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6学(线性代数)综合练习题

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1 《线性代数》部分 一、判断题：

1.四阶行列式 D=000000000000dcba= abcd. ( )

2.n阶行列式D=111111000000000000000000001321nn=.21n ( ) 3.设A为n阶矩阵,k为不等于零的常数,则.AkkA ( ) 4.设A,B均为n阶矩阵,则.2)(222BABABA ( ) 5.若n阶矩阵A,B满足AB=0,则有A=0或者B=0. ( ) 6.对n阶矩阵A,若存在n阶矩阵B,使AB=E(E为n阶单位矩阵),则A可逆且有.1BA ( ) 7.设A,B均为n阶矩阵且AB,则A,B均可逆. ( ) 8.若n阶矩阵A,B均为可逆矩阵,则A+B仍为可逆矩阵. ( )

9.设A,B均为n阶可逆矩阵,则)()(111ABAB. ( ) 10.若n阶矩阵A为对称矩阵,则A为可逆矩阵. ( ) 11.若n阶矩阵A为正交矩阵,则A为可逆矩阵. ( )

12.若n阶可逆矩阵A=n21,则.112111nA ( ) 13.若存在),,2,1(0miki使式子02211mmkkk成立,则向量组m,,,21线性无关. ( ) 2

14.若向量组m,,,21线性相关,则m可用121,,,m线性表示. ( ) 15.设),,2,1(nii

为基本单位向量组,则n,,,21线性无关. ( )

16.若)(,,,21mrr是向量组m,,,21

的一个极大无关组,则

),,2,1(mii

均可用r,,,21线性表示. ( )

17.等价向量组所含向量个数相同. ( ) 18.若)(,,,21mrr是向量组的一个极大无关组,则此极大无关组与原向量组等价. ( ) 19.若nm矩阵A有一个r(rRank(A)=r. ( ) 20.任意nm矩阵A的秩等于它的等价标准形中1的个数. ( ) 21.任何一个齐次线性方程组都有基础解系. ( ) 22.任何一个齐次线性方程组都有解. ( )

23.若线性方程组AX=B(A为nm矩阵,X=),,,(,),,,(2121mnbbbBxxx)满足

Rank),()(ARankBA则此方程组有解. ( ) 24若线性方程组AX=0(A为n阶矩阵,X同上)满足0A,则此方程组无解. ( ) 25.若线性方程组AX=B(A,X同24题,B=)),,,(21nbbb满足,0A此方程组有无穷多解. ( ) 26.若21,都是AX=B(A,X,B同23题)的解,则21仍是此方程组的解. ( ) 二、填空题：

1. 四阶行列式 101 32 0235 120 26 43711 78D_____________________. 3

2. 五阶矩阵,0021AAA 其中 ,100010103,542321AA则 1A_______, 2A________, A_____________.

3. 设A,B均为n阶矩阵,且,3,2BA则BA2=_______________.

4. 设矩阵3310132 101 1ijAa,则12a的余子式为_________________,12a的代数余子式为________________,A的顺序主子式为__________________________. 5. 设三阶矩阵,bacacbcbaA则kA-E =________________(k为不等于零的常数,E为三

阶单位矩阵),若,2A则kA=________________.此时A在等价关系下的标准形为____________________. 6. 已知),3,2,1(),2,0,1(),0,0,1(321当321,,aaa为任意常数时,向量组

)3,2,,1(),2,0,,1(),0,0,,1(332211aaa线性________关(相关还是无关).

3_______(能还是不能)用21,线性表示.

7.设),2,1,2(),1,0,1(),0,1,0(),0,0,1(321则向量用向量321,,线性表示的表达式为_______________________.向量组,,,321_____________(是或不是)线性相关. 8. n阶矩阵A可逆的充分必要条件是1)___________________________________, 2)___________________.

9. 设A为五阶矩阵,且,3A则_,__________,__________1AA其中A 为A的伴随矩阵.

10.设矩阵,0021AAA其中,0121,311121AA则 4

11A= ，12A= ，

1A= 。

11 .设A为n阶正交矩阵,则Rank(A) =__________________, AA_______,1 __________________. 12. 设E为四阶单位矩阵,则初等矩阵E(1,3)=_______________, E(2(3))=________________.

