2020年高考数学理科一轮复习课后限时集训64 参数方程
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课后限时集训(六十)(建议用时:60分钟) A 组 基础达标1.已知P 为半圆C :⎩⎪⎨⎪⎧x =cos θ,y =sin θ(θ为参数,0≤θ≤π)上的点,点A 的坐标为(1,0),O 为坐标原点,点M 在射线OP 上,线段OM 与C 的弧AP 的长度均为π3.(1)以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,求点M 的极坐标; (2)求直线AM 的参数方程.[解] (1)由已知,点M 的极角为π3,且点M 的极径等于π3,故点M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3,π3. (2)由(1)知点M 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π6,3π6,A (1,0).故直线AM 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =1+⎝ ⎛⎭⎪⎫π6-1t ,y =3π6t(t 为参数).2.(2019·南昌模拟)已知直线l 的极坐标方程为ρsin θ+π4=22,现以极点O 为原点,极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系,曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =-1+2cos φy =-2+2sin φ(φ为参数).(1)求直线l 的直角坐标方程和曲线C 1的普通方程;(2)若曲线C 2为曲线C 1关于直线l 的对称曲线,点A ,B 分别为曲线C 1、曲线C 2上的动点,点P 的坐标为(2,2),求|AP |+|BP |的最小值.[解] (1)∵ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ+π4=22,∴22ρcos θ+22ρsin θ=22,即ρcos θ+ρsin θ=4,∴直线l 的直角坐标方程为x +y -4=0.∵⎩⎪⎨⎪⎧x =-1+2cos φy =-2+2sin φ,∴曲线C 1的普通方程为(x +1)2+(y +2)2=4.(2)∵点P 在直线x +y =4上,根据对称性,|AP |的最小值与|BP |的最小值相等, 又曲线C 1是以(-1,-2)为圆心,半径r =2的圆,∴|AP |min =|PC 1|-r =2+12+2+22-2=3,则|AP |+|BP |的最小值为2×3=6.3.已知曲线C :x 24+y 29=1,直线l :⎩⎪⎨⎪⎧x =2+t ,y =2-2t(t 为参数).(1)写出曲线C 的参数方程,直线l 的普通方程;(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线,交l 于点A ,求|PA |的最大值与最小值.[解] (1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =2cos θ,y =3sin θ(θ为参数).直线l 的普通方程为2x +y -6=0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ,3sin θ)到l 的距离为d =55|4cos θ+3sin θ-6|, 则|PA |=d sin 30°=255|5sin(θ+α)-6|,其中α为锐角,且tan α=43.当sin(θ+α)=-1时,|PA |取得最大值,最大值为2255. 当sin(θ+α)=1时,|PA |取得最小值,最小值为255.4.已知直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =m -12t ,y =32t (其中t 为参数,m 为常数).以原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为ρ=2sin θ,直线与曲线C 交于A ,B 两点.(1)若|AB |=152,求实数m 的值; (2)若m =1,点P 的坐标为(1,0),求1|PA |+1|PB |的值.[解] (1)曲线C 的极坐标方程可化为ρ2=2ρsin θ, 转化为普通方程可得x 2+y 2=2y ,即x 2+(y -1)2=1. 把⎩⎪⎨⎪⎧x =m -12t ,y =32t代入x 2+(y -1)2=1并整理可得t 2-(m +3)t +m 2=0,(*)由条件可得Δ=(m +3)2-4m 2>0,解得-33<m < 3. 设A ,B 对应的参数分别为t 1,t 2,则t 1+t 2=m +3,t 1t 2=m 2≥0,|AB |=|t 1-t 2|=t 1+t 22-4t 1t 2=m +32-4m 2=152, 解得m =32或36. (2)当m =1时,(*)式变为t 2-(1+3)t +1=0,t 1+t 2=1+3,t 1t 2=1,由点P 的坐标为(1,0)知P 在直线上,可得1|PA |+1|PB |=1|t 1|+1|t 2|=|t 1|+|t 2||t 1t 2|=|t 1+t 2||t 1t 2|=1+ 3. B 组 能力提升1.(2019·湖南长郡中学联考)已知曲线C 1:⎩⎪⎨⎪⎧x =-4+cos t ,y =3+sin t (t 为参数),C 2:⎩⎪⎨⎪⎧x =8cos θ,y =3sin θ(θ为参数).(1)化C 1,C 2的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线; (2)若C 1上的点P 对应的参数为t =π2,Q 为C 2上的动点,求PQ 的中点M 到直线C 3:⎩⎪⎨⎪⎧x =3+2t ,y =-2+t (t 为参数)距离的最小值.[解] (1)由C 1消去参数t ,得曲线C 1的普通方程为(x +4)2+(y -3)2=1. 同理曲线C 2的普通方程为x 264+y 29=1.C 1表示圆心是(-4,3),半径是1的圆,C 2表示中心是坐标原点,焦点在x 轴上,长半轴长是8,短半轴长是3的椭圆.(2)当t =π2时,P (-4,4),又Q (8cos θ,3sin θ).故M ⎝ ⎛⎭⎪⎫-2+4cos θ,2+32sin θ, 又C 3的普通方程为x -2y -7=0, 则M 到直线C 3的距离d =55|4cos θ-3sin θ-13| =55|3sin θ-4cos θ+13| =55|5sin(θ-φ)+13|⎝⎛⎭⎪⎫其中φ满足tan φ=43. 所以d 的最小值为855.2.(2019·安徽芜湖期末)平面直角坐标系中,直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x =t +1,y =3t +1(t 为参数).以原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为ρ=2cos θ1-cos 2θ. (1)写出直线l 的极坐标方程与曲线C 的直角坐标方程;(2)已知与直线l 平行的直线l ′过点M (2,0),且与曲线C 交于A ,B 两点,试求|AB |.[解] (1)由l 的参数方程⎩⎨⎧x =t +1,y =3t +1得其普通方程为3x -y -3+1=0.将x =ρcosθ,y =ρsin θ代入直线方程得3ρcos θ-ρsin θ-3+1=0.由ρ=2cos θ1-cos 2θ可得ρ2(1-cos 2θ)=2ρcos θ,即ρ2sin 2θ=2ρcos θ,故曲线C 的直角坐标方程为y 2=2x .(2)∵直线l 的倾斜角为π3,∴直线l ′的倾斜角也为π3.又直线l ′过点M (2,0),∴直线l ′的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =2+12t ′,y =32t ′(t ′为参数),将其代入曲线C 的直角坐标方程可得3t ′2-4t ′-16=0,设点A ,B 对应的参数分别为t ′1,t ′2.由根与系数的关系知t ′1t ′2=-163,t ′1+t ′2=43,∴|AB |=|t ′1-t ′2|=t ′1+t ′22-4t ′1t ′2=⎝ ⎛⎭⎪⎫432+16×43=4133.。
广东省2020届高三数学极坐标与参数方程一轮复习典型题专项训练极坐标与参数方程1、(广州市2018高三一模)已知过点(),0P m 的直线l的参数方程是,21,2x m y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数),以平面直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=.(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程;(2)若直线l 和曲线C 交于A ,B 两点,且2PA PB ⋅=,求实数m 的值.2、(珠海市2019届高三9月摸底考试)在直角坐标系xOy 中,直线l过定点(1P -,且与直线OP 垂直.以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos 0ρθθ-=. (1)求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的参数方程; (2)设直线l 与曲线C 交于A B 、二点,求11||||PA PB +的值.3、(华附、省实、广雅、深中2019届高三上学期期末联考)在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为cos 2sin x a t y t =⎧⎨=⎩(t 为参数,0a >),以坐标原点O 为极点,x轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭.(1)设P 是曲线C 上的一个动点,当a =求点P 到直线l 的距离的最大值; (2)若曲线C 上所有的点都在直线l 的右下方,求实数a 的取值范围.4、(惠州市2019届高三第二次(10月)调研)在平面直角坐标系 xOy 中, 直线 l 的参数方程为:(t 为参数,0 ≤α < π ), 以O 为极点, x 轴的正半轴为极轴, 建立极坐标系, 曲线C 的极坐标方程为 ρ = 6sin θ. (1)求曲线C 的直角坐标方程;(2)若点 P (1,2) , 设曲线C 与直线l 交于点 A B , , 求|P A |+|PB |的最小值.5、(深圳市宝安区2019届高三9月调研)在平面直角坐标系xOy 中,以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,l 的极坐标方程为(cos 2sin )10ρθθ+=,C 的参数方程为3cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数,R θ∈). (1)写出l 和C 的普通方程;(2)在C 上求点M ,使点M 到l 的距离最小,并求出最小值.6、(广州市2019年普通高中毕业班综合测试(二))在直角坐标系xOy 中,倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=ααsin 3,cos 2t y t x (t 为参数).在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 的极坐标方程为ρ2= 2p cos θ+8. (1)求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程; (2)若直线l 与曲线C 交于A ,B 两点,且求直线l 的倾斜角.7、(揭阳市2019届高三第二次模拟)在直角坐标系xOy 中,直线1:C y =,圆()()222:125C x y -+-=,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求12,C C 的极坐标方程;(2)若直线3C 的极坐标方程为()R 6=∈πθρ,设1C 与2C 的交点为,,O A 圆2C 与3C 的交点为,O B ,求OAB ∆的面积.8、(湛江市2019届高三调研)在平面直角坐标系xOy 中,已知曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin cos 3y x (θ为参数),以O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程为24)4sin(=+πθρ.(Ⅰ)求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程;(Ⅱ)设P 为曲线1C 上的动点,求点P 到2C 上点的距离的最小值,并求此时点P 的坐标.9、(中山一中等七校2019届高三第二次(11月)联考)在平面直角坐标系中,曲线:(为参数,实数),曲线:(为参数,实数).在以为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线:(,)与交于两点,与交于两点.当时,;当时,.