山东省聊城市2007—2008学年度高三第一学期期中考试数学试题(文科)

山东省淄博市2007—2008学年度高三第一次摸底考试文 科 数 学 试 题2007.09.27本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)，共22小题，第Ⅰ卷第1—2页，第Ⅱ卷第3—9页，满分150分，考试时间120分钟．考试结束，监考人将第Ⅱ卷和答题卡一并收回．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1)如果} 9 |{的正整数是小于x x U =，=A {1，2，3，4}，=B {3，4，5，6}，那么 =))((B C A C U U(A ){1，2} (B ){3，4} (C ){5，6} (D ){7，8}(2)已知}{n a 是等差数列，1010=a ，其前10项和7010=S ，则其公差=d(A )32-(B )31-(C )31(D )32(3)若22)4sin(2cos -=-παα，则ααsin cos +的值为 (A )27-(B )21-(C )21(D )27(4)幂函数1-=x y 及直线x y =，1=y ，1=x 将平面系的第一象限分成八个“卦限”⑧(如图所示)，那么幂函数21x y =的图象经过的“卦限”是(A )④，⑦ (B )④，⑧ (C )③，⑧ (D )①，⑤(5)已知函数)3sin()(πω+=x x f )0(>ω的最小正周期为π，则该函数的图象(A )关于点)0 ,3(π对称 (B )关于直线4π=x 对称 (C )关于点)0 ,4(π对称(D )关于直线3π=x对称(6)若数列}{n a 满足p a a nn =+221(p 为正常数，*N n ∈)，则称}{n a 为“等方比数列”．甲：数列}{n a 是等方比数列；乙：数列}{n a 是等比数列，则(A )甲是乙的充分条件但不是必要条件 (B )甲是乙的必要条件但不是充分条件 (C )甲是乙的充要条件(D )甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件x题图第 4(7)函数=)(x f {,44,442+--x x x 11>≤x x 的图象和函数x x g 2log )(=的图象的交点个数是(A )4(B )3 (C )2 (D )1(8)给出下列四个等式：)()()(y f x f y x f +=+，)()()(y f x f xy f +=，)()()(y f x f y x f =+，)()(1)()()(y f x f y f x f y x f -+=+，下列函数中不满足其中任何一个等式的是 (A )x x f 3)(= (B )x x f sin )(=(C )x x f 2log )(=(D )x x f tan )(=(9)曲线x e y =在点) ,2(2e 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 (A )249e(B )22e (C )2e(D )22e(10)设)12lg()(a xx f +-=是奇函数，则使0)(>x f 的x 的取值范围是 (A ))0 ,1(-(B ))1 ,0( (C ))0 ,(-∞ (D )) ,1()0 ,(∞+-∞ (11)已知点)2 ,0(-Q ，如果点P 在平面区域{2012022≤-+≤+-≥+-y x y x y x 上，那么||PQ 的最小值为(A )2(B )22(C )54(D )5(12)已知二次函数c bx ax x f ++=2)(的导数为)(x f '，0)0(>'f ，对于任意实数x ，有0)(≥x f ，则)0()1(f f '-的最小值为(A )3 (B )25(C )2 (D )0淄博市2007—2008学年度高三第一次摸底考试文 科 数 学 试 题2007.09.27第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分．把答案填在题中的横线上． (13)函数)(x f 是定义在)2 ,2(-上的奇函数，当)2 ,0(∈x 时，12)(-=x x f ，则)31(l o g 2f 的值为 ．(14)在ABC ∆中，若31tan=A ，︒=150C，1=BC ，则=AB ．(15)函数x x x f cos 3sin )(-=])0 ,[(π-∈x 的单调递增区间是 ． (16)给出以下命题： ①若p ：R x ∈∀，1sin ≤x ，则p ⌝：R x ∈∃，1sin >x ； ②若p ：R x ∈∀，1sin≤x ，则p⌝：R x ∈∃，1sin>x ；③对于函数n mx x x f ++=3)(，若0)(>a f ，0)(<b f ，则函数)(x f 在) ,(b a 内至多有一个零点；④对于函数n mx x x f ++=3)(，若0)()(<b f a f ，则函数)(x f 在) ,(b a 内至多有一个零点，其中正确命题的序号是 (注：把你认为正确的命题的序号都填上)．三、解答题：本大题共6小题；共74分．解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(17)(本小题满分12分)已知集合}|2||{a x x A ≤-=，}045|{2≥+-=x x x B ．若∅=B A ，求实数a 的取值范围．已知}{n a 是公比为q 的等比数列，且1a 、3a 、2a 成等差数列． (Ⅰ)求q 的值；(Ⅱ)设}{n b 是以2为首项，q 为公差的等差数列，其前n 项和为n S ．当2n 时，比较n S 与n b 的大小，并说明理由．(文)已知函数x x x x x f 22cos 2cos sin 3sin )(++=，R x ∈． (Ⅰ)求函数)(x f 的最小正周期和单调增区间；(Ⅱ)函数)(x f 的图像可以由函数x y sin =)(R x ∈的图像经过怎样的变换得到？数列}{n a 的前n 项和为n S ，11=a ，n n S a 21=+*)(N n ∈． (Ⅰ)求数列}{n a 的通项n a ；(Ⅱ)求数列}{n na 的前n 项和n T ．