北师大版九年级数学上册期末试卷及答案

北师大版九年级上册数学期末考试试题一、单选题 1．若25x y =，则xy的值是（ ） A ．52 B ．25 C ．32D ．232．如图所示的几何体的左视图是（ ）A ．B ．C ．D ．3．下列关于矩形的说法，正确的是（ ）A ．对角线相等的四边形是矩形B ．对角线互相平分的四边形是矩形C ．矩形的对角线互相垂直且平分D ．矩形的对角线相等且互相平分 4．连续两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都是正面朝上的概率是（ ） A ．16 B ．14C ．12 D ．135．两个相似多边形的相似比是3：4，其中小多边形的面积为18cm 2，则较大多边形的面积为（ ）A ．16cm 2B ．54cm 2C ．32cm 2D ．48cm 2 6．如图，////AB CD EF ，若3BF DF =，则ACCE的值是（ ）A ．2B ．12 C ．13D ．3 7．点A （﹣3，y 1）、B （﹣1，y 2）、C （2，y 3）都在反比例函数y ＝6x-的图象上，则y 1、y 2、y 3的大小关系是（ ）A ．y 1<y 2<y 3B ．y 3<y 2<y 1C ．y 3<y 1<y 2D ．y 2<y 1<y 3 8．下列对一元二次方程x 2+x ﹣3=0根的情况的判断，正确的是（ ） A ．有两个不相等实数根 B ．有两个相等实数根 C ．有且只有一个实数根 D ．没有实数根9．如图，有一张矩形纸片，长10cm ，宽6cm ，在它的四角各剪去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm 2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是xcm ，根据题意可列方程为（ ）A ．10×6﹣4×6x=32B ．（10﹣2x ）（6﹣2x ）=32C ．（10﹣x ）（6﹣x ）=32D ．10×6﹣4x 2=32 10．函数y=x+m 与my x=(m≠0)在同一坐标系内的图象可以是( ) A ．B ．C ．D ．11．如图，在平面直角坐标系中，已知点A （﹣3，6）、B （﹣9，﹣3），以原点O 为位似中心，相似比为13，把△ABO 缩小，则点B 的对应点B′的坐标是（ ）A ．（﹣3，﹣1）B ．（﹣1，2）C ．（﹣9，1）或（9，﹣1）D ．（﹣3，﹣1）或（3，1）12．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于O ，2,BC AE BD =⊥，垂足为E ，30BAE∠=︒，那么ECO∆的面积是（）A B C D二、填空题13．在某一时刻，测得一根长为1.5m的标杆的影长为3m，同时测得一根旗杆的影长为16m，那么这根旗杆的高度为_______m．14．一个不透明袋中装有若干个红球，为估计袋中红球的个数，小文在袋中放入10个白球（每个球除颜色外其余都与红球相同）．摇匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是27，则袋中红球约为________个．15．若一元二次方程ax2﹣bx﹣2021=0有一根为x=﹣1，则a+b=______．16．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE//AC，CE//BD，连接OE，设AC＝12，BD＝16，则OE的长为_____．17．如图，矩形ABCD的顶点A和对称中心均在反比例函数y＝kx（k≠0，x＞0）上，若矩形ABCD的面积为8，则k的值为___．三、解答题18．已知关于x的方程x2+ax+a﹣2＝0．(1)若该方程的一个根为1，求a的值；(2)若a的值为3时，请解这个方程．19．某数学小组为调查实验学校周五放学时学生的回家方式，随机抽取了部分学生进行调查，所有被调查的学生都需从“A：乘坐电动车，B：乘坐普通公交车或地铁，C：乘坐学校的定制公交车，D：乘坐家庭汽车，E：步行或其他”这五种方式中选择最常用的一种，随后该数学小组将所有调查结果整理后绘制成如图不完整的条形统计图和扇形统计图，请结合统计图回答下列问题．（1）本次调查中一共调查了名学生；扇形统计图中，E选项对应的扇形圆心角是度；（2）请补全条形统计图；（3）若甲、乙两名学生放学时从A、B、C三种方式中随机选择一种，请用列表法或画树状图的方法，求出甲、乙两名学生恰好选择同一种交通工具上班的概率．20．某商场销售某女款上衣，刚上市时每件可盈利100元，销售一段时间后开始滞销，经过连续两次降价后，每件盈利为81元，平均每天可售出20件．（1）求平均每次降价盈利的百分率；（2）为扩大销售量，尽快减少库存，在“双十一”期间该商场决定再次采取适当的降价措施，经调查发现，一件女款上衣每降价1元，每天可多售出2件．若商场每天要盈利2940元，每件应降价多少元？21．如图，在Rt△ABC中，△ACB＝90°，过点C的直线MN△AB，D为AB边上一点，过点D作DE△BC，垂足为F，交直线MN于E，连接CD，BE．（1）求证：CE ＝AD ；（2）当D 为AB 中点时，四边形BECD 是什么特殊四边形？说明你的理由；（3）在满足（2）的条件下，当△ABC 满足什么条件时，四边形BECD 是正方形？（不必说明理由）22．如图1，一次函数y ＝kx ﹣3（k≠0）的图象与y 轴交于点B ，与反比例函数y ＝mx（x ＞0）的图象交于点A （8，1）．(1)求出一次函数与反比例函数的解析式；(2)点C 是线段AB 上一点（不与A ，B 重合），过点C 作y 轴的平行线与该反比例函数的图象交于点D ，连接OC ，OD ，AD ，当CD 等于6时，求点C 的坐标和△ACD 的面积； (3)在（2）的前提下，将△OCD 沿射线BA 方向平移一定的距离后，得到△O'CD'，若点O 的对应点O'恰好落在该反比例函数图象上（如图2），求出点O'，D'的坐标． 23．如图，在四边形ABCD 中，BD 为一条对角线，//AD BC ，2AD BC =，90ABD ∠=︒，E 为AD 的中点，连接BE ．（1）求证：四边形BCDE 为菱形；（2）连接AC ，若AC 平分BAD ∠，1BC =，求AC 的长．24．如图，已知Rt△ABO ，点B 在x 轴上，△ABO=90°，△AOB=30°，OB=函数()0ky x x=＞的图象经过OA 的中点C ，交AB 于点D ． （1）求反比例函数ky x=的表达式； （2）求△OCD 的面积；（3）点P 是x 轴上的一个动点，请直接写出使△OCP 为直角三角形的点P 坐标.25．如图，在Rt△ABC 中，△ACB=90°，点D 是斜边AB 的中点，过点B 、点C 分别作BE△CD ，CE△BD ．（1）求证：四边形BECD 是菱形；（2）若△A=60°，BECD 的面积.26．如图（1），在四边形ABCD 中，AB△DC ，CB△AB ，AB ＝16cm ，BC ＝6cm ，CD ＝8cm ，动点P 从点D 开始沿DA 边匀速运动，动点Q 从点A 开始沿AB 边匀速运动，它们的运动速度均为2cm/s ．点P 和点Q 同时出发，设运动的时间为t （s ），0＜t ＜5 （1）用含t 的代数式表示AP ；（2）当以点A 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABD 相似时，求t 的值；（3）如图（2），延长QP、BD，两延长线相交于点M，当△QMB为直角三角形时，求t 的值．参考答案1．A【分析】利用比例的基本性质计算即可．【详解】△2x=5y，△xy=52，故选A．【点睛】本题考查了比例的基本性质，熟练掌握比例的性质并能进行灵活变形是解题的关键．2．D【分析】根据简单组合体的三视图的画法可知，其左视图是中间有一道横虚线的长方形，即可求解．【详解】解：根据简单组合体的三视图的画法可知，其左视图是中间有一道横虚线的长方形，因此选项D的图形比较符合题意，故选：D．【点睛】考查三视图的相关知识；掌握左视图是从几何体左面看得到的平面图形是解决本题的关键．3．D【详解】分析：根据定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．矩形的性质：1．矩形的四个角都是直角2．矩形的对角线相等3．矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等4．矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形（对称轴是任何一组对边中点的连线）．5．对边平行且相等6．对角线互相平分，对各个选项进行分析即可．解答：解：A、因为对角线相等的平行四边形是矩形，所以本选项错误；B、因为对角线互相平分且相等的四边形是矩形，所以本选项错误；C、因为矩形的对角线相等且互相平分，所以本选项错误；D、因为矩形的对角线相等且互相平分，所以本选项正确．故选D．4．B【分析】利用树状图法列出连续两次掷一枚质地均匀的硬币会出现的所有情况，看两次都正面朝上的情况占总情况的多少即为所求．【详解】解：画树状图如图所示：共有4种情况，两次都正面朝上的情况只有一种，所以两次都是正面朝上的概率是14．故答案选：B.【点睛】本题考查了求概率的方法，熟练应用树状图法或列表法求出所求情况数和总情况数是解题的关键．5．C【分析】设较大多边形的面积为S，由相似比与面积相似比的关系得18916S=，计算求解即可．【详解】解：设较大多边形的面积为S由两个相似多边形的相似比是3：4，可知两个相似多边形面积的相似比是9：16△18916 S=解得32S=故选C．【点睛】本题考查了相似三角形的性质．解题的关键在于明确相似多边形的面积比与相似6．A【分析】由BF=3DF，得BD=2DF，使用平行线分线段成比例定理计算即可.【详解】△BF=3DF，△BD=2DF，△////AB CD EF，△ACCE=BDDF，△ACCE=2DFDF=2，故选A.【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理，特别是定理的对应关系是解题的关键.7．C【分析】分别把A、B、C各点坐标代入反比例函数y＝6x-求出y1、y2、y3的值，再比较大小即可．【详解】解：△点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）都在反比例函数y＝6x-的图象上，△y1＝63--＝2，y2＝61--＝6，y3＝62-＝﹣3，△﹣3＜2＜6，△y3＜y1＜y2，故选：C．【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键8．A【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=13＞0，进而即可得出方程x2+x﹣3=0有两个不相等的实数根．