2012-2013学年上海市浦东新区高一(下)期中数学试卷

上海市浦东新区21-22学年高一上学期期末数学试卷班级：_________ 姓名：_________ 分数：_________一、单选题（本大题共4小题，共12分）1、“a =12”是“指数函数y =a x 在R 上是严格减函数”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件2、任意x ∈R ，下列式子中最小值为2的是（ ）A. x +1x B. 2x +2−x C. x 2+2x 2D. √x 2+2+1√x 2+23、已知log 189=a ，18b =5，则log 3645=（ ）A.a+b2aB.a+ba 2C. a+b2+aD. a+b2−a4、我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图像来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数图像的特征，如函数f(x)=x 2+a|x|(a ∈R)的图像不可能是（ ）A.B.C.D.二、填空题（本大题共12小题，共36分）5、已知全集U ={1,2,3,4,5}，集合A ={1,2,3}，则A −=______． 6、函数y =lnx−12−x的定义域为______． 7、已知幂函数y =f(x)的图像过点(2,√2)，则f(3)=______．8、当a <0时，求|a|+√a 66+2√a33的值______．9、计算：2log 22+log 224−log 23=______．10、在用反证法证明“已知a 3+b 3=2，求证：a +b ≤2”时应先假设______．11、已知α、β是关于x 的方程x 2−2mx +m 2−4=0(m ∈R)的两个根，则|α−β|=______． 12、已知x >−3，则x +1x+3的最小值为______． 13、若函数f(x)=x 3−x −1在区间[1,1.5]内的一个零点的近似值用二分法逐次计算列表如下：那么方程x 3−x −1=0的一个近似解为x =______(精确到0.1)．14、若y =f(x)是奇函数，当x >0时，f(x)=log 2(2+x)，则f(−2)=______．15、已知问题：“|x +3|+|x −a|≥5恒成立，求实数a 的取值范围”.两位同学对此问题展开讨论：小明说可以分类讨论，将不等式左边的两个绝对值打开；小新说可以利用三角不等式解决问题． 请你选择一个适合自己的方法求解此题，并写出实数a 的取值范围______．16、已知函数f(x)={2x +1,x ≤02,x >0，若f(a 2−2a)≤f(a −1)，则实数a 的取值范围是______．三、解答题（本大题共5小题，共52分）17、(本小题8.0分)已知a ，b 都是正实数，求证：a 3+b 3≥a 2b +ab 2，并指出等号成立的条件． 18、(本小题8.0分)设不等式|2x −1|≤3的解集为P ，不等式2≤2x ≤8的解集为Q ． (1)求集合P 、Q ；(2)已知全集U =R ，求P ∩Q −． 19、(本小题10.0分) 已知函数f(x)=12x+1． (1)求函数f(x)的值域；(2)求证：函数y =f(x)在R 上是严格减函数． 20、(本小题12.0分)浦东某购物中心开业便吸引了市民纷纷来打卡(观光或消费)，某校数学建模社团根据调查发现：(该购物中心开业一个月内(以30天计)，每天打卡人数P(x)与第x天近似地满足函数P(x)=8+kx 万人)，k为正常数，且第8天的打卡人数为9万人．(1)求k的值；(2)经调查，打卡市民(含观光)的人均消费C(x)(元)与第x天近似地满足如表：现给出以下三种函数模型：①C(x)=ax+b，②C(x)=a|x−22|+b，③C(x)=a x+b.请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述打卡市民(含观光)的人均消费C(x)(元)与第x天的关系，并求出该函数的解析式；(3)请在问题(1)、(2)的基础上，求出该购物中心日营业收入f(x)(1≤x≤30,x为正整数)的最小值(单位：万元)．(注：日营业收入=日打卡人数P(x)×人均消费C(x))．21、(本小题14.0分)已知函数f(x)=2x−4．(1)求方程f(x)=3的解；x+λ在x∈[2,4]上有实数解，求实数λ的取值范围；(2)若关于x的方程f(x)=log12(3)若x i(i=0,1,2,⋯,2021)将区间[1,3]划分成2021个小区间，且满足1=x0<x1<x2<⋯<x2021=3，使得和式|f(x1)−f(x0)|+|f(x2)−f(x1)|+|f(x3)−f(x2)|⋯+|f(x2021)−f(x2020)|≤M恒成立，试求出实数M的最小值并说明理由．参考答案及解析1.答案：A解析：由a =12，可得指数函数y =a x =(12)x 在R 上是严格减函数，故充分性成立；由指数函数y =a x 在R 上是严格减函数，可得0<a <1，不能推出a =12，故必要性不成立， 故a =12”是“指数函数y =a x 在R 上是严格减函数”的充分不必要条件， 所以选：A ．由题意，利用充分条件、必要条件、充要条件的定义，指数函数的单调性，得出结论． 本题主要考查充分条件、必要条件、充要条件的定义，指数函数的单调性，属于基础题．2.答案：B解析：选项A ：当x <0时，则x +1x <0，所以最小值不为2，故A 错误，选项B ：因为2x +2−x ≥2√2x ⋅2−x =2，当且仅当2x =2−x ， 即x =0时取等号，此时取得最小值为2，故B 正确，选项C ：因为x 2+2x 2≥2√x 2⋅2x 2=2√2，当且仅当x 2=2x 2， 即x 2=√2时取等号，此时最小值不为2，故C 错误， 选项D ：因为√x 2+2+√x 2+2≥2√√x 2+2⋅1√x 2+2=2，当且仅当√x 2+2=√x 2+2，即x 2=−1时取等号，显然不成立，故D 错误， 所以选：B ．利用基本不等式对各个选项逐个判断即可求解．本题考查了基本不等式的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．3.答案：D解析：∵log 189=1−log 182=a ， ∴log 182=1−a ，且b =log 185， ∴log 3645=log 1845log 1836=log 189+log 1851+log 182=a+b2−a ．所以选：D ．根据条件可求出log 182=1−a ，b =log 185，从而得出log 3645=log 189+log 1851+log 182=a+b2−a ．本题考查了对数的运算性质，对数的换底公式，考查了计算能力，属于中档题．4.答案：A解析：函数的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，易知函数f(x)为偶函数， 当x >0时，若a =0时，f(x)=x 2，选项B 符合，当a >0时，f(x)=x 2+a x =x 2+a 2x +a 2x ≥3√x 2⋅a 2x ⋅a 2x 3=3√a 243，当且仅当x 2=a2x ，即x =√a23时取等号，选项D 符合，当a <0时，f(x)=x 2+ax 在(0,+∞)上单调递增，当f(x)=x 2+ax =0时，解得x =√−a 3，有且只有一个零点，选项C 符合， 所以选：A ．易知函数为偶函数，只要研究当x >0时即可，分a =0，a >0，a <0，根据函数单调性即可判断． 本题考查了函数图象的识别，掌握函数的奇偶性和单调性是关键，属于中档题．5.答案：{4,5}解析：∵全集U ={1,2,3,4,5}，集合A ={1,2,3}， ∴A −={4,5}． 所以答案为：{4,5}． 利用补集的定义直接求解．本题考查集合的运算，考查补集的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.答案：(1,2)解析：要使原函数有意义，则x−12−x>0，∴x−1x−2<0，解得1<x <2． ∴函数y =lnx−12−x的定义域为(1,2)． 所以答案为：(1,2)．由对数函数的真数大于0，求解分式不等式得答案． 本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．7.答案：√3解析：设幂函数f(x)=x α，∵幂函数y =f(x)=x α的图像过点(2,√2)，∴f(2)=2α=√2，解得α=12， ∴f(x)=√x ， 则f(3)=√3， 所以答案为：√3．幂函数y =f(x)=x α的图像过点(2,√2)，列方程求出α=12，从而f(x)=√x ，由此能求出f(3)．本题考查函数值的求法，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.答案：0解析：a <0时，|a|+√a 66+2√a33=−a +|a|+2a =−a −a +2a =0， 所以答案为：0．根据根式的运算性质以及a 的符号求出代数式的值即可． 本题考查了根式的运算性质，考查转化思想，是基础题．9.答案：5解析：原式=2+log 28=2+3=5． 所以答案为：5． 进行对数的运算即可．本题考查了对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题．