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平面向量专题复习一★知识梳理 ★1.平面向量基本定理和平面向量的坐标表示 (1) 平面向量基本定理：假如e 1 ， e 2 是同一平面内的两个不共线向量，那么关于这一平面内的任一直量 a ，有且只有一对实数λ， λ，使 a ＝ λe ＋ λe121 12 2此中，不共线向量e 1 ， e 2 叫做表示这一平面内全部向量 的一组基底．(2) 平面向量的坐标运算向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设 a ＝ (x 1， y 1)， b ＝ (x 2， y 2)，则a ＋b ＝ (x 1＋ x 2， y 1＋ y 2)， a － b ＝ (x 1－ x 2， y 1－ y 2)，λa ＝ (λx 1， λy 1， | a | ＝ 22 1＋ 1 [根源 学&科&网 ]) x y .(3) 平面向量共线的坐标表示设 a ＝ (x 1， y 1)， b ＝ (x 2， y 2)，此中 b ≠ 0. a ∥ b ? x 1 y 2－ x 2y 1＝ 0.3.平面向量的数目积 (1) 定义 ：已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则数目 |a ||b |cos θ叫做 向量 a 和 b 的数目积，记作 a ·b ＝ | a || b |cos θ. 规定：零向量与任一直量的数目积为 0.（ 2））向量数目积的几何意义：| b |cos θ叫做向量 b 在 a 方向上的投影 ( θ是向量 a 与 b 的夹角 )．a ·b 的几何意义是：数目 a ·b 等于 ．（2）数目积的坐标表示：设向量 a ＝ (x 1， y 1)， b ＝ (x 2， y 2)，则 a ·b ＝ x 1x 2＋ y 1y 2 ，一 基础再现考点 1. 平面向量的相关观点1.假如实数 p 和非零向量 a 与 b 知足 pa ( p 1)b0 ，则向量 a 和 b ▲．（填“共线”或“不共线” ）． 考点 2 ：平面向量的线性运算2（. 2014 高考福建卷改编） 设 M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点， O 为平行四边形 ABCDuuur uuur uuur uuur所在平面内随意一点，则 OA OB OC OD 等于(1)OM ; ( 2)2OM ; (3)3OM ; (4) 4OM考点 3：平面向量的坐标表示r rrr考点 4：平面向量的的数目积r r r r 3 r r4. 已知向量 a 和 b 的夹角为 1200 ， | a | 1,| b | ，则 | 5a b |．考点 5：平面向量的平行与垂直r r r rr5.已知平面向量 a =（ 1，－ 3）， b =（4，－ 2）， a b 与 a 垂直，则 =6. 设向量 a (1，2)， b (2，3) ，若向量 ab 与向量c ( 4， 7) 共线，则．考点 6：平面向量的应用7．已知 a ，b 是平面内两个相互垂直的单位向量，若向量 c 知足 (a － c) ·(b － c)＝ 0，则 |c|的最大值是()2 A ． 1B ． 2C ． 2D ． 21.答案：共线2.答案： 4OM分析：由已知 OAOM1CA,OB OM1DB, OC OM1AC,OD1222OMOBOC 0D4OMBD , 于是 OA2 rrrr2,13,522,1345 27 33.答案：∵ a3,5 ,b∴a 2b，，r r 2r r 2 r 2 r rr 2 12 10 1 31 32 49 ， 4.答案： 5a b5ab25 a10a ?b b = 252r r5a b 7评析：向量的模、向量的数目积的运算是常常考察的内容，难度不大，只需仔细，运算不要出现错误即可r r4, 3 r1, 3 , r r r 5.答案：因为 a b2 , a a b a∴ 4 3 3 2 0 ，即 10 10 01.6.答 案 ：a b ＝ (2,23) 则 向 量 a b 与 向 量 c( 4， 7) 共 线2 4 22377.解： 2.二 典范分析1 2 例 1(1)(2013 ·江苏高考 )设 D ， E 分别是△ ABC 的边 AB ，BC 上的点， AD ＝ AB ， BE ＝ BC.23uuur uuuruuur1若 DE ＝ λ1AB ＋λ2AC 1212(λ， λ为实数 )，则 λ＋λ的值为 ________．2uuur uuur(2) 如图，在△ ABC 中，设 AB ＝ a ， AC ＝b ，AP 的中点为 Q ，BQ 的中uuur点为 R ，CR 的中点恰为 P ，则 AP 等于 ________________ ．答案：27a ＋ 47b.uuuruuuruuur uuur例 2 (2014 ·济南调研 )如图，在△ ABC 中， AN ＝ 31NC ，P 是 BN 上的一点， 若 AP ＝m AB ＋2 uuur311 AC ，则实数 m 的值为 ________．