13. 设A为四阶矩阵且,2AB是由A交换2,3行得到的等价矩阵,则

______,BRank(A)_______Rank(B)(等于,大于或小于).

14. 齐次线性方程组032321xxx的一个基础解系为___________________________,其全部解为____________________________________.

15. 设线性方程组为2124321xxxx,它的导出组的一个基础解系为_________________ _______________________,此方程组的全部解为________________________________. 16.设nm矩阵A的秩为)(,,12121n都是线性方程组

AX=B(X=)),,,(,),,,(2121mnbbbBxxx的解,则它的一个基础解系为___________,全部解为________________________________________________. 17. 设向量组),0,21,1(),1,,0(),1,2,0(tt则实数t =________时,,, 线性相关.

三、单项选择题： 1．下列5级排列是偶排列的是（ ）。 A．32415 B．41523 C．51324 D．23154 5

2．n 阶行列式12311111000000000000000000000nD=（ ）。 A．12n B．12n C．112(1)nn D．12(1)nn 3．设3阶行列式2333231232221131211aaaaaaaaa，则 333231232221131211kakakakakakakakaka（ ）。 A．2k B．6k C．18k D．32k 4． 已知4阶行列式D中的第2行的元素依次为1，0，-1，2，它们的余子式依次为3，8，5，4，则D =（ ）。 A．6 B．10 C．-10 D．-6

5．如果线性方程组05040332132321xxkxxxxkxx有非零解，则k =（ ）。 A．0或1 B．1或-1 C．-1或-3 D．-1或3 6．n阶矩阵A可逆的充分必要条件是（ ）。 A．A = 0 B．A≠ 0 C．| A| = 0 D．|A|≠ 0 7．如果n阶矩阵A，B均可逆，则必有（ ）。 A．111()ABAB B．111()ABAB C．111()ABAB D．111()ABBA 8．如果n阶矩阵A可逆，则1(2)A=（ ）。 A．112A B．12A C．11()2A D．12A 6

9．设A，B都为n阶矩阵，如果|AB|= 0，则必有（ ）。 A．AB = 0 B．A = 0或 B = 0 C．| A| = 0或| B | = 0 D．0AB

10．当ad - cb =1时，1dcba=（ ）。

A．dbca B．dbca C．acbd D．dcba 11．设A为m×n矩阵，如果r(A) = r （< min( m, n )），则（ ）。 A．A有一个r阶子式不等于零，一个r + 1阶子式等于零。 B．A有一个r阶子式不等于零，所有r + 1阶子式都等于零。 C．A的所有r阶子式都不等于零，一个r + 1阶子式等于零。 D．A的r阶子式不全为零，一个r + 1阶子式等于零。 12．向量组12,,,m(m  2)线性相关的充分必要条件是（ ）。 A．12,,,m中至少有一个向量可以用其余向量线性表示。 B．12,,,m中有一个零向量。 C．12,,,m中的所有向量都可以用其余向量线性表示。 D．12,,,m中每一个向量都不能用其余向量线性表示。 13．向量组s,21，，的部分组rjjj,21，， )(sr是向量组s,21，，