10.答案：a +b >2解析：在用反证法证明“已知a 3+b 3=2，求证：a +b ≤2”时应先假设a +b >2． 故答案：a +b >2．利用反证法证题的第一步，从要证结论的反面出发，提出假设得答案．本题主要考查反证法证题的步骤，正确找出要证结论的对立面是关键，是基础题．11.答案：4解析：根据题意，α、β是关于x 的方程x 2−2mx +m 2−4=0(m ∈R)的两个根， 则α+β=2m ，αβ=m 2−4， 则|α−β|2=(α+β)2−4αβ=16， 故|α−β|=4； 所以答案为：4．根据题意，由根与系数的关系可得α+β=2m ，αβ=m 2−4，由此变形可得答案．本题考查二次方程根与系数的关系，涉及因式的恒等变形，属于基础题．12.答案：−1解析：因为x>−3，则x+3>0，所以x+1x+3=x+3+1x+3−3≥2√(x+3)⋅1x+3−3=2−3=−1，当且仅当x+3=1x+3，即x=−2时取等号，此时取得最小值为−1，所以答案为：−1．利用基本不等式以及配凑法即可求解．本题考查了基本不等式的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．13.答案：1.3解析：根据题意，由表格可得：函数f(x)=x3−x−1的零点在(1.3125,1.3475)之间，故方程x3−x−1=0的一个近似解为x=1.3；所以答案为：1.3．根据题意，由列表分析f(x)=x3−x−1的零点所在的区间，由近似解的要求分析可得答案．本题考查二分法的应用，注意函数零点判定定理，属于基础题．14.答案：−2解析：根据题意，当x>0时，f(x)=log2(2+x)，则f(2)=log24=2，又由f(x)为奇函数，则f(−2)=−f(2)=−2；所以答案为：−2．根据题意，由函数的解析式求出f(2)的值，结合函数为奇函数分析可得答案．本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题．15.答案：(−∞,−8]∪[2,+∞)解析：∵|x+3|+|x−a|≥|x−a−x−3|=|3+a|，∴要使|x+3|+|x−a|≥5恒成立，则|a+3|≥5即可，∴a+3≥5或a+3≤−5，解得a≥2或a≤−8，即实数a的取值范围是(−∞,−8]∪[2,+∞)，所以答案为：(−∞,−8]∪[2,+∞)．利用三角不等式的性质进行转化求解即可．本题主要考查绝对值不等式的求解，利用三角不等式的性质是解决本题的关键，是基础题．。

2023-2024学年高一（上）期中数学试卷一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．（5分）已知集合A＝{1，2，3}，集合B＝{x||x﹣1|＜1}，则A∩B＝（）A．∅B．{1}C．{1，2}D．{1，2，3} 2．（5分）已知x∈R，p：|x﹣2|＜1，q：1＜x＜5，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）命题“∃x∈（1，+∞），x2+2＜0”的否定是（）A．∃x∈（﹣∞，1]，x2+2＜0B．∃x∈（1，+∞），x2+2≥0C．∀x∈（1，+∞），x2+2＞0D．∀x∈（1，+∞），x2+2≥04．（5分）下列函数中，f（x）和g（x）表示同一个函数的是（）A．B．f（x）＝1，g（x）＝x0C．D．f（x）＝|x+2|，5．（5分）已知不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|x1＜x＜x2}且x1＞0，则不等式cx2+bx+a＞0的解集为（）A．{x|x1＜x＜x2}B．{x|x＞x2或x＜x1}C．D．或6．（5分）已知函数，若函数f（x）＝max{﹣x+1，x2﹣3x+2，x﹣1}，则函数f（x）的最小值为（）A．0B．1C．2D．37．（5分）已知正实数x，y满足2x+y+6＝xy，记xy的最小值为a；若m，n＞0且满足m+n＝1，记的最小值为b．则a+b的值为（）A．30B．32C．34D．368．（5分）已知函数f（x）满足f（x）+f（4﹣x）＝4，f（x+2）﹣f（﹣x）＝0，且f（1）＝a，则f（1）+f（2）+f（3）+⋯+f（51）的值为（）A．96B．98+a C．102D．104﹣a二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）（多选）9．（5分）下列不等关系一定成立的是（）A．若a＞b，则B．若，则ab＞0C．若，则a＞0＞bD．若a＞b，a2＞b2，则a＞b＞0（多选）10．（5分）已知x∈（1，+∞），下列最小值为4的函数是（）A．y＝x2﹣4x+8B．C．D．（多选）11．（5分）下列说法正确的是（）A．“a＞1，b＞1”是“（a﹣1）（b﹣1）＞0”的充分不必要条件B．“0＜a＜4”是“ax2+ax+1＞0在R上恒成立”的充要条件C．“a＜1”是“f（x）＝x2﹣ax在（1，+∞）上单调递增”的必要不充分条件D．已知a，b∈R，则“ab＞0”是“a3+a2b﹣a2﹣ab+a+b＞0”的既不充分也不必要条件（多选）12．（5分）已知x，y＞0且满足x2+y2+1＝（xy﹣1）2，则下列结论正确的是（）A．xy≥2B．x+y≥4C．x2+y2≥8D．x+4y≥9三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知函数，则函数f（x）的定义域为．14．（5分）已知函数f（x）满足，则函数f（x）的解析式为．15．（5分）已知函数，则f（﹣26）+f（﹣25）+⋯+f（﹣1）+f （1）+⋯+f（26）+f（27）的值为．16．（5分）已知x，y＞0且满足x+y＝1，若不等式恒成立，记的最小值为n，则m+n的最小值为．四、解答题：共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，集合B＝{x|m﹣1＜x＜2m+1}．（1）当m＝3时，求A∪B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．18．（12分）已知函数f（x）＝（2m2﹣m）x2m+3是幂函数，且函数f（x）的图象关于y轴对称．（1）求实数m的值；（2）若不等式（a﹣1）m＜（2a﹣3）m成立，求实数a的取值范围．19．（12分）已知函数为定义在R上的奇函数．（1）求实数a，b的值；（2）求不等式|f（x）|≥3的解集．20．（12分）某高科技产品投入市场，已知该产品的成本为每件1000元，现通过灵活售价的方式了解市场，通过多日的市场销售数据统计可得，某店单日的销售额与日产量x（件）有关．当1≤x≤3时，单日销售额为（千元）；当3≤x≤6时，单日销售额为（千元）；当x＞6时，单日销售额为21（千元）．（1）求m的值，并求该产品日销售利润P（千元）关于日产量x（件）的函数解析式；（销售利润＝销售额﹣成本）（2）当日产量x为何值时，日销售利润最大？并求出这个最大值．21．（12分）已知a，b，c是实数，且满足a+b+c＝0，证明下列命题：（1）“a＝b＝c＝0”是“ab+bc+ac＝0”的充要条件；（2）“abc＝1，a≥b≥c”是“”的充分条件．22．（12分）已知函数f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），满足f（0）＝1，f（1）＝3．（1）若函数f（x）有最小值，且此最小值为，求函数f（x）的解析式；（2）记g（a）为函数f（x）在区间[1，2]上的最大值，求g（a）的表达式．2023-2024学年高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．（5分）已知集合A＝{1，2，3}，集合B＝{x||x﹣1|＜1}，则A∩B＝（）A．∅B．{1}C．{1，2}D．{1，2，3}【分析】结合交集的定义，即可求解．【解答】解：集合A＝{1，2，3}，集合B＝{x||x﹣1|＜1}＝{x|0＜x＜2}，故A∩B＝{1}．故选：B．【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．2．（5分）已知x∈R，p：|x﹣2|＜1，q：1＜x＜5，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据题意，解绝对值不等式得1＜x＜3，结合充要条件的定义加以判断，即可得到本题的答案．【解答】解：根据题意，|x﹣2|＜1⇒﹣1＜x﹣2＜1⇒1＜x＜3，由|x﹣2|＜1可以推出1＜x＜5，且由1＜x＜5不能推出|x﹣2|＜1．因此，若p：|x﹣2|＜1，q：1＜x＜5，则p是q的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题主要考查不等式的性质、充要条件的判断等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．3．（5分）命题“∃x∈（1，+∞），x2+2＜0”的否定是（）A．∃x∈（﹣∞，1]，x2+2＜0B．∃x∈（1，+∞），x2+2≥0C．∀x∈（1，+∞），x2+2＞0D．∀x∈（1，+∞），x2+2≥0【分析】根据命题的否定的定义，即可求解．【解答】解：命题“∃x∈（1，+∞），x2+2＜0”的否定是：∀x∈（1，+∞），x2+2≥0．