题型一几何图形的折叠与动点问题类型1动点或图形的相对位置不定型1.[2020河南省实验月考改编]如图,在菱形ABCD中,∠DAB=60°,AB=√3+1,点E在边AD上,且DE=1,点F为线段AB 上一动点,将菱形沿直线EF折叠,当点A的对应点G落在菱形的对角线上时,AF的长为.(第1题)(第2题)2.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=3,AC=4,点M为边AC的中点,点N为边BC上任意一点,若点C关于直线MN 的对称点C'恰好落在△ABC的中位线上,则CN的长为.3.[2020开封二模]如图,在矩形ABCD中,AB=5,BC=3,动点E在射线BC上,将△ABE沿直线AE折叠,得到△AB'E.若点B'恰好落在射线CD上,则BE的长为.(第3题)(第4题)4.[2020焦作二模]如图,在▱ABCD中,AB=4,∠B=60°,点G为边BC上一点,且BG=2√3(CG>BG),点E为边AB上一动点(不与点B重合),将∠B沿直线GE折叠,当点B的对应点F落到平行四边形的边上时,线段BE的长为.5.[2019河南省实验三模]如图,在矩形ABCD中,AB=5,BC=7,点P是直线BC上一动点,将△ABP沿直线AP折叠,使点B落在平面上的点E处.若P,E,D三点在同一直线上,则BP= .(第5题)(第6题)6.[2019安阳二模]如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=4,点D是边AC的中点,点E在边AB上,将△ADE沿直线DE 折叠,使点A落在点A'处.当线段AE的长为时,A'E∥BC.⏜,点D为AC⏜的中点,连接CD,点E为BC上一7.如图,在等边三角形ABC中,AB=2,以点B为圆心、BC的长为半径作AC动点(不与点B,C重合),连接DE,以DE所在直线为对称轴作△DEC的对称图形,点C的对称点为点F,当点F落在△ABC的边上时(不与端点重合),CE的长为.(第7题)(第8题)8.[2020河南省实验二模]如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=√10,点E为CD边上一点,将△BCE沿BE所在直线折叠,点C的对应点为点F,连接AF,若tan∠BAF=1,则CE的长为.39.如图,在矩形ABCD中,AB=5,AD=9,点P为AD边上一点,沿直线BP折叠△ABP,点A在矩形内部的对应点为点E,若点E到矩形两条较长边的距离之比为1∶4,则AP的长为.(第9题)(第10题)10.如图,在矩形ABCD中,AB=8√3,AD=m(m>8),点E是CD的中点,点M在线段AD上,点N在射线AB上,将△AMN沿直CE时,m的值为.线MN折叠,使点A与点E重合,当BN=1211.[2018南阳宛城区一模]如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6,BD=2,点E是边AB上一动点,把∠B沿直线DE折叠,点B的对应点为点B',若直线DB'与边AB垂直,垂足为点F,则BE的长为.类型2特殊图形的形状不定型12.如图,在矩形纸片ABCD中,AB=2,AD=2√2,点E是AB的中点,点F是AD边上的一个动点,将△AEF沿EF所在直线翻折,得到△A'EF,连接A'C,A'D,则当△A'DC是以A'D为腰的等腰三角形时,AF的长是.(第12题) (第13题)13.[2020洛阳三模]如图,菱形ABCD的边长是4,∠ABC=120°,点M,N分别在边AD,AB上(均不与端点重合),连接MN,且MN⊥AC,垂足为点P,把△AMN沿直线MN折叠,得到△A'MN,连接A'D,若△A'DC恰为等腰三角形,则AP的长为.14.如图,四边形ABCD是菱形,AB=2,∠ABC=60°,点E是射线DA上一动点,把△CDE沿直线CE折叠,点D的对应点为D',连接D'B,若△D'BC为等边三角形,则DE= .15.如图,在△ABC中,∠A=30°,AB=AC=2√3+2,点D为线段AC上的动点,点E为射线CB上的动点,连接DE,将△CDE 沿直线DE折叠,点C的对应点F恰好落在线段AB上,则当△ADF是以DF为腰的等腰三角形时,CD的长为.(第14题) (第15题)16.[2018郑州外国语三模]如图,已知在等腰三角形ABC中,AB=AC=√5,BC=4,点D从点A出发,以每秒√5个单位长度的速度向点B运动,同时点E从点B出发,以每秒4个单位长度的速度向点C运动,在DE的右侧作∠DEF=∠B,交直线AC于点F,连接DF.设运动时间为t秒,则当△ADF是一个以AD为腰的等腰三角形时,t的值为.(第16题)(第17题)17.如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC为矩形,点A,B的坐标分别为(4,0),(4,3),动点M,N分别从点O,B同时出发,以每秒1个单位长度的速度运动.其中,点M沿OA向终点A运动,点N沿BC向终点C运动,过点M作MP⊥OA,交AC于点P,连接NP,设动点运动了t秒,则当t= 时,△NPC是一个等腰三角形.18.[2020濮阳模拟]如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=3,AC=4,点M为边AC的中点,点N为边BC上一动点,△MNC'与△MNC关于直线MN对称,连接BC',当△BNC'为直角三角形时,线段CN的长度为.