2020届高考数学一轮复习 第1讲 集合学案(无答案)理

第1讲集合及其运算知识点考纲下载集合集合的含义与表示(1)了解集合的含义、元素与集合的属于关系.(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.集合间的基本关系(1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.(2)在具体情境中，了解全集与空集的含义.集合的基本运算(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.(3)能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算.命题及其关系、充分条件与必要条件理解命题的概念.了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义.简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义. 理解全称量词和存在量词的意义.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.1．集合与元素(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN*(或N＋)Z Q R2.集合间的基本关系表示关系自然语言符号语言Venn图子集集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B)A⊆B(或B⊇A )真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中A B(或B A)集合相等集合A，B中元素相同A＝B3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集图形语言集合的并集集合的交集集合的补集符号语言A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{(x，y)|y＝x2}，则A，B，C表示同一个集合．( )(2)若a在集合A中，则可用符号表示为a⊆A.( )(3)若A B，则A⊆B且A≠B.( )(4)N*N Z.( )(5)若A∩B＝A∩C，则B＝C.( )答案：(1)×(2)×(3)√(4)√(5)×(教材习题改编)已知集合A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是矩形}，C＝{x|x是正方形}，D＝{x|x是菱形}，则( )A．A⊆B B．C⊆BC．D⊆C D．A⊆D答案：B(教材习题改编)设集合A＝{x|2≤x<5}，B＝{x∈Z|3x－7≥8－2x}，则A∩B＝( ) A．{x|3≤x<5} B．{x|2≤x≤3}C．{3，4} D．{3，4，5}解析：选C.因为A＝{x|2≤x<5}，B＝{x∈Z|3x－7≥8－2x}＝{x∈Z|x≥3}，所以A∩B＝{3，4}．(2017·高考江苏卷)已知集合A＝{1，2}，B＝{a，a2＋3}．若A∩B＝{1}，则实数a的值为________．解析：因为a2＋3≥3，所以由A∩B＝{1}得a＝1，即实数a的值为1.答案：1(教材习题改编)已知集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，则(∁R A)∩B＝________．解析：因为∁R A＝{x|x<3或x≥7}，所以(∁R A)∩B＝{x|2<x<3或7≤x<10}．答案：{x|2<x<3或7≤x<10}集合的概念[典例引领](1)已知集合A＝{0，1，2}，则集合B＝{(x，y)|x≥y，x∈A，y∈A}中元素的个数是( )A．1 B．3C．6 D．9(2)已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．【解析】(1)当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝0或y＝1；当x＝2时，y＝0，1，2. 故集合B＝{(0，0)，(1，0)，(1，1)，(2，0)，(2，1)，(2，2)}，即集合B中有6个元素．(2)因为3∈A，所以m＋2＝3或2m2＋m＝3.当m＋2＝3，即m＝1时，2m2＋m＝3，此时集合A中有重复元素3，所以m＝1不符合题意，舍去；当2m2＋m＝3时，解得m ＝－32或m ＝1(舍去)，此时当m ＝－32时，m ＋2＝12≠3符合题意．所以m ＝－32.【答案】 (1)C (2)－32[通关练习]1．已知集合A ＝{x |x ∈Z ，且32－x ∈Z }，则集合A 中的元素个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选C.因为32－x∈Z ，所以2－x 的取值有－3，－1，1，3，又因为x ∈Z ，所以x 值分别为5，3，1，－1，故集合A 中的元素个数为4. 2．设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a，b ，则b －a ＝( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2解析：选C.因为{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，a ≠0，所以a ＋b ＝0，则ba＝－1，所以a ＝－1，b ＝1.所以b －a ＝2.3．设集合A ＝{x |(x －a )2<1}，且2∈A ，3∉A ，则实数a 的取值范围为________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧（2－a ）2<1，（3－a ）2≥1 即⎩⎪⎨⎪⎧1<a <3，a ≤2或a ≥4，所以1<a ≤2.答案：1<a ≤2集合间的基本关系[典例引领](1)已知集合A ＝{x |x 2－x －2<0}，B ＝{x |－1<x <1}，则( ) A ．A B B ．B A C ．A ＝BD ．A ∩B ＝∅(2)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围为________．【解析】 (1)由题意知A ＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |－1<x <1}，则B A . (2)因为B ⊆A ，所以①若B ＝∅，则2m －1<m ＋1，此时m <2. ②若B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧2m －1≥m ＋1，m ＋1≥－2，2m －1≤5.解得2≤m ≤3.由①、②可得，符合题意的实数m 的取值范围为m ≤3. 【答案】 (1)B (2)(－∞，3]1.在本例(2)中，若A ⊆B ，如何求解？解：若A ⊆B ，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤－2，2m －1≥5，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≤－3，m ≥3.所以m 的取值范围为∅.2.若将本例(2)中的集合A 改为：A ＝{x |x <－2或x >5}，如何求解？ 解：因为B ⊆A ，所以①当B ＝∅时，即2m －1<m ＋1时，m <2，符合题意．②当B ≠∅时，⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，m ＋1>5或⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，2m －1<－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，m >4或⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，m <－12.即m >4.综上可知，实数m 的取值范围为(－∞，2)∪(4，＋∞)．[通关练习]1．已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0<x <5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选D.因为A ＝{1，2}，B ＝{1，2，3，4}，A ⊆C ⊆B ，则集合C 可以为：{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}共4个．2．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3<0}，B ＝{x |－m <x <m }．若B ⊆A ，则m 的范围为________． 解析：当m ≤0时，B ＝∅，显然B ⊆A .当m >0时，因为A ＝{x |x 2－2x －3<0}＝{x |－1<x <3}． 当B ⊆A 时，有所以⎩⎪⎨⎪⎧－m ≥－1，m ≤3，－m <m .所以0<m ≤1.综上所述m 的范围为m ≤1. 答案：m ≤1集合的基本运算集合的基本运算是历年高考的热点，每年必考，常和不等式的解集、函数的定义域、值域相结合命题，主要以选择题的形式出现．试题多为低档题．高考对集合运算的考查主要有以下两个命题角度：(1)集合间的交、并、补运算；(2)已知集合的运算结果求参数的值(范围)．[典例引领]角度一 集合间的交、并、补运算(1)(2017·高考天津卷)设集合A ＝{1，2，6}，B ＝{2，4}，C ＝{x ∈R |－1≤x ≤5}，则(A ∪B )∩C ＝( ) A ．{2} B ．{1，2，4} C ．{1，2，4，6}D ．{x ∈R |－1≤x ≤5}(2)(2018·南昌市第一次模拟)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |y ＝lg x }，集合B ＝{y |y ＝x ＋1}，那么A ∩(∁U B )＝( ) A ．∅ B ．(0，1] C ．(0，1)D ．(1，＋∞)【解析】 (1)A ∪B ＝{1，2，4，6}，(A ∪B )∩C ＝{1，2，4}，选项B 符合．(2)由题知，A ＝{x |y ＝lg x }＝{x |x >0}＝(0，＋∞)，B ＝{y |y ＝x ＋1}＝{y |y ≥1}＝[1，＋∞)，所以A ∩(∁U B )＝(0，＋∞)∩(－∞，1)＝(0，1)． 【答案】 (1)B (2)C角度二 已知集合的运算结果求参数的值(范围)(1)(2017·高考全国卷Ⅱ)设集合A ＝{1，2，4}，B ＝{x |x 2－4x ＋m ＝0}．若A ∩B ＝{1}，则B ＝( ) A ．{1，－3} B ．{1，0} C ．{1，3}D ．{1，5}(2)(2018·合肥市第二次教学质量检测)已知集合A ＝[1，＋∞)，B ＝{x ∈R |12a ≤x ≤2a －1}，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是( ) A ．[1，＋∞) B ．[12，1]C ．[23，＋∞)D ．(1，＋∞)【解析】 (1)因为A ∩B ＝{1}，所以1∈B ，所以1是方程x 2－4x ＋m ＝0的根，所以1－4＋m ＝0，m ＝3，方程为x 2－4x ＋3＝0，解得x ＝1或x ＝3，所以B ＝{1，3}，选择C. (2)因为A ∩B ≠∅，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a －1≥12a －1≥12a ，解得a ≥1，故选A.【答案】 (1)C (2)A(1)集合基本运算的求解策略①当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助Venn图运算．②当集合是用不等式表示时，可运用数轴求解．对于端点处的取舍，可以单独检验．③根据集合运算结果求参数，先把符号语言译成文字语言，然后适时应用数形结合求解．(2)集合的交、并、补运算口诀交集元素仔细找，属于A且属于B；并集元素勿遗漏，切记重复仅取一；全集U是大范围，去掉U中A元素，剩余元素成补集．[通关练习]1．(2016·高考全国卷Ⅱ)已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)＜0，x∈Z}，则A∪B＝( )A．{1} B．{1，2}C．{0，1，2，3} D．{－1，0，1，2，3}解析：选 C.由已知可得B＝{x|(x＋1)(x－2)＜0，x∈Z}＝{x|－1＜x＜2，x∈Z}＝{0，1}，所以A∪B＝{0，1，2，3}，故选C.2．(2018·洛阳市第一次统一考试)已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－3x－4>0}，B＝{x|－2≤x≤2}，则如图所示阴影部分所表示的集合为( )A．{x|－2≤x<4} B．{x|x≤2或x≥4}C．{x|－2≤x≤－1} D．{x|－1≤x≤2}解析：选D.依题意得A＝{x|x<－1或x>4}，因此∁R A＝{x|－1≤x≤4}，题中的阴影部分所表示的集合为(∁R A)∩B＝{x|－1≤x≤2}，选D.3．(2018·河北衡水中学第七次调研)已知集合A＝{x|log2x<1}，B＝{x|0<x<c}，若A∪B＝B，则c的取值范围是( )A．(0，1] B．[1，＋∞)C．(0，2] D．[2，＋∞)解析：选 D.A＝{x|log2x<1}＝{x|0<x<2}，因为A∪B＝B，所以A⊆B，所以c≥2，所以c∈[2，＋∞)，故选D.集合中的创新问题[典例引领](1)定义集合的商集运算为AB ＝{x |x ＝m n，m ∈A ，n ∈B }．已知集合A ＝{2，4，6}，B ＝{x |x ＝k 2－1，k ∈A }，则集合BA ∪B 中的元素个数为( )A ．6B ．7C ．8D ．9(2)如果集合A 满足若x ∈A ，则－x ∈A ，那么就称集合A 为“对称集合”．已知集合A ＝{2x ，0，x 2＋x }，且A 是对称集合，集合B 是自然数集，则A ∩B ＝________．【解析】 (1)由题意知，B ＝{0，1，2}，B A ＝{0，12，14，16，1，13}，则B A ∪B ＝{0，12，14，16，1，13，2}，共有7个元素，故选B. (2)由题意可知－2x ＝x 2＋x ，所以x ＝0或x ＝－3.而当x ＝0时不符合元素的互异性，所以舍去．当x ＝－3时，A ＝{－6，0，6}，所以A ∩B ＝{0，6}． 【答案】 (1)B (2){0，6}解决集合创新型问题的方法(1)要分析新定义的特点和本质，认清新定义对集合元素的要求，结合题目要求进行转化，并将其运用到具体的解题过程中．(2)要充分应用集合的有关性质及一些特殊方法(如特值法、排除法、数形结合法等)，将新定义问题转化到已学的知识中进行求解．[通关练习]1．设A ，B 是非空集合，定义A ⊗B ＝{x |x ∈A ∪B 且x ∉A ∩B }．已知集合A ＝{x |0<x <2}，B ＝{y |y ≥0}，则A ⊗B ＝________．解析：由已知A ＝{x |0<x <2}，B ＝{y |y ≥0}，又由新定义A ⊗B ＝{x |x ∈A ∪B 且x ∉A ∩B }，结合数轴得A ⊗B ＝{0}∪[2，＋∞)． 答案：{0}∪[2，＋∞)2．