故选：D．【点评】本题主要考查特称命题的否定，属于基础题．4．（5分）下列函数中，f（x）和g（x）表示同一个函数的是（）A．B．f（x）＝1，g（x）＝x0C．D．f（x）＝|x+2|，【分析】观察函数三要素，逐项判断是否同一函数．【解答】解：由题意得：选项A定义域不同，f（x）的定义域为R，g（x）中，x≠0；选项B定义域不同，f（x）的定义域为R，g（x）中，x≠0；选项C对应法则不同，g（x）＝|x|；D项，三要素相同，为同一函数．故选：D．【点评】本题考查同一函数的判断，属于基础题．5．（5分）已知不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|x1＜x＜x2}且x1＞0，则不等式cx2+bx+a＞0的解集为（）A．{x|x1＜x＜x2}B．{x|x＞x2或x＜x1}C．D．或【分析】由题意可知，a＜0，方程ax2+bx+c＝0的两个根分别为x1，x2，再结合韦达定理求解即可．【解答】解：根据题意：a＜0，方程ax2+bx+c＝0的两个根分别为x1，x2，所以，，，，解得，即不等式的解集为{x|}．故选：C．【点评】本题主要考查了韦达定理的应用，考查了一元二次不等式的解法，属于基础题．6．（5分）已知函数，若函数f（x）＝max{﹣x+1，x2﹣3x+2，x﹣1}，则函数f（x）的最小值为（）A．0B．1C．2D．3【分析】根据函数f（x）的定义可知，在一个坐标系中画出y＝﹣x+1，y＝x2﹣3x+2，y ＝x﹣1的图象，取最上面的部分作为函数f（x）的图象，由图象即可求出函数的最小值．【解答】解：根据题意，在同一个直角坐标系中，由﹣x+1＝x2﹣3x+2，得x2﹣2x+1＝0，解得x＝1；由x2﹣3x+2＝x﹣1，得x2﹣4x+3＝0，解得x＝3或x＝1，所以f（x）＝，同时画出函数y＝﹣x+1，y＝x2﹣3x+2，y＝x﹣1，如图分析：所以函数f（x）的最小值为0．故选：A．【点评】本题考查利用函数的图象求函数的最值，属中档题．7．（5分）已知正实数x，y满足2x+y+6＝xy，记xy的最小值为a；若m，n＞0且满足m+n＝1，记的最小值为b．则a+b的值为（）A．30B．32C．34D．36【分析】由已知结合基本不等式先求出xy的范围，即可求a，然后利用乘1法，结合基本不等式可求b，进而可求a+b．【解答】解：∵xy＝2x+y+6+6，当且仅当2x＝y，即x＝3，y＝6时取等号，∴a＝18．∵m+n＝1，m＞0，n＞0．则＝6，当且仅当n＝3m且m+n＝1，即m＝，n＝时取等号，∴，∴b＝16；∴a+b＝34．故选：C．【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．8．（5分）已知函数f（x）满足f（x）+f（4﹣x）＝4，f（x+2）﹣f（﹣x）＝0，且f（1）＝a，则f（1）+f（2）+f（3）+⋯+f（51）的值为（）A．96B．98+a C．102D．104﹣a【分析】由已知结合函数的对称性先求出函数的周期，然后结合对称性及周期性即可求解．【解答】解：根据题意：函数f（x）满足f（x）+f（4﹣x）＝4，可得函数f（x）关于点（2，2）成中心对称，函数f（x）满足f（x+2）﹣f（﹣x）＝0，所以函数f（x）关于x＝1对称，所以函数f（x）既关于x＝1成轴对称，同时关于点（2，2）成中心对称，所以f（2）＝2，T＝4，又因为f（1）＝a，所以f（3）＝4﹣a，f（4）＝f（﹣2）＝f（﹣2+4）＝f（2）＝2，所以f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝a+2+4﹣a+2＝8，所以f（1）+f（2）+f（3）+⋯+f（51）＝12[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（1）+f（2）+f（3）＝12×8+a+2+4﹣a＝102．故选：C．【点评】本题主要考查了函数的奇偶性，对称性及周期性在函数求值中的应用，属于中档题．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）（多选）9．（5分）下列不等关系一定成立的是（）A．若a＞b，则B．若，则ab＞0C．若，则a＞0＞bD．若a＞b，a2＞b2，则a＞b＞0【分析】由已知举出反例检验选项A，D；结合不等式的性质检验B，C即可判断．【解答】解：当a＝1，b＝﹣1时，A显然错误；若，则＝＜0，所以ab＞0，B正确；若，即b﹣a＜0，则＝＞0，所以ab＜0，所以b＜0＜a，C正确；当a＝2，b＝﹣1时，D显然错误．故选：BC．【点评】本题主要考查了不等式的性质在不等式大小比较中的应用，属于基础题．（多选）10．（5分）已知x∈（1，+∞），下列最小值为4的函数是（）A．y＝x2﹣4x+8B．C．D．【分析】根据二次函数的性质检验选项A，结合基本不等式检验选项BCD即可判断．【解答】解：根据题意：选项A，y＝x2﹣4x+8，根据二次函数的性质可知，x＝2时取最小值4，故选A；，当且仅当时取最小值，不在x∈（1，+∞）范围内，故选项B错误；选项C，＝，当且仅当，即x＝3时成立，故选项C正确；选项D，，令，原式为，当且仅当t＝，即t＝2时等式成立，不在范围内，故选项D错误．故选：AC．【点评】本题主要考查了基本不等式及二次函数性质在最值求解中的应用，属于中档题．（多选）11．（5分）下列说法正确的是（）A．“a＞1，b＞1”是“（a﹣1）（b﹣1）＞0”的充分不必要条件B．“0＜a＜4”是“ax2+ax+1＞0在R上恒成立”的充要条件C．“a＜1”是“f（x）＝x2﹣ax在（1，+∞）上单调递增”的必要不充分条件D．已知a，b∈R，则“ab＞0”是“a3+a2b﹣a2﹣ab+a+b＞0”的既不充分也不必要条件【分析】根据充分必要条件的定义，对各个选项中的两个条件进行正反推理论证，即可得到本题的答案．【解答】解：对于选项A，a＞1，b＞1⇒a﹣1＞0，b﹣1＞0⇒（a﹣1）（b﹣1）＞0，反之，若（a﹣1）（b﹣1）＞0，则可能a＝b＝0，不能得出a＞1，b＞1．故“a＞1，b＞1”是“（a﹣1）（b﹣1）＞0”的充分不必要条件，A正确；对于选项B，ax2+ax+1＞0在R上恒成立，当a＝0时，可得1＞0恒成立，而区间（0，4）上没有0，故“0＜a＜4”不是“ax2+ax+1＞0在R上恒成立”的充要条件，B不正确；对于选项C，f（x）＝x2﹣ax在（1，+∞）上单调递增，可以推出是a⩽2的子集，故“a＜1”是“f（x）＝x2﹣ax在（1，+∞）上单调递增”的充分不必要条件，C不正确；对于选项D，a3+a2b﹣a2﹣ab+a+b＝a2（a+b）﹣a（a+b）+（a+b）＝（a+b）（a2﹣a+1），，ab＞0⇎（a+b）＞0，因此，“ab＞0”是“a3+a2b﹣a2﹣ab+a+b＞0”的既不充分也不必要条件，D正确．故选：AD．【点评】本题主要考查了充分条件与必要条件的判断、不等式的性质、二次函数的单调性等知识，属于基础题．（多选）12．（5分）已知x，y＞0且满足x2+y2+1＝（xy﹣1）2，则下列结论正确的是（）A．xy≥2B．x+y≥4C．x2+y2≥8D．x+4y≥9【分析】将所给等式化简整理，得到（x+y）2＝x2y2，结合x，y＞0可得x+y＝xy，．由此出发对各个选项逐一加以验证，即可得到本题的答案．【解答】解：根据题意，x2+y2+1＝（xy﹣1）2，即x2+y2＝x2y2﹣2xy，整理得x2+y2+2xy ＝x2y2，所以x2+y2+2xy＝x2y2，即（x+y）2＝x2y2，而x、y均为正数，故x+y＝xy，可得．对于A，，两边平方得x2y2≥4xy，可得xy≥4，故A错误；对于B，由A的计算可知x+y＝xy≥4，当且仅当x＝y＝2时取到等号，故B正确；对于C，x2+y2＝x2y2﹣2xy＝（xy﹣1）2+1≥32﹣1＝8，当且仅当x＝y＝2时取到等号，故C正确；对于D，，当且仅当x＝2y，即时取到等号，故D正确．故选：BCD．【点评】本题主要考查了不等式的性质、基本不等式及其应用等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题．三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知函数，则函数f（x）的定义域为[﹣2，1]．【分析】根据函数的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可．【解答】解：函数∴﹣x2﹣x+2⩾0，解得﹣2⩽x⩽1．∴函数的定义域为[﹣2，1]．故答案为：[﹣2，1]．【点评】本题主要考查函数定义域的求解，属于基础题．14．（5分）已知函数f （x ）满足，则函数f （x ）的解析式为．【分析】利用解方程组的方法求函数解析式即可．【解答】解：根据题意：①，令代替x ，可得②，①﹣②×2得：，∴函数f （x ）的解析式为．故答案为：．【点评】本题考查求函数解析式，属于基础题．15．（5分）已知函数，则f （﹣26）+f （﹣25）+⋯+f （﹣1）+f（1）+⋯+f （26）+f （27）的值为．【分析】根据已知条件，结合偶函数的性质，即可求解．