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高考数学立体几何专题：等体积法一、引言在高考数学中，立体几何是一门重要的学科，它考察了学生的空间想象能力和逻辑推理能力。
其中，等体积法是一种常用的方法，它在解决立体几何问题中具有重要的作用。
本文将详细介绍等体积法的基本原理和应用，并通过实例来展示其用法。
二等体积法的基本原理等体积法的基本原理是：对于同一个体积，可以将其分解为不同的几何形状，并且这些几何形状的体积相等。
在立体几何中，常见的几何形状有长方体、正方体、圆柱体、圆锥体等。
这些形状的体积可以通过其高度、底面积和高度的乘积等参数来计算。
三等体积法的应用等体积法在解决立体几何问题中具有广泛的应用。
下面我们将通过几个例子来展示其用法：1、求几何体的表面积和体积例1：已知一个长方体的长、宽和高分别为a、b和c，求该长方体的表面积和体积。
解：该长方体的表面积为2(ab+bc+ac)，体积为abc。
2、判断两个几何体是否体积相等例2：给定两个几何体，判断它们是否体积相等。
解：根据等体积法，我们可以分别计算两个几何体的体积，如果两个体积相等，则两个几何体体积相等；否则，两个几何体体积不相等。
3、求几何体的重心位置例3：已知一个长方体的长、宽和高分别为a、b和c，求该长方体的重心位置。
解：根据等体积法，我们可以将该长方体分成两个小的长方体，它们的重心位置与原长方体的重心位置相同。
因此，我们只需要找到这两个小长方体的重心位置即可。
四、结论等体积法是一种常用的方法，在解决立体几何问题中具有重要的作用。
它可以帮助我们计算几何体的表面积和体积，判断两个几何体是否体积相等，以及求几何体的重心位置等。
在实际应用中，我们需要灵活运用等体积法来解决各种不同的问题。
在数学的世界里，立体几何是一门研究空间几何形状、大小、位置关系的科学。
它不仅在数学领域中占据着重要的地位，同时也是高考数学中的重要考点之一。
本文将针对高考数学立体几何专题进行深入探讨，帮助大家更好地理解和掌握这一部分内容。
长方体体积说课稿一、说教材（一）作用与地位《长方体体积》是小学数学几何部分的重要内容，它承前启后，既是对此前所学的平面图形面积计算的拓展，也为后续学习其他立体图形的体积计算打下基础。
长方体作为最基本的立体图形之一，其体积计算公式是理解和掌握更复杂立体图形体积的基础。
（二）主要内容本节课主要围绕长方体的体积计算进行展开，内容包括：1. 长方体体积的概念及公式引入。
2. 长方体体积计算公式的推导和应用。
3. 通过实际操作，加深学生对体积概念的理解，培养空间想象能力。
二、说教学目标（一）知识与技能1. 学生能理解长方体体积的概念，掌握长方体体积的计算公式。
2. 学生能够准确计算出给定长方体的体积，并解决实际问题。
（二）过程与方法1. 学生通过观察、操作、讨论等学习活动，培养合作意识和解决问题的能力。
2. 学生能够运用体积计算方法，解决生活中的实际问题。
（三）情感态度与价值观1. 学生在学习过程中，体验数学与生活的联系，提高学习数学的兴趣。
2. 培养学生的空间观念和逻辑思维能力。
三、说教学重难点（一）重点1. 长方体体积的概念及计算公式的掌握。
2. 应用长方体体积计算公式解决实际问题。
（二）难点1. 长方体体积公式的推导过程。
2. 在实际问题中，如何确定长方体的长、宽、高，并正确计算出体积。
四、说教法（一）启发法在本节课中，我采用启发法引导学生主动探索长方体体积的计算方法。
不同于传统的讲授式教学，我通过以下步骤激发学生的思考：1. 展示实物：通过展示长方体模型，让学生直观感受长方体的三维结构。
2. 提出问题：引导学生思考如何计算长方体的体积，让学生尝试用自己的方法解决问题。
3. 分组讨论：将学生分组，让他们相互交流想法，共同探讨长方体体积的计算方法。