11例 3． (2014 ·天津高考 )已知菱形 ABCD 的边长为 2，∠ BAD ＝ 120°，点 E ， F 分别在边 BC ，uuur uuur uuur uuur ＝－ 2，则 λ＋ μ＝ ( C )DC 上， BE ＝ λ BC ， DF ＝μ DC.若 AE ·AF ＝1， CE ·CF3A ． 1B ． 2 2357 C ．6D ． 12例 4．已知 |a|＝ 4， |b|＝ 8， a 与 b 的夹角是 120°.(1)计算：① |a ＋ b|，② |4a －2b|；(2)当 k 为什么值时， (a ＋ 2b)⊥ (ka － b)?1解： 由已知得， a ·b ＝ 4× 8× － 2 ＝－ 16.(1)①∵|a ＋ b|2＝ a 2＋ 2a ·b ＋ b 2＝ 16＋ 2× (－ 16)＋64＝ 48，∴|a ＋ b|＝ 43.②∵|4a － 2b|2 ＝16a 2－ 16a ·b ＋ 4b 2 ＝16× 16－16× (－ 16)＋ 4× 64＝ 768，∴|4a － 2b|＝ 16 3.(2)∵(a ＋ 2b)⊥ (ka － b)， ∴(a ＋ 2b) ·(ka － b)＝ 0，∴ka 2＋ (2k － 1)a ·b － 2b 2＝ 0，即 16k －16(2k － 1)－ 2×64＝ 0.∴k ＝－ 7.即 k ＝－ 7 时， a ＋ 2b 与 ka －b 垂直．ururur =1，urur ur例 5. 若平面向量， 知足1 | ，且以向量， 为邻边的平行四边形的面积为1urur的范围是 ________．，则与 的夹角 2uur uuur分析：如图，作 OA ＝ α， OB ＝β，此中，点 A 在单位圆上，点1B 在单位圆内，由已知获得△ ABO 的面积为 4，故点 B 在如图所示的线段上，线段与所在的直线间的距离为1，CDCDOA2则∠ AOC ＝ π，∠ AOD ＝5π，所以， α 与 β 的夹角 θ 的范6 6π5π围是 6 ， 6 .三 稳固训练1．已知向量 a( 1 ,3), b( 3 , 1) ，则以下关系正确的选项是 ( )2 22 2A 、 a bB、 ( a b) (a b) C 、 a ( a b ) D 、 a ( a b )2．若 | a b | | a b | 2 | a |，则向量 ab 与 a 的夹角为（）A ．B．6C．2D．533 63．在 ABC中， AB 2， BC3 ABC 60 ， AD 为 BC 边上的高， O 为 AD 的中，uuuruuur uuur点，若 AOAB BC ，则的值为（ ）A.2B. 3C. 5D. 134uuur6uuurr uuur uuur4．已知 O 为 ABC 内一点，知足 uuurOA OB OC 0 , AB AC 2 , 且 BAC, 则3OBC 的面积为（）- 12 -A ．1B．3 C．3 D．223235．对随意愿量 r ra, b ，以下关系式中不恒成立的是（）r r r r Br r r r A ． | a b | | a || b |． | a b | || a | | b ||r rr rrr r r r 2 r 2 C ． ( a b) 2 | a b |2D．(a b)( a b)abuuur uuur uuur 1 uuur t ， 若 P 点 是 ABC 所 在 平 面 内 一 点 ， 且6 ． 已 知 AB AC , AB t , ACuuuruuuruuuruuur uuurAB4 AC 的最大值等于（）APuuuruuur ，则 PB PCABACA ．21B．19C ．15D ．13r r r7. 向量 a,b, c 在正方形网格中的地点以下图，r r r , R ，则=.若 ca br1, r2,r r 8．已知 a2 ，b，且 a 与 b 的夹角为锐角， 则实数 的取值范围是.9．如图，在平行四边形 ABCD 中， AP ⊥ BD ，垂足为 P ，AP=3，点 Q 是△BCD 内 ( 包含界限 ) 的动点，则 uur uur . 的取值范围是AP AQ10．设 A 是平面向量的会合， a 是定向量，对 xA ，定义 f (x)x2(a x) a ．现给出以下四个向量：① a (0 , 0) ，② a2 , 2，③ a 2 ,2，④ a 1 ,3 ．442222那么关于随意x 、 y A ，使 f ( x) f ( y)x y 恒成立的向量 a 的序号是（写出知足条件的全部向量 a 的序号）．11．已知平面上三个向量 a , b ,c ，此中 a (1, 2) ，（1）若 c 2 5 ，且 a ∥ c ，求 c 的坐标；（2）若 b5，且 ( a2b) (2a b) ，求 a 与 b 夹角的余弦值 .212 ．ABC 是 边 长 为 3 的 等 边 三 角 形 ，uuur uuuruuur uuur 1 1) ,连接 EF 交 AC 于点 D ．BE 2 BA , BFBC( 2（1）当 2 uuuruuur uuur时，设 BAa, BCb ，用向量 a,b 表示 EF ；3uuur uuur（2）当为什么值时， AE FC 获得最大值，并求出最大值 .r r13．已知向量 a, b 不共线， t 为实数．