高中数学 希尔波特23个数学问题及解决情况素材

1900年，德国数学家希尔伯特在巴黎召开的国际数学家大会上提出了一个震撼全球的问题清单，其中包括23个数学问题，这个清单被称为希尔伯特的23个问题。

这些问题使数学家们探索了整个20世纪，直到今天，这些问题仍然是数学家研究的热点问题，对数学的发展影响深远。

1.安德烈·韦伊定理：韦伊在1924年证明了，任何一个数都可以用四种平方数的和表示（顺序可以不同）。

这个定理改变了我们对于整数的理解，使我们看到了整数之间的微妙关系。

2.多项式方程组的求解：通过解决多项式方程组的求解问题，数学家得以研究出代数几何、拓扑学、数论等领域的问题。

3.梅尔斯定理：梅尔斯定理是数论中一条著名的定理，它对于我们研究素数产生了深远的影响。

梅尔斯定理的核心是：素数分布呈现出一定的规律性。

4.黎曼假设：黎曼假设是数学中著名的一条定理，它对数论的发展产生了重大影响。

它研究的是素数的分布规律，尽管至今没有得到证明，但数学家们一直在致力于研究。

5.黑格尔猜想：黑格尔猜想是一个普遍存在的问题，涉及到对于整数的理解和分解的问题。

它被认为是一条重要的代数学关于整数的猜想。

6.二十四问题中的第六个问题：从广义空间的角度出发，探究可能存在的最小的黎曼曲面。

7.有多少种平面上的几何形状可以拼成一个正方形：这个问题通过广义多面体的角度进行探究。

8.三次方程的求解：即$x^3+nx=m$，求解这个方程对于代数学中之后的发展产生了至关重要的作用。

9.每两个整数之间，是否都存在一个素数：这个问题涉及到数论中经典的问题，对素数的研究提供了更深层次的思考。

10.背包问题：这个问题涉及到了优化、操作科学、组合学等领域，是计算理论中著名的问题之一，它是物品对背包的选择问题，需要使得物品价值总和最大。

11.第五个问题：在数学中，研究高维空间的性质是一项极其困难的任务，希尔伯特提出了这个问题，想要探究高维空间的各个性质。

12.稳定性问题：在一些实际问题中，如果输入数据有一些错误，模型的结果是否会受到很大影响？这个问题问得正是这个。

希尔伯特的23个数学问题湖南 黄爱民希尔伯特（Hilbert D ，1862．1．23~1943．2．14）是二十世纪上半叶德国乃至全世界最伟大的数学家之一．1900年，希尔伯特在巴黎数学家大会上提出了23个最重要的问题供二十世纪的数学家们去研究，这就是著名的“希尔伯特23个问题”．这23个问题涉及现代数学大部分重要领域，推动了二十世纪数学的发展．下面介绍部分问题给同学们．1．连续统假设 1874年，康托猜测在可列集基数和实数基数之间没有别的基数，这就是著名的连续统假设．1938年，哥德尔证明了连续统假设和世界公认的策梅洛———弗伦克尔集合论公理系统的无矛盾性．1963年，美国数学家科亨证明连续统假设和策梅洛———弗伦克尔集合论公理是彼此独立的．因此，连续统假设不能在策梅洛———弗伦克尔公理体系内证明其正确性与否．希尔伯特第1问题在这个意义上已获解决．2．算术公理的相容性 欧几里得几何的相容性可归结为算术公理的相容性．希尔伯特曾提出用形式主义计划的证明论方法加以证明．1931年，哥德尔发表的不完备性定理否定了这种看法．1936年德国数学家根茨在使用超限归纳法的条件下证明了算术公理的相容性．1988年出版的《中国大百科全书》数学卷指出，数学相容性问题尚未解决．3．两个等底等高四面体的体积相等问题 问题的意思是，存在两个等边等高的四面体，它们不可分解为有限个小四面体，使这两组四面体彼此全等．M ．W ．德恩1900年即对此问题给出了肯定解答．4．两点间以直线为距离最短线问题 此问题提得过于一般．满足此性质的几何学很多，因而需增加某些限制条件．1973年，前苏联数学家波格列洛夫宣布，在对称距离情况下，问题获得解决．《中国大百科全书》说，在希尔伯特之后，在构造与探讨各种特殊度量几何方面有许多进展，但问题并未解决．5．物理学的公理化 希尔伯特建议用数学的公理化方法推演出全部物理，首先是概率和力学．1933年，前苏联数学家柯尔莫哥洛夫实现了将概率论公理化．后来在量子力学、量子场论方面取得了很大成功．但是物理学是否能全盘公理化，很多人表示怀疑．6．不可能用只有两个变数的函数解一般的七次方程 七次方程的根依赖于3个参数a b c ，，，即()x x a b c ，，．这个函数能否用二元函数表示出来？前苏联数学家阿诺尔德解决了连续函数的情形（1957），维士斯金又把它推广到了连续可微函数的情形（1964）．但如果要求是解析函数，则问题尚未解决．7．舒伯特计数演算的严格基础 一个典型问题是：在三维空间中有四条直线，问有几条直线能和这四条直线都相交？舒伯特给出了一个直观解法．希尔伯特要求将问题一般化，并给以严格基础．现在已有了一些可计算的方法，但严格的基础迄今仍未确立．8．半正定形式的平方和表示 一个实系数n 元多项式对一切数组12()n x x x L ，，，都恒大于或等于0，是否都能写成平方和的形式？1927年阿廷证明这是对的．9．用全等多面体构造空间 由德国数学家比勃马赫（1910）、荚因哈特（1928）作出部分解决．。