（二）问答法在教学过程中，我运用问答法检验学生对知识点的掌握情况。
通过以下方式实现：1. 知识回顾：通过提问方式引导学生回顾已学的面积计算知识，为新知识的学习做好铺垫。
人教版数学六年级下册第三单元《圆柱与圆锥》“等积变形”教学预案永川区望城路小学何开莲教材分析数学六年级下册第三单元《圆柱与圆锥》是整个小学阶段最后一个“几何与图形”的内容。
包括圆柱圆锥的认识、圆柱的表面积、圆柱的体积和圆锥体积。
圆柱、圆锥是人们在生产、生活中经常遇到的几何形体。
教学这一部分内容，有利于发展学生的空间观念，为进一步应用几何知识解决实际问题打下基础。
几何知识一向是小学生学习的难点。
特别是圆柱的表面积、圆柱圆锥体积的应用问题更是让学生忘而却步。
造成这种现象的原因除了计算复杂繁琐外，就是学生对立体图形的空间思维能力差。
不能根据文字叙述想象立体图形的样子，找不到解题的关键。
我的思考本次教研主题是“提高立体图形空间思维能力”。
围绕这个主题，我确定从“等积变形”思想方法来落实。
“等积变形”是小学阶段要渗透落实的重要思想方法之一。
生活中大量存在其身影。
在实际生活中有些物质如金属、橡皮泥、或装在容器里的液体等，可以通过熔铸、锻造、重塑或更换容器等改变原来的形状，在这个变换的过程中物体的形状发生了变化，体积不变，这就是形体的“等积变形”。
围绕“等积变形”，我设计“面积变形”和“体积变形（重点）”两个内容。
“面积变形”是为了使计算简便。
“体积变形”设计为稍复杂的体积变形：不规则物体体积计算（看图计算）和未完全浸没（解决问题）。
利用“化曲为直”、“动画重现”“割补剪拼”、“移花接木”“数形结合”等方式，让学生体会转化思想在数学中的广泛应用，提高学生的立体图形空间观念。
教学目标1.优化圆柱体表面积计算公式，能够解决稍复杂的体积的“等积变形”问题。
2.在不同情境中，找准“形变”与“体积不变”的关系，在变化中找不变的量，抓住解决问题的关键，从而正确解决实际问题。
3.发展空间观念，提高学生立体图形空间思维能力。
体会转化的思想价值。
教学重、难点重点：运用多种方法通过“等积变形”解决实际问题。
难点：在不同题目情境中，找准不变的量，抓住“等积”这一解题关键。
与几何图形有关的实际问题重点把握六：利用水和容器巧求物体的体积【画龙点睛】运用排水法求不规则物体的体积，最直接的方法是用容器的底面积×高度差进行计算。
【例题把握解读】【例1】小文家有一个长方体形状的鱼缸，长4分米，宽3分米，里面注入了2分米深的水。
一天，爸爸买回4条一样大小的金鱼，放入鱼缸后，水面立即上升了2厘米，你能求出每条金鱼的体积吗？解：4×3×0.2÷4＝0.6（立方分米）答：每条金鱼的体积是0.6立方分米。
【例2】一个长方体水箱，长75厘米，宽60厘米，箱内装满水，水中有一块长30厘米，宽24厘米的铁块，当取出铁块后水面下降4厘米。
铁块的高度是多少厘米？解： （1）铁块的体积： 75×60×4=18000（立方厘米） （2）铁块的高：18000÷（30×24）=25（厘米）答：铁块的高度是25厘米。
上升部分水的体积就是4条金鱼的体积。
当取出铁块后水面下降的空间就是铁块的体积，这段空间的长就是长方体水箱的长，宽就是水箱的宽，高是4厘米。
【同步演练】1.一个长方体容器，底面长是60厘米，宽38厘米，里面沉入一个长方体钢块，当钢块取出时，容器中的水面下降了5厘米。
如果长方体钢块的底面积是570平方厘米，钢块高是多少厘米？2.一块棱长为5厘米的正方体铁块，浸没在一个长方体容器的水中，取出铁块后，水面下降了1厘米，求容器的底面积是多少？3.一个长方体玻璃缸，最多可装水120升。
已知玻璃钢里面长6分米，宽4分米，现在水深3分米。
如果在玻璃缸里放入体积为15立方分米的玻璃缸，里面的水会不会溢出？为什么？4.有一个底面直径为20厘米的装有一些水的圆柱形玻璃杯，已知杯中水面距杯口3厘米。