uuurr uuur r uuur 1 r r（Ⅰ）若 OA a ， OB tb ， OC 3 (a b) ，当 t 为什么值时， A, B,C 三点共线；r r r rrr（Ⅱ） 若 | a | | b | 1，且 a 与 b 的夹角为 120o ，实数 x [ 1, 1 ] ，求 | axb | 的取值范围．2平面向量单元测试参照答案1． Br ( 1 , r( 3 , 1) 【分析】 Q a 3 ) ， b2 2 2 2r r3 , 3 1) ，r r3 , 3 1)a b (1a b (12222r rr r13 1 3 3 1 3 1 1 3 3 1( ab) ( ab)222244r r r r ( a b)( a b)应选 B【考点】平面向量的数目积.2． A 【分析】r rr r r r r r r试题分析： Q a b a b a, b 组成矩形两临边 Q a b 2 a 所以矩形对角线长是一边长的 2 倍，联合图形可知 a b 与 a 的夹角为3考点：向量的平行四边形法例 3． A 【分析】试题分析：∵在ABC 中， AB 2 ， BC 3， ABC 60 ， AD 为 BC 边上的高，∴BDAB sin 60 o1 uuur1 uuur, 又 O 为 AD，∴ BDBC 的 中 点 ， ∴1 uuur31 uuuruuur1 uuur uuur1 uuur 1 uuur 1 uuur 1 12 AOAD( AB BD )2 ( AB BC )2 AB6 BC , ∴2 6，故2 233选 A考点：此题考察了向量的运算评论：平面向量不单有数的特点还有形的特点，所以能够利用平面向量的几何意义或许数形联合能够求解某些问题4． B 【分析】uuur uuur uuur r uuur uuur试 题 分 析 ： OA OB OC 0 O 为 三 角 形 的 重 心 ， 由 AB AC 2 得 bc 4 S ABC13bc sin A ，2所以OBC 的面积为33考点：向量运算与解三角形5． B【分析】因为 r r r r r r r rr ra b a b cos a, b a b ，所以选项 A 正确；当 a 与 b 方向相反时，r r r r不可立，所以选项 B 错误；向量的平方等于向量的模的平方，所以选项 Ca b a b 正确； r r r r r 2 r 2，所以选项 D 正确．应选 B ．a b a ba b 【考点定位】 1、向量的模； 2、向量的数目积．【名师点晴】 此题主要考察的是向量的模和向量的数目积， 属于简单题． 解题时必定要抓住重要字眼“不” ，不然很简单出现错误．解此题需要掌握的知识点是向量的模和向量的数目rrr rrrr 2 r2积，即 a b a b cos a, b ， aa ．6． D【分析】以 A 为坐标原点，成立平面直角坐标系，以下图，则B(1,0) ， C (0, t ) ，uuurtuuur（ ， 0)+4(0,1)=(1,4)，即 P （1， 4) ，所以 =（ 1 ， -4) uuurAP PB ， PC =（ 1， t-4) ，11tuuur uuur14t 16 17 1 1 1 uuur uuur的最大值等于1 ( 4t) ，因为4t2 4t 4 ，所以PB PC t t t t13 ，当1 14t ，即 t 时取等号．t 2yCPB xA【考点】 1、平面向量数目积；2、基本不等式．【名师点睛】此题考察平面向量线性运算和数目积运算，经过建立直角坐标系，使得向量运算完整代数化，实现了数形的密切联合，同时将数目积的最大值问题转变为函数的最大值问uuurAB题，此题简单犯错的地方是对uuur 的理解不到位，进而致使解题失败．AB7． 4【分析】以向量 a，b 的交点为原点，成立直角坐标系，则 a=(-1,1) ，b=(6,2) ，c= (-1,-3) ，由 c=λa＋μ b，得1, 36 1,2, 1 ，1,16,2 ，即解得2 3, 24.yOx【考点定位】本小题考察了平面向量的线性运算、坐标运算和平面向量基本定理. 8． 1 且 4 .【分析】试题分析：因为r r r r a b 0a 1, 2 ，b 2, ，且 a 与 b 的夹角为锐角，所以，a与b不平行2 20即，解得 1 且 4 .4考点：平面向量的夹角.9．[9,18] .【分析】uur uur uur uur试题分析：由数目积的定义，有，（此中为两向量的夹角），AP AQ | AP|| AQ| cosθ| AP | uur AQ AP而 3 , | AQ|cosθ在向量上的投影，由点Q 是△ BCD内 ( 包含界限 )为向量的动点且 AP⊥ BD，所以AQ在向量AP上的投影最小时即为| AP |，此时uur uur uur uur9 ，AQ在向量AP上的投影最大时如图为| AM | （Q AP AQ | AP|| AQ| cosθ 3 3落在 C 上），由三角形AOP与三角形ACM相像且 O 为 AC中点易知| AM | 2| AP | 6 ，uur uur uur uur3 6 18 ，故填 [9,18] .此时 AP AQ | AP|| AQ|cosθuur考点：数目积的定义及| AQ|cosθ的几何意义.10．①③④【分析】试题分析：① a (0 , 0) 时， f ( x ) x ，知足 f ( x) f ( y) x y ；当a 0时，f ( x) f ( y)(x 2(a x) a) ( y 2(a y) a)x y 4( a x)( a y) 4(a2x)(a y)a要知足 f (x)f ( y)x y ，需知足 4( a x)( a y)4(a x)(a 2，所以 a2y)a 1 ，关于2 , 2，④ a1 , 32③ a， a 1 ，故答案为①③④2222考点：向量的数目积的运算律．11．（ 1） c ( 2, 4) ，或 c( 2, 4) 。
