重因式和重根

6.定理
如果不可约多项式 p(x) 是 f (x) 的 k 重因式（ k ≥ 1 ），那么它是 f '(x) 的 k −1重因式.
7.推论
(1) 如 果 不 可 约 多 项 式 p(x) 是 f (x) 的 k 重 因 式 （ k ≥ 1 ） , 那 么 p(x) 是
f (x), f '(x), , f (k−1) (x) 的因式，但不是 f (k) (x) 的因式.
其 中 c1, cs , p1, pr , q1, qr 全 是 实 数 ， l1, , ls , k1, , kr 是 正 整 数 ， 并 且
x2 + pi x + qi (i = 1, 2, , r) 在实数域上是不可约的.
§1.8 有理系数多项式
1．本原多项式的定义 如果一个非零整系数多项式
g(x) = bn xn + bn−1xn−1 + + b0
d (x) ，且 d (x) 可以表示成 f (x), g(x) 的一个组合，即有 F[x] 中多项式 u(x), v(x) 使
d(x) = u(x) f (x) + v(x)g(x) .
4． 互素定义
设 f (x), g(x) ∈ F[x]，若 ( f (x), g(x)) = 1，则称 f (x) 与 g(x) 互素.
设 f (x), g(x) 是整系数多项式，且 g(x) 是本原的. 如果 f (x) = g(x)h(x) ，其中 h(x)
是有理系数多项式，那么 h(x) 一定是整系数的.
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5. 定理 设
f (x) = an xn + an−1xn−1 + + a0
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高等代数习题集

