八年级数学上册 全等三角形专题练习（word 版
一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）
1．如图，在等边ABC ?中取点P 使得PA ，PB ，PC 的长分别为3， 4， 5，则APC APB S S ??+=_________．
【答案】936 【解析】
【分析】
把线段AP 以点A 为旋转中心顺时针旋转60?得到线段AD ，由旋转的性质、等边三角形的性质以及全等三角形的判定定理SAS 证得△ADB ≌△APC ，连接PD ，根据旋转的性质知△APD 是等边三角形，利用勾股定理的逆定理可得△PBD 为直角三角形，∠BPD ＝90?，由△ADB ≌△APC 得S △ADB ＝S △APC ，则有S △APC ＋S △APB ＝S △ADB ＋S △APB ＝S △ADP ＋S △BPD ，根据等边3S △ADP ＋S △BPD ＝332＋12×3×4＝936+． 【详解】
将线段AP 以点A 为旋转中心顺时针旋转60?得到线段AD ，连接PD
∴AD ＝AP ，∠DAP ＝60?，
又∵△ABC 为等边三角形，
∴∠BAC ＝60?，AB ＝AC ，
∴∠DAB ＋∠BAP ＝∠PAC ＋∠BAP ，
∴∠DAB ＝∠PAC ，
又AB=AC,AD=AP
∴△ADB ≌△APC
∵DA ＝PA ，∠DAP ＝60?，
∴△ADP 为等边三角形，
在△PBD 中，PB ＝4，PD ＝3，BD ＝PC ＝5，
∵32＋42＝52，即PD 2＋PB 2＝BD 2，
∴△PBD 为直角三角形，∠BPD ＝90?，
∵△ADB ≌△APC ，
∴S
△ADB ＝S △APC ，
∴S △APC ＋S
△APB ＝S △ADB ＋S △APB ＝S △ADP ＋S △BPD ＝3×32＋12×3×4＝936+． 故答案为：936+．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质与判定，解题的关键是熟知旋转的性质作出辅助线进行求解．
2．我们知道，经过三角形一顶点和此顶点所对边上的任意一点的直线，均能把三角形分割成两个三角形
（1）如图，在ABC ?中，25,105A ABC ∠=?∠=?，过B 作一直线交AC 于D ，若BD 把ABC ?分割成两个等腰三角形，则BDA ∠的度数是______．
（2）已知在ABC ?中，AB AC =，过顶点和顶点对边上一点的直线，把ABC ?分割成两个等腰三角形，则A ∠的最小度数为________．
【答案】130? 1807??? ???
【解析】
【分析】
（1）由题意得：DA=DB ，结合25A ∠=?，即可得到答案；
（2）根据题意，分4种情况讨论，①当BD=AD ，CD=AD ，②当AD=BD ，AC=CD ，③AB=AC ，当AD=BD=BC ，④当AD=BD ，CD=BC ，分别求出A ∠的度数，即可得到答案．
【详解】
（1）由题意得：当DA=BA ，BD=BA 时，不符合题意，
当DA=DB 时，则∠ABD=∠A=25°，
∴∠BDA=180°-25°×2=130°．
故答案为：130°；
（2）①如图1，∵AB=AC，当BD=AD，CD=AD，∴∠B=∠C=∠BAD=∠CAD，
∵∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴4∠B=180°，
∴∠BAC=90°．
②如图2，∵AB=AC，当AD=BD，AC=CD，
∴∠B=∠C=∠BAD，∠CAD=∠CDA，
∵∠CDA=∠B+∠BAD=2∠B，
∴∠BAC=3∠B，
∵∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴5∠B=180°，
∴∠B=36°，
∴∠BAC=108°．
③如图3，∵AB=AC，当AD=BD=BC，
∴∠ABC=∠C，∠BAC=∠ABD，∠BDC=∠C，
∵∠BDC=∠A+∠ABD=2∠BAC，
∴∠ABC=∠C=2∠BAC，
∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°，
∴5∠BAC=180°，
∴∠BAC=36°．
④如图4，∵AB=AC，当AD=BD，CD=BC，
∴∠ABC=∠C，∠BAC=∠ABD，∠CDB=∠CBD，∵∠BDC=∠BAC+∠ABD=2∠BAC，
∴∠ABC=∠C=3∠BAC，
∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°，
∴7∠BAC=180°，
∴∠BAC=
180 ()
7
?．
综上所述，∠A的最小度数为：
180 ()
7
?．
故答案是：
180 ()
7
?．
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的性质定理以及三角形内角和定理与外角的性质，根据等腰三角形的性质，分类讨论，是解题的关键．
3．如图，在01A BA △中，20B ∠=?，01A B A B =，在1A B 上取点C ，延长01A A 到2A ，使得121A A AC =；在2A C 上取一点D ，延长12A A 到3A ，使得232A A A D =；…，按此做法进行下去，第n 个等腰三角形的底角n A ∠的度数为__________．
【答案】11()
802n -??.