专题02 平面向量的基本定理、坐标运算及数量积一、考情分析二、题型分析(一) 平面向量的基本定理与坐标表示知识点1 平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中e 1，e 2是一组基底．例1．（1）.（2019·四川雅安中学高一月考）以下四组向量能作为基底的是（ ）A ．B ．C ．D ．12(1,2),(2,4)e e ==12(3,1),(1,3)e e =-=-12(2,1),(2,1)e e ==--121(,0),(3,0)2e e ==【答案】B【解析】对于，与共线，不能作为基底；对于，与不共线，能作为基底；对于，与共线，不能作为基底；对于，与共线，不能作为基底，故选B. （2）.（2019·江西高一期末）设是平面内的一组基底,则下面四组向量中,能作为基底的是（ ）A ．与B ．与C ．与D ．与 【答案】C【解析】由是平面内的一组基底，所以和不共线，对应选项A ：，所以这2个向量共线，不能作为基底；对应选项B ：，所以这2个向量共线，不能作为基底； 对应选项D ：，所以这2个向量共线，不能作为基底； 对应选项C ：与不共线，能作为基底.故选：C ．A 114220,e ⨯-⨯=∴2eB ()()1331180,e ⨯--⨯-=≠∴2eC ()()121120,e ⨯--⨯-=∴2eD 110030,2e ⨯-⨯=∴2e 12,e e 21e e -12e e -1223e e +1246e e --12e e +12e e -121128e e -+1214e e -12,e e 1e 2e 21e e -()12e e =--1223e e +()121462e e =---121128e e -+121124e e ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭12e e +12e e -（3）.（2020·内蒙古高三月考）在正方形中，点为内切圆的圆心，若，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】连并延长到与相交于点，设正方形的边长为1，则，设内切圆的半径为，则，可得. 设内切圆在边上的切点为，则，有，，故. 故选：DABCD O ABC ∆AO xAB yAD =+xy 1434-1412OB AC HABCD 122BH BD ==ABC ∆r)1BH OH OB r r =+=+==r =ABC ∆AB E ()1AO AE EO r AB r AD=+=-+22222112222AB AD AB AD ⎛⎛⎫-=-+=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭x =1y =-11222xy ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭【变式训练1】．（2020·北京高三开学考试）在平行四边形ABCD 中，，，，则 .（用表示） 【答案】 【解析】如图：＝－＝＋2＝＋＝－＋(－)＝－＋ ＝.故本题答案为. 【变式训练2】．（2020·辽宁高考模拟）在中，，，若，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】因为，所以点是的中点，又因为，所以点是的中点，所以有：，因此1AB e =2AC e =14NC AC =12BM MC =MN =12,e e 1225312e e -+MN CN CM CN BM CN 23BC 14AC 23AC AB 214e 212()3e e -1225312e e -+1225312e e -+ABC ∆2AB AC AD +=0AE DE +=EB xAB y AC =+3y x =3x y =3y x =-3x y =-2AB AC AD +=D BC 0AE DE +=E AD 11131()22244BE BA AE AB AD AB AB AC AB AC =+=-+=-+⨯+=-+，故本题选D. 31,344x y x y =-=⇒=-(二) 平面向量的坐标运算知识点2 平面向量的坐标运算(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)(b ≠0)，则a±b ＝(x 1±x 2，y 1±y 2)．(2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)． (3)若a ＝(x ，y )，λ∈R ，则λa ＝(λx ，λy )．