【详解】△a=1，b=1，c=﹣3，△△=b2﹣4ac=12﹣4×（1）×（﹣3）=13＞0，△方程x2+x﹣3=0有两个不相等的实数根，故选A．【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0△方程有两个不相等的实数根；（2）△=0△方程有两个相等的实数根；（3）△＜0△方程没有9．B【分析】设剪去的小正方形边长是xcm，则纸盒底面的长为（10−2x）cm，宽为（6−2x）cm，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【详解】解：设剪去的小正方形边长是xcm，则纸盒底面的长为（10−2x）cm，宽为（6−2x）cm，根据题意得：（10−2x）（6−2x）＝32．故选B．【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．10．B【分析】先根据一次函数的性质判断出m取值，再根据反比例函数的性质判断出m 的取值，二者一致的即为正确答案．【详解】A．由函数y=x+m的图象可知m＜0，由函数ymx=的图象可知m＞0，相矛盾，故错误；B．由函数y=x+m的图象可知m＞0，由函数ymx=的图象可知m＞0，正确；C．由函数y=x+m的图象可知m＞0，由函数ymx=的图象可知m＜0，相矛盾，故错误；D．由函数y=x+m的图象可知m=0，由函数ymx=的图象可知m＜0，相矛盾，故错误．故选：B．【点睛】此题考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，解题关键在于掌握它们的性质才能灵活解题．11．D【分析】利用以原点为位似中心，相似比为k，位似图形对应点的坐标的比等于k或-k，把B点的横纵坐标分别乘以13或-13即可得到点B′的坐标．【详解】解：△以原点O为位似中心，相似比为13，把△ABO缩小，△点B（-9，-3）的对应点B′的坐标是（-3，-1）或（3，1）．故选：D．【点睛】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．12．B【分析】过点C作CF△BD于F．根据矩形的性质得到△ABE＝△CDF＝60°，AB＝CD ，AD ＝BC ＝2，△AEB ＝△CFD ＝90°．根据全等三角形的性质得到AE ＝CF ．解直角三角形得到OE 【详解】解：如图：过点C 作CF△BD 于F ．△矩形ABCD 中，BC ＝2，AE△BD ，△△ABE ＝△CDF ＝60°，AB ＝CD ，AD ＝BC ＝2，△AEB ＝△CFD ＝90°．△△ABE△△CDF ，（AAS ），△AE ＝CF ．△△ABE ＝△CDF ＝60°，△△ADE ＝△CBF ＝30°，△CF ＝AE ＝12AD ＝1，△BE ＝tan AE ABE ∠ △△ABE ＝60°，AO=BO ，△△ABO 是等边三角形，△OE ＝△S△ECO ＝12OE•CF ＝112= 故选B ．13．8【分析】根据同时同地物高与影长成比相等，列式计算即可得解．【详解】设旗杆高度为x 米，由题意得：1.5316x = 解得8x =.故答案为8．14．25【详解】试题分析：根据实验结果估计袋中小球总数是10÷27=35个，所以袋中红球约为35-10=25个.考点：简单事件的频率.15．2021【分析】将1x =-代入原方程即可得出答案．【详解】解：将1x =-代入一元二次方程ax 2﹣bx ﹣2021=0中，得：20210a b +-=，△2021a b +=，故答案为：2021．16．10【分析】由菱形的性质和勾股定理求出CD ＝20，证出平行四边形OCED 为矩形，得OE ＝CD ＝10即可．【详解】解：△DE //AC ，CE //BD ，△四边形OCED 为平行四边形，△四边形ABCD 是菱形，△AC△BD ，OA ＝OC ＝12AC ＝6，OB ＝OD ＝12BD ＝8，△△DOC ＝90︒，CD ＝10，△平行四边形OCED 为矩形，△OE ＝CD ＝10，故答案为：10．17．4.【分析】设A 点的坐标为（m ，n ）则根据矩形的性质得出矩形中心的纵坐标为2n ，根据中心在反比例函数y ＝k x 上，求出中心的横坐标为2k n ，进而可得出BC 的长度，根据矩形ABCD 的面积即可求得．【详解】如图，延长DA 交y 轴于点E ，△四边形ABCD 是矩形，设A 点的坐标为（m ，n ）则根据矩形的性质得出矩形中心的纵坐标为2n ，△矩形ABCD 的中心都在反比例函数y ＝k x 上， △x ＝2k n， △矩形ABCD 中心的坐标为（2k n ，2n ） △BC ＝2（2k n ﹣m ）＝4k n﹣2m ， △S 矩形ABCD ＝8，△（4k n﹣2m ）•n ＝8, 4k ﹣2mn ＝8，△点A （m ，n ）在y ＝k x上， △mn ＝k ，△4k ﹣2k ＝8解得：k ＝4故答案为:418．(1)12(2)12x x == 【分析】（1）将x=1代入原方程可得出关于a 的一元一次方程，解之即可得出a 的值； （2）把a=3代入原方程得到x 2+3x+1=0，再利用公式法求解即可．(1)将x=1代入原方程，得：1+a+a-2=0，解得：a=12．(2)把a=3代入原方程得，x 2+3x+1=0，△Δ=32-4×1×1=5，△x ==△12x x ． 19．（1）200，72；（2）见解析；（3）13．【分析】（1）根据B 的人数以及百分比得到被调查的人数，再根据扇形圆心角的度数＝部分占总体的百分比×360°进行计算即可；（2）求出C 组的人数即可补全图形；（3）列表得出所有等可能结果，即可运用概率公式得甲、乙两名学生恰好选择同一种交通工具回家的概率．【详解】解：（1）本次调查的学生人数为6030%200÷=（名)，扇形统计图中，B 项对应的扇形圆心角是4036072200︒⨯=︒， 故答案为：200；72；（2）C 选项的人数为200(20603040)50-+++=（名)，补全条形图如下：（3）画树状图如图：共有9个等可能的结果，甲、乙两名学生恰好选择同一种交通工具上班的结果有3个， ∴甲、乙两名学生恰好选择同一种交通工具上班的概率为3193=． 20．（1）10%；（2）60元【分析】（1）设每次下降的百分率为a ，根据刚上市每件利润100元和连续两次降价后每件利润81元，可列方程为：100（1﹣a ）2＝81，即可求解；（2）设每件应降价x 元，则降价后的利润为()81x -，因降价后销量为()202x +，根据总利润=利润⨯销量，列方程进而求解．【详解】（1）设每次下降的百分率为a ，根据题意，得：100（1﹣a ）2＝81，解得：a ＝1.9（舍）或a ＝0.1＝10%，答：每次下降的百分率为10%；（2）设每件应降价x元，根据题意，得（81﹣x）（20+2x）＝2940，解得：x1＝60，x2＝11，△尽快减少库存，△x＝60，答：若商场每天要盈利2940元，每件应降价60元．21．（1）见解析；（2）菱形，理由见解析；（3）△A＝45°．【分析】（1）根据△ACB=90°，DE△BC可得DE//AC，即可证明四边形ADEC是平行四边形，根据平行四边形的性质即可得结论；（2）根据直角三角形斜边中线的性质可得AD＝BD=CD，可得BD=CE，根据AB//MN可证明BECD是平行四边形，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可得结论；（3）根据正方形的性质可得△CBD=45°，根据△ACB=90°可得△ABC为等腰直角三角形，可得答案．【详解】（1）△DE△BC，△△DFB＝90°，△△ACB＝90°，△△ACB＝△DFB，△AC△DE，△MN△AB，即CE△AD，△四边形ADEC是平行四边形，△CE＝AD．（2）四边形BECD是菱形，理由如下：△D为AB中点，△ACB＝90°，△AD＝BD=CD，△CE＝AD，△BD＝CE，△BD△CE，△四边形BECD是平行四边形，△BD=CD，△四边形BECD是菱形．（3）当△ABC 是等腰直角三角形时，四边形BECD 是正方形，理由如下：由（2）可知，四边形BECD 是菱形，△△BDC=90°时，四边形BECD 是正方形，△△CBD ＝45°，△△ACB=90°，△△ABC 是等腰直角三角形，△当△ABC 是等腰直角三角形时，四边形BECD 是正方形．22．(1)132y x =-，y=8x； (2)C （2，-2），18(3)O'（4，2），D'（6，6）．【分析】（1）把A 坐标代入一次函数解析式求出k 的值，确定出一次函数解析式，再将A 坐标代入反比例函数解析式求出k 的值，即可确定出反比例解析式；（2）设C 的坐标为（a ，132a -），表示出D 的坐标，两点纵坐标之差即为DC 的长，由已知DC 的长求出a 的值，确定出C 的坐标，过A 作AE△CD 于点E ，由A 与C 的横坐标之差求出AE 的长，三角形ACD 面积以DC 为底，AE 为高，求出即可；（3）连接OO'，由平移可得：OO'△AC ，根据两直线平行时k 的值相同确定出直线OO'的解析式，与反比例函数解析式联立求出交点O'的坐标，根据平移的性质，由O 平移到O'的路径确定出D 平移到D'的路径，进而确定出D'的坐标即可．（1）解：△点A （8，1）在直线y=kx -3上，△1=8k -3，解得：k=12，△一次函数解析式为132y x =-，△A （8，1）在y=m x（x ＞0）的图象上， △1=8m ， 解得：m=8，则反比例函数解析式为y=8x；（2）解：设C（a，132a-）（0＜a＜8），则有D（a，8a），△CD=8a-（132a-）=8132aa-+，△CD=6，△81362aa-+=，解得：a=-8（舍去）或a=2，△131322a-=-=-，△C（2，-2），过A作AE△CD于点E，则AE=8-2=6，△S△ACD=12CD•AE=12×6×6=18；（3）连接OO'，由平移可得：OO'△AC，△直线OO'的解析式为y=12x，联立得：812y x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 解得：42x y =⎧⎨=⎩或42x y =-⎧⎨=-⎩（不合题意，舍去）， △O'（4，2），即O （0，0）通过往右平移4个单位，往上平移2个单位得到O'（4，2），又由（2）中知D 坐标为（2，4），△点D （2，4）往右平移4个单位，往上平移2个单位得到D'（6，6）．【点睛】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求一次函数及反比例函数解析式，一次函数与反比例函数的交点，平移的性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．23．