世界七大数学难题与Hilbert的23个问题继上文《数学家的猜想错误》提到的七大数学难题和大卫·希尔伯特23个数学难题，今天我们就来详细了解下。

世界七大数学难题，这七个“千年大奖问题”是：NP完全问题、霍奇猜想、庞加莱猜想、黎曼假设、杨－米尔斯理论、纳卫尔－斯托可方程、BSD猜想。

千年大奖问题美国麻州的克雷（Clay）数学研究所于2000年5月24日在巴黎法兰西学院宣布了一件被媒体炒得火热的大事：对七个“千年数学难题”的每一个悬赏一百万美元。

其中有一个已被解决(庞加莱猜想),还剩六个.（庞加莱猜想，已由俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼破解。

我国中山大学朱熹平教授和旅美数学家、清华大学兼职教授曹怀东做了证明的封顶工作。

）“千年大奖问题”公布以来，在世界数学界产生了强烈反响。

这些问题都是关于数学基本理论的，但这些问题的解决将对数学理论的发展和应用的深化产生巨大推动。

认识和研究“千年大奖问题”已成为世界数学界的热点。

不少国家的数学家正在组织联合攻关。

可以预期，“千年大奖问题”将会改变新世纪数学发展的历史进程。

01庞加莱猜想1904年，法国数学家亨利·庞加莱（HenriPoincaré）在提出这个猜想：'任何一个单连通的，封闭的三维流形一定同胚于一个三维的球面。

'换一种简单的说法就是：一个闭的三维流形就是一个没有边界的三维空间；单连通就是这个空间中每条封闭的曲线都可以连续的收缩成一点，或者说在一个封闭的三维空间，假如每条封闭的曲线都能收缩成一点，这个空间就一定是一个三维圆球。

懵逼中为了大家便于理解庞加莱猜想，有人给出了一个十分形象的例子：假如在一个完全封闭（足够结实）的球形房子里，有一个气球（皮是无限薄的），现在我们将气球不断吹大，到最后，气球的表面和整个房子的墙壁是完全贴住，没有缝隙。