【解析】
【分析】
先根据等腰三角形的性质求出∠BA 1 A 0的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠CA 2A 1，∠DA 3A 2及∠EA 4A 3的度数，找出规律即可得出第n 个等腰三角形的底角∠A n 的度数．
【详解】
解：∵在△A 0BA 1中，∠B=20°，A 0B=A 1B ， ∴∠BA 1 A 0= 1801802022
B ???
-∠-= =80°， ∵A 1A 2=A 1C ，∠BA 1 A 0是△A 1A 2C 的外角，
∴∠CA 2A 1= 108022
BA A ?
∠= =40°； 同理可得，
∠DA 3A 2=20°，∠EA 4A 3=10°， ∴第n 个等腰三角形的底角∠A n = 11()
802n -??.
【点睛】
本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠CA 2A 1，∠DA 3A 2及∠EA 4A 3的度数，找出规律是解答此题的关键．
4．如图，点P 是AOB 内任意一点，5OP cm =，点P 与点C 关于射线OA 对称，点P 与点D 关于射线OB 对称，连接CD 交OA 于点E ，交OB 于点F ，当PEF 的周长是5cm 时，AOB ∠的度数是______度．
【答案】30
【解析】
【分析】
根据轴对称得出OA 为PC 的垂直平分线，OB 是PD 的垂直平分线，根据线段垂直平分线性质得出12COA AOP COP ，12
POB DOB POD ，PE=CE ，OP=OC=5cm ，PF=FD ，OP=OD=5cm ，求出△COD 是等边三角形，即可得出答案．
【详解】
解：如图示：连接OC ，OD ，
∵点P与点C
关于射线OA对称，点P与点D关于射线OB对称，
∴OA为PC的垂直平分线，OB是PD的垂直平分线，∵OP=5cm，
∴
1
2
COA AOP COP，
1
2
POB DOB POD，PE=CE，OP=OC=5cm，PF=FD，
OP=OD=5cm，
∵△PEF的周长是5cm，
∴PE+EF+PF=CE+EF+FD=CD=5cm，∴CD=OD=OD=5cm，
∴△OCD是等边三角形，
∴∠COD=60°，
∴
111
222
30 AOB AOP BOP COP DOP COD，
故答案为：30．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线性质，轴对称性质和等边三角形的性质和判定，能求出△COD 是等边三角形是解此题的关键．
5．如图，点A,B,C在同一直线上,△ABD和△BCE都是等边三角形，AE,CD分别与BD,BE交于点F,G，连接FG，有如下结论：①AE=CD ②∠BFG= 60°；③EF=CG；④AD⊥CD⑤FG ∥AC 其中，正确的结论有__________________. (填序号)
【答案】①②③⑤
【解析】
【分析】
易证△ABE≌△DBC，则有∠BAE＝∠BDC，AE＝CD，从而可证到△ABF≌△DBG，则有
AF＝DG，BF＝BG，由∠FBG＝60°可得△BFG是等边三角形，证得∠BFG＝∠DBA＝60°，则有FG∥AC，由∠CDB≠30°，可判断AD与CD的位置关系．
【详解】
∵△ABD和△BCE都是等边三角形，∴BD＝BA＝AD，BE＝BC＝EC，∠ABD＝∠CBE＝60°．∵点A、B、C在同一直线上，∴∠DBE＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠ABE＝∠DBC＝120°．在△ABE和△DBC中，
∵
BD BA
ABE DBC
BE BC
∠∠
=
?