（1）见解析；（2）AC =（1）根据2AD BC =，E 为AD 的中点，证得四边形BCDE 是平行四边形，再根据BE=DE 即可证得结论；（2）根据AD△BC ，AC 平分BAD ∠，求出AD=2BC=2=2AB ，得到30ADB ∠=︒，60ADC ∠=︒，90ACD ∠=︒，根据Rt ACD ∆求出答案即可．【详解】（1）证明：2AD BC =，E 为AD 的中点，DE BC ∴=．//AD BC ，∴四边形BCDE 是平行四边形．90ABD ∠=︒，AE DE =，BE DE ∴=，则四边形BCDE 是菱形；（2）解：如答图所示，连接AC ，//AD BC ，AC 平分BAD ∠，BAC DAC BCA ∴∠=∠=∠．1AB BC ∴==．22AD BC ∴==，2AD AB ∴=，∴在Rt ABD ∆中，30ADB ∠=︒．30DAC ∴∠=︒，60ADC ∠=︒，90ACD ∠=︒．在Rt ACD ∆中2AD =，1CD ∴=，∴AC．【点睛】此题考查菱形的判定定理及性质定理，勾股定理，直角三角形30度角的性质，平行线的性质，直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，熟记菱形的判定及性质是解题的关键．24．（1）0)y x =>；（2（3）P （2，0）或（4，0）【分析】（1）解直角三角形求得AB ，作CE△OB 于E ，根据平行线分线段成比例定理和三角形中位线的性质求得C 的坐标，然后根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式；（2）补形法，求出各点坐标，S △OCD =S △AOB -S △ACD - S △OBD ；（3）分两种情形：△△OPC=90°．△△OCP=90°，分别求解即可．【详解】解：（1）△△ABO=90°，△AOB=30°，OB=OB=2， 作CE△OB 于E ，△△ABO=90°，△CE△AB ，△OC=AC ， △OE=BE=12CE=12AB=1，△C1），△反比例函数k y x =（x ＞0）的图象经过OA 的中点C ，△反比例函数的关系式为y=；（2）△OB=△D的横坐标为代入y=y=12，△D（12），△BD=12，△AB=12，△AD=32，△S△OCD =S△AOB-S△ACD- S△OBD=12OB•AB-12AD•BE-12（3）当△OPC=90°时，点P的横坐标与点C的横坐标相等，C（2，2），△P（2，0）．当△OCP=90°时．△C（2，2），△△COB=45°．△△OCP为等腰直角三角形．△P（4，0）．综上所述，点P的坐标为（2，0）或（4，0）．【点睛】本题主要考查的是一次函数、反比例函数的综合应用，列出关于k、n的方程组是解答问题（2）的关键，分类讨论是解答问题（3）的关键．25．（1）见解析；（2）面积（1）先证明四边形BECD是平行四边形，再根据直角三角形中线的性质可得CD=BD，再根据菱形的判定即可求解；（2）根据图形可得菱形BECD的面积=直角三角形ACB的面积，根据三角函数可求BC，根据直角三角形面积公式求解即可．【详解】（1）证明：△BE△CD，CE△BD，△四边形BECD是平行四边形，△Rt△ABC中点D是AB中点，△CD=BD，△四边形BECD是菱形；（2）解：△Rt△ABC中，△A=60°，，△直角三角形ACB的面积为△菱形BECD【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定，直角三角形的性质的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力．26．（1）10-2t；（2）4013或2513；（3）3527或209【分析】（1）作DH△AB于H，得矩形DHBC，则CD=BH=8cm，DH=BC=6cm，AH=8cm，由勾股定理可求得AD的长，从而可得AP；（2）分两种相似情况加以考虑，根据对应边成比例即可完成；（3）分△QMB=90゜和△MQB=90゜两种情况考虑即可，再由相似三角形的性质即可求得t 的值．【详解】（1）如图，作DH△AB于H则四边形DHBC是矩形△CD=BH=8cm，DH=BC=6cm△AH=AB-BH=16-8=8(cm)在Rt△ADH中，由勾股定理得10(cm)AD==△DP=2tcm△AP=AD-DP=(10-2t)cm（2）△当△APQ△△ADB时则有AP AD AQ AB=△10210 216tt-=解得：4013 t=△当△APQ△△ABD时则有AP AB AQ AD=△10216 210tt-=解得：2513 t=综上所述，当4013t=或2513t=时，以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABD相似；（3）△当△QMB=90゜时，△QMB为直角三角形如图，过点P作PN△AB于N，DH△AB于H△△PNQ=△BHD△△QMB=90゜△△PQN+△DBH=90゜△△PQN+△QPN=90゜△△QPN=△DBH△△PNQ△△BHD△6384 QN DHPN BH===即4QN=3PN△PN△DH△△APN△△ADH△63105PN DHAP AD===，84105AN AHAP AD===△33(102)55PN AP t==-，44(102)55AN AP t==-△418(102)2855 QN AN AQ t t t =-=--=-由4QN=3PN得：1834(8)3(102) 55t t -=⨯-解得：3527 t=△当△MQB=90゜时，△QMB为直角三角形，如图则PQ△DH△△APQ△△ADH△45 AQ AHAP AD==△45 AQ AP=即42(102)5t t =-解得：209 t=综上所述，当3527t=或209时，△QMB是直角三角形．。

北师大版九年级数学第一学期期末考试试题及答案一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（4分）有一个铁制零件（正方体中间挖去一个圆柱形孔）如图放置，它的左视图是（）A．B．C．D．2．（4分）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则sin A的值为（）A．B．C．D．3．（4分）小明和小华玩“石头、剪子、布”的游戏，若随机出手一次，则小华获胜的概率是（）A．B．C．D．4．（4分）如图，在同一时刻，身高1.6米的小丽在阳光下的影长为2.5米，一棵大树的影长为5米，则这棵树的高度为（）A．7.8米B．3.2米C．2.3米D．1.5米5．（4分）一元二次方程x2﹣2x+3＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．有一个实数根D．没有实数根6．（4分）若反比例函数y＝﹣的图象上有两点A（﹣2，m），B（﹣1，n），则m，n的关系是（）A．m＞n B．m＜n C．m＝n D．无法确定7．（4分）如图，正方形ABCD的边长为7，在各边上顺次截取AE＝BF＝CG＝DH＝4，则四边形EFGH的面积为（）A．20B．25C．30D．358．（4分）二次函数y＝2（x﹣4）2+5的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是（）A．向下、直线x＝﹣4、（﹣4，5）B．向上、直线x＝﹣4、（﹣4，5）C．向上、直线x＝4、（4，﹣5）D．向上、直线x＝4、（4，5）9．（4分）已知矩形ABCD的周长为20cm，两条对角线AC，BD相交于点O，过点O作AC的垂线EF，分别交两边AD，BC于E，F（不与顶点重合），则以下关于△CDE与△ABF判断完全正确的一项为（）A．△CDE与△ABF的周长都等于10cm，但面积不一定相等B．△CDE与△ABF全等，且周长都为10cmC．△CDE与△ABF全等，且周长都为5cmD．△CDE与△ABF全等，但它们的周长和面积都不能确定10．（4分）如图，小强从热气球上的A点测量一栋高楼顶部的仰角∠DAB＝30°，测量这栋高楼底部的俯角∠DAC ＝60°，热气球与高楼的水平距离为AD＝15米，则这栋高楼的高BC为（）米．A．45B．60C．75D．9011．（4分）如图，点A的坐标是（2，0），△ABO是等边三角形，点B在第一象限．若反比例函数y＝的图象经过点B，则k的值是（）A．1B．2C．D．12．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，下列结论：①abc＜0②b＜c③3a+c＝0④当y＞0时，﹣1＜x＜3其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（每小题4分，共24分）13．（4分）已知＝，则＝．14．（4分）如图，在正方形网格中，四边形ABCD为菱形，则tan等于．15．（4分）关于x的方程x2+mx﹣8＝0的一个根是2，则m＝，另一根是．16．（4分）两个相似多边形的周长之比为2，面积之比为m，则m为．17．（4分）如图，在平面直角坐标系中，过点M（﹣3，2）分别作x轴、y轴的垂线与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，则四边形MAOB的面积为．18．（4分）矩形纸片ABCD中，AB＝5，AD＝4，将纸片折叠，使点B落在边CD上的B′处，折痕为AE．延长B′E交AB的延长线于M，折痕AE上有点P，下列五个结论中正确的是．①∠M＝∠DAB'；②PB＝PB'；③AE＝；④MB'＝CD；⑤若B'P⊥CD，则EB'＝B'P．三、解答题（本大题共9个小题，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）19．（6分）计算：（﹣1）4﹣2cos60°+tan45°﹣（﹣）0．20．（6分）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是边AB和BC上的点，且BE＝BF．求证：∠DEF＝∠DFE．21．（6分）在一个不透明的盒子里，装有四个分别标有数字1、2、3、4的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同，小明先从盒子里随机取出一个小球，记下数字为x，放回盒子摇匀后，再由小华随机取出一个小球，记下数字为y．请用列表法或画树状图法求出点（x，y）落在反比例函数y＝的图象上的概率．22．（8分）如图，已知点C、D在线段AB上，且AC＝4，BD＝9，△PCD是边长为6的等边三角形．（1）求证：△P AC∽△BPD；（2）求∠APB的度数．23．（8分）一种竹制躺椅如图①所示，其侧面示意图如图②③所示，这种躺椅可以通过改变支撑杆CD的位置来调节躺椅舒适度，假设AB所在的直线为地面，已知AE＝120cm，当把图②中的支撑杆CD调节至图③中的CD'的位置时，∠EAB由20°变为25°．（1）你能求出调节后该躺椅的枕部E到地面的高度增加了多少吗？