(Ⅰ) 求,的值; (Ⅱ) 求的最大值.10、(肇庆市2019届高三上学期期末)在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程(θ为参数),以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标xOy 1C cos sin x a a y a ϕϕ=+⎧⎨=⎩ϕ0a >2C cos sin x b y b b ϕϕ=⎧⎨=+⎩ϕ0b >O x l θα=0ρ≥0α≤2π≤1C O A 、2C O B 、0α=1OA =2πα=2OB =a b 22OA OA OB +⋅系,直线1l 的极坐标方程为,将直线1l 绕极点O 逆时针旋转得到直线2l . (1)求C 和2l 的极坐标方程;(2)设直线1l 和曲线C 交于,O A 两点,直线2l 和曲线C 交于,O B 两点,的 最大值.11、(珠海市2019届高三上学期期末)在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为:22cos 2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩(ϕ为参数),以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为4sin ρθ=. (1)求曲线C 1的普通方程和极坐标方程;(2)已知曲线C 3的极坐标方程为(0,)R θααπρ=<<∈,点A 是曲线C 3与C 1的交点,点B 是曲线C 3与C 2的交点,且A ,B 均异于原点O ,且|AB |=α的值.12、(广州市2019届高三12月调研考试)已知曲线C 的极坐标方程为.以极点O 为原点,极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系.(1)求直线12,l l 的直角坐标方程以及曲线C 的参数方程;(2)若直线1l 与曲线C 交于,O A 两点,直线2l 与曲线C 交于,O B 两点,求AOB ∆的面积.13、(惠州市2019届高三第三次调研考试)在直角坐标系xOy 中,曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧+==ty tx 6(t 为参数),以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程为22232cos 3ρρθ-=.(1)写出曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程; (2)已知点P 是曲线2C 上的动点,求点P 到曲线1C 的最小距离.14、(江门市 2019届普通高中高三调研)在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方(t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=.(1)写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程;(2)证明:直线l 与曲线C 相交于A B 、两点,并求点(1,2)M 到A B 、两点的距离之积.15、(揭阳市2019届高三上学期期末)已知曲线C 的参数方程为22x ty t =⎧⎨=⎩(t 为参数),以原点O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,过极点的两射线1l 、2l 相互垂直,与曲线C 分别相交于A 、B 两点(不同于点O ),且1l 的倾斜角为锐角α.(1)求曲线C 和射线2l 的极坐标方程;(2)求△OAB 的面积的最小值,并求此时α的值.16、(雷州市2019届高三上学期期末)在平面直角坐标系xoy 中,圆1C 的参数方程为222sin x cos y αα=⎧⎨=+⎩,(α为参数),以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆2C 的极坐标方程为(Ⅰ)求圆1C 的普通方程和圆2C 的直角坐标方程; (Ⅱ)判断圆1C 与圆2C 的位置关系.17、(汕头市2019届高三第一次(3月)模拟考试)在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为2cos 2sin x y a αα=⎧⎨=+⎩(α为参数,0a >).以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知直线l 的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭(1)设P 是曲线C 上的一个动点,若点P 到直线l 的距离的最大值为2+,求a 的值;(2)若曲线C 上任意一点(,)x y 都满足2y x +≥,求a 的取值范围.18、(广东省2019届高三3月一模)在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为,(θ为参数)已知点Q (4,0),点P 是曲线C l 上任意一点,点M 为PQ 的中点,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求点M 的轨迹C 2的极坐标方程;(2)已知直线l :y =kx 与曲线C 2交于A ,B 两点,若,求k 的值.19、(广州市2019届高三3月综合测试(一))在直角坐标系xOy 中,曲线1C 的参数方程为2cos sin x ty t =⎧⎨=⎩(t 为参数)。
课后限时集训(六十)(建议用时:60分钟) A 组 基础达标1.已知P 为半圆C :⎩⎪⎨⎪⎧x =cos θ,y =sin θ(θ为参数,0≤θ≤π)上的点,点A 的坐标为(1,0),O 为坐标原点,点M 在射线OP 上,线段OM 与C 的弧AP 的长度均为π3.(1)以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,求点M 的极坐标; (2)求直线AM 的参数方程.[解] (1)由已知,点M 的极角为π3,且点M 的极径等于π3,故点M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3,π3. (2)由(1)知点M 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π6,3π6,A (1,0). 故直线AM 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =1+⎝ ⎛⎭⎪⎫π6-1t ,y =3π6t(t 为参数).2.(2019·南昌模拟)已知直线l 的极坐标方程为ρsin θ+π4=22,现以极点O 为原点,极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系,曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =-1+2cos φy =-2+2sin φ(φ为参数).(1)求直线l 的直角坐标方程和曲线C 1的普通方程;(2)若曲线C 2为曲线C 1关于直线l 的对称曲线,点A ,B 分别为曲线C 1、曲线C 2上的动点,点P 的坐标为(2,2),求|AP |+|BP |的最小值.[解] (1)∵ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ+π4=22,∴22ρcos θ+22ρsin θ=22,即ρcos θ+ρsin θ=4,∴直线l 的直角坐标方程为x +y -4=0.∵⎩⎪⎨⎪⎧x =-1+2cos φy =-2+2sin φ,∴曲线C 1的普通方程为(x +1)2+(y +2)2=4.(2)∵点P 在直线x +y =4上,根据对称性,|AP |的最小值与|BP |的最小值相等, 又曲线C 1是以(-1,-2)为圆心,半径r =2的圆, ∴|AP |min =|PC 1|-r =+2++2-2=3,则|AP |+|BP |的最小值为2×3=6.3.已知曲线C :x 24+y 29=1,直线l :⎩⎪⎨⎪⎧x =2+t ,y =2-2t(t 为参数).(1)写出曲线C 的参数方程,直线l 的普通方程;(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线,交l 于点A ,求|PA |的最大值与最小值.[解] (1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =2cos θ,y =3sin θ(θ为参数).直线l 的普通方程为2x +y -6=0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ,3sin θ)到l 的距离为d =55|4cos θ+3sin θ-6|,则|PA |=d sin 30°=255|5sin(θ+α)-6|,其中α为锐角,且tan α=43.当sin(θ+α)=-1时,|PA |取得最大值,最大值为2255. 当sin(θ+α)=1时,|PA |取得最小值,最小值为255.4.已知直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =m -12t ,y =32t (其中t 为参数,m 为常数).以原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为ρ=2sin θ,直线与曲线C 交于A ,B 两点.(1)若|AB |=152,求实数m 的值; (2)若m =1,点P 的坐标为(1,0),求1|PA |+1|PB |的值. [解] (1)曲线C 的极坐标方程可化为ρ2=2ρsin θ, 转化为普通方程可得x 2+y 2=2y ,即x 2+(y -1)2=1.把⎩⎪⎨⎪⎧x =m -12t ,y =32t代入x 2+(y -1)2=1并整理可得t 2-(m +3)t +m 2=0,(*)由条件可得Δ=(m +3)2-4m 2>0,解得-33<m < 3. 设A ,B 对应的参数分别为t 1,t 2,则t 1+t 2=m +3,t 1t 2=m 2≥0,|AB |=|t 1-t 2|=t 1+t 22-4t 1t 2=m +32-4m 2=152, 解得m =32或36. (2)当m =1时,(*)式变为t 2-(1+3)t +1=0,t 1+t 2=1+3,t 1t 2=1,由点P 的坐标为(1,0)知P 在直线上,可得1|PA |+1|PB |=1|t 1|+1|t 2|=|t 1|+|t 2||t 1t 2|=|t 1+t 2||t 1t 2|=1+ 3. B 组 能力提升1.(2019·湖南长郡中学联考)已知曲线C 1:⎩⎪⎨⎪⎧x =-4+cos t ,y =3+sin t(t 为参数),C 2:⎩⎪⎨⎪⎧x =8cos θ,y =3sin θ(θ为参数).(1)化C 1,C 2的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线;(2)若C 1上的点P 对应的参数为t =π2,Q 为C 2上的动点,求PQ 的中点M 到直线C 3:⎩⎪⎨⎪⎧x =3+2t ,y =-2+t (t 为参数)距离的最小值.[解] (1)由C 1消去参数t ,得曲线C 1的普通方程为(x +4)2+(y -3)2=1. 同理曲线C 2的普通方程为x 264+y 29=1.C 1表示圆心是(-4,3),半径是1的圆,C 2表示中心是坐标原点,焦点在x 轴上,长半轴长是8,短半轴长是3的椭圆.(2)当t =π2时,P (-4,4),又Q (8cos θ,3sin θ).故M ⎝⎛⎭⎪⎫-2+4cos θ,2+32sin θ,又C 3的普通方程为x -2y -7=0, 则M 到直线C 3的距离d =55|4cos θ-3sin θ-13| =55|3sin θ-4cos θ+13| =55|5sin(θ-φ)+13|⎝⎛⎭⎪⎫其中φ满足tan φ=43. 所以d 的最小值为855.2.(2019·安徽芜湖期末)平面直角坐标系中,直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x =t +1,y =3t +1(t为参数).以原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为ρ=2cos θ1-cos 2θ. (1)写出直线l 的极坐标方程与曲线C 的直角坐标方程;(2)已知与直线l 平行的直线l ′过点M (2,0),且与曲线C 交于A ,B 两点,试求|AB |.[解] (1)由l 的参数方程⎩⎨⎧x =t +1,y =3t +1得其普通方程为3x -y -3+1=0.将x =ρcos θ,y =ρsin θ代入直线方程得3ρcos θ-ρsin θ-3+1=0.由ρ=2cos θ1-cos 2θ可得ρ2(1-cos 2θ)=2ρcos θ,即ρ2sin 2θ=2ρcos θ,故曲线C 的直角坐标方程为y 2=2x .(2)∵直线l 的倾斜角为π3,∴直线l ′的倾斜角也为π3.又直线l ′过点M (2,0),∴直线l ′的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =2+12t ′,y =32t ′(t ′为参数),将其代入曲线C 的直角坐标方程可得3t ′2-4t ′-16=0,设点A ,B 对应的参数分别为t ′1,t ′2.由根与系数的关系知t ′1t ′2=-163,t ′1+t ′2=43,∴|AB |=|t ′1-t ′2|=t ′1+t ′22-4t ′1t ′2=⎝ ⎛⎭⎪⎫432+16×43=4133.。