?
=
?
?=
?
，∴△ABE≌△DBC，∴∠BAE＝∠BDC，∴AE＝CD，∴①正确；
在△ABF和△DBG
中，
60
BAF BDG
AB DB
ABF DBG
∠∠
∠∠
=
?
?
=
?
?==?
?
，∴△ABF≌△DBG，∴AF＝DG，BF＝BG．
∵∠FBG＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴△BFG是等边三角形，∴∠BFG=60°，∴②正确；
∵AE＝CD，AF＝DG，∴EF=CG；∴③正确；
∵∠ADB＝60°，而∠CDB=∠EAB≠30°，∴AD与CD不一定垂直，∴④错误．
∵△BFG是等边三角形，∴∠BFG=60°，∴∠GFB＝∠DBA＝60°，∴FG∥AB，∴⑤正确．故答案为①②③⑤．
【点睛】
本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质、平行线的判定和性质，证得△ABE≌△DBC是解题的关键．
6．如图，在直角坐标系中，点()
8,8
B-，点()
2,0
C-，若动点P从坐标原点出发，沿y 轴正方向匀速运动，运动速度为1/
cm s，设点P运动时间为t秒，当BCP
?是以BC为腰的等腰三角形时，直接写出t的所有值__________________．
【答案】2秒或6秒或14秒
【解析】
【分析】
分两种情况：PC为腰或BP为腰.分别作出符合条件的图形，计算出OP的长度，即可求出t的值．
【详解】
解：如图所示，过点B作BD⊥x轴于点D，作BE⊥y轴于点E，分别以点B和点C为圆心，以BC长为半径画弧交y轴正半轴于点F，点H和点G
∵点B（-8，8），点C（-2，0），
∴DC=6cm，BD=8cm，由勾股定理得：BC=10cm
∴在直角三角形COG中，OC=2cm，CG=BC=10cm，
∴OP=OG= 22
-=，
10246(cm)
当点P运动到点F或点H时，BE=8cm，BH=BF=10cm，
∴EF=EH=6cm
∴OP=OF=8-6=2（cm）或OP=OH=8+6=14（cm），
故答案为：2秒，46秒或14秒．
【点睛】
本题综合考查了勾股定理和等腰三角形在平面直角坐标系中的应用，通过作图找出要求的点的位置，利用勾股定理来求解是本题的关键．
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于F，若∠F ＝30°，DE＝1，则EF的长是_____．
【答案】2
【解析】
【分析】
连接BE，根据垂直平分线的性质、直角三角形的性质，说明∠CBE＝∠F，进一步说明BE ＝EF，，然后再根据直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半即可.
【详解】
解：如图：连接BE
∵AB 的垂直平分线DE 交BC 的延长线于F ，
∴AE ＝BE ，∠A +∠AED ＝90°，
∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，
∴∠F +∠CEF ＝90°，
∵∠AED ＝∠FEC ，
∴∠A ＝∠F ＝30°，
∴∠ABE ＝∠A ＝30°，∠ABC ＝90°﹣∠A ＝60°，
∴∠CBE ＝∠ABC ﹣∠ABE ＝30°，
∴∠CBE ＝∠F ，
∴BE ＝EF ，
在Rt △BED 中，BE ＝2DE ＝2×1＝2，
∴EF ＝2．
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了垂直平分线的性质、直角三角形的性质，其中灵活利用垂直平分线的性质和直角三角形30°角所对的边等于斜边的一半是解答本题的关键.
8．如图，在ABC ?和DBC ?中，40A ∠=，2AB AC ==，140BDC ∠=，BD CD =，以点D 为顶点作70MDN ∠=，两边分别交,AB AC 于点,M N ，连接MN ，则AMN ?的周长为_______.
