函数的奇偶性
●知识梳理
1.奇函数：对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（－x）=－f（x）〔或f （x）+ f（－x）=0〕，则称f（x）为奇函数.
2.偶函数：对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（－x）=f（x）〔或f （x）－f（－x）=0〕，则称f（x）为偶函数.
3.奇、偶函数的性质
（1）具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）.
（2）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称.
（3）若奇函数的定义域包含数0，则f（0）=0.
（4）奇函数的反函数也为奇函数.
（5）定义在（－∞，+∞）上的任意函数f（x）都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和.
●点击双基
1.下面四个结论中，正确命题的个数是
①偶函数的图象一定与y轴相交②奇函数的图象一定通过原点③偶函数的图象关于y轴对称④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f（x）=0（x∈R）解析：①不对；②不对，因为奇函数的定义域可能不包含原点；③正确；④不对，既是奇函数又是偶函数的函数可以为f（x）=0〔x∈（－a，a）〕.
答案：A
2.已知函数f（x）=ax2＋bx＋c（a≠0）是偶函数，那么g（x）=ax3＋bx2＋cx是
A.奇函数
B.偶函数
C.既奇且偶函数
D.非奇非偶函数
解析：由f （x ）为偶函数，知b =0，有g （x ）=ax 3＋cx （a ≠0）为奇函数. 答案：A
3.若偶函数f （x ）在区间［－1，0］上是减函数，α、β是锐角三角形的两个内角，且α≠β，则下列不等式中正确的是
（cos α）＞f （cos β） （sin α）＞f （cos β） （sin α）＞f （sin β）
（cos α）＞f （sin β）
解析：∵偶函数f （x ）在区间［－1，0］上是减函数，∴f （x ）在区间［0，1］上为增函数.由α、β是锐角三角形的两个内角，
∴α+β＞90°，α＞90°－β.1＞sin α＞cos β＞0. ∴f （sin α）＞f （cos β）. 答案：B
4.已知f （x ）＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且其定义域为［a －1，2a ］，则a ＝___________，b ＝___________.
解析：定义域应关于原点对称， 故有a －1＝－2a ，得a ＝3
1.
又对于所给解析式，要使f （－x ）＝f （x ）恒成立，应b ＝0. 答案：3
1 0
5.给定函数:①y =x
1
（x ≠0）；②y =x 2+1；③y =2x ；④y =log 2x ；⑤y =log 2（x +12 x ）. 在这五个函数中，奇函数是_________，偶函数是_________，非奇非偶函数是__________.
答案：①⑤ ② ③④
●典例剖析
【例1】 已知函数y =f （x ）是偶函数，y =f （x －2）在［0，2］上是单调减函数，则
（0）＜f （－1）＜f （2） （－1）＜f （0）＜f （2） （－1）＜f （2）＜f （0）
（2）＜f （－1）＜f （0）
剖析：由f （x －2）在［0，2］上单调递减， ∴f （x ）在［－2，0］上单调递减. ∵y =f （x ）是偶函数，
∴f （x ）在［0，2］上单调递增. 又f （－1）=f （1），故应选A. 答案：A
【例2】 判断下列函数的奇偶性： （1）f （x ）=|x +1|－|x －1|； （2）f （x ）=（x －1）·
x
x
-+11； （3）f （x ）=2
|2|12
-+-x x ；
（4）f （x ）=??
?>+<-).
0()
1(),
0()1(x x x x x x 剖析：根据函数奇偶性的定义进行判断.
解：（1）函数的定义域x ∈（－∞，+∞），对称于原点.
∵f （－x ）=|－x +1|－|－x －1|=|x －1|－|x +1|=－（|x +1|－|x －1|）=－f （x ）， ∴f （x ）=|x +1|－|x －1|是奇函数. （2）先确定函数的定义域.由
x
x
-+11≥0，得－1≤x ＜1，其定义域不对称于原点，
所以f （x ）既不是奇函数也不是偶函数.
（3）去掉绝对值符号，根据定义判断.
由???≠-+≥-,02|2|,012x x 得?
??-≠≠≤≤-.40,11x x x 且
故f （x ）的定义域为［－1，0）∪（0，1］，关于原点对称，且有x +2＞0.从而有f （x ）
= 2212-+-x x =x x 21-，这时有f （－x ）=x x ---2)(1=－x
x 2
1-=－f （x ），故f （x ）为奇
函数.
（4）∵函数f （x ）的定义域是（－∞，0）∪（0，+∞），并且当x ＞0时，－x ＜0， ∴f （－x ）=（－x ）［1－（－x ）］=－x （1+x ）=－f （x ）（x ＞0）. 当x ＜0时，－x ＞0，∴f （－x ）=－x （1－x ）=－f （x ）（x ＜0）. 故函数f （x ）为奇函数.
评述：（1）分段函数的奇偶性应分段证明.
（2）判断函数的奇偶性应先求定义域再化简函数解析式.
【例3】 （2005年北京东城区模拟题）函数f （x ）的定义域为D ={x |x ≠0}，且满足对于任意x 1、x 2∈D ，有f （x 1·x 2）=f （x 1）+f （x 2）.
（1）求f （1）的值；
（2）判断f （x ）的奇偶性并证明；
（3）如果f （4）=1，f （3x +1）+f （2x －6）≤3，且f （x ）在（0，+∞）上是增函数，求x 的取值范围.
（1）解：令x 1=x 2=1，有f （1×1）=f （1）+f （1），解得f （1）=0.
（2）证明：令x 1=x 2=－1，有f ［（－1）×（－1）］=f （－1）+f （－1）.解得f （－1）=0.
令x 1=－1，x 2=x ，有f （－x ）=f （－1）+f （x ），∴f （－x ）=f （x ）.∴f （x ）为偶函
数.
（3）解：f （4×4）=f （4）+f （4）=2，f （16×4）=f （16）+f （4）=3. ∴f （3x +1）+f （2x －6）≤3即f ［（3x +1）（2x －6）］≤f （64）.（*） ∵f （x ）在（0，+∞）上是增函数， ∴（*）等价于不等式组 或?
?
?≤-+-<-+,64)62)(13(,
0)62)(13(x x x x
或???????≤≤--<>53
7,313x x x 或或?????∈<<-.,331R x x
∴3＜x ≤5或－37
≤x ＜－3
1或－3
1
＜x ＜3.
∴x 的取值范围为{x |－37≤x ＜－31或－3
1
＜x ＜3或3＜x ≤5}.
评述：解答本题易出现如下思维障碍：
（1）无从下手，不知如何脱掉“f ”.解决办法:利用函数的单调性.
（2）无法得到另一个不等式.解决办法：关于原点对称的两个区间上，奇函数的单调性相同，偶函数的单调性相反.
深化拓展
已知f （x ）、g （x ）都是奇函数，f （x ）＞0的解集是（a 2，b ），g （x ）＞0的解集
是（22a ，2b ），2
b ＞a 2，那么f （x ）·g （x ）＞0的解集是
A.（22a ，2
b ） B.（－b ，－a 2）
C.（a 2，2b ）∪（－2
b ，－a 2
） D.（22a ，b ）∪（－b 2，－a 2）
提示：f （x ）·g （x ）＞0????>>0)(,0)(x g x f 或?