某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a 元(5≤x)时，一年的销售量为9≤≤a)的管理费，预计当每件产品的售价为x元(113≤2-万件．(x)12(Ⅰ)求分公司一年的利润L(万元)与每件产品的售价x的函数关系式；(Ⅱ)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q．(a)设函数x x f ln )(=，xb ax x g +=)(，函数)(x f 的图象与x 轴的交点也在函数)(x g 的图象上，且在此点有公切线．(Ⅰ)求a 、b 的值；(Ⅱ)证明：当10≤<x 时，即)()(x g x f ≥；当1>x 时，即)()(x g x f <．淄博市2007—2008学年度高三第一次摸底考试数学试题答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1)如果} 9 |{的正整数是小于x x U =，=A {1，2，3，4}，=B {3，4，5，6}，那么 =))((B C A C U U(A ){1，2}(B ){3，4}(C ){5，6}(D ){7，8}(2)已知}{n a 是等差数列，1010=a ，其前10项和7010=S ，则其公差=d(A )32-(B )31-(C )31(D )32(3)若22)4sin(2cos -=-παα，则ααsin cos +的值为 (A )27-(B )21-(C )21(D )27(4)幂函数1-=x y 及直线x y =，1=y ，1=x 将平面系的第一象限分成八个“卦限”⑧(如图所示)，那么幂函数21x y =的图象经过的“卦限”是(A )④，⑦ (B )④，⑧ (C )③，⑧ (D )①，⑤(5)已知函数)3sin()(πω+=x x f )0(>ω的最小正周期为π，则该函数的图象(A )关于点)0 ,3(π对称 (B )关于直线4π=x 对称 (C )关于点)0 ,4(π对称(D )关于直线3π=x对称(6)若数列}{n a 满足p a a nn =+221(p 为正常数，*N n ∈)，则称}{n a 为“等方比数列”．甲：数列}{n a 是等方比数列；乙：数列}{n a 是等比数列，则(A )甲是乙的充分条件但不是必要条件 (B )甲是乙的必要条件但不是充分条件 (C )甲是乙的充要条件(D )甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件(7)函数=)(x f {,44,442+--x x x 11>≤x x 的图象和函数x x g 2log )(=的图象的交点个数是(A )4(B )3 (C )2 (D )1x题图第 4(8)给出下列四个等式：)()()(y f x f y x f +=+，)()()(y f x f xy f +=，)()()(y f x f y x f =+，)()(1)()()(y f x f y f x f y x f -+=+，下列函数中不满足其中任何一个等式的是 (A )x x f 3)(=(B )x x f sin )(=(C )x x f 2log )(=(D )x x f tan )(=(9)(理)曲线x e y 21=在点) ,4(2e 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 (A )229e(B )24e (C )22e (D )2e(文)曲线x e y =在点) ,2(2e 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 (A )249e(B )22e (C )2e(D )22e(10)设)12lg()(a xx f +-=是奇函数，则使0)(>x f 的x 的取值范围是 (A ))0 ,1(-(B ))1 ,0( (C ))0 ,(-∞ (D )) ,1()0 ,(∞+-∞(11)(理)若不等式组{ay x y y x y x ≤+≥≤+≥-0220表示的平面区域是一个三角形区域，则a 的取值范围是(A )34≥a (B )10≤<a (C )341≤≤a (D )10≤<a 或34≥a(文)已知点)2 ,0(-Q ，如果点P 在平面区域{2012022≤-+≤+-≥+-y x y x y x 上，那么||PQ 的最小值为(A )2(B )22(C )54(12)已知二次函数c bx ax x f ++=2)(的导数为)(x f '，0)0(>'f ，对于任意实数x ，有0)(≥x f ，则)0()1(f f '-的最小值为(A )3 (B )25(C )2 (D )0二、填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分．把答案填在题中的横线上．(13)(理)=---⎰dx x x 102))1(1(214-π．(文)函数)(x f 是定义在)2 ,2(-上的奇函数，当)2 ,0(∈x 时，12)(-=x x f ，则)31(l o g 2f 的值为 -2 ．(14)在ABC ∆中，若31tan=A ，︒=150C，1=BC ，则=AB 210． (15)函数x x x f cos 3sin )(-=])0 ,[(π-∈x 的单调递增区间是]0 ,6[π-．(16)给出以下命题：①若p ：R x ∈∀，1sin ≤x ，则p ⌝：R x ∈∃，1sin >x ； ②若p ：R x ∈∀，1sin ≤x ，则p ⌝：R x ∈∃，1sin>x ；③对于函数n mx x x f ++=3)(，若0)(>a f ，0)(<b f ，则函数)(x f 在) ,(b a 内至多有一个零点；④对于函数n mx x x f ++=3)(，若0)()(<b f a f ，则函数)(x f 在) ,(b a 内至多有一个零点，其中正确命题的序号是 ①③ (注：把你认为正确的命题的序号都填上)． 