(第18题)(第19题)19.[2019焦作二模]如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,点D在边BC上,沿AD所在直线折叠△ABD得到△AB'D,AB'与边BC交于点E.若△DEB'为直角三角形,则BD的长是.20.[2016河南B卷]如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=5,点E为BC边上一个动点,连接AE,将线段AE绕点E顺时针旋转90°,点A落在点P处,当点P在矩形ABCD外部时,连接PC,PD.若△DPC为直角三角形,则BE的长为.(第20题)(第21题)21.[2020河南省实验三模]如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,E是BC的中点,连接AE,P是边AD上一动点,沿过点P 的直线将矩形折叠,使点D落在AE上的点D'处,当△APD'是直角三角形时,PD= .22.[2017河南,15]如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC,BC=√2+1,点M,N分别是边BC,AB上的动点,沿MN所在的直线折叠∠B,使点B的对应点B'始终落在边AC上.若△MB'C为直角三角形,则BM的长为.(第22题)(第23题)23.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,点E,F分别在边BC,AC上,沿EF所在的直线折叠∠C,使点C的对应点D恰好落在边AB上.若△EFC和△ABC相似,则AD的长为.24.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,AC=√3+1,点E是射线CA上的动点,点F是线段BC上的动点(不与点B重合),作点C关于直线EF的对称点D,点D恰好落在线段AB上,连接DE,DF,当△ADE与△BDF相似时,CE的长为.(第24题)(第25题)25.如图,直线l∥AB,l与AB之间的距离为4.点C,D是直线l上的两个动点(点C在点D的左侧),且CD=AB=10.连接AC,BC,BD,作△ABC关于直线BC的对称图形,其中点A的对应点为A'.若以点A',C,B,D为顶点的四边形为矩形,则此矩形的周长为.26.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,AC=3,点D为AB的中点,点E为线段BC上的点,连接DE,把△BDE沿DE翻折得到△B1DE.若以点A,D,B1,C为顶点的四边形为平行四边形,则BE= 3或3√3.类型3含参、范围或最值型27.如图,在矩形ABCD 中,AB=a ,BC=2√2,点E 是AD 的中点,将△ABE 沿直线BE 折叠后得到△GBE ,延长BG 交射线DC 于点F ,若CD=2CF ,则a 的值为 .28.[2020郑州外国语三模]如图,在矩形ABCD 中,BC=4,AB=a ,点E 为AD 的中点,点F 为射线AB 上一点,且BF=3,连接CF ,若将△AEF 沿直线EF 折叠后,点A 恰好落到CF 上的点G 处,则a 的值为 .29.如图,在▱ABCD 中,AD=6,AB=8,∠DAB=60°,点E ,F 分别是边AD ,AB 上的动点,连接EF ,将△AEF 沿直线EF 翻折,使点A 的对应点A'落在边CD 上,则BF 长度的取值范围为 .30.如图,在矩形ABCD 中,AB=10,BC=12,点E 是AB 的中点,点F 是边BC 上一动点,把△EBF 沿EF 折叠,当点B 的对应点B'落在矩形内部(不含边界)时,DB'的长的取值范围是 .31.[2020安阳二模]如图,半圆O 的直径AB=10,AC ⏜=BC ⏜,点D 在AC ⏜上,且tan ∠DOC=34,点P 是半径OC 上一个动点(不与点O 重合),连接DP ,过点P 作PF ⊥DP ,交直径AB 于点F ,当点P 在半径OC 上移动时,点F 可左右移动的最大距离是 .32.[2020湖北荆门中考改编]如图,在平面直角坐标系中,长为2的线段CD (点D 在点C 右侧)在x 轴上移动,A (0,2),B (0,4),连接AC ,BD ,则AC+BD 的最小值为 .33.[2020山东潍坊中考改编]如图,在Rt△AOB中,∠AOB=90°,OA=3,OB=4,以点O为圆心,2为半径的圆与OB交于点C,过点C作CD⊥OB交AB于点D,点P是边OA上的动点.当PC+PD最小时,OP的长为.34.[2020湖南永州]∠AOB在平面直角坐标系中的位置如图所示,且∠AOB=60°,在∠AOB内有一点P(4,3),点M,N 分别是OA,OB上的动点,连接PM,PN,MN,则△PMN周长的最小值是.35.[2020江苏扬州]如图,在▱ABCD中,∠B=60°,AB=10,BC=8,点E为边AB上的一个动点,连接ED并延长至点F,使DE,以EC,EF为邻边构造▱EFGC,连接EG,则EG的最小值为.得DF=1436.