2020年江苏省高考数学三轮冲刺专项突破 专题04 函数与导数(原卷版)

专题 数学思想方法专项【训练目标】1、 领会数形结合思想，函数与方程思想，转化与化归思想三种数学思想的本质，能灵活运用这三种数学思想解决问题；2、 掌握这三种数学思想的常见应用方式和方法； 【温馨小提示】数学教学的最终目标，是要让学生会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界.数学素养就是指学生学习数学应当达成的有特定意义的综合性能力，数学核心素养高于具体的数学知识技能，具有综合性、整体性和持久性，反映数学本质与数学思想，数学核心素养是数学思想方法在具体学习领域的表现.二轮复习中如果能自觉渗透数学思想，加强个人数学素养的培养，就会在复习中高屋建瓴，对整体复习起到引领和导向作用. 【名校试题荟萃】 1、函数与方程思想一、函数与方程思想在不等式中的应用函数与不等式的相互转化，把不等式转化为函数，借助函数的图象和性质可解决相关的问题，常涉及不等式恒成立问题、比较大小问题.一般利用函数思想构造新函数，建立函数关系求解. 1.若0<x 1<x 2<1，则( ) A.21e e x x->ln x 2－ln x 1 B.21e e x x-<ln x 2－ln x 1 C.1221e >e x xx x D.1221e <e x xx x 【答案】C 【解析】设f (x )＝e x－ln x (0<x <1)， 则f ′(x )＝e x－1x ＝x e x－1x.令f ′(x )＝0，得x e x－1＝0.根据函数y 1＝e x与y 2＝1x的图象(图略)可知两函数图象的交点的横坐标x 0∈(0，1)，因此函数f (x )在(0，1)上不是单调函数，故A ，B 选项不正确； 设g (x )＝e xx(0<x <1)，则g ′(x )＝exx －1x 2. 又0<x <1，∴g ′(x )<0， ∴函数g (x )在(0，1)上是减函数. 又0<x 1<x 2<1，∴g (x 1)>g (x 2)， ∴1221e >e xxx x ，故选C.2.已知定义在R 上的函数g (x )的导函数为g ′(x )，满足g ′(x )－g (x )<0，若函数g (x )的图象关于直线x ＝2对称，且g (4)＝1，则不等式g xex>1的解集为________.【答案】(－∞，0)3.已知f (t )＝log 2t ，t ∈[2，8]，对于f (t )值域内的所有实数m ，不等式x 2＋mx ＋4>2m ＋4x 恒成立，则x 的取值范围是__________________. 【答案】(－∞，－1)∪(2，＋∞) 【解析】∵t ∈[2，8]，∴f (t )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3. 问题转化为m (x －2)＋(x －2)2>0恒成立， 当x ＝2时，不等式不成立，∴x ≠2.令g (m )＝m (x －2)＋(x －2)2，m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3.问题转化为g (m )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上恒大于0， 则⎩⎪⎨⎪⎧g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12>0，g 3>0，即⎩⎪⎨⎪⎧12x －2＋x －22>0，3x －2＋x －22>0，解得x >2或x <－1.4.若x ∈[－2，1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是______. 【答案】[－6，－2]故f (x )在[－2，－1]上单调递减，在(－1，0)上单调递增， 此时有a ≤f (x )min ＝f (－1)＝1＋4－3－1＝－2. 当x ＝0时，不等式恒成立.当0<x ≤1时，a ≥x 2－4x －3x 3，则f (x )在(0，1]上单调递增，此时有a ≥f (x )max ＝f (1)＝1－4－31＝－6.综上，实数a 的取值范围是[－6，－2]. 二、函数与方程思想在数列中的应用数列的通项与前n 项和是自变量为正整数的函数，可用函数的观点去处理数列问题，常涉及最值问题或参数范围问题，一般利用二次函数；等差数列或等比数列的基本量的计算一般化归为方程(组)来解决. 5. 已知{a n }是等差数列，a 10＝10，其前10项和S 10＝70，则其公差d 等于( ) A.－23 B.－13 C.13 D.23【答案】D 【解析】设等差数列的首项为a 1，公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 10＝a 1＋9d ＝10，S 10＝10a 1＋10×92d ＝70，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋9d ＝10，2a 1＋9d ＝14，解得d ＝23.6.已知在数列{a n }中，前n 项和为S n ，且S n ＝n ＋23a n ，则a na n －1的最大值为( ) A.－3 B.－1 C.3 D.1 【答案】C7.在等差数列{a n }中，若a 1<0，S n 为其前n 项和，且S 7＝S 17，则S n 取最小值时n 的值为____. 【答案】 12 【解析】由已知得， 等差数列{a n }的公差d >0， 设S n ＝f (n )，则f (n )为二次函数，又由f (7)＝f (17)知，f (n )的图象开口向上，关于直线n ＝12对称， 故S n 取最小值时n 的值为12.8.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝－2，S 6＝3，则nS n 的最小值为________. 【答案】 －9 【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝－2，6a 1＋15d ＝3解得a 1＝－2，d ＝1，所以S n ＝n 2－5n2 ，故nS n ＝n 3－5n 22.令f (x )＝x 3－5x 22，则f ′(x )＝32x 2－5x ，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝103，∴ f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，103上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫103，＋∞上单调递增.又∵n 是正整数，故当n ＝3时，nS n 取得最小值－9.三、函数与方程思想在解析几何中的应用解析几何中求斜率、截距、半径、点的坐标、离心率等几何量经常要用到方程(组)的思想；直线与圆锥曲线的位置关系问题，可以通过转化为一元二次方程，利用判别式进行解决；求变量的取值范围和最值问题常转化为求函数的值域、最值，用函数的思想分析解答.9.(2016·全国Ⅰ)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点.已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( ) A.2 B.4 C.6 D.8 【答案】B 【解析】不妨设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，圆的方程设为x 2＋y 2＝r 2(r >0)，如图，又可设A (x 0，22)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p2，5， 点A (x 0，22)在抛物线y 2＝2px 上，∴8＝2px 0，① 点A (x 0，22)在圆x 2＋y 2＝r 2上，∴x 20＋8＝r 2，②点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5在圆x 2＋y 2＝r 2上，∴5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫p22＝r 2，③联立①②③，解得p ＝4(负值舍去)，即C 的焦点到准线的距离为p ＝4，故选B.10.如图，已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右顶点为A ，O 为坐标原点，以A 为圆心的圆与双曲线C 的一条渐近线交于P ，Q 两点，若∠PAQ ＝60°，且OQ →＝3OP →，则双曲线C 的离心率为( )A.233 B.72 C.396D.3 【答案】B所以点A 到直线y ＝b ax 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ·a －0⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＋－12＝aba 2＋b 2， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫ab a 2＋b 22＝(2R )2－R 2＝3R 2，即a 2b 2＝3R 2(a 2＋b 2)， 在△OQA 中，由余弦定理得，|OA |2＝|OQ |2＋|QA |2－2|OQ ||QA |cos 60°＝(3R )2＋(2R )2－2×3R ×2R ×12＝7R 2＝a 2.由⎩⎪⎨⎪⎧a 2b 2＝3R 2a 2＋b2，a 2＝7R 2，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝7R 2，b 2＝214R 2，所以双曲线C 的离心率为e ＝c a＝c 2a 2＝a 2＋b2a 2＝1＋b 2a2＝1＋214R 27R 2＝72.11.设椭圆中心在坐标原点，A (2，0)，B (0，1)是它的两个顶点，直线y ＝kx (k >0)与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E ，F 两点.若ED →＝6DF →，则k 的值为________. 【答案】 23或38【解析】依题意得椭圆的方程为x 24＋y 2＝1，直线AB ，EF 的方程分别为x ＋2y ＝2，y ＝kx (k >0).如图，设D (x 0，kx 0)，E (x 1，kx 1)，F (x 2，kx 2)，其中x 1<x 2，且x 1，x 2满足方程(1＋4k 2)x 2＝4，故x 2＝－x 1＝21＋4k2.由ED →＝6DF →知，x 0－x 1＝6(x 2－x 0)， 得x 0＝17(6x 2＋x 1)＝57x 2＝1071＋4k 2. 由点D 在AB 上知x 0＋2kx 0＝2，得x 0＝21＋2k .