课时规范练(A)课时规范练1集合的概念与运算课时规范练3命题及其关系、充要条件课时规范练5函数及其表示课时规范练7函数的奇偶性与周期性课时规范练9指数与指数函数课时规范练11函数的图象课时规范练13函数模型及其应用课时规范练15利用导数研究函数的单调性课时规范练17定积分与微积分基本定理课时规范练19同角三角函数基本关系式及诱导公式课时规范练21简单的三角恒等变换课时规范练23函数y=A sin(ωx+φ)的图象及三角函数的应用课时规范练25平面向量的概念及线性运算课时规范练27平面向量的数量积及其应用课时规范练29数列的概念课时规范练31等比数列课时规范练33二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课时规范练35合情推理与演绎推理课时规范练37数学归纳法课时规范练39空间几何体的表面积与体积课时规范练41空间直线、平面的平行关系课时规范练43空间向量及其运算课时规范练45直线的倾斜角、斜率与直线的方程课时规范练47圆的方程课时规范练49椭圆课时规范练51抛物线课时规范练53算法初步课时规范练55用样本估计总体课时规范练57分类加法计数原理与分步乘法计数原理课时规范练59二项式定理课时规范练61古典概型与几何概型课时规范练63二项分布与正态分布课时规范练65极坐标方程与参数方程课时规范练67绝对值不等式课时规范练(B)课时规范练2简单不等式的解法课时规范练4简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词课时规范练6函数的单调性与最大(小)值课时规范练8幂函数与二次函数课时规范练10对数与对数函数课时规范练12函数与方程课时规范练14导数的概念及运算课时规范练16利用导数研究函数的极值、最大(小)值课时规范练18任意角、弧度制及任意角的三角函数课时规范练20两角和与差的正弦、余弦与正切公式及二倍角公式课时规范练22三角函数的图象与性质课时规范练24余弦定理、正弦定理及应用举例课时规范练26平面向量基本定理及向量坐标运算课时规范练28复数课时规范练30等差数列课时规范练32数列求和课时规范练34基本不等式及其应用课时规范练36直接证明与间接证明课时规范练38空间几何体的结构及其三视图、直观图课时规范练40空间点、直线、平面之间的位置关系课时规范练42空间直线、平面的垂直关系课时规范练44空间几何中的向量方法课时规范练46点与直线、两条直线的位置关系课时规范练48直线与圆、圆与圆的位置关系课时规范练50双曲线课时规范练52直线与圆锥曲线的位置关系课时规范练54随机抽样课时规范练56变量间的相关关系、统计案例课时规范练58排列与组合课时规范练60随机事件的概率课时规范练62离散型随机变量及其分布列课时规范练64离散型随机变量的均值与方差课时规范练66极坐标方程与参数方程的应用课时规范练68不等式的证明解答题专项解答题专项一函数与导数的综合问题第1课时利用导数证明不等式第2课时利用导数研究不等式恒(能)成立问题第3课时利用导数研究函数的零点解答题专项二三角函数与解三角形解答题专项三数列解答题专项四立体几何中的综合问题解答题专项五直线与圆锥曲线第1课时圆锥曲线中的最值(或范围)问题第2课时圆锥曲线中的定点(或定值)问题第3课时圆锥曲线中的存在性(或证明)问题解答题专项六概率与统计单元质检卷单元质检卷一集合与常用逻辑用语单元质检卷二函数单元质检卷三导数及其应用单元质检卷四三角函数、解三角形单元质检卷五平面向量、数系的扩充与复数的引入单元质检卷六数列单元质检卷七不等式、推理与证明单元质检卷八立体几何单元质检卷九解析几何单元质检卷十算法初步、统计与统计案例单元质检卷十一计数原理单元质检卷十二概率。
第83讲 极坐标方程与参数方程的综合应用1.(2018·大庆模拟)在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x =3cos θ,y =sin θ (θ为参数).以点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为ρsin(θ+π4)= 2.(1)将曲线C 和直线l 化为直角坐标方程;(2)设点Q 是曲线C 上的一个动点,求它到直线l 的距离的最大值.(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x =3cos θ,y =sin θ, 得x 23+y 2=1,所以曲线C 的直角坐标方程为x 23+y 2=1.由ρsin(θ+π4)=2,得ρ(sin θcos π4+cos θsin π4)=2,化简得,ρsin θ+ρcos θ=2,所以x +y =2. 所以直线l 的直角坐标方程为x +y =2.(2)(方法一)由于点Q 是曲线C 上的点,则可设点Q 的坐标为(3cos θ,sin θ), 点Q 到直线l 的距离为d =|3cos θ+sin θ-2|2 =|2cos (θ-π6)-2|2.当cos(θ-π6)=-1时,d max =42=2 2.所以点Q 到直线l 的距离的最大值为2 2.(方法二)设与直线l 平行的直线l ′的方程为x +y =m ,由⎩⎪⎨⎪⎧x +y =m ,x 23+y 2=1,消去y 得4x 2-6mx +3m 2-3=0,令Δ=(6m )2-4×4×(3m 2-3)=0,解得m =±2. 所以直线l ′的方程为x +y =-2,即x +y +2=0. 所以两条平行直线l 与l ′之间的距离为d =|2+2|2=2 2.所以点Q 到直线l 的距离的最大值为2 2.2.(经典真题) 在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆C 的极坐标方程为ρ=2cos θ,θ∈[0,π2].(1)求C 的参数方程;(2)设点D 在C 上,C 在D 处的切线与直线l :y =3x +2垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定D 的坐标.(1)C 的普通方程为(x -1)2+y 2=1(0≤y ≤1). 可得C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =1+cos t ,y =sin t(t 为参数,0≤t ≤π). (2)设D (1+cos t ,sin t ),由(1)知C 是以G (1,0)为圆心,1为半径的上半圆.因为C 在点D 处的切线与l 垂直,所以直线GD 与l 的斜率相同,则tan t =3,t =π3.故D 的直角坐标为(1+cos π3,sin π3),即(32,32).3.(2018·赤峰一模)已知直线l :⎩⎨⎧x =1+12t ,y =32t(t 为参数),曲线C 1:⎩⎪⎨⎪⎧x =cos θ,y =sin θ(θ为参数).(1)设l 与C 1相交于A ,B 两点,求|AB |;(2)若把曲线C 1上各点的横坐标压缩为原来的12,纵坐标压缩为原来的32,得到曲线C 2,设点P 是曲线C 2上的一个动点,求它到直线l 的距离的最小值.(1)l 的普通方程为y =3(x -1), C 1的普通方程为x 2+y 2=1.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y =3(x -1),x 2+y 2=1,解得A (1,0),B (12,-32),所以|AB |=1.(2)C 2的参数方程为⎩⎨⎧x =12cos θ,y =32sin θ(θ为参数),故点P 的坐标为(12cos θ,32sin θ),从而P 到直线l 的距离是d =|32cos θ-32sin θ-3|2=34[2sin(θ-π4)+2].由此可知当sin(θ-π4)=-1时,d 取得最小值,且最小值为64(2-1).4.(2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy 中,直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =2+t ,y =kt ,(t 为参数),直线l 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =-2+m ,y =m k ,(m 为参数).设l 1与l 2的交点为P ,当k 变化时,P 的轨迹为曲线C .(1)写出C 的普通方程;(2)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l 3:ρ(cos θ+sin θ)-2=0,M 为l 3与C 的交点,求M 的极径.(1)消去参数t 得l 1的普通方程l 1:y =k (x -2);消去参数m 得l 2的普通方程l 2:y =1k(x +2).设P (x ,y ),由题设得⎩⎪⎨⎪⎧y =k (x -2),y =1k (x +2).消去k 得x 2-y 2=4(y ≠0).所以C 的普通方程为x 2-y 2=4(y ≠0).(2)C 的极坐标方程为ρ2(cos 2θ-sin 2θ)=4(0<θ<2π,θ≠π).联立⎩⎪⎨⎪⎧ρ2(cos 2θ-sin 2θ)=4,ρ(cos θ+sin θ)-2=0得cos θ-sin θ=2(cos θ+sin θ).故tan θ=-13,从而cos 2θ=910,sin 2θ=110.代入ρ2(cos 2θ-sin 2θ)=4得ρ2=5,所以交点M 的极径为 5.5.(2017·福州市毕业班综合质量检测)已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x =m +22t ,y =22t(t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,椭圆C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ+3ρ2sin 2θ=12,其左焦点F 在直线l 上.(1)若直线l 与椭圆C 交于A ,B 两点,求|F A |·|FB |的值; (2)求椭圆C 的内接矩形周长的最大值.(1)将曲线C 的极坐标方程ρ2cos 2θ+3ρ2sin 2θ=12化为直角坐标方程, 得x 212+y 24=1,则左焦点F (-22,0),所以m =-22, 将直线l 的参数方程⎩⎨⎧x =-22+22t ,y =22t(t 为参数)与曲线C 的方程x 212+y 24=1联立,化简可得t 2-2t -2=0,由直线l 的参数方程的几何意义,令|AF |=|t 1|,|BF |=|t 2|,则|AF |·|BF |=|t 1t 2|=2.(2)由曲线C 的方程x 212+y 24=1,可设曲线C 上的任意一点P 的坐标为(23cos θ,2sinθ)(0<θ<π2),则以P 为顶点的内接矩形周长为4×(23cos θ+2sin θ)=16sin(θ+π3),因此,当θ=π6时,可得该内接矩形周长的最大值为16.6.(2018·佛山一模)在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =tcos α,y =2+tsin α(t 为参数,0≤α<π),曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =2cos β,y =2+2sin β(β为参数),以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C 的极坐标方程;(2)设C 与l 交于M ,N 两点(异于原点),求|OM |+|ON|的最大值.(1)因为曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =2cos β,y =2+2sin β(β为参数),所以消去参数β,得曲线C 的普通方程为x 2+(y -2)2=4, 化简得x 2+y 2=4y ,则ρ2=4ρsin θ, 所以曲线C 的极坐标方程为ρ=4sin θ.(2)因为直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =t cos α,y =2+t sin α(t 为参数,0≤α<π),所以由直线l 的参数方程可知,直线l 必过点(0,2),也就是圆C 的圆心,则∠MON =π2, 不妨设M (ρ1,θ),N (ρ2,θ+π2),其中θ∈(0,π2),则|OM |+|ON |=ρ1+ρ2=4sin θ+4sin(θ+π2)=4(sin θ+cos θ)=42sin(θ+π4),所以当θ=π4时,|OM |+|ON |取得最大值为4 2.感谢您的下载!快乐分享,知识无限!由Ruize收集整理!。