三、解答题：本大题共6小题；共74分．解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(17)(本小题满分12分)已知集合}|2||{a x x A ≤-=，}045|{2≥+-=x x x B ．若∅=B A ，求实数a 的取值范围．解：当0<a 时，∅=A ，显然∅=B A ．………………………………………2分 当0≥a 时，∅≠A}22|{}|2||{a x a x a x x A +≤≤-=≤-=，}4 ,1|{}045|{2≥≤=≥+-=x x x x x x B 或，…………………………………………7分由∅=B A ，得{4212≥<+>-a a a ，解得10<≤a ．………………………………………11分 综上所述，a 得取值范围为} ,1|{R a a a ∈<．………………………………………12分 (18)(本小题满分12分)已知}{n a 是公比为q 的等比数列，且1a 、3a 、2a 成等差数列． (Ⅰ)求q 的值；(Ⅱ)设}{n b 是以2为首项，q 为公差的等差数列，其前n 项和为n S ．当2≥n 时，比较n S 与n b 的大小，并说明理由．解：(Ⅰ)由题设2132a a a +=，即q a a q a 11212+=， 因为01≠a ，所以0122=--q q ，所以1=q 或21-=q．……………………………2分(Ⅱ)若1=q ，则2312)1(22nn n n n S n +=⋅-+=， 当2≥n 时，02)2)(1(1>+-==--n n S b S n n n ，…………………………………………6分故n n b S >．若21-=q ，则49)21(2)1(22nn n n n S n +-=-⋅-+=，…………………………………10分 当2≥n 时，2)10)(1(1---==--n n S b S n n n ．故对于*N n ∈，当92≤≤n 时，n n b S >；当10=n 时，n n b S =；当11≥n 时，n n b S <．……………………………………………………………………………………12分(19)(本小题满分12分)(理)设锐角三角形ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，Ab a sin 2=．(Ⅰ)求B 的大小；(Ⅱ)求C A sin cos +的取值范围． 解：(Ⅰ)由Ab asin 2=，根据正弦定理得A B A sin sin 2sin=，所以21sin =B ，由ABC ∆为锐角三角形得，6π=B ． (4)分(Ⅱ))6sin(cos )6sin(cos sin cosA A A A C A ++=--+=+πππ)3sin(3sin 23cos 21cos π+=++=A A A A ．………………………………………8分由ABC ∆为锐角三角形知，2π<A ，2π>+B A ，3622ππππ=->->B A ．∴65332πππ<+<A ，∴23)3sin(21<+<πA ． 由此有23)3sin(323<+<πA ，所以，cos sin A C +的取值范围为)23 ,23(． (12)分(19)(本小题满分12分)(文)已知函数x x x x x f 22cos 2cos sin 3sin )(++=，R x ∈．(Ⅰ)求函数)(x f 的最小正周期和单调增区间；(Ⅱ)函数)(x f 的图像可以由函数x y sin =)(R x ∈的图像经过怎样的变换得到？ 解：(Ⅰ)232cos 212sin 23)2cos 1(2sin 2322cos 1)(++=+++-=x x x x x x f23)62sin(++=πx (3)分∴)(x f 的最小正周期ππ==22T (4)分由题意得，当2326222πππππ+≤+≤+k x k ，即326ππππ+≤≤+k x k ，Z k ∈时，函数)(x f 是单调增函数，∴)(x f 的单调减区间为]32,6[ππππ++k k ，Z k ∈ (6)分(Ⅱ)方法一：先把x y sin =图象上所有点的横坐标压缩21得到x y 2sin =的图象，再把x y 2sin =图象上所有点向左平移12π个单位长度，得到)62sin(π+=x y的图象，最后把)62sin(π+=x y 图象上所有的点向上平移23个单位长度，就得到23)62sin(++=πx y 的图象．……………………………………………………………………………………………12分方法二：先把x y sin =图象上所有点向左平移6π个单位长度，得到)6sin(π+=x y的图象，再把)6sin(π+=x y 的图象上所有点的横坐标压缩21得到)62sin(π+=x y 的图象，最后把)62sin(π+=x y图象上所有的点向上平移23个单位长度，就得到23)62sin(++=πx y 的图象．……………………………………………………………………………………………12分(20)(本小题满分12分)数列}{n a 的前n 项和为n S ，11=a ，n n S a 21=+*)(N n ∈． (Ⅰ)求数列}{n a 的通项n a ；(Ⅱ)求数列}{n na 的前n 项和n T ．解：(Ⅰ)解法一：∵n n S a 21=+，∴n n n S S S 21=-+，∴31=+nn S S ．又∵111==a S ，∴数列}{n S 是首项为1，公比为3的等比数列，∴13-=n n S *)(N n ∈．…………………………………………………………………4分 当2≥n 时，21322--⋅==n n n S a ，∴数列}{n a 的通项=n a {,32,12-⋅n 21≥=n n …………………………………………………6分 解法二：∵n n S a 21=+ ①，12-=n n S a )2(≥n ②当2≥n 时，②①-得：n n n a a a 21=-+，∴31=+nn a a ． 