所以21＋2k ＝1071＋4k 2，化简得24k 2－25k ＋6＝0，解得k ＝23或k ＝38.12.已知直线l ：y ＝k (x ＋1)与抛物线C ：y 2＝4x 交于不同的两点A ，B ，且以AB 为直径的圆过抛物线C 的焦点F ，则k ＝________. 【答案】22或－22依题意知，x 1，x 2是①的不相等的两个实根，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4k 2－22－4k 4>0， ②x 1＋x 2＝22－k2k 2，x 1x 2＝1.由以AB 为直径的圆过F ，得AF ⊥BF ， 即k AF ·k BF ＝－1， 所以y 1x 1－1·y 2x 2－1＝－1，即x 1x 2＋y 1y 2－(x 1＋x 2)＋1＝0， 所以x 1x 2＋k 2(x 1＋1)(x 2＋1)－(x 1＋x 2)＋1＝0， 所以(1＋k 2)x 1x 2＋(k 2－1)(x 1＋x 2)＋1＋k 2＝0，③ 把x 1＋x 2＝22－k2k2，x 1x 2＝1代入③得2k 2－1＝0，解得k ＝±22， 经检验k ＝±22适合②式. 综上所述，k ＝±22.2、数形结合思想一、数形结合思想在解方程或函数零点问题中的应用讨论方程的解(或函数零点)的问题一般可以构造两个函数，将方程解的个数转化为两条曲线的交点个数.构造函数时，要先对方程进行变形，尽量构造两个比较熟悉的函数. 1.(2018·咸阳模拟)函数f (x )＝2x－1x的零点个数为( )A.0B.1C.2D.3 【答案】 B2.若关于x 的方程||x x ＋4＝kx 2有四个不同的实数解，则k 的取值范围为________. 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞ 【解析】x ＝0是方程的一个实数解；当x ≠0时，方程||x x ＋4＝kx 2可化为1k＝(x ＋4)|x |，x ≠－4，k ≠0，设f (x )＝(x ＋4)|x |(x ≠－4且x ≠0)，y ＝1k，则两函数图象有三个非零交点.f (x )＝(x ＋4)|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x >0，－x 2－4x ，x <0，x ≠－4的大致图象如图所示，由图可得0<1k <4， 解得k >14.所以k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞.3.已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (－x －1)＝f (x －1)，当x ∈[－1，0]时，f (x )＝－x 3，则关于x 的方程f (x )＝|cos πx |在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，12上的所有实数解之和为________.【答案】－7 【解析】因为函数f (x )为偶函数，所以f (－x －1)＝f (x ＋1)＝f (x －1)，所以函数f (x )的周期为2.又当x ∈[－1，0]时，f (x )＝－x 3，由此在同一平面直角坐标系内作出函数y 1＝f (x )与y 2＝|cos πx |的图象如图所示.由图象知关于x 的方程f (x )＝|cos πx |在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，12上的实数解有7个. 不妨设x 1<x 2<x 3<x 4<x 5<x 6<x 7，则由图得x 1＋x 2＝－4，x 3＋x 5＝－2，x 4＝－1，x 6＋x 7＝0，所以方程f (x )＝|cos πx |在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，12上的所有实数解的和为－4－2－1＋0＝－7. 4.(2018·石嘴山模拟)已知函数f (x )⎩⎪⎨⎪⎧x 4＋1，x ≤1，ln x ，x >1，则方程f (x )＝ax 恰有两个不同的实根时，实数a的取值范围是________.【答案】 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，1e二、数形结合思想在求解不等式或参数范围中的应用构建函数模型，分析函数的单调性并结合其图象特征研究量与量之间的大小关系、求参数的取值范围或解不等式.5.(2018·全国Ⅰ )设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤0，1，x ＞0，则满足f (x ＋1)＜f (2x )的x 的取值范围是( )A.(－∞，－1]B.(0，＋∞)C.(－1，0)D.(－∞，0)【答案】D 【解析】方法一 ①当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，2x ≤0，即x ≤－1时，f (x ＋1)＜f (2x )即为2－(x ＋1)＜2－2x ，即－(x ＋1)＜－2x ，解得x ＜1.因此不等式的解集为(－∞，－1].②当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1≤0，2x ＞0时，不等式组无解.③当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＞0，2x ≤0，即－1＜x ≤0时，f (x ＋1)＜f (2x )即1＜2－2x，解得x ＜0.因此不等式的解集为(－1，0).④当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，2x ＞0，即x ＞0时，f (x ＋1)＝1，f (2x )＝1，不合题意.综上，不等式f (x ＋1)＜f (2x )的解集为(－∞，0). 故选D.方法二 ∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤0，1，x ＞0，∴函数f (x )的图象如图所示.由图可知，当x ＋1≤0且2x ≤0时，函数f (x )为减函数，故f (x ＋1)＜f (2x )转化为x ＋1＞2x . 此时x ≤－1.当2x ＜0且x ＋1＞0时，f (2x )＞1，f (x ＋1)＝1，满足f (x ＋1)＜f (2x ). 此时－1＜x ＜0.综上，不等式f (x ＋1)＜f (2x )的解集为(－∞，－1]∪(－1，0)＝(－∞，0).故选D.6.设A ＝{(x ，y )|x 2＋(y －1)2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ＋y ＋m ≥0}，则使A ⊆B 成立的实数m 的取值范围是________.【答案】 [2－1，＋∞)【解析】 集合A 是圆x 2＋(y －1)2＝1上的点的集合，集合B 是不等式x ＋y ＋m ≥0表示的平面区域内的点的集合，要使A ⊆B ，则应使圆被平面区域所包含(如图)，即直线x ＋y ＋m ＝0应与圆相切或相离(在圆的左下方)，而当直线与圆相切时，有|m ＋1|2＝1，又m >0，所以m ＝2－1，故m 的取值范围是[2－1，＋∞).7.若不等式|x －2a |≥12x ＋a －1对x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________.【答案】⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12【解析】作出y 1＝|x －2a |和y 2＝12x ＋a －1的简图，如图所示.依题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a ≤2－2a ，a －1<0，故a ≤12.8.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2ax ，x ≥1，2ax －1，x <1，若存在两个不相等的实数x 1，x 2，使得f (x 1)＝f (x 2)，则实数a的取值范围为________. 【答案】 [0，＋∞)三、数形结合思想在解析几何中的应用在解析几何的解题过程中，通常要数形结合，挖掘题中所给的代数关系式和几何关系式，构建解析几何模型并应用模型的几何意义求最值或范围； 常见的几何结构的代数形式主要有：①比值——可考虑直线的斜率；②二元一次式——可考虑直线的截距；③根式分式——可考虑点到直线的距离；④根式——可考虑两点间的距离.9.已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m ，0)，B (m ，0)(m >0).若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为( ) A.7 B.6 C.5 D.4 【答案】B10.设双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，左、右焦点分别为F 1，F 2，以F 1F 2为直径的圆与双曲线左支的一个交点为P .若以A 1A 2为直径的圆与直线PF 2相切，则双曲线C 的离心率为( ) A. 2 B. 3 C.2 D. 5 【答案】D【解析】如图所示，设以A 1A 2为直径的圆与直线PF 2的切点为Q ，连接OQ ，则OQ ⊥PF 2.又PF 1⊥PF 2，O 为F 1F 2的中点， 所以|PF 1|＝2|OQ |＝2a . 又|PF 2|－|PF 1|＝2a ， 所以|PF 2|＝4a .在Rt △F 1PF 2中，由|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，得4a 2＋16a 2＝20a 2＝4c 2，即e ＝c a＝ 5.11.已知抛物线的方程为x 2＝8y ，F 是其焦点，点A (－2，4)，在此抛物线上求一点P ，使△APF 的周长最小，此时点P 的坐标为________. 【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12 【解析】因为(－2)2<8×4，所以点A (－2，4)在抛物线x 2＝8y 的内部， 如图，设抛物线的准线为l ，12.已知P 是直线l ：3x ＋4y ＋8＝0上的动点，PA ，PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，A ，B 是切点，C 是圆心，则四边形PACB 面积的最小值为________. 