第2卷第2期 智 能 系 统 学 报 Vol.2№.22007年4月 CAA I Transactions on Intelligent Systems Apr.2007复杂网络上的演化博弈王 龙,伏 锋,陈小杰,王 靖,李卓政,谢广明,楚天广(北京大学工学院,北京100871)摘 要:主要介绍了近年来复杂网络上的演化博弈研究现状和研究方向.复杂网络理论的发展为描述博弈关系提供了系统且方便的框架,网络上的节点表示博弈个体,边代表与其邻居的博弈关系.介绍了经典演化博弈论中的演化稳定策略概念和复制动力学方程,以及二者的相互联系.介绍了混合均匀有限人口中随机演化动力学问题,并给出了与确定复制方程的相互转化关系.介绍了小世界、无标度等复杂网络上演化博弈的研究结论,给出了复杂网络上演化博弈论的未来发展方向.关键词:演化博弈论;复制动力学;演化稳定策略;复杂网络;有限人口;合作中图分类号:N949 文献标识码:A 文章编号:167324785(2007)022*******Evolutionary games on complex net w orksWAN G Long ,FU Feng ,C H EN Xiao 2jie ,WAN G Jing ,L I Zhuo 2zheng ,XIE Guang 2ming ,C HU Tian 2guang(College of Engineering ,Peking University ,Beijing 100871,China )Abstract :In t his survey ,recent develop ment s and f ut ure directions of evolutionary games on complex net 2works are p resented.The develop ment of complex network t heory provides a systematic and convenient f ramework for description of t he dynamical interactions of games.The vertices represent players ,while t he edges denote t he links between players in terms of game dynamical interaction.First ,some important concept s of evolutionarily stable strategy and replicator dynamics are int roduced ,and t he connection be 2tween t he evolutio narily stable st rategy and replicator dynamics is established.Then ,t he stochastic evolu 2tionary dynamics of finite well 2mixed pop ulatio ns and t heir relationship to t he deterministic replicator dy 2namics are presented.Some result s on fixed probability and time are also given.Furt hermore ,some recent result s of evolutionary games on complex networks such as small 2world and scale 2f ree networks are int ro 2duced.Finally ,unresolved open p roblems ,f ut ure research directions ,and possible application areas for evolutionary games on complex networks are pointed out.K eyw ords :evolutionary game ;replicator dynamics ;evolutionarily stable strategy ;complex networks ;fi 2nite pop ulations ;cooperation收稿日期:2006212218.