【高考复习】2020年高考数学(理数) 坐标系与参数方程 大题1.在平面直角坐标系xOy 中,⊙O 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =cos θ,y =sin θ(θ为参数),过点(0,-2)且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ,B 两点.(1)求α的取值范围;(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程.2.平面直角坐标系xOy 中,倾斜角为α的直线l 过点M(-2,-4),以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ=2cos θ. (1)写出直线l 的参数方程(α为常数)和曲线C 的直角坐标方程;(2)若直线l 与C 交于A ,B 两点,且|MA|·|MB|=40,求倾斜角α的值.3.在直角坐标系xOy 中,已知倾斜角为α的直线l 过点A(2,1).以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C 的极坐标方程为ρ=2sin θ,直线l 与曲线C 分别交于P ,Q 两点.(1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程;(2)若|PQ|2=|AP|·|AQ|,求直线l 的斜率k.4.在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x =3cos α,y =3sin α(α为参数),以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ+π4=3 2. (1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程;(2)若点M 在曲线C 1上,点N 在曲线C 2上,求|MN|的最小值及此时点M 的直角坐标.5.在平面直角坐标系xOy 中,曲线C :⎩⎪⎨⎪⎧x =tcos α,y =sin α(α为参数,t>0).在以O 为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,直线l :ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ-π4= 2.(1)若l 与曲线C 没有公共点,求t 的取值范围;(2)若曲线C 上存在点到l 的距离的最大值为62+2,求t 的值.6.在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x =3+2cos α,y =2+2sin α(α为参数),直线C 2的方程为y=33x ,以O 为极点,以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线C 1和直线C 2的极坐标方程;(2)若直线C 2与曲线C 1交于P ,Q 两点,求|OP|·|OQ|的值.7.在平面直角坐标系中,曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =2cos α,y =sin α(α为参数).以直角坐标系的原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ+π3=12.直线l 与曲线C 交于A ,B 两点. (1)求直线l 的直角坐标方程;(2)设点P(1,0),求|PA|·|PB|的值.8.在平面直角坐标系中,直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x =t ,y =2t(t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为ρ2+2ρsin θ-3=0.(1)求直线l 的极坐标方程;(2)若直线l 与曲线C 相交于A ,B 两点,求|AB|.9.在极坐标系中,曲线C 1的极坐标方程是ρ=244cos θ+3sin θ,在以极点为原点O ,极轴为x 轴正半轴(两坐标系取相同的单位长度)的直角坐标系xOy 中,曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =cos θ,y =sin θ(θ为参数). (1)求曲线C 1的直角坐标方程与曲线C 2的普通方程;(2)将曲线C 2经过伸缩变换⎩⎨⎧x′=22x ,y′=2y后得到曲线C 3,若M ,N 分别是曲线C 1和曲线C 3上的动点,求|MN|的最小值.10.在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 1过点P(a ,1),其参数方程为⎩⎨⎧x =a +2t ,y =1+2t(t 为参数,a ∈R ),以O 为极点,x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ+4cos θ-ρ=0.(1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程;(2)已知曲线C 1和曲线C 2交于A ,B 两点,且|PA|=2|PB|,求实数a 的值.答案解析1.解:(1)⊙O 的直角坐标方程为x 2+y 2=1.当α=π2时,l 与⊙O 交于两点.当α≠π2时,记tan α=k ,则l 的方程为y=kx- 2.l 与⊙O 交于两点需满足21+k2<1,解得k<-1或k>1, 即α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2,3π4或α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4,π2.综上,α的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π4,3π4.(2)l 的参数方程为⎩⎨⎧x =tcos α,y =-2+tsin α⎝⎛⎭⎪⎫t 为参数,π4<α<3π4. 设A ,B ,P 对应的参数分别为t A ,t B ,t P ,则t P =t A +t B 2,且t A ,t B 满足t 2-22tsin α+1=0.于是t A +t B =22sin α,t P =2sin α.又点P 的坐标(x ,y)满足⎩⎨⎧x =t P cos α,y =-2+t P sin α,所以点P 的轨迹的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x =22sin 2α,y =-22-22cos 2α⎝⎛⎭⎪⎫α为参数,π4<α<3π4.2.解:(1)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =-2+tcos α,y =-4+tsin α(t 为参数),ρsin 2θ=2cos θ,即ρ2sin 2θ=2ρcos θ,将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入得曲线C 的直角坐标方程为y 2=2x.(2)把直线l 的参数方程代入y 2=2x ,得t 2sin 2α-(2cos α+8sin α)t +20=0, 设A ,B 对应的参数分别为t 1,t 2,由一元二次方程根与系数的关系得,t 1+t 2=2cos α+8sin αsin 2α,t 1t 2=20sin 2α, 根据直线的参数方程中参数的几何意义,得|MA |·|MB|=|t 1t 2|=20sin 2α=40,得α=π4或α=3π4.又Δ=(2cos α+8sin α)2-80sin 2α>0,所以α=π4.3.解:(1)由题意知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =2+tcos α,y =1+tsin α(t 为参数),因为ρ=2sin θ,所以ρ2=2ρsin θ,把y=ρsin θ,x 2+y 2=ρ2代入得x 2+y 2=2y ,所以曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2=2y.(2)将直线l 的参数方程代入曲线C 的方程,得t 2+(4cos α)t +3=0,由Δ=(4cos α)2-4×3>0,得cos 2α>34,由根与系数的关系,得t 1+t 2=-4cos α,t 1t 2=3. 不妨令|AP|=|t 1|,|AQ|=|t 2|,所以|PQ|=|t 1-t 2|,因为|PQ|2=|AP|·|AQ|,所以(t 1-t 2)2=|t 1|·|t 2|,则(t 1+t 2)2=5t 1t 2,得(-4cos α)2=5×3,解得cos 2α=1516,满足cos 2α>34,所以sin 2α=116,tan 2α=115,所以k=tan α=±1515.4.解:(1)由曲线C 1的参数方程可得曲线C 1的普通方程为x 29+y23=1,由ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ+π4=32,得ρcos θ-ρsin θ=6, ∴曲线C 2的直角坐标方程为x-y-6=0.(2)设点M 的坐标为(3cos β,3sin β), 点M 到直线x-y-6=0的距离d=|3cos β-3sin β-6|2=⎪⎪⎪⎪⎪⎪23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β-π3+62=6+23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β-π32,当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β-π3=-1时,|MN|有最小值,最小值为32-6, 此时点M 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫332,-32.5.解:(1)因为直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ-π4=2, 即ρcos θ+ρsin θ=2,所以直线l 的直角坐标方程为x +y-2=0.因为⎩⎪⎨⎪⎧x =tcos α,y =sin α(α为参数,t>0),所以曲线C 的普通方程为x 2t2+y 2=1(t>0),由⎩⎪⎨⎪⎧x +y =2,x 2t2+y 2=1,消去x 得,(1+t 2)y 2-4y +4-t 2=0,所以Δ=16-4(1+t 2)(4-t 2)<0,又t>0, 解得0<t<3,故t 的取值范围为(0,3). (2)由(1)知直线l 的方程为x +y-2=0,故曲线C 上的点(tcos α,sin α)到l 的距离d=|tcos α+sin α-2|2,故d max =t 2+1+22=62+2,解得t=± 2.又t>0,∴t= 2.6.解:(1)曲线C 1的普通方程为(x-3)2+(y-2)2=4,即x 2+y 2-23x-4y +3=0,则曲线C 1的极坐标方程为ρ2-23ρcos θ-4ρsin θ+3=0.∵直线C 2的方程为y=33x ,∴直线C 2的极坐标方程为θ=π6(ρ∈R).(2)设P(ρ1,θ1),Q(ρ2,θ2),将θ=π6(ρ∈R)代入ρ2-23ρcos θ-4ρsin θ+3=0得,ρ2-5ρ+3=0, ∴ρ1ρ2=3,∴|OP|·|OQ|=ρ1ρ2=3. 7.解:(1)由ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ+π3=12得ρcos θcos π3-ρsin θsin π3=12, 即12ρcos θ-32ρsin θ=12, 又ρcos θ=x ,ρsin θ=y ,∴直线l 的直角坐标方程为x-3y-1=0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x =2cos α,y =sin α(α为参数)得曲线C 的普通方程为x 2+4y 2=4,∵P(1,0)在直线l 上,故可设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =32t +1,y =12t (t 为参数),将其代入x 2+4y 2=4得7t 2+43t-12=0,∴t 1·t 2=-127,故|PA|·|PB|=|t 1|·|t 2|=|t 1·t 2|=127.8.解:(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x =t ,y =2t 消去t 得,y=2x ,把⎩⎪⎨⎪⎧x =ρcos θ,y =ρsin θ代入y=2x ,得ρsin θ=2ρcos θ,所以直线l 的极坐标方程为sin θ=2cos θ.(2)因为ρ2=x 2+y 2,y=ρsin θ,所以曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2+2y-3=0,即x 2+(y +1)2=4.圆C 的圆心C(0,-1)到直线l 的距离d=55,所以|AB|=24-d 2=2955.9.解:(1)∵C 1的极坐标方程是ρ=244cos θ+3sin θ,∴4ρcos θ+3ρsin θ=24, ∴4x +3y-24=0,故C 1的直角坐标方程为4x +3y-24=0.∵曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =cos θ,y =sin θ,∴x 2+y 2=1,故C 2的普通方程为x 2+y 2=1.(2)将曲线C 2经过伸缩变换⎩⎨⎧ x′=22x ,y′=2y后得到曲线C 3,则曲线C 3的参数方程为⎩⎨⎧x′=22cos α,y′=2sin α(α为参数).设N(22cos α,2sin α),则点N 到曲线C 1的距离d=|4×22cos α+3×2sin α-24|5=|241sin (α+φ)-24|5=24-241sin (α+φ)5其中φ满足tan φ=423.当sin(α+φ)=1时,d 有最小值24-2415,所以|MN|的最小值为24-2415.10.解:(1)C 1的参数方程为⎩⎨⎧x =a +2t ,y =1+2t ,消参得普通方程为x-y-a +1=0,C 2的极坐标方程为ρcos 2θ+4cos θ-ρ=0,两边同乘ρ得ρ2cos 2θ+4ρcos θ-ρ2=0,得y 2=4x .所以曲线C 2的直角坐标方程为y 2=4x . (2)曲线C 1的参数方程可转化为⎩⎪⎨⎪⎧x =a +22t ,y =1+22t (t 为参数,a ∈R ),代入曲线C 2:y 2=4x ,得12t 2-2t +1-4a=0,由Δ=(-2)2-4×12×(1-4a)>0,得a>0,设A ,B 对应的参数分别为t 1,t 2,由|PA|=2|PB|得|t 1|=2|t 2|,即t 1=2t 2或t 1=-2t 2,当t 1=2t 2时,⎩⎨⎧ t 1=2t 2,t 1+t 2=22,t 1·t 2=2(1-4a ),解得a=136;当t 1=-2t 2时,⎩⎨⎧t 1=-2t 2,t 1+t 2=22,t 1·t 2=2(1-4a ),解得a=94,综上,a=136或94.。