【答案】 2 2 【解析】连接PC ，由题意知圆的圆心C (1，1)，半径为1，从运动的观点看问题，当动点P 沿直线3x ＋4y ＋8＝0向左上方或右下方无穷远处运动时，Rt △PAC 的面积S △PAC ＝12|PA ||AC |＝12|PA |越来越大，从而S 四边形PACB 也越来越大；当点P 从左上、右下两个方向向中间运动时，S 四边形PACB变小，显然，当点P 到达一个最特殊的位置，即CP垂直于直线l 时，S四边形PACB有唯一的最小值，此时|PC |＝|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3，从而|PA |＝|PC |2－|AC |2＝22，所以(S 四边形PACB )min ＝2×12×|PA |×|AC |＝2 2.【配套练习】1.(2018·咸阳模拟)已知定义在R 上的函数f (x )的导函数为f ′(x )，且f (x )＋f ′(x )>1，设a ＝f (2)－1，b ＝e[f (3)－1]，则a ，b 的大小关系为( )A.a <bB.a >bC.a ＝bD.无法确定【答案】A2.(2018·宣城调研)定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，且在[0，1]上是减函数，则有( )A.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14B.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32C.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14 D.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14 【答案】C【解析】 因为f (x ＋2)＝－f (x )＝f (－x )，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，又T ＝4，作图，由图知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14.3.在三棱锥A －BCD 中，△ABC 为等边三角形，AB ＝23，∠BDC ＝90°，二面角A －BC －D 的大小为150°，则三棱锥A －BCD 的外接球的表面积为( ) A.7π B.12π C.16π D.28π 【答案】D【解析】满足题意的三棱锥A －BCD 如图所示，设三棱锥A －BCD 的外接球的球心为O ，半径为R ，△BCD ，△ABC 的外接圆的圆心分别为O 1，O 2，可知O ，O 1，O 2在同一平面内，由二面角A －BC －D 的大小为150°，得∠OO 1O 2＝150°－90°＝60°.依题意，可得△BCD ，△ABC 的外接圆的半径分别为r 1＝BC 2＝232＝3，r 2＝23×sin 60°×23＝2，所以⎩⎪⎨⎪⎧ R 2＝OO 21＋r 21，R 2＝OO 22＋r 22，sin ∠OO 1O 2＝OO2OO1，即⎩⎪⎨⎪⎧R 2＝OO 21＋3，R 2＝OO 22＋4，OO 2＝32OO 1，解得R ＝7，所以三棱锥A －BCD 的外接球的表面积为4πR 2＝28π.4.过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 作直线y ＝－b ax 的垂线，垂足为A ，交双曲线左支于B 点，若FB→＝2FA →，则该双曲线的离心率为( ) A. 3 B.2 C. 5 D.7 【答案】C5.记实数x 1，x 2，…，x n 中最小数为min{x 1，x 2，…，x n }，则定义在区间[0，＋∞)上的函数f (x )＝min{x 2＋1，x ＋3，13－x }的最大值为( ) A.5 B.6 C.8 D.10 【答案】C【解析】在同一坐标系中作出三个函数y 1＝x 2＋1，y 2＝x ＋3，y 3＝13－x 的图象如图.由图可知，在实数集R 上，min{x 2＋1，x ＋3，13－x }为y 2＝x ＋3上A 点下方的射线，抛物线AB 之间的部分，线段BC 与直线y 3＝13－x 在点C 下方的部分的组合体.显然，在区间[0，＋∞)上，在C 点时，y ＝min{x 2＋1，x ＋3，13－x }取得最大值.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ＋3，y 3＝13－x ，得点C (5，8).所以f (x )max ＝8.6.已知函数f (x )＝|lg(x －1)|，若1＜a ＜b 且f (a )＝f (b )，则a ＋2b 的取值范围为( ) A.(3＋22，＋∞) B.[3＋22，＋∞) C.(6，＋∞) D.[6，＋∞)【答案】C由对勾函数的性质知，当b ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋1，＋∞时，f (b )＝2(b －1)＋1b －1＋3单调递增， ∵b ＞2， ∴a ＋2b ＝bb －1＋2b ＞6.7.(2018·东莞模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ，x ≥1，x 2－3x ＋2，x <1，若不等式f (x )≥mx 恒成立，则实数m 的取值范围为( )A.[－3－22，－3＋22]B.[－3＋22，0]C.[－3－22，0]D.(－∞，－3－22]∪[－3＋22，＋∞) 【答案】C8.(2018·德阳诊断)已知函数f (x )＝3x－13x ＋1＋x ＋sin x ，若存在x ∈[－2，1]，使得f (x 2＋x )＋f (x －k )<0成立，则实数k 的取值范围是( ) A.(－1，＋∞) B.(3，＋∞) C.(0，＋∞) D.(－∞，－1)【答案】A 【解析】由题意知函数f (x )＝3x－13x ＋1＋x ＋sin x 的定义域为R ，f (－x )＝3－x－13－x ＋1＋(－x )＋sin(－x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －13x ＋1＋x ＋sin x ＝－f (x )，即函数f (x )为奇函数，且f ′(x )＝2ln 3·3x3x ＋12＋1＋cos x >0在R 上恒成立，即函数f (x )在R 上单调递增.若∃x 0∈[－2，1]，使得f (x 20＋x 0)＋f (x 0－k )<0成立， 即f (x 20＋x 0)<－f (x 0－k )，所以f (x 20＋x 0)<f (k －x 0)，即x 20＋x 0<k －x 0，则问题转化为∃x 0∈[－2，1]，k >x 20＋2x 0，令g (x )＝x 2＋2x ，x ∈[－2，1]. 则k >g (x )min ＝g (－1)＝－1故实数k 的取值范围是(－1，＋∞). 9.已知正四棱锥的体积为323，则正四棱锥的侧棱长的最小值为________.【答案】2 3【解析】如图所示，设正四棱锥的底面边长为a ，高为h .则该正四棱锥的体积V ＝13a 2h ＝323，故a 2h ＝32，即a 2＝32h.则其侧棱长为l ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 22＋h 2＝16h＋h 2.10.若函数f (x )＝|2x－2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是________. 【答案】(0，2)【解析】由f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点， 可得|2x－2|＝b 有两个不等的实根，从而可得函数y 1＝|2x－2|的图象与函数y 2＝b 的图象有两个交点，如图所示.结合函数的图象，可得0<b <2.11.已知椭圆C 1：x 29＋y 24＝1和圆C 2：x 2＋(y ＋1)2＝r 2(r >0)，若两条曲线没有公共点，则r 的取值范围是______________. 【答案】(0，1)∪⎝⎛⎭⎪⎫3305，＋∞因此，求使圆C 2与椭圆C 1有公共点的r 的集合，等价于在定义域为y ∈[－2，2]的情况下，求函数r 2＝f (y )＝－54y 2＋2y ＋10的值域.由f (－2)＝1，f (2)＝9，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫45＝545，可得f (y )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，545，即r ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，3305， 它的补集就是圆C 2与椭圆C 1没有公共点的r 的集合，因此，两条曲线没有公共点的r 的取值范围是(0，1)∪⎝⎛⎭⎪⎫3305，＋∞. 方法二 联立C 1和C 2的方程消去x ，得到关于y 的方程－54y 2＋2y ＋10－r 2＝0.①两条曲线没有公共点，等价于方程－54y 2＋2y ＋10－r 2＝0要么没有实数根，要么有两个根y 1，y 2∉[－2，2].若没有实数根，则Δ＝4－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－54×(10－r 2)<0，解得r >3305或r <－3305⎝ ⎛⎭⎪⎫由于r >0，则r <－3305舍去.若两个根y 1，y 2∉[－2，2]，设φ(y )＝－54y 2＋2y ＋10－r 2，其图象的对称轴方程为y ＝45∈[－2，2].则⎩⎪⎨⎪⎧φ2＝9－r 2>0，φ－2＝1－r 2>0，又r >0，解得0<r <1.因此，两条曲线没有公共点的r 的取值范围是(0，1)∪⎝⎛⎭⎪⎫3305，＋∞. 12.若关于x 的不等式e x－x 22－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －94x ≥0在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上恰成立，则实数a 的取值集合为________.【答案】{2e} 【解析】 关于x 的不等式e x －x 22－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －94x ≥0在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上恰成立⇔函数g (x )＝e x －x 22－1x 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫a －94，＋∞.故g (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增， 则g (x )≥g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12e －18－112＝2e －94， 所以a －94＝2e －94， 解得a ＝2e ，所以a 的取值集合为{2e}.。