(4)a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.(5)|a |＝x 21＋y 21.若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2.例2．（1）.（2020·福建高三月考）已知，若，则的坐标为（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】D【解析】设,因为,所以.所以,所以, 解得: ,.所以.故选D. （2）.（2019·湖南高一期末）已知，，则（ ） A ．2 BC ．4 D．【答案】C 【解析】由题得=（0,4）所以．故选：C(5,2),(4,3)a b =-=--230a b c -+=c 8(1,)3138(,)33-134(,)33134(,)33--(,)c x y =230a b c -+=(5,2)2(4,3)3(,)(0,0)x y ----+=(583,263)(0,0)x y ++-++=1330,430x y +=+=133x 43y =-134(,)33c =--()0,1A -()0,3B ||AB =AB ||04AB =+=【变式训练1】.（2020·湖北高一期中）已知向量，向量.（1）求向量的坐标；（2）当为何值时，向量与向量共线.【答案】（1）（2）【解析】（1）（2），∵与共线，∴∴【变式训练2】.（2018·上海市嘉定区封浜高级中学高二期中）已知，为坐标原点.(1) 求向量的坐标及；(2) 若，求与同向的单位向量的坐标． 【答案】(1) ，；（2）.【解析】 （1）,.（2）,, 与同向的单位向量. ()1,2a =()3,2b =-2a b -k ka b +2a b -()7,2-12k =-()()()21,223,27,2a b -=--=-()()()1,23,23,22ka b k k k +=+-=-+()()()21,223,27,2a b -=--=-ka b +2a b -()()72223k k +=--12k =-(3,4),(5,10)A B ---O AB AB OC OA OB =+OC ()8,6AB =-10AB =21010OC n OC ⎛==- ⎝⎭()8,6AB =-2810AB ∴==()()()3,45,102,14OC OA OB =+=--+-=-22OC ==∴OC 21010OC n OC ⎛==- ⎝⎭(三) 平面向量的数量积知识点3．平面向量数量积1．平面向量数量积的有关概念(1)向量的夹角：已知两个非零向量a 和b ，记OA→＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a 与b 的夹角．(2)数量积的定义：已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ叫作a 与b 的数量积，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ.规定：0·a ＝0.(3)数量积的几何意义：数量积a ·b 等于a 的模|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积．2．平面向量数量积的性质设a ，b 都是非零向量，e 是与b 方向相同的单位向量，θ是a 与e 的夹角，则(1)e·a ＝a·e ＝|a|cos θ.(2)当a 与b 同向时，a·b ＝|a||b|；当a 与b 反向时，a·b ＝－|a||b|.特别地，a·a ＝|a|2或|a|＝a ·a .(3)cos θ＝a·b |a||b|.(4)|a·b|≤|a||b|.3．平面向量数量积的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a ，b 的夹角为θ，则(1)a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.(2)|a |＝x 21＋y 21.若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2.(3)cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22.(4)a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.例3．（1）（2020·浙江高一期末）已知向量，，则__________，与方向相反的单位向量__________.【解析】依题意，故与方向相反的单位向量为. （2）.（2019·全国高考真题）已知=(2,3)，=(3，t )，=1，则= A ．-3B ．-2C ．2D ．3 【答案】C 【解析】 由，，得，则，．故选C【变式训练1】.