezier 曲面r （u ，v ）、r （u ，v ）满足G 1的充分必要条件为具有公共边界且切平面连续，则两个曲面满足G 1的条件为：r （1，v ）=r （0，v）（1）r u （0，v ）=αr u （1，v ）+βr v （1，v ）（2）式中α、β为关于v 的任意函数。
设两个有理曲面分别为：r （u ，v ）=R （u ，v ）w （u ，v ）0≤u ，v ≤1r （u ，v ）=R 軍（u ，v）w 軍（u ，v）0≤u ，v ≤1它们的齐次坐标形式为：r ：Q （u ，v ）={R （u ，v ），ω（u ，v ）}和r ：Q （u ，v ）={R （u ，v ），ω軍（u ，v ）}。
这里R （u ，v ）、R （u ，v ）是E 3中的曲面，ω（u ，v ）、ω軍（u ，v）是非零函数。
由式（1）设c 0（v ）=ω軍（0，v ）ω（1，v ），从而可得Q （0，v ）=c 0（v）Q （1，v ）。
由商数定理鄣鄣u （r ，1）=鄣鄣u （Q ω）=Q u ω-Q ωu ω2，从式（2）得双四次有理Bezier 曲面G 1光滑拼接算法郝茹1，刘润涛2HAO Ru 1，LIU Run-tao 21.哈尔滨理工大学应用科学学院，哈尔滨1500802.哈尔滨理工大学信息与科学计算技术研究所，哈尔滨1500801.College of Applied Science ，Harbin University of Science and Technology ，Harbin 150080，China2.Institution of Information and Scientific Computing Technology ，Harbin University of Science and Technology ，Harbin 150080，China E-mail ：shr-831020@ HAO Ru ，LIU Run-tao.Joining between adjacent rational Bezier puter Engineering and Applications ，2010，46（4）：174-175.Abstract ：According to the theory of Bezier surface ，adopting in the public boundary the proposition of curve continuity and clipping plane ，the joining between adjacent rational Bezier surface is studied ；Meanwhile the G 1continuity conditions of two double four degree adjacent rational Bezier surfaces are given ，a lot of adjustable shape parameters are gotten thus.Key words ：rational Bezier surface ；G 1continuity ；weight 摘要：依据有理Bezier 曲面理论，即采用在公共边界处曲线连续和切平面光滑连续的性质，研究了有理Bezier 曲面的拼接问题，给出了具有公共边界曲线的两张双四次有理Bezier 曲面G 1光滑拼接条件，从而得到很多的可调形状参数。
关键词：有理Bezier 曲面；G 1连续；权因子DOI ：10.3778/j.issn.1002-8331.2010.04.055文章编号：1002－8331（2010）04-0174-02文献标识码：A中图分类号：TP391作者简介：郝茹（1983-），女，硕士研究生，研究领域：计算机辅助几何设计；刘润涛（1961-），男，教授，研究领域：计算机辅助几何设计、计算几何。
收稿日期：2008-08-13修回日期：2008-10-271742010，46（4）Q u =c 0αQ u +c 0βQ v +Q（覣u -c 0αωu -c 0βωu ）设p 1（v ）=α（v ），q 1（v ）=β（v ），c 1（v ）=（覣u -c 0αωu -c 0βωu ）/ω，则得与引理1等价的引理2。
引理2设有理曲面片r （u ，v ）、r （u ，v ）具有公共边界曲线，则r （u ，v ）、r （u ，v）是G 1连续，当且仅当Q （0，v ）=c 0（v）Q （1，v ）（3）Q u （0，v ）=c 1（v ）Q （1，v ）+c 0（v ）p 1（v ）Q u （1，v ）+c 0（v ）q 1（v ）Q v （1，v ）（4）式中，c 0（v ）、c 1（v ）、p 1（v ）、q 1（v ）是关于公共边界曲线参数v 的函数；Q （u ，v ）、Q （u ，v ）分别为r （u ，v ）、r （u ，v）齐次坐标行式。