设A 是整数集的一个非空子集，对于k ∈A ，如果k －1∉A 且k ＋1∉A ，那么k 是A 的一个“单一元”，给定S ＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“单一元”的集合共有________个．解析：符合题意的集合为{1，2，3}，{2，3，4}，{3，4，5}，{4，5，6}，{5，6，7}，{6，7，8}，共6个． 答案：6集合运算的性质(1)A ∪B ＝A ⇔B ⊆A ，A ∩B ＝A ⇔A ⊆B . (2)A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅. (3)A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A .(4)A ∩(∁U A )＝∅，A ∪(∁U A )＝U ，∁U (∁U A )＝A .(5)A ⊆B ⇔A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B ⇔∁U A ⊇∁U B ⇔A ∩(∁U B )＝∅.(6)若集合A 中含有n 个元素，则它的子集个数为2n，真子集个数为2n－1，非空真子集个数为2n－2. 易错防范(1)认清元素的属性．解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．(2)注意元素的互异性．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误．(3)防范空集．在解决有关A ∩B ＝∅，A ⊆B 等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑∅是否成立，以防漏解．1．(2017·高考北京卷)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x <－2或x >2}，则∁U A ＝( ) A ．(－2，2) B ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) C ．[－2，2]D ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)解析：选C.由已知可得，集合A 的补集∁U A ＝[－2，2]．2．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x <1}，B ＝{x |3x<1}，则( ) A ．A ∩B ＝{x |x <0} B ．A ∪B ＝R C ．A ∪B ＝{x |x >1}D ．A ∩B ＝∅解析：选A.集合A ＝{x |x <1}，B ＝{x |x <0}，所以A ∩B ＝{x |x <0}，A ∪B ＝{x |x <1}．故选A. 3．已知集合A ＝{x ∈R |x －1x＝0}，则满足A ∪B ＝{－1，0，1}的集合B 的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．9解析：选C.解方程x －1x＝0，得x ＝1或x ＝－1，所以A ＝{1，－1}，又A ∪B ＝{－1，0，1}，所以B ＝{0}或{0，1}或{0，－1}或{0，1，－1}，集合B 共有4个．4．已知集合A ＝{0，1，2，3，4}，B ＝{x |x ＝n ，n ∈A }，则A ∩B 的真子集个数为( ) A ．5 B ．6 C ．7D ．8解析：选C.由题意，得B ＝{0，1，2，3，2}，所以A ∩B ＝{0，1，2}，所以A ∩B 的真子集个数为23－1＝7.故选C.5．(2018·云南省第一次统一检测)设集合A ＝{x |－x 2－x ＋2<0}，B ＝{x |2x －5>0}，则集合A 与集合B 的关系是( ) A ．B ⊆A B ．B ⊇A C ．B ∈AD ．A ∈B解析：选A.因为A ＝{x |－x 2－x ＋2<0}＝{x |x >1或x <－2}，B ＝{x |2x －5>0}＝{x |x >52}，所以B ⊆A ，故选A.6．(2018·陕西西安模拟)已知集合M ＝{－1，0，1}，N ＝{x |x ＝ab ，a ，b ∈M ，且a ≠b }，则集合M 与集合N 的关系是( ) A ．M ＝N B ．M ∩N ＝N C ．M ∪N ＝ND ．M ∩N ＝∅解析：选B.因为集合M ＝{－1，0，1}．N ＝{x |x ＝ab ，a ，b ∈M ，且a ≠b }，所以N ＝{－1，0}，所以集合M ∩N ＝N .故选B.7．(2018·河南百校联盟联考)若集合A ＝{x |y ＝lg(3x －x 2)}，B ＝{y |y ＝1＋4x ＋1，x ∈A }，则A ∩∁R B 等于( )A ．(0，2]B ．(2，3)C ．(3，5)D ．(－2，－1)解析：选A.因为A ＝(0，3)，所以B ＝(2，5)，所以A ∩∁R B ＝(0，2]．故选A.8．(2018·湖北武昌模拟)设A ，B 是两个非空集合，定义集合A －B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }．若A ＝{x ∈N |0≤x ≤5}，B ＝{x |x 2－7x ＋10<0}，则A －B ＝( )A ．{0，1}B ．{1，2}C ．{0，1，2}D ．{0，1，2，5}解析：选 D.因为 A ＝{x ∈N |0≤x ≤5}＝{0，1，2，3，4，5}，B ＝{x |x 2－7x ＋10<0}＝{x |2<x <5}，A －B ＝{x |x ∈A 且x ∉B }，所以A －B ＝{0，1，2，5}．故选D.9．(2018·长沙市统一模拟考试)已知集合A ＝{1，2，3}，B ＝{x |x 2－3x ＋a ＝0，a ∈A }，若A ∩B ≠∅，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．1或2解析：选B.当a ＝1时，B 中元素均为无理数 ，A ∩B ＝∅；当a ＝2时，B ＝{1，2}，A ∩B ＝{1，2}≠∅；当a ＝3时，B ＝∅，则A ∩B ＝∅.故a 的值为2，选B.10．(2018·安徽省两校阶段性测试)设A ＝{x |x 2－4x ＋3≤0}，B ＝{x |ln(3－2x )<0}，则图中阴影部分表示的集合为( )A ．(－∞，32)B ．(1，32)C ．[1，32)D ．(32，3]解析：选B.A ＝{x |x 2－4x ＋3≤0}＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |ln(3－2x )<0}＝{x |0<3－2x <1}＝{x |1<x <32}，图中阴影部分表示的集合为A ∩B ＝{x |1<x <32}．故选B.11．(2018·安徽淮北第二次模拟)已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |x ＋2a ≥0}，N ＝{x |log 2(x －1)<1}，若集合M ∩(∁U N )＝{x |x ＝1或x ≥3}，那么a 的取值为( ) A ．a ＝12B ．a ≤12C ．a ＝－12D ．a ≥12解析：选C.因为log 2(x －1)<1，所以x －1>0且x －1<2，即1<x <3，则N ＝{x |1<x <3}，因为U ＝R ，所以∁U N ＝{x |x ≤1或x ≥3}，又因为M ＝{x |x ＋2a ≥0}＝{x |x ≥－2a }，M ∩∁U N ＝{x |x＝1或x ≥3}，所以－2a ＝1，得a ＝－12.故选C.12．(2018·豫北名校联考)设P ，Q 为两个非空实数集合，定义集合P ⊗Q ＝{z |z ＝a ÷b ，a ∈P ，b ∈Q }，若P ＝{－1，0，1}，Q ＝{－2，2}，则集合P ⊗Q 中元素的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选B.当a ＝0时，无论b 取何值，z ＝a ÷b ＝0； 当a ＝－1，b ＝－2时，z ＝12；当a ＝－1，b ＝2时，z ＝－12；当a ＝1，b ＝－2时，z ＝－12；当a ＝1，b ＝2时，z ＝12.故P ⊗Q ＝{0，－12，12}，该集合中共有3个元素，所以选B.13．已知全集U ＝R ，A ＝{x |x ≤0}，B ＝{x |x ≥1}，则集合∁U (A ∪B )＝________．解析：由于A ∪B ＝{x |x ≤0，或x ≥1}，结合数轴，∁U (A ∪B )＝{x |0<x <1}． 答案：{x |0<x <1}14．设全集S ＝{1，2，3，4}，且A ＝{x ∈S |x 2－5x ＋m ＝0}，若∁S A ＝{2，3}，则m ＝________．解析：因为S ＝{1，2，3，4}，∁S A ＝{2，3}, 所以A ＝{1，4}，即1，4是方程x 2－5x ＋m ＝0的两根，由根与系数的关系可得m ＝1×4＝4. 答案：415．设集合I ＝{x |－3<x <3，x ∈Z }，A ＝{1，2}，B ＝{－2，－1，2}，则A ∩(∁I B )＝________．解析：因为集合I ＝{x |－3<x <3，x ∈Z }＝{－2，－1，0，1，2}，A ＝{1，2}，B ＝{－2，－1，2}，所以∁I B ＝{0，1}，则A ∩(∁I B )＝{1}． 答案：{1}16．已知A ＝{x |x 2－3x ＋2＜0}，B ＝{x |1＜x ＜a }，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是________．解析：因为A ＝{x |x 2－3x ＋2＜0}＝{x |1＜x ＜2}⊆B ，所以a ≥2. 答案：[2，＋∞)1．(2018·山东烟台调研)已知集合M ＝{x |x ＝k π4＋π4，k ∈Z }，集合N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k π8－π4，k ∈Z ，则( )A ．M ∩N ＝∅B ．M ⊆NC ．N ⊆MD ．M ∪N ＝M解析：选B.由题意可知，M ＝{x |x ＝（2k ＋4）8π－π4，k ∈Z }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝2n π8－π4，n ∈Z ，N ＝{x |x ＝2k π8－π4或x ＝（2k －1）8π－π4，k ∈Z }，所以M ⊆N ，故选B.2．(2018·宁夏银川二中考试)已知集合A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}，若A ⊆B ，则实数c 的取值范围是( ) A ．(0，1] B ．[1，＋∞) C ．(0，1)D ．(1，＋∞)解析：选 B.法一：由题意知，A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}＝{x |x －x 2>0}＝(0，1)，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}＝(0，c )．由A ⊆B ，画出数轴，如图所示，得c ≥1.法二：因为A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}＝{x |x －x 2>0}＝(0，1)，取c ＝1，则B ＝(0，1)，所以A ⊆B 成立，可排除C ，D ；取c ＝2，则B ＝(0，2)，所以A ⊆B 成立，可排除A.3．设函数f (x )＝lg(1－x 2)，集合A ＝{x |y ＝f (x )}，B ＝{y |y ＝f (x )}，则图中阴影部分表示的集合为________．解析：因为A ＝{x |y ＝f (x )}＝{x |1－x 2>0}＝{x |－1<x <1}，则u ＝1－x 2∈(0，1]，所以B ＝{y |y ＝f (x )}＝{y |y ≤0}，A ∪B ＝(－∞，1)，A ∩B ＝(－1，0]，故图中阴影部分表示的集合为(－∞，－1]∪(0，1)． 答案：(－∞，－1]∪(0，1) 4．若集合A 具有以下性质：(1)0∈A ，1∈A ；(2)x ，y ∈A ，则x －y ∈A ，且x ≠0时，1x∈A ，则称集合A 是“完美集”，给出以下结论：①集合B ＝{－1，0，1}是“完美集”； ②有理数集Q 是“完美集”；③设集合A 是“完美集”，若x ，y ∈A ，则x ＋y ∈A ； ④设集合A 是“完美集”，若x ，y ∈A ，则xy ∈A ；⑤对任意的一个“完美集”A ，若x ，y ∈A ，且x ≠0，则y x∈A . 其中正确结论的序号是________．解析：①－1∈B ，1∈B ，但是－1－1＝－2∉B ，B 不是“完美集”； ②有理数集满足“完美集”的定义；③0∈A ，x ，y ∈A ，0－y ＝－y ∈A ，那么x －(－y )＝x ＋y ∈A ；④对任意一个“完美集”A ，任取x ，y ∈A ，若x ，y 中有0或1时，显然xy ∈A ，若x ，y 均不为0，1，而1xy＝12xy ＋12xy ＝1（x ＋y ）2－x 2－y 2＋1（x ＋y ）2－x 2－y2，x ，x －1∈A ，那么1x －1－1x ＝1x （x －1）∈A ，所以x (x －1)∈A ，进而x (x －1)＋x ＝x 2∈A .结合前面的算式，知xy ∈A ；⑤x ，y ∈A ，若x ≠0，那么1x ∈A ，那么由④得yx∈A .故填②③④⑤. 答案：②③④⑤5．已知集合A ＝{x ∈R |x 2－ax ＋b ＝0}，B ＝{x ∈R |x 2＋cx ＋15＝0}，A ∩B ＝{3}，A ∪B ＝{3，5}．(1)求实数a ，b ，c 的值；(2)设集合P ＝{x ∈R |ax 2＋bx ＋c ≤7}，求集合P ∩Z .解：(1)因为A ∩B ＝{3}，所以3∈B ，所以32＋c ×3＋15＝0，c ＝－8， 所以B ＝{x ∈R |x 2－8x ＋15＝0}＝{3，5}， 又因为A ∩B ＝{3}，A ∪B ＝{3，5}，所以A ＝{3}，所以方程x 2－ax ＋b ＝0有两个相等的实数根都是3，所以a ＝6，b ＝9，所以a ＝6，b ＝9，c ＝－8.(2)不等式ax 2＋bx ＋c ≤7即6x 2＋9x －8≤7，所以2x 2＋3x －5≤0，所以－52≤x ≤1，所以P ＝{x |－52≤x ≤1}，所以P ∩Z ＝{x |－52≤x ≤1}∩Z ＝{－2，－1，0，1}．6．(2018·徐州模拟)已知集合A ＝{x |1<x <3}，集合B ＝{x |2m <x <1－m }． (1)当m ＝－1时，求A ∪B ； (2)若A ⊆B ，求实数m 的取值范围； (3)若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围． 解：(1)当m ＝－1时，B ＝{x |－2<x <2}， 则A ∪B ＝{x |－2<x <3}． (2)由A ⊆B 知⎩⎪⎨⎪⎧1－m >2m ，2m ≤1，1－m ≥3，得m ≤－2，即实数m 的取值范围为(－∞，－2]． (3)由A ∩B ＝∅，得①若2m ≥1－m ，即m ≥13时，B ＝∅，符合题意；②若2m <1－m ，即m <13时，需⎩⎪⎨⎪⎧m <13，1－m ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧m <13，2m ≥3，得0≤m <13或∅，即0≤m <13.综上知m ≥0，即实数m 的取值范围为[0，＋∞)．。