第64练 向量法求解空间角[基础保分练]1.如图所示,已知空间四边形OABC 中OB =OC ,且∠AOB =∠AOC =π3,则cos 〈OA →,BC →〉的值为________.2.如图,四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形,它们所在的平面互相垂直,则异面直线AP 与BD 所成的角为______.3.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E 是C 1D 1的中点,则异面直线DE 与AC 所成的角的余弦值为________.4.已知正四棱锥S -ABCD 的侧棱长与底面边长都相等,E 是SB 的中点,则AE ,SD 所成角的余弦值为________.5.(2019·无锡模拟)在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,M ,N 分别是A 1B 1,A 1C 1的中点,则异面直线BM 与AN 所成角的余弦值为________.6.如图,在三棱锥O -ABC 中,OA =OB =OC =1,∠AOB =90°,OC ⊥平面AOB ,D 为AB 的中点,则OD 与平面OBC 所成的角为________.7.平面α的一个法向量为n =(1,-3,0),则y 轴与平面α所成的角的大小为________. 8.(2019·江苏盐城中学期中)如图所示,在空间四边形OABC 中,OA =8,AB =6,AC =4,BC =5,∠OAC =45°,∠OAB =60°,则异面直线OA 与BC 所成的角的余弦值为________.9.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,异面直线A 1D 与CD 1所成的角为____________,二面角B -A 1C -D 的大小为________.10.如图,在三棱锥S -ABC 中,SA =SB =SC ,且∠ASB =∠BSC =∠CSA =π2,M ,N 分别是AB和SC 的中点.则直线SM 与平面SAC 所成角的大小为________.[能力提升练]1.如图所示,正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的各棱长(包括底面边长)都是2,E ,F 分别是AB ,A 1C 1的中点,则EF 与侧棱C 1C 所成角的余弦值是________.2.已知空间向量a ,b 满足|a |=|b |=1,且a ,b 的夹角为π3,O 为空间直角坐标系的原点,点A ,B 满足OA →=2a +b ,OB →=3a -b ,则△OAB 的面积为________.3.过正方形ABCD 的顶点A ,引PA ⊥平面ABCD .若PA =BA ,则平面ABP 和平面CDP 所成二面角的大小是________.4.如图所示,四边形ABCD 是边长为1的正方形,MD ⊥平面ABCD ,NB ⊥平面ABCD ,且MD =NB =1,E 为BC 的中点.则异面直线NE 与AM 所成角的余弦值为________.5.(2019·江苏南通中学月考)已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱长与底面边长都相等,A 1在底面ABC 内的射影为△ABC 的中心,则AB 1与底面ABC 所成角的正弦值等于________. 6.已知△ABC 是边长为1的正三角形,PA ⊥平面ABC ,且PA =1,若点A 关于直线PC 的对称点为D ,则直线AD 与BC 所成角的余弦值是________.答案精析基础保分练 1.0 2.60° 3.1010 4.33 5.30106.45°解析 以O 为原点,以OA 为x 轴,OB 为y 轴,OC 为z 轴,建立空间直角坐标系,则O (0,0,0),A (1,0,0),B (0,1,0),D ⎝⎛⎭⎪⎫12,12,0,C (0,0,1),由题意得OB ⊥OA ,OA ⊥OC , ∴OA →是平面BOC 的法向量,设OD 与平面OBC 的夹角为θ,θ∈[0°,90°], 则sin θ=|cos 〈OA →,OD →〉|=|OA →·OD →||OA →|·|OD →|=22,∴θ=45°,∴OD 与平面OBC 的夹角为45°. 7.π3解析 y 轴的一个方向向量为m =(0,1,0), 设y 轴与平面α所成的角为θ, 则sin θ=|cos 〈m ,n 〉|.∵cos〈m ,n 〉=m ·n |m |·|n |=-32×1=-32,∴sin θ=32,∵θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2,∴θ=π3.8.3-225解析 因为BC →=AC →-AB →, 所以OA →·BC →=OA →·AC →-OA →·AB →=|OA →|·|AC →|·cos〈OA →,AC →〉-|OA →|·|AB →|·cos〈OA →,AB →〉 =8×4×cos135°-8×6×cos120° =24-162,所以cos 〈OA →,BC →〉=OA →·BC →|OA →|·|BC →|=24-1628×5=3-225.所以OA 与BC 的夹角的余弦值为3-225.9.60° 60°解析 以D 为原点,DA 为x 轴,DC 为y 轴,DD 1为z 轴,建立空间直角坐标系, 设正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1, 则A 1(1,0,1),D (0,0,0),C (0,1,0),D 1(0,0,1),B (1,1,0),A 1D →=(-1,0,-1),CD 1→=(0,-1,1),设异面直线A 1D 与CD 1所成的角为θ,θ∈(0°,90°], 则cos θ=|A 1D →·CD 1→||A 1D →|·|CD 1→|=12·2=12, ∴θ=60°,∴异面直线A 1D 与CD 1所成的角为60°. DA 1→=(1,0,1),DC →=(0,1,0),CA 1→=(1,-1,1),CB →=(1,0,0),设平面DCA 1的法向量n =(x 1,y 1,z 1),则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DA 1→=x 1+z 1=0,n ·DC →=y 1=0,取x 1=1,得n =(1,0,-1),设平面BCA 1的法向量m =(x 2,y 2,z 2), 则⎩⎪⎨⎪⎧m ·CA 1→=x 2-y 2+z 2=0,m ·CB →=x 2=0,取y 2=1,得m =(0,1,1),设二面角B -A 1C -D 的大小为α,α为锐角, 则cos α=|m ·n ||m |·|n |=12·2=12,∴α=60°,∴二面角B -A 1C -D 的大小为60°.10.π4解析 因为∠ASB =∠BSC =∠CSA =π2,所以以S 为坐标原点,SA ,SB ,SC 为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系(图略). 设SA =SB =SC =2,则M (1,1,0),B (0,2,0),N (0,0,1),A (2,0,0),C (0,0,2), 所以SM →=(1,1,0),设平面SAC 的一个法向量为SB →=(0,2,0), 则由cos 〈SM →,SB →〉=22·2=22得〈SM →,SB →〉=π4, 所以直线SM 与平面SAC 所成角的大小为π2-π4=π4.能力提升练1.255 2.5343.45°解析 以点A 为坐标原点,AB ,AD ,AP 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,设AB =1,易得平面APB 的一个法向量为n 1=(0,1,0),平面PCD 的一个法向量为n 2=(0,1,1),故平面ABP 与平面CDP 所成二面角的余弦值为|n 1·n 2||n 1||n 2|=22,故所求二面角的大小是45°. 4.1010解析 如图,以D 为坐标原点,DA ,DC ,DM 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系D -xyz .依题意得D (0,0,0),A (1,0,0),M (0,0,1),C (0,1,0),B (1,1,0),N (1,1,1),E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12,1,0,所以NE →=⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,0,-1,AM →=(-1,0,1),因为|cos 〈NE →,AM →〉|=|NE →·AM →||NE →|·|AM →|=1252×2=1010. 所以异面直线NE 与AM 所成角的余弦值为1010.5.23解析 设A 1在底面ABC 内的射影为O ,过O 作OH ∥BC 交AB 于点H ,以O 为坐标原点,分别以OA →,OH →,OA 1→的方向为x 轴,y 轴,z 轴的正方向建立空间直角坐标系(图略). 设△ABC 的边长为1,则A ⎝⎛⎭⎪⎫33,0,0,B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫-32,12,63, ∴AB 1→=⎝ ⎛⎭⎪⎫-536,12,63,平面ABC 的法向量n =(0,0,1), 则AB 1与底面ABC 所成角α的正弦值sin α=|cos 〈AB 1→,n 〉|=637536+14+69=23.6.24解析 如图,取AC 的中点O ,连结BO ,PO ,∵△ABC 是边长为1的正三角形, ∴BO ⊥AC ,∵PA ⊥平面ABC ,BO ⊂平面ABC , ∴BO ⊥PA ,∵AC ∩PA =A ,AC ,PA ⊂平面PAC , ∴BO ⊥平面APC ,如图,以A 为坐标原点,AC ,AP 所在直线分别为y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系,易得AD 与PC 的交点H 为PC 中点,则A (0,0,0),B ⎝⎛⎭⎪⎫32,12,0,C (0,1,0),H ⎝ ⎛⎭⎪⎫0,12,12,AH→=⎝ ⎛⎭⎪⎫0,12,12, BC →=⎝ ⎛⎭⎪⎫-32,12,0,cos 〈AH →,BC →〉=0+14+01×22=24.即直线AD 与BC 所成角的余弦值为24.。
第2讲 参数方程[学生用书P265]1.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地,可以通过消去参数,从参数方程得到普通方程.(2)如果知道变数x ,y 中的一个与参数t 的关系,例如x =f (t ),把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系y =g (t ),那么⎩⎨⎧x =f (t ),y =g (t )就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使x ,y 的参数方程中参数的取值范围保持一致.2.直线、圆和圆锥曲线的参数方程名称普通方程参数方程直线y -y 0=k (x -x 0)⎩⎨⎧x =x 0+t cos α,y =y 0+t sin α(t 为参数)圆(x -x 0)2+(y -y 0)2=r 2⎩⎨⎧x =x 0+r cos θ,y =y 0+r sin θ (θ为参数且0≤θ<2π)椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)⎩⎨⎧x =a cos t ,y =b sin t (t 为参数且0≤t <2π)抛物线 y 2=2px (p >0)⎩⎨⎧x =2pt 2,y =2pt(t 为参数) 常用结论经过点P (x 0,y 0),倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =x 0+t cos α,y =y 0+t sin α(t 为参数).若A ,B 为直线l 上的两点,其对应的参数分别为t 1,t 2,线段AB 的中点为M ,点M 所对应的参数为t 0,则以下结论在解题中经常用到:(1)t 0=t 1+t 22;(2)|PM |=|t 0|=⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 1+t 22; (3)|AB |=|t 2-t 1|; (4)|P A |·|PB |=|t 1·t 2|.一、思考辨析判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)参数方程⎩⎨⎧x =f (t ),y =g (t )中的x ,y 都是参数t 的函数.( )(2)过M 0(x 0,y 0),倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x =x 0+t cos α,y =y 0+t sin α(t 为参数).