基金项目:国家自然科学基金资助项目(60674050,60528007);973国家重点基础研究发展计划资助项目(2002CB312200);863国家高技术研究发展计划资助项目(2006AA04Z258);“十一五”规划资助项目(A2120061303). 博弈论是研究依据其他参与者的效用(utility )情况,理性参与者策略之间相互作用的一门科学[1].博弈论的要素有两点:参与博弈者的目标或利益相互冲突,且他们都是理性的.现代博弈论已成为一门横跨数学、生物、心理学、计算机科学、运筹学、经济、哲学、政治、军事战略等领域的交叉学科.公认的现代博弈论起源于数学家Von Neumann 和经济学家Morgenstern 的合著:博弈理论和经济行为[2].尽管当时这本著作中的博弈论的理论框架只适用于一些有限的特例,如只讨论了零和非合作博弈问题等,但它第一次用数学语言描述和解决了博弈问题.此后,经过许多学者的努力,特别是Nash 在非合作博弈理论中创造性地引入策略均衡的概念,博弈论日渐成为非常重要且有用的分析工具[3].近十多年来,诺贝尔经济学奖先后授予研究博弈论的科学家Nash、Selten、Harsanyi、Aumann、Schelling等人,说明博弈论越来越得到更多人的重视,博弈论的威力也得到越来越广泛的承认.1 博弈论和复杂网络所谓Nash均衡(Nash equilibrium)是指给定博弈中其他个体(player)的策略时,任何一个个体都不能单方面改变自己的策略来增加自己的收益(payoff)的情形.换言之,在Nash均衡中,相对其他个体,个体的所选策略已经是最佳的反应,此时Nash均衡成为一致解的概念.但是,作为博弈一致解的概念,在有些情况下Nash均衡并不是必要条件而是充分条件.因此,博弈论的后Nash均衡时代主要是针对博弈的假设和前提的重新修改和扩展.其中最主要的2个分支:动态博弈和非完全信息博弈.非完全信息(incomplete information)和非完美信息(imperfect information)的区别在于:前者表示博弈中的个体不精确地知道博弈收益的大小或其他博弈个体的类型(type);后者表示博弈过程的信息集合的元素个数超过一(即不知道博弈中其他个体的行动(actions)).通过Harsanyi转换(Harsanyi t ransformation),可将“非完全信息博弈”转换成“完全但非完美信息博弈”.在动态博弈中,个体决策的时间(即行动的先后次序)将对博弈结果起作用.田忌赛马就是动态博弈的例子之一.本文将介绍完全信息下非合作博弈的基本概念和演化博弈理论.演化博弈这一概念最初是由Maynard Smit h和Price 在研究对称人口博弈时提出的[4],他们成功地把博弈论应用到生物背景中去.其主要思想就是采用依赖于接触频率的适应度(frequency2dependent fit2 ness,对应于博弈论中的效用或收益)的策略更新方法.近些年,演化博弈论不仅在理论生物学中得到充分的发展,也在其他学科,如经济学、社会学、心理学等得到广泛的应用.近年来,由于复杂网络研究的兴起与发展,使得人们对各种现实网络的结构演化、复杂性有了比较清晰的认识.特别是1998年Cornell大学的Watt s 和其导师St rogatz在Nat ure杂志上撰文给出了小世界网络模型[5],复杂网络研究迅速引起了诸多领域中科研工作者的兴趣,特别是物理学界、生物学界,复杂网络理论得到了充分的探索和发展.1999年美国Not re Dame大学的Barabasi和其学生Al2 bert在Science杂志撰文指出[6],很多复杂网络的度分布近似服从幂率分布,也就是常说的无标度网络(scale2f ree networks),并给出了一个偏好连接(p referential attachment)的模型,简单探讨了这一现象的内在机制.