面对这个看似十分简单的猜想，无数位数学家前仆后继，绞尽脑汁，甚至是倾其一生都没能证明这个猜想。

希尔伯特23个数学问题希尔伯特的23个问题分为四大块：第1到第6问题是数学基础问题；第7到第12问题是数论问题；第13到第18问题是属于代数和几何问题；第19到第23问题属于数学分析问题．经过一个多世纪，希尔伯特提出的23个问题中，接近一半已经解决或基本解决．有些问题虽未解决，但也取得了重要的进展．问题1康托尔的连续统基数问题(公理化集合论)1874年，康托尔猜测在可数集基数与实数集基数之间没有别的基数，即著名的连续统假设．1938年，奥地利数理逻辑学家哥德尔证明了连续统假设与策梅洛-弗伦克尔(Zermelo-Fraenkel，ZF)集合论公理系统的无矛盾性．1963年，美国数学家科恩证明了连续统假设与ZF集合论公理系统彼此独立．因而连续统假设不能用ZF集合论公理系统加以证明，即连续统假设的真伪不可能在ZF集合论公理系统内判定．在这个意义上，问题已经解决了．问题2算术公理的相容性(数学基础)欧几里得几何的相容性可归结为算术公理的相容性．希尔伯特曾提出用形式主义计划的证明方法加以证明，后来发展为系统的希尔伯特计划(“元数学”或“证明论”)，但1931年，哥德尔发表“不完备性定理”做出否定．1936年，根茨(G.Gentaen，1909—1945)使用超限归纳法证明了算术公理系统的相容性，但数学的相容性问题至今未解决．问题3只根据合同公理证明等底等高的四面体有相等之体积是不可能的(几何基础)问题的含义是：存在两个等底等高的四面体，它们不可能分解为有限个小四面体，使这两组四面体彼此全等，这一问题很快于1900年由希尔伯特的学生德恩(M.Dehn，1878—1952)给出了肯定的解答．这是希尔伯特问题中最早获得解决的一个．问题4直线作为两点间最短距离问题(几何基础)这一问题提得过于一般，满足这一性质的几何例子很多，只需要加以某些限制条件．在构造特殊度量几何方面已有很大进展，但未完全解决．1973年，苏联数学家波格列洛夫(Pogleov)宣布，在对称距离情况下，问题获得解决．问题5不要定义群的函数的可微性假设的李群概念(拓扑群论) 这一问题简称连续群的解析性，即是否每一个局部欧式群都一定是李群．经过漫长的努力，这个问题于1952年，由美国格里森(Gleason)、蒙哥马利(Montqomery)和齐宾(Zipping)共同解决．1953年，日本的山迈彦得到完全肯定的结果．问题6物理公理的数学处理(数学物理)希尔伯特建议用数学的公理化方法推演出全部物理学．1933年，苏联数学家柯尔莫哥洛夫(A.Kolmogorov，1903—1987)将概率论公理化．后来在量子力学、量子场论和热力学等领域，公理化方法获得很大成功，但物理学各个分支能否全盘公理化，很多人对此表示怀疑．公理化的物理意味着什么，仍是需要探讨的问题．问题7某些数的无理性与超越性(超越数论)要求证明：若是代数数，是无理数的代数数，则一定是超越数或至少是无理数．苏联数学家盖尔丰德(A.O.Gelfond)于1929年、德国数学家施奈德(T.Schneieder)及西格尔(C.L.Siegel，1896—1981)于1934年各自独立地解决了这问题的后半部分．1966年贝克等大大推广了此结果．但是，超越数理论还远远未完成．要确定所给的数是否超越数，还没有统一的方法，如欧拉常数的无理性至今未获得证明．问题8素数分布问题(数论)希尔伯特在此问题中提到黎曼猜想、哥德巴赫猜想以及孪生素数问题．一般情形的黎曼猜想至今未解决．哥德巴赫猜想和孪生素数问题也未最终解决，这两个问题的最佳结果均属于中国的数学家陈景润．问题9任意数域中最一般的互反律之证明(类域论)该问题于1921年由日本学者高木贞治(1875—1860)、1927年由德国学者阿廷(E.Artin)各自给以基本解决．类域理论至今仍在发展之中．问题10丢番图方程可解性的判别(不定分析)希尔伯特提出问题：能否通过有限步骤来判定不定方程是否存在有理整数解．1970年，由苏联数学家马蒂雅塞维奇证明希尔伯特所期望的一般算法是不存在的．尽管得出了否定的结果，却产生了一系列很有价值的副产品，其中不少和计算机科学有密切联系．问题11系数为任意代数数的二次型(二次型理论)德国数学家哈塞(H.Hasse，1898—1979)于1929年和西格尔于1951年在这个问题上获得了重要的结果．20世纪60年代，法国数学家魏依取得了新的重大进展，但未获最终解决．问题12阿贝尔(Abel)域上的克罗内克(L.Kroneker，1823—1891)定理推广到任意代数有理域(复乘法理论)尚未解决．问题13不可能用只有两个变数的函数解一般的七次方程(方程论与实函数论)连续函数情形于1957年由苏联数学家阿诺尔德(V.Arnold，1937—2010)否定解决．