[2020广西河池]如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A=30°,AC=8,点D在AB上,且BD=√3,点E在BC上运动.将△BDE沿DE折叠,点B落在点B'处,则点B'到AC的最短距离是.37.[2019洛阳模拟]如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=3,点M是BC边上的一个动点(点M不与点B,C重合),BM=x,将△ABM沿直线AM折叠,使点B落在射线MP上的点B'处,点E是CD边上一点,CE=y,将△CME沿直线ME折叠,使点C落在射线MP上的点C'处.当y取最大值时,△C'ME的面积为.参考答案1.3-√3或√3分两种情况讨论.①当点G落在对角线BD上时,如图(1),易知△ABD是等边三角形,∴∠ADB=60°,BD=√3+1.在△DEG中,DE=1,EG=√3,∠EDG=60°,易得EG⊥DE(过点E作EP⊥AD,交BD于点P,易求EP=√3,故点P与点G重合,故EG⊥AD),∴∠DGE=30°,DG=2,∴BG=√3+1-2=√3-1.又∠EGF=60°,∴∠FGB=90°,∴FG=√3BG=√3(√3-1)=3-√3,∴AF=FG=3-√3.②当点G落在对角线AC上时,如图(2),由折叠的性质可得,EF⊥AG,EA=EG,FA=FG.由菱形的性质可得,∠EAG=∠FAG,∴EA=FA,∴四边形AFGE是菱形,∴AF=AE=√3.综上可知,AF的长为3-√3或√3.图(1)图(2)2.23或8−2√73如图(1),设点D,E分别为边BC,AB的中点,连接DE,EM,DM,则DE,EM,DM即为△ABC的中位线.以点M为圆心、CM的长为半径作圆,该圆与DM,DE的交点,即为满足题意的点C'的位置,故分两种情况讨论.①当点C'落在DM上时,如图(2),连接NC',由轴对称的性质可得∠NC'M=∠C=90°,C'M=CM,∴∠DC'N=90°.易知CD=32,CM=2,DM=52,则C'D=52-2=12.设CN=x,则C'N=x,DN=32-x.由勾股定理可得DN2=C'N2+C'D2,即(32-x)2=x2+(12)2,解得x=23,即CN=23.②当点C'落在DE上时,如图(3),连接NC',C'M,由轴对称的性质可得∠NC'M=∠C=90°,C'M=CM=2.在Rt△C'EM中,根据勾股定理,可得C'E=√22-(32)2=√72,∴C'D=2-√72=4−√72.由“一线三直角”模型,可得△NDC'∽△C'EM,∴C'DEM=DNC'E,即4−√7232=DN√72,∴DN=4√7-76,∴CN=CD-DN=8−2√73.综上可知,CN的长为23或8−2√73.图(1)图(2)图(3)3.53或15设BE=x.由折叠的性质可得AB'=AB=5,B'E=BE=x.分两种情况讨论.①当点B'落在线段CD上时,如图(1).在Rt△ADB'中,AB'=5,AD=3,∴DB'=4,∴B'C=CD-DB'=1.在Rt△EB'C中,根据勾股定理得,CE2+B'C2=B'E2,即(3-x)2+12=x2,解得x=53.②当点B'落在CD的延长线上时,如图(2).在Rt△ADB'中,AB'=5,AD=3,∴DB'=4,∴B'C=DB'+DC=9.在Rt△EB'C中,根据勾股定理得,CE2+B'C2=B'E2,即(x-3)2+92=x2,解得x=15.综上,BE的长为53或15.图(1)图(2)4.√3或6-2√3分两种情况讨论.①当点F落在AB边上时,如图(1),则GE⊥AB.在Rt△BEG中,BE=BG·cos∠GBE=2√3×cos 60°=√3.②当点F落在AD边上时,如图(2),在▱ABCD中,过点A作AM⊥BC于点M.∵AB=4,∠B=60°,∴AM=AB·sin B=2√3,BM=AB·cos B=2.由折叠的性质可得GF=BG=2√3,∠EFG=∠B=60°.易知点G到AD的距离为2√3,∴GF⊥AD,∴∠AFE=∠AFG-∠EFG=30°.易知四边形AMGF为矩形,∴AF=MG=BG-BM=2√3-2.∵AD∥BC,∠B=60°,∴∠BAD=180°-60°=120°,∴∠AEF=180°-120°-30°=30°,∴AE=AF=2√3-2,∴BE=AB-AE=4-(2√3-2)=6-2√3.综上可知,BE的长为√3或6-2√3.图(1)图(2)5.7-2√6或7+2√6分两种情况讨论.①当点P位于线段BC上时,如图(1),由题意可知DC=AB=AE.∵AD∥BC,∴∠ADE=∠DPC.又∵∠AED=∠DCP=90°,∴△ADE≌△DPC,∴PD=DA=7,∴PC=√PD2-CD2=√72-52=2√6,则BP=BC-PC=7-2√6.②当点P位于线段BC的延长线上时,如图(2),同理可得△ADE≌△DPC,∴PD=AD=7,∴PC=√PD2-CD2=√72-52=2√6,则BP=BC+CP=7+2√6.综上所述,当P,E,D三点在同一直线上时,BP的长为7-2√6或7+2√6.图(1)图(2)6.92或12分两种情况讨论.①如图(1),当点A'在AC左侧时,设A'E交AC于点F.∵AC⊥BC,A'E∥BC,∴AC⊥A'E,∴∠A'FD=90°.在△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=4,由勾股定理得AC=3.