【答案】4
【解析】
【分析】
延长AB至F，使BF=CN，连接DF，通过证明△BDF≌△CDN，及△DMN≌△DMF，从而得出MN=MF，△AMN的周长等于AB+AC的长．
【详解】
延长AB至F，使BF=CN，连接DF．
∵BD=CD，且∠BDC=140°，
∴∠BCD=∠DBC=20°．
∵∠A=40°，AB=AC=2，
∴∠ABC=∠ACB=70°，
∴∠DBA=∠DCA=90°．
在Rt△BDF和Rt△CND中，
∵BF=CN，∠DBA=∠DCA，DB=DC，
∴△BDF≌△CDN，
∴∠BDF=∠CDN，DF=DN．
∵∠MDN=70°，
∴∠BDM+∠CDN=70°，
∴∠BDM+∠BDF=70°，
∴∠FDM=70°=∠MDN．
∵DF=DN，∠FDM=∠MDN，DM=DM，
∴△DMN≌△DMF，
∴MN=MF，
∴△AMN的周长是：AM+AN+MN=AM+MB+BF+AN=AB+AC=4．
故答案为：4．
【点睛】
本题主要利用等腰三角形的性质来证明三角形全等，构造全等三角形是解答本题的关键．
9．如图,在ABC 中, 90,ACB ABD ?∠=是ABC 的轴对称图形,点E 在AD 上,点F 在AC 的延长线上.若点B 恰好在EF 的垂直平分线上,并且5AE =,13AF =,则DE =______．
【答案】4．
【解析】
【分析】
连接BE ，BF ，根据轴对称的性质可得△ABD ≌△ACB ，进而可得DB=CB ，AD=AC ，∠D=∠BCA=90°，再利用线段垂直平分线的性质可得BE=BF ，然后证明Rt △DBE ≌Rt △CBF 可得DE=CF ，然后可得ED 长．
【详解】
解：连接BE ，BF ，
∵△ABD 是△ABC 的轴对称图形，
∴△ABD ≌△ACB ，
∴DB=CB ，AD=AC ，∠D=∠BCA=90°，
∴∠BCF=90°，
∵点B 恰好在EF 的垂直平分线上，
∴BE=BF ，
在Rt △DBE 和Rt △CBF 中
BD BC EB FB =??=?
，
∴Rt △DBE ≌Rt △CBF （HL ），
∴DE=CF ，
设DE=x ，则CF=x ，
∵AE=5，AF=13，
∴AC=AD=5+x ，
∴AF=5+2x ，
∴5+2x=13，
∴x=4，
∴DE=4，
故答案为：4．
【点睛】
此题主要考查了轴对称和线段垂直平分线的性质，关键是掌握成轴对称的两个图形全等．
10．在下列结论中：①有三个角是60?的三角形是等边三角形；②有一个外角是120?的等腰三角形是等边三角形；③有一个角是60?，且是轴对称的三角形是等边三角形；④有一腰上的高也是这腰上的中线的等腰三角形是等边三角形．其中正确的是__________.
【答案】①②③④
【解析】
【分析】
依据等边三角形的定义，含有一个600角的等腰三角形是等边三角形判断即可.
【详解】
有三个角是600的三角形是等边三角形，故①正确；外角是1200时，邻补角为600，即有一个内角是600的等腰三角形是等边三角形，故②正确；轴对称的三角形是等腰三角形，且含有一个600角，因此是等边三角形，故③正确；一腰上的高也是中线，故底边等于腰长，所以此三角形是等边三角形，故④正确.
故此题正确的是①②③④.
【点睛】
此题考查等边三角形的判定方法，熟记方法才能熟练运用.