【解答】解：令函数，可得函数f （x ）＝g （x ）+2，∵函数为奇函数，∴g （﹣x ）＝﹣g （x ）⇒g （﹣x ）+g （x ）＝0，f （﹣26）+f （﹣25）+⋯+f （﹣1）+f （1）+⋯+f （26）+f （27）＝g （﹣26）+g （﹣25）+⋯+g （﹣1）+g （1）+⋯+g （26）+g （27）+2×53＝g （27）+2×53＝．故答案为：．【点评】本题主要考查函数值的求解，属于基础题．16．（5分）已知x ，y ＞0且满足x +y ＝1，若不等式恒成立，记的最小值为n ，则m +n 的最小值为．【分析】由恒成立，可知左边的最小值大于等于9，因此求的最小值，结合基本不等式求出m+n的最小值．【解答】解：∵实数x，y＞0满足x+y＝1，∴x+y+1＝2，而＝，当时，等号成立，所以，解得m⩾8．而＝，令，则原式，当时，等号成立，∴实数n的值为，可得实数m+n的最小值为．故答案为：．【点评】本题主要考查基本不等式及其应用，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．四、解答题：共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，集合B＝{x|m﹣1＜x＜2m+1}．（1）当m＝3时，求A∪B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【分析】（1）把m＝3代入求得B，再由并集运算求解；（2）“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，得B⫋A，然后分B＝∅和B≠∅分别求解m 的范围，取并集得答案．【解答】解：（1）∵集合A＝{x|x2﹣2x﹣3⩽0}，由x2﹣2x﹣3⩽0，即（x+1）（x﹣3）⩽0，解得﹣1⩽x⩽3，∵集合B＝{x|m﹣1＜x＜2m+1}，当m＝3时，即B＝{x|2＜x＜7}，∴A∪B＝{x|﹣1⩽x＜7}．（2）“x∈A”足“x∈B”的必要不充分条件，可得集合B是集合A的真子集，当m﹣1⩾2m+1⇒m⩽﹣2时，集合B为空集，满足题意；当m﹣1＜2m+1⇒m＞﹣2时，集合B是集合A的真子集，可得，∴实数m的取值范围为{m|m⩽﹣2或0⩽m⩽1}．【点评】本题考查并集的运算，考查分类讨论思想，是中档题．18．（12分）已知函数f（x）＝（2m2﹣m）x2m+3是幂函数，且函数f（x）的图象关于y轴对称．（1）求实数m的值；（2）若不等式（a﹣1）m＜（2a﹣3）m成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）结合幂函数的性质，以及偶函数的性质，即可求解；（2）结合函数的性质，即可求解．【解答】解：（1）由题意可知，2m2﹣m＝1，解得m＝或1，又∵函数f（x）关于y轴对称，当，满足题意；当m＝1⇒f（x）＝x5，此时函数f（x）为奇函数，不满足题意，∴实数m的值为；（2）函数，分析可得该函数在（0，+∞）单调递减，∴由（a﹣1）m＜（2a﹣3）m可得：．∴实数a的取值范围为．【点评】本题主要考查函数的性质，是基础题．19．（12分）已知函数为定义在R上的奇函数．（1）求实数a，b的值；（2）求不等式|f（x）|≥3的解集．【分析】（1）当x＜0时，﹣x＞0，代入已知函数解析式，对比函数解析式即可求解a，b；（2）结合奇函数的对称性及二次不等式的求法即可求解．【解答】解：（1）根据题意：当x＜0时，﹣x＞0，则f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣[（﹣x）2+2（﹣x）]＝﹣x2+2x，故a＝﹣1，b＝2；（2）当x⩾0时，|f（x）|⩾3可得f（x）⩾3，即x2+2x⩾3⇒x2+2x﹣3⩾0，解得x⩾1，根据奇函数可得：|f（x）|⩾3的解集为{x|x⩾1或x⩽﹣1}．【点评】本题主要考查了奇函数的定义在函数解析式求解中的应用，还考查了奇函数的对称性在不等式求解中的应用，属于中档题．20．（12分）某高科技产品投入市场，已知该产品的成本为每件1000元，现通过灵活售价的方式了解市场，通过多日的市场销售数据统计可得，某店单日的销售额与日产量x（件）有关．当1≤x≤3时，单日销售额为（千元）；当3≤x≤6时，单日销售额为（千元）；当x＞6时，单日销售额为21（千元）．（1）求m的值，并求该产品日销售利润P（千元）关于日产量x（件）的函数解析式；（销售利润＝销售额﹣成本）（2）当日产量x为何值时，日销售利润最大？并求出这个最大值．【分析】（1）根据单日销售额函数，列方程求出m的值，再利用利润＝销售额﹣成本，即可得出日销售利润函数的解析式．（2）利用分段函数求出每个区间上的最大值，比较即可得出结论．【解答】解：（1）根据题意知，单日销售额为f（x）＝，因为f（3）＝+6+3＝+9，解得m＝，因为利润＝销售额﹣成本，所以日销售利润为P（x）＝，化简为P （x ）＝．（2）根据题意分析：①日销售利润P （x ）＝+x +3＝+（x +1）+2，令t ＝x +1＝2，3，4，所以函数为，分析可得当t ＝2时，取最大值，其最大值为；②日销售利润P （x ）＝+2x ＝+2x ＝﹣+2x ，该函数单调递增，所以当x ＝6时，P （x ）取最大值，此最大值为15；③日销售利润P （x ）＝21﹣x ，该函数单调递减，所以当x ＝7时，P （x ）取最大值，此最大值为14；综上知，当x ＝6时，日销售利润最大，最大值为15千元．【点评】本题考查了分段函数模型应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．21．（12分）已知a ，b ，c 是实数，且满足a +b +c ＝0，证明下列命题：（1）“a ＝b ＝c ＝0”是“ab +bc +ac ＝0”的充要条件；（2）“abc ＝1，a ≥b ≥c ”是“”的充分条件．【分析】（1）根据完全平方公式，等价变形，可证出结论；（2）利用基本不等式，结合不等式的性质加以证明，即可得到本题的答案．【解答】证明：（1）∵（a +b +c ）2＝a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac ，充分性：若a ＝b ＝c ＝0，则ab +bc +ac ＝0，充分性成立；必要性：若ab +bc +ac ＝0，由a +b +c ＝0，得（a +b +c ）2＝a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac ，所以a 2+b 2+c 2＝0，可得a ＝b ＝c ＝0，必要性成立．综上所述，a ＝b ＝c ＝0是ab +bc +ac ＝0的充要条件；（2）由a ⩾b ⩾c ，且abc ＝1＞0，可知a ＞0，b ＜0，c ＜0，由a +b +c ＝0，得，当且仅当b ＝c 时等号成立，由，得，a 3⩾4，可知≤a ＝﹣b ﹣c ≤﹣2c ，解得，因此，abc＝1且a⩾b⩾c是的充分条件．【点评】本题主要考查等式的恒等变形、不等式的性质与基本不等式等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．22．（12分）已知函数f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），满足f（0）＝1，f（1）＝3．（1）若函数f（x）有最小值，且此最小值为，求函数f（x）的解析式；（2）记g（a）为函数f（x）在区间[1，2]上的最大值，求g（a）的表达式．【分析】（1）根据题意，由f（0）＝1，f（1）＝3分析可得f（x）＝ax2+（2﹣a）x+1，由二次函数的最小值求出a的值，进而计算可得答案；（2）根据题意，由二次函数的性质分a＞0与a＜0两种情况讨论，分析g（a）的解析式，综合可得答案．【解答】解：（1）根据题意，函数f（x）＝ax2+bx+c满足f（0）＝1，f（1）＝3，则有f（0）＝c＝1，f（1）＝a+b+c＝3，变形可得b＝2﹣a，函数f（x）＝ax2+（2﹣a）x+1，∵函数f（x）有最小值，∴a＞0，函数f（x）的最小值为＝，解可得：a＝4或1，∴当a＝4时，b＝﹣2，函数f（x）的解析式为f（x）＝4x2﹣2x+1；当a＝1时，b＝1，函数f（x）的解析式为f（x）＝x2+x+1．（2）根据题意，由（1）的结论，f（x）＝ax2+（2﹣a）x+1，是二次函数，分2种情况讨论：①当a＞0时，i．当对称轴时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值g（a）＝f（2）＝2a+5，ii．当对称轴时，与a＞0矛盾，故当a＞0时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值g（a）＝2a+5；②当a＜0时，i．当对称轴时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值g（a）＝f（1）＝3，ii．当对称轴时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值，iii．当对称轴时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值g（a）＝f（2）＝2a+5．综上所述，【点评】本题考查函数的最值，涉及二次函数的性质，属于中档题．。

2018-2019学年上海市浦东新区高二（下）期中数学试卷一.填空题1.已知(0,0)O 、(1,1)A ，则直线OA 的倾斜角为_____ 【答案】4π 【解析】【分析】本题首先可以根据两点坐标求出直线的斜率，然后根据直线的斜率与直线的倾斜角之间的关系即可写出它的倾斜角。