的一

个极大无关组，则其必须满足（ ）。 A．rjjj,21，，

线性无关，s,21，，中至少有一个向量可以用

rjjj,21，，线性表示。

B．s,21，，线性相关，s,21，，

中所有向量都可以用rjjj,21，，线

性表示。

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线性代数习题--打印

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第二章思考题、主要概念及内容图解法、图解法的灵敏度分析1. 考虑下面的线性规划问题：max z=2x1+3x2；约束条件：x1+2x2≤6，5x1+3x2≤15，x1，x2≥0．(1) 画出其可行域．(2) 当z=6时，画出等值线2x1+3x2=6．(3) 用图解法求出其最优解以及最优目标函数值．2. 用图解法求解下列线性规划问题，并指出哪个问题具有惟一最优解、无穷多最优解、无界解或无可行解．(1) min f=6x1+4x2；约束条件：2x1+x2≥1，3x1+4x2≥3，x1，x2≥0．(2) max z=4x1+8x2；约束条件：2x1+2x2≤10，-x1+x2≥8，x1,x2≥0．(3) max z=3x1-2x2；约束条件：x1+x2≤1，2x1+2x2≥4，x1，x2≥0．(4) max z=3x1+9x2；约束条件：x1+3x2≤22，-x1+x2≤4，x2≤6，2x1-5x2≤0，x1，x2≥03. 将下述线性规划问题化成标准形式：(1) max f=3x1+2x2；约束条件：9x1+2x2≤30，3x1+2x2≤13，2x1+2x2≤9，x1，x2≥0．(2) min f=4x1+6x2；约束条件：3x1-x2≥6，x1+2x2≤10，7x1-6x2=4，x1，x2≥0．(3) min f=-x1-2x2；约束条件：3x1+5x2≤70,-2x1-5x2=50，-3x1+2x2≥30，x1≤0，-∞≤x2≤∞．(提示：可以令x′1=-x1，这样可得x′1≥0．同样可以令x′2-x″2=x2，其中x′2，x″2≥0．可见当x′2≥x″2时，x2≥0；当x′2≤x″2时，x2≤0，即-∞≤x2≤∞．这样原线性规划问题可以化为含有决策变量x′1，x′2，x″2的线性规划问题，这里决策变量x′1，x′2，x″2≥0．)4. 考虑下面的线性规划问题：min f=11x1+8x2；约束条件：10x1+2x2≥20，3x1+3x2≥18，4x1+9x2≥36，x1，x2≥0．(1) 用图解法求解．(2) 写出此线性规划问题的标准形式．(3) 求出此线性规划问题的三个剩余变量的值．5. 考虑下面的线性规划问题：max f=2x1+3x2；约束条件：x1+x2≤10，2x1+x2≥4，x1+3x2≤24，2x1+x2≤16，x1，x2≥0．(1) 用图解法求解．(2) 假定c2值不变，求出使其最优解不变的c1值的变化范围．(3) 假定c1值不变，求出使其最优解不变的c2值的变化范围．(4) 当c1值从2变为4，c2值不变时，求出新的最优解．(5) 当c1值不变，c2值从3变为1时，求出新的最优解．(6) 当c1值从2变为2 5，c2值从3变为2 5时，其最优解是否变化?为什么?6. 某公司正在制造两种产品，产品Ⅰ和产品Ⅱ，每天的产量分别为30个和120个，利润分别为500元/个和400元/个．公司负责制造的副总经理希望了解是否可以通过改变这两种产品的数量而提高公司的利润．公司各个车间的加工能力和制造单位产品所需的加工工时如表2-4（25页）所示．(1) 假设生产的全部产品都能销售出去，用图解法确定最优产品组合，即确定使得总利润最大的产品Ⅰ和产品Ⅱ的每天的产量．(2) 在(1)所求得的最优产品组合中，在四个车间中哪些车间的能力还有剩余?剩余多少?这在线性规划中称为剩余变量还是松弛变量?(3) 四个车间加工能力的对偶价格各为多少?即四个车间的加工能力分别增加一个加工时数时能给公司带来多少额外的利润?(4) 当产品Ⅰ的利润不变时，产品Ⅱ的利润在什么范围内变化，此最优解不变?当产品Ⅱ的利润不变时，产品Ⅰ的利润在什么范围内变化，此最优解不变?(5) 当产品Ⅰ的利润从500元/个降为450元/个，而产品Ⅱ的利润从400元/个增加为430元/个时，原来的最优产品组合是否还是最优产品组合?如有变化，新的最优产品组合是什么?第四章人力资源的分配问题；生产计划的问题；套裁下料问题；配料问题；投资问题。

《线性代数》课程复习大纲与练习题

《线性代数》课程复习大纲与练习题

《线性代数》课程复习大纲与练习题第一章 线性方程组1.线性方程组的概念（1）线性方程组的一般形式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅++sn sn s s n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212*********（2）用消元法判断线性方程组是否有解，并求出解 2.初等变换对线性方程组进行求解 （1）初等变换的定义（2）用初等变换将线性方程组化为同解的阶梯形方程组，从而判断是否有解3.用矩阵的秩判断线性方程组是否有解记⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=sn s s n n a a a a a a a a a A 212222111211称为线性方程组的系数矩阵;⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=ssns s nn b a a a b aa ab a a a A 21222221111211称为线性方程组的增广矩阵 （1）线性方程组有解⇔秩（A ）＝秩（A ）当线性方程组有解时：秩（A ）＝未知量个数n 时, 线性方程组有唯一解;秩（A ）<未知量个数n 时，线性方程组有无穷多解。