第一课时 集合课前预习案1．能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题。

2．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集。

3．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.4．能使用韦恩图（Venn ）表达集合的关系及运算。

（一）集合1．集合是一个不能定义的原始概念，描述性定义为：某些指定的对象 就成为一个集合，简称 ．集合中的每一个对象叫做这个集合的 ．2．集合中的元素属性具有：(1) (2) ； (3) ．3．集合的表示法常用的有 、 和韦恩图法三种，有限集常用 ，无限集常用 ，图示法常用于表示集合之间的相互关系．注意：区分集合中元素的形式：如：}12|{2++==x x y x A ；}12|{2++==x x y y B ；}12|),{(2++==x x y y x C ；}12|{2++==x x x x D ；},,12|),{(2Z y Z x x x y y x E ∈∈++==； 常用数集的符号表示：自然数集 ；正整数集 、 ；整数集 ；有理数集 、实数集 。

（二）元素与集合的关系 4．集合与元素的关系用符号 ， 表示（三）集合与集合的关系5．集合与集合的关系用符号 表示．6．子集：若集合A 中 都是集合B 的元素，就说集合A 包含于集合B （或集合B 包含集合A ），记作 ．7．两个集合相等：若集合A 中 都是集合B 的元素，同时集合B 中 都是集合A 的元素，就说集合A 等于集合B ，记作 ．8．真子集：如果 就说集合A 是集合B 的真子集，记作 ．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

注意：条件为B A ⊆，在讨论的时候不要遗忘了Φ=A 的情况。

9．若集合A 含有n 个元素，则A 的子集有 个，真子集有 个，非空真子集有 个．10．空集∅是一个特殊而又重要的集合，它不含任何元素，∅是任何集合的 ，∅是任何非空集合的 ，解题时不可忽视∅．（}0{、Φ和}{Φ的区别；0与三者间的关系）（四）集合的运算11．交集：由集合A 与B 的元素组成的集合，叫做集合A 与B 的交集，记作A∩B，即A∩B ＝ ． 12．并集：由 的元素组成的集合，叫做集合A 与B 的并集，记作A∪B，即A∪B＝ ．13．补集：集合A 是集合U 的子集，由 的元素组成的集合，叫做U 中子集A 的补集，记作U C A 即U C A ＝ ．（五）集合的常用运算性质1．A ∩A ＝ ，A ∩∅＝ ，A ∩B B ∩A ，A ∪A ＝ ，A ∪∅＝ ，A ∪B B ∪A2．()A C A U ⋂＝ ，()A C A U ⋃＝ ，()U C C A = ．3．()U C A B ⋃= ，()U C A B ⋂= ，4．A∪B＝A ⇔ A ∩B ＝A ⇔（六）B A 中元素的个数的计算公式为：=)(B A Card ；1．不能形成集合的是（ ）（A ）大于2的全体实数 （B ）不等式356x -<的所有解（C ）方程31y x =+所对应的直线上的所有点 （D ）x 轴附近的所有点2．设,a b R ∈，集合{1,,}{0,,}ba b a b a +=，则b a -=A ．1B ．1-C ．2D ．2-3.设集合{A x x x =≥=，则下列关系中正确的是（ ）（Ａ）x A ⊂（Ｂ）x A ∉（C ）{}X A （D ）{}x A ⊂4.i 是虚数单位，若集合S=}{1,0,1-，则（ ）A ．i S ∈B ．2i S ∈C ． 3i S ∈D ．2S i ∈5.若A 、B 、C 为三个集合，C B B A ⋂=⋃，则一定有（ ）（A ）C A ⊆ （B ）A C ⊆ （C ）C A ≠ （D ）φ=A6．已知M ，N 为集合I 的非空真子集，且M ，N 不相等，若 N （C =)M I ∅，则=N M （ ）A ．MB ．NC ．ID ．∅7．（12山东理）已知全集{}0,1,2,3,4U =,集合{}{}1,2,3,2,4A B ==,则()U C A B 为（） A ．{}1,2,4 B ．{}2,3,4 C ．{}0,2,4 D ．{}0,2,3,4课内探究案考点一 集合之间的关系【典例1】1.已知{1}A {1,2,3,4,5},⊆求（1）满足条件的所有集合A 的个数；（2）所有元素之和为奇数的集合A 的个数.2.已知集合{}2310A x x x =--≤0。

第一节集合[考纲传真] 1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中，了解全集与空集的含义.3.(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．(3)能使用Venn图表达集合间的基本关系及集合的基本运算．1．元素与集合(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉.(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、Venn图法．(4)常见数集的记法(1)子集：若对∀x∈A，都有x∈B，则A⊆B或B⊇A.(2)真子集：若A⊆B，但∃x∈B，且x∉A，则A B或B A.(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.(4)空集的性质：∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．3．集合的基本运算(1)A∪B＝{x|x∈A或x∈B}；(2)A∩B＝{x|x∈A且x∈B}；(3)∁U A＝{x|x∈U且x∉A}．[常用结论]1．对于有限集合A，其元素个数为n，则集合A的子集个数为2n，真子集个数为2n－1，非空真子集个数为2n－2.2．A∪B＝A⇔B⊆A，A∩B＝A⇔A⊆B.[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何一个集合都至少有两个子集．( )(2){x|y＝x2}＝{y|y＝x2}＝{(x，y)|y＝x2}．( )(3)若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.( )(4)直线y＝x＋3与y＝－2x＋6的交点组成的集合是{1,4}．( )[解析](1)错误．空集只有一个子集，就是它本身，故该说法是错误的．(2)错误．三个集合分别表示函数y＝x2的定义域(－∞，＋∞)，值域[0，＋∞)，抛物线y＝x 2上的点集．(3)错误．当x ＝1时，不满足互异性． (4)错误．两直线交点组成的集合为{(1,4)}． [答案] (1)× (2)× (3)× (4)×2．(教材改编)若集合A ＝{x ∈N|x ≤22}，a ＝2，则下列结论正确的是( ) A ．{a }⊆A B ．a ⊆A C ．{a }∈A D ．a ∉A D [由题意知A ＝{0,1,2}，由a ＝2，知a ∉A .]3．已知集合A ＝{0,1,2}，B ＝{y |y ＝2x ，x ∈A }，则A ∪B 中的元素个数为( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．3C [因为B ＝{0,2,4}，所以A ∪B ＝{0,1,2,4}，元素个数为4，故选C.]4．(教材改编)已知集合A ＝{x |x 2－x －6＜0}，集合B ＝{x |x －1＜0}，则A ∩B ＝________. (－2,1) [∵A ＝{x |－2＜x ＜3}，B ＝{x |x －1＜0}＝{x |x ＜1}， ∴A ∩B ＝{x |－2＜x ＜1}．]5．已知集合A ＝{x 2＋x,4x }，若0∈A ，则x ＝________.－1 [由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＝0，4x ≠0或⎩⎪⎨⎪⎧4x ＝0，x 2＋x ≠0，解得x ＝－1.]集合的基本概念1．(2018·全国卷Ⅱ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤3，x ∈Z，y ∈Z}，则A 中元素的个数为( )A ．9B ．8C ．5D ．4A [由x 2＋y 2≤3知，－3≤x ≤3，－3≤y ≤ 3.又x ∈Z，y ∈Z，所以x ∈{－1,0,1}，y ∈{－1,0,1}，所以A 中元素的个数为C 13C 13＝9，故选A.]2．若集合A ＝{x ∈R|ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝( ) A.92 B.98 C ．0 D ．0或98D [若集合A 中只有一个元素，则方程ax 2－3x ＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根． 当a ＝0时，x ＝23，符合题意；当a ≠0时，由Δ＝(－3)2－8a ＝0得a ＝98，所以a 的取值为0或98.]3．已知a ，b ∈R，若⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a，1＝{a 2，a ＋b,0}，则a 2 019＋b 2 019为( )A ．1B ．0C ．－1D ．±1 C [由已知得a ≠0，则b a＝0，所以b ＝0，于是a 2＝1，即a ＝1或a ＝－1，又根据集合中元素的互异性可知a ＝1应舍去，因此a ＝－1，故a 2 019＋b2 019＝(－1)2 019＋02 019＝－1.]用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意于解决集合问题.集合的基本关系【例1】 (1)(2019·长春质检)已知集合M ＝{0,1}，则满足条件M ∪N ＝M 的集合N 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4(2)已知集合A ＝{x |(x ＋1)(x －3)＜0}，B ＝{x |－m ＜x ＜m }．若B ⊆A ，则m 的取值范围为________．(1)D (2)(－∞，1] [(1)由M ∪N ＝M 得N ⊆M ，即找集合M 的子集个数，故满足题意的集合N 有：∅，{0}，{1}，{0,1}，共4个．(2)当m ≤0时，B ＝∅，显然B ⊆A ，当m ＞0时，B ≠∅，因为A ＝{x |(x ＋1)(x －3)＜0}＝{x |－1＜x ＜3}． 当B ⊆A 时，有所以⎩⎪⎨⎪⎧－m ≥－1，m ≤3，－m ＜m .所以0＜m ≤1.综上所述，m 的取值范围为(－∞，1]．] 若已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系直观进行求解 A ．A BB ．B AC．A⊆B D．B＝AB[由题意知A＝{x|－1≤x≤1}，所以B＝{x|x＝m2，m∈A}＝{x|0≤x≤1}，因此B A.]集合的基本运算►考法1 集合的交、并、补运算【例2】(1)(2019·陕西模拟)已知集合A＝{x|x2－3x＋2≥0}，B＝{x|2x＜4}，则A∪B＝( )A．∅B．{x|x∈R}C．{x|x≤1} D．{x|x＞2}(2)已知A，B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，且A∩B＝{3}，(∁U B)∩A＝{9}，则A＝( ) A．{1,3} B．{3,7,9}C．{3,5,9} D．{3,9}(1)B (2)D [(1)∵A＝{x|x2－3x＋2≥0}＝{x|x≥2或x≤1}，B＝{x|2x＜4}＝{x|x＜2}．∴A∪B＝R，故选B.(2)法一：因为A∩B＝{3}，所以3∈A，又(∁U B)∩A＝{9}，所以9∈A.若5∈A，则5∉B(否则5∈A∩B)，从而5∈∁U B，则(∁U B)∩A＝{5,9}，与题中条件矛盾，故5∉A.同理，1∉A,7∉A，故A ＝{3,9}．法二：本题也可以利用Venn图帮助理解，如图所示．]►考法2 利用集合的运算求参数【例3】(1)已知集合A＝{1,3，m}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m等于( )A．0或 3 B．0或3C．1或 3 D．1或3(2)已知集合M＝{x|－1≤x＜2}，N＝{y|y＜a}，若M∩N≠∅，则实数a的取值范围是( ) A．[－1,2) B．(－∞，2]C．[－1，＋∞) D．(－1，＋∞)(1)B (2)D [(1)由A∪B＝A，得B⊆A，所以m∈A.因为A＝{1,3，m}，所以m＝m或m＝3，即m＝3或m＝1或m＝0.由集合中元素的互异性知m≠1，故选B.(2)M＝{x|－1≤x＜2}，N＝{y|y＜a}，且M∩N≠∅，结合数轴可得a＞－1.]看元素组成，集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提.看集合能否化简，易于求解要借助合元素连续时用数轴表示，并注意端点值的取舍(1)A．A∪B＝{x|x＜0}B．(∁R A)∩B＝{x|x＜－1}C．A∩B＝{x|－1＜x＜0}D．A∪(∁R B)＝{x|x≥0}(2)(2019·河北六校联考)设全集U＝R，集合A＝{x|x－1≤0}，集合B＝{x|x2－x－6＜0}，则图中阴影部分表示的集合为( )A．{x|x＜3} B．{x|－3＜x≤1}C．{x|x＜2} D．{x|－2＜x≤1}(1)C (2)D [(1)由题知，A＝(－1,2]，B＝(－∞，0)，∴A∪B＝(－∞，2]，A∩B＝(－1,0)，(∁R A)∩B＝(－∞，－1]，A∪(∁R B)＝(－1，＋∞)，故选C.(2)依题意得A＝{x|x≤1}，B＝{x|－2＜x＜3}，题图中阴影部分表示的集合为A∩B＝{x|－2＜x≤1}，故选D.]1．(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－x－2＞0}，则∁R A＝( )A．{x|－1＜x＜2}B．{x|－1≤x≤2}C．{x|x＜－1}∪{x|x＞2}D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}B[法一：A＝{x|(x－2)(x＋1)＞0}＝{x|x＜－1或x＞2}，所以∁R A＝{x|－1≤x≤2}，故选B.法二：因为A＝{x|x2－x－2＞0}，所以∁R A＝{x|x2－x－2≤0}＝{x|－1≤x≤2}，故选B.] 2．(2017·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x<1}，B＝{x|3x＜1}，则( )A．A∩B＝{x|x＜0} B．A∪B＝RC．A∪B＝{x|x＞1} D．A∩B＝∅A[∵B＝{x|3x＜1}，∴B＝{x|x＜0}．又A＝{x|x＜1}，∴A∩B＝{x|x＜0}，A∪B＝{x|x＜1}．故选A.]3．(2017·全国卷Ⅱ)设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝( ) A．{1，－3} B．{1,0}C．{1,3} D．{1,5}C[∵A∩B＝{1}，∴1∈B.∴1－4＋m＝0，即m＝3.∴B＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{1,3}．故选C.]4．(2017·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B中元素的个数为( )A．3 B．2 C．1 D．0B[集合A表示以原点O为圆心，半径为1的圆上的所有点的集合，集合B表示直线y＝x上的所有点的集合．结合图形可知，直线与圆有两个交点，所以A∩B中元素的个数为2.故选B.]5．(2016·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)＜0，x∈Z)，则A∪B＝( ) A．{1} B．{1,2}C．{0,1,2,3} D．{－1,0,1,2,3}C[因为B＝{x|(x＋1)(x－2)＜0，x∈Z}＝{x|－1＜x＜2，x∈Z}＝{0,1}，又A＝{1,2,3}，所以A∪B＝{0,1,2,3}．]。