（2019·安徽高三月考（理））已知，，均为单位向量，与的夹角为，则的最大值为( ) ()3,4a =()1,2b =-2a b +=a c =34,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭()21,8a b +=2218a b +=+=a c ()()()3,43,434,5553,4a a -----⎛⎫===-- ⎪---⎝⎭AB AC ||BC AB BC ⋅(1,3)BC AC AB t =-=-211BC ==3t =(1,0)BC =(2,3)(1,0)21302AB BC ==⨯+⨯=a b c a b 60()(2)c a c b +⋅-A ．BC ．2D ． 3【答案】B 【解析】设与的夹角为，因为，，所以，所以，所以.故选：B ．【变式训练2】.（2020·四川高一月考）已知，若，则实数=__________；=__________. 【答案】0 0【解析】∵，∴，∵，∴，解得． 故答案为．【变式训练3】.（2019·江苏高考真题）如图，在中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点.若，则的值是_____. 32c 2a b -θ222|2|443a b a a b b -=-⋅+=|2|3a b -=2()(2)(2)21|||2|cos 1c a c b cc a b a b c a b θ+⋅-=+⋅--⋅=+⋅--()(2)3cos c a c b θ+⋅-=max =cos 1θ=()()1,3,1,2a b ==-0a b λμ+=λμ()()1,3,1,2a b ==-()()()1,31,2,32a b λμλμλμλμ+=+-=+-0a b λμ+=0320λμλμ+=⎧⎨-=⎩0λμ=⎧⎨=⎩0,0λμ==ABC O 6AB AC AO EC ⋅=⋅ABAC. 【解析】如图，过点D 作DF //CE ，交AB 于点F ，由BE =2EA ，D 为BC 中点，知BF =FE =EA ,AO =OD .， 得即故. 【变式训练4】.（2020·浙江高一期中）已知为单位向量，. （1）求；（2）求与的夹角的余弦值；()()()3632AO EC AD AC AE AB AC AC AE =-=+-()223131123233AB AC AC AB AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫=+-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22223211323322AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭2213,22AB AC =3,AB AC =AB AC=,a b 12a b ⋅=2a b +2a b +b θ【答案】（1；（2）.【解析】由题得； 由题得与的夹角的余弦值为故答案为：（1；（2.7222=4++4=5+4a b a b a b +⋅⋅2a b +b θ(2)2cos |2|||7a b b a b a b b θ+⋅⋅====+(四) 平面向量的应用（平行与垂直）知识点1 平面向量的平行与垂直若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)(b ≠0)，则a±b ＝(x 1±x 2，y 1±y 2)．(1)如果a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件为x 1y 2－x 2y 1＝0.a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2＝y 1y 2，因为x 2，y 2有可能等于0.判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后再按两向量共线进行判定．(2)如果a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.x 1y 2－x 2y 1＝0与x 1x 2＋y 1y 2＝0不同，前者是两向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)共线的充要条件，后者是它们垂直的充要条件．例4．(1)（2020·江西高一期末）已知向量，，若，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】向量，，且，，解得. 故选：D.(2)．(多选题)已知向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，c =(m ﹣2，﹣n )，其中m ，n 均为正数，且(a b -)∥c ，下列说法正确的是（ ）A ．a 与b 的夹角为钝角()1,a m =()2,5b =//a b m =152-25-52()1,a m =()2,5b =//a b 25m ∴=52m =B ．向量a 在bC ．2m +n =4D ．