（2）线性方程组无解⇔秩（A ）<秩（A ）4.齐次线性方程组：常数项全为0的线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅++0)1(00221122221211212111n sn s s nn n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a （1）解的情况：r(A)=n ，（或系数行列式0≠D ）只有零解；r(A)<n ，（或系数行列式D ＝0）有无穷多组非零解。

（2）解的结构：r n r n c c c X --+++=ααα 2211。

（3）求解的方法和步骤：①将增广矩阵通过行初等变换化为最简阶梯阵； ②写出对应同解方程组；③移项，利用自由未知数表示所有未知数； ④表示出基础解系； ⑤写出通解。

线性代数习题及模拟题

线性代数习题及模拟题

习题选作Ch1 行列式一、填空题1．____________)4637251(=τ。

2设行列式1112131112132122233132333132332122233333333333a a a a a a a a a a a a a a a a a a = ，则 等于 。

3．四阶行列式00000000000dc b a = 。

4．行列式222333ab ca b c a b c =___。

5．行列式3214214314324321中第1行第4列元素的代数余子式的值等于 。

6．三阶行列式 D ＝333222111435214352143521a a k a a a k a a a k a +++++++++ = 。

7．若01400200345678910=x ，则=x 。

8． 如果行列式D=12334152--a中第二行第一列的代数余子式A 12=5，则a= 。

9．线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλλ 有非零解，则λ=10．4阶行列式xd d d x c c c x b b b x a a a D 3213213213214=中第一列各元素的代数余子式之和=+++41312111A A A A 。

0二．判断题1．任意一个n 级排列都可以经过一系列的对换变成排列1 2 3 …n 。

（ ） 2．每作一次对换改变排列的奇偶性。

( )3．如果n （n>1）阶行列式的值等于零，则行列式中必有两行成比例。

（ ） 4．如果n （n>1）阶行列式的值等于零，则行列式中必有一行全为零。

（ ）5．设D=|a ij |是n 阶行列式，如果D 的元素中0的个数多于 n(n-1), 则D 的值为零。

（ ）．6．交换一个行列式的两行（或两列），则行列式值改变符号( ).7．333332222211111e d c b a e d c b a e d c b a ++++++=333222111d b a d b a d b a +333222111e c a e c a e c a 。

高考数学线性代数练习题及答案

高考数学线性代数练习题及答案

高考数学线性代数练习题及答案题目1：已知矩阵A = [2 1; 3 4]，求矩阵A的逆矩阵。

解答：首先，我们计算矩阵A的行列式|A|，由行列式的定义可得：|A| = (2*4) - (1*3) = 8 - 3 = 5由于矩阵A的行列式不为0，所以矩阵A是可逆的。

接下来，我们需要求出矩阵A的伴随矩阵adj(A)。

矩阵A的伴随矩阵adj(A)的元素a_ij为A的代数余子式C_ij乘以(-1)^(i+j)，即：adj(A) = [4 -1; -3 2]接下来，我们可以求解矩阵A的逆矩阵A_inv。

根据矩阵A的逆矩阵的计算公式，逆矩阵A_inv等于矩阵A的伴随矩阵adj(A)除以矩阵A的行列式|A|，即：A_inv = adj(A) / |A| = [4/5 -1/5; -3/5 2/5]综上所述，矩阵A的逆矩阵为：A_inv = [4/5 -1/5; -3/5 2/5]题目2：已知线性方程组：3x + 2y = 74x - 5y = 2求解该线性方程组的解。

解答：为了求解该线性方程组，我们可以使用矩阵的表示和运算方法。

首先，我们可以将该线性方程组的系数矩阵A和常数矩阵B表示如下：A = [3 2; 4 -5]B = [7; 2]为了求解线性方程组的解，我们需要求解方程组的增广矩阵[A | B]的行最简形。

对增广矩阵[A | B]进行初等行变换，将其化简为行最简形：[R2 - (4/3)R1][A | B] -> [1 -4/3; 0 -19/3 | -19/3 -4/3]化简后的行最简形为：1 -4/3 | -19/30 -19/3 | -19/3 -4/3从化简后的行最简形可以看出，方程组的解为：x = -19/3y = -19/3 -4/3 = -7综上所述，该线性方程组的解为：x = -19/3y = -7题目3：已知矩阵A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]，求矩阵A的秩。

解答：要求矩阵A的秩，首先需要明确矩阵秩的定义。