线性代数综合练习题(修改)

线性代数考试练习题带答案说明：本卷中，A -1表示方阵A 的逆矩阵，r (A )表示矩阵A 的秩，||α||表示向量α的长度，αT表示向量α的转置，E 表示单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式. 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1．设行列式111213212223313233a a a a a a a a a =2，则111213313233213122322333333a a a a a a a a a a a a ------=（ ） A ．-6 B ．-3 C ．3 D ．62．设矩阵A ，X 为同阶方阵，且A 可逆，若A （X -E ）=E ，则矩阵X =（ ） A ．E +A -1B ．E -AC ．E +AD ．E -A -13．设矩阵A ，B 均为可逆方阵，则以下结论正确的是（ ） A ．⎛⎫⎪⎝⎭A B 可逆，且其逆为-1-1⎛⎫⎪⎝⎭A B B ．⎛⎫ ⎪⎝⎭A B 不可逆C ．⎛⎫⎪⎝⎭A B 可逆，且其逆为-1-1⎛⎫⎪⎝⎭B AD ．⎛⎫ ⎪⎝⎭A B 可逆，且其逆为-1-1⎛⎫⎪⎝⎭A B 4．设α1，α2，…，αk 是n 维列向量，则α1，α2，…，αk 线性无关的充分必要条件是（ ）A ．向量组α1，α2，…，αk 中任意两个向量线性无关B ．存在一组不全为0的数l 1，l 2，…，l k ，使得l 1α1+l 2α2+…+l k αk ≠0C ．向量组α1，α2，…，αk 中存在一个向量不能由其余向量线性表示D ．向量组α1，α2，…，αk 中任意一个向量都不能由其余向量线性表示 5．已知向量2(1,2,2,1),32(1,4,3,0),T T +=---+=--αβαβ则+αβ=（ ） A ．（0，-2，-1，1）TB ．（-2，0，-1，1）TC ．（1，-1，-2，0）TD ．（2，-6，-5，-1）T6．实数向量空间V ={(x , y , z )|3x +2y +5z =0}的维数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3D ．47．设α是非齐次线性方程组Ax =b 的解，β是其导出组Ax =0的解，则以下结论正确的是（）A．α+β是Ax=0的解B．α+β是Ax=b的解C．β-α是Ax=b的解D．α-β是Ax=0的解8．设三阶方阵A的特征值分别为11,,324，则A-1的特征值为（）A．12,4,3B．111,,243C．11,,324D．2,4,39．设矩阵A=121-，则与矩阵A相似的矩阵是（）A．11123--B．01102C．211-D．121-10．以下关于正定矩阵叙述正确的是（）A．正定矩阵的乘积一定是正定矩阵B．正定矩阵的行列式一定小于零C．正定矩阵的行列式一定大于零D．正定矩阵的差一定是正定矩阵二、填空题（本大题共10小题，每空2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分。

线性代数考试练习题带答案说明：本卷中，A T表示方阵A 的转置钜阵，A *表示矩阵A 的伴随矩阵，E 表示单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式.一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1．设101350041A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则TAA =（ ）A ．-49B ．-7C ．7D ．492．设A 为3阶方阵，且4A =，则2A -=（ ） A ．-32 B ．-8 C ．8D ．323．设A ，B 为n 阶方阵，且A T=-A ，B T=B ，则下列命题正确的是（ ） A ．（A +B ）T=A +B B ．（AB ）T=-AB C ．A 2是对称矩阵D ．B 2+A 是对称阵4．设A ，B ，X ，Y 都是n 阶方阵，则下面等式正确的是（ ） A ．若A 2=0，则A =0 B ．（AB ）2=A 2B 2C ．若AX =AY ，则X =YD ．若A +X =B ，则X =B -A5．设矩阵A =1131021400050000⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则秩（A ）=（ ） A ．1 B ．2 C ．3D ．46．若方程组02020kx z x ky z kx y z +=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩仅有零解，则k =（ ）A ．-2B ．-1C ．0D ．27．实数向量空间V={（x 1，x 2，x 3）|x 1 +x 3=0}的维数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2D ．38．若方程组12323232132(3)(4)(2)x x x x x x x λλλλλλ+-=-⎧⎪-=-⎨⎪-=--+-⎩有无穷多解，则λ=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．设A =100010002⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则下列矩阵中与A 相似的是（ ） A ．100020001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ B ．110010002⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ C ．100011002⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦D ．101020001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦10．设实二次型2212323(,,)f x x x x x =-，则f （ ）A ．正定B ．不定C ．负定D ．半正定二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。