姓名，年级：时间：错误!错误!知识点一命题及四种命题1．命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题,判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其关系（1）四种命题间的相互关系(2）四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性;②两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性没有关系．1．对于命题“单调函数不是周期函数",下列陈述正确的是（ D )A．逆命题为“周期函数不是单调函数"B．否命题为“单调函数是周期函数”C．逆否命题为“周期函数是单调函数”D．以上三者都不正确解析:原命题可以改写为“若函数是单调函数，则函数不是周期函数”．其逆命题为“若函数不是周期函数,则函数是单调函数”,故选项A不正确；其否命题为“若函数不是单调函数，则函数是周期函数"，故选项B不正确；其逆否命题为“若函数是周期函数，则函数不是单调函数”，故选项C不正确．2．“若a，b都是偶数，则ab是偶数"的逆否命题为若ab不是偶数，则a，b不都是偶数．解析：“a，b都是偶数”的否定为“a，b不都是偶数”，“ab是偶数”的否定为“ab不是偶数"，故其逆否命题为“若ab不是偶数，则a，b不都是偶数”．3．在命题“若m>－n，则m2>n2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是3。

解析：原命题为假命题，则逆否命题也为假命题，逆命题也是假命题，则否命题也是假命题．故假命题的个数为3。

知识点二充分条件与必要条件1．若p⇒q且q错误!p，则p是q的充分不必要条件,q是p的必要不充分条件；若p⇒q且q⇒p，则p是q的充分必要条件，q也是p的充分必要条件．2．若A、B为两个集合，满足A B，则A是B的充分不必要条件,B是A的必要不充分条件;若A＝B，则A是B的充分必要条件．4．(2018·天津卷）设x∈R，则“｜x－12|〈错误!"是“x3〈1”的( A )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：解法1:由｜x－错误!|〈错误!，得0<x〈1，所以0<x3〈1；由x3<1，得x〈1，不能推出0<x〈1.所以“|x－错误!｜<错误!”是“x3〈1”的充分而不必要条件．故选A.解法2：由|x－错误!｜<错误!,得0<x<1,所以0〈x3〈1，所以充分性成立;取x＝－错误!，则|－错误!－错误!｜＝错误!〉错误!，(－错误!）3＝－164〈1,所以必要性不成立．故选A。

盐城市2020届高三数学一轮复习导学案第1讲 集合一、考纲导读1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能选择自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；了解全集与空集的含义.二、回归课本1. 若全集U={1,2,3,4,5},集合A={1,2,3},B={2,3,4},则∁U (A ∩B)= .2. 已知集合A={m+2,2m 2+m},若3∈A,则实数m= .3.已知集合A=[1,4),B=(-∞,a),A ⊆B,那么实数a 的取值范围为 .三、考点研析考点一 集合间的基本运算典例1 已知集合A={1,2},B={a,a 2+3}.若A ∩B={1},则实数a 的值为 .变式1 已知集合A={0,1,2},B={x|x 2-x ≤0},则A ∩B= .变式2 设集合A={1,3},B={a+2,5},A ∩B={3},则A ∪B= .变式3 若全集U={1,2,3,4},集合A={1,3},B={2,3},则B ∩(∁U A)= .考点二 集合中元素的特性典例2 已知集合P={1,1+d,1+2d},Q={1,q,q 2},且P=Q,求d 和q 的值.变式1 已知集合{}22,25,12A a a a =-+,求实数a 的取值范围.变式2 已知集合{}220A x x x a =-+>且1A ∉，求实数a 的取值范围.考点三集合间的基本关系典例3 已知集合 A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1}.(1) 若B⊆A,求实数 m 的取值范围;(2) 当x∈R时,不存在元素x使得x∈A与x∈B同时成立,求实数m的取值范围.变式1 已知集合A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1<x<2m-1},且B≠∅.若B⊆A,求实数m的取值范围.。