二、八年级数学轴对称三角形选择题（难）
11．已知点M(2,2)，且，在坐标轴上求作一点P ，使△OMP 为等腰三角形，则点P 的坐标不可能是（ ）
A ．
B ．(0,4)
C ．(4,0)
D ．) 【答案】D
【解析】
【分析】
分类讨论：OM=OP ；MO=MP ；PM=PO ，分别计算出相应的P 点，从而得出答案．
【详解】
∵M(2,2),且
,且点P 在坐标轴上
当OM OP ==时
P 点坐标为：()(,0,±± ，A 满足；
当MO MP ==
P 点坐标为：()()4,0,0,4，B 满足；
当PM PO =时：
P 点坐标为：()()2,0,0,2，C 满足
故答案选：D
【点睛】
本题考查动点问题构成等腰三角形，利用等腰三角形的性质分类讨论是解题关键．
12．如图,ABC ?中,3AC DC ==，BD 垂直BAC ∠的角平分线于D ,E 为AC 的中点,则图中两个阴影部分面积之差的最大值为( )
A ．1.5
B ．3
C ．4.5
D ．9
【答案】C
【解析】
【分析】 首先证明两个阴影部分面积之差=S △ADC ，然后由DC ⊥AC 时，△ACD 的面积最大求出结论即可．
【详解】
延长BD 交AC 于点H ．设AD 交BE 于点O ．
∵AD ⊥BH ，∴∠ADB =∠ADH =90°，∴∠ABD +∠BAD =90°，∠H +∠HAD =90°．
∵∠BAD =∠HAD ，∴∠ABD =∠H ，∴AB =AH ．
∵AD ⊥BH ，∴BD =DH ．
∵DC =CA ，∴∠CDA =∠CAD ．
∵∠CAD +∠H =90°，∠CDA +∠CDH =90°，∴∠CDH =∠H ，∴CD =CH =AC ．
∵BD =DH ，AC =CH ，∴S △CDH =
12S △ADH 14=S △ABH ． ∵AE =EC ，∴S △ABE 14
=S △ABH ，∴S △CDH =S △ABE ． ∵S △OBD ﹣S △AOE =S △ADB ﹣S △ABE =S △ADH ﹣S △CDH =S △ACD ．
∵AC =CD =3，∴当DC ⊥AC 时，△ACD 的面积最大，最大面积为12?3×392
=
． 故选C ．
【点睛】 本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形中线的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考选择题中的压轴题．
13．在Rt ABC ?中，90ACB ∠=?，点D E 、是AB 边上两点，且CE 垂直平分,AD CD 平分,6BCE AC cm ∠=，则BD 的长为（ ）
A ．6cm
B ．7cm
C ．8cm
D ．9cm
【答案】A
【解析】
【分析】 根据CE 垂直平分AD ，得AC=CD ，再根据等腰在三角形的三线合一，得
ACE ECD ∠=∠，结合角平分线定义和90ACB ?∠=，得
30ACE ECD DCB ?∠=∠=∠=，则BD CD AC ==．
【详解】
∵CE 垂直平分AD
∴AC=CD ＝6cm ，ACE ECD ∠=∠
∵CD 平分BCE ∠
∴BCD ECD ∠=∠
∴30ACE ECD DCB ?∠=∠=∠=
∴60A ?∠=
∴30B BCD ?∠==∠
∴6CD BD AC cm ===
故选：A
【点睛】
本题考查的知识点主要是等腰三角形的性质的“三线合一”性质定理及判定“等角对等边”，熟记并能熟练运用这些定理是解题的关键．
14．如图，△ABC 的周长为32，点D 、E 都在边BC 上，∠ABC 的平分线垂直于AE ，垂足为Q ，∠ACB 的平分线垂直于AD ，垂足为P ，若BC ＝12，则PQ 的长为（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
【答案】B
【解析】
【分析】 首先判断△BAE 、△CAD 是等腰三角形，从而得出BA ＝BE ，CA ＝CD ，由△ABC 的周长为32以及BC ＝12，可得DE ＝8，利用中位线定理可求出PQ ．
【详解】
∵BQ 平分∠ABC ，BQ ⊥AE ，
∴∠ABQ ＝∠EBQ ，
∵∠ABQ+∠BAQ ＝90°，∠EBQ+∠BEQ ＝90°，