线性代数综合练习题时间：120分钟一、选择题（每小题3分，共15分）:1．设A 是三阶矩阵，将A 的第一列与第二列交换得B ，再把B 的第二列加到第三列得C ，则满足AQ=C 的可逆矩阵Q 为（ ）。

（A ）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101001010； （B ）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100101010； （C ）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡110001010； （D ）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100001110。

2．设A 、B 为满足AB=0的任意两个非零矩阵，则必有（ ）。

（A ）A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关； （B ）A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关； （C ）A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关； （D ）A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关。

3．下列向量集按R n 的加法和数乘构成R 上一个线性空间的是（ ）。

（A ）R n 中，坐标满足x 1+x 2+…+x n =0的所有向量； （B ）R n 中，坐标是整数的所有向量；（C ）R n 中，坐标满足x 1+x 2+…+x n =1的所有向量；（D ）R n 中，坐标满足x 1=1，x 2，…， x n 可取任意实数的所有向量。

4．设λ=2是非奇异矩阵A 的一个特征值，则矩阵（31A 2）-1有一个特征值等于（ ）。

（A ）34； （B ）43； （C ）21； （D ）41。

5．任一个n 阶矩阵，都存在对角矩阵与它（ ）。

（A ）合同； （B ）相似； （C ）等价； （D ）以上都不对。

二、填空题（每小题3分，共15分）1．设矩阵A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100021012，矩阵B 满足：ABA *=2BA *+E ，其中A *为A 的伴随矩阵，E 是三阶单位矩阵，则|B|= 。

2．已知线性方程组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+21232121a a ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛031321x x x 无解，则a = 。

线性代数综合练习题时间:120分钟一、选择题（每小题3分，共15分)：1．设A 是三阶矩阵,将A 的第一列与第二列交换得B ，再把B 的第二列加到第三列得C ，则满足AQ=C 的可逆矩阵Q 为( ）。

（A ）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101001010; （B)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100101010； （C ）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡110001010; （D ）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100001110。

2．设A 、B 为满足AB=0的任意两个非零矩阵，则必有（ ）。

（A ）A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关； (B ）A 的列向量组线性相关,B 的列向量组线性相关； （C ）A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关； （D)A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关.3．下列向量集按R n 的加法和数乘构成R 上一个线性空间的是（ ）。

（A ）R n 中，坐标满足x 1+x 2+…+x n =0的所有向量; （B ）R n 中，坐标是整数的所有向量； (C ）R n 中,坐标满足x 1+x 2+…+x n =1的所有向量；(D)R n 中，坐标满足x 1=1,x 2，…， x n 可取任意实数的所有向量。

4．设λ=2是非奇异矩阵A 的一个特征值，则矩阵（31A 2）—1有一个特征值等于（ ）。

（A)34； （B ）43； （C ）21； （D ）41.5．任一个n 阶矩阵，都存在对角矩阵与它( ）。

（A)合同; （B ）相似； （C ）等价； （D)以上都不对。

二、填空题(每小题3分，共15分）1．设矩阵A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100021012，矩阵B 满足：ABA ＊=2BA ＊+E ，其中A *为A 的伴随矩阵，E 是三阶单位矩阵,则|B ｜= .2．已知线性方程组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+21232121a a ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛031321x x x 无解，则a = 。

线性代数练习题（行列式·矩阵部分）一、填空题1．n 阶行列式1000010000100001=n D （主对角线元素为1，其余元素均为零）的值为 1 。

2．设行列式D =1211225141201---x，元素x 的代数余子式的值是 －14 。

3．设矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1312A ，132)(2+-=x x x f ，则=)(A f 91312-⎛⎫ ⎪-⎝⎭４．设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100110002A ，则逆矩阵=-1A 1002011001⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪⎪ ⎪⎝⎭5．5阶行列式D=a aa aa a a a a ---------1101100011000110001=54321a a a a a -+-+-+6．设A 为n 阶可逆阵，且E A A ||2=，则*A = A 7. N (n12…(n-1))= n-1 。