若将一个圆锥形铅垂完全侵入杯中，水会溢出20毫升。
求铅垂的体积。
【答案与解答】１解：（６０×３８×５）÷５７０＝２０（厘米）２．【解答】水面下降的空间就是正方体铁块的体积。
第16课时长方体和正方体的体积摘自先学后教网学习内容课本第40～43页例1、例2，第45页练习七第5～8题。
学习目标探索并掌握长方体和正方体体积的计算方法，并能运用所学知识解决一些简单的实际问题。
课文讲解长方体体积计算公式，通过孩子动手操作，自主探索出来。
拿出一个长方体，问：“怎样知道一个长方体的体积是多少呢？”孩子可能会想到：把长方体切成体积是1cm3或1dm3的正方体。
但受客观条件的限制，有些物体是不能切割的，由此想到：长方形的面积有计算公式，长方体的体积也应该有计算公式。
接着，让孩子用体积为1 cm3的小正方体摆成不同的长方体，通过对摆法不同的长方体相关数据的分析，找出长方体中所含体积单位的数量与它的长、宽、高的关系，从而总结出长方体体积的计算公式，并用字母表示出来。
例1，计算长方体的体积，以巩固长方体的体积计算公式。
正方体的体积公式，让孩子根据长方体和正方体的关系，推导出来的。
在用字母表示正方体的公式时，学习“立方”的含义：三个相同的数连乘就是这个数的立方。
例2，计算正方体的体积。
在学习底面积的概念后，引导孩子将长方体和正方体的体积公式，统一成“底面积×高”，体会长方体和正方体的体积公式之间的联系。
辅导精要本书按照从特殊到一般的顺序学习正方体和长方体的体积公式。
让孩子在Word文档插入1cm的线段， 1cm3的正方体（其高度和宽度的绝对值为1.35cm）；复制出一个大正方体（棱长是2cm，其高度和宽度的绝对值为2.7cm），大正方体的体积是多少？让孩子拖动体积是1cm3的正方体，用它测量大正方体的体积，每排2个，每层2排，共有2层，有8个小正方体，体积是8cm3。
设置线段的长为2cm（下同），再拖动它测量大正方体的棱长是2cm。
想一想：大正方体的体积与棱长之间的关系。
孩子根据测量情况，可能想到：2×2×2＝8。
让孩子再复制出棱长是3cm的正方体（高度和宽度的绝对值为4.05cm），拖动体积是1cm3的正方体测量得出：3×3×3＝27；接着，复制出棱长是4cm的正方体（高度和宽度的绝对值为4.05cm），拖动体积是1cm3的正方体测量得出：4×4×4＝64。
浙江省台州市仙居县2022-2023学年六年级下学期数学期末试卷（每空1分，共25分）1．第19届亚运会在中国杭州举行，作为亚运会主场馆的杭州奥体博览城核心区占地1543700m2，横线上的数读作；核心区建筑总面积2700000m2，改写成用“万平方米”作单位的数是万平方米。
2．＝()20＝0.75＝%＝（填成数）3．认真阅读下面材料，回答问题。
中国空间站的天和核心舱长16米6分米，重22.5吨，空间站在高速运动，速度达7.68千米/秒。
2023年5月30日9时31分，神舟十六号载人飞船与天和核心舱实现自主快速交会对接，整个交会对接过程历时约6.5h。
（1）7.68中的“6”表示，这个小数的计数单位是；不改变大小，把7.68改写成以千分之一为计数单位的小数是。
（2）22.5吨＝千克6.5时＝分（3）想要清楚地看到神舟十三号、十四号、十五号及十六号飞船在轨时间的变化情况，绘成统计图比较合适。
4．如图，下面数轴上点A表示的数是。
如果点B在3处，C是AB的中点，那么点C表示的数是。
5．如果9m=n（m和n都是非0自然数），那么m和n的最小公倍数是，m：n=。
6．把一根2m长的绳子平均分成8段，第三段占全长的，每段长m。
7．一批零件有600个，师傅单独加工需10小时完成，徒弟单独加工需15小时完成，如果师徒合作需要小时完成。