∴∠BAQ ＝∠BEQ ，
∴AB ＝BE ，同理：CA ＝CD ，
∴点Q 是AE 中点，点P 是AD 中点（三线合一），
∴PQ 是△ADE 的中位线，
∵BE+CD ＝AB+AC ＝32﹣BC ＝32﹣12＝20，
∴DE ＝BE+CD ﹣BC ＝8，
∴PQ ＝12
DE ＝4． 故选：B ．
【点睛】
本题考查了三角形的中位线定理和等腰三角形的性质和判定，解答本题的关键是判断出△BAE 、△CAD 是等腰三角形，利用等腰三角形的性质确定PQ 是△ADE 的中位线．
15．如图所示，把多块大小不同的30角三角板，摆放在平面直角坐标系中，第一块三角板AOB 的一条直角边与x 轴重合且点A 的坐标为()2,0，30ABO ∠=?，第二块三角板的斜边1BB 与第一块三角板的斜边AB 垂直且交x 轴于点1B ，第三块三角板的斜边12B B 与第二块三角板的斜边1BB 垂直且交y 轴于点2B ，第四块三角板斜边23B B 与第三块三角板的斜边12B B 垂直且交x 轴于点3B ，按此规律继续下去，则点2018B 的坐标为（ ）
A ．()20182(3)
,0-? B ．()20180,2(3)-? C ．()20192(3),0? D ．()
20190,2(3)-? 【答案】D
【解析】
【分析】 计算出OB 、OB 1、 OB 2的长度，根据题意和图象可以发现题目中的变化规律，从而可以求得点B 2018的坐标．
【详解】
解：由题意可得，
OB = 2242-= 23，
OB 1= 3 OB= 233? = 22(3)?，
OB 2= 3 OB 1= 32(3)?，
…
∵2018÷4=504…2，
∴点B 2018在y 轴的负半轴上，
∴点B 2018的坐标为()20190,2(3)
-?．
故答案为：D ．
【点睛】
本题考查规律型：点的坐标规律及含30度角的直角三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出题目中坐标的变化规律，求出相应的点的坐标．
16．如图，C 是线段 AB 上一点，且△ACD 和△BCE 都是等边三角形，连接 AE 、BD 相交于点 O ，AE 、BD 分别交 CD 、CE 于 M 、N ，连接 MN 、OC ，则下列所给的结论中：①AE ＝BD ；②CM ＝CN ；③MN ∥AB ；④∠AOB ＝120o；⑤OC 平分∠AOB ．其中结论正确的个数是（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意易证：△ACE ?△DCB ，进而可得AE ＝BD ；由△ACE ?△DCB ，可得∠CAE=∠CDB ，从而△ACM ?△DCN ，可得：CM ＝CN ；易证△MCN 是等边三角形，可得∠MNC=∠BCE ， 即MN ∥AB ；由∠CAE=∠CDB ，∠AMC=∠DMO ，得∠ACM=∠DOM=60°，即∠AOB ＝120o；作CG ⊥AE ，CH ⊥BD ，易证CG =CH ，即：OC 平分∠AOB ．
【详解】
∵△ACD 和△BCE 都是等边三角形，
∴AC=DC ，CE=CB ，∠ACE=∠DCB=120°，
∴△ACE ?△DCB(SAS)
∴AE ＝BD ，
∴①正确；
∵△ACE ?△DCB ，
∴∠CAE=∠CDB ，
∵△ACD 和△BCE 都是等边三角形，
∴∠ACD=∠BCE=∠DCE=60°，AC=DC ，
在△ACM 和△DCN 中，
∵60CAE CDB AC DC
ACD DCE ∠=∠??=??∠=∠=??
∴△ACM ?△DCN （ASA ）,
∴CM ＝CN ，
∴②正确；
∵CM ＝CN ，∠DCE=60°，
∴△MCN 是等边三角形，
∴∠MNC=60°，
∴∠MNC=∠BCE ，
∴MN ∥AB ，
∴③正确；
∵△ACE ?△DCB ，
∴∠CAE=∠CDB ，
∵∠AMC=∠DMO ，
∴180°-∠CAE-∠AMC=180°-∠CDB-∠DMO ，
即：∠ACM=∠DOM=60°，
∴∠AOB ＝120o，
∴④正确；
作CG ⊥AE ，CH ⊥BD ，垂足分别为点G ，点H ，如图，
在△ACG 和△DCH 中，
∵
90?