参数t 的几何意义表示:直线l 上以定点M 0为起点,任一点M (x ,y )为终点的有向线段M 0M →的数量.( )(3)已知椭圆的参数方程⎩⎨⎧x =2cos t ,y =4sin t (t 为参数),点M 在椭圆上,对应参数t=π3,点O 为原点,则直线OM 的斜率为 3.( )答案:(1)√ (2)√ (3)× 二、易错纠偏常见误区|K(1)不注意互化的等价性致误; (2)直线参数方程中参数t 的几何意义不清致误; (3)交点坐标计算出错致错.1.若曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x =1+cos 2θ,y =sin 2θ(θ为参数),则曲线C 上的点的轨迹是( )A .直线x +2y -2=0B .以(2,0)为端点的射线C .圆(x -1)2+y 2=1D .以(2,0)和(0,1)为端点的线段解析:选D.将曲线C 的参数方程化为普通方程得x +2y -2=0(0≤x ≤2,0≤y ≤1).故选D.2.已知直线⎩⎨⎧x =x 0+at ,y =y 0+bt (t 为参数)上两点A ,B 对应的参数值是t 1,t 2,则|AB |=( )A .|t 1+t 2|B .|t 1-t 2| C.a 2+b 2|t 1-t 2|D.|t 1-t 2|a 2+b 2解析:选 C.依题意,A (x 0+at 1,y 0+bt 1),B (x 0+at 2,y 0+bt 2),则|AB |=[x 0+at 1-(x 0+at 2)]2+[y 0+bt 1-(y 0+bt 2)]2=a 2+b 2|t 1-t 2|.故选C.3.在平面直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C 1的极坐标方程为ρ(cos θ+sin θ)=-2,曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧x =t 2,y =22t(t 为参数),则C 1与C 2交点的直角坐标为________.解析:由ρ(cos θ+sin θ)=-2,得x +y =-2 ①.又⎩⎪⎨⎪⎧x =t 2,y =22t ,消去t ,得y 2=8x ②.联立①②得⎩⎪⎨⎪⎧x =2,y =-4,即交点坐标为(2,-4).答案:(2,-4)[学生用书P266]参数方程与普通方程的互化(师生共研)(1)将下列参数方程化为普通方程. ①⎩⎪⎨⎪⎧x =1t ,y =1t t 2-1(t 为参数); ②⎩⎨⎧x =2+sin 2θ,y =-1+cos 2θ(θ为参数). (2)已知曲线C 1:⎩⎨⎧x =-4+cos t ,y =3+sin t (t 为参数),曲线C 2:⎩⎨⎧x =8cos θ,y =3sin θ(θ为参数).化C 1,C 2的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线.【解】 (1)①由t 2-1≥0⇒t ≥1或t ≤-1⇒0<x ≤1或-1≤x <0.由⎩⎪⎨⎪⎧x =1t (*),y =1t t 2-1(**),(*)式代入(**)式得x 2+y 2=1.其中⎩⎨⎧0<x ≤1,0≤y <1或⎩⎪⎨⎪⎧-1≤x <0,-1<y ≤0.②由x =2+sin 2θ,0≤sin 2θ≤1 ⇒2≤2+sin 2θ≤3⇒2≤x ≤3,⎩⎪⎨⎪⎧x =2+sin 2θ,y =-1+cos 2θ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x -2=sin 2θ,y =-1+1-2sin 2θ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x -2=sin 2θ,y =-2sin 2θ⇒2x +y -4=0(2≤x ≤3).(2)曲线C 1:(x +4)2+(y -3)2=1,曲线C 2:x 264+y 29=1,所以曲线C 1是以(-4,3)为圆心,1为半径的圆;曲线C 2是中心为坐标原点,焦点在x 轴上,长半轴长是8,短半轴长是3的椭圆.将参数方程化为普通方程的方法及注意点(1)将参数方程化为普通方程,需要根据参数方程的结构特征,选取适当的消参方法.常见的消参方法有:代入消参法、加减消参法、平方消参法等.对于含三角函数的参数方程,常利用同角三角函数关系式消参,如sin 2θ+cos 2θ=1等.(2)将参数方程化为普通方程时,要注意两种方程的等价性,不要增解.1.求直线⎩⎨⎧x =2+t ,y =-1-t (t 为参数)与曲线⎩⎨⎧x =3cos α,y =3sin α(α为参数)的交点个数.解:将⎩⎪⎨⎪⎧x =2+t ,y =-1-t 消去参数t 得直线x +y -1=0;将⎩⎪⎨⎪⎧x =3cos α,y =3sin α消去参数α得圆x 2+y 2=9. 又圆心(0,0)到直线x +y -1=0的距离d =22<3. 因此直线与圆相交,故直线与曲线有2个交点.2.如图,以过原点的直线的倾斜角θ为参数,求圆x 2+y 2-x =0的参数方程.解:圆的半径为12,记圆心为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12,0,设直线与圆的交点分别为O ,P ,连接CP (图略),则∠PCx =2θ,故x P =12+12cos 2θ=cos 2θ,y P =12sin 2θ=sin θcos θ(θ为参数).所以圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =cos 2θ,y =sin θcos θ(θ为参数).参数方程的应用(师生共研)(2021·沈阳市教学质量监测(一))在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C 的极坐标方程为ρ=4cos θ,直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x =3+2t ,y =-1+t (t 为参数),直线l 与曲线C 交于M ,N 两点.(1)写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程; (2)若点P (3,-1),求⎪⎪⎪⎪⎪⎪1|PM |-1|PN |的值.【解】 (1)由ρ2=4ρcos θ,⎩⎪⎨⎪⎧ρcos θ=x ,ρsin θ=y 得x 2+y 2=4x ,所以曲线C 的直角坐标方程为(x -2)2+y 2=4. 由直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =3+2t ,y =-1+t (t 为参数),消参得直线l 的普通方程为x -2y -5=0.(2)直线l 的标准参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =3+255u ,y =-1+55u(u 为参数),代入曲线C 的方程(x -2)2+y 2=4,得u 2+255u -2=0,则有Δ=445>0,设M ,N 两点对应的参数分别为u 1,u 2,则u 1+u 2=-255,u 1u 2=-2<0,可知u 1与u 2异号, 所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪1|PM |-1|PN |=⎪⎪⎪⎪⎪⎪1|u 1|-1|u 2|=⎪⎪⎪⎪⎪⎪u 1+u 2u 1u 2=55.(1)解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时,要注意普通方程与参数方程的互化公式,主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上和动点有关的问题,如最值、范围等.(2)根据直线的参数方程的标准式中t 的几何意义,有以下常用结论:过定点M 0的直线与圆锥曲线相交,交点为M 1,M 2,所对应的参数分别为t 1,t 2,①弦长l =|t 1-t 2|;②M 0为弦M 1M 2的中点⇒t 1+t 2=0;③|M 0M 1|·|M 0M 2|=|t 1t 2|.1.(2020·四省八校第二次质量检测)在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l :⎩⎪⎨⎪⎧x =1+12t ,y =32t (t 为参数),曲线C 1:⎩⎨⎧x =2cos θ,y =sin θ(θ为参数). (1)设l 与C 1相交于A ,B 两点,求|AB |;(2)若Q 是曲线C 2:⎩⎨⎧x =cos α,y =3+sin α(α为参数)上的一个动点,设点P 是曲线C 1上的一个动点,求|PQ |的最大值.解:(1)曲线C 1的普通方程为x 22+y 2=1.将直线l 的参数方程代入曲线C 1的普通方程中得7t 2+4t -4=0. 设A ,B 两点对应的参数分别为t A ,t B , 则t A +t B =-47,t A t B =-47,所以|AB |=|t A -t B |=(t A +t B )2-4t A ·t B =827.(2)设P (x ,y ).曲线C 2的普通方程为x 2+(y -3)2=1, 所以曲线C 2是以C 2(0,3)为圆心,1为半径的圆, 所以|PC 2|=x 2+(y -3)2=-(y +3)2+20,因为-1≤y ≤1, 所以|PC 2|的最大值为4, 所以|PQ |的最大值为5.2.(2020·广州市阶段训练)已知曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x =t cos α,y =1+t sin α(t 为参数),曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧x =sin θ,y =1+cos 2θ(θ为参数).(1)求C 1与C 2的普通方程;(2)(一题多解)若C 1与C 2相交于A ,B 两点,且|AB |=2,求sin α的值. 解:(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x =t cos α,y =1+t sin α,(t 为参数),得x sin α-y cos α+cos α=0,所以曲线C 1的普通方程为x sin α-y cos α+cos α=0. 由⎩⎪⎨⎪⎧x =sin θ,y =1+cos 2θ(θ为参数), 得2x 2+y 2=2(y ≥0).所以曲线C 2的普通方程为2x 2+y 2=2(y ≥0). (2)方法一:把⎩⎪⎨⎪⎧x =t cos α,y =1+t sin α,代入2x 2+y 2=2,得(2cos 2α+sin 2α)t 2+2t sin α-1=0, 由于Δ=(2sin α)2+4(2cos 2α+sin 2α)=8>0,设A ,B 两点对应的参数分别为t 1,t 2,则t 1+t 2=-2sin α2cos 2α+sin 2α,t 1t 2=-12cos 2α+sin 2α. 则|AB |=|t 1-t 2|=(t 1+t 2)2-4t 1t 2=222cos 2α+sin 2α.由于|AB |=2, 则222cos 2α+sin 2 α= 2.解得sin α=0.经检验,sin α=0符合题意,所以sin α=0. 方法二:由(1)可知C 1是直线,且过点(0,1),C 2是椭圆2x 2+y 2=2在x 轴上方(包括与x 轴的两个交点)的部分, 如图,若C 1与C 2有两个交点,则C 1的斜率k ∈[-1,1],设C 1:y =kx +1,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 由⎩⎪⎨⎪⎧y =kx +1,2x 2+y 2=2,得(k 2+2)x 2+2kx -1=0,由于Δ=(2k )2+4(k 2+2)=8k 2+8>0, 则x 1+x 2=-2k k 2+2,x 1x 2=-1k 2+2.|AB |=(1+k 2)[(x 1+x 2)2-4x 1x 2]=(1+k 2)⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫-2k k 2+22+4k 2+2=22(k 2+1)k 2+2.由|AB |=2,得22(k 2+1)k 2+2=2,解得k =0.则tan α=0,得sin α=0.极坐标与参数方程的综合问题(师生共研)(一题多解)(2020·贵州省适应性考试)曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x =2+2cos α,y =2sin α(α为参数),在以原点O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ=sin θ.(1)求曲线C 1的极坐标方程和曲线C 2的直角坐标方程;(2)过原点且倾斜角为α(π6<α≤π4)的射线l 与曲线C 1,C 2分别相交于A ,B 两点(A ,B 异于原点),求|OA |·|OB |的取值范围.【解】 (1)曲线C 1的普通方程为(x -2)2+y 2=4, 即x 2+y 2-4x =0,故曲线C 1的极坐标方程为ρ2=4ρcos θ,即ρ=4cos θ.由曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ=sin θ,两边同乘以ρ,得ρ2cos 2θ=ρsin θ, 故曲线C 2的直角坐标方程为x 2=y .