mn 的最大值为2 【答案】CD对于A ，向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，则2110a b ⋅=-=>，则,a b 的夹角为锐角，错误；对于B ，向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，则向量a 在b 方向上的投影为22a b b⋅=，错误； 对于C ，向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，则a b -= (1，2)，若(a b -)∥c ，则(﹣n )=2(m ﹣2)，变形可得2m +n =4，正确；对于D ，由C 的结论，2m +n =4，而m ，n 均为正数，则有mn 12= (2m •n )12≤ (22m n +)2=2，即mn 的最大值为2，正确； 故选：CD.【变式训练1】（2020·浙江高一期中）已知向量满足.若，则 _______； ______.【答案】【解析】因为，所以（1）×m 4=0,所以m= 4.所以故答案为：(1). (2).【变式训练2】．（2020广东高一期末）已知， ;(1) 若，求的值；,a b (1,2),(2,)a b m =-=//a b m =||b =4-//a b ---2||=2+b =（4-)cos ,1(),sin ,1(θθ==b aR ∈θ)0,2(=+b a θθθcos sin 2sin 2+（2）若，，求的值.【答案】（1）（2） 【解析】（1），∴， ……1分∴ ； ……3分∴. ……7分（2）， ……8分∴，两边平方得， ……10分 ，且， ∴∴， ……12分 ∴. ……分)51,0(=-b a(,2)θππ∈θθcos sin +12-75-)cos ,1(),sin ,1(θθ==b a)0,2()cos sin ,2(=+=+θθb asin cos 0,tan 1θθθ+=∴=-1tan tan 2tan cos sin cos sin 2sin cos sin 2sin 222222++=++=+θθθθθθθθθθθ21-=)51,0()cos sin ,0(=-=-θθb a51cos sin =-θθ2512cos sin =θθ(,2)θππ∈02512cos sin >=θθ⎪⎭⎫⎝⎛∈ππθ23,0cos sin <+θθ57cos sin 21cos sin -=+-=+θθθθ14。
第六章 平面向量及其应用6.3 平面向量基本定理及坐标表示6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示教学内容前面已经找出两个向量共线的条件，本节则进一步地把向量共线的条件转化为坐标表示，只要将向量用坐标表示出来，再运用向量相等的条件就可以得出平面向量共线的坐标表示。
一、教学目标1、掌握向量数乘的坐标运算法则及简单应用.2、体验向量的几何形式与坐标表示的数形转化，培养学生数学运算的核心素养.二、教学重点、难点重点：向量数乘的坐标运算法则难点：向量数乘的坐标运算法则的简单应用.三、学法与教学用具1、学法：学生在老师的引导下，通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而完成本节课的教学目标.2、教学用具：多媒体设备等四、教学过程（一）创设情景，揭示课题【向量a 的坐标表示为(,)a x y =.1212(,)a b x x y y +=++ 1212(,)a b x x y y -=--已知1122(,),(,)A x y B x y ，则2121(,)AB x x y y =--(1,0),(0,1),0(0,0)i j ===若1122(,),(,)a x y b x y ==，则1212x x a b y y =⎧=⇔⎨=⎩【向量共线定理】向量(0)a a ≠与b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使得b a λ=.【探究1】已知(,)a x y =，那么a λ=？（二）阅读精要，研讨新知【发现】()a xi y j xi y j λλλλ=+=+，即(,)a x y λλλ=【结论】实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.【例题研讨】例6 已知(2,1),(3,4)a b ==-，求34a b +的坐标.解：34a b +3(2,1)4(3,4)(6,3)(12,16)(6,19)=+-=+-=-【探究2】如何用坐标表示两个向量共线（平行）的条件?【发现】设1122(,),(,)a x y b x y ==，其中0b ≠.因为向量,a b 共线的充要条件是存在实数λ，使a b λ=.所以1122(,)(,)x y x y λ=1212x x y y λλ=⎧⇒⎨=⎩，消去λ，得12210x y x y -=【结论】向量,a b 共线（平行）的充要条件是12210x y x y -=.【例题研讨】阅读领悟课本31P 例7、例8、例9（用时约为1-3分钟，教师作出准确的评析.）例7 已知(4,2),(6,)a b y ==，且//a b ，求y .