??<<.0)(,
0)(x g x f
∴x ∈（a 2，2b
）∪（－2
b ，－a 2）. 答案：C
【例4】 （2004年天津模拟题）已知函数f （x ）=x +x
p
+m （p ≠0）是奇函数. （1）求m 的值.
（2）（理）当x ∈［1，2］时，求f （x ）的最大值和最小值. （文）若p ＞1，当x ∈［1，2］时，求f （x ）的最大值和最小值. 解：（1）∵f （x ）是奇函数， ∴f （－x ）=－f （x ）. ∴－x －
x p +m =－x －x
p
－m . ∴2m =0.∴m =0.
（2）（理）（ⅰ）当p ＜0时，据定义可证明f （x ）在［1，2］上为增函数.∴f （x ）
max =
f （2）=2+
2
p
，f （x ）min =f （1）=1+p . （ⅱ）当p ＞0时，据定义可证明f （x ）在（0，p ］上是减函数，在［p ，+∞）上是增函数.
①当p ＜1，即0＜p ＜1时，f （x ）在［1，2］上为增函数， ∴f （x ）max =f （2）=2+
2
p
，f （x ）min =f （1）=1+p . ②当p ∈［1，2］时，f （x ）在［1，p ］上是减函数.在［p ，2］上是增函数. f （x ）min =f （p ）=2p .
f （x ）max =max{f （1），f （2）}=max{1+p ，2+2
p }. 当1≤p ≤2时，1+p ≤2+2p ，f （x ）max =f （2）；当2＜p ≤4时，1+p ≥2+2
p ，f （x ）max =f （1）.
③当p ＞2，即p ＞4时，f （x ）在［1，2］上为减函数，∴f （x ）max =f （1）=1+p ，f （x ）min =f （2）=2+
2
p
. （文）解答略.
p（p＞0）的单调性是一重要问题，利用单调性求最值是重要方评述：f（x）=x+
x
法.
深化拓展 f （x ）=x +
x
p
的单调性也可根据导函数的符号来判断，本题如何用导数来解？ ●闯关训练 夯实基础
1.定义在区间（－∞，+∞）上的奇函数f （x ）为增函数，偶函数g （x ）在区间［0，+∞）上的图象与f （x ）的图象重合，设a ＜b ＜0，给出下列不等式，其中成立的是
①f （b ）－f （－a ）＞g （a ）－g （－b ） ②f （b ）－f （－a ）＜g （a ）－g （－b ） ③f （a ）－f （－b ）＞g （b ）－g （－a ） ④f （a ）－f （－b ）＜g （b ）－g （－a ） A.①④
B.②③
C.①③
D.②④
解析：不妨取符合题意的函数f （x ）=x 及g （x ）=|x |进行比较，或一般地g （x ）=?
?
?≤-≥,0)(,
0)(x x f x x f f （0）=0，f （a ）＜f （b ）＜0.
答案：D
2.（2003年北京海淀区二模题）函数f （x ）是定义域为R 的偶函数，又是以2为周期的周期函数.若f （x ）在［－1，0］上是减函数，那么f （x ）在［2，3］上是
A.增函数
B.减函数
C.先增后减的函数
D.先减后增的函数
解析：∵偶函数f （x ）在［－1，0］上是减函数，∴f （x ）在［0，1］上是增函数.由周期为2知该函数在［2，3］上为增函数.
答案：A
3.已知f （x ）是奇函数，当x ∈（0，1）时，f （x ）=lg x
+11
，那么当x ∈（－1，0）时，f （x ）的表达式是__________.
解析：当x ∈（－1，0）时，－x ∈（0，1），∴f （x ）=－f （－x ）=－lg x
-11
=lg （1－x ）.
答案：lg （1－x ）
4.（2003年北京）函数f （x ）=lg （1+x 2），g （x ）=??
?
??>+-≤-<+.12,1||0,12
x x x x x h （x ）=tan2x 中，
______________是偶函数.
解析：∵f （－x ）=lg ［1+（－x ）2］=lg （1+x 2）=f （x ）， ∴f （x ）为偶函数.
又∵1°当－1≤x ≤1时，－1≤－x ≤1， ∴g （－x ）=0.
又g （x ）=0，∴g （－x ）=g （x ）. 2°当x ＜－1时，－x ＞1， ∴g （－x ）=－（－x ）+2=x +2. 又∵g （x ）=x +2，∴g （－x ）=g （x ）. 3°当x ＞1时， －x ＜－1， ∴g （－x ）=（－x ）+2=－x +2.
又∵g （x ）=－x +2，∴g （－x ）=g （x ）. 综上，对任意x ∈R 都有g （－x ）=g （x ）. ∴g （x ）为偶函数.
h （－x ）=tan （－2x ）=－tan2x =－h （x ）， ∴h （x ）为奇函数.
答案：f （x ）、g （x ）
5.若f （x ）=1
222+-+?x x a a 为奇函数，求实数a 的值.
解：∵x ∈R ，∴要使f （x ）为奇函数，必须且只需f （x ）+f （－x ）=0，即a －1
22
+x
+ a －
1
22+-x =0，得a =1.
6.（理）定义在［－2，2］上的偶函数g （x ），当x ≥0时，g （x ）单调递减，若g （1－m ）＜g （m ），求m 的取值范围.
解：由g （1－m ）＜g （m ）及g （x ）为偶函数，可得g （|1－m |）＜g （|m |）.又g （x ）在（0，+∞）上单调递减，∴|1－m |＞|m |，且|1－m |≤2，|m |≤2，解得－1≤m ＜2
1
.
说明：也可以作出g （x ）的示意图，结合图形进行分析.
（文）（2005年北京西城区模拟题）定义在R 上的奇函数f （x ）在（0，+∞）上是增函数，又f （－3）=0，则不等式xf （x ）＜0的解集为
A.（－3，0）∪（0，3）
B.（－∞，－3）∪（3，+∞）
C.（－3，0）∪（3，+∞）
D.（－∞，－3）∪（0，3）
解析：由奇偶性和单调性的关系结合图象来解. 答案：A 培养能力 7.已知f （x ）＝x （
1
21-x
＋21
）. （1）判断f （x ）的奇偶性； （2）证明f （x ）＞0.
（1）解：f （x ）＝x ·)12(212-+x x ，其定义域为x ≠0的实数.又f （－x ）＝－x ·)12(21
2-+--x
x ＝－x ·)21(221x x -+＝x ·)
12(21
2-+x x ＝f （x ），
∴f（x）为偶函数.
（2）证明：由解析式易见，当x＞0时，有f（x）＞0. 又f（x）是偶函数，且当x＜0时－x＞0，
∴当x＜0时f（x）＝f（－x）＞0，
即对于x≠0的任何实数x，均有f（x）＞0.