又222112===a S a ，当2≥n 时，232-⋅=n n a ，……………………………………………………………4分∴数列}{n a 的通项=n a {,32,12-⋅n 21≥=n n …………………………………………………6分 (Ⅱ)n n na a a a T ++++= 32132，当1=n 时，11=T ；……………………………………………………………………7分当2≥n 时，2103236341-⋅++⋅+⋅+=n n n T ，……………………………………①12132363433-⋅++⋅+⋅+=n n n T ，…………………………………………………②②①-得：122132)333(2422--⋅-+++++-=-n n n n T1123)21(13231)31(322---⋅-+-=⋅---+=n n n n n ．∴13)21(21-⋅-+=n n n T )2(≥n ．………………………………………………………11分又∵111==a T 也满足上式， ∴数列}{n na 的前n 项和13)21(21-⋅-+=n nn T *)(N n ∈．……………………………12分某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a 元(53≤≤a )的管理费，预计当每件产品的售价为x 元(119≤≤x )时，一年的销售量为2)12(x -万件．(Ⅰ)求分公司一年的利润L (万元)与每件产品的售价x 的函数关系式；(Ⅱ)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L 最大，并求出L 的最大值)(a Q ．解：(Ⅰ)分公司一年的利润L (万元)与售价x 的函数关系式为：2)12)(3(x a x L ---=，]11 ,9[∈x ．…………………………………………………4分(Ⅱ))3218)(12()12)(3(2)12()(2x a x x a x x x L -+-=-----='．……………………6分 令0)(='x L 得a x 326+=或12=x (不合题意，舍去)．∵53≤≤a ，∴3283268≤+≤a ．……………………………………………………7分在a x 326+=两侧)(x L '的值由正变负．所以(1)当93268<+≤a ，即293<≤a 时，)6(9)912)(39()9(2max a a L L -=---==．……………………………………………9分(2)当3283269≤+≤a 即529≤≤a 时，32max )313(4))326(12)(3326()326(a a a a a L L -=+---+=+=，……………………11分所以=)(a Q {529,)313(4293),6(93≤≤-<≤-a a a a ．答：若293<≤a ，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L 最大，最大值)6(9)(a a Q -=(万元)；若529≤≤a ，则当每件售价为)326(a +元时，分公司一年的利润L最大，最大值3)313(4)(a a Q -=(万元)．……………………………………………………12分设函数x x f ln )(=，xb ax x g +=)(，函数)(x f 的图象与x 轴的交点也在函数)(x g 的图象上，且在此点有公切线．(Ⅰ)求a 、b 的值；(Ⅱ)(理)对任意0>x ，试比较)(x f 与)(x g 的大小．(文)证明：当10≤<x 时，即)()(x g x f ≥；当1>x 时，即)()(x g x f <． 解：(Ⅰ)x x f ln )(=的图象与x 轴的交点坐标是)0 ,1(，依题意，得0)1(=+=b a g ①…………………………………………………………2分又xx f 1)(='，2)(xb a x g -='，且)(x f 与)(x g 在点)0 ,1(处有公切线，∴1)1()1(='='f g 即1=-b a②………………………………………………………4分由①、②得21=a，21-=b ……………………………………………………………6分(Ⅱ)(理)令)()()(x g x f x F -=，则xx x x x x x F 2121ln )2121(ln )(+-=--= (8)分∴0)11(2121211)(22≤--=--='xxxx F (10)分∴)(x F 在) ,0(∞+上为减函数……………………………………………………………11分当10<<x 时，0)1()(=>F x F ，即)()(x g x f >； 当1=x 时，0)1()(==F x F ，即)()(x g x f =；当1>x 时，0)1()(=<F x F ，即)()(x g x f <．………………………………………14分 (Ⅱ)(文)令)()()(x g x f x F -=，则xx x x x x x F 2121ln )2121(ln )(+-=--= (8)分∴0)11(2121211)(22≤--=--='xxxx F (10)分∴)(x F 在) ,0(∞+上为减函数……………………………………………………………11分当10<<x 时，0)1()(=>F x F ，即)()(x g x f >； 当1=x 时，0)1()(==F x F ，即)()(x g x f =； 当1>x 时，0)1()(=<F x F ，即)()(x g x f <．综上可知，当10≤<x 时，即)()(x g x f ≥；当1>x 时，即)()(x g x f <．…………14分。