8．把一个长15cm的圆柱体按3：2截成一长一短两个小圆柱体后，表面积总和增加了6.28cm2，其中较长的圆柱体的体积是cm3。
9．陈阿姨将10万元存入台州银行，存期为三年，年利率为2.75%，到期后陈阿姨可以从银行拿到利息元。
10．两个同心圆（如图），已知OA：AB的比是2：3，那么这两个圆（从小到大）的周长之比是，面积之比是。
11．观察下列图形的构成情况，按照此规律，第5个图形中●的个数为个，第n个图形中●个数有个。
（每小题1分，共10分）12．从前面看到的形状是的物体是（）。
A．B．C．D．13．下面的节日中，都在大月的是（）。
巧算不规则物体的体积
一天，我与爸爸上街散步，突然，我闻到了一股浓浓的烤山芋的香味。
闻到这香味，我的肚子就“咕咕”地叫了起来，“爸爸，我们买个山芋吃吃吧，我饿了。
”我拉着爸爸的手央求道，“买一个倒是可以，不过……”“不过什么？”我急忙问，“不过买了以后先回家，算出了山芋的体积，你才能吃。
”“行！行！”我满口答应。
回到家，我早已把要算山芋体积的事抛到了九霄云外，拿起山芋就要吃，“哎，怎么开始吃了？不是说好要算山芋的体积吗？不能说话不算数！”“啊？”我大吃一惊，“还真要算啊？”“那是当然！”爸爸说，“你要先算出山芋的体积，才能吃！”“哼！有什么了不起的，不就是算个山芋的体积吗？难道能难倒我？”我突然想起书上只有长方体、正方体体积的计算方法，而这山芋是个不规则的立体图形呀，又不能把它揉捏，怎么算呀？我托着下巴苦思冥想。
这时，我看到了桌上的一本《数学名人小故事》，我翻开它，读起了第一个小故事，这个故事是讲阿基米德利用等积代换算出了金皇冠的真假。
我灵机一动，想道：我们不是也可以用等积代换来求山芋的体积吗？于是，我拿来一个长方体的玻璃容器，量出它底面长是6厘米，宽是4厘米，我往容器中倒了10厘米的水，然后把山芋完全浸没在水中，这时，容器中的水上升了。
我又量了一下，
现在的水是15厘米，也就是说，容器中的水上升了5厘米（15-10），按照等积代换，上升水的体积就是山芋的体积，由此，可以算出红
薯的体积是：6×4×5=120（立方厘米）
“爸爸！我算出来了！我算出来了！是120立方厘米！我算出
来了！我能吃山芋了！”我一路小跑来到爸爸跟前，“哦？算出来了？”爸爸放下手中事情微笑地看着我。
“嗯，是120立方厘米。
”我自豪地说，“那你说说看是怎样算的？”爸爸又问道。
我把我实
验的过程讲给爸爸听，爸爸听了之后向我翘起了大拇指，还夸我是“数学小博士”。
其实，在生活中，许多看似不能求的东西都能通过等积代换来求，只要大家肯动脑，爱动脑，就什么难题也难不倒！
体积的变化
你知道水结成冰，冰化成水，体积会发生什么变化吗？
冬天，随着温度的下降，人们常在自来水管的外面捆扎发泡的塑料，这是为什么呢？因为，冬天自来水管里的水会结成冰水从4℃降到0℃的过程中，不是按照热胀冷缩的原理体积缩小，而是体积膨胀，这样就会使劲的撑胀自来水管，使自来水管破裂。
从物理学的角度分析，当气温低于水的凝固温度时，水就会凝固。
凝固后的水，也就是冰，密度比水小，质量却和水一样，所以它的体积增大把原本只适合装水的管子撑破了。
在玻璃瓶里的水结冰，很可能使玻璃瓶胀碎，也是这个道理。
由此可见，人们在自来水管的外面捆扎发泡塑料就是为了保温，防止水管里的水受气温下降结成冰，将水管给撑破。
春天，随着气温的上升，漂浮于河水表面的冰块融化后，就河水表面而言不会发生变化，但是从物理学的角度讲，水面便会下降。
因为冰融化的时候，从0℃升温到4℃，体积缩小。
当冰块在外力作用下全部浸入水面以下时，“等体积”的冰化成水，密度会增大，体积会变小，因此此时水面就会下降。
如果在玻璃瓶内的冰慢慢融化，玻璃瓶是不会碎的。
冬天在南方的室外，可以看到薄冰与下面的水有一些空间，就是上层的冰结冰前，体积膨胀的原因。
有时候夏天路面会向上拱起，这是路面膨胀所致。