∵点D是边AC的中点,∴AD=32.由翻折的性质可得A'D=AD=32,∠A'=∠A.在△ABC中,∠C=90°,sin A=BCAB=45,∴sin A'=DFA'D=45,∴DF32=45,∴DF=65.∵A'E∥BC,∴AFAC=AEAB,∴32+653=AE5,解得AE=92.②如图(2),当点A'在AC右侧时,设A'E的延长线交AC于点G.∵A'E∥BC,∠C=90°,∴A'G⊥AC.在△ABC中,∠C=90°,sin A=BCAB =45,∴sin A'=DGA'D=45,∴DG32=45,∴DG=65,∴AG=AD-DG=310.∵A'E∥BC,∴AGAC=AEAB,∴3103=AE5,解得AE=12.综上可知,AE的长为92或12.图(1) 图(2)7.2-√3或3-√3 由轴对称的性质可知DF=DC ,∴点F 在以点D 为圆心、CD 长为半径的圆上,运动轨迹为圆的一部分,该圆与BC ,AB 的交点(非点A ,C )即为符合题意的点F.分两种情况讨论.①当点F 落在BC 上时,如图(1),连接BD ,易知此时∠BED=90°,∠DBE=30°,BD=BA=BC=2,∴BE=BD ·cos ∠DBE=2×cos 30°=√3,∴CE=BC-BE=2-√3.②当点F 落在AB 上时,如图(2),连接BD ,AD ,则DA=DC=DF.∵BA=BD ,∠ABD=30°,∴∠DFE=∠DCE=∠BAD=∠BDA=75°,∴∠DFA=75°,∴∠BFE=180°-75°×2=30°.又∠FBE=60°,∴∠BEF=90°,∴EF=√3BE.又BC=BE+EC=BE+EF=2,∴BE+√3BE=2,解得BE=√3-1,∴EF=3-√3,∴CE=3-√3.综上可知,CE 的长为2-√3或3-√3.图(1) 图(2)8.10−√103或10+√103分两种情况讨论.①当点F 在AB 上方时,如图(1),过点F 作AB 的垂线,分别交AB ,CD 于点M ,N.由折叠的性质,得EC=EF ,BF=BC=√10,∠BFE=∠C=90°.∵FM AM =tan ∠BAF=13,∴可设FM=x ,AM=3x ,∴BM=6-3x.在Rt △BFM 中,由勾股定理,得BF 2=FM 2+BM 2,∴10=x 2+(6-3x )2,解得x 1=1,x 2=135(不合题意,舍去),∴FM=1,BM=3,∴NF=√10-1.∵∠NFE+∠BFM=90°=∠NFE+∠NEF ,∴∠NEF=∠BFM.又∠FNE=∠BMF=90°,∴△ENF ∽△FMB ,∴NE FM =NF BM ,即NE 1=√10-13,∴NE=√10-13,∴CE=CN-NE=BM-NE=3-√10-13=10−√103.②当点F 在AB 下方时,如图(2),过点F 作AB 的垂线,分别交AB ,CD 于点P ,Q ,同理可求FP=1,BP=3,∴QF=√10+1.易证△EQF ∽△FPB ,∴EQ FP =QF BP ,即EQ 1=√10+13,∴EQ=√10+13,∴CE=CQ+EQ=BP+EQ=3+√10+13=10+√103.综上可知,CE 的长为10−√103或10+√103. 图(1) 图(2)9.53或5√63过点E 作AD 的垂线,分别交AD ,BC 于点M ,N ,则四边形ABNM 为矩形,分两种情况讨论.①当EM ∶EN=1∶4时,如图(1),易得ME=1,EN=4.在Rt △BNE 中,BE=5,EN=4,∴BN=√BE 2-EN 2=√52-42=3,∴AM=3.易证△PME ∽△ENB ,∴PM EN =ME BN ,即PM 4=13,∴PM=43,∴AP=3-43=53.②当EM ∶EN=4∶1时,如图(2),易得ME=4,EN=1.在Rt △BNE 中,BE=5,EN=1,∴BN=√BE 2-EN 2=√52-12=2√6,∴AM=2√6.易证△PME ∽△ENB ,∴PM EN =ME BN ,即PM 1=42√6,∴PM=√63,∴AP=2√6-√63=5√63.综上可知,AP 的长为53或5√63. 图(1) 图(2)10.4√6或8√3过点E作EF⊥AB于点F,则EF=AD=m,BF=CE=12CD=4√3.∵CE=4√3,∴BN=12CE=2√3.分两种情况讨论.①当点N在线段AB上时,如图(1),则FN=BF-BN=4√3-2√3=2√3.又EN=AN=AB-BN=8√3-2√3=6√3,∴EF=√EN2-FN2=√(6√3)2-(2√3)2=4√6,∴m=4√6.②当点N在线段AB的延长线上时,如图(2),则FN=4√3+2√3=6√3,又EN=AN=8√3+2√3=10√3,∴EF=√EN2-FN2=√(10√3)2-(6√3)2=8√3,∴m=8√3.综上可知,m的值为4√6或8√3.图(1)图(2)11.23或6分以下两种情况讨论.①当点B'位于BC上方时,如图(1).∵AB=√AC2+BC2=√82+62=10,cos B=BCAB=35,sinB=ACAB =45,∴FB=DB·cos B=2×35=65.由折叠的性质可知,∠B=∠DB'E,BE=B'E.设BE=m,则EF=65-m.在Rt△EFB'中,EF=B'E·sin∠DB'E=45m,即65-m=45m,解得m=23,即BE=23.