2007年普通高等学校招生全国统一考试数学(文科)试卷 第Ⅰ卷（选择题共60分）参考公式：如果事件A B ，互斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 如果事件A B ，相互独立，那么()()()P A B P A P B =·· 球的表面积公式24πS R =，其中R 表示球的半径 球的体积公式34π3V R =，其中R 表示球的半径 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()(1)k kn k n n P k C P P -=-一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知等差数列{a n }的公差为2,若a 1,a 3,a 4成等比数列,则a 2= ( ) A. –4 B. –6 C. –8 D. –102.下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的是 ( ) A. y=x 3B. y=cosxC. y=1xD. y=lg|x|3. “ m=12 ”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m-2)x+(m+2)y-3=0相互垂直”的 ( )A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条4.函数f(x)=x-1 +1 (x ≥1)的反函数f -1(x)的图象是 ( )A B C D5设集合A={x||4x-1|≥9,x ∈R},B={x|xx+3≥0,x ∈R},则A ∩B= ( )A. (-3,2]B. (-3,-2]∪[0,52 ]C. (-∞,-3]∪[52 ,+∞)D. (-∞,-3)∪[52,+∞)x6.为了得到函数y=sin(2x+π3 )的图象,可以将函数y=cos2x+3的图象沿向量→a 平移,则向量→a的坐标可以是 ( ) A. (- π6 ,-3) B. (π6 ,3) C. (π12 ,-3) D. (- π12,3)7.在△ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c,已知A=π3 ,a= 3 ,b=1,则c 等于 ( )A. 1B. 2C. 3 –1D. 38.若正数a 、b 的等差中项为12 ,且x=a+1a ,y=b+1b ,则x+y 的最小值为 ( )A. 4B. 5C. 6D. 79.如图,空间有两个正方形ABCD 和ADEF,M 、N 分别为BD 、AE 的中点,则以下结论: ①MN ⊥AD; ② MN 与BF 是一对异面直线;③ MN ∥平面ABF; ④ MN 与AB 所成角为600,其中正确的是( ) A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ①②③10.已知两点M(-2,0),N(2,0),点P 为坐标平面内的动点,满足|→MN|·|→MP|+→MN ·→NP=0,则动点P(x,y)的轨迹方程是 ( ) A. y 2=8x B. y 2=-8x C. y 2=4x D. y 2=-4x11.椭圆C 1: x2a2 + y2b2 =1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2,抛物线C 2以F 1为顶点,以F 2为焦点且过椭圆C 1的短轴端点,则椭圆C 1的离心率等于 ( ) A. 35 B. 14 C. 3 3 D. 1312.用四种不同的颜色给正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的六个面染色,要求相邻两个面涂不同的颜色,且四种颜色均用完,则所有不同的涂色方法共有 ( ) A. 24种 B. 96种 C. 72种 D. 48种第Ⅱ卷 (90分)A BCDFENM二.填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分,将答案填在题后的横线上.13.设动点坐标(x,y)满足⎩⎨⎧(x-y+1)(x+y-4)≥0 x≥3,则x 2+y 2的最小值为 .14.若(x- 2a x )6的展开式中常数项为 –160,则展开式中各项系数之和为 .15.A 、B 、C 是半径为2的球面上的三点,O 为球心.已知A 、B 和A 、C 的球面距离均为π,B 、C 的球面距离为2π3 ,则二面角A-BC-O 的大小为 .16.给出下列四个命题:① 抛物线x=ay 2(a ≠0)的焦点坐标是(14a ,0); ② 等比数列{a n }的前n 项和S n =2n -1-m,则m=12;③ 若函数f(x)=x 3+ax 在(1,+∞)上递增,则a 的取值范围是(-3,+∞); ④ 渐近线方程为y=±12x 的双曲线方程是 x24- y 2=1.其中正确的命题有 .(把你认为正确的命题都填上)三.解答题:本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(12分)设函数f(x)=cos ωx( 3 sin ωx+cos ωx),其中0＜ω＜2. (1)若f(x)的周期为π,求当 - π6 ≤x ≤π3 时,f(x)的值域;(2)若函数f(x)的图象的一条对称轴为x=π3 ,求ω的值.18.(12分)正项数列{a n }的前n 项和S n 满足: 4S n =a n 2+2a n -3 (n ∈N +).(1) 求数列{a n }的通项公式;(2)设b n =1anan+1 ,求数列{b n }的前n 项和T n .19.(12分)四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 为正方形,侧面PAB 为等边三角形,BC= 2 ,PD=2,点M为PD 的中点,N 为BC 的中点.(1) 求证:面PAB ⊥面ABCD;(2)求直线MN 与平面ABCD 所成的角; (3)求点N 到平面PAD 的距离.20.(12分)某项赛事,在“五进三”的淘汰赛中,需要加试综合素质测试,每位参赛选手需回答3个问题.组委会为每位选手都备有10道不同的题目可供选择,其中有6道艺术类题目,2道文学类题目,2道体育类题目.测试时,每位选手从给定的10道题中不放回地随机抽取3次,每次抽取一道题,回答完该题后,再抽取下一道题目作答.求: (1) 每位选手抽到3道彼此不同类别题目的概率; (2)每位选手至少有1次抽到体育类题目的概率.21.(12分)已知椭圆x2a2 +y2b2 =1(a ＞b ＞0)的离心率e= 6 3 ,过点A(a,0)和B(0,-b)的直线与原点的距离为32.