1964年，苏联数学家维图斯金(Vituskin)推广到连续可微情形．但若要求是解析函数，则问题仍未解决．问题14证明某类完全函数系的有限性(代数不变式理论)1958年，日本数学家永田雅宜举出反例给出了否定解决．问题15舒伯特(Schubert)记数演算的严格基础(代数几何学) 由于许多数学家的努力，舒伯特演算的基础的纯代数处理已有可能，但舒伯特演算的合理性仍待解决．至于代数几何的基础，已由荷兰数学家范·德·瓦尔登于1940年及法国数学家魏依于1950年各自独立建立．问题16代数曲线与曲面的拓扑(曲线与曲面的拓扑学、常微分方程的定性理论)这个问题分为两部分：前半部分涉及代数曲线含有闭的分枝曲线的最大数目，后半部分要求讨论极限环的最大个数和相对位置．关于问题的前半部分，近年来不断有重要结果出现．关于问题的后半部分，1978年，中国的史松龄在秦元勋、华罗庚的指导下，与王明淑分别举出了至少有4个极限环的具体例子．1983年，中国的秦元勋进一步证明了二次系至多有4个极限环，从而最终解决了二次微分方程的解的结构问题，并且为希尔伯特第16问题的研究提供了新的途径．问题17半正定形式的平方表示式(实域论)一个实数n元多项式对任意数组都恒大于零或等于零，是否能写成平方和的形式？此问题于1927年，由阿廷给予肯定的解决．问题18用全等多面体构造空间(结晶体群理论)该问题由三部分组成．第一部分欧式空间仅有有限个不同类的带基本区域的运动群．第二部分包括是否存在不是运动群的基本区域但经适当毗连即可充满全空间的多面体？第一部分由德国数学家贝尔巴赫(Bieberbach)于1910年做出了肯定的回答．第二部分由德国数学家莱因哈特(Reinhart)于1928年、黑施于1935年做出了部分解决．第三部分至今未能解决．问题19正则变分问题的解是否一定解析(椭圆型偏微分方程理论)1929年，德国数学家伯恩斯坦(L.Bernstein，1918—1990)证明了一个变元的、解析的非线性椭圆方程，其解必定是解析的．这个结果后来又被伯恩斯坦和苏联数学家彼德罗夫斯基等推广到多变元和椭圆组的情形．在此意义下，问题已获解决．问题20一般边值问题(椭圆型偏微分方程理论)偏微分方程边值问题的研究正处于蓬勃发展的阶段，已成为一个很大的数学分支，目前还在继续发展，进展十分迅速．问题21具有给定单值群的线性偏微分方程的存在性证明(线性常微分方程大范围理论)此问题属于线性常微分方程的大范围理论．希尔伯特于1905年、勒尔(H.Rohrl)于1957年分别得出重要结果．1970年，法国数学家德利涅(Deligne)做出了突出的贡献．问题22用自守函数将解析函数单值比(黎曼曲面体)此问题涉及深奥的黎曼曲面理论，一个变数的情形已由德国数学家克贝(P.Koebe)于1907年解决，但一般情形尚未解决．问题23变分法的进一步发展(变分法)这是一个不明确的数学问题，只是谈了一些对变分法的一般看法．希尔伯特本人和许多数学家对变分法的发展做出了重要的贡献．20世纪变分法已有了很大的进展．希尔伯特的23个数学问题的影响及意义希尔伯特的23个数学问题绝大部分业已存在，并不是希尔伯特首先提出来的，但他站在更高的层面，用更尖锐、更简单的方式重新提出了这些问题，并指出了其中许多问题的解决方向．在世纪之交提出的这23个问题，涉及现代数学的许多领域．一个世纪以来，这些问题激发着数学家们浓厚的研究兴趣，对20世纪数学的发展起着巨大的推动作用．许多世界一流的数学家都深深为这23个问题着迷，并力图解决这些问题．希尔伯特所提出的问题清晰、易懂，其中一些有趣得令许多外行都跃跃欲试．解决其中任意一个，或者在任意一个问题上有重大突破，就自然地被公认为是世界一流水平的数学家．我国的数学家陈景润因在解决希尔伯特第8个问题(即素数问题，包括黎曼猜想、哥德巴赫猜想等)上有重大贡献而为世人所瞩目，由此也可见希尔伯特问题的特殊地位．经过整整一个世纪，希尔伯特的23个数学问题中，将近一半已经解决或基本解决．有些问题虽未解决，但也取得了重要进展．希尔伯特提出的问题是极其深奥的，不少问题一般人连题目也看不懂．正因为困难，才吸引有志之士去做巨大的努力．但它又不是不可接近的，因而提供了使人们终有收获的科学猎场．一百多年来，人们始终注视着希尔伯特问题的研究，绝不是偶然的．希尔伯特问题的研究与解决大大推动了许多现代数学分支的发展，包括数理逻辑、几何基础、李群、数学物理、概率论、数论、函数论、代数几何、常微分方程、偏微分方程、黎曼曲面论和变分法等．第2问题和第10问题的研究，还促进了现代计算机理论的成长．当然，预测不可能全部符合后来的发展，20世纪数学发展的广度和深度都远远超出20世纪初年的预料，像代数拓扑、抽象代数、泛函分析和多复变量函数等许多理论学科都未列入这23个问题，更不要说与应用有关的应用数学以及随计算机出现发展起来的计算数学和计算机科学了．。