（参考数据：sin20°≈0.34，sin25°≈0.42）（2）已知点O为AE的一个三等分点，根据人体工程学，当点O到地面的距离为26cm时，人体感觉最舒适．请你求出此时枕部E到地面的高度．24．（10分）如图，工人师傅用一块长为10分米，宽为6分米的矩形铁皮制作一个无盖长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形．（厚度不计）（1）请在图中画出裁剪示意图，用实线表示裁剪线，虚线表示折痕；（2）求当长方体底面面积为12平方分米时，裁掉的正方形边长是多少？25．（10分）如图，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A、B两点，其中点A的坐标为（﹣1，4），点B的坐标为（4，n）．（1）求这两个函数的表达式：（2）根据图象，直接写出满足k1x+b＞的x的取值范围；（3）连接OA，OB，求△AOB的面积；（4）点P在线段AB上，且S△AOP：S△BOP＝1：2，求点P的坐标．26．（12分）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE．易证：CE＝CF．（1）在图1中，若G在AD上，且∠GCE＝45°．试猜想GE，BE，GD三线段之间的数量关系，并证明你的结论．（2）运用（1）中解答所积累的经验和知识，完成下面两题：①如图2，在四边形ABCD中∠B＝∠D＝90°，BC＝CD，点E，点G分别是AB边，AD边上的动点．若∠BCD＝α，∠ECG＝β，试探索当α和β满足什么关系时，图1中GE，BE，GD三线段之间的关系仍然成立，并说明理由．②在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OABC的两顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点．现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在直线y＝x上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线y ＝x于点M，BC边交x轴于点N（如图3）．设△MBN的周长为p，在旋转正方形OABC的过程中，p值是否有变化？若不变，请直接写出结论．27．（12分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的表达式．（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．2021-2022学年山东省济南市商河县九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（4分）有一个铁制零件（正方体中间挖去一个圆柱形孔）如图放置，它的左视图是（）A．B．C．D．【分析】找到从左面看所得到的图形即可．【解答】解：左边看去是一个正方形，中间有一个圆柱形孔，圆柱的左视图是矩形，所以左视图的正方形里面还要两条虚线．故选：C．【点评】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图；注意看到的用实线表示，看不到的用虚线表示．2．（4分）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则sin A的值为（）A．B．C．D．【分析】根据正弦的定义得到sin A＝，然后把AB＝5，BC＝3代入即可得到sin A的值．【解答】解：如图，∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，∴sin A＝＝．故选：A．【点评】本题考查了正弦的定义：在直角三角形中，一锐角的正弦等于这个角的对边与斜边的比值．3．（4分）小明和小华玩“石头、剪子、布”的游戏，若随机出手一次，则小华获胜的概率是（）A．B．C．D．【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小华获胜的情况数，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：画树状图得：∵共有9种等可能的结果，小华获胜的情况数是3种，∴小华获胜的概率是：＝．故选：C．【点评】此题主要考查了列表法和树状图法求概率知识，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．4．（4分）如图，在同一时刻，身高1.6米的小丽在阳光下的影长为2.5米，一棵大树的影长为5米，则这棵树的高度为（）A．7.8米B．3.2米C．2.3米D．1.5米【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．【解答】解：∵同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似，∴，∴＝，∴BC＝×5＝3.2米．故选：B．【点评】本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．5．（4分）一元二次方程x2﹣2x+3＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．有一个实数根D．没有实数根【分析】代入一元二次方程中的系数求出根的判别式Δ＝﹣8＜0，由此即可得出结论．【解答】解：在方程x2﹣2x+3＝0中，Δ＝（﹣2）2﹣4×1×3＝﹣8＜0，∴该方程没有实数根．故选：D．【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是代入数据求出△的值．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的判别式的符号判断出方程根的个数是关键．6．（4分）若反比例函数y＝﹣的图象上有两点A（﹣2，m），B（﹣1，n），则m，n的关系是（）A．m＞n B．m＜n C．m＝n D．无法确定【分析】把点的坐标代入函数解析式可分别求得m、n的值，比较其大小即可．【解答】解：把A（﹣2，m）与B（﹣1，n）代入反比例解析式得：m＝1，n＝2，则m＜n，故选：B．【点评】此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握运算法则是解本题的关键．7．（4分）如图，正方形ABCD的边长为7，在各边上顺次截取AE＝BF＝CG＝DH＝4，则四边形EFGH的面积为（）A．20B．25C．30D．35【分析】由正方形的性质得出∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝DA，证出AH＝BE＝CF＝DG，由SAS证明△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，得出EH＝FE＝GF＝GH，∠AEH＝∠BFE，证出四边形EFGH是菱形，再证出∠HEF＝90°，即可得出四边形EFGH是正方形，由边长为7，AE＝BF＝CG＝DH＝4，可得AH ＝3，由勾股定理得EH，得正方形EFGH的面积．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝DA，∵AE＝BF＝CG＝DH，∴AH＝BE＝CF＝DG．在△AEH、△BFE、△CGF和△DHG中，，∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG（SAS），∴EH＝FE＝GF＝GH，∠AEH＝∠BFE，∴四边形EFGH是菱形，∵∠BEF+∠BFE＝90°，∴∠BEF+∠AEH＝90°，∴∠HEF＝90°，∴四边形EFGH是正方形，∵AB＝BC＝CD＝DA＝7，AE＝BF＝CG＝DH＝4，∴AH＝BE＝DG＝CF＝3，∴EH＝FE＝GF＝GH＝＝5，∴四边形EFGH的面积是：5×5＝25，故选：B．【点评】本题主要考查了正方形的性质和判定定理全等三角形的判断和性质以及勾股定理的运用，证得四边形EFGH是正方形是解答此题的关键．8．（4分）二次函数y＝2（x﹣4）2+5的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是（）A．向下、直线x＝﹣4、（﹣4，5）B．向上、直线x＝﹣4、（﹣4，5）C．向上、直线x＝4、（4，﹣5）D．向上、直线x＝4、（4，5）【分析】根据二次函数顶点式解析式分别解答即可．【解答】解：二次函数y＝2（x﹣4）2+5的开口方向向下；对称轴是直线x＝4；顶点坐标是（4，5）．故选：D．【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用二次函数顶点式形式求解对称轴和顶点坐标的方法是解题的关键．9．（4分）已知矩形ABCD的周长为20cm，两条对角线AC，BD相交于点O，过点O作AC的垂线EF，分别交两边AD，BC于E，F（不与顶点重合），则以下关于△CDE与△ABF判断完全正确的一项为（）A．△CDE与△ABF的周长都等于10cm，但面积不一定相等B．△CDE与△ABF全等，且周长都为10cmC．△CDE与△ABF全等，且周长都为5cmD．△CDE与△ABF全等，但它们的周长和面积都不能确定【分析】根据矩形的性质，AO＝CO，由EF⊥AC，得EA＝EC，则△CDE的周长是矩形周长的一半，再根据全等三角形的判定方法可求出△CDE与△ABF全等，进而得到问题答案．【解答】解：∵AO＝CO，EF⊥AC，∴EF是AC的垂直平分线，∴EA＝EC，∴△CDE的周长＝CD+DE+CE＝CD+AD＝矩形ABCD的周长＝10cm，同理可求出△ABF的周长为10cm，根据全等三角形的判定方法可知：△CDE与△ABF全等，故选：B．【点评】本题考查了矩形的对角线互相平分的性质，还考查了线段垂直平分线的性质以及全等三角形的判定方法，题目的难度不大．10．（4分）如图，小强从热气球上的A点测量一栋高楼顶部的仰角∠DAB＝30°，测量这栋高楼底部的俯角∠DAC ＝60°，热气球与高楼的水平距离为AD＝15米，则这栋高楼的高BC为（）米．A．45B．60C．75D．90【分析】在直角△ABD与直角△ACD中，根据三角函数即可求得BD和CD，即可求解．【解答】解：∵AD⊥BC，垂足为D，在Rt△ABD中，∵∠BAD＝30°，AD＝15m，∴BD＝AD•tan30°＝15×＝15（m），在Rt△ACD中，∵∠CAD＝60°，AD＝15m，∴CD＝AD•tan60°＝15×＝45（m），∴BC＝15+45＝60（m）．故选：B．【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用﹣仰角与俯角问题，一般三角形的计算，常用的方法是利用作高线转化为直角三角形的计算．11．（4分）如图，点A的坐标是（2，0），△ABO是等边三角形，点B在第一象限．