(1)求椭圆的方程;(2)已知定点E(-1,0),D 为OB 的中点,M 、N 为椭圆上的点(点M 在x 轴上方),满足:→ME=λ→EN,且∠DME=∠DNE,求λ的值.22.(14分)二次函数f(x)=ax 2+bx+c 与其导函数f ’(x)的图象交于点A(1,0),B(m,m). (1) 求实数m 的值及函数f(x)的解析式;(2) 若不等式f(x+1)＞3(x+t)4(x+1) 对任意的x ∈(0,3)恒成立,求实数t 的取值范围;(3) 若方程f(x+1)= 3(x+t)x+2 有三个不等的实根,求实数t 的取值范围.2007年普通高等学校招生全国统一考试 数学(文科)试卷(参考答案)AB CDPMN一.选择题:1. B a 1(a 1+3d)=(a 1+2d)2,∴3a 1d=4a 1d+4d 2,∴a 1= - 4d= -8, ∴a 2=a 1+d= - 6 . 2. D y=x 2与y=1x 均为奇函数,而y=cosx 在(0,+∞)上非单调.3. B 由(m+2)(m-2)+3m(m=2)=0,∴(m+2)(2m-1)=0,∴m=-2或m=12 .4. C f -1(x)=(x-1)2+1 (x ≥1).5. D 解得A=(-∞,-2)∪[52,+∞],B=(-∞,-3)∪[0,+∞].6. C y=cos2x+3=sin(π2 +2x)+3=sin2(x+π4 )+3右移π12 ,下移3得y=sin(2x+π3 ).7. B 由c 2+1-2·c ·cos π3 =3,∴c 2-c-2=0,(c-2)(c+1)=0,∴c=2 .8. B a+b=1,x+y=1+1ab ≥1+21()2a b=5 .9. B ①取AD 中点Q,则AD ⊥MQ,∴MN ⊥AD;②MN ∥BF;③由MN ∥BF,∴MN ∥面ABF;④MN 与AB 成450角.10. B →MN=(4,0),→NP=(x-2,y),∴4(x+2)2+y2 +4(x-2)=0,∴y 2=-8x,又由2-x ≥0,∴x ≤2. 11. D ∵|PF 2|=a,点P 到抛物线C 2的准线为x=-3c 的距离为3c,依抛物线的定义,a=3c,∴e=13 .12. C 同色有3对,∴共有C 23 A 44 =72种.二.填空题:13. 10 由直线x+y-4=0与x=3的交点P(3,1),∴x 2+y 2的最小值为|0P|2=9+1=10. 14. 1 由T r+1=C r 6 x 6-r ·(- 2a x )r =(-2a)r C r 6 ·x 6-2r ,令6-2r=0,∴r=3,由(-2a)3C 36 =-160,∴-8a 3=-8,∴a=1,∴各项系数之和为(1-2a)6=1.15. arctan 2 3 3∵∠AOB=∠AOC=900 ,∠BOC=600,取BC 中点D,AD=8-1 =7 ,OD= 3 ,∵AD ⊥BC,OD ⊥BC,∴∠ODA 为二面角A-BC-O 的平面角,在Rt △AOD 中,tan ∠ODA=2 33.16. ①② ① y 2=1a x 的焦点坐标(14a ,0);② S n =12 ·2n -m,∴m=12 ;③ f ’(x)=3x 2+a ≥0在[1,+∞)恒成立,∴3+a ≥0得a ≥-3;④渐近线为y=±12 x 的双曲线方程是x24 - y 2=λ(λ≠0)三.解答题: 17.(1)f(x)=3 2 sin2ωx+1+cos2ωx 2 =sin(2ωx+π6 )+12 , ∵T=2π2ω=π ,∴ω=1 , ∴f(x)=sin(2x+π6 )+12 . ∵- π6 ≤x ≤π3 , ∴- π6 ≤2x+π6 ≤5π6 ,∴-12≤sin(2x+π6 )≤1, ∴f(x)的值域为[0,32]. (2) 由 2ωπ3 +π6 =k π+π2 ,∴ω=32k+12 ,∵0＜ω＜2, ∴ω=12.18.(1)当n=1时,4a 1=a 12+2a 1-3 ,∴a 12-2a 1-3=0 ,(a 1-3)(a 1+1)=0, ∵a 1＞0, ∴a 1=3 . 当n ≥2时,4S n-1=a n-12+2a n-1-3 ,∴4a n =a n 2-a n-12+2a n -2a n-1 ,∴(a n +a n-1)(a n -a n-1-2)=0, ∵a n ＞0, ∴a n -a n-1=2,∴数列{a n }是以a 1=3为首项,以2为公差的等差数列,∴a n =2n+1. (2)∵b n =1(2n+1)(2n+3) =12(12n+1 - 12n+3),∴T n =12[(13 -15 )+(15 -17)+…+(12n+1 - 12n+3 )]=12(13 - 12n+3 )=n 3(2n+3) .19.(1)∵正方形ABCD,∴DA ⊥AB,∵AD=PA= 2 ,PD=2,∴PA 2+AD 2=PD 2,∴DA ⊥PA, ∵AB ∩PA=A,∴DA ⊥面PAD,∵DA 面ABCD, ∴面PAB ⊥面ABCD.(3) 取AB 中点E,∵△PAB 为正三角形,∴PE ⊥AB, ∴PE ⊥面ABCD. 取ED 的中点F,∵M 为PD 的中点, ∴MF ∥PE, ∴MF ⊥面ABCD,∴∠MNF 为MN 与面ABCD 所成的角.在梯形EBCD 中,NF=12( 2 2 + 2 )=34 2 ,而MF=12PE= 6 4,∴tan ∠MNF= 64342 =3 3,∴∠MNF=300 ,∴直线MN 与平面ABCD 所成的角为300. (3)∵AD ⊥面PAB,∴面PAB ⊥面PAD,取PA 的中点H,则BH ⊥面PAD.又∵BN ∥AD,∴BN ∥面PAD,ABCDPMNHE F∴点N 到平面PAD 的距离等于点B 到平面PAD 的距离,∵BH=3 2 · 2 = 6 2, ∴点N 到面PAD 的距离为6 2. 20.(1)设事件“抽到3道彼此不同类别题目”为A,依题有P(A)=C 16C 12C 12C 310 =15 ;答: 抽到3道彼此不同类别题目的概率为15;(2) 设事件“至少有1次抽到体育类题目”为B,依题有P(B)=1-C 38C 310=1- 115 =815 ; 答: 至少有1次抽到体育类题目的概率为815 .21.