②当点B'位于BC下方时,如图(2),在Rt△FDB中,DF=DB·sinB=2×45=85,FB=DB·cos B=2×35=65.由折叠的性质可知B'D=BD=2, ∴B'F=B'D+DF=2+85=185.在Rt△EFB'中,EF=B'F·tanB'=185×43=245,∴BE=EF+FB=245+65=6.综上可知,BE的长为23或6.图(1)图(2)12.1或√22分两种情况讨论.①如图(1),当A'D=A'C时,点A'在线段DC的垂直平分线上.易知点E在线段DC的垂直平分线上,∴直线EA'垂直平分线段DC,∴∠AEA'=90°,∴∠AEF=45°.又∵∠A=90°,∴∠AFE=45°,∴AF=AE=1.②如图(2),当A'D=DC时,连接ED.∵AE=1,AD=2√2,∴DE=√12+(2√2)2=3.∵DC=2,∴A'D=2.又∵EA'=1,∴EA'+A'D=DE,∴E,A',D三点共线,∴∠FA'D=90°.设AF=x,则A'F=x,FD=2√2-x.在Rt△FA'D中,由勾股定理可得A'F2+A'D2=FD2,即x2+22=(2√2-x)2,解得x=√22,即AF=√22.综上所述,AF的长为1或√22.图(1)图(2)13.2√3-2或4√33∵四边形ABCD是菱形,∴AD=CD=4,∠ADC=∠ABC=120°,∴∠DCA=30°.∵MN⊥AC,点M,N分别在边AD,AB上,∴点A'在线段AC上.连接BD,交AC于点O,则AC=2OC=2CD·cos∠DCO=2×4×cos 30°=4√3.分两种情况讨论.①当CA'=CD=4时,AP=12AA'=12(AC-A'C)=12×(4√3-4)=2√3-2.②当A'D=A'C时,过点A'作A'E⊥CD于点E,则CE=DE=2,∴A'C=CEcos∠DCA'=2cos30°=4√33,∴AP=12AA'=12(AC-A'C)=12×(4√3-4√33)=4√33.综上可知,AP的长为2√3-2或4√33.14.1或4由折叠及菱形的性质可得CD'=CD=CB,故△D'BC是以BD'为底边的等腰三角形,故当∠D'BC=60°时,△D'BC为等边三角形.分以下两种情况讨论.①如图(1),当点D'与点A重合时,∠D'BC=60°,此时点E为AD的中点,故DE=1.②如图(2),当点D'与点A 关于直线BC 对称时,∠D'BC=60°.∵∠BCD'=60°,∠BCD=120°,∴D',C ,D 三点共线.由折叠的性质可得EC ⊥DC.又∠D=60°,故DE=2DC=4.综上所述,DE=1或4.图(1) 图(2)15.√3+1或2 分两种情况讨论.①当DF=DA 时,如图(1),由折叠的性质,可得DF=DC ,∴DC=DA=12AC=√3+1.②当DF=FA 时,∠FDA=∠A=30°,如图(2).过点F 作FG ⊥AC 于点G ,则AG=DG=DF ·cos ∠ADF=√32DF.由折叠的性质,可得DF=CD ,∴AG=DG=√32CD ,∴√32CD ×2+CD=2√3+2,∴CD=2.综上可知,CD 的长为√3+1或2.图(1) 图(2)16.521,511或12 根据题意可得AD=√5t ,BE=4t ,则BD=√5-√5t ,CE=4-4t.易证△BDE ∽△CEF ,∴BD CE =BE CF,∴BD ·CF=BE ·CE.分以下三种情况讨论.①如图(1),当点F 在线段AC 上,且AF=AD=√5t 时,CF=BD=√5-√5t ,∴(√5-√5t )2=4t (4-4t ),解得t=521(不合题意的解已舍去).②如图(2),当点F 在CA 的延长线上,且AF=AD=√5t 时,CF=√5+√5t ,∴(√5-√5t )(√5+√5t )=4t (4-4t ),解得t=511(不合题意的解已舍去).③如图(3),当点F 在CA 的延长线上,且DF=AD=√5t时,过点B 作BM ⊥AC ,垂足为点M.设AM=x ,由勾股定理可得AB 2-AM 2=BC 2-CM 2,即(√5)2-x 2=42-(√5+x )2,解得x=3√55.取AF的中点H ,连接DH ,则∠HDA=∠MBA ,∴sin ∠HDA=sin ∠MBA,即AH AD =AMAB,∴√5t=3√55√5,解得AH=3√55t ,∴AF=6√55t ,∴(√5-√5t )(√5+6√55t )=4t (4-4t ),解得t=12(不合题意的解已舍去).综上所述,t 的值为521,511或12.图(1) 图(2) 图(3)17.43,169或12857 方法一(几何法):易知BC=OA=4,OC=AB=3,∴AC=5.∵MP ∥OC ,∴△APM ∽△ACO ,∴AP AC =PM OC =AM OA ,∴AP 5=PM 3=4−t 4,∴AP=20−5t 4,PM=12−3t 4,∴CP=5-20−5t 4=5t 4.分三种情况讨论:①当PC=PN 时,如图(1),延长MP 交BC 于点E ,则PE ⊥BC ,∴CE=EN=12CN=2-12t ,∴OM=CE=2-12t.又OM=t ,∴2-12t=t ,解得t=43.②如图(2),当CP=CN 时,5t 4=4-t ,解得t=169.③当NP=NC 时,如图(3),过点N 作NG ⊥AC 于点G ,则CG=12CP=5t 8.∵cos ∠ACB=CG CN =BCAC ,∴58t4−t =45,∴t=12857.