巴黎圣母院的钟声迎来了20世纪。

1900年，人们都吧眼光放在未来：无产阶级正在组织沸腾的革命，科学家憧憬着惊人的突破，艺术家在追逐时代的潮流……。

这一年的8月6日，第二届国际数学家代表会议在巴黎召开。

年方38岁的德国数学家大卫•希尔伯特走上讲台，第一句话就问道：“揭开隐藏在未来之中的面纱，探索未来世纪的发展前景，谁不高兴呢？”接着，他向到会者，也向国际数学界提出了23个数学问题，这就是著名的希尔伯特演说。

这一演说，成为世界数学史的重要里程碑，为20世纪的数学发展揭开了光辉的第一页！科学发展的每一个时代都有自己的问题。

希尔伯特站在当时数学研究的最前沿，高瞻远瞩地用23个数学问题，预示20世纪数学发展的进程。

现在，时光已过去80多年。

这23个问题约有一半已获得解决，有一些取得了很大进展，有些则收效甚微。

80年来，人们把解决希尔伯特问题，哪怕是其中一部分，都看成至高无上的荣誉。

据统计，从1936〜1974年，被育为数学界诺贝尔奖的菲尔兹（Fields）国际数学奖的20名获奖人中，至少有12人的工作与希尔伯特问题有关。

1976年，美国数学会组织评论1940年以来的美国十大数学成就，就有3项是希尔伯特问题的（1）、（5）、（10）等3个问题的解决。

重要的问题历来是推动科学前进的杠杆之一，但一位科学家如此自觉、如此集中地提出一整批问题，并且如此持久地影响一门学科的发展，在科学史上确是罕见的。

希尔伯特，1862年生于德国德哥尼斯堡（现为苏联的加里宁格勒）。

1884年获哥尼斯堡大学博士学位。

1895年担任著名的哥廷根大学教授，直到1943年去世。

他最初的研究领域是代数不变量和代数数论。

1900年前后致力于数学基础──元数学。

后来又转到分析方面，在积分方程、变分法、泛函分析、理论物理等许多领域作出了杰出的贡献。

希尔伯特为发表1900年的重要演说，曾作过仔细的准备。

1899年，第二届国际数学家会议的筹备机构邀请希尔伯特在会上作主要发言。

希尔伯特23个数学难题1. 哥德巴赫猜想：任意大于2的偶数都可以表示成两个质数之和。

2. 佩尔方程：找出满足 x² - ny² = 1 的自然数解，其中 n 是一个给定的正整数。

3. 费尔马小定理：如果 p 是一个质数，那么对于任意整数 a，a^p - a 都是 p 的倍数。

4. 黎曼猜想：所有非平凡的自然数零点都位于复平面上的某一直线上，即 "黎曼 Zeta 函数的非平凡零点的实部等于 1/2"。

5. 庞加莱猜想：任何大于1的整数都可以表示成至多四个自然数的平方和。

6. 费马大定理：对于任意大于2的整数 n，方程 x^n + y^n = z^n 没有正整数解。

7. 罗宾逊算术：是否存在一个算术表达式，可表示为解 x^n + y^n = z^n，其中 n、x、y、z 都是多项式函数？8. 连续平面切片问题：一个单位区间上的无限个单位半径圆，是否一定能够被切割为有限个片，从而使得每个片的周长之和无上限？9. 康托对角线证明了无穷的数量比可数的数量更多，这一论断是否成立？10. 佛馬定理：给定一个序列 a0, a1, a2, ...，是否存在一个多项式 P(x) ，使得对于所有 n，P(n)和 a(n) 在整数环上取得相等的值？11. 黑洞信息悖论：如果一个物体掉入黑洞的话，它的信息会丢失吗？12. 度量空间完备性：对于一个给定的度量空间，是否所有的柯西序列都收敛于该空间的内点？13. 