(2)方法一:射线l 的极坐标方程为θ=α,π6<α≤π4,把射线l 的极坐标方程代入曲线C 1的极坐标方程得|OA |=ρ=4cos α, 把射线l 的极坐标方程代入曲线C 2的极坐标方程得|OB |=ρ=sin αcos 2α,所以|OA |·|OB |=4cos α·sin αcos 2α=4tan α,因为π6<α≤π4,所以|OA |·|OB |的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤433,4.方法二:射线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =t cos α,y =t sin α(t 为参数,π6<α≤π4).把射线l 的参数方程代入曲线C 1的普通方程得t 2-4t cos α=0.解得t 1=0,t 2=4cos α.故|OA |=|t 2|=4cos α. 同理可得|OB |=sin αcos 2α, 所以|OA |·|OB |=4cos α·sin αcos 2α=4tan α,因为π6<α≤π4,所以|OA |·|OB |的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤433,4.处理极坐标、参数方程综合问题的方法(1)涉及参数方程和极坐标的综合问题时,求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解.当然,还要结合题目本身特点,确定选择何种方程.(2)数形结合的应用,即充分利用参数方程中参数的几何意义,或者利用ρ和θ的几何意义,直接求解,能达到化繁为简的解题目的.(2020·六校联盟第二次联考)在平面直角坐标系xOy 中,曲线C的参数方程为⎩⎨⎧x =3cos α,y =sin α(α为参数),在以原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ-π4= 2.(1)求曲线C 的普通方程和直线l 的倾斜角;(2)设点P (0,2),直线l 和曲线C 交于A ,B 两点,求|P A |+|PB |. 解:(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x =3cos α,y =sin α,消去参数α,得x 29+y 2=1,即C 的普通方程为x 29+y 2=1.由ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ-π4=2,得ρsin θ-ρcos θ=2,(*)将⎩⎪⎨⎪⎧x =ρcos θy =ρsin θ,代入(*),化简得y =x +2, 所以直线l 的倾斜角为π4.(2)由(1)知,点P (0,2)在直线l 上,可设直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x =t cos π4,y =2+t sin π4(t 为参数),即⎩⎪⎨⎪⎧x =22t ,y =2+22t(t 为参数),代入x 29+y 2=1并化简,得5t 2+182t +27=0,Δ=(182)2-4×5×27=108>0, 设A ,B 两点对应的参数分别为t 1,t 2, 则t 1+t 2=-1825<0,t 1t 2=275>0,所以t 1<0,t 2<0,所以|P A |+|PB |=|t 1|+|t 2|=-(t 1+t 2)=1825.[学生用书P349(单独成册)][A 级 基础练]1.(2020·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x =cos k t ,y =sin k t (t 为参数).以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为4ρcos θ-16ρsin θ+3=0.(1)当k =1时,C 1是什么曲线?(2)当k =4时,求C 1与C 2的公共点的直角坐标.解:(1)当k =1时,C 1:⎩⎪⎨⎪⎧x =cos t ,y =sin t ,消去参数t 得x 2+y 2=1,故曲线C 1是圆心为坐标原点,半径为1的圆.(2)当k =4时,C 1:⎩⎪⎨⎪⎧x =cos 4t ,y =sin 4t ,消去参数t 得C 1的直角坐标方程为x +y =1.C 2的直角坐标方程为4x -16y +3=0.由⎩⎪⎨⎪⎧x +y =1,4x -16y +3=0解得⎩⎪⎨⎪⎧x =14,y =14.故C 1与C 2的公共点的直角坐标为(14,14).2.(2020·开封市第一次模拟考试)在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x =2cos φ,y =sin φ(φ为参数).以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为ρ= 2.(1)求曲线C 1的极坐标方程和C 2的直角坐标方程;(2)设P 是曲线C 1上一点,此时参数φ=π4,将射线OP 绕坐标原点O 逆时针旋转π3交曲线C 2于点Q ,记曲线C 1的上顶点为点T ,求△OTQ 的面积.解:(1)由已知可得C 1:x 22+y 2=1,由x =ρcos θ,y =ρsin θ,可得C 1的极坐标方程为ρ2(1+sin 2θ)=2.由ρ2=x 2+y 2可得曲线C 2的直角坐标方程为x 2+y 2=2. (2)设点Q 的横坐标为x Q , 则由已知可得S △OTQ =12|OT |·|x Q |,且点P 的直角坐标为(1,22),点P 的极坐标为(62,θ),其中sin θ=33,cos θ=63,点Q 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2,θ+π3,则有x Q =2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ+π3=23-326,所以S △OTQ =12|OT |·|x Q |=12×1×32-236=32-2312.3.(2020·南充市第一次适应性考试)在极坐标系中,已知曲线C 1:ρ=2cos θ和曲线C 2:ρcos θ=3,以极点O 为坐标原点,极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系.(1)求曲线C 1和曲线C 2的直角坐标方程;(2)若点P 是曲线C 1上一动点,过点P 作线段OP 的垂线交曲线C 2于点Q ,求线段PQ 长度的最小值.解:(1)因为x =ρcos θ,x 2+y 2=ρ2,所以曲线C 1的直角坐标方程为(x -1)2+y 2=1,曲线C 2的直角坐标方程为x =3.(2)设曲线C 1与x 轴异于原点的交点为A , 因为PQ ⊥OP ,所以PQ 过点A (2,0),设直线PQ 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =2+t cos α,y =t sin α(t 为参数),代入C 1的直角坐标方程可得t 2+2t cos α=0,解得t 1=0,t 2=-2cos α,由题意可知|AP |=|t 2|=|2cos α|,代入C 2的直角坐标方程可得2+t cos α=3,解得t =1cos α.由题意知|AQ |=|t |=⎪⎪⎪⎪⎪⎪1cos α, 所以|PQ |=|AP |+|AQ |=|2cos α|+⎪⎪⎪⎪⎪⎪1cos α≥22,当且仅当|2cos α|=⎪⎪⎪⎪⎪⎪1cos α时取等号. 所以线段PQ 长度的最小值为2 2.4.(2020·福建省质量检测)在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x =cos α,y =sin α(α为参数),以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为ρ2=123+sin 2θ.(1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程;(2)若直线l 与曲线C 1相切于第二象限的点P ,与曲线C 2交于A ,B 两点,且|P A |·|PB |=73,求直线l 的倾斜角.解:(1)因为曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =cos α,y =sin α(α为参数),所以曲线C 1的普通方程为x 2+y 2=1.因为曲线C 2的极坐标方程为ρ2=123+sin 2θ,ρ2=x 2+y 2,ρsin θ=y , 所以曲线C 2的直角坐标方程为x 24+y 23=1.(2)如图,设直线l 的倾斜角为β,依题意β∈⎝⎛⎭⎪⎫0,π2,则P 在曲线C 1中的参数α=β+π2, 故P (-sin β,cos β),所以可设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =-sin β+t cos β,y =cos β+t sin β(t 为参数).把直线l 的参数方程代入x 24+y 23=1,得(sin 2β+3)t 2+2(sin βcos β)t +cos 2β-9=0, 设A ,B 对应的参数分别为t 1,t 2, 则t 1t 2=cos 2β-9sin 2β+3.则|P A |·|PB |=|t 1t 2|=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos 2β-9sin 2β+3=9-cos 2βsin 2β+3,又|P A |·|PB |=73, 所以9-cos 2βsin 2β+3=73.所以sin β=32, 故β=π3,即直线l 的倾斜角为π3.[B 级 综合练]5.(2020·湖北八校第一次联考)在平面直角坐标系xOy 中,倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x =2+t cos α,y =3+t sin α(t 为参数).以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为ρ2=2ρcos θ+8.(1)求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程;(2)若直线l 与曲线C 交于A ,B 两点,且|AB |=42,求直线l 的倾斜角.解:(1)因为直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =2+t cos α,y =3+t sin α(t 为参数),所以当α=π2时,直线l 的普通方程为x =2,当α≠π2时,直线l 的普通方程为y -3=tan α(x -2). 将ρ2=x 2+y 2,ρcos θ=x 代入ρ2=2ρcos θ+8, 得x 2+y 2=2x +8,所以曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2-2x -8=0. (2)由(1)知曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2-2x -8=0, 将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程整理, 得t 2+(23sin α+2cos α)t -5=0. 易知Δ=(23sin α+2cos α)2+20>0, 设该方程的两个根分别为t 1,t 2,则t 1+t 2=-(23sin α+2cos α),t 1t 2=-5. 所以|AB |=|t 1-t 2|=(t 1+t 2)2-4t 1t 2=[-(23sin α+2cos α)]2+20=42,整理得(3sin α+cos α)2=3. 故2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α+π6=±3.因为0≤α<π,所以π6≤α+π6<7π6, 所以α+π6=π3或α+π6=2π3,解得α=π6或α=π2, 所以直线l 的倾斜角为π6或π2.6.(2020·昆明市三诊一模)已知极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点,极轴与x 轴的正半轴重合.曲线C 的极坐标方程是1+2sin 2θ=6ρ2,直线l 的极坐标方程是ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ-π4-2=0.(1)求曲线C 和直线l 的直角坐标方程;(2)设点P (2,0),直线l 与曲线C 相交于点M ,N ,求1|PM |+1|PN |的值. 解:(1)曲线C 可化为ρ2+2ρ2sin 2θ=6, 将⎩⎪⎨⎪⎧y =ρsin θ,x 2+y 2=ρ2代入上式,得x 2+3y 2=6,整理,得曲线C 的直角坐标方程为x 26+y 22=1.由ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ-π4-2=0,得22ρcos θ+22ρsin θ-2=0,将⎩⎪⎨⎪⎧x =ρcos θ,y =ρsin θ代入上式,化简得x +y -2=0,所以直线l 的直角坐标方程为x +y -2=0.(2)由(1)知,点P (2,0)在直线l 上,故可设直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x =2+t cos 3π4,y =t sin 3π4(t 为参数),即⎩⎪⎨⎪⎧x =2-22t ,y =22t(t 为参数),代入曲线C 的直角坐标方程,得12t 2-22t +4+3×12t 2=6, 整理,得t 2-2t -1=0,所以Δ=(-2)2+4×1=6>0,t 1t 2=-1<0,由题意知,1|PM |+1|PN |=1|t 1|+1|t 2|=⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 1-t 2t 1t 2=⎪⎪⎪⎪⎪⎪Δ-1=⎪⎪⎪⎪⎪⎪6-1= 6. 