关于多项式与多项式函数相等的注记徐运阁;陈媛【摘要】给出了域上两个多项式作为多项式相等与作为多项式函数恒等的充要条件,引入有限域上约化多项式的概念,给出了有限域上多项式函数重根的定义及判定法则.【期刊名称】《大学数学》【年(卷),期】2018(034)006【总页数】3页(P81-83)【关键词】多项式;多项式函数;约化多项式;重根【作者】徐运阁;陈媛【作者单位】湖北大学数学与统计学学院应用数学湖北省重点实验室,武汉430062;湖北大学数学与统计学学院应用数学湖北省重点实验室,武汉430062【正文语种】中文【中图分类】O151.21 引言多项式是高等代数的重要内容之一，在计算机科学、现代通信、编码和密码等许多领域都有广泛应用，因此引起了人们的密切关注[1-3].众所周知，数域F上的每个多项式f(x)都定义了F上的一个多项式函数，而且两个多项式f(x)与g(x)作为多项式相等当且仅当它们作为多项式函数相等.然而，在涉及有限域上多项式的教学中，经常发现学生会遇到一些问题与困惑，这可以归结为如下的简单例子.关于有限域及有限域上的多项式，参见文献[3].设Fq是含有q个元素的有限域，f(x)=xq+1∈Fq[x]，考虑其形式导数f′(x)=(q+1)xq=qxq+xq=xq.由于在Fq中对任意x∈Fq，都有xq=x，所以f′(x)=x. 但另一方面，注意到f(x)=xqx，由于对任意x∈Fq， xq=x，所以f(x)=x2，从而f′(x)=2x.上述推理似乎没有问题，却得到了一个明显的矛盾.问题究竟出现在哪里？事实上，上述矛盾在于多项式相等与多项式函数相等这两个概念上. 在高等代数教学中，数域上的(形式)多项式与多项式函数一般是不作区别的. 但在有限域上，这二者却有着较大的区别.2 多项式与多项式函数设F是一个域，则域F上的(形式)多项式f(x)定义为f(x)=a0+a1x+…+anxn，其中x是未定元，系数ai∈F，i=0,1,…,n. 定义f(x)∶F→F，f(b)=a0+a1b+…+anbn.则f(x)是F上的一个多项式函数.由上述定义，可立即得到多项式与多项式函数的区别：作为多项式的f(x)，x是未定元，既可以取域F中的元，也可以取矩阵、向量等其它对象；而作为函数的多项式f(x)，x仅仅是F上的变量，其取值仅限于F.定义1 设多项式f(x)=a0+a1x+…+anxn，g(x)=b0+b1x+…+bmxm.如果n=m，且ai=bi，i=0,1,…,n，则称f(x)与g(x)作为多项式相等，记作f(x)=g(x)；如果对任意的b∈F，都有f(b)=g(b)，则称f(x)与g(x)作为多项式函数恒等，记作f(x)≡g(x).显然，f(x)=g(x)蕴含着f(x)≡g(x)，但反过来是否成立呢？由Bezout因式定理(即a是f(x)的根当且仅当x-a整除f(x))可得如下结论.引理1[4] 设f(x)是域F上的多项式，f(x)的次数degf(x)=n>0，则f(x)在F中至多有n个不同的根.由此立即可得.引理2[4] 设f(x),g(x)∈F[x]，且degf(x)≤n，degg(x)≤n.若F中存在n+1个不同的元b1,b2,…,bn+1使得f(bi)=g(bi)，i=1,…,n+1，则f(x)=g(x).证令h(x)=f(x)-g(x)，则由题设知degh(x)≤n；但h(x)有n+1个不同的根，所以h(x)=0，即f(x)=g(x).证毕.定理1 f(x),g(x)∈F[x].若|F|>max {degf(x),degg(x)}，则f(x)≡g(x)蕴含着f(x)=g(x).证设|F|>max{degf(x),degg(x)}.若在F上f(x)≡g(x)，即对任意的b∈F，都有f(b)=g(b)，则由引理2即得f(x)=g(x).证毕.推论1 域F上任意两个多项式作为多项式相等与作为多项式函数恒等是一致的充要条件是F为无限域.证充分性由定理1即得.必要性. 反证法.假设|F|=q是一个有限域，考虑有限域Fq上的两个多项式xq+1与x2，由于∀b∈Fq，都有bq+1=bqb=b2，所以在Fq上xq+1≡x2，但由于二者次数不同，显然作为多项式xq+1≠x2，与题设矛盾.证毕.我们回到引言中所提到的问题，对于多项式xq+1与x2，尽管在Fq上xq+1≡x2，但|Fq|=q<q+1=max{degxq+1,degx2}，而显然xq+1与x2作为多项式并不相等.引言中的推理过程混淆了多项式相等与多项式函数恒等这两个概念从而导致了矛盾.推论2 设f(x),g(x)∈F[x].若域F的特征charF=0，则在F上f(x)≡g(x)蕴含着f(x)=g(x).推论3 设f(x),g(x)∈F[x].若F是一个数域，则在F上f(x)≡g(x)蕴含着f(x)=g(x).3 重因式与重根我们接下来讨论多项式的重因式与多项式函数的重根.定义2[4] 设f(x)∈F[x]，k为正整数.域F上的不可约多项式p(x)称为f(x)的k-重因式，如果pk(x)|f(x)，但pk+1(x)f(x).引理3 设f(x)∈F[x]，域F上的不可约多项式p(x)是f(x)的k-重因式，k≥1.则(i) 若charFk，则p(x)是f′(x)的(k-1)-重因式.(当k=1时，0-重因式意即p(x)f′(x).) (ii) 若charF|k，则p(x)至少是f′(x)的k-重因式.证设f(x)=pk(x)g(x)，p(x)g(x)，则g(x)∈F[x].f(x)的形式导数为f′(x)=kpk-1(x)p′(x)g(x)+pk(x)g′(x)=pk-1(x)(kp′(x)g(x)+p(x)g′(x)).(i) 若charFk，则k在F中不为0，从而p(x)kp′(x)g(x)+p(x)g′(x).所以p(x)是f′(x)的(k-1)-重因式.(ii) 若charF|k，则k在F中为0，从而f′(x)=pk(x)g′(x).所以p(x)至少是f′(x)的k-重因式.证毕.定理2[4] F[x]内一个正次数多项式f(x)无重因式的充要条件是(f(x),f′(x))=1.证必要性.反证，假设(f(x),f′(x))=d(x)≠1.则d(x)∈F[x]，且degd(x)≥1.设p(x)是d(x)的一个不可约因式，且f(x)=pk(x)g(x)，p(x)g(x)，显然k≥1.若k=1，则p(x)f′(x)=p′(x)g(x)+p(x)g′(x)，与假设矛盾.若k>1，则p(x)是f(x)的k-重因式，与f(x)无重因式矛盾.从而假设不成立，即证.充分性.假设f(x)有k-重因式p(x)，k>1.则由引理3知，p(x)至少是f′(x)的(k-1)-重因式， k-1>0.这与(f(x),f′(x))=1矛盾，即证.回顾一下，数域F中元素α称为多项式函数f(x)的k-重根，如果因式x-α是f(x)的k-重因式.然而，如引言中的例子，有限域Fq上的多项式函数xq+1与x2恒等，因此表达了Fq上的同一个函数.显然，它们只有零根，但这个唯一的零根是(q+1)-重根还是2-重根呢？为解决由多项式函数表达不唯一而导致重根无法定义的问题，我们引入约化多项式的概念.注意到有限域上的多项式函数表达不唯一的根本原因在于在Fq[x]中xq≡x，所以我们可以模掉xq-x，使得多项式函数的表达唯一.设f(x)∈Fq[x]，由多项式的欧氏除法可知，存在唯一gf(x),rf(x)∈Fq[x]，使得f(x)=gf(x)(xq-x)+rf(x)，其中rf(x)=0或degrf(x)<q.从而f(x)≡rf(x)(modxq-x).定义3 rf(x)称为f(x)的约化多项式，记作(x).定理3 设f(x),g(x)∈Fq[x]，则它们的约化多项式相等与作为F上的多项式函数恒等是一致的，即当且仅当因此，有限域上多项式函数的重根可如下定义.定义4 设f(x)∈Fq[x].则Fq中元素α称为多项式函数f(x)的k-重根，如果因式x-α是 (x)的k-重因式.显然，Fq上多项式函数的根的重数至多为q-1.推论4 设f(x)∈Fq[x], Fq中元素α是多项式函数f(x)的k-重根，k≥1.则(i) 若charFqk，则α是′(x)的(k-1)-重根.(当k=1时, 0-重根意即′(α)≠0.)(ii) 若charFq|k，则α至少是′(x)的k-重根.推论5 Fq[x]内一个正次数多项式函数f(x)在Fq中无重根当且仅当((x),′(x))在Fq中无根.证由推论4立即可得.[参考文献]【相关文献】[1] 林晨,李永彬.有限域上代数簇间多项式映射的一个注记[J].大学数学, 2015, 31(1): 35-37.[2] 汪仲文,官春梅,王和香,邹庭荣.多项式最大公因式的启发式教学实践[J].大学数学,2017,33(1): 103-108.[3] 张禾瑞.近世代数基础[M].北京:高等教育出版社,1978.[4] 北京大学前代数小组.高等代数[M]. 王萼芳，石生明，修订. 4版：北京:高等教育出版社,2013.。