2020年高考数学三轮冲刺微专题（文理通用） 最值问题之数列篇【例】【2019年高考北京卷理数】设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2=−3，S 5=−10，则a 5=__________，S n 的最小值为__________．【例】【2018全国卷Ⅱ】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17=-a ，315=-S ．(1)求{}n a 的通项公式；(2)求n S ，并求n S 的最小值．【例】(2018江苏)已知集合*{|21,}A x x n n ==-∈N ，*{|2,}n B x x n ==∈N ．将A B U 的所有元素从小到大 依次排列构成一个数列{}n a ．记n S 为数列{}na 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的最小值为 ．【例】（2016年全国I ）设等比数列{}na 满足1310a a +=，245a a +=，则12n a a a ⋅⋅⋅的最大值为 .【例】（2015四川）设数列{}n a 的前n 项和12n n S a a =-，且123,1,a a a +成等差数列（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记数列1{}n a 的前n 项和n T ，求得1|1|1000n T -<成立的n 的最小值。

有关数列中最大项的问题：【例】（2020·海南中学高三月考）已知等差数列{}n a 的首项及公差均为正数，令2020-=+n n n b a a ()*,2020∈<n n N ，当k b 是数列{}n b 的最大项时，k =（ ）A ．1100B ．1001C ．1011D ．1010有关等差数列前n 和中的最值问题：【例】等差数列{a n }的首项a 1>0，设其前n 项和为S n ，且S 5＝S 12，则当n 为何值时，S n 有最大值？数列与不等式恒成立相结合的最值问题：【例】（2020·山西实验中学高三）已知数列{}n a 的前n 项和122n n n S a +=-，若不等式223(5)n n n a λ--<-，对n N +∀∈恒成立，则整数λ的最大值为______．数列与基本不等式相结合的最值问题：【例】（2020·江西高三模拟）已知正项等比数列{}n a 满足76523a a a =+，若存在两项m a ，n a ，使得219m n a a a ⋅=，则19m n +的最小值为（ ）. A ．16B ．283C ．5D ．4数列与导数相结合的最值问题：【例】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知100S =，1525S =，则n nS 的最小值为____.数列与“对勾函数”相结合的最值问题：【例】（2020·河南高三模拟）已知各项都是正数的数列{}n a 满足()*12n n a N a n n +-=∈，若当且仅当4n =时，n a n 取得最小值，则（ ） A ．1012a <<B ．11220a <<C ．112a =D ．120a =1、（2020·山西高三开学考试）已知数列{}n a 的通项公式为()370.9n n a n =+⨯，则数列{}n a 的最大项是（ ）A ．5aB ．6aC ．7aD ．8a 2．（2020·河南高三）已知数列{}n a 满足12n n aa +-=，且134,,a a a 成等比数列.若{}n a 的前n 项和为n S ，则n S 的最小值为（ ）A ．–10B ．14-C ．–18D ．–20 3．（2020·山东省青岛第五十八中学高三）等差数列{}n a 中，已知51037a a =，且10a <，则数列{}n a 的前n 项和n S *()n N ∈中最小的是（ ）A ．7S 或8SB ．12SC ．13SD ．14S 4.（2020·河北高三期末）已知递增等差数列{}n a 中，122a a =-，则3a 的（ ）A ．最大值为4-B ．最小值为4C ．最小值为4-D ．最大值为4或4-5．（2020江苏无锡高三）设7211a a a ≤≤≤≤Λ，其中7531,,,a a a a 成公比为q 的等比数列，642,,a a a 成公差为1的等差数列，则q 的最小值是________．6．（2020北京高三）若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n =__时，{}n a 的前n 项和最大．7．（2020江西高三）在等差数列{}n a 中，71=a，公差为d ，前n 项和为n S ，当且仅当8=n 时n S 取最大值，则d 的取值范围_________．8．（2020·河北邢台一中高三月）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若29a =，540S =，则n S 的最大值为_________.9、已知数列{a n }的通项公式是a n ＝(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n ，试问该数列中有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的序号；若没有，请说明理由．10、在等差数列{a n }中，已知a 1＝20，前n 项和为S n ，且S 10＝S 15，求当n 取何值时，S n 取得最大值，并求出它的最大值。

2020年江苏省高考数学三轮冲刺专项突破专题10坐标系与参数方程2020年江苏高考核心考点1.坐标系与参数方程是江苏高考必考题，考试大纲要求掌握参数方程与普通方程的转化。