综上可知,t 的值为43,169或12857.方法二(代数法):易知C (0,3),N (4-t ,3),P (t ,3-34t ),PC 2=t 2+(34t )2=2516t 2,PN 2=(4-2t )2+(34t )2=7316t 2-16t+16,CN 2=(4-t )2=t 2-8t+16.①当PC=PN时,PC2=PN2,∴2516t2=7316t2-16t+16,解得t1=4(舍去),t2=43.②当NP=NC时,NP2=NC2,∴7316t2-16t+16=t2-8t+16,解得t3=0(舍去),t4=12857.③当CP=CN时,5t4=4-t,解得t=169.综上可知,t的值为43,169或12857.图(1)图(2)图(3)18.2或2√13-43分两种情况讨论.①如图(1),当∠BNC'=90°时,∠CNC'=90°.由轴对称的性质可知,∠MNC'=∠MNC=45°.又∠MCN=90°,∴∠NMC=45°=∠CNM,∴NC=MC=12AC=2.②如图(2),当∠BC'N=90°时,∵∠MC'N=90°,∴B,C',M三点共线.在Rt△BCM中,BM=√CM2+BC2=√22+32=√13.又MC'=MC=2,∴BC'=√13-2.∵tan∠CBM=NC'BC'=CMBC,∴NC'√13-2=23,∴NC'=2√13-43,∴NC=2√13-43.综上可知,NC的长度为2或2√13-43.图(1)图(2)19.2或5∵∠C=90°,AC=6,BC=8,∴AB=√62+82=10.由折叠可知BD=B'D,AB'=AB=10.分以下两种情况讨论.①当∠B'DE=90°时,如图(1),过点B'作B'F⊥AC,交AC的延长线于点F,易知四边形CFB'D为矩形.设BD=B'D=x,则AF=6+x,FB'=CD=8-x.在Rt△AFB'中,由勾股定理得AB'2=AF2+FB'2,即102=(6+x)2+(8-x)2,解得x1=2,x2=0(不合题意,舍去),故此时BD=2.②当∠B'ED=90°时,点C与点E重合,如图(2).∵AB'=10,AC=6,∴B'E=4.设BD=B'D=y,则CD=8-y.在Rt△B'DE中,DB'2=DE2+B'E2,即y2=(8-y)2+42,解得y=5,故此时BD=5.综上所述,BD的长为2或5.图(1)图(2)20.3或7+√174由题意和旋转的性质可得,∠AEP=90°,AE=PE.∵四边形ABCD是矩形,∴CD=AB=3,∠BAD=∠B=∠BCD=∠ADC=90°.分三种情况:(1)当∠CDP=90°时,此时点P在AD的延长线上,如图(1)所示,易得△AEP是等腰直角三角形,∴∠EAP=45°,∴∠BAE=∠BAD-∠EAP=90°-45°=45°,∴∠AEB=45°,∴BE=AB=3.(2)当∠DPC=90°时,如图(2)所示,过点P作CD的平行线,交AD的延长线于点F,交BC的延长线于点G,易得四边形DCGF是矩形,∴FG=CD=3,DF=CG,∠F=∠G=90°.∵∠AEP=90°,∴∠AEB+∠PEG=90°.∵∠BAE+∠AEB=90°,∴∠BAE=∠PEG.∵∠B=∠G=90°,AE=EP,∴△ABE≌△EGP,∴BE=GP,EG=AB=3.设BE=x,则CE=5-x,PG=x,CG=EG-CE=3-(5-x)=x-2,∴DF=CG=x-2,PF=GF-PG=3-x.∵∠DPC=90°,∴Rt△DFP∽Rt△PGC,∴DFPG =FPCG,即x-2x=3−xx-2,解得x=7±√174.∵{x-2>0,3−x>0,∴2<x<3,∴x=7+√174,即BE的长为7+√174.(3)当∠PCD=90°时,此时点P在BC的延长线上,则∠AEP>90°,与题意不符,∴此种情况不存在.综上所述,BE的长为3或7+√174.图(1)图(2)21.83或247∵点E为BC的中点,∴BE=CE=3,∴AE=√AB2+BE2=√42+32=5.设D'P=DP=x,则AP=6-x.分两种情况讨论.①当∠AD'P=90°时,如图(1),易证△APD'∽△EAB,∴APAE =PD'AB,即6−x5=x4,解得x=83,即PD=83.②当∠APD'=90°时,如图(2),则∠BAE=∠AD'P,∴tan∠BAE=tan∠AD'P,∴BEAB =APPD',即34=6−xx,∴x=247,即PD=247.综上可知,PD的长为83或247.图(1)图(2)22.√2+12或1∵∠A=90°,AB=AC,∴∠B=∠C=45°.由折叠的性质可得,∠BMN=∠B'MN,∠BNM=∠B'NM,BM=B'M.分两种情况:(1)当∠B'MC=90°时,此时∠BMN+∠B'MN=90°,∴∠BMN=45°.∵∠B=45°,∴∠BNM=90°,∴∠B'NM=90°,∴B,N,B'三点共线.∵点B'在边AC上,∴点B'与点A重合,此时点N是AB的中点.∵∠A=90°,∴∠BNM=∠A,∴NM∥AC,∴NM是△ABC的中位线,∴BM=12BC=√2+12.(2)当∠CB'M=90°时,∵∠C=45°,∴∠B'MC=45°,∴B'M=B'C.设BM=x,则B'M=B'C=x,CM=√2+1-x.在等腰直角三角形MB'C中,CM=√2B'M,即√2+1-x=√2x,解得x=1,∴BM=1.综上所述,BM的长为√2+12或1.23.95或52分以下两种情况讨论.