探究创新
8.设f （x ）=log 2
1（
1
1--x ax
）为奇函数，a 为常数， （1）求a 的值；
（2）证明f （x ）在（1，+∞）内单调递增；
（3）若对于［3，4］上的每一个x 的值，不等式f （x ）＞（2
1）x +m 恒成立，求实数m 的取值范围.
（1）解：f （x ）是奇函数，∴f （－x ）=－f （x ）. ∴log 2
1
11--+x ax =－log 2
111--x ax ?11--+x ax =ax x --11
＞0?1－a 2x 2=1－x 2?a =±1.检验
a =1（舍），∴a =－1.
（2）证明：任取x 1＞x 2＞1，∴x 1－1＞x 2－1＞0. ∴0＜
121-x ＜122-x ?0＜1+121-x ＜1+12
2-x ?0＜1111-+x x ＜1122-+x x ?log 2
11111-+x x ＞
log 2
1
1
1
22-+x x ，即f （x 1）＞f （x 2）.∴f （x ）在（1，+∞）内单调递增. （3）解：f （x ）－（21）x ＞m 恒成立.
令g （x ）=f （x ）－（2
1
）x .只需g （x ）min ＞m ，用定义可以证g （x ）在［3，4］
上是增函数，∴g （x ）min =g （3）=－89.∴m ＜－8
9
时原式恒成立.
●思悟小结
1.函数的奇偶性是函数的整体性质，即自变量x 在整个定义域内任意取值.
2.有时可直接根据图象的对称性来判断函数的奇偶性. ●教师下载中心 教学点睛
1.函数的奇偶性经常与函数的其他性质，如单调性、周期性、对称性结合起来考查.
因此，在复习过程中应加强知识横向间的联系.
2.数形结合，以形助数是解决本节问题常用的思想方法.
3.在教学过程中应强调函数的奇偶性是函数的整体性质，而单调性是其局部性质. 拓展题例
【例1】 已知函数f （x ）=c
bx ax ++1
2（a 、b 、c ∈Z ）是奇函数，又f （1）=2，f （2）
＜3，求a 、b 、c 的值.
解：由f （－x ）=－f （x ），得－bx +c =－（bx +c ）. ∴c =0.
由f （1）=2，得a +1=2b . 由f （2）＜3，得
1
1
4++a a ＜3， 解得－1＜a ＜2.又a ∈Z ，
∴a =0或a =1.若a =0，则b =2
1
，与b ∈Z 矛盾.∴a =1，b =1，c =0.
【例2】 已知函数y =f （x ）的定义域为R ，对任意x 、x ′∈R 均有f （x +x ′）=f （x ）+f （x ′），且对任意x ＞0，都有f （x ）＜0，f （3）=－3.
（1）试证明：函数y =f （x ）是R 上的单调减函数； （2）试证明：函数y =f （x ）是奇函数；
（3）试求函数y =f （x ）在［m ，n ］（m 、n ∈Z ，且mn ＜0）上的值域.
分析：（1）可根据函数单调性的定义进行论证，考虑证明过程中如何利用题设条件. （2）可根据函数奇偶性的定义进行证明，应由条件先得到f （0）=0后，再利用条件f （x 1+x 2）=f （x 1）+f （x 2）中x 1、x 2的任意性，可使结论得证.
（3）由（1）的结论可知f （m ）、f （n ）分别是函数y =f （x ）在［m 、n ］上的最大值与最小值，故求出f （m ）与f （n ）就可得所求值域.
（1）证明：任取x 1、x 2∈R ，且x 1＜x 2，f （x 2）=f ［x 1+（x 2－x 1）］，
于是由题设条件f（x+x′）=f（x）+f（x′）可知f（x2）=f（x1）+f（x2－x1）.
∵x2＞x1，∴x2－x1＞0.∴f（x2－x1）＜0.
∴f（x2）=f（x1）+f（x2－x1）＜f（x1）.
故函数y=f（x）是单调减函数.
（2）证明：∵对任意x、x′∈R均有f（x+x′）=f（x）+f（x′），
∴若令x=x′=0，则f（0）=f（0）+f（0）.
∴f（0）=0.
再令x′=－x，则可得f（0）=f（x）+f（－x）.
∵f（0）=0，∴f（－x）=－f（x）.故y=f（x）是奇函数.
（3）解：由函数y=f（x）是R上的单调减函数，
∴y=f（x）在［m，n］上也为单调减函数.
∴y=f（x）在［m，n］上的最大值为f（m），最小值为f（n）.
∴f（n）=f［1+（n－1）］=f（1）+f（n－1）=2f（1）+f（n－2）=…=nf（1）.
同理，f（m）=mf（1）.
∵f（3）=－3，∴f（3）=3f（1）=－3.
∴f（1）=－1.∴f（m）=－m，f（n）=－n.
因此，函数y=f（x）在［m，n］上的值域为［－n，－m］.
评述：（1）满足题设条件f（x+x′）=f（x）+f（x′）的函数，只要其定义域是关于原点对称的，它就为奇函数.
（2）若将题设条件中的x＞0，均有f（x）＜0改成均有f（x）＞0，则函数f（x）就是R上的单调增函数.
（3）若题设条件中的m、n∈Z去掉，则我们就无法求出f（m）与f（n）的值，故m、n∈Z不可少.
高一数学函数奇偶性练习题及答案解析 数学函数奇偶性练习题及答案解析 1.下列命题中，真命题是 A.函数y=1x是奇函数，且在定义域内为减函数 B.函数y=x3x-10是奇函数，且在定义域内为增函数 C.函数y=x2是偶函数，且在-3,0上为减函数 D.函数y=ax2+cac≠0是偶函数，且在0,2上为增函数 解析：选C.选项A中，y=1x在定义域内不具有单调性;B中，函数的定义域不关于原点对称;D中，当a<0时，y=ax2+cac≠0在0,2上为减函数，故选C. 2.奇函数fx在区间[3,7]上是增函数，在区间[3,6]上的最大值为8，最小值为-1，则2f-6+f-3的值为 A.10 B.-10 C.-15 D.15 解析：选C.fx在[3,6]上为增函数，fxmax=f6=8，fxmin=f3=-1.∴2f-6+f-3=-2f6- f3=-2×8+1=-15. 3.fx=x3+1x的图象关于 A.原点对称 B.y轴对称 C.y=x对称 D.y=-x对称 解析：选A.x≠0，f-x=-x3+1-x=-fx，fx为奇函数，关于原点对称. 4.如果定义在区间[3-a,5]上的函数fx为奇函数，那么a=________. 解析：∵fx是[3-a,5]上的奇函数， ∴区间[3-a,5]关于原点对称， ∴3-a=-5，a=8. 答案：8 1.函数fx=x的奇偶性为
A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数 解析：选D.定义域为{x|x≥0}，不关于原点对称. 2.下列函数为偶函数的是 A.fx=|x|+x B.fx=x2+1x C.fx=x2+x D.fx=|x|x2 解析：选D.只有D符合偶函数定义. 3.设fx是R上的任意函数，则下列叙述正确的是 A.fxf-x是奇函数 B.fx|f-x|是奇函数 C.fx-f-x是偶函数 D.fx+f-x是偶函数 解析：选D.设Fx=fxf-x 则F-x=Fx为偶函数. 设Gx=fx|f-x|， 则G-x=f-x|fx|. ∴Gx与G-x关系不定. 设Mx=fx-f-x， ∴M-x=f-x-fx=-Mx为奇函数. 设Nx=fx+f-x，则N-x=f-x+fx. Nx为偶函数. 4.已知函数fx=ax2+bx+ca≠0是偶函数，那么gx=ax3+bx2+cx A.是奇函数 B.是偶函数 C.既是奇函数又是偶函数
函数的单调性和奇偶性 教材复习 基本知识方法 1.奇偶函数的性质： ()1函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称； ()2()f x 是偶函数?()f x 的图象关于y 轴对称；()f x 是奇函数?()f x 的图象关于原点对称； ()3奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的 单调性. 2.()f x 为偶函数()()(||)f x f x f x ?=-=． 3.若奇函数()f x 的定义域包含0，则(0)0f =． 4.判断函数的奇偶性的方法： ()1定义法：首先判断其定义域是否关于原点中心对称. 若不对称，则为非奇非偶函数；若对称，则再判断()()f x f x =-或()()f x f x =-是否定义域上的恒等式； ()2图象法； ()3性质法：设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域12D D D = 上：奇±奇=奇，偶±偶=偶，奇?奇=偶，偶?偶=偶，奇?偶=奇； 5. 判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：()()0f x f x ±-=，()1() f x f x =±-． 6.判断函数的单调性的方法： （1）定义法；（2）图象法；（3）性质法：在公共定义域内，利用函数的运算性质：若()f x 、)(x g 同为增函数，则①()()f x g x +为增函数；②()()f x g x 为增函数；③()1()0() f x f x >为减函数； ()()0f x ≥为增函数；⑤()f x -为减函数.