自20世纪60年代以来,随着匈牙利数学家Erdos和Renyi的关于随机图论的论文的发表,人们对真实世界网络的认识停留在随机网络的认识水平上.Barabasi和Albert的发现,改变了以往人们对现实网络的认识,从而成为复杂网络研究的催化剂.很多有关复杂网络的重要性质、组织规律及其复杂网络上的动力学的研究论文相继发表,特别是无标度网络上传染病的阈值问题、复杂网络的层次性、结构性、自相似性等方面重要的结果[7-10].有关复杂网络研究的现状,读者可参考文献[11-15],这里不再赘述.复杂网络理论为描述博弈个体之间的博弈关系提供了方便的系统框架.网络上的节点表示博弈个体,边代表与其邻居的博弈关系.这样一来,就可以利用复杂网络拓扑关系,来研究一些复杂的博弈关系下的博弈.比如,以前的博弈理论中的混合均匀(well2mixed)假设就可以看成是在全连通图上进行的博弈.在空间二维格子(lattice)或一维格子(ring)上博弈即可转化为规则网络上的博弈.然而,真实世界的网络是异质的(heterogeneous),大部分节点的邻居数目存在差异,甚至成幂率分布.因此,研究接触网络(network of contact s)的异质性对其上的博弈动力学的影响是非常有意义的.在演化博弈研究中,一个重要的方向就是研究理性的博弈者之间如何涌现出合作行为.比如,在囚徒困境博弈(Prisoner’s Dilemma)中,每个纯策略的个体都有2种选择:合作(cooperation,C)与作弊(defection,D).D策略个体利用C策略个体,获得T收益,而C获得S.双方都合作获得R,都作弊获得P,其中T>R>P>S,2R>T+S.在单轮博弈情况下,无论对手采取何种策略,个体的最佳策略总是作弊(defect).然而,在双方都采取合作(cooperate)策略的情况下,二者总的收益才是最大的.这一现象说明了社会两难(social dilemma)问题的实质.当囚徒困境博弈在2个个体之间进行多次时,每个个体都可以根据上次博弈的结果选择进行下次博弈的策略(即迭代囚徒困境博弈)(iterated prisoner’s di2 lemma game).在20世纪70年代末的Axelrod锦标赛(Axelrod tournament)中,英国数学家、生物学家Rapoport提出的Tit2for2Tat(TF T)策略脱颖而出,打败了其他策略.所谓TF T是一个偏向合作的策略,第一步采取合作,然后重复其对手上一步的策略.但是TF T在有环境干扰时表现并不好,此时・2・智 能 系 统 学 报 第2卷Pavlov策略就能打败TF T.Pavlov策略是属于更一般的Win2Stay2Lo se2Shift(WSL S)策略类型. WSL S策略是指个体如果现在的策略获得的收益大于某个期望水平(aspiration level),那么下一步就保持这个策略不变,否则就切换到另外一个策略.在演化博弈中使用较多的另外一个范例是雪堆博弈(snowdrift game).假设合作的收益为b,成本为c(b>c),两个个体都选择合作则得到收益b-c/2,如果都作弊则收益为0.合作者遇到作弊者,则收益为b-c,作弊者则得到收益b.由于在雪堆博弈中,选择合作总比选择作弊要好,Nash均衡为混合策略(合作的频率为x3=(b-c)/(b-c/2).因此雪堆博弈被广泛地用于研究生物之间的合作行为.TF T策略和WSL S策略是建立合作和作弊策略基础上的宏策略(meta2st rategy).一般在博弈中只考虑最简单的策略(合作或作弊),如果囚徒困境博弈在相同的多个个体之间进行多次,其中个体可以通过记忆或学习、或者对作弊者进行惩罚,那么在合适的内在机制之下,合作行为将会涌现并逐渐占据优势.对合作机制的研究,特别是在复杂网络上的演化博弈背景中,是目前演化博弈研究的一个热点.2 演化稳定策略与复制动力学演化稳定策略(evolutio narily stable st rategy, ESS)相关概念最早由英国学者Maynard Smit h提出[16].策略I是ESS,必须满足条件:如果几乎所有的个体(pop ulation)都采取策略I,那么这些I策略的个体的适应度要比任何可能的变异策略要大.