第一章集合与常用逻辑用语、不等式第一节集合突破点一集合的概念与集合间的基本关系[基本知识]1．集合的有关概念(1)集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．(2)集合与元素的关系：若a属于集合A，记作a∈A；若b不属于集合A，记作b∉A.(3)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．2．集合间的基本关系B AB一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．( )(2)若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.( )(3)∅∈{0}．( )答案：(1)×(2)×(3)×二、填空题1．已知集合P＝{－2，－1,0,1}，集合Q＝{y|y＝|x|，x∈P}，则Q＝________.解析：将x＝－2，－1,0,1分别代入y＝|x|中，得到y＝2,1,0，故Q＝{2,1,0}．答案：{2,1,0}2．已知非空集合A满足：①A⊆{1,2,3,4}；②若x∈A，则5－x∈A.则满足上述要求的集合A的个数为________．解析：由题意，知满足题中要求的集合A 可以是{1,4}，{2,3}，{1,2,3,4}，共3个． 答案：33．设集合M ＝{1，x ，y }，N ＝{x ，x 2，xy }，且M ＝N ，则x2 019＋y2 020＝________.解析：因为M ＝N ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝1，xy ＝y 或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝y ，xy ＝1，由集合中元素的互异性，可知x ≠1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0.所以x2 019＋y2 020＝－1.答案：－14．已知集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋a ＝0，a ∈R}，若集合A 有且仅有2个子集，则a 的值是________．解析：因为集合A 有且只有2个子集，所以A 仅有一个元素，即方程ax 2＋2x ＋a ＝0(a ∈R)仅有一个根．①当a ＝0时，A ＝{0}符合题意；②当a ≠0时，要满足题意，需有Δ＝ 4－4a 2＝0，即a ＝±1.综上所述，a ＝0或a ＝±1.答案：0或±1[典例感悟]1．(2019·厦门一中模拟)设集合M ＝{x |x ＝2m ＋1，m ∈Z}，P ＝{y |y ＝2m ，m ∈Z}，若x 0∈M ，y 0∈P ，a ＝x 0＋y 0，b ＝x 0y 0，则( )A ．a ∈M ，b ∈PB ．a ∈P ，b ∈MC ．a ∈M ，b ∈MD ．a ∈P ，b ∈P解析：选A 设x 0＝2n ＋1，y 0＝2k ，n ，k ∈Z ，则x 0＋y 0＝2n ＋1＋2k ＝2(n ＋k )＋1∈M ，x 0y 0＝2k (2n ＋1)＝2(2nk ＋k )∈P ，即a ∈M ，b ∈P ，故选A.2．(2019·广州模拟)已知集合{x |x 2＋ax ＝0}＝{0,1}，则实数a 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2解析：选A 依题意知a ≠0，则{0，－a }＝{0,1}，所以a ＝－1.故选A.3．(2019·湖南长郡中学选拔考试)已知集合A ＝{0}，B ＝{－1,0,1}，若A ⊆C ⊆B ，则符合条件的集合C 的个数为( )A ．1B ．2C ．4D ．8 解析：选C 由题意得，含有元素0且是集合B 的子集的集合有{0}，{0，－1}，{0,1}，{0，－1,1}，即符合条件的集合C 共有4个．[方法技巧]1．与集合概念有关问题的求解策略 (1)确定构成集合的元素是什么，即确定性．(2)看这些元素的限制条件是什么，即元素的特征性质．(3)根据元素的特征性质求参数的值或范围，或确定集合中元素的个数，要注意检验集合中的元素是否满足互异性．2．判断集合间关系的常用方法含有n (n ∈N *)个元素的集合有2n 个子集，有2n －1个非空子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集．[针对训练]1．设集合A ＝{0,1,2,3}，B ＝{x |－x ∈A,1－x ∉A }，则集合B 中元素的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选A 若x ∈B ，则－x ∈A ，故x 只可能是0，－1，－2，－3，当0∈B 时，1－0＝1∈A ；当－1∈B 时，1－(－1)＝2∈A ；当－2∈B 时，1－(－2)＝3∈A ；当－3∈B 时，1－(－3)＝4∉A ，所以B ＝{－3}，故集合B 中元素的个数为1.2．(2019·贵阳高三检测)设集合P ＝{x |x <1}，Q ＝{x |x 2<1}，则( ) A ．P ⊆Q B ．Q ⊆P C ．P ⊆∁R QD ．Q ⊆∁R P解析：选B 依题意得Q ＝{x |－1<x <1}，因此Q ⊆P .3．已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围为________．解析：∵B ⊆A ，∴①若B ＝∅，则2m －1<m ＋1，此时m <2. ②若B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧2m －1≥m ＋1，m ＋1≥－2，2m －1≤5.解得2≤m ≤3.由①②可得，符合题意的实数m 的取值范围为(－∞，3]． 答案：(－∞，3]突破点二 集合的基本运算[基本知识]1．集合的三种基本运算(1)A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅. (2)A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A .(3)A ∩∁U A ＝∅，A ∪∁U A ＝U ，∁U (∁U A )＝A .(4)A ⊆B ⇔A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B ⇔∁U A ⊇∁U B ⇔A ∩(∁U B )＝∅.[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)对于任意两个集合A ，B ，关系(A ∩B )⊆(A ∪B )恒成立．( )(2)若集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | 1x >0，则∁R A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | 1x≤0.( )(3)设集合U ＝{x |－3<x <3，x ∈Z}，A ＝{1,2}，B ＝{－2，－1，2}，则A ∩(∁U B )＝{1}．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)√ 二、填空题1．(2018·江苏高考)已知集合A ＝{0,1,2,8}，B ＝{－1,1,6,8}，那么A ∩B ＝____________.答案：{1,8}2．已知集合A ＝{x |－2≤x <3}，B ＝{x |x <－1}，则A ∩(∁R B )＝____________. 解析：因为B ＝{x |x <－1}，则∁R B ＝{x |x ≥－1}，所以A ∩(∁R B )＝{x |－2≤x <3}∩{x |x ≥－1}＝{x |－1≤x <3}．答案：{x |－1≤x <3}3．(2019·合肥模拟)已知集合A ，B 均为全集U ＝{1,2,3,4}的子集，且∁U (A ∪B )＝{4}，B ＝{1,2}，则A ∩(∁U B )＝________.解析：由题意，知A ∪B ＝{1,2,3}．又B ＝{1,2}，∴∁U B ＝{3,4}，∴A ∩(∁U B )＝{3}． 答案：{3}4．(2019·淮南二中调研)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x <3或x ≥7}，B ＝{x |x <a }．若 (∁U A )∩B ≠∅，则实数a 的取值范围为________．解析：因为A ＝{x |x <3或x ≥7}，所以∁U A ＝{x |3≤x <7}，又(∁U A )∩B ≠∅，则a >3. 答案：(3，＋∞)[典例感悟]1．(2019·衡水模拟)已知集合A ＝{x |－x 2＋4x ≥0}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪181<3x<27，C ＝{x |x ＝2n ，n ∈N}，则(A ∪B )∩C ＝( )A ．{2,4}B ．{0,2}C ．{0,2,4}D ．{0,4}解析：选C 集合A ＝{x |0≤x ≤4}，B ＝{x |－4<x <3}，故A ∪B ＝{x |－4<x ≤4}，集合C 表示非负偶数，故(A ∪B )∩C ＝{0,2,4}，故选C.2.(2019·太原阶段性测评)设集合A ＝{－1,0,1,2}，B ＝{x |y ＝x 2－1}，则图中阴影部分所表示的集合为( )A ．{1}B ．{0}C ．{－1,0}D ．{－1,0,1}解析：选 B 由题意得图中阴影部分表示的集合为A ∩(∁R B )．∵B ＝{x |y ＝x 2－1}＝{x |x 2－1≥0}＝{x |x ≥1或x ≤－1}，∴∁R B ＝{x |－1<x <1}，∴A ∩(∁R B )＝{0}，故选B.3．设P ，Q 为两个非空实数集合，定义集合P *Q ＝{z |z ＝a b，a ∈P ，b ∈Q }，若P ＝{1,2}，Q ＝{－1,0,1}，则集合P *Q 中元素的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选B 因为a ∈P ，b ∈Q ，所以a 的取值只能为1,2；b 的取值只能为－1,0,1.z ＝a b的不同运算结果如下表所示：由上表可知P *Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬1，12，2，显然该集合中共有3个不同的元素．[方法技巧]1．集合基本运算的求解策略耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新定义、新法则、新运算的外表，利用所学的集合性质等知识将陌生的集合转化为我们熟悉的集合，是解决这类问题的突破口．[针对训练]1．(2018·全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{x |x －1≥0}，B ＝{0,1,2}，则A ∩B ＝( ) A ．{0} B ．{1} C ．{1,2}D ．{0,1,2}解析：选C ∵A ＝{x |x －1≥0}＝{x |x ≥1}，B ＝{0,1,2}，∴A ∩B ＝{1,2}． 2．(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x 2－x －2>0}，则∁R A ＝( ) A ．{x |－1<x <2} B ．{x |－1≤x ≤2} C ．{x |x <－1}∪{x |x >2}D ．{x |x ≤－1}∪{x |x ≥2}解析：选B ∵x 2－x －2>0，∴(x －2)(x ＋1)>0，∴x >2或x <－1，即A ＝{x |x >2或x <－1}．则∁R A ＝{x |－1≤x ≤2}．故选B.3．已知集合A ＝{x |x 2－3x －10<0}，B ＝{x |y ＝ln(x －2)}，则A ∩(∁R B )＝( ) A ．(2,5) B ．[2,5) C ．(－2,2]D ．(－2,2)解析：选C 解一元二次不等式x 2－3x －10<0，得－2<x <5，∴A ＝{x |－2<x <5}．由y ＝ln(x －2)可知x －2>0，即x >2，∴B ＝{x |x >2}，因此∁R B ＝{x |x ≤2}，则A ∩(∁R B )＝(－2,2]．故选C.4．已知集合A ＝{x ∈N|x 2－2x －3≤0}，B ＝{1,3}，定义集合A ，B 之间的运算“*”：A *B ＝{x |x ＝x 1＋x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，则A *B 中的所有元素之和为( )A ．15B ．16C ．20D ．21解析：选D由x2－2x－3≤0，得(x＋1)(x－3)≤0，又x∈N，故集合A＝{0,1,2,3}．∵A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，∴A*B中的元素有0＋1＝1,0＋3＝3,1＋1＝2,1＋3＝4,2＋1＝3(舍去)，2＋3＝5,3＋1＝4(舍去)，3＋3＝6，∴A*B＝{1,2,3,4,5,6}，∴A*B中的所有元素之和为21.。