2.江苏高考常对极坐标方程与直角坐标方程的互化。

专项突破一、解答题：本大题共16小题，共计160分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1.（2019—2020学年度苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一））在平面直角坐标系xOy 中，曲线l 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+=+=2cos 323cos 22θθy x ，以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ=4sin θ.（1）求曲线C 的普通方程；（2）求曲线l 和曲线C 的公共点的极坐标．【解析】（1）∵曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=，∴24sin ρρθ=，则224x y y += 即：22(2)4x y +-=（2）22222cos 2cos 121)22x y αααα⎧=+=+⎪⎪⎨⎪==+⎪⎩，∴y =，1x >∴223x x +=解得0x =（舍）或x = 公共点，3)，极坐标3π)． 2. （江苏省南京市、盐城市2020届高三年级第二次模拟考试）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2212x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l极坐标方程为cos()4πρθ-=l 交曲线C 于A ，B 两点，求线段AB 的长． 【解析】由2)4cos(=-πθρ得2sin cos =+θρθρ，又θρθρsin ,cos ==y x ，可得l 的方程02=-+y x ，由曲线C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧==2212t y t x ，t 为参数 消t 得C 的方程y x 82=，联立⎩⎨⎧==+y x y x 822，消y 得01682=-+y x ，设),(),,(2211y x B y x A得16,82121-=-=+x x x x ，所以16221=-=x x AB .3. （江苏省苏北七市2020届高三第二次调研考试）在极坐标系中，已知曲线C 的方程为r ρ=(r ＞0)，直线l的方程为cos()4πρθ+=l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且AB＝，求r 的值．【解析】以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系xOy ， 于是曲线C ：(0)r r ρ=>的直角坐标方程为222x y r +=，表示以原点为圆心，半径为r 的圆． 由直线l 的方程()cos 4ρθπ+=cos cos sin sin 44ρθρθππ-=， 所以直线l 的直角坐标方程方程为20x y --=． 记圆心到直线l 的距离为d，则d ==()2222ABr d =+，即2279r =+=，所以3r =．4.（江苏省海安中学高三数学模拟考试数学试卷）已知点P 在曲线C ：⎩⎨⎧==θθsin 3cos 4y x （θ为参数）上，直线 l ：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=t y t x 223223（t 为参数），求P 到直线l 距离的最小值．【解析】直线 l ：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=t y t x 223223（t 为参数），的普通方程为：x ﹣y ﹣6＝0． P 到直线l 距离为：√2=√2，其中tanα=34． 当cos （θ+α）＝1时，表达式取得最小值：√22． 5.（江苏省南通市2020届四校联盟高三数学模拟测试卷） 在极坐标中，已知圆C 经过点)4P π，，圆心为直线sin 32πρθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．【解析】∵圆C圆心为直线sin 32πρθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭与极轴的交点，∴在sin 32πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭中令=0θ，得1ρ=． ∴圆C 的圆心坐标为（1，0）．∵圆C 经过点)4P π，，∴圆C 的半径为PC =．∴圆C 经过极点．∴圆C 的极坐标方程为=2cos ρθ．6.（南通市通州区2020届高三年级第二学期复学后联考数学试卷）。

小题专题练(二) 三角函数、平面向量(建议用时：50分钟)1．(2019·宿迁模拟)在平面直角坐标系中，已知向量AB →＝(2，1)，向量AC →＝(3，5)，则向量BC →的坐标为________．2．若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于________．3．在△ABC 中，a ＝3，b ＝6，∠A ＝2π3，则∠B ＝________．4．已知sin 2α＝35⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＜α＜π2，tan(α－β)＝12，tan ()α＋β＝________．5．函数y ＝32sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为________． 6．已知向量m ＝(λ＋1，1)，n ＝(λ＋2，2)，若(m ＋n )∥(m －n )，则λ＝________． 7．已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2.若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为________．8．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，且c ＝2，C ＝π3，若sin C ＋sin(B－A )＝2sin 2A ，则A ＝____________．9．已知函数f (x )＝3cos 2x －sin 2x ，则下列结论中正确的序号是________． ①函数f (x )的图象关于直线x ＝11π12对称；②函数f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0对称；③函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，5π12上是增函数； ④将y ＝2sin 2x 的图象向右平移π6个单位长度可以得到函数f (x )的图象．10．(2019·淮安模拟)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0≤φ<2π)在R 上的部分图象如图所示，则f (2 018)的值为________．11．(2019·辽宁师大附中模拟) 已知a ，b 是单位向量，且a·b ＝0.若向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的取值范围是________．12．甲船从位于海岛B 正南10海里的A 处，以4海里/小时的速度向海岛B 行驶，同时乙船从海岛B 以6海里/小时的速度向北偏东60°方向行驶，当两船相距最近时，两船行驶的时间为________小时．13．已知角φ的终边经过点P (1，－1)，点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)图象上的任意两点．若|f (x 1)－f (x 2)|＝2时，|x 1－x 2|的最小值为π3，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝________．14．如图，圆O 是边长为2的正方形ABCD 的内切圆，若P ，Q 是圆O 上两个动点，则AP →·CQ →的取值范围是________．小题专题练(二)1．解析：BC →＝AC →－AB →＝(1，4)． 答案：(1，4)2．解析：因为α为第四象限的角，故cos α＝1－sin 2α＝1－（－513）2＝1213，所以tan α＝sin αcos α＝－5131213＝－512.答案：－5123．解析：在△ABC 中，根据正弦定理a sin A ＝b sin B ，有3sin2π3＝6sin B ，可得sin B ＝22.因为∠A 为钝角，所以∠B ＝π4. 答案：π44．解析：因为π4＜α＜π2，所以π2＜2a ＜π，可得cos 2α＝－45，则tan 2α＝－34，tan(α＋β)＝tan[2α－(α－β)]＝tan 2α－tan （α－β）1＋tan 2αtan （α－β）＝－2.答案：－25．解析：因为y ＝32sin 2x ＋1＋cos 2x 2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋12，所以该函数的最小正周期T ＝2π2＝π . 答案：π6．解析：因为m ＋n ＝(2λ＋3，3)，m －n ＝(－1，－1)，又(m ＋n )∥(m －n )，所以(2λ＋3)×(－1)＝3×(－1)，解得λ＝0.答案：07．解析：由AP →⊥BC →，知AP →·BC →＝0，即AP →·BC →＝(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝(λ－1)AB →·AC →－λAB →2＋AC →2＝(λ－1)×3×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－λ×9＋4＝0，解得λ＝712. 答案：7128．解析：在△ABC 中，由sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A 可得sin(A ＋B )＋sin(B －A )＝2sin 2A ，即sin A cos B ＋cos A sin B ＋cos A sin B －sin A cos B ＝4sin A cos A ，所以cos A sin B ＝2sin A cos A ，即cos A (sin B －2sin A )＝0，即cos A ＝0或sin B ＝2sin A ，①当cos A ＝0时，A ＝π2；②当sin B ＝2sin A 时，根据正弦定理得b ＝2a ，由余弦定理c 2＝b 2＋a 2－2ab cos C ，结合c ＝2，C ＝π3，得a 2＋b 2－ab ＝4，所以a ＝233，b ＝433，所以b 2＝a 2＋c 2，所以B ＝π2，所以A ＝π6. 综上可得，A ＝π2或π6.答案：π2或π69．解析：f (x )＝3cos 2x －sin 2x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3. 令2x －π3＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π2＋5π12，k ∈Z ，当k ＝1时，函数f (x )的图象的对称轴方程为x ＝11π12，所以①正确；令2x －π3＝k π，k ∈Z ，得x ＝k π2＋π6，k ∈Z ，所以当k ＝1时，函数f (x )的图象的对称中心是⎝⎛⎭⎪⎫2π3，0，所以②正确；由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z ，所以当k ＝0时，函数f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，5π12，所以③错误；将函数y ＝2sin 2x 的图象向右平移π6个单位长度可以得到函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，所以④错误．所以正确的序号是①②.答案：①②10．解析：由题图知A ＝5，T ＝12，从而ω＝π6，φ＝π6，解析式为f (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋π6，故f (2 018)＝f (2)＝5.答案：511．解析：由a ，b 是单位向量，且a·b ＝0，可设a ＝(1，0)，b ＝(0，1)，c ＝(x ，y )． 因为向量c 满足|c －a －b |＝1，所以（x －1）2＋（y －1）2＝1，即(x －1)2＋(y －1)2＝1.该方程表示圆心为(1，1)，半径为1的圆，所以2－1≤|c |＝x 2＋y 2≤2＋1，所以|c |的取值范围是[2－1，2＋1]．答案：[2－1，2＋1]12．解析：如图，设经过x 小时后，甲船行驶到D 处，乙船行驶到C 处时两船相距最近，则AD ＝4x ，BC ＝6x ，则BD ＝10－4x ，由余弦定理知，CD 2＝(10－4x )2＋(6x )2－2×(10－4x )×6x cos 120°＝28x 2－20x ＋100＝28⎝ ⎛⎭⎪⎫x －5142＋6757，若甲行驶2.5小时，则甲船到达海岛B ，因而若x <2.5，则当x ＝514时距离最小，且最小距离为6757＝15217，若x ≥2.5，则BC ≥6×2.5＝15>15217，因而当两船相距最近时，两船行驶514小时．答案：51413．解析：结合三角函数图象，可知函数的最小正周期为2π3，则ω＝3，因为角φ的终边经过点P (1，－1)，所以不妨取φ＝－π4，则f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x －π4，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝sin 5π4＝－22. 答案：－2214．解析：以O 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则P ，Q 在以O 为圆心的单位圆上，设P (cos α，sin α)，Q (cos β，sin β)， 又A (－1，－1)，C (1，1)所以AP →＝(cos α＋1，sin α＋1)，CQ →＝ (cos β－1，sin β－1)所以AP →·CQ →＝(cos α＋1)·(cos β－1)＋(sin α＋1)·(sin β－1)＝cos αcos β＋cos β－cos α－1＋sin αsin β＋sin β－sin α－1＝(cos αcos β＋sin αsin β)＋(sin β＋cos β)－(sin α＋cos α)－2＝cos(α－β)＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4－2，当cos(α－β)＝－1且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4＝－1且sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1时，则AP →·CQ →有最小值，此时α－β＝(2k ＋1)π且β＝54π＋2k π且α＝π4＋2k π，(k ∈Z )，所以AP →·CQ →能取到最小值－3－22，AP →·CQ →夹角范围是[90°，180]，故AP →·CQ →有最大值0， 所以AP →·CQ →的取值范围是[－3－22，0]． 答案：[－3－22，0]。