否则变异策略可以入侵种群并且I将不稳定.有了ESS的概念,就可以判断策略的稳定性.由于经典博弈中最重要的概念是收益矩阵(payoff mat rix)和收益,因此可以把经典博弈中的想法应用到ESS中来.假设生物的适应度跟收益成正比(或是收益的函数),或就等于收益,并且经典博弈中参与者理性(rationality)选择的策略就对应于ESS.与传统的Nash均衡相比,ESS这个概念要更加严格一些,因此可用于平衡点选择.因为所有的ESS必定是Nash均衡,但只有严格对称Nash均衡才是ESS.值得一提的是,这里的ESS是一个“静态”的概念,其假设只要求表现更好的策略具有更快的复制(增长)速率,并不涉及具体的博弈动力学.复制动力学(replicator dynamics)在1978年由Taylor和Jonker引进[17].其主要假设为给定的策略类型的单位复制率 ρiρi 正比于适应度之差:ρiρi=fit ness of type i-average fit ness.(1) 复制动力学是关于博弈动力学(策略更新)的连续确定性方程,从而可以赋予前面介绍的ESS这一静态的概念以动力学含义.复制方程在不动点附近的稳定性将对应于策略的稳定性(ESS).复制动力学与演化稳定性的关系可以总结如下[18-19]:1)ESS对应于吸引子;2)内部ESS对应于全局吸引子;3)对势博弈(potential game)而言,某个不动点是ESS当且仅当它是吸引子;4)对2×2矩阵博弈而言,某个不动点是ESS当且仅当它是吸引子.3 有限人口上的演化博弈动力学以往复制动力学及ESS的概念均假设人口为无限且混合均匀.但更实际一点,往往需要考虑人口非无限情形,此时演化动力学将受到有限人口因素的影响而满足随机动力学基本性质(Markov过程).2004年Nowak等人在Nat ure上发表文章指出在有限人口的情形下,采用依赖于频率的Moran过程(birt h2deat h process),经典的ESS的判据需要做修改,并提出了在弱选择下的“1/3规则”[20].假设种群由N个混合均匀的策略为A或B的个体组成,收益矩阵为A BA a bB c d假设有i个A策略的个体,那么策略A和B的适应度分别为f i=1-w+w[a(i-1)+b(N-i)]/[N-1],g i=1-w+w[ci+d(N-i-1)]/[N-1].(2) 这里适应度由个体原有的基线(baseline)1加上通过博弈获得的收益经过加权得到.w∈[0,1],表示自然选择的强度,即博弈收益对适应度贡献的大小.在每一时间步长,按照正比于适应度的概率选择一个个体进行复制,并替代一个随机选取的种群中个体.A类型的个体可能增加一个,减少一个或保持不变.因此Markov过程的转移矩阵为三对角矩阵(t ri2diagonal mat rix),矩阵元素为P i,i+1=if ii f i+(N-i)g iN-iN,P i,i-1=(N-i)g ii f i+(N-i)g iiN,(3)・3・第2期 王 龙,等:复杂网络上的演化博弈P i,i=1-P i,i+1-P i,i-1,其他元素为零.这个随机过程具有2个吸收态(ab2 sorbing state)i=0和i=N.如果种群达到这2个吸收态之一的话,系统将永远保持状态不变.以x i表示种群从i个A个体开始演化到i=N终态的概率,即固定概率(fixation p robability),那么有以下关于x i的递归方程(recursive equation)[20-22]:x i=P i,i+1x i+1+P i,i x i+P i,i-1x i-1,(4)边界条件为x0=0和x N=1.方程的解由Karlin和Taylor在1975年给出[23]:x i=1+∑i-1j=1∏jk=1g kf k1+∑N-1j=1∏jk=1g kf k,(5)考虑单个A个体能入侵并占据所有的B个体的概率:ρA=x1=11+∑N-1j=1∏jk=1g kf k,(6)对于中立博弈(neut ral game)来说,此时w=0,x1= 1/N.若ρA>1/N,那么自然选择偏向于A取代B.