1．设)(x f 是定义在R 上的一个函数，则函数)()()(x f x f x F --=在R 上一定是（ ） A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既是奇函数又是偶函数 D ．非奇非偶函数。 2．函数)11()(+--=x x x x f 是（ ） A ．是奇函数又是减函数 B ．是奇函数但不是减函数 C ．是减函数但不是奇函数 D ．不是奇函数也不是减函数 3．若)(x f 是偶函数，其定义域为()+∞∞-,，且在[)+∞,0上是减函数，则)2 52()23 (2++-a a f f 与的大小关系是（ ） A ．)23(-f >)252(2++a a f B ．)23(-f <)2 52(2 ++a a f C ．)23(-f ≥)252(2++a a f D ．)23(-f ≤)2 52(2++a a f 4．设()f x 是奇函数，且在(0,)+∞内是增函数，又(3)0f -=，则()0x f x ?<的解集是（ ） A ．{}|303x x x -<<>或B ．{}|303x x x <-<<或 C ．{}|33x x x <->或 D ．{}|3003x x x -<<<<或 5．已知函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数， 则实数a 的取值范围是（ ） A ．3a ≤- B ．3a ≥- C ．5a ≤ D ．3a ≥ 6．设()f x 是R 上的奇函数，且当[)0,x ∈+∞时，()(1f x x =，则当(,0)x ∈-∞时()f x =_____________________。 7．若函数2()1 x a f x x bx +=++在[]1,1-上是奇函数,则()f x 的解析式为________. 8．已知定义在R 上的奇函数()f x ，当0x >时，1||)(2-+=x x x f ，那么0x <时，()f x =. 9．设函数()f x 与()g x 的定义域是x R ∈且1x ≠±,()f x 是偶函数,()g x 是奇函数,且1()()1 f x g x x +=-,求()f x 和()g x 的解析式. 10．利用函数的单调性求函数x x y 21++=的值域；
1、判断奇偶性：2211)(x x x f -+-= 2、已知8)(35-++=bx ax x x f 且10)2(=-f ，那么=)2(f 3、判断函数???<≥-=) 0()0()(22x x x x x f 的奇偶性。
4、若3)3()2()(2+-+-=x k x k x f 是偶函数，讨论函数)(x f 的单调区间 6、定义在R 上的偶函数)(x f 在)0,(-∞是单调递减，若)2()6(a f a f <-，则a 的取值范围是如何 7、设奇函数f(x)的定义域为[-5,5].若当x ∈[0,5]时, f(x)的图象如右图,则不等 式()0 《函数的奇偶性》说课稿 各位评委老师，上午好，我是号考生叶新颖。今天我的说课题目是函数的奇偶性。首先我们来进行教材分析。 一、教材分析 函数是中学数学的重点和难点,函数的思想贯穿于整个高中数学之中。函数的奇偶性是函数中的一个重要内容，它不仅与现实生活中的对称性密切相关联，而且为后面学习指、对、幂函数的性质作好了坚实的准备和基础。因此,本节课的内容是至关重要的,它对知识起到了承上启下的作用。 二．教学目标 1．知识目标： 理解函数的奇偶性及其几何意义；学会运用函数图象理解和研究函数的性质；学会判断函数的奇偶性； 2．能力目标： 通过函数奇偶性概念的形成过程，培养学生观察、归纳、抽象的能力，渗透数形结合的数学思想． 3．情感目标： 通过函数的奇偶性教学，培养学生从特殊到一般的概括归纳问题的能力．三．教学重点和难点： 教学重点：函数的奇偶性及其几何意义 教学难点：判断函数的奇偶性的方法与格式 四、教学方法 为了实现本节课的教学目标，在教法上我采取： 1、通过学生熟悉的实际生活问题引入课题，为概念学习创设情境，拉近数学与现实的距离，激发学生求知欲，调动学生主体参与的积极性。 2、在形成概念的过程中，紧扣概念中的关键语句，通过学生的主体参与，正确地形成概念。 3、在鼓励学生主体参与的同时，不可忽视教师的主导作用，要教会学生清晰的思维、严谨的推理，并顺利地完成书面表达。 五、学习方法 1、让学生利用图形直观启迪思维，并通过正、反例的构造，来完成从感性认识到理性思维的质的飞跃。 2、让学生从问题中质疑、尝试、归纳、总结、运用，培养学生发现问题、研究问题和分析解决问题的能力。 六．教学程序 （一）创设情景，揭示课题 “对称”是大自然的一种美，这种“对称美”在数学中也有大量的反映，让我们看看下列各函数有什么共性？ 观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性． 2()f x x = ()||1f x x =- 2 1()x x = x x x 通过讨论归纳：函数2()f x x =是定义域为全体实数的抛物线；函数()||1f x x =-是定义域为全体实数的折线；函数21()f x x =是定义域为非零实数的两支曲线，各函数之间的共性为图象关于y 轴对称．观察一对关于y 轴对称的点的坐标有什么关系？ 归纳：若点(,())x f x 在函数图象上，则相应的点(,())x f x -也在函数图象上，即函数图象上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标一定相等． （二）互动交流 研讨新知 函数的奇偶性定义： 1．偶函数 一般地，对于函数()f x 的定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么 1.3.2函数的奇偶性 【教学目标】 1.理解函数的奇偶性及其几何意义； 2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质； 3.学会判断函数的奇偶性； 【教学重难点】 教学重点：函数的奇偶性及其几何意义 教学难点：判断函数的奇偶性的方法与格式 【教学过程】 （一）创设情景，揭示课题 “对称”是大自然的一种美，这种“对称美”在数学中也有大量的反映，让我们看看下列各函数有什么共性？ 观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性． 2()f x x = ()||1f x x =- 21()x x x = y y y 0 x 通过讨论归纳：函数2 ()f x x =是定义域为全体实数的抛物线；函数()||1f x x =-是定义域为全体实数的折线；函数2 1()f x x = 是定义域为非零实数的两支曲线，各函数之间的共性为图象关于y 轴对称．观察一对关于y 轴对称的点的坐标有什么关系？ 归纳：若点(,())x f x 在函数图象上，则相应的点(,())x f x -也在函数图象上，即函数图象上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标一定相等． （二）研探新知 函数的奇偶性定义： 1．偶函数 一般地，对于函数()f x 的定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么()f x 就叫做偶函数．（学生活动）依照偶函数的定义给出奇函数的定义． 2．奇函数 一般地，对于函数()f x 的定义域的任意一个x ，都有()()f x f x -=-，那么()f x 就叫做奇函数． 注意： ①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则x -也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）． 3．具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称． （三）质疑答辩，排难解惑，发展思维． 例1．判断下列函数是否是偶函数． （1）2()[1,2]f x x x =∈- （2）32 ()1 x x f x x -=- 解：函数2 (),[1,2]f x x x =∈-不是偶函数，因为它的定义域关于原点不对称． 