第一节集合的概念与运算1．集合的相关概念(1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性．(2)元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为∉.(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．(4)五个特定的集合：集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N *或N＋Z Q R2．集合间的基本关系表示关系文字语言符号语言记法基本关系子集集合A的任意一个元素都是集合B的元素x∈A⇒x∈B A⊆B或B⊇A 真子集集合A是集合B的子集，并且集合A与集合B不相等A⊆B，且A≠B A B或B A 相等集合A，B的元素完全相同A⊆B，B⊆A A＝B空集不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集，是任何非空集合B的真子集∀x，x∉∅，∅⊆A，∅B∅3．集合的基本运算表示运算文字语言符号语言图形语言记法交集所有属于集合A且属于集合B的元素构成的集合{x|x∈A，且x∈B}A∩B并集所有属于集合A或者属于集合B的元素构成的集合{x|x∈A，或x∈B}A∪B补集全集U中不属于集合{x|x∈U，且x∉A}∁U A(1)若集合A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空子集有2n－1个．(2)集合的传递性：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C.(3)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.(考虑A是空集和不是空集两种情况)(4)∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)，∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)．[小题体验]1．(2018·江苏高考)已知集合A＝{0,1,2,8}，B＝{－1,1,6,8}，那么A∩B＝________.答案：{1,8}2．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{2,3,4}，N＝{4,5}，则∁U(M∪N)＝________.答案：{1,6}3．设集合A＝{x|(x＋1)(x－2)＜0}，B＝{x|0≤x≤3}，则A∩B＝________.答案：{x|0≤x＜2}4．设全集U＝N*，集合A＝{2,3,6,8,9}，集合B＝{x|x＞3，x∈N*}，则图中阴影部分所表示的集合是________．答案：{2,3}1．认清集合元素的属性(是点集、数集或其他形式)和化简集合是正确求解集合问题的两个先决条件．2．解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系．3．注意空集的特殊性，在写集合的子集时不要忘了空集和它本身．4．运用数轴图示法注意端点是实心还是空心．5．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误．[小题纠偏]1．已知集合A＝{x∈N|x2－2x≤0}，则满足A∪B＝{0,1,2}的集合B的个数为________．解析：由A中的不等式解得0≤x≤2，x∈N，即A＝{0,1,2}．因为A∪B＝{0,1,2}，所以B可能为{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}，∅，共8个．答案：82．已知集合M＝{1,2}，N＝{3,4,5}，P＝{x|x＝a＋b，a∈M，b∈N}，则集合P的元素个数为________．解析：因为a ∈M ，b ∈N ，所以a ＝1或2，b ＝3或4或5.当a ＝1时，若b ＝3，则x ＝4；若b ＝4，则x ＝5；若b ＝5，则x ＝6.同理，当a ＝2时，若b ＝3，则x ＝5；若b ＝4，则x ＝6；若b ＝5，则x ＝7，由集合中元素的特性知P ＝{4,5,6,7}，则P 中的元素共有4个．答案：43．设集合A ＝{x |y ＝lg(－x 2＋x ＋2)}，B ＝{x |x －a ＞0}，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是________．解析：由题设条件得A ＝{x |－x 2＋x ＋2＞0}＝{x |－1＜x ＜2}，B ＝{x |x ＞a }．因为A ⊆B ，在数轴上表示出两集合如图所示， 故a ≤－1. 答案：(－∞，－1]4．已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________． 解析：由题意得m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3， 则m ＝1或m ＝－32.当m ＝1时，m ＋2＝3且2m 2＋m ＝3， 根据集合中元素的互异性可知不满足题意； 当m ＝－32时，m ＋2＝12，而2m 2＋m ＝3，满足题意．故m ＝－32.答案：－32考点一 集合的基本概念基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．(易错题)已知集合A ＝{1,2,4}，则集合B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A }中元素的个数为________．解析：集合B 中元素有(1,1)，(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,4)，(4,1)，(4,2)，(4,4)，共9个．答案：92．若－1∈{a －1,2a ＋1，a 2－1}，则实数a 的取值集合是________．解析：若a －1＝－1，解得a ＝0，此时集合中的元素为－1,1，－1，不符合元素的互异性；若2a ＋1＝－1，解得a ＝－1，此时集合中的元素为－2，－1，0，符合题意； 若a 2－1＝－1，解得a ＝0，不符合题意， 综上所述，a ＝－1，故填{－1}． 答案：{－1}3．若集合A ＝{x ∈R|ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝________.解析：若集合A 中只有一个元素，则方程ax 2－3x ＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．当a ＝0时，x ＝23，符合题意．当a ≠0时，由Δ＝(－3)2－8a ＝0，得a ＝98，所以a 的值为0或98.答案：0或984．(易错题)已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{1，m }，若3－m ∈A ，则非零实数m 的值是________． 解析：由题意知，若3－m ＝1，则m ＝2，符合题意；若3－m ＝2，则m ＝1，此时集合B 不符合元素的互异性，故m ≠1；若3－m ＝3，则m ＝0，不符合题意． 故m ＝2. 答案：2[谨记通法]与集合中元素有关问题的求解策略(1)确定集合的元素是什么，即集合是数集还是点集． (2)看这些元素满足什么限制条件．(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．考点二 集合间的基本关系重点保分型考点——师生共研[典例引领]1．已知集合M ＝{1,2,3,4}，则集合P ＝{x |x ∈M 且2x ∉M }的子集有________个． 解析：由题意，得P ＝{3,4}，所以集合P 的子集有22＝4个． 答案：42．已知集合A ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝2n ＋13，n ∈Z ，B ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝2n3＋1，n ∈Z ，则集合A ，B 的关系为________．解析：x ＝2n 3＋1＝2n ＋33，∵n ∈Z ，∴2n 为偶数，∴2n ＋1为奇数，2n ＋3为奇数， ∴A ＝B .答案：A ＝B3．(2019·无锡期中)已知集合A ＝{0,1,2}，集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，1x ，且B ⊆A ，则实数x ＝________.解析：∵B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，1x 且B ⊆A ，∴1x ＝2，∴x ＝12. 答案：12[由题悟法]判断集合间关系的3种方法1．已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R}，B ＝{x |0＜x ＜5，x ∈N}，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为________．解析：由x 2－3x ＋2＝0得x ＝1或x ＝2， 所以A ＝{1,2}．由题意知B ＝{1,2,3,4}，所以满足条件的C 可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}，故所求集合C 的个数为4.答案：42．(2018·镇江二模)设集合A ＝{2,4}，B ＝{a 2,2}(其中a ＜0)，若A ＝B ，则实数a ＝________.解析：∵A ＝{2,4}，B ＝{a 2,2}，且A ＝B ，∴a 2＝4.又a ＜0，∴a ＝－2. 答案：－23．(2019·海门中学测试)已知集合A ＝{1,3，x }，B ＝{2－x,1}． (1)记集合M ＝{1,4，y }，若集合A ＝M ，求实数x ＋y 的值；(2)是否存在实数x ，使得B ⊆A ？若存在，求出x 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)由题可知⎩⎨⎧x ＝4，y ＝3，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝16，y ＝3，故x ＋y ＝19.(2)假设存在实数x，使得B⊆A，则2－x＝3，或2－x＝x.若2－x＝3，则x＝－1，不合题意；若2－x＝x，则x＋x－2＝0，解得x＝1，不合题意．故不存在实数x，使得B⊆A.考点三集合的基本运算题点多变型考点——多角探明[锁定考向]集合运算多与解简单的不等式、函数的定义域、值域相联系，考查对集合的理解及不等式的有关知识；有些集合题为抽象集合题或新定义型集合题，考查学生的灵活处理问题的能力．常见的命题角度有：(1)集合的运算；(2)利用集合运算求参数；(3)新定义集合问题．[题点全练]角度一：集合的运算1．设集合A＝{1,2,6}，B＝{2,4}，C＝{1,2,3,4}，则(A∪B)∩C＝________.解析：由题意知A∪B＝{1,2,4,6}，所以(A∪B)∩C＝{1,2,4}．答案：{1,2,4}2．(2019·汇龙中学检测)已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,3,4}，集合B＝{2,4}，则(∁U A)∪B＝________.解析：因为∁U A＝{2,5}，所以(∁U A)∪B＝{2,4,5}．答案：{2,4,5}角度二：利用集合运算求参数3．(2019·苏州模拟)已知全集U＝{2,3，a2＋2a－3}，A＝{|2a－1|,2}，∁U A＝{5}，则实数a＝________.解析：由题意知，a2＋2a－3＝5，解得a＝－4或a＝2.当a＝－4时，|2a－1|＝9，而9∉U，所以a＝－4不满足题意，舍去；当a＝2时，|2a－1|＝3,3∈U，满足题意．故实数a 的值为2.答案：2角度三：新定义集合问题4.如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合A B为阴影部分表示的集合．若x，y∈R，A＝{x|y＝2x－x2}，B＝{y|y＝3x，x＞0}，则A B＝________.解析：因为A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y＞1}，A∪B＝{x|x≥0}，A∩B＝{x|1＜x≤2}，结合Venn图可知A B＝∁A∪B(A∩B)＝{x|0≤x≤1或x＞2}．答案：{x|0≤x≤1或x＞2}[通法在握] 解集合运算问题4个技巧看元素构成集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键对集合化简有些集合是可以化简的，先化简集合再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易于解决数形结合常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图新定义型问题以集合为依托，对集合的定义、运算、性质加以深入的创新，但最终化为原来的集合知识和相应数学知识来解决[演练冲关]1．(2018·南京高三年级学情调研)若集合P＝{－1,0,1,2}，Q＝{0,2,3}，则P∩Q＝________.解析：由已知可得，P∩Q＝{0,2}．答案：{0,2}2．(2018·苏州检测)设集合A＝{(x，y)|y＝ax＋1}，集合B＝{(x，y)|y＝x＋b}，且A∩B＝{(2,5)}，则a＋b＝________.解析：因为A＝{(x，y)|y＝ax＋1}，B＝{(x，y)|y＝x＋b}，且A∩B＝{(2,5)}，所以5＝2a＋1，且5＝2＋b，解得a＝2，b＝3，所以a＋b＝5.答案：53．(2019·南京师大附中检测)设A，B是非空集合，定义A⊗B＝{x|x∈(A∪B)且x∉(A∩B)}．已知集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{y|y≥0}，则A⊗B＝________.解析：因为A＝{x|0＜x＜2}，B＝{y|y≥0}，所以A∪B＝{x|x≥0}，A∩B＝{x|0＜x＜2}，所以A⊗B＝{x|x＝0或x≥2}．答案：{x|x＝0或x≥2}4．(2018·泰州中学高三学情调研)已知全集I＝{1,2,3,4,5,6}，集合A＝{1,3,5}，B ＝{2,3,6}，则(∁I A)∩B＝________.解析：因为全集I＝{1,2,3,4,5,6}，集合A＝{1,3,5}，所以∁I A＝{2,4,6}，又因为B ＝{2,3,6}，所以(∁I A)∩B＝{2,6}．答案：{2,6}一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2018·徐州、连云港、宿迁三检)已知集合A＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，B＝{x|0＜x ＜5}，则A∩B＝________.解析：因为集合A＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}为奇数集，B＝{x|0＜x＜5}，所以A∩B＝{1,3}．答案：{1,3}2．定义：满足任意元素x∈A，则|4－x|∈A的集合称为优集，若集合A＝{1，a,7}是优集，则实数a的值为________．解析：依题意，当x＝1时，|4－x|＝3∈A，当x＝7时，|4－x|＝3∈A，所以a＝3符合条件．答案：33．(2018·如皋高三上学期调研)集合A＝{1,3}，B＝{a2＋2,3}，若A∪B＝{1,2,3}，则实数a的值为________．解析：∵A＝{1,3}，B＝{a2＋2,3}，且A∪B＝{1,2,3}，∴a2＋2＝2，解得a＝0，即实数a的值为0.答案：04．(2018·盐城三模)已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{1,3,5,7,9}，C＝A∩B，则集合C 的子集的个数为________．解析：因为A∩B＝{1,3,5}，所以C＝{1,3,5}，故集合C的子集的个数为23＝8.答案：85．(2019·徐州期中)已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x＜y，x＋y∈A}，则集合B的子集个数是________．解析：∵集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x＜y，x＋y∈A}，∴B＝{(1,2)，(2,3)，(1,3)，(1,4)}，∴集合B的子集个数是24＝16.答案：166．(2019·南通中学检测)已知集合A＝{x|y＝9－x2}，B＝{x|x≥a}，若A∩B＝A，则实数a的取值范围是________．解析：因为A∩B＝A，所以A⊆B.因为A＝{x|y＝9－x2}＝{x|9－x2≥0}＝[－3,3]，所以[－3,3]⊆[a，＋∞)，所以a≤－3.答案：(－∞，－3]二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018·常州调研)已知{1}⊆A ⊆{1,2,3}，则这样的集合A 有________个． 解析：根据已知条件知符合条件的A 为：A ＝{1}，{1,2}，{1,3}，{1,2,3}， ∴集合A 有4个． 答案：42．(2019·启东中学检测)已知集合A ＝{x |0＜x ≤6}，B ＝{x ∈N|2x＜33}，则集合A ∩B 的元素个数为________．解析：因为A ＝{x |0＜x ≤6}，B ＝{x ∈N|2x＜33}＝{0,1,2,3,4,5}，所以A ∩B ＝{1,2,3,4,5}，即A ∩B 的元素个数为5.答案：53．已知a ≤1时，集合{x |a ≤x ≤2－a }中有且只有3个整数，则实数a 的取值范围是________．解析：因为a ≤1，所以2－a ≥1，所以1必在集合中．若区间端点均为整数，则a ＝0，集合中有0,1,2三个整数，所以a ＝0符合题意； 若区间端点不为整数，则区间长度2＜2－2a ＜4，解得－1＜a ＜0，此时，集合中有0,1,2三个整数，所以－1＜a ＜0符合题意．综上，实数a 的取值范围是(－1,0]. 答案：(－1,0]4．已知集合A ＝{x |1≤x ＜5}，B ＝{x |－a ＜x ≤a ＋3}，若B ⊆(A ∩B )，则实数a 的取值范围为________．解析：因为B ⊆(A ∩B )，所以B ⊆A .①当B ＝∅时，满足B ⊆A ，此时－a ≥a ＋3，即a ≤－32.②当B ≠∅时，要使B ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧－a ＜a ＋3，－a ≥1，a ＋3＜5，解得－32＜a ≤－1.由①②可知，实数a 的取值范围为(－∞，－1]． 答案：(－∞，－1]5．(2018·通州中学高三测试)设U ＝R ，A ＝(a ，a ＋1)，B ＝[0,5)，若A ⊆∁U B ，则实数a 的取值范围是________．解析：因为∁U B ＝(－∞，0)∪[5，＋∞)，又A ⊆∁U B ，所以a ＋1≤0或a ≥5，解得a ≤－1或a ≥5.答案：(－∞，－1]∪[5，＋∞)6．(2019·淮阴中学检测)设全集U为实数集R ，已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪y ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32，B ＝{x |1≤x ≤2}，则图中阴影部分所表示的集合为________．解析：由题意知，集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＞32，阴影部分表示的集合为(∁U A )∩B ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≤32∩{x |1≤x ≤2}＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫1≤x ≤32.答案：⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫1≤x ≤327．设集合A ＝{x |x 2－x －2≤0}，B ＝{x |x ＜1，且x ∈Z}，则A ∩B ＝________. 解析：依题意得A ＝{x |(x ＋1)(x －2)≤0}＝{x |－1≤x ≤2}，因此A ∩B ＝{x |－1≤x ＜1，x ∈Z}＝{－1,0}．答案：{－1,0}8．(2019·海安中学检测)已知集合M ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2x＜1，N ＝{y |y ＝x －1}，则(∁R M )∩N＝________.解析：因为M ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2x＜1＝(－∞，0)∪(2，＋∞)，N ＝{y |y ＝x －1}＝[0，＋∞)，所以∁R M ＝[0,2]，(∁R M )∩N ＝[0,2]．答案：[0,2]9．设全集U ＝{x ∈N *|x ≤9}，∁U (A ∪B )＝{1,3}，A ∩(∁U B )＝{2,4}，则B ＝________. 解析：因为全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}， 由∁U (A ∪B )＝{1,3}， 得A ∪B ＝{2,4,5,6,7,8,9}，由A ∩(∁U B )＝{2,4}知，{2,4}⊆A ，{2,4}⊆∁U B . 所以B ＝{5,6,7,8,9}． 答案：{5,6,7,8,9}10．已知集合A ＝{x |4≤2x≤16}，B ＝[a ，b ]，若A ⊆B ，则实数a －b 的取值范围是________．解析：集合A ＝{x |4≤2x ≤16}＝{x |22≤2x ≤24}＝{x |2≤x ≤4}＝[2,4]，因为A ⊆B ，所以a ≤2，b ≥4，所以a －b ≤2－4＝－2，即实数a －b 的取值范围是(－∞，－2]．答案：(－∞，－2]11．(2019·启东检测)已知集合A ＝{x |a ≤x ≤a ＋3}，B ＝{x |x 2＋x －6≤0}， (1)当a ＝0时，求A ∪B ，A ∩∁R B ； (2)若A ∩B ＝A ，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝0时，A ＝{x |0≤x ≤3}，又B ＝{x |－3≤x ≤2}，所以∁R B ＝{x |x ＜－3或x ＞2}，所以A ∪B ＝{x |－3≤x ≤3}，A ∩∁R B ＝{x |2＜x ≤3}．(2)因为A ∩B ＝A ，所以A ⊆B ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥－3，a ＋3≤2，解得－3≤a ≤－1，所以实数a 的取值范围为[－3，－1]．12．(2018·南京高三部分学校联考)已知集合A ＝{x |x 2－4x －5≤0}，B ＝{x |2x －6≥0}，M ＝A ∩B .(1)求集合M ；(2)已知集合C ＝{x |a －1≤x ≤7－a ，a ∈R}，若M ∩C ＝M ，求实数a 的取值范围． 解：(1)由x 2－4x －5≤0，得－1≤x ≤5，所以A ＝[－1,5]．由2x －6≥0，得x ≥3，所以B ＝[3，＋∞)．所以M ＝[3,5]．(2)因为M ∩C ＝M ，所以M ⊆C ， 则⎩⎪⎨⎪⎧a －1≤3，7－a ≥5，a －1≤7－a ，解得a ≤2. 故实数a 的取值范围为(－∞，2]． 三上台阶，自主选做志在冲刺名校 1．已知集合A ＝{x |x 2－2 019x ＋2 018＜0}，B ＝{x |log 2x ＜m }，若 A ⊆B ，则整数m 的最小值是________．解析：由x 2－2 019x ＋2 018＜0，解得1＜x ＜2 018，故A ＝{x |1＜x ＜2 018}． 由log 2x ＜m ，解得0＜x ＜2m ，故B ＝{x |0＜x ＜2m }．由A ⊆B ，可得2m ≥2 018， 因为210＝1 024,211＝2 048，所以整数m 的最小值为11.答案：112．对于集合M ，定义函数f M (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －1，x ∈M ，1，x ∉M .对于两个集合A ，B ，定义集合A ΔB＝{x |f A (x )·f B (x )＝－1}．已知A ＝{2,4,6,8,10}，B ＝{1,2,4,8,12}，则用列举法写出集合A ΔB ＝________.解析：由题意知，要使f A (x )·f B (x )＝－1，必有x ∈{x |x ∈A 且x ∉B }∪{x |x ∈B 且x ∉A }＝{1,6,10,12}，所以A ΔB ＝{1,6,10,12}．答案：{1,6,10,12}3．已知集合A ＝{x |1＜x ＜3}，集合B ＝{x |2m ＜x ＜1－m }．(1)当m ＝－1时，求A ∪B ；(2)若A ⊆B ，求实数m 的取值范围；(3)若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围．解：(1)当m ＝－1时，B ＝{x |－2＜x ＜2}，则A ∪B ＝{x |－2＜x ＜3}．(2)由A ⊆B 知⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ＞2m ，2m ≤1，1－m ≥3，解得m ≤－2，即实数m 的取值范围为(－∞，－2]．(3)由A ∩B ＝∅，得①若2m ≥1－m ，即m ≥13时，B ＝∅，符合题意； ②若2m ＜1－m ，即m ＜13时，需⎩⎪⎨⎪⎧ m ＜13，1－m ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧ m ＜13，2m ≥3，得0≤m ＜13或∅，即0≤m ＜13. 综上知m ≥0，即实数m 的取值范围为[0，＋∞)．。