在有限人口N的情况下,B策略是ESS,记作ESS N,如果以下条件满足[20]:1)选择不利于A入侵B,这意味着B种群中的一个变异A具有较低的适应度;2)选择不利于A取代B,这意味着固定概率ρA<1/N.值得一提的是,不像在无限人口中2种策略有可能共存的情况,在有限人口中,某种策略最终会被固定下来(即最终不存在2种策略共存的情况),但达到固定的时间有可能很长,此时讨论固定概率就没有多少意义了.因此固定时间(fixation time)从另一个方面反映了自然选择如何影响种群进化的速度.一般讨论条件平均固定时间(conditional mean fixation time).在文献[22]、[24]中,发现系统从状态i=1演化到i=N,或从i=N-1到i=0的条件平均固定时间是相等的.进一步地,这一结果跟收益矩阵没有关系,即无论是在A对B是占优的情况下,还是在A和B都是对自己的最好反应等情况下,条件平均固定时间的均值和方差都是相等的.这是一个相当有趣的结果.文献[24]还发现,这一结果对于Wright2Fisher过程或同时有多个变异存在的情况并不成立.对于有限人口,演化动力学是一个随机过程,那么在人口N趋于无穷大的情况下,二者有没有联系呢?Traulsen等人发现[25],若采用标准的Moran 更新过程,在N→∞时,人口演化的随机动力学将对应于调整复制方程(adjusted replicator equation )或Maynard Smit h形式的复制方程.如果采用对比较(pair comparison)更新方式,在N→∞时,人口演化的随机动力学形式上将对应于标准复制方程.如果记x=i/N,以ρ(x,t)表示人口在t时刻处于x 状态的概率密度,那么ρ(x,t)满足Fokker2Planck 方程(FPE)[25-26]:dd xρ(x,t)=-dd x[a(x)ρ(x,t)]+12d2d x2[b2(x)ρ(x,t)].(7)式中:T+(x)=f ix f i+(1-x)g ix(1-x),T-(x)=g ix f i+(1-x)g ix(1-x),a(x)=T+(x)-T-(x),b(x)=(1/N)[T+(x)+T-(x)],使用Ito积分,式(7)FPE方程变成Langevin方程:x=a(x)+b(x)ξ,(8)式中:ξ为非相关高斯噪声.在N→∞时,b(x)→0,式(8)方程由随机微分方程变成了确定性的复制方程.文献[26]推广了Nowak的有限人口时弱选择下ESS N的充分条件:当N wν1时,“1/3规则”是有效的;对w固定且Nµ1时,传统的ESS判定条件成立.有限人口因素对人口策略演化的影响是当前研究的一个热点问题.更详细的内容可以参考文献[27-30].4 复杂网络上的演化博弈上面所讨论的混合均匀的有限人口中的博弈动力学,相当于在全连通图上的演化博弈问题.复杂网络或图为描述博弈关系提供了方便的框架:顶点表示博弈个体,边表示博弈关系.在每一时间步长,节点与其所有邻居进行博弈,累积博弈获得的收益,然后根据更新规则进行策略更新,如此这样重复迭代下去.近年来,复杂网络上演化博弈问题,尤其是对合作行为产生的机制的探索,引起了学术界广泛的注意和兴趣[31-33].尽管对合作行为提出了一些可行的机制,但合作行为的本质和真正内在机理,仍然是一个尚未解决的问题[34-35].复杂网络上的演化博弈研究主要可分为2种:一种是研究网络拓扑对合作的影响,主要是静态(static)网络的拓扑性质对合作水平的影响;另外一种是网络拓扑和博弈动力学的共演化(co2evolution),主要是自适应(adaptive)网・4・智 能 系 统 学 报 第2卷络上博弈动力学,即网络拓扑调整受博弈动力学影响.Nowak等人首先研究了空间二维格子上的囚徒困境博弈,即每个博弈个体跟邻近的4个或8个邻居进行博弈.在此基础上发现了美妙的空间混沌[36-37],并发现了对于囚徒困境博弈,博弈个体的空间分布会加强合作(spatial cooperation).但是, Hauert等人发现对于雪堆博弈,博弈个体的空间分布结构往往会削弱合作水平[38].Szabó等人利用平均场(mean2field)、对估计(pair2app roximation)等方法,系统地研究了二维平面各种规则格子上的演化博弈问题[39-41].