相似三角形

全等三角形与相似三角形的判定及位似图形

一、全等三角形

1、全等三角形的判定（符号：“≌”）

a、(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等；

b、( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的 两个三角形全等；

c、(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等；

d、(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等；

直角三角形全等判定定理：斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以回推到SSS）；

2、全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等、对应边相等

练习一

1、如图，AE=BF，AD∥BC，AD=BC，则有ΔADF≌________，且DF=______

2、如图，D在AB上，E在AC上，且∠B=∠C， 则在下列条件中，无法判定△ABE≌△ACD的是（ ）

（A）AD=AE （B）AB=AC （C）BE=CD （D）∠AEB=∠ADC

3、已知：如图，AB=AC，DB=DC．F是AD的延长线上一点．

求证： (1) ∠ABD＝∠ACD (2)BF=CF

4、（2013嘉兴、舟山）如图，△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A＝∠D，AB＝DC． （1）求证：△ABE≌DCE；（2）当∠AEB＝50º，求∠EBC的度数？

5、（2012•衢州）如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，且BE=DF，连接AE、CF．请你猜想：AE与CF有怎样的数量关系？并对你的猜想加以证明．

6、已知：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证：EF=AC

二、相似三角形 B A

C

D F 2 1

E 1、相似三角形的判定

抛物线与相似三角形

例1、如图，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（-4，0），B（1，0），C（-2，6）

（1）求经过A、B、C三点的抛物线解析式；

（2）设直线BC交y轴于点E，连接AE，求证：AE=CE；

（3）设抛物线与y轴交于点D，连接AD交BC于点F，试问：以A、B、F为顶点的三角形与△ABC相似吗？

例2、如图①，已知抛物线bxaxy2（a≠0）经过A（3，0）、B（4，4）两点

（1）求抛物线解析式；

（2）将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m的值及点D的坐标；

（3）如图②，若异于点A的点N在抛物线上，且∠NBO=∠ABO，则在（2）的条件下，求出所有满足△POD∽△NOB的点P的坐标

例3、如图，抛物线cbxaxy2的顶点坐标为（2，-1），并且与y轴交于点C（0，3），与x轴交于两点A、B

（1）求抛物线的解析式；

（2）设抛物线的对称轴与直线BC交于点D，连接AC、AD，求△ACD的面积；

（3）点E是直线BC上一动点，过点E作y轴的平行线EF，与抛物线交于点F，问是否存在点E，使得以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似？若存在，求出E点的坐标；若不存在，请说明理由。

【练一练】

1、如图，已知抛物线cbxaxy2的图像经过原点O，交x轴于点A，其顶点B的坐标为（3，3）

（1）求抛物线解析式；

（2）在抛物线上求点P，使AOBPOASS△△；

（3）在抛物线上是否存在点Q，使△AQO与△AOB相似？如果存在，请求出Q点的坐标；如果不存在，请说明理由。

2、如图，已知二次函数))(2(481baxxy的图像过点A（-4，3），B（4，4）。

（1）求二次函数的解析式；

（2）求证：△ACB是直角三角形；

（3）若点P在第二象限，且是抛物线上的一动点，过点P作PH⊥x轴与H，是否存在以P、H、D为顶点的三角形与△ABC相似？如存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

相似三角形的定义和判定方法

相似三角形是指两个三角形的对应角度相等，且对应边的比值相等的情况下成为相似三角形。相似三角形的判定方法包括角-角-角（AAA）相似定理、边-边-边（SSS）相似定理和边-角-边（SAS）相似定理。下面将依次介绍相似三角形的定义和判定方法。

1. 相似三角形的定义

相似三角形的定义是指两个三角形的对应角度相等，且对应的边长成比例。具体而言，对于三角形ABC和DEF来说，如果∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，并且AB/DE=BC/EF=AC/DF，则称三角形ABC与三角形DEF相似。

2. 角-角-角（AAA）相似定理

角-角-角（AAA）相似定理是指如果两个三角形的对应角度相等，则这两个三角形是相似的。根据该定理，如果∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，则可以判定三角形ABC与三角形DEF是相似的。

3. 边-边-边（SSS）相似定理

边-边-边（SSS）相似定理是指如果两个三角形的对应边长成比例，则这两个三角形是相似的。根据该定理，如果AB/DE=BC/EF=AC/DF，则可以判定三角形ABC与三角形DEF是相似的。

4. 边-角-边（SAS）相似定理 边-角-边（SAS）相似定理是指如果两个三角形的两条边分别成比例，且夹角相等，则这两个三角形是相似的。根据该定理，如果AB/DE=AC/DF，且∠A=∠D，则可以判定三角形ABC与三角形DEF是相似的。

总结：

相似三角形是指两个三角形的对应角度相等，且对应边的比值相等的情况下成为相似三角形。相似三角形的判定方法包括角-角-角（AAA）相似定理、边-边-边（SSS）相似定理和边-角-边（SAS）相似定理。通过这些判定方法，我们可以确定两个三角形是否相似，并且进一步分析它们的性质和关系。相似三角形在几何学中具有重要的应用，可以用于解决各种问题，如比例求解、测距等。

以上是关于相似三角形的定义和判定方法的介绍。相似三角形的几何性质和应用领域涉及广泛，深入理解和掌握相似三角形的定义和判定方法可以为几何学的研究和实际问题的解决提供有力的工具和方法。

原创不容易，【关注】店铺，不迷路！

每年中考的“相似度”都是必修的，一篇文章就可以轻松搞定！

相似三角形在初中数学中占有很大比重，难度较大，一直被很多同学所讨厌！偏偏这个大老虎还是中考必修内容~~那么，“相似三角形”有哪些知识点呢？常见的解题技巧有哪些类型？

对应角相等、对应边成比例的三角形称为相似三角形。相似性用符号“”表示，读作“类似于”。相似三角形对应边的比值称为相似比(或相似系数)。

一条平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，形成的三角形与原三角形相似。

1、三角形相似的判定方法

定义方法：两个对应角相等、对应边成比例的三角形相似

平行法：一条平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边延长线)相交，形成的三角形与原三角形相似

判断定理1:如果一个三角形的两个角等于另一个三角形的两个角，那么这两个三角形相似，可以简单描述为两个角相等，两个三角形相似。

判断定理2:如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边相等且夹角相同，那么这两个三角形相似，可以简单描述为两条边成比例且夹角相等，两个三角形相似。

判断定理3:如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边成正比，那么这两个三角形相似，可以简单描述为三条边成正比，两个三角形相似

2、直角三角形相似的判定方法

以上判断方法均适用

定理：如果一个直角三角形的斜边和一个直角边与另一个直角三角形的斜边和一个直角边成正比，那么这两个直角三角形是相似的

垂直法：两个直角三角形除以斜边上的高度，与原三角形相似。

1、A型或仿A型相似

2、8型或仿8型相似

3、K型相似

4、子母型相似 用DE//AB，DG/AF=GE/BF。

如果AD等于BAC，AB/AC=BD/CD。

Ae=effg如果四边形ABCD是平行四边形。

如果DAC=DBC，ADE~BCE，AEB~DEC可以推导出来，即上下相似可以导致左右相似。

同理，左右相似可以导致上下相似。