所以，路面每隔一段距离都留有空隙。
水面上的大桥每隔一段距离就有一处连接的缝隙，道理也是如此。
电线在夏天多下垂，而在冬天则绷得较紧。
夏天，房门会胀得关不上；骑自行车的人要给轮胎放气，不然车胎会爆。
变换思维化难为易
同学们，相信大家都记得《司马光砸缸》的故事，有人落水，常规的思维方式是“让人离水”，而司马光面对紧急情况，果断地用石头把缸砸破，“让水离人”，救了小伙伴的性命，其实，在我们学校数学时，变换思维思考问题也是很重要的。
请大家看这样一道题：有一个表面积是18平方分米的正方体木块，把它截成8个大小完全相同的小正方体木块。
每个小木块的表面积是多少平方分米？
要求每个小木块的表面积是多少，按常规思维方式，应先求出小木块的棱长，而小木块的棱长一般通过大正方体木块的棱长来求得。
从已知条件中，我们只是求得大正方体每个面的面积是18÷6＝3平方分米，以我们现在的知识无法求得大正方体的棱长的，怎么办呢？不防我们变换思维来思考一下。
把一个大正方体木块截成大小相同的8个小正方体木块，怎么截？我们不难发现，分别沿着前后面、左右面、上下面的中线各截1次，这样就多出了6个面的面积，8个小正方体的表面积之和就是原来正方体的2倍，即18×2＝36(平方分米)。
那么每个小木块的表面积是：36÷8＝4.5（平方分米）
相似问题不同思考
“长方体和正方体”单元的学习已经结束了，但是有两道题仍让我记忆犹新：
第一题：把一个长8米，宽4米，高5米的长方体木块分割成棱长是2米的小正方体，最多可切成多少块？
第一题：把一个长8米，宽4米，高5米的长方体木块熔铸成棱长是2米的小正方体，最多可切成多少块？
看完两道题，我第一反应就是两道题都用长方体的体积除以小正方体的体积，但又觉得老师出这样两道一样的题目有点儿奇怪，于是就和爸爸妈妈一起开了个“研讨会”。
刚看完题目，爸爸便斩钉截铁地说：“我认为这两道题都可以用长方体的体积除以小正方体的体积算出答案。
”
妈妈看了却说：“第二题长方体铁块熔铸成小正方体，按你说的方法做没有问题，可长方体木块切割成小正方体还要考虑能不能正好分割完的问题。
”
爸爸听了妈妈的分析，想了想，点点头表示赞同：“第一题，如果沿着长、宽、高分别切割小正方体，会剩余边角料。
因为5不是2的倍数。
听了爸爸妈妈的讨论，我列出了相应的算式。
1．8÷2＝4（个）
4÷2＝2（个）
5÷2＝2（个）……1（米）
4×2×2＝16（块）
2．（8×4×5）÷（2×2×2）
＝160÷8
＝20（块）
两道相似的题目，却需要不同的思考。
通过对这两道题的讨论，我感悟到数学来源于生活，又应用于生活，解决数学问题需要联系生活实际。
推倒长方体
星期天，奇奇去木器厂找爸爸。
爸爸正在给木料刨平面，看奇奇来了，便直起腰，随手把手里的一根长方体木料立在地上。
“这块木料的体积是多少？”奇奇好奇地问。
“在下料时，要求木料的底是一个边长为10厘米的正方形，喷漆的师傅说这块木料4个侧面的面积和是1600平方厘米，你自己算一算这根长方体的体积是多少吧。
”
奇奇摸了摸比自己矮一截的长方体木料，说：
求木料的体积，应先知道木料的底面积和高。
木料的底面积是10×10＝100（平方厘米）
木料的高是1600÷4÷10＝40（厘米）
木料的体积是100×40＝4000（立方厘米）
“爸爸，对吗？”
“哈哈，没错，不过，还有更简单的方法吗？”爸爸说完，随手推倒木料，“你再看看，它的体积怎么算？”
奇奇看看躺在地上的木料，恍然大悟地说：“奥，木料这么一倒，原来的侧面变成长方体的底面，这时的长方体高10厘米，所求体积就可以这样巧妙获得：1600÷4×10＝4000（立方厘米），真是简便！”“生活中，要学会从多角度，多方位观察分析。
”爸爸指着木料说。
奇奇回到家，把今天在木器厂解决的问题记录下来，发现今天的收获真不小！。