①如图(1),当△EFC∽△BAC时,∠CEF=∠B,∴EF∥AB.连接CD,由折叠的性质可知EF⊥CD,∴AB⊥CD,∴∠ADC=90°.∵∠ACB=90°,AC=3,BC=4,∴AB=5.由三角形的面积公式可得12BC·AC=12AB·CD,∴CD=4×35=125,∴AD=√32-(125)2=95.②如图(2),当△EFC∽△ABC时,∠CEF=∠A.连接CD,交EF于点P,由折叠的性质知EF⊥CD,∴∠PCF+∠PFC=90°,又∠PFC+∠FEC=90°,∴∠PCF=∠FEC,∴∠PCF=∠A,即∠DCA=∠A,∴DA=DC.同理DB=DC,∴DA=DB=12AB=52.综上可知,AD的长为95或52.图(1)图(2)24.√3或2√3+3在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,∴∠CAB=60°,AB=2AC=2√3+2,BC=√3AC=3+√3.分两种情况讨论.①当点E在线段AC上时,∵△ADE与△BDF相似,∠EAD=60°,∠FBD=30°,∴∠AED=30°或∠ADE=30°.a.当∠AED=30°时,∠EDA=90°.又∠EDF=∠ECF=90°,∴点A,D,F三点共线,∴点F与点B重合,不合题意,故此种情况不存在.b.当∠ADE=30°时,如图(1),则∠AED=90°,∴AE=√33DE=√33CE.∵AC=√3+1,∴CE+√33CE=√3+1,∴CE=√3.②当点E在线段CA的延长线上时,如图(2),∠EAD=180°-60°=120°.分析可知∠FDB>90°.又∵△ADE与△BDF相似,∴∠FDB=120°.又∠DBF=30°,∴∠DFB=30°,∴∠AED=∠ADE=30°,DF=DB,∴AE=AD,CF=DF=DB.过点D作DG⊥BC于点G,则BG=GF=√32BD.∵BC=3+√3,∴CF+BF=3+√3,∴BD+√32BD×2=3+√3,∴BD=√3,∴AE=AD=AB-BD=2√3+2-√3=√3+2,∴CE=√3+2+√3+1=2√3+3.综上可知,CE的长为√3或2√3+3.图(1)图(2)25.12√5或28分两种情况讨论.①当A'C为矩形的边时,如图(1),则∠ACB=∠A'CB=90°.设AC=A'C=a,BC=b,由AC2+BC2=AB2,得a2+b2=100.由S△ABC=12AC·BC=12AB×4,可得ab=40,∴(a+b)2=a2+b2+2ab=100+80=180,∴a+b=6√5,∴矩形的周长为12√5.②当A'C为矩形的对角线时,如图(2),易知∠CBA=∠CBA'=90°,BC=4.∵BA'=10,∴矩形的周长为28.综上可知,矩形的周长为12√5或28.图(1)图(2)26.3或3√3由题易得,AB=6,BC=3√3,DB1=DB=3,DB1=AC.分两种情况进行讨论.①如图(1),当四边形ACB1D为平行四边形时,DB1∥AC,∴∠BDB1=60°,∴∠BDE=∠EDB1=30°,∴DE=BE.过点E作EF⊥DB于点F,则DF=BF=32.在Rt△BEF中,EF=12BE,∴BE2=(12BE)2+(32)2,解得BE=√3.②如图(2),当四边形ACDB1为平行四边形时,∵CD=12AB=3,∴CD=AC,∴四边形ACDB1为菱形.∵∠EB1D=∠B=30°,∠CB1D=12∠AB1D=12∠ACD=30°,∴∠EB1D=∠CB1D,∴点E与点C重合,∴BE=BC=3√3.综上可知,BE=3或3√3.图(1)图(2)27.2或2√33连接EF,由折叠和线段中点的性质可得EG=AE=DE,BG=AB=a,∠BGE=∠A=90°,∴∠EGF=90°=∠D.又EF=EF,∴Rt△EGF≌Rt△EDF,∴DF=GF.分两种情况讨论.①如图(1),当点F在线段CD上时,易知GF=DF=CF=12a,∴BF=BG+GF=a+12a=32a,在Rt△BCF中,由勾股定理,得(2√2)2+(12a)2=(32a)2,解得a=2(负值已舍);②如图(2),当点F在DC的延长线上时,易知CF=12a,GF=DF=a+12a=32a,∴BF=BG+GF=a+32a=52a,在Rt△BCF中,由勾股定理,得(2√2)2+(12a)2=(52a)2,解得a=2√33(负值已舍).综上可知,a的值为2或2√33.图(1)图(2)28.4或1分两种情况讨论.①当点F在线段AB上时,如图(1),连接CE,∵EG=EA=ED,CE=CE,∠EGC=180°-∠EGF=180°-∠A=90°=∠D,∴Rt△EGC≌Rt△EDC,∴CG=CD=AB=a.由勾股定理可得FC=√FB2+BC2=√32+42=5,∴AF=FG=5-a.又AB=AF+FB,∴a=5-a+3,解得a=4.②当点F在线段AB的延长线上时,如图(2),连接EC,易证△EGC≌△EDC,∴CG=CD=a,∴AF=FG=5-a.又AB=AF-BF,∴a=5-a-3,解得a=1.综上可知,a的值为4或1.图(1)图(2)29.2≤BF≤8-3√3当点A'与点D重合时,如图(1).易知∠AA'F=60°,A'F=AF,∴△AA'F是等边三角形,∴AF=AD=6,BF=8-6=2.当点E与点D重合时,如图(2),∵∠EA'F=60°=∠C,∴A'F∥CB.