(1)由C=6 3 a,∴b 2=a 2- 23 a 2=13a 2 , 又直线AB: x a - yb =1,即bx-ay-ab=0,∴d=ab b2+a2 = 32 ,∴ab 43a 2= 3 2 ,∴b=1 ,a 2=3 ,∴所求椭圆方程为: x23 +y (3) 设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),(y 1＞0),由→ME=λ→EN,∴y 1+λy 2=0. 设直线MN: x=my-1 , 消x 得: (m 2+3)y 2-2my-2=0 ,△=4m 2+8(m 2+3)＞0,y 1+y 2=2m m2+3 ,∴MN 的中点为(- 3m2+3 ,m m2+3) ∴MN 的中垂线方程为: y - m m2+3 = - m(x+ 3m2+3) ,将OB 的中点D 的坐标(0,- 12 )代入得:- 12 - m m2+3 = - 3m m2+3 ,∴m 2-4m+3=0 , (m-1)(m+3)=0, ∴m=1或m=3 . 当m=1时,2y 2-y-1=0 ,(2y+1)(y-1)=0,∵y 1＞0,∴y 1=1,y 2=- 12 ,∴λ=y1-y2=2 ;当m=3时,6y 2-3y-1=0 ,y=3±33 12 ,∴y 1=3+33 12, y 2=3-33 12 ,∴λ=y1-y2 =6+33 4.综合得,λ=2或λ=6+334.22.(1)f ’(x)=2ax+b ,∴⎩⎨⎧a+b+c=02a+b=0am2+bm+c=m 2am+b=m∴c=a,b=-2a ,代入得: am 2-2am+a=2am-2a ,∵a ≠0 ,∴m 2-4m+3=0 ,(m-1)(m-3)=0, 当m=1时,2a+b=1与2a+b=0矛盾,∴m=3 . ∴6a+b=3得a=34 ,b=-32 ,c=34 ,∴f(x)=34 x 2-32 x+34 =34 (x-1)2.(2) 由34 x 2＞3(x+t)4(x+1)x ∈(0,3),∴t ＜x 3+x 2-x .记g(x)=x 3+x 2-x ,g ’(x)=3x 2+2x-1=(3x-1)(x+1), 令g ’(x)=0 ,∴x=13 或x=-1 ,∴g(x)在(0,3)内的最小值为g(13 )= - 527 .∴t ＜ - 527 .(3) 由34 x 2=3(x+t)(x+2) ,当x+2≠0时,方程化为 : x 3+2x 2-4x-4t=0 ,记F(x)=x 3+2x 2-4x-4t .∵ F ’(x)=3x 2+4x-4=(3x-2)(x+2) ,令F ’(x)=0 ,∴x=23 或x=-2 ,F 极大值(x)=F(-2)=8-4t ; F 极小值(x)=F(23 )=- 4027-4t;要使方程f(x+1)= 3(x+t)x+2 有三个不等的实根,只要⎩⎨⎧F 极大值(x)＞0F 极小值(x)＜0 ,即⎩⎪⎨⎪⎧8-4t ＞0- 4027 -4t ＜0 ,∴⎩⎪⎨⎪⎧t ＜2t ＞- 1027 , ∴ t 的取值范围是( - 1027 ,2) .。

山东省招远一中2007—2008学年度高三第一次摸底考试数学试题（文科）一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分） 1．已知集合Q P x x Q x x x P ⋂>-=≥-=则},011|{},0)1(|{，等于 （ ）A ．φB ．}1|{≥x xC ．}1|{>x xD ．}01|{<≥x x x 或2．已知ab a a b a b a b a 与和的夹角与那么且-+=∠====α,60,4||||, AOB OB OA 的夹角β分别为（ ）A ．60,30==βα B ．120,30==βαC ．60,60==βαD ．120,60==βα3．已知函数4),0,(cos sin )(π=∈≠-=x x a b a x b x a x f 在为常数R 处取得最小值，则函数)43(x f y -=π是（ ）A ．偶函数且它的图象关于点)0,(π对称B ．偶函数且它的图象关于点)0,23(π对称 C ．奇函数且它的图象关于点)0,23(π对称D ．奇函数且它的图象关于点)0,(π对称4．已知关于02sin2cos cos 22=+⋅-CB A x x x 的方程的两根之和等于两根之积的一半，则△ABC 一定是（ ）A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形5．设26,16cos 16sin ,14cos 14sin =+=+=c b a，则a 、b 、c 的大小关系是（ ）A ．a < b < cB ．a < c < bC ．b < c < aD ．b < a < c6．设)6(cos ,cos sin )cos (sin πααααf f 则=+的值为（ ）A ．83B ．81 C ．－81 D ．以上都不正确7．设)(,)1(4321*321241N ∈++-++-+-=++-x S S S n S m m m n n 则 的值为（ ）A ．0B ．3C ．4D ．随m 变化而变化8．已知函数)1,(2)(2-∞+-=在区间a ax x x f 上有最小值，则函数x x f x g )()(=在区间（1,+∞）上一定（ ）A ．有最小值B ．有最大值C ．是减函数D ．是增函数9．已知函数)()(:),(,2)(|,|23)(2x g x f x F y x x x g x x f ≥=-=-=当定义如下构造函数时， )(),()(,)()();()(x F x f x F x g x f x g x F 那么时当=<=（ ）A ．有最大值3，最小值－1B ．有最大值3，无最小值C ．有最大值727-，无最小值D ．无最大值，也无最小值10．若函数mx xm y +-=2)2(的图象如图所示，则m 的取值范围为 （ ）A ．)1,(--∞B ．（－1，2）C ．（1，2）D ．（0，2）11．