若反比例函数y＝的图象经过点B，则k的值是（）A．1B．2C．D．【分析】首先过点B作BC垂直OA于C，根据AO＝2，△ABO是等边三角形，得出B点坐标，进而求出反比例函数解析式．【解答】解：过点B作BC垂直OA于C，∵点A的坐标是（2，0），∴AO＝2，∵△ABO是等边三角形，∴OC＝1，BC＝，∴点B的坐标是（1，），把（1，）代入y＝，得k＝．故选：C．【点评】此题主要考查了反比例函数的综合应用、等边三角形的性质以及图象上点的坐标特点等知识，根据已知表示出B点坐标是解题关键．12．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，下列结论：①abc＜0②b＜c③3a+c＝0④当y＞0时，﹣1＜x＜3其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：①对称轴位于x轴的右侧，则a，b异号，即ab＜0．抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0．∴abc＜0．故①正确；②∵抛物线开口向下，∴a＜0．∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a．∵x＝﹣1时，y＝0，∴a﹣b+c＝0，而b＝﹣2a，∴c＝﹣3a，∴b﹣c＝﹣2a+3a＝a＜0，即b＜c，故②正确；③∵x＝﹣1时，y＝0，∴a﹣b+c＝0，而b＝﹣2a，∴c＝﹣3a，∴3a+c＝0．故③正确；④由抛物线的对称性质得到：抛物线与x轴的另一交点坐标是（3，0）．∴当y＞0时，﹣1＜x＜3故④正确．综上所述，正确的结论有4个．故选：D．【点评】考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与系数的关系．二次函数y ＝ax2+bx+c系数符号的确定由抛物线开口方向、对称轴、与y轴的交点有关．二、填空题（每小题4分，共24分）13．（4分）已知＝，则＝．【分析】根据＝得到x＝，代入代数式后约分即可求解．【解答】解：∵＝，∴x＝，∴＝＝，故答案为：，【点评】本题考查了比例的性质，解题的关键是能够用一个字母表示另一个字母，难度不大．14．（4分）如图，在正方形网格中，四边形ABCD为菱形，则tan等于．【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分、对角线平分对角以及锐角三角函数的定义进行解答．【解答】解：如图，设AC、BD交于点O．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，＝∠BAO．∴tan＝tan∠BAO＝．故答案为：．【点评】本题考查了菱形的性质和解直角三角形，根据菱形的性质推AC⊥BD，＝∠BAO是解题的关键．15．（4分）关于x的方程x2+mx﹣8＝0的一个根是2，则m＝2，另一根是﹣4．【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，即可得到一个关于另一根与m的方程组，即可求解．【解答】解：∵方程x2+mx﹣8＝0的一个根是2，设另一根是α，∴2α＝﹣8，α＝﹣4；2+α＝﹣m，则2﹣4＝﹣m，解得：m＝2．故答案为：2，﹣4．【点评】考查了一元二次方程的解及根于系数的关系的知识，解答此题要熟知一元二次方程根与系数的关系．16．（4分）两个相似多边形的周长之比为2，面积之比为m，则m为4．【分析】根据相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，进行计算即可解答．【解答】解：由相似多边形的性质可得：相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，∴两个相似多边形的周长之比为2，面积之比为m，则m为4，故答案为：4．【点评】本题考查了相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键．17．（4分）如图，在平面直角坐标系中，过点M（﹣3，2）分别作x轴、y轴的垂线与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，则四边形MAOB的面积为10．【分析】设点A的坐标为（a，b），点B的坐标为（c，d），根据反比例函数y＝的图象过A，B两点，所以ab ＝4，cd＝4，进而得到S△AOC＝|ab|＝2，S△BOD＝|cd|＝2，S矩形MCDO＝3×2＝6，根据四边形MAOB的面积＝S△AOC+S△BOD+S矩形MCDO，即可解答．【解答】解：如图，设点A的坐标为（a，b），点B的坐标为（c，d），∵反比例函数y＝的图象过A，B两点，∴ab＝4，cd＝4，∴S△AOC＝|ab|＝2，S△BOD＝|cd|＝2，∵点M（﹣3，2），∴S矩形MCDO＝3×2＝6，∴四边形MAOB的面积＝S△AOC+S△BOD+S矩形MCDO＝2+2+6＝10，故答案为：10．【点评】本题主要考查反比例函数的对称性和k的几何意义，根据条件得出S△AOC＝|ab|＝2，S△BOD＝|cd|＝2是解题的关键，注意k的几何意义的应用．18．（4分）矩形纸片ABCD中，AB＝5，AD＝4，将纸片折叠，使点B落在边CD上的B′处，折痕为AE．延长B′E交AB的延长线于M，折痕AE上有点P，下列五个结论中正确的是①②③⑤．①∠M＝∠DAB'；②PB＝PB'；③AE＝；④MB'＝CD；⑤若B'P⊥CD，则EB'＝B'P．【分析】根据∠M＝∠CB'E，而∠CB'E+∠DB'A＝∠DAB'+∠DB'A＝90°可判断①；利用折叠的性质可判断出△B'AP≌△BAP，继而可判断出②；设AE＝x，表示出EB'＝EB＝，在Rt△CEB'中利用勾股定理可求出AE的长度，继而可判断出③；利用反证法判断④，最后看得出的结果能证明出来；根据B′P⊥CD，判断出B'P ∥BC，从而有∠B'PE＝∠BEP＝∠B'EP，从而可判断出⑤．综合起来即可得出最终的答案．【解答】解：如图，连接AB'，①由题意得∠M＝∠CB'E，而∠CB'E+∠DB'A＝∠DAB'+∠DB'A＝90°，∴∠M＝∠CB'E＝∠DAB'，故可得①正确；②根据折叠的性质可得AB'＝AB，∠B'AP＝∠BAP，在△B'AP和△BAP中，，∴△B'AP≌△BAP（SAS），∴PB＝PB'，故可得②正确；③在Rt△ADB'中，根据勾股定理，得：B'D＝＝＝3，∴CB'＝5﹣3＝2，设AE＝x，则EB'＝EB＝，在Rt△CEB'中，∵CE2+CB'2＝EB'2，∴（4﹣）2+4＝x2﹣25，解得：x＝，∴AE＝；故可得③正确；④假如MB′＝CD，则可得MB'＝AB＝AB'，∴∠M＝∠BAB'，由①得∠M＝∠DAB′，故有∠BAB'＝∠DAB'，而本题不能判定∠BAB'＝∠DAB'，即假设不成立．故可得④错误．⑤若B′P⊥CD，则B'P∥BC，∴∠B'PE＝∠BEP＝∠B'EP，∴EB'＝B'P，故可得⑤正确．综上可得①②③⑤正确，共四个．故答案为：①②③⑤．【点评】本题考查了翻折变换，解答过程中涉及了平行四边形的性质、勾股定理，属于综合性题目，解答本题的关键是根据翻折变换的性质得出对应角、对应边分别相等，然后分别判断每个结论，难度较大，注意细心判断．三、解答题（本大题共9个小题，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）19．（6分）计算：（﹣1）4﹣2cos60°+tan45°﹣（﹣）0．【分析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、开方和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．【解答】解：（﹣1）4﹣2cos60°+tan45°﹣（﹣）0＝＝1﹣1+1﹣1＝0．【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．20．（6分）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是边AB和BC上的点，且BE＝BF．求证：∠DEF＝∠DFE．【分析】根据菱形的性质和全等三角形的判定方法“SAS”即可证明△ADE≌△CDF，进而利用全等三角形的性质和等腰三角形的性质解答即可．【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴∠A＝∠C，AB＝CB，AD＝DC，∵BE＝BF，∴AE＝CF，在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（SAS），∴DE＝DF，∴∠DEF＝∠DFE．【点评】本题主要考查菱形的性质，同时综合利用全等三角形的判定方法及等腰三角形的性质，解决本题的关键是熟记菱形的性质．21．（6分）在一个不透明的盒子里，装有四个分别标有数字1、2、3、4的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同，小明先从盒子里随机取出一个小球，记下数字为x，放回盒子摇匀后，再由小华随机取出一个小球，记下数字为y．请用列表法或画树状图法求出点（x，y）落在反比例函数y＝的图象上的概率．【分析】根据题意可以列出相应的表格，从而可以求得符合条件的概率，从而可以解答本题．【解答】解：由题意，可列表：1234第一次第二次1（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）2（2，1）（2，2）（2，3）（2，4）3（3，1）（3，2）（3，3）（3，4）4（4，1）（4，2）（4，3）（4，4）由已知，共有16种结果，且每种结果出现的可能性相同，其中满足要求的有3种，∴P（点落在反比例函数y＝的图象上）＝．【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，列出相应的表格，求出相应的概率．22．（8分）如图，已知点C、D在线段AB上，且AC＝4，BD＝9，△PCD是边长为6的等边三角形．（1）求证：△P AC∽△BPD；（2）求∠APB的度数．【分析】（1）根据相似三角形的判定证明即可；（2）利用相似三角形的性质对应角相等和等边三角形的性质可以求出∠APB的度数．【解答】证明：（1）∵等边△PCD的边长为6，∴PC＝PD＝6，∠PCD＝∠PDC＝60°，又∵AC＝4，BD＝9，∴，∵等边△PCD中，∠PCD＝∠PDC＝60°，∴∠PCA＝∠PDB＝120°，∴△ACP∽△PDB；（2）∵△ACP∽△PDB，∴∠APC＝∠PBD，∵∠PDB＝120°，∴∠DPB+∠DBP＝60°，∴∠APC+∠BPD＝60°，∴∠APB＝∠CPD+∠APC+∠BPD＝120°．【点评】此题考查相似三角形的判定和性质，要熟练运用相似三角形的性质和等边三角形的性质是关键．