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小题专题练(一）集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数（建议用时：50分钟）1．已知集合A＝{x|（x＋1)（x－2)〉0}，B＝｛x｜－1≤x－1≤1｝，则A∩（∁R B）＝________．2．(2019·苏州模拟)函数f(x）＝错误!的定义域为________．3．已知a＞0，b＞0，且满足3a＋b＝a2＋ab,则2a＋b的最小值为________．4．(2019·南通调研）函数f(x)＝lg x2的单调递减区间是________．5．若f（x)＝ln(e3x＋1）＋ax是偶函数，则a＝________．6．(2019·泰州期末)曲线y＝2ln x在点(e，2)处的切线（e是自然对数的底数）与y轴交点的坐标为________．7．已知命题p：方程x2－2ax－1＝0有两个实数根；命题q：函数f(x）＝x＋错误!的最小值为4.给出下列命题：①p∧q；②p∨q；③p∧(綈q)；④（綈p)∨(綈q）．其中是真命题的为________．（把所有正确命题的序号都填上）8．已知x，y满足约束条件错误!则z＝2x＋y的最大值为________．9．（2019·苏北四市联考）点P是曲线y＝x2－ln x上任意一点，则P到直线y＝x－2的距离的最小值是________．10．若关于x的不等式(2ax－1)ln x≥0对任意的x＞0恒成立，则实数a的取值范围是________．11．设二次函数f（x)＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数）的导函数为f′（x)．对任意x∈R，不等式f(x）≥f′(x)恒成立,则错误!的最大值为________．12．已知定义在R上的偶函数f（x)满足f(x－4)＝f（x),且在区间[0,2]上f(x）＝x，若关于x的方程f(x)＝log a x有三个不同的根，则a的取值范围为________．13．(2019·常州模拟）已知函数f（x）＝x2e x，若f（x)在［t，t＋1］上不单调，则实数t的取值范围是________．14．a为实数，函数f（x)＝|x2－ax|在区间[0，1］上的最大值记为g（a）．当a＝________时，g（a）的值最小．小题专题练（一)1．解析:A＝{x|（x＋1）（x－2）>0｝＝{x｜x〈－1或x〉2｝．因为B＝{x｜－1≤x－1≤1｝，所以B＝{x｜0≤x≤2}，所以∁R B＝{x｜x〈0或x>2｝，所以A∩（∁R B)＝{x|x<－1或x〉2｝．答案：｛x｜x〈－1或x>2}2．解析：若函数f（x）有意义，则错误!所以log2x＞1，所以x＞2.答案：(2，＋∞)3．解析：因为a＞0，b＞0,且满足3a＋b＝a2＋ab，所以b＝错误!＞0，解得1＜a＜3，则2a＋b＝2a＋错误!＝a－1＋错误!＋3≥2错误!＋3＝2错误!＋3，当且仅当a＝1＋错误!,b＝1时取等号．答案：3＋2错误!4．解析：函数f（x）＝lg x2的单调递减区间需满足x2〉0且y＝x2单调递减，故x∈(－∞，0)．答案：(－∞，0)5．解析：由偶函数的定义可得f（－x)＝f(x），即ln (e－3x＋1)－ax＝ln（e3x＋1）＋ax，所以2ax＝－ln e3x＝－3x，所以a＝－错误!.答案：－错误!6．解析：由曲线y＝2ln x得y′＝错误!，所以k＝错误!，所以点(e，2）处的切线方程为y－2＝错误!（x－e),令x＝0得y＝0，所以曲线y＝2ln x在点（e，2)处的切线与y轴交点的坐标为(0，0）．答案：(0，0）7．解析:因为Δ＝（－2a）2－4×（－1）＝4a2＋4〉0，所以方程x2－2ax－1＝0有两个实数根，所以命题p是真命题；当x〈0时,函数f(x）＝x＋错误!的取值为负值，所以命题q 为假命题，所以p∨q，p∧(綈q），(綈p）∨（綈q)是真命题．答案：②③④8．解析：x,y满足的平面区域如图阴影部分所示，根据阴影部分可得，当直线z＝2x＋y与圆相切于第一象限时，z取最大值，此时错误!＝2，所以z的最大值为2错误!.答案：2错误!9．解析：y′＝2x－1x，由y′＝1，得2x－错误!＝1，x＝1.切点为（1，1），它到直线y＝x－2的距离为错误!.答案：错误!10．解析：若x＝1，则不等式成立，若x＞1，则ln x＞0，则不等式等价为2ax－1≥0对x＞1恒成立，即2ax≥1,即a≥错误!，因为错误!＜错误!,所以a≥错误!，若0＜x＜1,则ln x＜0,则不等式等价为(2ax－1)≤0对0＜x＜1恒成立，即2ax≤1,即a≤12x,因为错误!＞错误!，所以a≤错误!,综上a＝错误!。

