初等几何研究综合测试题(五)

初等几何研究试题答案（I）、线段与角的相等1. O O、O Q相交于A B, O O的弦BC交O Q于E, O 02的弦BD交O0于F,求证：(1)若2 DBA2 CBA贝卩若DF二CE则 / DBA M CBA.证明:⑴连接AC AE AF、AD在O 0 中，由/ CBA W DBA得AC=AF在O O 中，由/ CBA W DBA得AE=AD由A C、B、E四点共圆得/仁/2由A D B、E四点共圆得/ 3二/4所以△ ACE^A AFD••• DF=CE(2) 由(1)得/ 仁/ 2, / 3=2 4v DF=CE• △ACE^A AFD••• AD=AE在O Q 中，由AD=AE^得/ DBA M CBA2. 在厶ABC中,AC=BC,Z ACB=90,D是AC上的一点,AE丄BD的延长线于E,又AE=1BD,2求证:BD平分/ ABC.证明：延长AE,BC交于点F7 AED "BCA =90 ADE "BDC•CBD =/CAF又7 ACF BCA = 90 AC 二BC•ACF 三BCD . AF = BD1 1又、:AE BD . AE AF2 2又ABEE _ BE■ BE平分ABF即BD平分.ABC3. 已知在凸五边形ABCDE中, / BAE=3 ,BC=CD=DE M/ BCD玄CDE=180-求证：/ BAC 2 CAD h DAE.证明：过点B 作BDL BC,交圆周于点D,连结CD ©D•••/ DBC=90, • CD 是直径，则/CAD=90证明：连接BD,得△ CBD 是等腰三角形且底角是/ CDB=[18(0-(180o — 2 - )] -2=.:丄 BDE=(180° — 2G )-O (=180O — 3«••• A B 、D E 共圆同理A C D E 共圆• h BAC h CAD h DAE4. 设H 为锐角△ ABC 的垂心，若AH 等于外接圆的半径由题，可得AH L BC, BH丄AC••• BD// AH, AD// BH二四边形ADBH是□••• AH=BD又;AH等于外接圆的半径（R）• BD=R M CD=2R•••在Rt △ BCD中,CD=2BD即/ BCD=30• / BDC=60又；/ BAC K BDC BAC M BDC=605. 在厶ABC中, / C=90,BE是/B的平分线,CD是斜边上的高，过BE CD之交点0且平行于AB的直线分别交AC BC于F、G,求证AF=CE.证明:如图；/ 1 = 2 3, / 仁/2. 2二/ 3, • GB = GO,；2 5=2 4=2 6, • CO =CE,；FG// AB,「. AF/CF二B$CG二G0CG,又；△ FCO^COG/. CO7CF=G/CG=A/CF,• CO=AF；CO=CE,\ AF=CE.6. 在厶ABC中,先作角A B的平分线,再从点C作上二角的平分线值平行线，并连结它们的交点 D E,若DE// BA,求证：△ ABC等腰.证：如图所示设AG ED的交点为Fv AD是/ A的平分线•••/仁/2T DE// AB 仁/ 3v CE// AD :丄 3二/ 5, / 4二/ 2•/仁/2二/3=Z 4=2 5则厶FAD ffi^ FCE是等腰三角形•A F=DF,EF=CF•A C=DE同理可证BC=DE•A C=BC• △ ABC是等腰三角形7. 三条中线把△ ABC分成6个三角形，若这六个三角形的内切圆中有4个相等.求证：△ ABC是正三角形.AB D C证明：•/△ AOF △ AOE △ COD △ COE △ BOF △ BOD面积都相等--S A OFE=S A OEC即: 11111 1BF X 叶一FOX 叶BO X r= CEX 叶一OE< 叶一OC X r 2 2 2 2 2 21 12 (BF+FO+BO X r= - (CE+OE+OC X r••• BF+FO+BO二CCE+OE+OC••• CE+OE+OC-OG-OI二CE+OE+OC-OL-OJ• 2DH+2BH=2FK+2CK• 2BF=2CE又F、E分别为AB AC之中点••• AB=AC同理:AB=BC故厶ABC是正三角形.8. 平行四边形被对角线分成四个三角形中，若有三个的内切圆相等证明:该四边形为菱形.C证明:又•••△ AOBA BOC、△ CODA DOA四个三角形的面积相等1 1OD DC OC r OB BC OC r2 2CD OC OD 二BC OB OCOD OC DC - OE - OG = OB OC BC - Ol - OG二2DF +2CF =2BH +2CH二2DC =2BC=DC =BC•四边形为菱形9. 凸四边形被对角线分成4个三角形,皆有相等的内切圆，求证:该四边形是菱形证明:连结O i 、O 2,分别作O i 、O 2到AC 的垂线，垂足分别为P 、M•••在厶ABC 中 ,BO 是。