23．（8分）一种竹制躺椅如图①所示，其侧面示意图如图②③所示，这种躺椅可以通过改变支撑杆CD的位置来调节躺椅舒适度，假设AB所在的直线为地面，已知AE＝120cm，当把图②中的支撑杆CD调节至图③中的CD'的位置时，∠EAB由20°变为25°．（1）你能求出调节后该躺椅的枕部E到地面的高度增加了多少吗？（参考数据：sin20°≈0.34，sin25°≈0.42）（2）已知点O为AE的一个三等分点，根据人体工程学，当点O到地面的距离为26cm时，人体感觉最舒适．请你求出此时枕部E到地面的高度．【分析】（1）分别计算出图①和图②中点E到AB的距离，再计算差即可；（2）过点O作OH⊥AB于点H，根据三角形相似可得EF的长度．【解答】解：（1）如图②，过点E作EF⊥AB于点F，∵∠EAF＝20°，AE＝120cm，∴sin20°＝，即EF≈120×0.34＝40.8（cm），如图③，过点E作EF⊥AB于点F，∵∠EAF＝25°，AE＝120cm，∴sin25°＝，即EF≈120×0.42＝50.4（cm），50.4﹣40.8＝9.6（cm），答：高度增加了9.6cm；（2）如图③，过点O作OH⊥AB于点H，∵∠AHO＝∠AFE＝90°，∠A＝∠A，∴△AHO∽△AFE，∴，∵AO＝AE＝40cm，AE＝120cm，∴，即EF＝78，答：枕部E到地面的高度是78cm．【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是正确理解题意以及灵活运用锐角三角函数的定义，本题属于中等题型．24．（10分）如图，工人师傅用一块长为10分米，宽为6分米的矩形铁皮制作一个无盖长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形．（厚度不计）（1）请在图中画出裁剪示意图，用实线表示裁剪线，虚线表示折痕；（2）求当长方体底面面积为12平方分米时，裁掉的正方形边长是多少？【分析】（1）按题意画出图形；（2）由设裁掉的正方形的边长为x分米，用x的代数式表示长方体底面的长与宽，再根据矩形的面积公式列出方程，可求得答案．【解答】解：（1）如图所示，（2）设裁掉的正方形的边长为x分米，由题意可得（10﹣2x）（6﹣2x）＝12，即x2﹣8x+12＝0，解得x＝2或x＝6（舍去），答：裁掉的正方形的边长为2分米．【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及几何体的表面积，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．25．（10分）如图，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A、B两点，其中点A的坐标为（﹣1，4），点B的坐标为（4，n）．（1）求这两个函数的表达式：（2）根据图象，直接写出满足k1x+b＞的x的取值范围；（3）连接OA，OB，求△AOB的面积；（4）点P在线段AB上，且S△AOP：S△BOP＝1：2，求点P的坐标．【分析】（1）将点A，点B坐标代入两个解析式可求k2，n，k1，b的值，从而求得解析式；（2）根据一次函数图象在反比例图象的上方，可求x的取值范围；（3）设直线AB与y轴的交点为C，根据S△AOB＝S△AOC+S△BOC可得答案；（4）根据S△AOP：S△BOP＝1：2，求得点P的横坐标，再根据一次函数解析式可得答案．【解答】解：（1）∵反比例函数y＝的图象过点A（﹣1，4），B（4，n），∴k2＝﹣1×4＝﹣4，k2＝4n，∴n＝﹣1，∴B（4，﹣1），∵一次函数y＝k1x+b的图象过点A、点B，∴，解得：k1＝﹣1，b＝3，∴一次函数的解析式y＝﹣x+3，反比例函数的解析式为y＝﹣；（2）∵点A的坐标为（﹣1，4），点B的坐标为（4，﹣1）．由图象可得：k1x+b＞的x的取值范围是x＜﹣1或0＜x＜4；（3）如图，设直线AB与y轴的交点为C，∴C（0，3），∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×3×1+×3×4＝；（4）如图，∵S△AOP：S△BOP＝1：2，∴S△AOP＝×＝，∵S△AOC＝×3×1＝，∴S△AOC＜S△AOP，S△COP＝﹣＝1，∴×3•x P＝1，∴x P＝，∵点P在线段AB上，∴y＝﹣+3＝，∴P（，）．【点评】本题考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，熟练运用图象上的点的坐标满足图象的解析式是本题的关键．26．（12分）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE．易证：CE＝CF．（1）在图1中，若G在AD上，且∠GCE＝45°．试猜想GE，BE，GD三线段之间的数量关系，并证明你的结论．（2）运用（1）中解答所积累的经验和知识，完成下面两题：①如图2，在四边形ABCD中∠B＝∠D＝90°，BC＝CD，点E，点G分别是AB边，AD边上的动点．若∠BCD＝α，∠ECG＝β，试探索当α和β满足什么关系时，图1中GE，BE，GD三线段之间的关系仍然成立，并说明理由．②在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OABC的两顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点．现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在直线y＝x上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线y ＝x于点M，BC边交x轴于点N（如图3）．设△MBN的周长为p，在旋转正方形OABC的过程中，p值是否有变化？若不变，请直接写出结论．【分析】（1）由SAS证得△EBC≌△FDC，再由SAS证得△ECG≌△FCG，可得到EG＝FG，即可得出结果；（2）①延长AD到F点，使DF＝BE，连接CF，可证△EBC≌△FDC，结合条件可证得△ECG≌△FCG，故EG ＝GF，可得出结论；②延长BA交y轴于E点，可证得△OAE≌△OCN，进一步可证得△OME≌△OMN，可求得MN＝AM+AE【解答】解：（1）GE＝BE+GD，理由如下：∵四边形ABCD是正方形，F是AD延长线上一点，∴BC＝DC，∠FDC＝∠EBC＝90°，在△EBC和△FDC中，，∴△EBC≌△FDC（SAS），∴∠DCF＝∠BCE，CE＝CF，∵∠GCE＝45°，∴∠BCE+∠DCG＝90°﹣45°＝45°，∴∠DCG+∠DCF＝45°，∴∠ECG＝∠FCG，在△ECG和△FCG中，，∴△ECG≌△FCG（SAS），∴EG＝GF，∴GE＝BE+GD；（2）①α＝2β时，GE＝BE+GD；理由如下：延长AD到F点，使DF＝BE，连接CF，如图（2）所示：∵∠B＝∠D＝90°，∴∠B＝∠FDC＝90°，在△EBC和△FDC中，，∴△EBC≌△FDC（SAS），∴∠DCF＝∠BCE，CE＝CF，∴∠BCE+∠DCG＝∠GCF，当α＝2β时，∠ECG＝∠FCG，在△ECG和△FCG中，，∴△ECG≌△FCG（SAS），∴EG＝GF，∴GE＝BE+GD；②在旋转正方形OABC的过程中，P值无变化；延长BA交y轴于E点，如图（3）所示：则∠AOE＝45°﹣∠AOM，∠CON＝90°﹣45°﹣∠AOM＝45°﹣∠AOM，∴∠AOE＝∠CON．又∵OA＝OC，∠OAE＝180°﹣90°＝90°＝∠OCN．在△OAE和△OCN中，∴△OAE≌△OCN（ASA）．∴OE＝ON，AE＝CN．在△OME和△OMN中，．∴△OME≌△OMN（SAS）．∴MN＝ME＝AM+AE．∴MN＝AM+CN，∴P＝MN+BN+BM＝AM+CN+BN+BM＝AB+BC＝2．∴在旋转正方形OABC的过程中，P值无变化．【点评】本题是四边形综合题，考查了一次函数的综合运用、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的周长等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键．27．（12分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的表达式．（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．【分析】（1）将B、C的坐标代入抛物线的解析式中即可求得待定系数的值；（2）由于菱形的对角线互相垂直平分，若四边形POP′C为菱形，那么P点必在OC的垂直平分线上，据此可求出P点的纵坐标，代入抛物线的解析式中即可求出P点的坐标；（3）由于△ABC的面积为定值，当四边形ABPC的面积最大时，△BPC的面积最大；过P作y轴的平行线，交直线BC于Q，交x轴于F，易求得直线BC的解析式，可设出P点的横坐标，然后根据抛物线和直线BC的解析式求出Q、P的纵坐标，即可得到PQ的长，以PQ为底，B点横坐标的绝对值为高即可求得△BPC的面积，由此可得到关于四边形ACPB的面积与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出四边形ABPC的最大面积及对应的P点坐标．【解答】解：（1）将B、C两点的坐标代入得，解得：；所以二次函数的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3（2）存在点P，使四边形POP′C为菱形；设P点坐标为（x，x2﹣2x﹣3），PP′交CO于E若四边形POP′C是菱形，则有PC＝PO；。