如图所示，D 、C 、B 三点在地面同一直线上，CD=a ，从C 、D 两点测得A 点仰角分别为)(,βαβα>，则点A 离地面的高AB 等于（ ）A ．)sin(sin sin βαβα-⋅a B ．)cos(sin sin βαβα-⋅aC ．)sin(cos cos βαβα-⋅a D ．)cos(cos cos βαβα-⋅a12．已知O 是平面上的一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足 ),0(cos ||cos ||(2+∞∈+++=λλCAC B AB OP ，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的（ ）A ．重心B ．垂心C ．外心D ．内心二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分） 13．已知函数)2()1()0(,3)1(),1,0()(f f f f a a aa x f xx++=≠>+=-则且的值是14．已知等差数列的公差n S S S n d n 则当满足项和记为前,0,0,,02120<><= 时，S n 达到最大值.15．已知y x b a y b a x b a ⊥+-=-+=-==且使和且存在实数,,)3(,),23,21(),1,3(2t k t t k ，则tt k 2+的最小值为 .16．设函数)1lg()(2--+=a ax x x f ，给出下述命题：①)(x f 有最小值；②当)(,0x f a 时=的值域为R;③若[)+∞,2)(在区间x f 上单调递增，则实数a 的取值范围是.4-≥a 则其中正确的命题是 （要求：把正确命题的序号都填上）. 三、解答题（本大题共6个小题，共74分）17．在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 及其对边ccb B A B Ac b a +=+-)sin()sin(,,满足.（1）求角A 的大小；（2）若ABC a ∆=求,6的面积的最大值.18．函数b ax x x f ++=23)(的图象在点P （1，0）处的切线与直线023=++y x 平行. （1）求a ，b 的值；（2）求函数f (x )的单调区间；（3）求函数f (x )在区间[0，t ](t >0)上的最大值和最小值.19．已知).1()()()1,1(,,1)21()1,1()(xyyx f y f x f y x f x f ++=+-∈-=-有且满足上有意义在 （1）证明f (x )在（－1，1）上为奇函数； （2）对数列)(,12,21},{211n nn n n x f x x x x x 求满足+==+； （3）求证.252)(1)(1)(121++->+++n n x f x f x f n 20．定义在R 上的函数f (x )满足.31)4(,)21()(,62),()4(||=+=≤≤=+-f n x f x x f x f m x 时当 （1）求m ，n 的值；（2）比较)(log )(log 33n f m f 与的大小.21．某商场预计全年分批购入每台价值2000元的电视机共3600台，每批都购入x 台（x是正整数），且每批均需付运费400元，储存购入的电视机全年所付保管费与每批购入电视机的总价值（不含运费）成正比，若每批购入400台，则全年需用去运费和保管费共43600元，现在全年只有24000元资金可以用于支付这笔费用，请问：能否恰当的安排每批进货的数量，使资金够用？写出你的结论，并说明理由. 22．函数1142=+-=x x y 在处的切线方程为l ，点))(,(+∈N n a n n 都在直线l 上，数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }满足).10(log ≠>=a a b a n a n 且（1）试判断是否存在自然数M ，使M S n ≤恒成立，若存在，求出相应的M 的最小值；若不存在，请说明理由；（2）是否存在自然数N ，使得当211log log ,+++>>n bn n bn b b N n 时恒成立，若存在，求出相应的N 的最小值，若不存在，请说明理由；（3）若132)2(11113221-≥+++=-与试比较n n n n T n a a a a a a T 的大小，并说明理由.。

山东省聊城市高三上学期数学期中考试试卷
姓名:________班级:________ 成绩:________
一、 单选题 (共10题；共20分)
1. （2分） (2017·泉州模拟) 已知集合A={x|﹣1≤x≤2}，B={y|y=x2 ， x∈A}，则A∩B=（ ）
A . [﹣1，0]
B . [0，2]
23-2、
23-3、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
二、 多选题 (共3题；共9分)
11-1、
12-1、
13-1、
三、 填空题 (共4题；共5分)
14-1、
15-1、
16-1、
17-1、
四、 解答题。 (共6题；共65分)
18-1、
19-1、
19-2、
20-1、
21-1、
21-2、
22-1、
23-1、
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）若 ， 为 的中点，且 ，求 .
四、 解答题。 (共6题；共65分)
18. （10分） 已知△ABC中的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cosC= ,a=3，（b﹣a）（sinB+sinA）=（b﹣c）sinC．
求sinB的值；
19. （10分） (2016高三上·沈阳期中) 已知向量 =（cos ，﹣1）， =（ sin ，cos2 ），设函数f（x）= +1．
23. （10分） (2018高二下·赣榆期末) 已知函数 是定义在R上的奇函数，其中 为自然对数的底数.
（1） 求实数 的值；
（2） 若存在 ，使得不等式 成立，求实数 的取值范围；