几何综合测试（时间：100分钟总分：100分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1．图所示四个图形中，能折叠成正方体，并且对面的数字互为相反数的是（•）2．观察图，并阅读下面的相关文字：两条直线相交三条直线相交两条直线相交只有一个交点最多有3个交点最多有6个交点像这样，10条直线相交，最多交点的个数是（）A．40 B．45 C．50 D．553．下列命题中正确的是（）A．任何正多边都可以密铺；B．对角线互相垂直且相等的四边形是平行四边形C．等边三角形一定相似；D．两条边及一个角对应相等的两个三角形全等4．如图1，已知P点的坐标是（a，b），sina=（）A．abB．baC D（1）(2) (3) (4)5．如图2，⊙O的弦AB垂直于直径MN，C为垂足，若OA=5cm，下面四个结论中可能成立的是（）A．AB=12cm B．OC=6cm C．MN=8cm D．AC=3cm6．如图3所示，两只小虫以相同的速度同时从A点出发到B点，甲虫沿A→D•→A1→E→A2→F→A3→G→B爬行，乙虫沿A→C→B路线爬行，则下列结论正确的是（）A ．甲先到B 点 B ．乙先到B 点C ．甲、乙同时到B 点D ．无法确定 7．如图4，等腰△ABC 的顶角∠A=36°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，则下列结论不成立的是（ ）A ．BC=BD=ADB ．BC 2=DC·ACC ．△ABC 三边之比为1：1D ．BC= AC 8．如图5，△ABP 与△DCP 是两个全等的等边三角形，且PA ⊥PD ，•有下列四个结论：①∠PBC=15°；②AD ∥BC ；③直线PC ⊥AB ；④四边形ABCD 是轴对称图形，•其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4(5) (6) (7) (8) 9．如图6，在四边形ABCD 中，E 是AB 上一点，EC ∥AD ，DE ∥BC ，若S △BEC =1，S △ADE =3，•则AD ：CE 等于（ ）A B ．32C D ．3 10．如图7，矩形纸片ABCD 中，AD=9cm ，AB=3cm ，将其折叠，使点B 和D 重合，• 那么折叠后DE 的长是（ ）A ．4cmB ．5cmC ．3cmD ．以上都不正确 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）11．如图8，将书页斜折过去，使角顶点A 落在A′处，BC 为折痕，BD 为∠A •′BE 的平分线，则∠CBD 的度数是________． 12．在△ABC 中，AB=6，BC=8，∠BAC=80°，如果把△ABC 绕点A •按顺时针方向旋转35°至△ADE 位置（如图9所示），则DE=_______，∠DAC=________．(9) (10) (11) (12)13．小明站在镜子前，看见其上衣上的数字代码为“”，•则他球衣上的正确号码应是_______．14．已知三条线段长分别为1，2，4，请你再写出一条线段长，使之与前面的三条线段能够组成一个比例式，则你写出的线段长为________．15．如图10，BE是△ABC的角平分线，且DE∥BC，如果DE=3cm，则BD=______．16．已知正方形ABCD的边长为1，E为CD的中点，P是正方形ABCD边上一个动点，•动点P从A点出发沿A→B→C→E运动，到达E，若点P经过的路程为自变量x，△APE•的面积为函数y，则当y= 13时，x的值等于________．17．如图11，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD=60°，E为AB的中点，F是AC•上一动点，则EF+BF的最小值为________．18．如图12，AB是半圆O的直径，AC=AD，OC=2，∠CAB=30°，则点O•到CD•的距离OE=_________．三、解答题（本大题共46分，19～23每题6分，24题、25题每题8分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．如图，正方形ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，AE=CF，请猜想，四边形BFDE 是什么样的四边形，并说明你的理由．