7.在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x =t cos α,y =t sin α⎝ ⎛⎭⎪⎫t 为参数且t >0,α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2,曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧x =cos β,y =1+sin β⎝ ⎛⎭⎪⎫β为参数,且β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-π2,π2,以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 3的极坐标方程为ρ=1+cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0,π2,曲线C 4的极坐标方程为ρcosθ=1.(1)求C 3与C 4的交点到极点的距离;(2)设C 1与C 2交于P 点,C 1与C 3交于Q 点,当α在⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2上变化时,求|OP |+|OQ |的最大值.解:(1)联立⎩⎪⎨⎪⎧ρ=1+cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2,ρcos θ=1得ρ2-ρ-1=0,解得ρ=1+52,即交点到极点的距离为1+52.(2)曲线C 1的极坐标方程为θ=α⎝ ⎛⎭⎪⎫α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2,ρ>0,曲线C 2的极坐标方程为ρ=2sin θ,θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2,联立C 1,C 2的极坐标方程得ρ=2sin α,α∈⎝⎛⎭⎪⎫0,π2,即|OP |=2sin α,α∈⎝⎛⎭⎪⎫0,π2,曲线C 1与曲线C 3的极坐标方程联立得ρ=1+cos α,α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2,即|OQ |=1+cos α,α∈⎝⎛⎭⎪⎫0,π2,所以|OP |+|OQ |=1+2sin α+cos α=1+5sin(α+φ),其中φ的终边经过点(2,1),当α+φ=π2+2k π,k ∈Z 时,|OP |+|OQ |取得最大值,为1+ 5.8.在直角坐标系xOy 中,直线C 1:x +y =4,曲线C 2:⎩⎨⎧x =2cos α,y =3sin α(α为参数).在同一平面直角坐标系中,曲线C 2上的点经过坐标变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′=12x +1,y ′=33y ,得到曲线C 3,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求直线C 1的极坐标方程和曲线C 3的极坐标方程;(2)若射线l :θ=α(ρ>0)分别交C 1与C 3于A ,B 两点,求|OB ||OA |的取值范围. 解:(1)由C 1:x +y =4,得直线C 1的极坐标方程为ρcos θ+ρsin θ=4, 由曲线C 2的参数方程得其普通方程为x 24+y 23=1,由⎩⎪⎨⎪⎧x ′=12x +1,y ′=33y 可得⎩⎪⎨⎪⎧x =2(x ′-1),y =3y ′,将其代入x 24+y 23=1,可得(x ′-1)2+y ′2=1,所以曲线C 3的极坐标方程为ρ=2cos θ. (2)设A (ρ1,α),B (ρ2,α),则-π4<α<π2, 由题可得ρ1=4cos α+sin α,ρ2=2cos α,所以|OB ||OA |=ρ2ρ1=14×2cos α(cos α+sin α)=14(cos 2α+sin 2α+1)=14⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α-π4+1,因为-π4<α<π2, 所以-22<cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α-π4≤1, 所以0<14⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α-π4+1≤14(2+1). 所以|OB ||OA |的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0,14(2+1).。
课后限时集训(六十四) 参数方程 (建议用时:60分钟) A组 基础达标
1.已知P为半圆C: x=cos θ,y=sin θ(θ为参数,0≤θ≤π)上的点,点A的坐标为(1,0),O为坐标原点,点M在射线OP上,线段OM与C的弧AP的长度均为π3.
(1)以O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,求点M的极坐标; (2)求直线AM的参数方程.
[解] (1)由已知,点M的极角为π3,
且点M的极径等于π3, 故点M的极坐标为π3,π3. (2)由(1)知点M的直角坐标为π6,3π6,A(1,0). 故直线AM的参数方程为
x=1+π6-1t,
y=3π6t(t为参数).
2.已知在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程是 x=ty=2t+6(t是参数),以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=22cos θ. (1)求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程; (2)设M(x,y)为曲线C上任意一点,求x+y的取值范围.
[解] (1)由
x=t,
y=2t+6得y=2x+6, 故直线l的普通方程为2x-y+6=0. 由ρ=22cos θ, 得ρ2=22ρcos θ, 所以x2+y2=22x, 即(x-2)2+y2=2, 故曲线C的直角坐标方程为(x-2)2+y2=2. (2)根据题意设点M(2+2cos φ,2sin φ), 则x+y=2+2cos φ+2sin φ=2+2sinφ+π4, 所以x+y的取值范围是[-2+2,2+2]. 3.(2019·新乡模拟)以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C的极坐标方程为ρ=4cos θ,曲线M的直角坐标方程为x-2y+2=0(x>0). (1)以曲线M上的点与点O连线的斜率k为参数,写出曲线M的参数方程; (2)设曲线C与曲线M的两个交点为A,B,求直线OA与直线OB的斜率之和.
[解] (1)由
x-2y+2=0x>0,
y=kx得
x=22k-1,
y=2k2k-1. 故曲线M的参数方程为
x=22k-1,
y=2k2k-1
k为参数,且k>
1
2.
(2)由ρ=4cos θ,得ρ2=4ρcos θ,∴x2+y2=4x. 将 x=22k-1,y=2k2k-1代入x2+y2=4x整理得k2-4k+3=0, ∴k1+k2=4. 故直线OA与直线OB的斜率之和为4. 4.以直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知直
线l的极坐标方程为2ρsinθ+π6-3=0,曲线C的参数方程是 x=2cos φy=2sin φ(φ为参数). (1)求直线l和曲线C的普通方程; (2)直线l与x轴交于点P,与曲线C交于A,B两点,求|PA|+|PB|.
[解] (1)直线l的极坐标方程为2ρsin
θ+
π
6-3=0,
化为3ρsin θ+ρcos θ-3=0, 即l的普通方程为x+3y-3=0,
由曲线C的参数方程 x=2cos φy=2sin φ消去φ,得C的普通方程为x2+y2=4. (2)在x+3y-3=0中令y=0得P(3,0), ∵k=-33, ∴倾斜角α=5π6,
∴l的参数方程可设为
x=3+tcos 5π6,
y=0+tsin 5π6,
即
x=3-32t,
y=12t, 代入x2+y2=4得t2-33t+5=0,Δ=7>0, ∴方程有两解, 又t1+t2=33,t1t2=5>0, ∴t1,t2同号, 故|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=33. 5.已知曲线C:x24+y29=1,直线l: x=2+t,y=2-2t(t为参数). (1)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程; (2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值.
[解] (1)曲线C的参数方程为
x=2cos θ,
y=3sin θ(θ为参数).
直线l的普通方程为2x+y-6=0. (2)曲线C上任意一点P(2cos θ,3sin θ)到l的距离为d=55|4cos θ+3sin θ-6|
=5|5sinθ+a-6|5tan α=43, 则|PA|=dsin 30°=255|5sin(θ+α)-6|,其中α为锐角,且tan α=43. 当sin(θ+α)=-1时,|PA|取得最大值,最大值为2255. 当sin(θ+α)=1时,|PA|取得最小值,最小值为255.
6.已知直线的参数方程为 x=m-12t,y=32t(其中t为参数,m为常数).以原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=2sin θ,直线与曲线C交于A,B两点.
(1)若|AB|=152,求实数m的值; (2)若m=1,点P的坐标为(1,0),求1|PA|+1|PB|的值. [解] (1)曲线C的极坐标方程可化为ρ2=2ρsin θ,
转化为普通方程可得x2+y2=2y,即x2+(y-1)2=1. 把 x=m-12t,y=32t代入x2+(y-1)2=1并整理可得 t2-(m+3)t+m2=0,(*) 由条件可得Δ=(m+3)2-4m2>0,解得-33<m<3. 设A,B对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=m+3,t1t2=m2≥0, |AB|=|t1-t2|=t1+t22-4t1t2=m+32-4m2=152,解得m=32或36. (2)当m=1时,(*)式变为t2-(1+3)t+1=0, t1+t2=1+3,t1t2=1, 由点P的坐标为(1,0)知P在直线上,可得 1|PA|+1|PB|=1|t1|+1|t2|=|t1|+|t2||t1t2|=|t1+t2||t1t2|=1+3.
B组 能力提升 1.已知曲线C1: x=-4+cos t,y=3+sin t(t为参数),C2: x=8cos θ,y=3sin θ(θ为参数). (1)化C1,C2的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线; (2)若C1上的点P对应的参数为t=π2,Q为C2上的动点,求PQ的中点M到直
线C3: x=3+2t,y=-2+t(t为参数)距离的最小值. [解] (1)由C1消去参数t,得曲线C1的普通方程为(x+4)2+(y-3)2=1.
同理曲线C2的普通方程为x264+y29=1. C1表示圆心是(-4,3),半径是1的圆,C2表示中心是坐标原点,焦点在x轴上,长半轴长是8,短半轴长是3的椭圆. (2)当t=π2时,P(-4,4),又Q(8cos θ,3sin θ). 故M-2+4cos θ,2+32sin θ, 又C3的普通方程为x-2y-7=0, 则M到直线C3的距离d=55|4cos θ-3sin θ-13| =55|3sin θ-4cos θ+13| =55|5sin(θ-φ)+13|其中φ满足tan φ=43. 所以d的最小值为855. 2.平面直角坐标系中,直线l的参数方程为 x=t+1,y=3t+1(t为参数).以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=2cos θ1-cos2θ. (1)写出直线l的极坐标方程与曲线C的直角坐标方程; (2)已知与直线l平行的直线l′过点M(2,0),且与曲线C交于A,B两点,试求|AB|.
[解] (1)由l的参数方程
x=t+1,
y=3t+1得其普通方程为3x-y-3+1=0.将x
=ρcos θ,y=ρsin θ代入直线方程得3ρcos θ-ρsin θ-3+1=0.由ρ=2cos θ1-cos2θ
可得ρ2(1-cos2θ)=2ρcos θ,即ρ2sin2θ=2ρcos θ,故曲线C的直角坐标方程为
y2=2x. (2)∵直线l的倾斜角为π3,∴直线l′的倾斜角也为π3.又直线l′过点M(2,0),∴
直线l′的参数方程为 x=2+12t′,y=32t′(t′为参数),将其代入曲线C的直角坐标方程可得3t′2-4t′-16=0,设点A,B对应的参数分别为t′1,t′2.由根与系数的关系知t′1t′2=-163,t′1+t′2=43,∴|AB|=|t′1-t′2|=