专题03 导数、函数的综合运用1、（2019江苏卷）.在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是_____.2、（2019江苏卷）.设函数()()()(),,,R f x x a x b x c a b c =---∈，()f 'x 为f （x ）的导函数． （1）若a =b =c ，f （4）=8，求a 的值；（2）若a ≠b ，b =c ，且f （x ）和()f 'x 的零点均在集合{3,1,3}-中，求f （x ）的极小值； （3）若0,01,1a b c =<=…，且f （x ）的极大值为M ，求证:M ≤427． 3、【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知函数f （x ）=2sin x -x cos x -x ，f ′（x ）为f （x ）的导数．（1）证明：f ′（x ）在区间（0，π）存在唯一零点； （2）若x ∈[0，π]时，f （x ）≥ax ，求a 的取值范围．4、【2019年高考全国Ⅱ卷文数】已知函数()(1)ln 1f x x x x =---．证明：（1）()f x 存在唯一的极值点；（2）()=0f x 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．5、【2019年高考天津文数】设函数()ln (1)e x f x x a x =--，其中a ∈R .（Ⅰ）若a ≤0，讨论()f x 的单调性； （Ⅱ）若10ea <<， （i ）证明()f x 恰有两个零点；（ii ）设0x 为()f x 的极值点，1x 为()f x 的零点，且10x x >，证明0132x x ->. 6、【2019年高考全国Ⅲ卷文数】已知函数32()22f x x ax =-+．（1）讨论()f x 的单调性；（2）当0<a <3时，记()f x 在区间[0，1]的最大值为M ，最小值为m ，求M m -的取值范围． 7、【2019年高考北京文数】已知函数321()4f x x x x =-+． （Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率为1的切线方程； （Ⅱ）当[2,4]x ∈-时，求证：6()x f x x -≤≤；（Ⅲ）设()|()()|()F x f x x a a =-+∈R ，记()F x 在区间[2,4]-上的最大值为M （a ），当M （a ）最小时，求a 的值．8、【2019年高考浙江】已知实数0a ≠，设函数()=ln 0.f x a x x >（1）当34a =-时，求函数()f x 的单调区间；（2）对任意21[,)e x ∈+∞均有()f x ≤ 求a 的取值范围． 注：e=2.71828…为自然对数的底数．一、函数零点的问题1、利用导数讨论函数零点个数、根据恒成立的不等式求解参数范围的问题.对于此类端点值恰为恒成立不等式取等的值的问题，通常采用构造函数的方式，将问题转变成函数最值与零之间的比较，进而通过导函数的正负来确定所构造函数的单调性，从而得到最值.2、对于函数零点个数问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．但需注意探求与论证之间区别，论证是充要关系，要充分利用零点存在定理及函数单调性严格说明函数零点个数. 二、函数单调性的讨论对于含有参数的函数单调性、极值、零点问题,通常要根据参数进行分类讨论,要注意分类讨论的原则：互斥、无漏、最简；,解决函数不等式的证明问题的思路是构造适当的函数,利用导数研究函数的单调性或极值破解.三、新型定义问题的处理“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解。

2020年江苏省高考数学三轮冲刺专项突破专题02 立体几何2020年江苏高考核心考点1.线线与线面的平行与垂直：线线与线面的平行与垂直一定要熟练掌握它们的判定定理和性质定理。

利用几何方法证明垂直与平行问题是立体几何的重要内容，也是高考考查的重点，求解的关键是根据线线垂直(平行)、线面垂直(平行)、面面垂直(平行)这三者之间的互化关系，借助辅助线与面，找出符号语言与图形语言之间的关系，从而将问题解决。

2.平面与平面的平行与垂直：熟练掌握平面与平面的平行与垂直的判定定理和性质定理，注意判定定理和性质定理的条件。

3.多面体的表面积与体积：求多面体的表面积与体积常用方法：1、公式法：可以运用规则的几何体；2、割补法：把不规则的图形分割成规则的图形，或者把几何体补成熟悉的几何体。