北师大版九年级上册数学期末考试试题一、单选题1．如图是某几何体的三视图，该几何体是（）A ．圆柱B ．圆锥C ．长方体D ．三棱柱2．关于x 的一元二次方程2420x x ++=的根的情况是（）A ．没有实数根B ．只有一个实数根C ．有两个不相等的实数根D ．有两个相等的实数根3．小明抛一枚硬币100次，其中有60次正面朝上，则反面朝上的频率是（）A ．0.6B ．6C ．0.4D ．44．某超市一月份的营业额为36万元，由于受疫情影响，二月份营业额有所下降，三月份开始复苏，营业额为48万元，设从一月到三月平均每月的增长率为x ，则下面所列方程正确的是（）A ．()236148x -=B ．()236148x +=C ．()23614836x -=-D ．248(1)36x -=5．如图，1l ∥2l ∥3l ，两条直线与这三条平行线分别交于点A 、B 、C 和D 、E 、F ．已知32AB BC =，则DEDF的值为（）A ．32B ．23C ．25D ．356．用配方法解一元二次方程29190x x -+=，配方后的方程为（）A ．29524x ⎛⎫-=⎪⎝⎭B ．29524x ⎛⎫+=⎪⎝⎭C ．()2962x -=D ．()2962x +=7．书架上放着两本散文和一本数学书，小明从中随机抽取一本，抽到数学书的概率是（）A ．1B ．12C ．23D ．138．如果反比例函数的图象经过点P （﹣3，﹣1），那么这个反比例函数的表达式为（）A ．y ＝3xB ．y ＝﹣3x C ．y ＝13xD ．y ＝﹣13x9．如图，下列选项中不能判定△ACD ∽△ABC 的是（）A ．∠ACD ＝∠B B ．∠ADC ＝∠ACB C ．AC 2＝AD•ABD ．BC 2＝BD•AB10．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AC ＝18，BC ＝14，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，连接DE ，BE ，点M 在CB 的延长线上，连接DM ，若∠MDB ＝∠A ，则四边形DMBE 的周长为（）A ．16B ．24C ．32D ．40二、填空题11．已知13x y =，则x y y +的值为_____．12．若反比例函数y ＝5kx-的图象分布在第二、四象限，则k 的取值范围是_____．13．两个相似三角形对应边上的高的比是2：3，那么这两个三角形面积的比是_____．14．关于x 的一元二次方程22(1)620k x x k k -+++-=有一个根是0，则k 的值是________15．线段AB 、CD 在平面直角坐标系中的网格位置，如图所示，O 为坐标原点，A 、B 、C 、D均在格点上，线段AB、CD是位似图形，位似中心的坐标是__________．16．如图，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，且∠EAF=45°，（1）线段BE，EF，DF之间的关系是____________（2）若正方形的边长为4，DF=2BE，则EF=______________17．在某一时刻，测得一根长为1.5m的标杆的影长为3m，同时测得一根旗杆的影长为16m，那么这根旗杆的高度为_______m．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为反比例函数y=-4x（x＞0）的图象上一动点，AB⊥y轴，垂足为B，以AB为边作正方形ABCD，其中CD在AB上方，连接OA，则OA2-OC2=_______．三、解答题19．解方程：x2﹣2x﹣3＝0．20．有四张大小、质地都相同的不透明卡片，上面分别标有数字1，2，3，4（背面完全相同），现将标有数字的一面朝下，洗匀后从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然后再从中任意抽取一张，请用画树状图或列表的方法，求两次抽取的卡片上的数字和等于5的概率．21．如图，在△ABC 中，EF ∥CD ，DE ∥BC ．（1）求证：AF ：FD ＝AD ：DB ；（2）若AB ＝30，AD ：BD ＝2：1，请直接写出DF 的长．22．一次函数y ＝k 1x+b 和反比例函数y ＝2k x的图象的相交于A （2，3），B （﹣3，m ），与x 轴交于点C ，连接OA ，OB ．（1）请直接写出m 的值为，反比例函数y ＝2k x的表达式为；（2）观察图象，请直接写出k 1x+b ﹣2k x＞0的解集；（3）求△AOB 的面积．23．某品牌服装平均每天可以售出10件，每件盈利40元．受新冠肺炎疫情影响，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：每件服装每降价1元，平均每天就可以多售出2件，如果需要盈利700元，那么每件降价多少元？24．图，在平面直角坐标系中，直线y ax b =+与y 轴正半轴交于A 点，与反比例函数k y x=交于点B （1-，4）和点C ，且AC ＝4AB ，动点D 在第四象限内的该反比例函数上，且点D 在点C 左侧，连接BD 、CD ．(1)求点C 的坐标；(2)若=5BCD S △，求点D 的坐标．25．正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，E 为BD 上一点，延长AE 到点N ，使AE EN =，连接CN 、CE ．(1)求证：AE CE =．(2)求证：CAN △为直角三角形．(3)若AN =6，求BE 的长．26．如图，在平面直角坐标中，点O 是坐标原点，一次函数1y kx b =+与反比例函数()20my x x=>的图象交于()1,3A ，(),1B n 两点．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）根据图象直接写出当12y y >时，x 的取值范围；（3）若点P在y轴上，求PA PB的最小值．27．如图，在正方形ABCD中，点E是BC边的延长线上一点，连接DE，且∠EDC＝30°，以DE为斜边作等腰Rt△DEF，直角边EF的延长线交BD于点M，连接AF．（1）请直接写出∠ADF＝度；（2）求证：△DAF∽△DBE；（3）请直接写出EMBE的值．参考答案1．A2．C3．C4．B5．D6．A7．D8．A9．D 10．C11．4 312．k ＞513．49：14．-215．(0，0)或(143，4)16．EF BE DF=+9-+【分析】（1）延长CD 到M ，使DM BE =，证明ABE ADM ≌，得出,AE AM BAE DAM =∠=∠，进而证明AEF AMF ≌，根据全等三角形的性质即可求解．（2）设BE x =，则2DF x =，由（1）得3EF BE DF x =+=，在Rt CEF △中，勾股定理建立方程，解方程即可求解．【详解】（1）延长CD 到M ，使DM BE =，∵正方形ABCD ，∴,AB AD ABE ADM =∠=∠，∴ABE ADM ≌，∴,AE AM BAE DAM =∠=∠，∵45EAF ∠=︒，∴45MAF MAD DAF BAE DAF EAF ∠=∠+∠=∠+∠==∠︒，∵AF AF =，∴AEF AMF ≌，∴EF MF DM DF BE DF ==+=+；故答案为：EF BE DF =+；（2）∵2DF BE =，∴设BE x =，则2DF x =，由（1）得3EF BE DF x =+=，在Rt CEF △中，222EF EC FC =+，∴222(3)(4)(42)x x x =-+-，解得13x =-，23x =-∴39EF x ==-+故答案为：9-+17．8【分析】根据同时同地物高与影长成比相等，列式计算即可得解．【详解】设旗杆高度为x 米，由题意得：1.5316x=解得8x =.故答案为8．18．8【分析】利用反比例函数系数k 的几何意义、正方形的性质以及勾股定理即可求得OA 2-OC 2=8．【详解】解：正方形ABCD 中，BC=AB ，∴OC=BC-OB=AB-OB ，∵点A 为反比例函数y=-4x（x ＞0）的图象上一动点，AB ⊥y 轴，垂足为B ，∴AB•OB=4，OA 2=AB 2+OB 2，∴OA 2-OC 2=AB 2+OB 2-（AB-OB ）2=2AB•OB=2×4=8，故答案为：8．【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理的应用以及反比例函数系数k 的几何意义，得出OC=BC-OB=AB-OB ，AB•OB=4，OA 2=AB 2+OB 2是解题的关键．19．x 1＝﹣1，x 2＝3【分析】用因式分解法解方程即可．【详解】解：x 2﹣2x ﹣3＝0，（x+1）（x ﹣3）＝0，x+1=0或x ﹣3＝0，x1＝﹣1，x2＝3．20．1 4【分析】根据题意列出图表得出所有等可能的情况数，找出两次数字和为5的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．【详解】解：根据题意画图如下：共有16种的可能的情况数，其中两次数字和为5的有4种，则两次数字和为5的概率实数41 164=．21．（1）见详解；（2）20 3．【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理，由EF∥CD得到AF：FD=AE：EC，由DE∥BC 得到AE：EC=AD：DB，再进行等量代换即可求解；（2）根据比例的性质得到20AD=，根据（1）结论得到AF：FD=2:1，即可求出DF．【详解】解：（1）证明：∵EF∥CD，∴AF：FD=AE：EC，∵DE∥BC，∴AE：EC=AD：DB，∴AF：FD＝AD：DB；（2）∵AB＝30，AD：BD＝2：1，∴22302033AD AB=⨯=⨯=，∵AF：FD＝AD：DB，∴AF：FD=2:1，∴112020333 DF AD=⨯=⨯=22．（1）-2；6yx=；（2）30x-<<或2x>；52【分析】（1）先把A点坐标代入到反比例函数解析式求出反比例函数解析式，即可求出m 的值；（2）观察图像可知，不等式k 1x+b ﹣2k x＞0的解集即为一次函数图像在反比例函数图像上方时自变量的取值范围，由此求解即可；（3）先求出直线AB 的解析式，然后求出C 点坐标，再由()1122AOB AOC BOC A B S S S OC y OC y =+=⋅+⋅-△△△进行求解即可．【详解】解：（1）∵点A （2，3）在反比例函数2k y x=的函数图像上，∴232k =，∴26k =，∴反比例函数解析式为6y x=，∵点B （﹣3，m ）在反比例函数6y x=的图像上，∴623m ==--，故答案为：-2；6y x=；（2）观察图像可知，不等式k 1x+b ﹣2k x＞0的解集即为一次函数图像在反比例函数图像上方时自变量的取值范围，∴不等式k 1x+b ﹣2k x＞0的解集为30x -<<或2x >；（3）把A 、B 坐标代入到直线AB 的解析式中得：112332k b k b +=⎧⎨-+=-⎩，解得111k b =⎧⎨=⎩，∴直线AB 的解析式为1y x =+，∵C 是直线AB 与x 轴的交点，∴C 点坐标为（-1，0），∴OC=1，∴()115222AOB AOC BOC A B S S S OC y OC y =+=⋅+⋅-=△△△．23．每件降价5元或30元．【分析】设每件降价x 元，则每件盈利（40-x ）元，平均每天可售出（10+2x ）件，利用总利润=每件盈利×平均每天的销售量，即可得出关于x 的一元二次方程，解之即可得出结论．【详解】解：设每件降价x 元，则每件盈利（40-x ）元，平均每天可售出（10+2x ）件，依题意得：(40)(102)700x x -+=，整理得：2351500x x -+=，解得：1x =5，2x =30．答：每件降价5元或30元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．24．