解：因为//a b ，所以4260y -⨯=，所以3y =例8已知(1,1),(1,3),(2,5)A B C --，判断,,A B C 三点之间的位置关系. 解：作图观察，猜想,,A B C 三点共线，然后证明. 因为(2,4),(3,6)AB AC == 因为26340⨯-⨯= 所以//AB AC又直线,AB AC 有公共点A所以,,A B C 三点共线.例9设P 是线段12P P 上的一点，点111222(,),(,)P x y P x y . （1）当P 是线段12P P 的中点时，求点P 的坐标； （2）当P 是线段12P P 的一个三等分点时，求点P 的坐标. 解：（1） 如图6.3-16，P 是线段12P P 的中点所以1212121()(,)222x x y y OP OP OP ++=+= 所以点P 的坐标是1212(,)22x x y y ++---中点坐标公式（2）如图 6.3-17,当点P 是线段12P P 的一个三等分点时，有两种情况，即1212PP PP =或122PP PP =.如果1212PP PP =，那么11OP OP PP =+11213OP PP =+1211()3OP OP OP=+- 1212122221(,)3333x x y y OP OP ++=+=，P 点坐标为121222(,)33x x y y ++. 同理，如果122PP PP =，那么P 点坐标为121222(,)33x x y y ++.【小组互动】完成课本33P 练习1、2、3、4、5，同桌交换检查，老师答疑.（三）探索与发现、思考与感悟1. 已知向量(3,2),(5,1)OA OB =-=--，则向量12AB 的坐标是（ ） A.1(4,)2- B. 1(4,)2- C.3(1,)2-- D.(8,1) 解：1111()(53,12)(4,)2222AB OB OA =-=---+=-，故选A2. 已知向量(1,2),(2,3),(3,4)a b c ===,且12c a b λλ=+，则12,λλ的值分别为 ( ) A. 2,1- B. 12-， C. 21-，D. 1,2-解：因为12c a b λλ=+，所以121212(3,4)(1,2)(2,3)(2,23)λλλλλλ=+=++ 所以121223234λλλλ+=⎧⎨+=⎩解得121,2λλ=-=。
平面向量知识点回顾一、 向量的概念（1）向量的基本要素：大小和方向.（2）向量的表示：几何表示法AB ；字母表示：a ；坐标表示法(,)x i y j x y α→→=⋅+⋅=. （3）向量的长度：即向量的大小，记作2a x y =+（4）特殊的向量：零向量a ＝O｜a ｜＝O . 单位向量a 为单位向量｜a ｜＝1.（5）相等的向量：大小相等，方向相同12112212(,)(,)x x x y x y y y =⎧=⇔⎨=⎩（6） 相反向量：0a b b a a b =−⇔=−⇔+=（7）平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作a ∥b .平行向量也称为共线向量.二、向量的运算法则（1）加法a b b a +=+()()a b c a b c ++=++AB BC AC +=注：向量的加法口诀：首尾相连，首连尾，方向指向末向量。
（2）减法()a b a b −=+− （减法可以变成加法来计算，因此加法的相关运算法则减法也适用）AB BA =− OB OA AB −=注：向量的减法口诀：首首相连，尾连尾，方向指向被减向量。
（3）数乘()()a a λμλμ=()a a a λμλμ+=+()a b a b λλλ+=+//a b a b λ⇔=注：1.a λ是一个向量,满足:a a λλ=；2.λ>0时, a λ与a 同向; λ<0时, a λ与a 异向; λ=0时,0a λ=.（4）数量积a b b a ⋅=⋅()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅()22a a =a b a b ⋅≤注：1.a b ⋅是一个数；2.00a b ==或时，0a b ⋅=；3. 00a b ≠≠且时，()cos ,,a b a b a b θθ⋅=是之间的夹角三、向量的直角坐标系运算法则 ()11,a x y =，()22,b x y =（1） 加法()1212,a b x x y y +=++（2） 减法()1212,a b x x y y −=−−（3） 数乘()11,a x y λλλ=（4） 数量积1212a b x x y y ⋅=+21a x y =+四、重要的定理以及公式（应用）（1）平面向量基本定理1e ，2e 是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数12,λλ，使112a e e λλ=+.注：1.我们把不是共线的1e ，2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；2.基底不是唯一的，关键是不是共线；3.由定理可以将平面内任一a 在给出基底1e ，2e 的条件下进行分解；4.基底给定时，分解形式是唯一的，12,λλ是被a 、1e ，2e 唯一确定的数量。