多项式重根判别方法一、定义多项式函数F(x)的根x=k是多项式函数F(x)除以(x-k)的商式为0得到的解。

如果这个根出现的次数大于1，那么该根就被称为多项式重根。

二、重根的判别1.一元二次多项式（ax²+bx+c）的判别式Δ=b²-4ac。

- 当Δ>0时，方程有两个不同的实数根。

- 当Δ=0时，方程有一个重实数根。

- 当Δ<0时，方程有两个共轭虚数根。

2.一元三次多项式（ax³+bx²+cx+d）的判别式Δ=b²c²-4ac³-4b³d-27a²d²。

- 当Δ>0且ΔV<0时，方程有三个实根，其中两个相等，另一个与它们不同。

- 当Δ>0且ΔV=0时，方程有三个实根，其中有两个相等。

- 注：ΔV是判别式的一个变量，由V=(2b³-9abc)/27a³得到。

3.一元四次多项式（ax⁴+bx³+cx²+dx+e）的判别式Δ=b²c²-4ac³-4b³d-27a²d²+18abcd-4a³c²。

- 当Δ>0时，方程有四个实根，其中两个相等，另外两个也相等。

- 当Δ=0时，方程有两个实根，其中一个重根，另一个不同。

- 当Δ<0时，方程有两个共轭复根。

三、重根的处理在求解多项式方程时，如果遇到了重根，需要进行一些特别的处理，以确保求出的根的个数是正确的。

1.重根的特点重根有两个重要的特点：- 函数在该点处有一个局部极值点。

- 函数在该点处的导数为0。

因此，要求解多项式方程的重根，需要进行以下两步操作：- 使用求导方法来找到多项式在该点处的导数。

- 使用求导后的多项式来解决多项式方程。

2.重根的求解设f(x)为多项式函数，x=k为重根，则有f(k)=f'(k)=0。

第一章多项式（讲授7课时）一、教学目的：1、掌握数域的定义，会判定一个代数系统是否是多项式；2、正确理解数域p上的一元多项式的定义，多项式相乘，次数，一元多项式环等概念。

3、掌握多项式的运算及规律。

4、掌握整除的定义，熟练掌握带余除法及整除的性质。

5、正确理解和掌握两个（或者若干个）多项式的最大公因式，互素等概念及性质。

能用辗转相除法求两个多项式的最大公因式。

6、正确理解和掌握不可约多项式的定义与性质及判定。

7、正确理解和掌握k重因式的定义。

8、掌握余数定理，多项式的根及性质。

9、理解代数基本定理，熟练掌握复系数多项式分解定理及标准分解式。

二、教学内容：1、数域、一元多项式、多项式根、多项式整除。

2、最大公因式、不可约多项式、重因式、复系数与实系数多项式的因式分解。

三、教学重点：多项式整除及性质、多项式互素、最大公因式、重因式、不可约多项式判定及多项式的标准分解四、教学难点：多项式互素、最大公因式、不可约多项式及多项式分解五、教学方法：启发讲授六、教学过程：(一)、多项式整除基本知识点1、定义：设(),()[]f x gxhxg x f x。

=，则称()|()∃∈，使()()()hx Pxf xg x P x∈，若()[]2、带余除法定理：(),()[],()0∃∈，有q x r x P x∈≠，则(),()[]f xg x P x g x=+f xg x q x r x()()()()其中()0∂<∂。

r x=，或(())(())r x g x3、整除的性质：(1)、()|(),()|()()()⇒=；f xg x g x f x f x cg x(2)、()|(),()|()()|()f x g x g x h x f x h x ⇒； (3)、11()|(),1,,()|(()()()())i n n f x g x i n f x u x f x u x f x =⇒++；(4)、整除与系数域大小无关；(5)、()|()()g x f x g x ⇔的所有根都是()f x 的根(含重根)常见的n 次单位根。