(1)C 坐标为()4-1，(2)1122+-（，【分析】（1）先利用B 点坐标求出反比例函数的解析式，再利用相似三角形的判定与性质求出C 点的横坐标，再代入反比例函数解析式当中求出纵坐标即可；（2）先求出直线BC 的解析式，再设出D 点坐标，利用面积关系列出方程求解即可．（1）解:如图，过点B 作BE ⊥y 轴于点E ，过点C 作CF ⊥y 轴于点F ∵反比例函数k y x =经过点B （1-，4），∴41k =-，解得，4k =-∴反比例函数为4y x =-∵BE ⊥y 轴，CF ⊥y 轴，∴BE ∥CF ，∴△BEA ∽△CFA∵AC ＝4AB ，∴14BE AB CF AC ==∴CF ＝4∵反比例函数4y x=-经过点C ∴当4x =时，1y =-，即点C 坐标为（4，1-）（2）过点D 作DG ∥y 轴，交AC 于点G.将点B （1-，4）,点C （4，1-）代入y ax b =+,解得1,3a b =-=∴直线的函数解析式为3y x =-+设点D （t ，4t-），点G （t ，3t -+）∵=5BCD S △，∴()144-1-3-52t t ⎡⎤⎛⎫-⨯+-=⎡⎤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦解得，1t =2t =∵04t <<，∴1t =此时，点D 的坐标为．25．(1)见解析(2)见解析(3)【分析】（1）由四边形ABCD 是正方形，易证得△ABE ≌△CBE ，继而证得AE ＝CE ．（2）由AE ＝CE ，AE ＝EN ，即可证得∠ACN ＝90°，则可判定△CAN 为直角三角形；（3）由AN ＝，正方形的边长为6，易求得CN 的长，然后由三角形中位线的性质，求得OE 的长，继而求得答案．（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴45,ABD CBD AB CB ∠=∠=︒=，在ABE △和CBE ∠中，AB CBABE CBE BE BE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()ABE CBE SAS ≌，∴AE CE =；（2）证明：∵,AE CE AE EN ==，∴,EAC ECA CE EN ∠=∠=，∴ECN N ∠=∠，∵180EAC ECA ECN N ∠+∠+∠+∠=︒，∴90ACE ECN ∠+∠=︒，即90ACN ∠=︒，∴CAN △为直角三角形；（3）解：∵正方形的边长为6，∴AC BD ==，∵90ACN ∠=︒，AN =∴CN ==∴,OA OC AE EN ==，∴12OE CN ==，∵12OB BD ==，∴BE OB OE =+=．26．（1）14y x =-+；()230y x x =>；（2）13x <<；（3）【分析】（1）先把A 、B 点坐标代入()20m y x x=>中求出m 、n ，把A 、B 点坐标代入1y kx b =+中求出k 、b 的值即可；（2）根据函数的图象和A 、B 的坐标即可得出答案；（3）作点A 关于x 轴的对称点C ，连接BC 交x 轴于点P ，则PA+PB 的最小值等于BC 的长，利用勾股定理即可得到BC 的长．【详解】解：（1）将点()1,3A ，(),1B n 两点坐标分别代入反比例函数()20m y x x=>可得3m =，3n =．∴点B 的坐标为()3,1，将点()1,3A ，()3,1B 分别代入一次函数1y kx b =+，可得3,13,k b k b =+⎧⎨=+⎩解得1,4.k b =-⎧⎨=⎩∴一次函数的解析式为14y x =-+，反比例函数的解析式为()230y x x=>．（2）当12y y >时，x 的取值范围是13x <<．（3）如图，作点A 关于y 轴的对称点C ，连接BC 交y 轴于点P ，则PA PB +的最小值等于BC 的长．过点C 作y 轴的平行线，过点B 作x 轴的平行线，交于点D ．在Rt BCD 中，BC ===∴PA PB +的最小值为27．（1）75°；（2）见详解；（3）3．【分析】（1）先计算出∠ADE=120°，再根据等腰直角三角形三角形性质得到∠EDF=45°，即可求出∠ADF=75°；（2）根据等腰直角三角形的性质得到=FD AD ED BD ，再证明∠ADF=∠BDE=75°，即可证明△DAF ∽△DBE ；（3）设CE=m ，先求出CD =，BE )1m =，再求出DF EF ==，3MF m =，即可求出)1m +，即可求出EM BE 【详解】解：（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ADC=90°，∵∠EDC ＝30°，∴∠ADE=∠ADC+∠EDC=120°，∵△DEF 为等腰直角三角形，∴∠EDF=45°，∴∠ADF=∠ADE-∠EDF=75°，故答案为：75°；（2）∵四边形ABCD 是正方形，∴∠DAB=90°，AB=AD ，∠ADB=12∠ADC=45°，∴△ADB 是等腰直角三角形，∴=2ADBD ，∵△DEF 是等腰直角三角形，∴=2FDED ,∴=FD ADED BD ，∵∠ADB=∠EDF=45°，∴∠ADB+∠BDF=∠EDF+∠BDF ，∴∠ADF=∠BDE=75°，∴△DAF ∽△DBE ；（3）设CE=m ，在Rt △DCE 中，∵∠EDC=30°，∴DE=2m ，CD ==，∴，∴BE )1BC EC m =+=，∴在等腰直角三角形DEF 中，sin DF EF DE DCE ==∠= ，∵∠BDE=75°，∠EDF=45°，∴∠FDM=∠BDE-∠EDF=30°，∴在Rt △DFM 中，tan tan 30MF DF MDF =∠=︒= ，∴)1m +=，∴))11EMm BE +÷．。

北师大版九年级数学第一学期期末考试试题及答案第I卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.如图所示的六角螺栓，其俯视图是( )A. B. C. D.2.关于菱形的性质，以下说法不正确的是( )A. 四条边相等B. 对角线互相垂直C. 对角线相等D. 是轴对称图形3.关于x的一元二次方程x2−6x+m=0有两个不相等的实数根，则m的值可能是( )A. 8B. 9C. 10D. 114.对于反比例函数y=−5，给出下列结论：①图象经过点(1,−5)；②图象位于第二、第四象限；③当x<0时，xy随x的增大减小；④当x>0时，y随x的增大而增大．其中正确的结论个数为( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个5.如图，小明探究课本“综合与实践”板块“制作视力表”的相关内容：当测试距离为5m时，标准视力表中最大的“E”字高度为72.7mm，当测试距离为3m时，最大的“E”字高度为( )A. 4.36mmB. 29.08mmC. 43.62mmD. 121.17mm6.如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图．自动扶梯AB的倾斜角为37°，大厅两层之间的距离BC=6米，则自动扶梯AB的长约为(参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75)( )第2页，共21页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………A. 7.5米B. 8米C. 9米D. 10米7. 如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O.点E 、F 分别是AB ，AO 的中点，且AC =8.则EF 的长度为( )A. 2B. 4C. 6D. 88. 如图所示，E 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点，EF ⊥BC ，EG ⊥CD ，垂足分别是F 、G ，若CG =4，CF =3，则AE 的长是( )A. 3B. 4C. 5D. 79. 如图，在正方形网格中：△ABC 、△EDF 的顶点都在正方形网格的格点上，△ABC∽△EDF ，则∠ABC +∠ACB 的度数为( )A. 30°B. 45°C. 60°D. 75°10. 两个相似三角形对应中线的长分别为6cm 和12cm ，若较大三角形的面积是12cm 2，则较小的三角形的面积为( )A. 6cm 2B. 4cm 2C. 3cm 2D. 1cm 211. 一次函数y =ax +b(a ≠0)与二次函数y =ax 2+bx +c(a ≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )A. B.C. D.12.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(−1,0)，B(3,0)，与y轴交于点C.给出下列结论：①a>0；②当x>0时，y随x的增大而增大；③3a+c=0；④a+b≥am2+bm.其中正确的结论个数为( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）13.关于x的方程2x2+mx−4=0的一根为x=1，则另一根为______．14.从喷水池喷头喷出的水珠，在空中形成一条抛物线，如图所示，在抛物线各个位置上，水珠的竖直高度y(单位：m)与它距离喷头的水平距离x(单位：m)之间满足函数关系式y=−2x2+4x+1喷出水珠的最大高度是______ m.15.《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观察井水水面DF，视线BD与井口的直径AC交于点E，如果测得AB=1米，AC=1.6米，AE=0.4米，那么CD=______米．第4页，共21页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………16. 如图，校园内有一棵与地面垂直的树，数学兴趣小组两次测量它在地面上的影子，第一次是阳光与地面成60°角时，第二次是阳光与地面成30°角时，两次测量的影长相差8米，则树高 米．(结果保留根号)17. 如图，在矩形ABCD 中，AB =6，BC =10，以点B 为圆心、BC 的长为半径画弧交AD 于点E ，再分别以点C ，E 为圆心、大于12CE 的长为半径画弧，两弧交于点F ，作射线BF 交CD 于点G ，则CG 的长为______．18. 如图，点A ，B 在反比例函数y =kx(k >0)的图象上，点A 的横坐标为2，点B 的纵坐标为1，OA ⊥AB ，则k 的值为______．三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）19. (1)计算：2sin30°+3cos60°+(14)−1−5tan45°；(2)用配方法求抛物线y =2x 2−4x −6的顶点坐标．四、解答题（本大题共6小题，共52.0分。