锚杆粘结力分布

锚杆锚固段粘结力分布计算方法黄中木 渠时勤文 摘 锚杆的抗拔力计算式是岩土锚固工程设计中的一个关键技术问题。

工程实践和研究表明，锚固段的内力沿杆长分布是不均匀的，杆体轴力和剪力集度均向根部衰减。

下面就弹性范围内分别介绍国内和国外的几种计算方法，并提出按共同变形原理得出的计算方法。

关键词 粘结力分布 锚杆 围岩变形 1．衰减规律理论的计算方法关于衰减规律理论的计算，以往多采用局部变形假定，即用一系列独立作用的“切向弹簧”来描述锚固段同围岩之间的关系，得出杆体轴力和剪力的分布规律为： ()[]()l sh z l h sh P P ββ-+⨯=0()[]()l sh z l h ch P q βββ-+⨯=0(1-1)式中： l ––锚固段长度，h ––锚固段埋深，z ––坐标P 0––锚杆中轴力，P ––拉拔力，q ––单位长度锚固体上的剪力集度bb sb b s E d k E A k 224πβ==其中：d b ––锚杆直径，E b ––锚杆变形模量，k s ––浆体的综合剪切刚度。

这种传统的计算方法难以正确地反映围岩特性(变形模量)对锚固段内力分布的影响。

为了考虑杆体﹑浆体和围岩的共同作用，现在国内通常要采用有限元[5]和FLAC(Fast Lagrangian Analysis of Continua)等数值计算方法。

2．邓-肯理论的计算方法[6][7][8]邓-肯等人也认为粘结力按衰减规律分布，但是他们认为在弹性条件下，剪应力分布呈高度的非线性，剪应力主要集中在锚固段的顶部，沿锚杆呈指数衰减。

x x e r Ω-Ω=0121στ (1-2) 其中：()21121⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=Ωr r r R当 ()112r r r <- ()211221/ln ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=Ωr r r R当 ()112r r r <-式中：r 1––锚杆直径，r 2––孔洞直径；x ––所要求的点到锚固段顶部的距离； R=E g /E b ，E g 为浆体弹性模量。

邓-肯理论认为剪应力主要集中在锚固段的顶部，剪应力沿锚杆呈指数衰减。

因此，这种理论只适合于短锚杆计算中。

其锚固段长度： Ω=6.4b l (m)) NB(x,y,z) x图2 集中荷载引起的位移3．按共同变形原理得出的计算方法[1]本文对锚固段承受拉拔力引起的围岩变形进行了分析，给出了考虑杆体﹑浆体和围岩共同作用的锚固段内力分布和传递规律的积分表达式及其离散格式，为正确地分析地锚在岩体中的锚固特性，发展锚固工程的设计方法提供一种新的途经。

3．1基本假定视杆体为一维单元，假定由浆体变形特性所决定的杆体和围岩之间的相对位移可表达为()b r sg k q ωω-= (1-3)与式(1)中的综合切向刚度系数k s 不同，此处k sg 仅反应浆体的变形，而没有将岩体变形“综合”进去，可称为“浆体切向刚度系数”。

符号规定：(图1)锚杆材料弹性模量E b ，杆体半径r 1 ,横截面积A b ，杆体位移ωb 浆体剪切模量Ｇg ,泊松比μg ，浆体半径r 2岩体剪切模量G r ,泊松比μr ，岩土体体位移ωr 锚固段长度l锚固段埋深h ，杆体内轴力P ，剪力集度q 反映浆体切向变形特性的切向刚度系数k sg 。

3．2岩体的位移表达式将锚杆作用的岩体近似地视为半无限平面，根据弹性理论，在无限空间中，当A(0,0,ξ)点作用一集中力N 时，点Ｂ(x,y,z)的位移可引用R.Mindlin 给出的解(图2)：⎢⎣⎡+---+-⨯-⨯=221)43()1(843)1(16),,(R R G Nz r r μμμμπξω()⎦⎤++-+-+-522322312)(62))(43(R z z R z z R z ξξξξμξ (1-4) []21221)(ξ-+=z r R (1-5)[]21222)(ξ++=z r R (1-6)222y x r += (1-7)因此，当作用在锚杆杆体上的荷载通过浆体剪切力传到岩土时引起的岩土位移可表达为坐标z 的函数：()⎰+-=lh hr d q z r K ξξξω),,(2 (1-8)图1按共同变形假定分析锚固段内力⎥⎦⎤++-+-+-⎢⎣⎡+---+--=5223223122212)(62))(43()()43()1(843)1(161),,(R z z R z z R z R R G z r K r r r r r r ξξξξμξμμμμπξ(1-9) 式中：R 1,R 2令式(5)﹑(6)中2r r =即得。