【详解】由题意可知点()()0,01,1O A 、，则直线OA 的斜率为10110k -==-， 令直线的倾斜角为θ，因为tan θk =，所以直线OA 的倾斜角为4π，故答案为4π。

【点睛】本题考查了直线的相关性质，主要考查了直线的斜率与倾斜角的计算问题，考查了推理能力，斜率与倾斜角之间的关系为tan θk =，是基础题。

2.经过点()10P ，，且与y 轴平行的直线方程为_____ 【答案】1x =【解析】【分析】本题首先可以根据直线与y 轴平行得出直线方程的斜率不存在，直线方程为0x x =，然后根据点p 坐标即可得出直线方程的解析式。

【详解】过点()1,0P ，且与y 轴平行的直线方程为1x =，故答案为：1x =．【点睛】本题考查了直线的相关性质，主要考查了直线方程的求法与应用问题，考查与y 轴平行的直线的相关性质，考查推理能力，是基础题．3.抛物线24y x =的准线方程为_____．【答案】1x =-【解析】【分析】本题利用抛物线的标准方程得出抛物线的准线方程。

【详解】由抛物线方程可知，抛物线24y x =的准线方程为：1x =-．故答案：1x =-． 【点睛】本题考查抛物线的相关性质，主要考查抛物线的简单性质的应用，考查抛物线的准线的确定，是基础题。

4.圆心为()1,1C ，半径为1的圆的方程是_____【答案】()()22111x y -+-=【解析】【分析】本题利用圆的标准方程以及题意中给出的圆心坐标和半径即可得出结果。

【详解】圆心为()1,1C ，半径为1的圆的方程是：()()22111x y -+-=． 故答案为：()()22111x y -+-=． 【点睛】本题考查圆的相关性质，主要考查圆的标准方程的求法，根据圆心以及半径即可写出圆的标准方程，是简单题。

2020-2021学年上海市闵行中学、文绮中学联考高一（下）期末数学试卷试题数：25，总分：1501.（填空题，4分）已知P （4，-3）是角α终边上一点，则sinα=___ ．2.（填空题，4分）已知向量 a ⃗ =（2，3）， b ⃗⃗ =（3，2），则| a ⃗ −b ⃗⃗ |=___ ．3.（填空题，4分）1与9的等比中项为___ ．4.（填空题，4分）已知复数z 满足z 2+4i=0，则|z|=___ ．5.（填空题，4分）已知复数z 满足方程z 2-3z+9=0，则|z|=___ ．6.（填空题，4分）等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 4=1，则S 7=___ ．7.（填空题，4分）如图，在高速公路建设中，要确定隧道AB 的长度，工程人员测得隧道两端的A ，B 两点到C 点的距离分别为AC=3km ，BC=4km ，且∠ACB=60°，则隧道AB 长度为 ___ km ．8.（填空题，4分）若 π2 ≤α≤3π2 ，且sin （2 α+π6 ）= 12 ，则α=___ ．9.（填空题，4分）若函数y=sin （ωx+φ）（ω＞0）的部分图象如图，则ω=___ ．10.（填空题，4分）已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足 AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗) ，则 PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•PD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =___ ．11.（填空题，4分）已知数列{a n }为等差数列，a 1＜0且a 1+a 2+a 3+…+a 199=0，设b n =a n a n+1a n+2（n∈N*），当{b n }的前n 项和S n 最小时，n 的值组成的集合为 ___ ． 12.（填空题，4分）方程16sinπxcosπx=16x+ 1x 的解的集合是___ ．13.（填空题，4分）已知复数Z n =a n +b n i （a n 、b n ∈R ），满足Z 1=1，Z n+1= Z n +1+2i （n∈N*），其中i 为虚数单位， Z n 表示Z n 的共轭复数，则Z 100=___ ．14.（填空题，4分）正方形ABCD 的边长为4，O 是正方形ABCD 的中心，过中心O 的直线l 与边AB 交于点M ，与边CD 交于点N ，P 为平面上一点，满足 2OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+(1−λ)OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为___ ． 15.（单选题，4分）设复数z=a+bi （其中a 、b∈R ，i 为虚数单位），则“a=0”是“z 为纯虚数”的（ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件D.既非充分又非必要条件16.（单选题，4分）已知单位向量 a ⃗ ， b ⃗⃗ 满足| b ⃗⃗ -2 a ⃗ |= √3 ，则 a ⃗ • b ⃗⃗ =（ ） A.- 12 B.-2 C. 12 D.217.（单选题，4分）设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1=3+4i ，则z 1z 2=（ ） A.-25 B.25 C.7-24i D.-7-24i18.（单选题，4分）关于等差数列和等比数列，下列四个选项中正确的是（ ） A.若数列{a n }的前n 项和S n =an 2+bn+c （a ，b ，c 为常数）则数列{a n }为等差数列 B.若数列{a n }的前n 项和S n =2n+1-2，则数列{a n }为等差数列C.数列{a n }是等差数列，S n 为前n 项和，则S n ，S 2n -S n ，S 3n -S 2n ，…仍为等差数列D.数列{a n }是等比数列，S n 为前n 项和，则S n ，S 2n -S n ，S 3n -S 2n ，…仍为等比数列19.（单选题，4分）已知α，β，γ是互不相同的锐角，则在sinαcosβ，sinβcosγ，sinγcosα三个值中，大于 12的个数的最大值是（ ） A.0 B.1 C.2 D.320.（单选题，4分）已知数列{a n}、{b n}、{c n}，以下两个命题：① 若{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是递增数列，则{a n}、{b n}、{c n}都是递增数列；② 若{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是等差数列，则{a n}、{b n}、{c n}都是等差数列；下列判断正确的是（）A. ① ② 都是真命题B. ① ② 都是假命题C. ① 是真命题，② 是假命题D. ① 是假命题，② 是真命题π，|a⃗|=1，|b⃗⃗|=2．21.（问答题，12分）已知向量a⃗、b⃗⃗的夹角为23（1）求a⃗• b⃗⃗的值（2）若2a⃗−b⃗⃗和ta⃗+b⃗⃗垂直，求实数t的值．．22.（问答题，12分）已知等比数列{a n}的公比q=3，前3项和S3= 133（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；处取得最大值，且最大值为（Ⅱ）若函数f（x）=Asin（2x+φ）（A＞0，0＜φ＜π）在x=π6a3，求函数f（x）的解析式．23.（问答题，14分）如图所示，甲船在距离A港口24海里，并在南偏西20°方向的C处驻留等候进港，乙船在A港口南偏东40°方向的B处沿直线行驶入港，甲、乙两船距离为31海里．（1）求∠ABC的大小；（2）当乙船行驶20海里到达D处，接到港口指令，前往救援忽然发生火灾的甲船，此时甲、乙两船之间的距离为多少？24.（问答题，14分）已知复数z1=2cosθ+isinθ，z2=1-isinθ，其中i为虚数单位，θ∈R．（1）当z1，z2是实系数一元二次方程x2+mx+n=0的两个虚根时，求m、n的值．（2）求|z1• z2 |的值域．25.（问答题，18分）若数列{a n}满足条件：存在正整数k，使得a n+k+a n-k=2a n对一切n∈N*，n＞k都成立，则称数列{a n}为k级等差数列．（1）若数列{a n}为1级等差数列，a1=1，a3=9，求数列{a n}的前n项和S n；（2）已知数列{a n}为2级等差数列，且前四项分别为2，0，4，3，求a5，a6及数列{a n}的前2n项和S2n；（3）若a n=2n+sinωn（ω为常数），且{a n}是3级等差数列，求ω所有可能值的集合．2020-2021学年上海市闵行中学、文绮中学联考高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：25，总分：1501.（填空题，4分）已知P（4，-3）是角α终边上一点，则sinα=___ ．【正确答案】：[1]- 35【解析】：由题意利用任意角的三角函数的定义，求得sinα的值．【解答】：解：∵P（4，-3）是角α终边上一点，则x=4，y=-3，r=|OP|= √16+9 =5，∴sinα= yr = −35=- 35，故答案为：- 35．