由于社会网络具有小世界和无标度等特性,因此研究拓扑特性对合作的影响是十分有意义的.小世界网络上的空间纯策略博弈主要分为2类:一类是基于环的小世界网络;另一类是基于方格的小世界网络.Santo s等人研究了同质(homogeneo us)和异质(heterogeneous)的小世界网络上的演化博弈问题[42-44].异质小世界网络是由规则网络演化而来:由一个具有N个节点的环开始,环上每一个节点与两侧各有m条边相连.对每条边以概率p随机进行重连(自我连接和重边除外).重连以后,如果保持网络的平均度不变,此时的网络就为异质小世界网络;而同质小世界网络也是由规则网络演化而来:由一个具有N个节点、平均度为z的规则网络开始,其边数为E=N・z/2.以概率p进行交叉换边重连(同样避免重复连边).这样重连以后不改变节点的度的网络就为同质的小世界网络(此时每个节点的度相等,亦称之为规则随机图(regular random grap h).对于上述2种小世界网络,当概率p=0时,相应的网络为规则网络,而当概率p=1时,相应的网络为随机网络.Santo s等仿真了环型小世界网络上的“弱”囚徒困境的博弈情形.他们发现平衡态时异质小世界网络上的合作策略比例比同质小世界网络上的要大.在异质小世界网络上,当概率p不断增大时,平衡态时合作策略比例也不断增强[42,45].而在同质小世界网络上,对于囚徒困境博弈,存在一个临界作弊收益值b c,当b<b c时,随着概率p不断增大,对应平衡态时合作反而不断降低;当b>b c 时,随着概率p不断增大,对应平衡态时合作不断增强[42].Ren[46]等发现在均匀小世界网络上,同时也存在一个临界概率p c,当概率p<p c时,平衡态时合作水平不断增强;当概率p>p c时,平衡态时合作水平反而不断降低.这说明p c为最优概率值,能保证合作最强.大部分工作采取策略演化更新规则:w Sx←Sy=11+exp[(M x-M y)/T].(9)式中:w Sx←Sy表示节点x模仿邻居节点y策略的概率,M x、M y表示节点x、y的累积收益,T表示节点的理性程度.当T=0时,表示完全理性选择;当T→∞时,表示完全随机选择.适当的T也可以加强合作,即存在一个最优的能使博弈合作程度达到最强[46].Szabó等人也研究了方格小世界网络上的带有loner的囚徒困境博弈问题(即带有志愿者参加(volunteering participation)的囚徒困境博弈),发现重连概率大于一定的阈值时,相图会发生振荡[47].有趣的是,若分别用优先选择邻居和随机选择邻居的演化规则,在方格小世界上会发现优先选择邻居能促进合作[48-49].Tomassini等仿真研究了方格小世界网络上的鹰鸽博弈(hawk2dove game,数学上等价于前面所提到的雪堆博弈),发现平衡态的合作与演化规则、收益比(gain2to2cost)r以及重连概率p相关[50].Santo s和Pacheco等采用同步更新的策略模仿(st rategy imitation)更新方法对无标度网络上的空间纯策略博弈行为进行了较系统的研究[43,51-53],发现与规则网络、随机网络相比,无标度网络更有利于合作行为的产生.因此网络拓扑的异质性(度分布为幂率分布)是提升合作水平的一个重要因素.Ren等采用“优先学习”方法,即优先选择邻居来进行模仿演化,数值仿真显示平衡态时合作水平得到加强[54].类似于亲缘选择中的合作判据Hamilton规则[55],Oht suki等人发现在网络上合作行为产生的一个充分性判据:b/c>k,其中b、c分别为合作行为的收益和代价,k为网络的平均度[56].这一合作行为简单判定规则适用于二维格子、随机网络和无标度社会网络.考虑在网络上的入侵和固定动力学(dy2 namics of invasion and fixation),即一个变异A入侵种群B的固定概率,Antal等人发现在度不相关无标度网络上的一个变异的固定概率跟它发生的节点的度相关,且发现对投票模型(voter model),固定概率正比于度,对生灭(birt h2deat h)过程,固定概率反比于度[57].除了网络的异质性对合作行为有影响外,网络的平均度也是影响合作涌现的重要因素之一.