3．4 状态方程及求解 设锚杆位移为b ω则()bb b b A E z P dz d ==εω (1-10) 注意到 dzdpq -= 代入(1-3)得 dzdpk sg b r 1-=-ωω对z 微分 221dzpd k dz d dz d sg b r -=-ωω (1-11) 考虑边界条件0,;,0=+===P l h z P P h z()⎰+=lh hr dp z r K dz d dz d ξω,, ()()()ξξξξd p z r K z h z r K z P l h h ⎰+∂∂∂-∂∂-=,,,,2220 (1-12)将式(9)及(11)代入式(10)得： ()()()ξξξξλd P z r K z z P lh h,,12⎰+∂∂∂+()()h z r K zP dz z p d K sg ,,1022∂∂-=λλ (1-13) 式中λ=E b A b令 ()()ξξξ,,,,2222z r K z r K z =∂∂∂()()h z r K h z r K z,,,,212=∂∂则积分方程(1-13)可离散为： ()()=+-∆-∆+-+=∑1122122,,i i i sg j i nj j i P P P k z r K P P λξλ()()2/,,,,220210∆--h z r K P h z r K P i i λλ i=1～ｎ 式中∆为离散分段长度。

写成矩阵 []{}{}0P P M = (1-14) 式中： {}()(){}h z r K h z r K P P i i ,,,,222100+-=λ []{}[][]A M I M ++=0 其中﹛I ﹜为单位矩阵：[]()[]ijji z r K M ξ,,220=[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----∆=21000120000021000121000122sg k A λ解式(1-14)得{P i }，进而求得剪力集度()1~12111-=-∆-=-+n i P P q i i i (1-15) ()011=-∆-=+i P P q i i i (1-16) ()n i P P q i i i =-∆-=-11(1-17)浆体与岩体接触面剪应力 22r q iig πτ=(1-18) 杆体和浆体接触面剪应力 12r q iib πτ= (1-19)3.5 参数的确定[6]（一） 浆体剪移刚度系数sg K目前，对浆体剪移刚度系数的研究较少，因此，对浆体剪移刚度系数K sg 的确定既无可靠的理论计算方法，又无经验值可作借鉴，但是由于该计算参数在锚杆支护理论分析中起着举足轻重的作用，因此本小节主要探讨该参数的计算方法。

由上一小节可知方程 ：dzdpk sg b r 1-=-ωω (1-20)(1) 灌浆柱体弹性范围内扩张引起的界面位移[10]砂浆－锚杆界面上压力公式可以由柱坐标方程推出。

当围岩围住的灌浆体产生压应力,其砂浆－锚杆的界面径向位移可用Popove [11]公式表示：式中符号意义21,P P 分别为砂浆－锚杆界面和砂浆－围岩界面上的径向压力。

同理砂浆－围岩界面的位移为： ()()22112122122122222121221222222112-⋅--⋅+⋅--⋅-=r r r r r P P G r r r r P r P G U g g g gμ在半径为2r 的围岩界面上由于2P 压力的存在，无限介质中围岩的径向位移由Jaeger 和CooK [12]给出： ()()2311222-+=r rr V E r P U利用变形协调条件得出： ()24122-=gr U U压力1P 可以用2P 表示： ()25121-X =P P()()[]()()[]()26121212121212121212221222122-+-⋅-+-⋅-+=X r r r r G r r r r G G g g g g r μμ将(1-25)（1-26）代入(1-21) ，锚杆－砂浆界面的位移可以用压力1P 表达： ()2711lg -'=P M U()()28111121221121222221121222221-⋅-⎪⎭⎫ ⎝⎛X -+⋅-X -⋅-='r r r r r G r r r r r G M g g g μM '是侧向位移lg U 和砂浆在弹性范围内压力1P 的线性关系斜率。

同样可以得到砂浆－围岩界面的侧向位移可以用压力1P 表达： ()29112-''=P M U g()()()()()2111212211)1(21112122222121121222222111212222212112122222211lg -⋅--⋅+⋅--⋅-=⋅--⋅++⋅--⋅-+=r r r r r P P G r r r r P r P G r r r r r P P E r r r r P r P E U g g g g g gggμμμμ())301(11121221221222221221222221-⋅-⎪⎭⎫ ⎝⎛X -+⋅-X -⋅-=''r r r r r G r r r r r G M g g g μ由侧向位移和轴向位移的关系可以得出锚杆－砂浆界面和砂浆－围岩界面的轴向位移式中ϕ为砂浆內摩擦角，φ为围岩体內摩擦角。

（2）锚杆－砂浆界面的剪力砂浆―锚杆界面的最大粘结强度是由砂浆强度决定的。

抗剪强度可以用内摩擦角ϕ和砂浆―锚杆界面的压应力表示： )331()tan(-⋅=ϕστ式中：1p =σ锚杆上的剪力集度为)341(12-=τπr q将（1-32）﹑（1-34）代入（1-20），消去1p 并由方程dzdpq -=,可以得到砂浆体剪移刚度系数sg K ：()351)tan()tan(2)tan()tan(21212-''-'=-=φϕπφϕπM M r U U r K g g sg可以看出，浆体剪移刚度系数sg K 是与浆体力学参数和几何尺寸有关的系数，由于围岩（侧限）的存在，浆体剪移刚度系数sg K 较无侧限情况下要高。