【点评】：本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．2.（填空题，4分）已知向量a⃗ =（2，3），b⃗⃗ =（3，2），则| a⃗−b⃗⃗ |=___ ．【正确答案】：[1] √2【解析】：根据平面向量的坐标表示与模长公式，计算即可．【解答】：解：向量a⃗ =（2，3），b⃗⃗ =（3，2），则a⃗−b⃗⃗ =（-1，1），所以| a⃗−b⃗⃗ |= √(−1)2+12 = √2．故答案为：√2．【点评】：本题考查了平面向量的坐标表示与模长计算问题，是基础题．3.（填空题，4分）1与9的等比中项为___ ．【正确答案】：[1]±3【解析】：直接利用等比中项的应用求出结果．【解答】：解：设1与9的等比中项为t ， 所以t 2=9，解得t=±3． 故答案为：±3【点评】：本题考查的知识要点：等比中项，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．4.（填空题，4分）已知复数z 满足z 2+4i=0，则|z|=___ ． 【正确答案】：[1]2【解析】：将z=a+bi ，代入方程z 2+4i=0，解得 {a =√2b =−√2 或 {a =−√2b =√2，再结合复数的模的公式，即可求解．【解答】：解：∵z=a+bi ，a ，b∈R ，z 2+4i=0， ∴a 2+2abi-b 2+4i=0，∴ {a 2−b 2=02ab +4=0 ，解得 {a =√2b =−√2 或 {a =−√2b =√2， ∴ |z |=√a 2+b 2=2 ． 故答案为：2．【点评】：本题考查了复数模的公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题． 5.（填空题，4分）已知复数z 满足方程z 2-3z+9=0，则|z|=___ ． 【正确答案】：[1]3【解析】：设z=a+bi ，a ，b∈R ，将z 代入方程中，可得 {a 2−b 2−3a +9=02ab −3b =0，解得a= 32 ，b =±3√32，再结合复数模的公式，即可求解．【解答】：解：设z=a+bi ，a ，b∈R ， ∵z 2-3z+9=0，∴a 2-b 2+2abi-3a-3bi+9=0，∴ {a 2−b 2−3a +9=02ab −3b =0，解得a= 32 ， b =±3√32 ， ∴ z =32±3√32， ∴ |z |=√(32)2+(±3√32)2=3 ．故答案为：3．【点评】：本题考查了复数模的求法，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．6.（填空题，4分）等差数列{a n}的前n项和为S n，a4=1，则S7=___ ．【正确答案】：[1]7【解析】：先由等差数列的性质可得a1+a7=2a4，再根据等差数列的求和公式代入即可．【解答】：解：根据题意，等差数列{a n}中，a1+a7=2a4，则S7= a1+a72×7=7a4=7，故答案为7．【点评】：本题考查等差数列的前n项和公式，以及等差数列的性质应用，属于基础题．7.（填空题，4分）如图，在高速公路建设中，要确定隧道AB的长度，工程人员测得隧道两端的A，B两点到C点的距离分别为AC=3km，BC=4km，且∠ACB=60°，则隧道AB长度为___ km．【正确答案】：[1] √13【解析】：应用利用余弦定理求得AB的长度即可．【解答】：解：由余弦定理可得：AB=√AC2+BC2−2AC⋅AC⋅cosC=√9+16−2×3×4×12=√13 km．故答案为：√13．【点评】：本题主要考查余弦定理及其应用，属于基础题．8.（填空题，4分）若π2≤α≤3π2，且sin（2 α+π6）= 12，则α=___ ．【正确答案】：[1]π或4π3【解析】：由已知求解α的集合，再由α的范围得答案．【解答】：解：∵sin（2 α+π6）= 12，∴ 2α+π6=π6+2kπ或2α+π6=5π6+2kπ，k∈Z．则α=kπ或α=π3+kπ，k∈Z．又π2≤α≤3π2，∴α=π或α=4π3．故答案为：π或 4π3 ．【点评】：本题考查已知三角函数值求角，是基础的计算题．9.（填空题，4分）若函数y=sin （ωx+φ）（ω＞0）的部分图象如图，则ω=___ ．【正确答案】：[1]4【解析】：利用函数图象已知的两点的横坐标的差值，求出函数的周期，然后求解ω．【解答】：解：由函数的图象可知，（x 0，y 0）与（x 0+ π4 ，-y 0），纵坐标相反，而且不是相邻的对称点，所以函数的周期T=2（x 0+ π4 -x 0）= π2 ， 所以T= 2πω= π2，所以ω=4． 故答案为：4．【点评】：本题考查三角函数解析式以及函数的周期的求法，考查学生的视图用图能力． 10.（填空题，4分）已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足 AP⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗) ，则 PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•PD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =___ ．【正确答案】：[1]-1【解析】：画出图形，判断P 的位置，利用向量的坐标运算求解向量的数量积即可．【解答】：解：建立坐标系如图，正方形ABCD 的边长为2，则B （2，0），C （2，2），D （0，2），点P 满足 AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗) ， 所以P （2，1）， PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（0，-1）， PD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（-2，1）， 所以 PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•PD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-1． 故答案为：-1．【点评】：本题考查向量的数量积的求法与应用，考查转化思想以及计算能力，是基础题．11.（填空题，4分）已知数列{a n}为等差数列，a1＜0且a1+a2+a3+…+a199=0，设b n=a n a n+1a n+2（n∈N*），当{b n}的前n项和S n最小时，n的值组成的集合为 ___ ．【正确答案】：[1]{97，98，99，100}【解析】：根据{a n}是等差数列，a1+a2+a3+…+a199=0可得199a100=0，即a100=0，又a1＜0，所以{a n}满足：当1≤n≤99时，a n＜0；当n=100时，a n=0；当n≥101时，a n＞0，从而数列{b n}满足：当n≤97时，b n＜0；b98=b99=b100=0，当n≥101时，b n＞0，所以S97=S98=S99=S100，所以{b n}的前n项和S n最小时，可知n的值组成的集合，【解答】：解：由{a n}是等差数列且a1+a2+a3+…+a199=0，得199a100=0，解得a100=0，又a1＜0，所以{a n}是首项小于零的递增数列，即当1≤n≤99时，a n＜0；当n=100时，a n=0；当n≥101时，a n＞0，又b n=a n a n+1a n+2（n∈N*），则当n≤97时，b n＜0；b98=b99=b100=0，当n≥101时，b n＞0，即S97=S98=S99=S100，所以当{b n}的前n项和S n最小时，n的值组成的集合为{97，98，99，100}．故答案为：{97，98，99，100}．【点评】：本题主要考查等差数列的性质与前n项和，考查推理论证和运算求解的能力，属于基础题．12.（填空题，4分）方程16sinπxcosπx=16x+ 1x的解的集合是___ ．【正确答案】：[1]{- 14，14}【解析】：讨论x＞0时，方程的右边的最值，再由二倍角的正弦公式和正弦函数的值域，可得方程左边的最值，即可得到所求方程的解集．【解答】：解：当x＞0时，16x+ 1x ≥2 √16x•1x=8，当且仅当x= 14时，取得等号；而16sinπxcosπx=8sin2πx≤8，当且仅当2πx=2kπ+ π2，即x=k+ 14，k∈Z，于是，当x＞0时，有且只有一个实数解x= 14，由于y=16sinπxcosπx-16x- 1x为奇函数，可得x=- 14也是方程y=0的一个解，则原方程的解集为{- 14，14}，故答案为：{- 14，14}．【点评】：本题考查方程的解的集合，注意运用基本不等式和正弦函数的值域，考查函数的奇偶性的运用，考查运算能力，属于中档题．13.（填空题，4分）已知复数Z n=a n+b n i（a n、b n∈R），满足Z1=1，Z n+1= Z n +1+2i（n∈N*），其中i为虚数单位，Z n表示Z n的共轭复数，则Z100=___ ．【正确答案】：[1]100+2i【解析】：先求出Z n+1=Z n+1+2i=a n+1+(2−b n)i，结合Z n+1=a n+1+b n+1i，得到a n+1-a n=1，b n+1+b n=2，由等差数列的定义和通项公式求出a n=n，由周期性求出b100，即可得到答案．