函数32 ()1 x x f x x -=-也不是偶函数，因为它的定义域为}{|1x x R x ∈≠且，并不关于原点对称． 点评：判断函数的奇偶性，先看函数的定义域。 变式训练1 （1）、x x x f +=3)( （2）、1 1)1()(-+-=x x x x f （3）、2224)(x x x f -+-= 解：（1）、函数的定义域为R ，)()()()(33x f x x x x x f -=--=-+-=- 所以)(x f 为奇函数 （2）、函数的定义域为}11|{-≤>x x x 或，定义域关于原点不对称，所以)(x f 为非 奇非偶函数 （3）、函数的定义域为{-2，2},)()(0)(x f x f x f -===-,所以函数)(x f 既是奇函数 又是偶函数 例2．判断下列函数的奇偶性 （1）4()f x x = （2）5()f x x = （3）1()f x x x =+ （4）21()f x x = 分析：先验证函数定义域的对称性，再考察()()()f x f x f x --是否等于或． 解：（1）偶函数（2）奇函数（3）奇函数（4）偶函数 点评：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤： ①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； 高一数学函数的奇偶性 提出问题 ① 如图所示，观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性 对于函数定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x). 定义： 1 ?偶函数：一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个X，都有f( x) f (x)，那么f (x) 就叫做偶函数. 2 ?奇函数：一般地，对于函数 f (x)的定义域的任意一个x，都有f( x) f (x)，那么f (x) 就叫做奇函数. 1、如果函数y f (x)是奇函数或偶函数，我们就说函数y f (x)具有奇偶性；函数的奇偶性是函 数的整体性质； 2、根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、既不是奇函 数也不是偶函数； 3、由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称) .如果一个函数的定义域不关于“0”(原点)对称，则该函数既不是奇函数也不是偶函数； 4、偶函数的图象关于y轴对称，反过来，如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数为偶 函数且f(x) f (|x|)。奇函数的图象关于原点对称；反过来，如果一个函数的图象关于原点 对称，那么这个函数为奇函数? 且f(0)=0 5、可以利用图象判断函数的奇偶性，这种方法称为图象法，也可以利用奇偶函数的定义判断函数的奇偶性，这种方法称为定义法用定义判断函数奇偶性的步骤是 (1)、先求定义域，看是否关于原点对称； (2)、再判断f( x) f (x)或f ( x) f (x)是否恒成立； (3)、作出相应结论. 若f ( x) f(x)或彳(x) f(x) 0,则f(x)是偶函数； 若 f( x) f (x)或 f ( x) f (x) 0,则 f (x)是奇函数 例?判断下列函数的奇偶性 x 3 x 2 为非奇非偶函数；(2)f (x) 为非奇非偶函数 x 1 x 1 奇函数；(4) f (x) (x 1). \ x 1 (7) f (x) .1 x 2 . x 2 1 既是奇函数又是偶函数 (8) f (x) a,a 0 为非奇非偶函数 常用结论： (1) . 两个偶函数相加所得的和为偶函数 (2) . 两个奇函数相加所得的和为奇函数 . ⑶.一个偶函数与一个奇函数相加所得的和为非奇函数与非偶函数 (4) . 两个偶函数相乘所得的积为偶函数 . (5) . 两个奇函数相乘所得的积为偶函数 . (6) . 一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数 . 一?分段函数奇偶性的判断 1 2 —x 2 1 (x 0) 例1.判断函数的奇偶性： g(x) 2 1 2 —X 2 1 (x 0) 2 解：当x >0时，一x v 0,于是 1 2 1 2 g( x) -( x)2 1 (-x 2 1) g(x) 2 2 当x v 0时，一x > 0，于是 1 2 1 2 1 2 g( x) ( x) 1 x 1 ( x 1) g(x) 2 2 2 综上可知， g(x)是奇函数. 2 (1)f (x) x x [ 1,2] 3 (3) f (x) x x (5)f(x) =x+ 丄； x 奇函数；(6) f (x) ■, 1 x 2 2 |x 2| 奇函数 函数的单调性和奇偶性 例1（1）画出函数y＝-x2+2｜x｜+3的图像，并指出函数的单调区间． 解：函数图像如下图所示，当x≥0时，y＝-x2+2x+3＝-（x-1）2+4；当x＜0时，y＝-x2-2x+3＝-（x+1）2+4．在（-∞，-1］和［0，1］上，函数是增函数：在［-1，0］和［1，+∞）上，函数是减函数． 评析函数单调性是对某个区间而言的，对于单独一个点没有增减变化，所以对于区间端点只要函数有意义，都可以带上． （2）已知函数f（x）＝x2+2（a-1）x+2在区间（-∞，4］上是减函数，求实数a的取值范围．分析要充分运用函数的单调性是以对称轴为界线这一特征． 解：f（x）＝x2+2（a-1）x+2＝［x+（a-1）］２-（a-1）2+2，此二次函数的对称轴是x＝1-a．因为在区间（-∞，1-a］上f（x）是单调递减的，若使f（x）在（-∞，4］上单调递减，对称轴x＝1-a必须在x=4的右侧或与其重合，即1-a≥4，a≤-3． 评析这是涉及逆向思维的问题，即已知函数的单调性，求字母参数范围，要注意利用数形结合．例2判断下列函数的奇偶性： （1）f（x）＝- （2）f（x）＝（x-1）． 解：（1）f（x）的定义域为R．因为 f（-x）＝｜-x+1｜-｜-x-1｜ ＝｜x-1｜-｜x+1｜＝-f（x）． 所以f（x）为奇函数． （2）f（x）的定义域为｛x｜-1≤x＜1｝，不关于原点对称．所以f（x）既不是奇函数，也不是偶函数． 评析用定义判断函数的奇偶性的步骤与方法如下： （1）求函数的定义域，并考查定义域是否关于原点对称． （2）计算f（-x），并与f（x）比较，判断f（-x）＝f（x）或f（-x）＝-f（x）之一是否成立．f 1.3.2(1)函数的奇偶性 【教学目标】 1.理解函数的奇偶性及其几何意义； 2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质； 3.学会判断函数的奇偶性； 【教学重难点】 教学重点：函数的奇偶性及其几何意义 教学难点：判断函数的奇偶性的方法与格式 【教学过程】 “对称”是大自然的一种美，这种“对称美”在数学中也有大量的反映，让我们看看下列各函数有什么共性？ 提出问题 ①如图所示，观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性. 结论：这两个函数之间的图象都关于y轴对称. ②那么如何利用函数的解析式描述函数的图象关于y轴对称呢？填写表1和表2，你发现这两个函数的解析式具有什么共同特征？ 表1 表2 结论：这两个函数的解析式都满足：f(-3)=f(3); f(-2)=f(2); f(-1)=f(1). 可以发现对于函数定义域内任意的两个相反数，它们对应的函数值相等，也就是说对于函数定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x). 定义： 1．偶函数 1 / 5 2 / 5 一般地，对于函数()f x 的定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么()f x 就叫做偶函数． 