为了方便，下面将式（3）G 0条件改为C 0连续从而得到Q （0，v ）=Q （1，v）（5）Q u （0，v ）=c 1（v ）Q （1，v ）+p 1（v ）Q u （1，v ）+q 1（v ）Q v （1，v ）（6）2有理Bezier 曲面光滑拼接2.1有理Bezier 曲面G 1的定义称r （u ，v ）=mi =0Σnj =0ΣBm ，i（u ）B n ，j （v ）ωi ，j P i ，jmi =0Σnj =0ΣBm ，i（u ）B n ，j （v ）ωi ，j （0≤u ，v ≤1）为矩形域上的Bezier 曲面。
式中：m 、n 分别为曲面沿u 、v 方向的幂次；B m ，i （u ）（i =0，1，…，m ）为u 向Bernstein 基函数族；B n ，j （v ）（j=0，1，…，n ）为v 向Bernstein 基函数族；P i ，j 为特征多边形网格顶点；ωi ，j 为与顶点P i ，j 对应的权因子。
2.2双四次有理Bezier 曲面G 1光滑拼接设两个双四次有理Bezier 曲面的矩阵表达式分别为：r （u ，v ）=UB ω00P 00ω01P 01ω02P 02ω03P 03ω04P 04ω10P 10ω11P 11ω12P 12ω13P 13ω14P 14ω20P 20ω21P 21ω22P 22ω23P 23ω24P 24ω30P 30ω31P 31ω32P 32ω33P 33ω34P 34ω40P 40ω41P 41ω42P 42ω43P 43ω44P 440000000000000000000000000000000000B T VTUB ω00ω01ω02ω03ω04ω10ω11ω12ω13ω14ω20ω21ω22ω23ω24ω30ω31ω32ω33ω34ω40ω41ω42ω43ω440000000000000000000000000000000000B T VT（7）r （u ，v ）UB ω00P 00ω01P 01ω02P 02ω03P 03ω04P 04ω10P 10ω11P 11ω12P 12ω13P 13ω14P 14ω20P 20ω21P 21ω22P 22ω23P 23ω24P 24ω30P 30ω31P 31ω32P 32ω33P 33ω34P 34ωP ωP ωP ωP ωP 0000000000000000000000000000000B T VTUB ω00ω01ω02ω03ω04ω10ω11ω12ω13ω14ω20ω21ω22ω23ω24ω30ω31ω32ω33ω34ω40ω41ω42ω43ω440000000000000000000000000000000B T VT（8）式中U =[u 4u 3u 2u 1]，V =[v 4v 3v 2v 1]，B =1-46-41-412-12406-12600-440001000000000000000000000000000000000，u ，v ∈[0，1]。
由引理2中式（5）可得：{R （1，v ），ω（1，v ）}={R （0，v ），ω軍（0，v ）}（9）由有理Bezier 曲面的表达式（7）和（8）可得：ω4j P 4j =ω4j =j（j =0，1，2，3，4）因此P 4j =P 0j ，ω4j =ω0j （j =0，1，2，3，4）（10）将式（7）记为：r （u ，v ）=R （u ，v ）ωu v （0≤u ，v ≤1）（11）将式（8）记为：r （u ，v ）=R 軍（u ，v ）ω軍（u ，v）（0≤u ，v ≤1）（12）由引理2中式（6）、（11）和（12）可得：R u （0，v ）=c 1（v ）R （1，v ）+p 1（v ）R u （1，v ）+q 1（v ）R v （1，v ）（13）ωu （0，v ）=c 1（v ）ω（1，v ）+p 1（v ）ωu （1，v ）+q 1（v ）ωv （1，v ）（14）先考虑式（13），得到：R u （0，v ）=（-4ω00P 00+4ω10P 10-4ω01P 01+4ω11P 11-4ω02P 02+4ω12P 12-4ω03P 03+4ω13P 13-4ω04P 04+4ω14P 14）B TVTR （1，v ）=（ω40P 40ω41P 41ω42P 42ω43P 43ω44P 44）B TVT （15）R u （1，v ）=（-4ω30P 30+4ω40P 40-4ω31P 31+4ω41P 41-4ω32P 32+4ω42P 42-4ω33P 33+4ω43P 43-4ω34P 34+4ω44P 44）B TVTR v （1，v ）=（ω40P 40ω41P 41ω42P 42ω43P 43ω44P 44）B T （V ′）T可知R u （0，v ）、R （1，v ）、R u （1，v ）、R v （1，v ）的次数分别为4、4、4、3。