____第1课__集合及其基本运算(1)____1. 理解元素和集合之间的关系；理解集合相等的含义．2. 会求集合的交集、并集、补集.1. 阅读：阅读必修1第5～10页．2. 解悟：①集合中元素的三个性质；②常见数集的符号；③集合相等的定义；④子集、真子集的定义；⑤空集的定义．3. 践习：在教材空白处，完成第7页练习第2、5题；第10页习题第6、7题.基础诊断1. 设集合A ＝{－1，0，1}，B ＝{0，1，2，3}，则A ∩B ＝__{0，1}__．2. 已知全集U ＝{1，2，3，4，5}，A ＝{1，2}，B ＝{2，3，4}，那么A ∪∁U B ＝__{1，2，5}__． 解析：由题意得∁U B ＝{1，5}， 所以A ∪∁U B ＝{1，2，5}．3. 已知全集U ＝{1，3，5，7，9}，A ＝{1，5，9}，B ＝{3，5，9}，则∁U (A ∪B)的子集个数为__2__． 解析：由题意得A ∪B ＝{1，3，5，9}， 所以∁U (A ∪B)＝{7}， 所以∁U (A ∪B)的子集个数为2.4. 已知集合A ＝{0，a}，B ＝{0，1，3}，若A ∪B ＝{0，1，2，3}，则实数a 的值为__2__． 解析：因为A ∪B ＝{0，1，2，3}， A ＝{0，a}，B ＝{0，1，3}，所以a ＝2.范例导航考向❶ 利用数轴求集合的交集、并集、补集例1 设集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x|132≤2－x≤4，B ＝{|2＋2m －3m 2<0}，m>0. (1) 若m ＝2，求A ∩B ；(2) 若A ⊇B ，求实数m 的取值范围． 解析：由题意得，集合A ＝{|－2≤≤5}， 因为m>0，所以B ＝{|－3m<<m}． (1) 当m ＝2时，B ＝{|－6<<2}，所以A ∩B ＝{|－2≤<2}．(2) A ＝{|－2≤≤5}，B ＝{|－3m<<m}，因为A ⊇B ，所以⎩⎨⎧－3m ≥－2，m ≤5，所以m ≤23，所以0<m ≤23.综上所述，m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23.全集I ＝R ，集合A ＝{|y ＝2x －1}，B ＝{y |y ＝lg(2－2＋2)}，则A ∪∁I B ＝(－∞，0)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞．解析：由题意得，集合A ＝{|y ＝2x －1}＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ≥12，集合B ＝{y |y ＝lg(2－2＋2)}＝{y |y ≥0}，所以∁I B ＝{y |y <0}，所以A ∪∁I B ＝(－∞，0)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.考向❷ 对空集的分类讨论例2 已知集合A ＝{|－2≤≤7}，B ＝{|m ＋1<<2m －1}，若B ⊆A ，求实数m 的取值范围．解析：当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，则m ≤2.当B ≠∅时，若B ⊆A ，则⎩⎨⎧m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1<2m －1，解得2<m ≤4.综上，m 的取值范围是{}m|m ≤4.已知集合A ＝{|2－2－3＝0}，B ＝{|m －1＝0}，若B ⊆A ，则m 的值为__0，－1，13__．解析：由题意得，集合A ＝{－1，3}．因为B ⊆A ，所以当B 为∅时，m ＝0；当B 不为∅时，m ＝－1或m ＝13.综上，m 的值为0，－1，13.例3 若集合A ＝{|a 2＋a ＋1＝0}中只有一个元素，求实数a 的值．解析：当a ＝0时，不合题意，舍去；当a ≠0时，由题意得，Δ＝a 2－4a ＝0，解得a ＝4. 综上所述，a ＝4.若集合A ＝{|a 2＋a ＋1＝0}只有一个子集，求实数a 的取值范围． 解析：由题意得，集合A 为空集． ①若a ＝0，符合题意；②若a ≠0，则Δ＝a 2－4a<0，解得0<a<4. 综上，a 的取值范围是[0，4)．自测反馈1. 设集合A ＝{－1，1，3}，B ＝{a ＋2，a 2＋4}，若A ∩B ＝{3}，则实数a 的值为__1__． 解析：因为A ∩B ＝{3}，所以a ＋2＝3或a 2＋4＝3，解得a ＝1，此时B ＝{3，5}，符合题意，故实数a 的值为1.2. 已知全集U ＝R ，集合M ＝{|－2≤－1≤2}和N ＝{|＝2－1，＝1，2，…}的关系如图所示，则阴影部分表示的集合中的元素有__2__个．解析：由图可知，阴影部分表示的是M ∩N .由M ＝{|－2≤－1≤2}得M ＝{|－1≤≤3}．集合N 表示的是正奇数集，所以M ∩N ＝{1，3}，所以阴影部分所示的集合中的元素共有2个．3. 下面四个命题中，正确命题的序号为__②__． ①某班个子较高的同学构成集合A ；②由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}； ③方程2－2＋1＝0的解集是{1，1}； ④∅与{∅}表示同一个集合．解析：①集合是指一定范围内某些确定的、不同的对象的全体，个子较高的同学不确定，所以①错误；②正确，集合中的元素具有无序性；③错误，集合中的元素具有互异性；④错误，∅表示不含任何元素的集合，{∅}表示集合中有一个元素∅，而不是空集．4. 已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1，2，12，集合B ＝{y|y ＝2，∈A}，则A ∩B ＝__{1}__．解析：由题意得，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1，4，14，所以A ∩B ＝{1}．1. 集合中元素的性质指确定性、无序性、互异性．2. 要特别注意空集，尤其是在分类讨论中不能遗漏．3. 你还有哪些体悟，写下;：。