文献[58]研究了随机图、小世界、无标度3种网络中平均度对合作水平的影响,发现对于每种网络均存在适当的平均度使得合作水平最优.另一方面,博弈动力学与网络拓扑共演化的问题也得到一些关注和研究.网络拓扑影响博弈结果,而博弈结果反过来作用于网络拓扑,调整网络拓扑・5・第2期 王 龙,等:复杂网络上的演化博弈(或社会关系),这种情形更符合实际.Zimmermann 等人认为个体可以依据博弈结果调整与邻居的边来实现合作者与合作者之间的联合,从而有利于合作行为的涌现和维持[59-60].Santo s等人考虑了网络拓扑调整与博弈演化之间的时间尺度的关系,并假设不满意博弈结果的节点以一定概率断开与邻居中作弊者的边,并随机重连到作弊者的邻居,发现存在时间尺度之比的临界值,一旦超过这个临界值,合作将会占上风[61].Pacheco等人考虑了简化的情形,提出了活跃连接(active linking)的假设,在一定条件下,自然选择将偏向于合作[62].目前文献中关于这方面的结果比较少,但这个问题又为大家所关注,因此这个问题将是今后研究的一个重点.5 演化囚徒困境博弈中的合作涌现真实社会的网络拓扑除了具有小世界、无标度等性质外,还具有社团结构(community st ruct ure)这一重要的性质.社团结构是指整个网络是由若干个“群(gro up)”或“团(cluster)”构成的.每个群内部的节点之间的连接相对比较紧密,但是各个群之间的连接却比较稀疏.因此,研究社团结构对合作水平的影响是很有意义的.笔者研究了具有社团结构的无标度网络上的囚徒困境博弈问题[63].不失囚徒困境博弈的一般特性,博弈矩阵M取为[36]M=10b0.(10)式中:1<b<2.采用文献[64]中具有社团结构的无标度网络模型,生成节点总数N=6000、具有3个相同大小群的社团结构的博弈关系网络.用二维向量表示个体的策略类型:合作(C)与作弊(D):C=1,D=1.个体x的收益为他跟所有邻居博弈一次的收益的总和:P x=∑y∈Ωxs T x Ms y,其中s x、s y表示节点的状态(策略),Ωx表示x的所有邻居.采用同步更新规则(synchronous up date rule),在每一时间步长,节点x从其邻居中随机选取节点y进行策略更新,若P y>P x,则以概率W sx ←xy=P y-P xbk>.(11)采用节点y所用的策略s y,其中k>为节点x和y的度中的较大值.初始时刻,合作者与作弊者等比例随机分布在网络顶点上.系统演化10000时间步长后,再取1000步时间步长上合作者比例的平均数,得到平衡态时合作者的比例.每个数据点对应于40次不同的网络实现和初始分布条件下合作者比例的平均值.图1显示了相同网络规模,但不同平均度m+n及不同社团内外连接数之比m/n时的合作频率对参数b的变化情况.可以发现,在具有社团结构无标度网络上,随着平均度m+n的增加,合作水平也相应地减小.同时,在保持平均度m+n不变,改变内外连接数之比m/n时,合作水平随着m/n减小而降低.另外,在没有外部连接时(对应于n=0),合作水平总是最优的.此时对应于3个Barabasi2Al2 bert(BA)无标度网络,而无标度网络是利于合作的涌现的[51],因此此时合作水平最高.随着外部连接数的增加、内部连接的较少,网络结构中的一些hub (网络中度较大的节点)并不直接相连,并且网络中回路(loop)减少了,这些因素影响了合作水平[63].图1 对应于不同m+n与m/n时合作频率对参数的变化情况Fig.1 Frequency of cooperators vs.b corresponding todifferent m+n and m/n文献[51-53]指出复杂网络的异质性是影响合作水平的重要因素.但复杂网络的异质程度大小会对合作水平产生什么影响呢?考虑了异质New2 man2Watt s小世界网络上的演化囚徒困境博弈问题[65].与Watt s2St rogatz小世界模型中断边重连机制不同[5],本文采用改进的Newman2Watt s小世界模型,即在低维规则环上添加m条长程边形成小世界网络.首先随机地从N个节点中选出N h个节点・6・智 能 系 统 学 报 第2卷。