【解答】：解：因为Z1=1，Z n+1= Z n +1+2i，则Z2=a2+b2i= Z1+1+2i=2+2i，所以a1=1，a2=2，b1=0，b2=2，则Z n=a n−b n i，所以Z n+1=Z n+1+2i=a n+1+(2−b n)i，又Z n=a n+b n i，则Z n+1=a n+1+b n+1i，所以a n+1=a n+1，b n+1=2-b n，故a n+1-a n=1，b n+1+b n=2，所以数列{a n}是首项为1，公差为1的等差数列，则a n=n，故a 100=100，因为b 1=0，b 2=2，所以b 3=0，b 4=2，•••，b 100=2， 则Z 100=a 100+b 100i=100+2i ． 故答案为：100+2i ．【点评】：本题考查了复数与数列的综合应用，等差数列定义以及通项公式的运用，递推数列的运用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．14.（填空题，4分）正方形ABCD 的边长为4，O 是正方形ABCD 的中心，过中心O 的直线l 与边AB 交于点M ，与边CD 交于点N ，P 为平面上一点，满足 2OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+(1−λ)OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为___ ． 【正确答案】：[1]-7【解析】：建立坐标系，根据 2OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+(1−λ)OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求出P 点坐标，设出M ，N 坐标分别为（a ，-2），（-a ，2），将 PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 转化为关于a ，λ的函数，即可得到其最小值．【解答】：解：如图，以O 为坐标原点，以过O 且平行于AB 的直线为x 轴，以过O 且垂直于AB 的直线为y 轴建立坐标系， 则B （2，-2），C （2，2），∴2 OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = λOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +（1-λ） OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ（2，-2）+（1-λ）（2，2）=（2，2-4λ），∴ OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（1，1-2λ） 即P 点坐标为（1，1-2λ），设M （a ，-2），则N （-a ，2），-2≤a≤2， ∴ PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（a-1，2λ-3）， PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（-a-1，2λ+1） ∴ PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（a-1）（-a-1）+（2λ-3）（2λ+1）=1-a 2+4λ2-4λ-3， 当a=±2且λ=- −42×4 = 12 时， PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 有最小值-7． 故答案为：-7．【点评】：本题考查了向量的线性运算，向量的数量积运算，向量的坐标运算，函数的最小值的求法，考查分析和解决问题的能力和推理运算能力，属于中档题．15.（单选题，4分）设复数z=a+bi（其中a、b∈R，i为虚数单位），则“a=0”是“z为纯虚数”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【正确答案】：B【解析】：根据复数的概念可得当a=0，且b≠0时，z为纯虚数，再根据充分条件，必要条件的定义可以判断．【解答】：解：复数z=a+bi（其中a、b∈R，i为虚数单位），当a=0，且b≠0时，z为纯虚数，则“a=0”是“z为纯虚数”必要非充分条件，故选：B．【点评】：本题考查了复数的概念，以及充分条件，必要条件，属于基础题．16.（单选题，4分）已知单位向量a⃗，b⃗⃗满足| b⃗⃗ -2 a⃗ |= √3，则a⃗• b⃗⃗ =（）A.- 12B.-2C. 12D.2【正确答案】：C【解析】：由已知结合向量数量积的性质即可直接求解．【解答】：解：因为| a⃗ |=| b⃗⃗ |=1，| b⃗⃗ -2 a⃗ |= √3，两边同时平方得，b⃗⃗2+4a⃗2−4a⃗•b⃗⃗ =3，．故a⃗•b⃗⃗ = 12故选：C．【点评】：本题主要考查了向量数量积的性质，属于基础题．17.（单选题，4分）设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=3+4i，则z1z2=（）A.-25B.25C.7-24iD.-7-24i【正确答案】：A【解析】：由已知求得z2，然后直接利用复数代数形式的乘法运算求解z1z2的值．【解答】：解：由复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，且z1=3+4i，得z2=-3+4i，∴z1z2=（3+4i）（-3+4i）=（4i）2-32=-16-9=-25．故选：A．【点评】：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．18.（单选题，4分）关于等差数列和等比数列，下列四个选项中正确的是（）A.若数列{a n}的前n项和S n=an2+bn+c（a，b，c为常数）则数列{a n}为等差数列B.若数列{a n}的前n项和S n=2n+1-2，则数列{a n}为等差数列C.数列{a n}是等差数列，S n为前n项和，则S n，S2n-S n，S3n-S2n，…仍为等差数列D.数列{a n}是等比数列，S n为前n项和，则S n，S2n-S n，S3n-S2n，…仍为等比数列【正确答案】：C【解析】：A、B选项利用和与项之间的关系求出前3项，通过前3项的规律来判断；C、D选项为等差等比数列的片段和性质．也可以通过等差等比数列的前n项和的函数性质进行判断．【解答】：解：A选项，a1=S1=a+b+c，a2=S2-S1=3a+b，a3=S3-S2=5a+b，当c≠0时，a3-a2≠a2-a1，故A选项说法错误．B选项，a1=S1=2，a2=S2-S1=4，a3=S3-S2=8，a1，a2，a3不成等差数列，所以B选项说法错误．D选项，若a n=(−1)n，则当n为偶数时，S n=0，所以S n，S2n-S n，S3n-S2n，⋯不成等比数列，所以D选项说法错误．C选项，设数列{a n}的公差为d，则（S2n-S n）-S n=（a n+1+⋯+a2n）-（a1+⋯+a n）=（a n+1-a1）+⋯+（a2n-a n）=n2d，同理可得(S(k+1)n−S kn)−(S kn−S(k−1)n)=n2d，所以C选项说法正确．故选：C．【点评】：本题考查数列中和与项之间的关系和等差、等比数列的判断，属于中档题．19.（单选题，4分）已知α，β，γ是互不相同的锐角，则在sinαcosβ，sinβcosγ，sinγcosα三个值中，大于12的个数的最大值是（）A.0B.1C.2D.3【正确答案】：C【解析】：首先利用基本不等式确定sinαcosβ+sinβcosγ+sinγcosα 的取值范围，确定个数的上限，然后利用特殊角确定满足题意的个数即可．【解答】：解：由基本不等式可得：sinαcosβ≤sin 2α+cos2β2，sinβcosγ≤sin2β+cos2γ2，sinγcosα≤sin2γ+cos2α2，三式相加，可得：sinαcosβ+sinβcosγ+sinγcosα≤32，很明显sinαcosβ，sinβcosγ，sinγcosα 不可能均大于12．取α=30°，β=60°，γ=45°，则sinαcosβ=14＜12，sinβcosγ=√64＞12，sinγcosα=√64＞12，则三式中大于12的个数的最大值为2，故选：C．【点评】：本题主要考查三角函数的性质，基本不等式求最值的方法，同角三角函数基本关系等知识，属于难题．20.（单选题，4分）已知数列{a n}、{b n}、{c n}，以下两个命题：① 若{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是递增数列，则{a n}、{b n}、{c n}都是递增数列；② 若{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是等差数列，则{a n}、{b n}、{c n}都是等差数列；下列判断正确的是（）A. ① ② 都是真命题B. ① ② 都是假命题C. ① 是真命题， ② 是假命题D. ① 是假命题， ② 是真命题 【正确答案】：D【解析】：对于 ① 不妨设a n =2n ，b n =3n 、c n =sinn ，满足{a n +b n }、{b n +c n }、{a n +c n }都是递增数列，但是不满足c n =sinn 是递增数列， 对于 ② 根据等差数列的性质和定义即可判断．