AMC DHC
CAE CDB
AC DC
∠=∠=
?
?
∠=∠
?
?=
?
∴△ACG?△DCH（AAS），
∴CG=CH，
∴
OC 平分∠AOB，
∴⑤正确.
故选D.
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定定理和性质定理，等边三角形的性质定理以及角平分线性质定理的逆定理，添加合适的辅助线，是解题的关键.
17．如图，四边形ABCD中，∠C=，∠B=∠D=，E，F分别是BC，DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（）．
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
【详解】
作点A关于直线BC和直线CD的对称点G和H，连接GH，交BC、CD于点E、F，连接AE、AF，则此时△AEF的周长最小，由四边形的内角和为360°可知，∠BAD=360°-90°-90°-50°=130°，即∠1+∠2+∠3=130°①，由作图可知，∠1=∠G，∠3=∠H，△AGH的内角和为180°，则2（∠1+∠3）+ ∠2=180°②，又①②联立方程组，解得∠2=80°．
故选D．
考点：轴对称的应用；路径最短问题．
18．如图，P为∠AOB内一定点，M、N分别是射线OA、OB上一点，当△PMN周长最小时，∠MPN=110°，则∠AOB=（）
A．35°B．40°C．45°D．50°
【答案】A
【解析】
【分析】
作P关于OA，OB的对称点P1，P2．连接OP1，OP2．则当M，N是P1P2与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，根据对称的性质可以证得：∠OP1M=∠OPM=50°，OP1=OP2=OP，根据等腰三角形的性质求解．
【详解】
作P关于OA，OB的对称点P1，P2．连接OP1，OP2．则当M，N是P1P2与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，连接P1O、P2O，
∵PP1关于OA对称，∠MPN=110°
∴∠P1OP=2∠MOP，OP1=OP，P1M=PM，∠OP1M=∠OPM，
同理可得：∠P2OP=2∠NOP，OP=OP2，
∴∠P1OP2=∠P1OP+∠P2OP=2（∠MOP+∠NOP）=2∠AOB，OP1=OP2=OP，
∴△P1OP2是等腰三角形．
∴∠OP2N=∠OP1M，
∴∠P1OP2=180°-110°=70°，
∴∠AOB=35°，
故选A．
【点睛】
考查了对称的性质，解题关键是正确作出图形和证明△P1OP2是等腰三角形是．
19．如图，已知△ABC与△CDE均是等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，AE与BD 交于点O，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F，连接OC、FG，则下列结论：
①AE=BD；②AG=BF；③FG∥BE；④∠BOC=∠EOC．其中正确结论的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意，结合图形，对选项一一求证，即可得出正确选项．
【详解】
（1）△ABC和△DCE均是等边三角形，点B，C，E在同一条直线
上，∴AC=BC，EC=DC，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACE=∠BCD=120°．
在△BCD和△ACE中，∵
AC BC
BCD ACE
CD CE
=
?
?
∠=∠
?
?=
?
，∴△BCD≌△ACE，∴AE=BD，故结论①正
确；
（2）∵△BCD≌△ECA，∴∠GAC=∠FBC．
又∵∠ACG=∠BCF=60°，AC=BC，∴△ACG≌△BCF，∴AG=BF，故结论②正确；
（3）∵△ACG≌△BCF，∴CG=CF．
∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACD=60°，∴△FCG为等边三角
形，∴∠FGC=60°，∴∠FGC=∠DCE，∴FG∥BE，故结论③正确；
（4）过C作CN⊥AE于N，CZ⊥BD于Z，则∠CNE=∠CZD=90°．
∵△ACE≌△BCD，∴∠CDZ=∠CEN．
在△CDZ和△CEN中，
CZD CNE
CDZ CEN
CD CE
∠=∠
?
?
∠=∠
?
?=
?
，∴△CDZ≌△CEN，∴CZ=CN．
∵CN⊥AE，CZ⊥BD，∴∠BOC=∠EOC，故结论④正确．
综上所述：四个结论均正确．