矩阵剖析：对于一个给定的方块矩阵，是否可以逐步剖析为若干个小方块，而每个小方块都可以分解为若干个更小的方块？14. 程序终止：是否存在一个通用的算法，可以判断任意给定程序是否会在有限的步骤内终止？15. 旅行推销员问题：对于给定的城市和距离，是否存在一个最短的闭合路径，使得旅行推销员途经每个城市一次，然后返回起点？16. 负二次定理：是否存在一个实数 a，满足 a * a = -1 ？17. 确定性因素分解：是否存在一个确定性的多项式时间算法，用于将大整数因式分解？18. 最短超球面问题：给定一组点，是否可以找到一个最小的超球面，将这些点全部覆盖？19. 生物学中的形态发生：如何解释、理解和预测生物体的形态发生过程？20. 难以判定的问题：是否存在一个问题，无法通过任何算法，以有限步骤确定其答案的正确性？21. 最大连续子序列和问题：给定一个整数序列，找出具有最大和的连续子序列。

希尔伯特数学23个世界难题
希尔伯特数学23个世界难题
1900年德国数学家希尔伯特在巴黎第二届国际数学家代表会上提出23个重要的数学问题，
称为希尔伯特数学问题
﹝Hilbert'sMathematicalProblems﹞。

内容涉及现代数学大部份重要领域，目的是为新世纪的数学发展提供目标和预测成果，结果大大推动了20世纪数学的发展。

该23个问题的简介如下：
1.连续统假设。

2.算术公理体系的兼容性。

3.只根据合同公理证明底面积相等、高相等的两个四面体有相等的体积是不可能的。

即不能
将这两个等体积的四面体剖分为若干相同的小多面体。

4.直线作为两点间最短距离的几何结构的研究。

5.拓扑群成为李群的条件。

6.物理学各分支的公理化。

7.某些数的无理性与超越性。

8.素数问题。

包括黎曼猜想、哥德巴赫猜想等问题。

9.一般互反律的证明。

10.丢番图方程可解性的判别。

11.一般代数数域的二次型论。

12.类域的构成问题。

具体为阿贝尔域上的克罗内克定理。

希尔伯特数学23个世界难题1900年德国数学家希尔伯特在巴黎第二届国际数学家代表会上提出23个重要的数学问题，称为希尔伯特数学问题﹝Hilbert'sMathematicalProblems﹞。

内容涉及现代数学大部份重要领域，目的是为新世纪的数学发展提供目标和预测成果，结果大大推动了20世纪数学的发展。

该23个问题的简介如下：1.连续统假设。

2.算术公理体系的兼容性。

3.只根据合同公理证明底面积相等、高相等的两个四面体有相等的体积是不可能的。

即不能将这两个等体积的四面体剖分为若干相同的小多面体。

4.直线作为两点间最短距离的几何结构的研究。

5.拓扑群成为李群的条件。

6.物理学各分支的公理化。

7.某些数的无理性与超越性。

8.素数问题。

包括黎曼猜想、哥德巴赫猜想等问题。

9.一般互反律的证明。

10.丢番图方程可解性的判别。

11.一般代数数域的二次型论。

12.类域的构成问题。

具体为阿贝尔域上的克罗内克定理推广到作意代数有理域。

13.不可能用只有两个变量的函数解一般的七次方程。

14.证明某类完全函数系的有限性。

15.舒伯特计数演算的严格基础。

16.代数曲线与曲面的拓扑研究。

17.正定形式的平方表示式。

18.由全等多面体构造空间。

19.正则变分问题的解是否一定解析。

20.一般边值问题。

21.具有给定单值群的线性微分方程的存在性。

22.用自守函数将解析关系单值化。

23.发展变分学的方法。