【解答】：解：对于 ① 不妨设a n =2n ，b n =3n 、c n =sinn ，∴{a n +b n }、{b n +c n }、{a n +c n }都是递增数列，但c n =sinn 不是递增数列，故为假命题， 对于 ② {a n +b n }、{b n +c n }、{a n +c n }都是等差数列，不妨设公差为分别为a ，b ，c ， ∴a n +b n -a n-1-b n-1=a ，b n +c n -b n-1-c n-1=b ，a n +c n -a n-1-c n-1=c ， 设{a n }，{b n }、{c n }的公差为x ，y ，z ， ∴ {x +y =a y +z =b z +x =c 则x=a−b+c 2 ，y= a+b−c 2 ，z= b+c−a2， 故若{a n +b n }、{b n +c n }、{a n +c n }都是等差数列，则{a n }、{b n }、{c n }都是等差数列，故为真命题， 故选：D ．【点评】：本题考查了等差数列的性质和定义，以及命题的真假，属于基础题． 21.（问答题，12分）已知向量 a ⃗ 、 b ⃗⃗ 的夹角为 23π，|a ⃗|=1，|b ⃗⃗|=2 ． （1）求 a ⃗ • b⃗⃗ 的值 （2）若 2a ⃗−b ⃗⃗ 和 ta ⃗+b ⃗⃗ 垂直，求实数t 的值．【正确答案】：【解析】：（1）利用数量积公式直接求解得答案；（2）依题意， (2a ⃗−b ⃗⃗)(ta ⃗+b ⃗⃗)=0 ，展开即可求得实数t 的值．【解答】：解：（1）a⃗•b⃗⃗=|a⃗||b⃗⃗|cos2π3=1×2×(−12)=−1；（2）∵ 2a⃗−b⃗⃗和ta⃗+b⃗⃗垂直，∴ (2a⃗−b⃗⃗)•(ta⃗+b⃗⃗)=0，即2ta⃗2+(2−t)a⃗•b⃗⃗−b⃗⃗2=0，∴2t-（2-t）-4=0，∴t=2．【点评】：本题考查平面向量的数量积及两向量垂直的关系，属于基础题．22.（问答题，12分）已知等比数列{a n}的公比q=3，前3项和S3= 133．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若函数f（x）=Asin（2x+φ）（A＞0，0＜φ＜π）在x=π6处取得最大值，且最大值为a3，求函数f（x）的解析式．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）根据等比数列的前n项和的公式及q=3化简S3= 133，得到关于首项的方程，求出方程的解得到首项的值，然后根据首项和公比即可写出数列的通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）求出的通项公式求出a3的值，即可得到A的值，然后把x=π6代入正弦函数中得到函数值等于1，根据φ的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出φ的值，把φ的值代入即可确定出f（x）的解析式．【解答】：解：（Ⅰ）由q=3，S3= 133得：a1(1−33)1−3= 133，解得a1= 13，所以a n= 13×3n-1=3n-2；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知a n=3n-2，所以a3=3，因为函数f（x）的最大值为3，所以A=3；又因为当x= π6时，f（x）取得最大值，所以sin（2× π6+φ）=1，由0＜φ＜π，得到φ= π6．则函数f（x）的解析式为f（x）=3sin（2x+ π6）．【点评】：此题考查学生灵活运用等比数列的前n项和的公式及通项公式化简求值，掌握正弦函数的图象与性质以及会利用待定系数法求函数的解析式，是一道中档题．23.（问答题，14分）如图所示，甲船在距离A港口24海里，并在南偏西20°方向的C处驻留等候进港，乙船在A港口南偏东40°方向的B处沿直线行驶入港，甲、乙两船距离为31海里．（1）求∠ABC的大小；（2）当乙船行驶20海里到达D处，接到港口指令，前往救援忽然发生火灾的甲船，此时甲、乙两船之间的距离为多少？【正确答案】：【解析】：（1）首先由正弦定理求得正弦值，然后结合大边对大角即可确定∠ABC的大小；（2）首先利用（1）的结合结合同角三角函数基本关系求得cos∠ABC的大小，然后结合余弦定理即可求得甲乙两船之间的距离．【解答】：解：（1）根据题意知，AC=24，BC=31，∠CAD=20°+40°=60°，在△ABC中，由正弦定理得，24sin∠ABC =31sin60°．解得sin∠ABC=12√331，由AC＜BC，知∠ABC为锐角，则∠ABC=arcsin12√331．（2）cos∠ABC=√1−sin2∠ABC=2331，在△BCD中，由余弦定理得，CD=√312+202−2×31×20×2331=21（海里），所以，此时甲、乙两船之间的距为21海里．【点评】：本题主要考查正弦定理解三角形，余弦定理解三角形，解三角形的实际应用等知识，属于中等题．24.（问答题，14分）已知复数z1=2cosθ+isinθ，z2=1-isinθ，其中i为虚数单位，θ∈R．（1）当z1，z2是实系数一元二次方程x2+mx+n=0的两个虚根时，求m、n的值．（2）求|z1• z2 |的值域．【正确答案】：【解析】：（1）由于z1，z2是方程3x2-2x+c=0的两个复数根故z1= z2，求出θ，再根据根与系数的关系可求出m，n．（2）直接求出|z1• z2 |的表达式，利用三角函数以及二次函数的性质，求出值域即可．【解答】：解：（1）复数z1=2cosθ+isinθ，z2=1-isinθ，z1，z2是实系数一元二次方程x2+mx+n=0的两个虚根，所以z1= z2，即2cosθ+isinθ=1+isinθ，所以{2cosθ=1 sinθ=sinθ，所以cosθ= 12．m=-z1-z2=-（z1+z2）=-2cosθ-1=-2．n=z1•z2=1+sin2θ= 74．（2）|z1• z2 |=|（2cosθ+isinθ）（1+isinθ）| =|（2cosθ+isinθ）||（1+isinθ）|= √(1+3cos2θ)(1+sin2θ)= √2+2cos2θ+34sin22θ= √3+cos2θ+34−34cos22θ= √154+cos2θ−34cos22θ= √4912−34(cos2θ−13)2∈ [√2，7√36]．【点评】：本题考查复数的代数表示法及其几何意义，复数的基本概念，三角函数的有界性，是综合试题．25.（问答题，18分）若数列{a n}满足条件：存在正整数k，使得a n+k+a n-k=2a n对一切n∈N*，n＞k都成立，则称数列{a n}为k级等差数列．（1）若数列{a n}为1级等差数列，a1=1，a3=9，求数列{a n}的前n项和S n；（2）已知数列{a n}为2级等差数列，且前四项分别为2，0，4，3，求a5，a6及数列{a n}的前2n项和S2n；（3）若a n=2n+sinωn（ω为常数），且{a n}是3级等差数列，求ω所有可能值的集合．【正确答案】：【解析】：（1）当k=1时，a n-1+a n+1=2a n，数列{a n}为等差数列，根据条件，由等差数列前n项公式求得即可；（2）当k=2时，a n+2+a n-2=2a n，由条件得a5，a6，由数列{a n}中奇数项是首项和公差均为2的等差数列，偶数项是首项为0、公差为3的等差数列，结合等差数列的求和公式可得所求和；（3）由3级等差数列的定义和三角函数的和差化积公式，计算可得所求集合．【解答】：解：（1）若数列{a n}为1级等差数列，即为a n+1+a n-1=2a n对一切n∈N*，n＞1都成立．则数列{a n}为等差数列，设公差为d，由a1=1，a3=9，可得d= a3−a13−1 = 9−13−1=4，则S n=n+ 12n（n-1）•4=2n2-n；（2）数列{a n}为2级等差数列，且前四项分别为2，0，4，3，可得a n+2+a n-2=2a n对一切n∈N*，n＞2都成立．a5=2a3-a1=8-2=6，a6=2a4-a2=6-0=6，a7=2a5-a3=12-4=8，…，可得数列{a n}中奇数项是首项和公差均为2的等差数列，偶数项是首项为0、公差为3的等差数列，则S2n=（a1+a3+…+a2n-1）+（a2+a4+…+a2n）=2n+ 12 n（n-1）•2+ 12n（n-1）•3= 52 n2- 12n；（3）∵{a n}是3级等差数列，∴a n+3+a n-3=2a n，对一切n∈N*，n＞3都成立．即2（2n+sinωn）=2（n+3）+sin（ωn+3ω）+2（n-3）+sin（ωn-3ω）（n∈N*），∴2sinωn=sin（ωn+3ω）+sin（ωn-3ω）=2sinωncos3ω（n∈N*），∴sinωn=0，或cos3ω=1．sinωn=0对n∈N*恒成立时，ω=kπ（k∈Z）．，（k∈Z），cos3ω=1时，3ω=2kπ（k∈Z），∴ω= 2kπ3∴ω∈{ω|ω= 2kπ，k∈Z}∪{ω|ω=kπ，k∈Z}．3【点评】：本题考查数列递推式，考查等差数列的性质，是新定义题，关键是对k级等差数列概念的理解，考查逻辑思维能力和推理论证能力，是有一定难度题目．。