8. 设D 为一个三阶行列式 ，第三列元素分别为-2，3，1，其余子式分别为9，6，24，则D= －12 。

9. 关于n 元线性方程组的克莱姆法则成立的条件是 1）线性方程组中未知数的个数和方程的个数相同，2）系数行列式D 不等于零 ，结论是(1,2,)j j D x j n D== 。

10. n 阶矩阵A 可逆的充要条件是0A ≠，设A *为A 的伴随矩阵，则A -1=*1A A。

11. 若n 阶矩阵满足A 2-2A-4E=0,则A -1=1(2)4A E - 。

12.()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛43214321=()30， ()43214321⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1234246836912481216⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪⎪⎝⎭13. 设A 为三阶矩阵，若A=3，则1-A =13,*A = 9 。

14．=++++xx x x 22222222222222223(8)x x +15．设A 是m 阶方阵，B 是n 阶方阵，且|A |=a ，|B |=b ，令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0B A 0C ，则|C |=ab mn(-1)二、选择题1. 设n 阶行列式D =n ija ，ji A 是D 中元素ji a 的代数余子式，则下列各式中正确的是（ C ）。

《线性代数》练习题及答案一、单选题1、若矩阵A与矩阵B相似，则两个矩阵的特征多项式(相同）2、向量(1,2,3) 和(-1,-1,1)的关系为(正交)3、向量(113)和(2.2.6)的关系为(线性相)4、若方程组Ax=b的系数矩阵A的秩比其增广矩阵的秩小1,则方程组(无解)5、若矩阵A与矩阵B合同是指存在可逆矩阵C使(A=cT BC )6、若矩阵A的行秩与列秩的关系为(相等)7、若A为4x4矩阵且|A|=1，则|A4|= ( 1)8、若A为nxn矩阵且|A|=3，则A为(可逆矩阵)9、三个向量(1,0, 0),(L1,0),(2,2,0)的极大无关组元素个数为( 2 )参考答案:-3211、非齐次线性方程组AX=B的解(可能不存在)则A~'中第一行第二列元素为-113、线性方程组AX=0的基础解系的元素个数为 214、若5x5矩阵A的某2列线性相关，则|A|=(0 )15、向量(-2, 0)对应的单位向量为(1,0)16、的迹tr(A)= 517、若xTAX≥0,X≠0，则矩阵A称为（半正定矩阵）矩阵B的第一行第一列元素为（-7 ）19、向量(0,-1,1)与(37, 1, 1)的夹角为90 度的最小特征值为（1 ）21、若nxn矩阵A存在线性相关的行，则其秩小于（n）22、二次型f(X)=xT4x<0,x≠O，则矩阵A称为（负定矩阵）4、若A为4x4矩阵且|A|=1，则|A4|= (1 )5、向量(1，1，3)和(2，2，6)的关系为(线性相关)矩阵A的伴随矩阵A"的第一行第一列元素为-5则|A|=（- 3abc）不同特征值个数为 215、若A为nxn矩阵，其秩为m<n;则线性方程组Ax =0的基础解系元素个数为（n-m）17、若方程组Ax= b的系数矩阵A的秩与增广矩阵的秩不同，则方程组（无解）18、在三维向量空间R3中,向量组（(1,0,1,(0,1,0),(0,0,1)）是其正交基19、向量(2,0,1)与(5,1, 1)的内积=（11）对应的矩阵A的第三行第二列元素为（2）21、已知矩阵A的秩为2,则人=（5）22、若向量(4a，3a)的长度为1,则a为（0.2,-0.2 ）13、a1,a2,-.amn 是n维向量空间中取出一个向量组，若m>n,则该向量组（线性无关）的最大特征值为（4）15、向量(2,0,1)与(5,1,1)的内积=（11）16、若矩阵A=则A2 2021|=（-1），则|A|=（-24），则|A|=（a+b+d），则A-1的第二行第二列元素为（1），(2021 2022 2023）则其代数余子式A12=（3）15、两个相似矩阵的特征值（相同）16、二次型对应的矩阵A的第二行第三列元素为（0）。