又A'C∥FB,∴四边形A'FBC是平行四边形,∴A'F=BC=6,∴AF=6,∴BF=8-6=2.故当点A'与点D重合或点E与点D重合时,BF最短,且BF=2.当A'F⊥AB时,A'F最短,即AF最短,此时BF最长.如图(3),过点B作BG⊥CD于点G,则BG=BC·sin C=6·sin 60°=3√3,∴AF=A'F=BG=3√3,∴BF=8-3√3.综上可知,BF长度的取值范围为2≤BF≤8-3√3.图(1)图(2)图(3)30.8≤DB'<2√61易知点B'在以AB为直径的圆上,当点F与点B重合时,B'与B重合,此时DB'=BD=√102+122=2√61.连接DE,易得AE=EB=EB'=5.易知EB'+DB'≥ED,当E,B',D共线时,DB'最短,如图.由勾股定理得ED=13,∴DB'=ED-EB'=13-5=8,∴DB'的长的取值范围是8≤DB'<2√61.31.3∵AB=10,∴OD=OA=12AB=5.过点D作DE⊥OC于点E,在Rt△ODE中,tan∠DOE=DEOE=34,OD=5,易得DE=3,OE=4.①当点P在点O,E之间运动时(不与点E重合),点F落在OP的左侧,如图(1),易证△FOP∽△PED,∴DEOP =EPOF.设OP=x(0<x<4),则PE=4-x,∴3x =4−xOF,∴OF=x(4-x)3=-13(x2-4x)=-13(x-2)2+43.∵-13<0,∴当x=2时,OF取得最大值,为43.②当点P在点C,E之间运动时(不与点E重合),点F落在OP的右侧,如图(2),易证△FOP∽△PED,∴DEOP =EPOF.设OP=x(4<x≤5),则PE=x-4,∴3 x =x-4OF,∴OF=13(x2-4x)=13(x-2)2-43.∵13>0,抛物线的对称轴为直线x=2,∴当x>2时,函数值随x的增大而增大,∴当x=5时,OF取得最大值,为53.③当点P与点E重合时,点F与点O重合.故点F可左右移动的最大距离为43+53=3.图(1) 图(2)32.2√10 如图,作A (0,2)关于x 轴的对称点A'(0,-2),过A'作A'E ∥x 轴,且A'E=2,则E (2,-2),连接DE ,A'C ,则四边形CDEA'为平行四边形,∴A'C=DE ,∴AC+BD=A'C+BD=DE+BD.连接BE 交x 轴于点D',易知当点D 与点D'重合时,DE+BD 最小,即AC+BD 最小,最小值为BE 的长,易知BE=√(2-0)2+(-2-4)2=2√10,即AC+BD 的最小值为2√10.33.34延长CO 交☉O 于点E ,连接ED ,交AO 于点P ,如图,此时PC+PD 的值最小.∵CD ⊥OB ,∠AOB=90°,∴CD ∥AO ,∴∴24=CD 3,∴CD=32.∵CD ∥AO ,∴△EOP ∽△ECD ,∴△BCD ∽△BOA ,∴BC BO =CD AO .∵OC=2,OB=4,∴BC=2,EO EC =PO DC ,即24=PO32,∴PO=34.34.5√3 如图,分别作点P 关于射线OA 、射线OB 的对称点P',P ″,连接P'P ″,与OA ,OB 分别交于点M ,N ,此时△PMN 的周长最小,最小值为P'P ″的长.连接OP',OP ″,OP ,则OP'=OP ″=OP=√42+32=5,且∠POA=∠P'OA ,∠POB=∠P ″OB.又∵∠AOB=∠POA+∠POB=60°,∴∠P'OP ″=120°,∴∠OP'P ″=∠OP ″P'=30°.过点O 作OQ ⊥P'P ″,易得P'Q=P ″Q=5√32,∴P'P ″=2P'Q=2×5√32=5√3,故△PMN 周长的最小值是5√3.35.9√3 设CD 与EG 交于点O.∵四边形EFGC 是平行四边形,∴EF=CG ,EF ∥CG ,∴△DOE ∽△COG ,∴OE OG =DE CG .又∵DF=14DE ,∴DE CG =45,即OE OG =45,∴OE EG =49,即EG=94OE ,∴当OE 最小时,EG 也最小.当OE ⊥AB 时,OE 取最小值.如图,过点C 作CH ⊥AB 于点H.在Rt △BCH 中,BC=8,∠B=60°,∴CH=sin B ×BC=4√3,∴OE 的最小值为4√3,∴EG 的最小值为94×4√3=9√3.36. √32如图,过点D 作DH ⊥AC 于点H ,过点B'作B'J ⊥AC 于点J.在Rt △ACB 中,∵∠ABC=90°,AC=8,∠A=30°,∴AB=AC ·cos 30°=4√3.又∵BD=√3,∴AD=AB-BD=3√3,∴DH=12AD=3√32.易知B'D+B'J ≥DH ,DB'=DB=√3,∴B'J ≥DH-DB',∴B'J ≥√32,∴当D ,B',J 三点共线时,B'J 的值最小,最小值为√32.37.2732 ∵四边形ABCD 是矩形,∴∠ABM=∠BCE=90°,∴∠AMB+∠BAM=90°.由折叠的性质得∠AMB'=∠AMB ,∠EMC'=∠EMC ,∴∠AME=90°,∴∠AMB+∠EMC=90°,∴∠BAM=∠EMC ,∴△ABM ∽△MCE ,∴BM CE =AB CM ,即x y =23−x,∴y=-12x 2+32x=-12(x-32)2+98.∵-12<0,∴当x=32,即BM=32,CM=BC-BM=32时,y 取最大值98,即CE=98,此时S △C'ME =12×32×98=2732.。