观察函数f(x)=x 和f(x)=x 1 的图象，类比偶函数的推导过程，给出奇函数的定义和性质？ 2．奇函数 一般地，对于函数()f x 的定义域的任意一个x ，都有()()f x f x -=-，那么()f x 就叫做奇函数． 注意： 1、如果函数()y f x =是奇函数或偶函数，我们就说函数()y f x =具有奇偶性；函数的奇偶性是函数的整体性质； 2、根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、既不是奇函 数也不是偶函数； 3、由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则x -也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．如果一个函数的定义域不关于“0”（原点）对称，则该函数既不是奇函数也不是偶函数； 4、偶函数的图象关于y 轴对称, 反过来，如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数为偶函数 且()(||)f x f x = 奇函数的图象关于原点对称；反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数为奇函数. 且f(0)=0 5、可以利用图象判断函数的奇偶性，这种方法称为图象法，也可以利用奇偶函数的定义判断函数的奇偶性，这种方法称为定义法 用定义判断函数奇偶性的步骤是 (1)、先求定义域，看是否关于原点对称； (2)、再判断()()f x f x -=- 或 ()()f x f x -= 是否恒成立； （3）、作出相应结论. 若()()()()0,()f x f x f x f x f x -=--=或则是偶函数； 若()()()()0,()f x f x f x f x f x -=--+=或则是奇函数 例．判断下列函数的奇偶性 （1）2 ()[1,2]f x x x =∈- 为非奇非偶函数 （2）32 ()1x x f x x -=-为非奇非偶函数 （3）x x x f +=3 )( 奇函数 （4）1 1 ) 1()(-+-=x x x x f 高一数学函数的奇偶性 课题：§1.3.2函数的奇偶性 教学目的：（1）理解函数的奇偶性及其几何意义； （2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质； （3）学会判断函数的奇偶性． 教学重点：函数的奇偶性及其几何意义． 教学难点：判断函数的奇偶性的方法与格式． 教学过程： 一、引入课题 1．实践操作：（也可借助计算机演示） 取一张纸，在其上画出平面直角坐标系，并在第一象限任画 一可作为函数图象的图形，然后按如下操作并回答相应问题：○1 以y轴为折痕将纸对折，并在纸的背面（即第二象限） 画出第一象限内图形的痕迹，然后将纸展开，观察坐标系中 的图形； 问题：将第一象限和第二象限的图形看成一个整体，则这个 图形可否作为某个函数y=f(x)的图象，若能请说出该图象具有什么特殊的性质？函数图象上相应的点的坐标有什么特殊 的关系？ 答案：（1）可以作为某个函数y=f(x)的图象，并且它的图 象关于y轴对称； （2）若点（x，f(x)）在函数图象上，则相应的点（－x，f(x)）也在函数图象上，即函数图象上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标一定相等． ○2 以y轴为折痕将纸对折，然后以x轴为折痕将纸对折，在纸的背面（即第三象限）画出第一象限内图形的痕迹，然后将纸展开，观察坐标系中的图形： 问题：将第一象限和第三象限的图形看成一个整体，则这个图形可否作为某个函数y=f(x)的图象，若能请说出该图象具有什么特殊的性质？函数图象上相应的点的坐标有什么特殊的关系？ 答案：（1）可以作为某个函数y=f(x)的图象，并且它的图象关于原点对称； （2）若点（x，f(x)）在函数图象上，则相应的点（－x，－f(x)）也在函数图象上，即函数图象上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标也一定互为相反数． 2．观察思考（教材P39、P40观察思考） 二、新课教学 （一）函数的奇偶性定义 象上面实践操作○1中的图象关于y轴对称的函数即是偶函数，操作○2中的图象关于原点对称的函数即是奇函数．1．偶函数（even function） 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－ 第三节 函数奇偶性（高一秋季班组第五次课10.05） 一．教学目标 1.了解奇偶函数的概念，会判断函数奇偶性； 2.奇偶性的应用 3.奇偶性与单调性综合 二．教学内容 1.偶函数：一般地，如果对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f =-，那么函数)(x f 就叫做偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f -=-，那么函数)(x f 就叫做奇函数。 奇偶性：如果函数)(x f 是奇函数或偶函数，那么就说明函数)(x f 具有奇偶性。 正确理解函数奇偶性的定义：定义是判断或讨论函数奇偶性的依据，由定义知，若x 是定义域中的一个数值，那么-x 也必然在定义域中，因此，函数)(x f y =是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件是：定义域在数轴上所示的区间关于原点对称。换言之，所给函数的定义域若不关于原点对称，则这个函数必不具有奇偶性。 无奇偶性函数是非奇非偶函数；若一个函数同时满足奇函数与偶函数的性质，则既是奇函数，又是偶函数。 两个奇偶函数四则运算的性质： ①两个奇函数的和仍为奇函数；②两个偶函数的和仍为偶函数；③两个奇函数的积是偶函数； ④两个偶函数的积是偶函数； ⑤一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数。 例1.判别下列函数的奇偶性： f(x)＝|x ＋1|+|x －1| ; f(x)＝ 23x ; f(x)＝x ＋x 1 ; f(x)＝21x x + ; f(x)＝x 2,x ∈[-2,3] 思考：f(x)=0的奇偶性？ 练习1.判断下列函数的奇偶性． (1)f(x)＝x 2－|x|＋1，x ∈[－1,4]；(2)f(x)＝1－x 2 |x ＋2|－2； (3)f(x)＝(x －1)1＋x 1－x ； (4)f(x)＝????? －x 2＋x x>0 ，x 2＋x x<0 . 2．奇函数y ＝f(x)(x ∈R )的图像必过点( C ) A ．(a ，f(－a)) B ．(－a ，f(a)) C ．(－a ，－f(a)) D ．(a ，f(1a )) 解析 ∵f(－a)＝－f(a)，即当x ＝－a 时，函数值y ＝－f(a)，∴必过点(－a ，－f(a))． 3．已知f(x)为奇函数，则f(x)－x 为( A ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既不是奇函数又不是偶函数 D ．既是奇函数又是偶函数 解析 令g(x)＝f(x)－x ，g(－x)＝f(－x)＋x ＝－f(x)＋x ＝－g(x)． 4．设函数f(x)和g(x)分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( A ) A ．f(x)＋|g(x)|是偶函数 B ．f(x)－|g(x)|是奇函数 C ．|f(x)|＋g(x)是偶函数 D ．|f(x)|－g(x)是奇函数 解析 由f(x)是偶函数，可得f(－x)＝f(x)．由g(x)是奇函数，可得g(－x)＝－g(x)． 由|g(x)|为偶函数，∴f(x)＋|g(x)|为偶函数． 5.设f(x)＝ax 7＋bx ＋5，已知f(－7)＝－17,求f(7)的值。 6.