20．如图所示，四边形ABCD是正方形，△ADE旋转后能与△ABF重合．（1）问旋转了多少度；（2）连结EF，则△AEF是怎样的三角形．21．在梯形ABCD中，AB∥CD，CD=BC=2，∠A=30°，∠B=60°，求AB和梯形的面积．22．如图，河的两岸各有一根电线杆A、B，怎样在河的一边测得A、B间的距离，请设计一套方案，并说明你设计的依据．23．某乡薄铁厂的王师傅要在长为25cm，宽为18cm的薄铁板上裁出一个最大的圆和两个尽可能大的小圆，他先画出了如的草图，但他在求小圆的半径时，遇到了困难，请你帮助王师傅计算出这两个小圆的半径．24．如图，A、B是直线L上的两点，AB=4厘米，过L外一点作CD∥L，射线BC•与L 所成的锐角∠1=60°，线段BC=2厘米，动点P、Q分别从B、C同时出发，P以每秒1厘米的速度沿由B向C的方向运动，Q以每秒2厘米的速度沿由C向D的方向运动．设P、Q运动的时间为t（秒），当t>2，PA交CD于E．（1）用含t的代数式分别表示CE和QE的长．（2）求△APQ的面积S与t的函数关系式．（3）当QE恰好平分△APQ的面积时，QE的长是多少厘米？25．已知：如图，A、K为⊙O上的两点，直线FN⊥MA，垂足为N，FN切⊙O•于点F，∠AOK=2∠MAK．（1）求证：MN是⊙O的切线．（2）若点B为⊙O上一动点，BO的延长线交⊙O于点C，交NF于点D，连结AC•并延长交NF于点E，当FD=2ED时，求∠AEN的余切值．答案： 一、选择题1．D 2．B 3．C 4．D 5．D 6．C 7．C 8．D 9．C 10．B 二、填空题11．90° 12．8，45° 13．26 14．8，0.5等 15．3cm 16．23或5317． 18三、解答题19．解：连结BD 交AC 于点O ，四边形ABCD 是平行四边形⇒BO=DO ，AO=CD ．由于AE=CF ，•故OE=OF ，∴四边形DEBF 是平行四边形．又可证△AEB ≌△AED ，∴BE=DE ．故DEBF 是菱形． 20．解：（1）旋转了90°．（2）△AEF 是等腰直角三角形． 21．解：过点D 作DE ∥BC ，由AB ∥CD ，可知四边形BCDE 是平行四边形． 故DE=BC=2．606030B DEA A ∠=︒⇒∠=︒⎫⎬∠=︒⎭⇒∠ADE=90°．在Rt △ADE 中，，故AB=BE+AE=6．过点D 作DF ⊥AB ，则DF=AD·sin30°S 梯=12×（2+6） 22．解：利用相似三角形设计． 23．解：连结⊙O 1、⊙O 2、O 1O 2，过点O 作OA ⊥O 1O 2于A ，则在Rt △OO 1A 中，OO 1=9+r ，OA=•25-r-9=16-r ，O 1A=1822r-=9-r ． 由勾股定理，得（16-r ）2+（9-r ）2=（9+r ）2． 解得r 1=4，r 2=64（舍）． 故两个小圆的半径为4．24．解：（1）依题有BP=t ，CQ=2t ，PC=t-2．∵EC ∥AB ， ∴△PEC ∽△PAB ，∴24EC t t-=． ∴EC=48t t -，QE=QC-EC=2t-482t -=22482t t -+．（2）作PF ⊥L 于F ，则PF=2t ，∴S=12QE·PF=2（t 2-2t+4）．（3）此时，C 为PB 的中点，则t-2=2，∴t=4，∴QE=6厘米．25．（1）证明：延长AO 交⊙O 于点G ，连结KG ，909022AG AKG G KAO AOK MAK G MAK AOK G ⇒∠=︒⇒∠+∠=︒⎫⎪∠=∠⎫⎬⇒∠=∠⎬⎪∠=∠⎭⎭是直径90MAK KAO MA AO A O ⇒∠+∠=︒⇒⊥⎫⎬⎭点在上⇒MN 是⊙O 的切线．A 点在⊙O 上（2）解：连结OF ，AB ． ∵BC 为⊙O 的直径，∴∠BAC=90°，∵FN ⊥MA 于N ， ∴∠ANE=90°，∵MN 是⊙O 的切线，∴∠NAE=∠B ． ∴∠ACB=∠AEN ．又∵∠ACO=∠DCE ，∴∠DCE=∠DEC ． ∴DC=DE ．∵NF 切⊙O 于F ，∴∠OFN=90°．又∵∠NAO=90°，∴四边形AOFN 是矩形． ∵OA=OF ，∴矩形AOFN •是正方形．• ∴AN=NF=OF ．∵NF 切⊙O 于F ，∴FD 2=DC·DB ． 设⊙O 的半径为r ，DE=x ，∵FD=2ED ，∴（2x ）2=x （x+2r ），解得x=23r ． 在△AEN 中，∠ANE=90°，cot ∠AEN=13．。