||班级： 姓名： 学号： 成绩： 批改日期： ||第 1 页 共 18 页行列式的概念一、选择题1． 下列选项中错误的是( ） (A ）ba d c dc b a -= ； （B ）ac bd dc b a =；(C ）dc b a dcd b c a =++33; (D ）dc b adc b a -----=.答案:D2．行列式n D 不为零，利用行列式的性质对n D 进行变换后，行列式的值（ ）． （A)保持不变；（B)可以变成任何值；(C ）保持不为零； (D ）保持相同的正负号． 答案:C二、填空题1。

ab b a log 11log = .解析：0111log log log 11log =-=-=ab abb a ba . 2。

6cos3sin6sin3cosππππ= 。

解析：02cos 6sin 3sin 6cos 3cos 6cos 3sin6sin3cos==-=πππππππππ3。

函数x x xxx f 121312)(-=中，3x 的系数为 ; xx xx x x g 21112)(---=中，3x 的系数为 。

答案：-2；—2。

||班级： 姓名： 学号： 成绩： 批改日期： ||第 2 页 共 18 页4。

n 阶行列式n D 中的n 最小值是 . 答案：1.5. 三阶行列式11342321-中第2行第1列元素的代数余子式等于 . 答案:5。

6。

若02182=x，则x = . 答案：2。

7。

在n 阶行列式ij a D =中，当i<j 时，),,2,1,(0n j i a ij L ==，则D = 。

答案：nn a a a 2211。

8。

设a ,b为实数，则当a = ,b =时,010100=---abb a。

解析：0)()1(1010022=+-=--=---b a ab ba abb a故0,0==b a 。

三、解答题1.用行列式的定义计算.(1）1100001001011010；解：原式=100010101)1(1010000011)1(14121++-⨯+-⨯||班级： 姓名： 学号： 成绩： 批改日期： ||第 3 页 共 18 页110010100-=--=（2)000000hgf e d c b a。

线性代数练习题答案一、选择题1. 设矩阵A的秩为2，矩阵B的秩为1，则矩阵AB的秩为：A. 1B. 2C. 0D. 32. 向量组a1, a2, a3线性无关的充分必要条件是：A. 它们互不相同B. 它们不共面C. 它们是单位向量D. 它们是正交向量3. 一个3阶方阵A的特征值之和等于：A. A的迹B. A的行列式C. A的秩D. A的逆矩阵的行列式4. 若矩阵A是可逆的，则下列哪个矩阵也是可逆的：A. A的转置矩阵B. A的伴随矩阵C. A的逆矩阵D. A的行列式二、填空题1. 设矩阵A的行列式为-3，则矩阵A的伴随矩阵的行列式为______。

2. 若向量组{b1, b2, b3}能由向量组{a1, a2}线性表示，且a1=(1,2,-1)^T，a2=(0,1,3)^T，b1=(2,3,-1)^T，b2=(1,1,4)^T，则b3=(3,4,-2)^T可以表示为______。

三、简答题1. 简述矩阵的特征值和特征向量的概念，并说明它们在矩阵理论中的重要性。

2. 解释什么是矩阵的正交化和单位化，并说明它们在解决向量空间问题中的应用。

四、证明题1. 证明：若矩阵A是正定的，则其逆矩阵也是正定的。

2. 证明：若两个向量a和b是正交的，则它们对应的投影矩阵的乘积为零矩阵。

五、计算题1. 计算以下矩阵的行列式：\[ A = \begin{bmatrix} 4 & 1 & 2 \\ 1 & 3 & -1 \\ 2 & -1 & 5 \end{bmatrix} \]2. 设矩阵B为：\[ B = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \] 求矩阵B的特征值和特征向量。

3. 已知向量v=(1,1,1)^T，求在向量v方向上的投影矩阵P_v。

六、应用题1. 某公司需要解决一个线性方程组问题，方程组如下：\[ \begin{cases} x_1 + 2x_2 + x_3 = 5 \\ 3x_1 + x_2 + 4x_3 = 8 \\ 2x_1 + x_2 + x_3 = 4 \end{cases} \]请使用高斯消元法求解该方程组。