已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)－g(x)＝11+x ，求f(x)、g(x)。 7．设f(x)是偶函数，g(x)为奇函数，又f(x)＋g(x)＝1x －1 ，则f(x)＝________，g(x)＝________. 答案 1x 2－1，x x 2－1 解析 ∵f(x)＋g(x)＝1x －1， ①∴f(－x)＋g(－x)＝1－x －1 .又f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，∴f(x)－ 当前形势 函数概念与指数函数、对数函数、幂函数在近五年北京卷(理)中考查5～15分 高考 要求 内容 要求层次 具体要求 A B C 奇偶性 √ 结合具体函数，了解奇偶性的含义． 北京 高考 解读 2008年 2009年 2010年（新课标） 2011年（新课标） 2012年(新课标) 第2题 5分 第13题 5分 第3题5分 第13题5分 第6题 5分 第14题 5分 第6题 5分 第8题 5分 第13题 5分 第14题5分 今天我们再学一个新的函数性质——奇偶性，我们按照从直观到数学表达的顺序进行讲解．因为奇偶性的判定比较容易，所以常见函数的奇偶性以及复合函数的奇偶性都直接结合例题适当拓展总结即可，不再单独作为考点给出． 奇偶性的引入（直观） 直观：特殊的对称性．初中学过中心对称和轴对称，奇偶性正是反映这两个对称的问题的． 有些函数关于y 轴对称： ①2y x = ②y x =- ③21 y x = O x y x y O y O x 像这样的关于y 轴对称的函数叫做偶函数． 4.1函数奇偶性的定义与判别 新课标剖析 函数的奇偶性 还有一类函数呈现标准的中心对称，即关于原点的中心对称： ①y x =：② 1 y x =③3 y x = ④y 象这样的关于原点中心对称的函数叫做奇函数． 例：根据图象判断以下函数的奇偶性： ①②③④⑤ 注意③不是偶函数，偶函数中y轴相当于一个镜子．对着镜子照，发现你有钮扣，镜子里没有；或者你带着手表，一照镜子，镜子里没有，像这种情况只有在《大家来找茬》里才有． 下面我们要从直观中寻找数学表达，先通过一些例子来总结总结规律． 例：直观判断下列函数的奇偶性（可以利用图象，或取值代入等方式） ⑴()4 f x x =；⑵()1 f x x =；⑶( )3 f x=；⑷()0 f x=；⑸() f x=⑹()2 f x x =-． 答案：⑴偶；⑵偶；⑶偶；⑷既奇又偶；⑸非奇非偶；⑹奇． 先看偶函数的数学表达： 总结：可以用数字验证，取一对相反数，若它们的值总是一样的，大概猜它是一个偶函数，这就是我们总结出来的规律．那么怎么判断一个函数是偶函数呢？换言之，我们看什么情况下这个函数是偶函数？ 任取x，在它对称的地方取x -，看它们函数值是否相等，若相等就是偶函数， 从而得到偶函数的数学表达：() y f x =定义域为D， ①D关于原点对称（?任意x D ∈，有x D -∈）；（如上面的图形③对应的函数就不可能是偶函数）②任意x D ∈，()() f x f x =-，称() f x为偶函数． 再看奇函数的数学表达： 任取一点x，存在另x -，使() f x与() f x -互为相反数．（这就是关于原点中心对称） ∴对于奇函数有()() f x f x -=-． 如果()() f x f x ≠-，()() f x f x -≠-，则是非奇非偶函数． 函数奇偶性知识点归纳考点分析配经典案例分析 函数的奇偶性定义： 1．偶函数：一般地，对于函数()f x 的定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么()f x 就叫做偶函数． 2．奇函数：一般地，对于函数()f x 的定义域的任意一个x ，都有()()f x f x -=-，那么()f x 就叫做奇函数． 二、函数的奇偶性的几个性质 1、对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称； 2、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x 都必须成立； 3、可逆性：)()(x f x f =-?)(x f 是偶函数；)()(x f x f -=-?)(x f 奇函数； 4、等价性：)()(x f x f =-?0)()(=--x f x f (||)()f x f x ?=； )()(x f x f -=-?0)()(=+-x f x f ； 5、奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称； 6、可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。 7、判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义。 8、如果一个奇函数f(x)在x=0处有意义，则这个函数在x=0处的函数值一定为0。并且关于原点对称。 三、关于奇偶函数的图像特征 一般地： 奇函数的图像关于原点对称，反过来，如果一个函数的图像关于原点对称，那么这个函数是奇函数； 即：f(x)为奇函数<=>f(x)的图像关于原点对称 点（x,y ）→（-x,-y ） 偶函数的图像关于y 轴对称，反过来，如果一个函数的图像关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数。 即： f(x)为偶函数<=>f(x)的图像关于Y 轴对称 点（x,y ）→（-x,y ） 奇函数对称区间上的单调性相同（例：奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单 高一数学函数的奇偶性 学习目标 1、理解函数奇偶性及其几何意义. 2、学会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性 3、学会判断函数的奇偶性 4、周期函数) T x f= + f ( ) (x 知识框架 1、偶函数 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数． 2、奇函数 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．0 f )0(= 3、具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称． 利用定义判断函数奇偶性的步骤： a、首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；若是不 对称，则是非奇非偶的函数；若对称，则进行下面判断； b、确定f(－x)与f(x)的关系； c、作出相应结论： 若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数 若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．利用奇偶函数的四则运算 在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除仍为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数。 4、函数的周期性 随堂练习 1、判断下列函数的奇偶性 （1）;1)(3x x x f -= （2）;)(32x x x f -= （3）;11)(22x x x f -+-= （4）;2112x x y -+-= （5）.)0(2)0(0)0(2)(22?????<--=>+=x x x x x x f 2、已知)(x f 在R 上是奇函数，且满足),()4(x f x f =+当)2,0(∈x 时，22)(x x f =，则.__________)2011(=f 3、函数32)1()(2++-=mx x m x f 为偶函数，则)(x f 在区间)3,5(--上（ ） A 、先减后增 B 、先增后减 C 、单调递减 D 、单调递增 4、已知函数)(x f y =为奇函数，若,1)2()3(=-f f 则._____)3()2(=---f f 5、设函数x a x x x f ))(1()(++=为奇函数，则.