几何综合练习题1. 已知直角三角形ABC中，∠ABC=90°，AB=12cm，BC=5cm，求AC的长度。

解析：根据勾股定理可得 AC² = AB² + BC²。

代入已知数据，有 AC² = 12² + 5² = 144 + 25 = 169。

因此，AC = √169 = 13cm。

2. 已知平行四边形ABCD中，AB=8cm，BC=5cm，且∠ABC=60°，求BD的长度。

解析：根据平行四边形的性质，对角线互相平分，即BD=AC。

将平行四边形分为两个等边三角形ABC和ACD。

在三角形ABC中，根据余弦定理有 AB² = BC² + AC² - 2 * BC * AC * cos(∠ABC)。

代入已知数据，有 8² = 5² + AC² - 2 * 5 * AC * cos(60°)。

化简得 AC² - 10AC + 15 = 0，进而可得 AC = 5cm。

因此，BD = AC = 5cm。

3. 在正方形ABCD中，点E是边BC上的一点，且BE=4cm，求AE的长度。

解析：根据正方形的性质，对角线相等且垂直平分。

连接AC，得∆AEC为直角三角形。

由正方形的性质可知，∆AEB和∆EDC也为直角三角形。

在∆AEB中，根据勾股定理有 AE² = AB² + BE²。

代入已知数据，有 AE² = 4² + 4² = 16 + 16 = 32。

因此，AE = √32 = 4√2 cm。

4. 在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=3cm，BC=6cm，CD=9cm，DE=4cm，求AD的长度。

解析：将梯形ABCD分解为下面的两个三角形：△ACB和△ADE。

在△ACB中，根据勾股定理有 AC² = AB² + CB² = 3² + 6² = 9 + 36 = 45。

初三数学解析几何综合测试题解析几何是数学中的一个重要分支，它运用代数和几何的方法来研究图形和空间中的性质。

初中阶段，特别是初三学生在解析几何方面的学习是至关重要的。

为了加强对初三学生解析几何知识的巩固和提高，我们为大家准备了一套综合测试题，希望能够帮助同学们更好地理解和掌握解析几何知识。

一、选择题1. 已知平面直角坐标系中，点A(-3,4)、点B(2,-2)，则AB的中点坐标为：A. (-0.5, 1)B. (-0.5, 3)C. (-0.5, 2)D. (-0.5, -1)2. 一个六边形的内角和是：A. 180°B. 360°C. 540°D. 720°3. 下列哪一个点不在直线y=2x-1上：A. (0, -1)B. (-1, -3)C. (1, 1)D. (2, 3)4. 已知平面直角坐标系中，过点A(2,5)的直线l的斜率是3，如果l 过点B(4,y)，则y的值为：A. 8B. 10C. 12D. 145. 已知△ABC是等腰直角三角形，斜边AB的长度为5，求BC的长度为：A. 3B. 4C. 2D. 1二、填空题1. 平面直角坐标系中，点A(1,3)、点B(4,6)，则AB的斜率为______。

2. 圆心坐标为(1,2)，半径为3的圆的方程为__________。

3. 平面直角坐标系中，点P(5,-1)、点Q(1,-7)，则PQ的距离为__________。

4. 已知线段AB的中点坐标为(2,-3)，A的坐标为(-1,-1)，则B的坐标为__________。

5. 平面直角坐标系中，直线y=-2x+3与x轴和y轴的交点分别为__________。

三、解答题1. 在平面直角坐标系中，已知点A(2,3)、点B(5,7)，求AB的斜率和长度。

2. 平面直角坐标系中，点C(4,2)关于原点O的对称点为C'，求C'的坐标。

3. 平面直角坐标系中，已知直线y=3x-2和直线y=-2x+5，求这两条直线的交点坐标。