第1讲集合及其运算基础知识整合1．集合与元素02互异性、□03无序性．(1)集合中元素的三个特征：□01确定性、□07∉表示．(2)元素与集合的关系是□04属于或□05不属于两种，用符号□06∈或□09描述法、□10图示法．(3)集合的表示法：□08列举法、□(4)常见数集的记法2．集合间的基本关系3．集合的基本运算1．若有限集A中有n个元素，则集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n－1，非空真子集的个数为2n－2.2．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.3．A∩(∁U A)＝∅；A∪(∁U A)＝U；∁U(∁U A)＝A.1．(2019·镇海中学模拟)设集合A＝{y|y＝x2－1}，B＝{x|y＝x2－1}，则下列结论正确的是( )A．A＝B B．A⊆BC．B⊆A D．A∩B＝{x|x≥1}答案 D解析∵A＝{y|y＝x2－1}＝{y|y≥0}，B＝{x|y＝x2－1}＝{x|x≥1或x≤－1}，∴A∩B＝{x|x≥1}，故选D.2．(2018·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为( )A．9 B．8C．5 D．4答案 A解析∵x2＋y2≤3，∴x2≤3.∵x∈Z，∴x＝－1,0,1.当x＝－1时，y＝－1,0,1；当x＝0时，y＝－1,0,1；当x＝1时，y＝－1,0,1，综上，A中元素共有9个，故选A.3．(2018·天津高考)设全集为R，集合A＝{x|0<x<2}，B＝{x|x≥1}，则A∩(∁R B)＝( )A．{x|0<x≤1}B．{x|0<x<1}C．{x|1≤x<2} D．{x|0<x<2}答案 B解析∵∁R B＝{x|x<1}，∴A∩(∁R B)＝{x|0<x<1}，故选B.4．(2019·兰州诊断)已知集合A ＝{x |x 2>9}，B ＝{x |2x>1}，则A ∪B ＝( ) A ．{x |x <－3} B ．{x |－3<x <3} C ．{x |x >0} D ．{x |x <－3或x >0}答案 D解析 由x 2>9，得x >3或x <－3，A ＝{x |x >3或x <－3}．又由2x>1，解得x >0，所以B ＝{x |x >0}．所以A ∪B ＝{x |x <－3或x >0}．故选D.5．(2018·武汉模拟)设全集U ＝R ，集合A ＝{x |2x －x 2>0}，B ＝{y |y ＝e x＋1}，则A ∪B 等于( )A ．{x |x <2}B ．{x |1<x <2}C ．{x |x >1}D ．{x |x >0}答案 D解析 由2x －x 2>0得0<x <2，故A ＝{x |0<x <2}，由y ＝e x＋1得y >1，故B ＝{y |y >1}，所以A ∪B ＝{x |x >0}．故选D.6．(2018·武昌模拟)设A ，B 是两个非空集合，定义集合A －B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }．若A ＝{x ∈N |0≤x ≤5}，B ＝{x |x 2－7x ＋10<0}，则A －B ＝( )A ．{0,1}B ．{1,2}C ．{0,1,2}D ．{0,1,2,5}答案 D解析 因为A ＝{x ∈N |0≤x ≤5}＝{0,1,2,3,4,5}，B ＝{x |x 2－7x ＋10<0}＝{x |2<x <5}，A －B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }，所以A －B ＝{0,1,2,5}．故选D.核心考向突破考向一 集合的基本概念例1 (1)(2019·辽宁模拟)已知集合A ＝{y |y ＝x 2＋2x ＋1}，B ＝{x |y ＝x 2＋2x ＋1}，则集合A 与集合B 的关系为( )A ．A ＝B B ．A ∈BC ．B ⊆AD ．A B答案 D解析 集合A 表示二次函数y ＝x 2＋2x ＋1＝(x ＋1)2中y 的取值范围，显然y ≥0，即A ＝{y |y ≥0}；集合B 表示函数y ＝x 2＋2x ＋1中x 的取值范围，易知x ∈R ，即B ＝R ，所以A B .故选D.(2)设集合A ＝{x ，x 2，xy }，B ＝{1，x ，y }且A ＝B ，则实数x ＝________，y ＝________. 答案 －1 0解析 ∵A ＝B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝1，xy ＝y 或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝y ，xy ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ∈R或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.当x ＝1，y ∈R 时，A ＝B ＝{1,1，y }，不满足互异性，舍去；当x ＝－1，y ＝0时，A ＝B ＝{－1,1,0}，符合题意；当x ＝y ＝1时，A ＝B ＝{1,1,1}，不满足互异性，舍去．综上可知x ＝－1，y ＝0.触类旁通解决集合概念问题的一般思路(1)研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件．解本例(1)时要注意，集合A 是函数值域构成的数集，集合B 是函数定义域构成的数集．本例中参数的确定，往往要对集合中的元素进行分类讨论，构造方程组求解.同时注意对元素互异性的检验.即时训练 1.(2018·郑州模拟)已知集合A ＝{x |y ＝1－x 2，x ∈Z }，B ＝{p －q |p ∈A ，q ∈A }，则集合B 中元素的个数为( )A ．1B ．3C ．5D ．7答案 C解析 由题意知A ＝{－1,0,1}，当p ＝－1，q ＝－1，0,1时，p －q ＝0，－1，－2；当p ＝0，q ＝－1,0,1时，p －q ＝1,0，－1；当p ＝1，q ＝－1,0,1时，p －q ＝2,1,0.根据集合中元素的互异性可知，集合B 中的元素为－2，－1，0,1,2，共计5个．故选C.2．设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫5，b a，a －b ，B ＝{b ，a ＋b ，－1}，若A ∩B ＝{2，－1}，则A ∪B ＝( )A ．{2,3}B ．{－1,2,5}C ．{2,3,5}D ．{－1,2,3,5}答案 D解析 由A ∩B ＝{2，－1}，可得⎩⎪⎨⎪⎧b a＝2，a －b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝－1，a －b ＝2.当⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝2，a －b ＝－1时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，此时B ＝{2,3，－1}，所以A ∪B ＝{－1,2,3,5}；当⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝－1，a －b ＝2时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，此时不符合题意，舍去．故选D.考向二 集合间的基本关系例 2 (1)(2019·山东模拟)已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －2x ≤0，x ∈N ，B ＝{x |x ≤2，x ∈Z }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( )A ．1B ．2C ．4D ．8答案 D 解析 由x －2x≤0得0<x ≤2，故A ＝{1,2}；由x ≤2得0≤x ≤4，故B ＝{0,1,2,3,4}．满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为23＝8.(2)已知集合A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围为________．答案 (－∞，3]解析 若B ⊆A ，则①当B ＝∅时，有m ＋1>2m －1，即m <2，此时满足B ⊆A ；②当B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，m ＋1≥－2，2m －1≤5，解得2≤m ≤3.由①②得，m 的取值范围是(－∞，3]．触类旁通解本例时，要能够将集合间的关系进行等价转化，转化为集合C 中哪些元素必有，哪些元素可能有，不要忽略任何非空集合是它自身的子集.已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn 图等来直观解决这类问题.解题时要关注空集的特殊性，本例中，易忽视B ＝∅而误解.即时训练 3.设集合A ＝{1,2,3,4,5,6}，B ＝{4,5,6,7,8}，则满足S ⊆A 且S ∩B ≠∅的集合S 的个数是( )A ．57B ．56C ．49D ．8答案 B解析 集合S 的个数为26－23＝64－8＝56.4．设A ＝{x |x 2－8x ＋15＝0}，B ＝{x |ax －1＝0}，若B ⊆A ，则实数a 的取值组成的集合C ＝________.答案⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，13，15 解析 a ＝0时，B ＝∅，B ⊆A ；a ≠0时，1a ＝3或1a ＝5，解得a ＝13或a ＝15，所以C ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，13，15.考向三 集合的基本运算角度1 集合间的交、并、补运算例3 (1)(2019·海南模拟)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－x －6≤0}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＋1x －4>0，那么集合A ∩(∁U B )＝( ) A ．{x |－2≤x <4} B ．{x |x ≤3或x ≥4} C ．{x |－2≤x <－1} D ．{x |－1≤x ≤3}答案 D解析 依题意A ＝{x |－2≤x ≤3}，B ＝{x |x <－1或x >4}，故∁U B ＝{x |－1≤x ≤4}，故A ∩(∁UB )＝{x |－1≤x ≤3}，故选D.(2)设全集U ＝R ，集合M ＝{x |y ＝3－2x }，N ＝{y |y ＝3－2x}，则图中阴影部分表示的集合是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 32<x ≤3 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 32<x <3 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 32≤x <2 D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪32<x <2 答案 B解析 由3 －2x ≥0，得x ≤32，即M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≤32；由2x >0，得3－2x <3，即N ＝{y |y <3}．因此图中阴影部分表示的集合是(∁U M )∩N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪32<x <3. 触类旁通集合的基本运算问题一般应注意的几点(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决运算问题的前提．对集合化简.有些集合是可以化简的，如果先化简再研究其关系并进行运算，可使问题变得简单明了，易于解决.注意数形结合思想的应用.集合运算常用的数形结合形式有数轴和Venn 图. 即时训练 5.设集合U ＝R ，A ＝{x |x ＝3k ＋1，k ∈N *}，B ＝{x |x ≤5，x ∈Q }(Q 为有理数集)，则图中阴影部分表示的集合是( )A ．{1,3,4,5}B ．{2,4,5}C ．{2,5}D ．{1,2,3,4,5}答案 B解析 ∵集合A ＝{x |x ＝3k ＋1，k ∈N *}，∴A ＝{2，7，10，13，4，19，22，5，…}．∵B ＝{x |x ≤5，x ∈Q }，题中Venn 图中的阴影部分表示A ，B 两集合的交集，又A ∩B ＝{2,4,5}，∴图中阴影部分表示的集合为{2,4,5}．故选B.6．(2019·汕头模拟)已知集合P ＝{x ∈R |2(x －1)(x －3)≤1}，Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪⎪y ＝x 2－43，则P ∪(∁R Q )＝( )A ．[2,3]B ．(－2,3]C ．[1,2)D ．(－∞，－2]∪[1，＋∞)答案 B解析 因为P ＝{x ∈R |2(x －1)(x －3)≤1}，所以P ＝{x ∈R |(x －1)(x －3)≤0}，所以P ＝{x∈R |1≤x ≤3}．因为Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪⎪y ＝x 2－43，所以Q ＝{x ∈R |x 2≥4}，所以Q ＝{x ∈R |x ≤－2或x ≥2}，所以P ∪(∁R Q )＝[1,3]∪(－2,2)＝(－2,3]．故选B.角度2 利用集合运算求参数例4 (1)(2019·广西模拟)设集合A ＝{x |x (4－x )≥3}，B ＝{x |x >a }，若A ∩B ＝A ，则a 的取值范围是( )A ．a ≤1B ．a <1C ．a ≤3D ．a <3答案 B解析 由x (4－x )≥3解得1≤x ≤3，即集合A ＝{x |1≤x ≤3}．因A ∩B ＝A ，则A ⊆B ，而B ＝{x |x >a }，所以a <1，故选B.(2)已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}，集合B ＝{x ∈R |(x －m )(x －2)<0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝________，n ＝________.答案 －1 1解析 由|x ＋2|<3，得－3<x ＋2<3，即－5<x <1，所以集合A ＝{x |－5<x <1}．因为A ∩B ＝(－1，n )，所以－1是方程(x －m )(x －2)＝0的根，解得m ＝－1.此时不等式(x ＋1)(x －2)<0的解集为－1<x <2，所以B ＝(－1,2)．所以A ∩B ＝(－1,1)，即n ＝1.触类旁通将两个集合之间的关系准确转化为参数所满足的条件时，应注意子集与真子集的区别，此类问题多与不等式组的解集相关.确定参数所满足的条件时，一定要把端点值代入进行验证，否则易产生增解或漏解.本例易忽视a ≠1，而误选A.即时训练 7.(2019·江西南昌模拟)已知集合A ＝{x |y ＝4－x 2}，B ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}，若A ∪B ＝A ，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－3]∪[2，＋∞)B ．[－1,2]C ．[－2,1]D ．[2，＋∞) 答案 C解析 集合A ＝{x |y ＝4－x 2}＝{x |－2≤x ≤2}，因为A ∪B ＝A ，则B ⊆A ，所以有⎩⎪⎨⎪⎧a ≥－2，a ＋1≤2，所以－2≤a ≤1，故选C.8．已知集合P ＝{y |y 2－y －2>0}，Q ＝{x |x 2＋ax ＋b ≤0}，若P ∪Q ＝R ，P ∩Q ＝(2,3]，则a ＋b ＝________.答案 －5解析 P ＝{y |y 2－y －2>0}＝{y |y >2或y <－1}， ∵P ∪Q ＝R ，P ∩Q ＝(2,3]，∴Q ＝{x |－1≤x ≤3}，∴－1,3是方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根，由根与系数的关系得，－a ＝－1＋3＝2，b ＝－3，∴a ＋b ＝－5.1．(2019·宁夏模拟)已知集合A ＝{x ∈N |x 2－2x －3≤0}，B ＝{1,3}，定义集合A ，B 之间的运算“*”：A *B ＝{x |x ＝x 1＋x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，则A *B 中的所有元素之和为( )A ．15B ．16C ．20D ．21答案 D解析 由x 2－2x －3≤0，得(x ＋1)(x －3)≤0，故集合A ＝{0,1,2,3}．∵A *B ＝{x |x ＝x 1＋x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，∴A *B 中的元素有0＋1＝1,0＋3＝3,1＋1＝2，1＋3＝4,2＋1＝3(舍去)，2＋3＝5,3＋1＝4(舍去)，3＋3＝6.∵A *B ＝{1,2,3,4,5,6}，∴A *B 中的所有元素之和为21.2．已知非空集合A ，B 满足以下两个条件： (1)A ∪B ＝{1,2,3,4}，A ∩B ＝∅；(2)A 的元素个数不是A 中的元素，B 的元素个数不是B 中的元素．则有序集合对(A ，B )的个数为( )A ．1B ．2C ．4D ．6答案 B解析 若集合A 中只有1个元素，则集合B 中有3个元素，则1∉A,3∉B ，即3∈A,1∈B ，此时有1对；同理，若集合B 只有1个元素，则集合A 中有3个元素，有1对；若集合A 中有2个元素，则集合B 中有2个元素，2∉A ，2∉B ，不满足条件．所以满足条件的有序集合对(A ，B )的个数为1＋1＝2，故选B.答题启示解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；(2)用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质．对点训练1．设集合S ＝{A 0，A 1，A 2，A 3}，在S 上定义运算⊕：A i ⊕A j ＝A k ，k 为i ＋j 除以4的余数(i，j＝0,1,2,3)，则满足关系式(x⊕x)⊕A2＝A0的x(x∈S)的个数为( ) A．4 B．3C．2 D．1答案 C解析因为x∈S＝{A0，A1，A2，A3}，故x的取值有四种情况．若x＝A0，根据定义A i ⊕A j＝A k，其中k为i＋j除以4的余数(i，j＝0,1,2,3)，则(x⊕x)⊕A2＝A0⊕A2＝A2，不符合题意，同理可以验证x＝A1，x＝A2，x＝A3三种情况，其中x＝A1，x＝A3符合题意，故选C.2．对于非空集合P，Q，定义集合间的一种运算“★”：P★Q＝{x|x∈P∪Q且x∉P∩Q}．如果P＝{x|－1≤x－1≤1}，Q＝{x|y＝x－1}，则P★Q＝( )A．{x|1≤x≤2} B．{x|0≤x≤1或x≥2}C．{x|0≤x≤1或x>2} D．{x|0≤x<1或x>2}答案 D解析因为P＝{x|－1≤x－1≤1}＝{x|0≤x≤2}，Q＝{x|x－1≥0}＝{x|x≥1}，所以P ∪Q＝{x|x≥0}，P∩Q＝{x|1≤x≤2}，所以P★Q＝{x|x∈P∪Q且x∉P∩Q}＝{x|0≤x<1或x>2}．故选D.。