______=a 6、函数)(x f 在R 上为奇函数，且),0(,1)(>+=x x x f 则当0 高一数学《函数的奇偶性》教案课题：1.3.2函数的奇偶性 一、三维目标： 知识与技能：使学生理解奇函数、偶函数的概念，学会运用定义判断函数的奇偶性。 过程与方法：通过设置问题情境培养学生判断、推断的能力。情感态度与价值观：通过绘制和展示优美的函数图象来陶冶学生的情操. 通过组织学生分组讨论，培养学生主动交流的合作精神，使学生学会认识事物的特殊性和一般性之间的关系，培养学生善于探索的思维品质。 二、学习重、难点： 重点：函数的奇偶性的概念。 难点：函数奇偶性的判断。 三、学法指导： 学生在独立思考的基础上进行合作交流，在思考、探索和交流的过程中获得对函数奇偶性的全面的体验和理解。对于奇偶性的应用采取讲练结合的方式进行处理，使学生边学边练，及时巩固。 四、知识链接： 1.复习在初中学习的轴对称图形和中心对称图形的定义： 2.分别画出函数f (x) =x3与g (x) = x2的图象,并说出图象的对称性。 五、学习过程： 函数的奇偶性： （1）对于函数，其定义域关于原点对称： 如果______________________________________，那么函数为奇函数； 如果______________________________________，那么函数为偶函数。 （2）奇函数的图象关于__________对称，偶函数的图象关于_________对称。 （3）奇函数在对称区间的增减性；偶函数在对称区间的增减性。 六、达标训练： A1、判断下列函数的奇偶性。 （1）f（x）＝x4；（2）f（x）＝x5； （3）f（x）＝x＋（4）f（x）＝ A2、二次函数( )是偶函数,则b=___________ . B3、已知，其中为常数，若，则 _______ . B4、若函数是定义在R上的奇函数，则函数的图象关于（） （A）轴对称（B）轴对称（C）原点对称（D）以上均不对 高一数学函数的奇偶性学习目标 1、理解函数奇偶性及其几何意义. 2、学会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性 3、学会判断函数的奇偶性 4、周期函数f(x T) f(x) 知识框架 1、偶函数 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个X，都有f(— x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数. 2、奇函数 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个X，都有f( —x)= —f(x)，那么f(x)就叫做奇函数.f(0) 0 3、具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称. 禾U用定义判断函数奇偶性的步骤： a、首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；若是不对称， 贝S是非奇非偶的函数；若对称，贝S进行下面判断； b、确定f( —x)与f(x)的关系； c、作出相应结论： 若f( —x) = f(x) 或f( —x) —f(x) = 0 ，则f(x)是偶函数 若f( —x) = —f(x) 或f( —x) + f(x) = 0 ，贝S f(x)是奇 函数. 禾U用奇偶函数的四则运算 在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除仍为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数。 4、函数的周期性 随堂练习1、判断下列函数的奇偶性 2、已知f(x)在R 上是奇函数，且满足f(x 4) f (x),当x (0,2)时, f(x) 2x 2，贝S f(2011) _________ . 3、 函数f (x) (m 1)x 2 2mx 3为偶函数，则f (x)在区间(5, 3)上() A 、先减后增 B 、先增后减 C 、单调递减 D 、单调递增 4、 已知函数y f (x)为奇函数，若f(3) f(2) 1,则f( 2) f ( 3) _____________ . 5、 设函数f(x) (x 1)(x a)为奇函数，则a __________________ . x 6、 函数f(x)在R 上为奇函数，且 f(x) ■ x 1,(x 0),则当x 0时， f(x) __________ . 7、 设f(x)为定义在R 上的奇函数，当x 0时，f(x) 2x 2x b (b 为 常数)，贝S f( 1) ___________ . 8、 若f(x)是R 上周期为5的奇函数且满足f(1) 1, f(2) 2,则 f(3) f(4) _______ . 9、 函数f(x)的定义域为R,且满足：f(x)是偶函数，f(x 1)是奇函数， 若 f(0.5) 9,贝S f(8.5) __________ . 10、 设f(x)是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有 f (x 2) f (x).当 x [0,2]时，f (x) 2x x 2. (1) 求证：f(x)是周期函数； (2) 当x [2,4]时，求f (x)的解析式； (1) f(x) (3) f (x) (5) f(x) (2) f(x) x 2 x 3; x 2 1 1 x 2; x 2 2(x 0) 0(x 0) . x 2 2(x 0) (4) y 、2x 1 .1 2x; 函数的奇偶性教案 一、条件分析 1．学情分析 函数的奇偶性是函数这个章节的第四节课，通过前三节课的情景教学，学生降低了对函数的恐惧感，所以，在进行教学设计的时候，我们仍然坚持情景教学，从学生身边熟悉的事物入手做到由浅入深，循序渐进。 2.教材分析 教材在处理函数的奇偶性时，基本沿用了处理函数奇偶性的方法，即先给出几个特殊函数的图像，让学生通过图像直观获得函数奇偶性的认识；然后，通过代数运算，探究数量变化特征对定义域内的“任意”值都成立；最后，在这个基础上建立奇偶函数概念。 二、三维目标 知识与技能目标 A层： 1. 理解奇函数、偶函数的概念； 2. 掌握奇函数、偶函数的图像特征； 3. 掌握判别奇偶函数的推理证明法； B层： 1. 理解奇函数、偶函数的概念； 2. 掌握奇函数、偶函数的图像特征； 3. 掌握判别奇偶函数的推理证明法； C层： 1. 了解奇函数、偶函数的概念； 2. 知道奇偶函数的推理证明法； 过程与方法目标 情景教学法、探究法、观察法、讲授法。通过创设情景让学生观察、合作、探究函数图像的性质，直观感受函数的奇偶性；通过讲授让学生掌握判别奇偶函数的证明方法；通过练习加强对新知识的巩固。 情感态度和价值观目标 通过对奇偶函数定义的探究，渗透数形结合的思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对奇偶函数的证明，提高学生的推理论证能力；通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生感知从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程 三、教学重点 奇偶函数的概念、判断及证明 四、教学难点 根据定义证明奇偶函数高中数学函数的奇偶性说课稿
人教版数学高一-函数的奇偶性 教学设计
高一数学函数的奇偶性知识及例题
高中必修一函数的奇偶性详细讲解及练习(详细答案)
函数的奇偶性优秀教案
高一数学函数的奇偶性
高一数学《函数奇偶性》教案
高中数学 函数的奇偶性
高一数学 函数奇偶性知识点归纳
高一数学函数的奇偶性
高一数学《函数的奇偶性》教案
高一数学函数的奇偶性
中职数学函数的奇偶性教案
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