3、等积法：通过转换顶点，换成底面积或者高易求的几何体。

专项突破一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．）1.（江苏省南通市2020届四校联盟）在正四棱锥S ﹣ABC D 中，点O 是底面中心，SO ＝2，侧棱SA ＝2√3，则该棱锥的体积为 ．2.（江苏省丹阳市2020届高三年级下学期3月质量检测卷）已知圆锥的侧面展开图是一个半径为6cm ，圆心角为23π的扇形，则此圆锥的体积为 cm 3． 3.（2020届天一中学高三年级第二学期期初调研测试）某种圆柱形的如罐的容积为128π个立方单位，当它的底面半径和高的比值为 时，可使得所用材料最省．4.（2019～2020学年度如皋高三年级第二学期期初调研测试）已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中12,3AB AA ==，O 为上底面中心．设正四棱柱1111ABCD A B C D -与正四棱锥1111O A B C D -的侧面积分别为12,S S ，则21S S = ． 5.（江苏省张家港市2020届高三阶段性调研测试）在三棱锥P ABC -中，底面ABC 是边长为3的等边三角形，PA PC ⊥，PB PC ⊥，2PA PB ==，则该三棱锥的体积为_______．6.（江苏省苏北七市2020届高三第二次调研考试）如图，在体积为V 的圆柱O 1O 2中，以线段O 1O 2上的点O 为项点，上下底面为底面的两个圆锥的体积分别为V 1，V 2，则12V V V+的值是 ． 7.（江苏省南京市、盐城市2020届高三年级第二次模拟考试）在△AB C 中，AB ＝25AC 5∠BAC ＝90°，则△ABC 绕BC 所在直线旋转一周所形成的几何体的表面积为 ．8.（2020年南师附中高考模拟数学试卷）设m ，n 为空间两条不同的直线，α，β为空间两个不同的平面，给出下列命题：①若m ∥α，m ∥β，则α∥β； ②若m ⊥α，m ∥β，则α⊥β； ③若m ∥α，m ∥n ，则n ∥α； ④若m ⊥α，α∥β，则m ⊥β． 其中的正确命题序号是 ．9.（2019—2020学年度扬州中学第二学期阶段性检测改编）将一个底面半径为4，高为2的圆锥锻造成一个球体，则球体的表面积为 ．10.（江苏省海安中学高三3月数学模拟考试数学试卷）现有一个橡皮泥制作的圆锥，底面半径为1，高为4．若将它制作成一个总体积不变的球，则该球的表面积为 ．11.（2019—2020学年度镇江市九校2020届高三年级3月模拟考试）如图，是一个四棱锥的平面展开图，其中间是边长为2的正方形，上面三角形是等边三角形，左、右三角形是等腰直角三角形，则此四棱锥的体积为 ．12.（江苏省常熟市2020届高三3月“线上教育”学习情况调查）四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的正方形，2PA =，则四棱锥的侧面积是_________．13.（2020年江苏沭阳高级中学高考模拟试卷高考数学百日冲刺数学试卷（3月份））如图，从一个边长为12的正三角形纸片的三个角上，沿图中虚线剪出三个全等的四边形，余下部分再以虚线为折痕折起，恰好围成一个缺少上底的正三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个正三棱柱的上底，则所得正三棱柱的体积为．14．（2019—2020学年度苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一））如图在矩形ABC D中，E为边AD 的中点，AB＝1，BC＝2．分别以A，D为圆心，1为半经作圆弧EB，EC，将两圆弧EB，EC及边BC所围成的平面图形（阴影部分）绕直线AD旋转一周，所形成的几何体的体积为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（江苏省南通市2020届四校联盟）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，已知底面ABCD是菱形，点P是侧棱C1C的中点．（1）求证：AC1∥平面PBD；（2）求证：BD⊥A1P．16.（江苏省南京市、盐城市2020届高三年级第二次模拟考试）在如图，三棱锥P—AB C中，点D，E分别为AB，BC的中点，且平面PDE⊥平面AB C．（1）求证：AC ∥平面PDE ；（3）若PD ＝AC ＝2，PE 3PBC ⊥平面AB C ．17.（江苏省如皋中学高三3月数学模拟考试数学试卷）如图，在四棱锥P ­ABC D 中，底面ABCD 为平行四边形，面PAD ABCD ⊥面，三角形PAD 为正三角形．（1）若,E F 为,PB CD 中点，证明：//EF PAD 面； （2）若90PAB ∠=︒，证明：面PAD PAB ⊥面．18.（2020年江苏沭阳高级中学高考模拟试卷高考数学百日冲刺数学试卷（3月份））如图，在四棱锥P ﹣ABC D 中．（1）若AD ⊥平面PAB ，PB ⊥PD ，求证：平面PBD ⊥平面PAD ；（2）若AD ∥BC ，E 为PA 的中点，当BE ∥平面PCD 时，求BCAD的值．19.（2019—2020学年度苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一））如图，在四棱锥P —ABC D 中，四边形ABCD 为平行四边形，BD ⊥DC ，△PCD 为正三角形，平面PCD ⊥平面ABCD ，E 为PC 的中点．（1）证明：AP ∥平面EBD ；FEPDCBA（2）证明：BE⊥P C．20.(江苏省苏北七市2020届高三第二次调研考试)如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，CA＝CB，点P，Q 分别为AB 1，CC1的中点．求证：（1）PQ∥平面ABC；（2）PQ⊥平面ABB1A1．2020年江苏省高考数学三轮冲刺专项突破专题02 立体几何2020年江苏高考核心考点1.线线与线面的平行与垂直：线线与线面的平行与垂直一定要熟练掌握它们的判定定理和性质定理。

专题28 利用导数研究函数的极值一、例题选讲题型一、求函数的极值点讨论或者证明函数极值点或者极值点的个数问题,转化为导函数为0的根的个数。

求函数的极值点通过研究函数的单调性来解决。

例1、(2018苏北四市期末）已知函数f(x)＝x 2＋ax ＋1,g(x)＝ln x －a(a ∈R )．(1) 当 a ＝1时,求函数h (x )＝f (x )－g (x )的极值；例2、(2018南京、盐城、连云港二模）已知函数f(x)＝x(e x －2),g(x)＝x －ln x ＋k,k ∈R ,e 为自然对数的底数．记函数F (x )＝f (x )＋g (x )．(1) 求函数y ＝f (x )＋2x 的极小值；例3、(2016苏北四市期末）已知函数f (x )＝e x 13x 3－2x 2＋(a ＋4)x －2a －4,其中a ∈R ,e 为自然对数的底数． (1) 若函数f (x )的图像在x ＝0处的切线与直线x ＋y ＝0垂直,求a 的值；(2) 关于x 的不等式f (x )<－43e x 在(－∞,2)上恒成立,求a 的取值范围； (3) 讨论函数f (x )极值点的个数．.题型二、由极值点求参数的范围由极值点求参数的范围主要是吧参数独立出来,然后构造新的函数,运用导数研究函数的最值问题。

例4、(2019苏北三市期末）已知函数f(x)＝(x －a)ln x(a ∈R )．(1) 若a ＝1,求曲线f (x )在点(1,f (1))处的切线方程；(2) 若对于任意的正数x ,f (x )≥0恒成立,求实数a 的值；(3) 若函数f (x )存在两个极值点(极值点是函数取极值时对应的自变量的值),求实数a 的取值范围．例5、(2017南京三模）已知λ∈R ,函数f (x )＝e x －e x －λ(x ln x －x ＋1)的导函数为g (x )．（1）求曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程；（2）若函数g (x )存在极值,求λ的取值范围；例6、(2019扬州期末）已知函数f(x)＝(3－x)e x ,g(x)＝x ＋a(a ∈R )(e 是自然对数的底数,e ≈2.718…)．(1) 求函数f (x )的极值；(2) 若函数y ＝f (x )g (x )在区间上单调递增,求a 的取值范围；(3) 若函数h (x )＝f （x ）＋g （x ）x在区间(0,＋∞)上既存在极大值又存在极小值,并且h (x )的极大值小于整数b ,求b 的最小值．题型三、与极值点有关的证明直接证明比较困难,需要利用分析法,通过代数变形,换元等方法将问题转化为熟悉的不等式问题,再通过构造函数,结合常用不等式 ,利用导数进行证明．例7、(2019无锡期末）已知函数f(x)＝e x －a 2x 2－ax(a>0)． (1) 当a ＝1时,求证：对于任意x>0,都有f(x)>0 成立；(2) 若函数y ＝f(x)恰好在x ＝x 1和x ＝x 2两处取得极值,求证：x 1＋x 22<ln a.例8、(2018常州期末）已知函数f(x)＝ln x （x ＋a ）2,其中a 为常数． (1) 若a ＝0,求函数f(x)的极值；(2) 若函数f(x)在(0,－a)上单调递增,求实数a 的取值范围；(3) 若a ＝－1,设函数f(x)在(0,1)上的极值点为x 0,求证：f(x 0)<－2.二、达标训练1、(2016南京学情调研）已知函数f (x )＝13x 3＋x 2－2ax ＋1,若函数f (x )在(1,2)上有极值,则实数a 的取值范围为________．2、(2019南京、盐城一模）若函数y ＝f(x)在x ＝x 0处取得极大值或极小值,则称x 0为函数y ＝f(x)的极值点．设函数f(x)＝x 3－tx 2＋1(t ∈R )．(1) 若函数f (x )在(0,1)上无极值点,求t 的取值范围；3、(2017南通、扬州、泰州、淮安三调）已知函数2()cos f x ax x =+（a ∈R ）,记()f x 的导函数为()g x ．（1）证明：当12a =时,()g x 在R 上单调递增； （2）若()f x 在0x =处取得极小值,求a 的取值范围；4、（2016苏锡常镇一调）设函数f(x)＝x －2e x －k(x －2ln x)(k 为实常数,e ＝2.718 28…是自然对数的底数)．(1) 当k ＝1时,求函数f(x)的最小值；(2) 若函数f(x)在区间(0,4)内存在三个极值点,求k 的取值范围．。