绵阳市2023年高三第三次诊断测试文科数学含答案

2022-2023学年四川省绵阳中学高三三诊模拟数学试题（二）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知集合{}24x A x =≤∣，{}2log 2B xx =≤∣，则A B ⋂=（ ） A ．{}2x x ≤∣ B ．{02}x x <≤∣ C ．{}4xx ≤∣D ．{04}x x <≤∣2．若复数z 满足()1317i z i -=-，则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．已知命貪()0:0,p x π∃∈，0sin 0x <命题:1q x ∀>，2log 0x >，则下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧B ．p q ∨⌝C ．()p q ⌝∨D ．p q ⌝∧4．世界人口变化情况的三帞统计图如图所示．下列结论中错误的是（ ）A ．从折线图能看出世界人口的总量还羞年份的增加而增加B ．2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多C ．1957年到2050年各洲中北桊洲人口睇长速度最僈D ．2050年南美洲及大洋洲人口之和与欧洲人口基本持平 5．函数()21sin 2f x x x x =-的大致图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知1sin cos 5αα+=，其中,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan2α=（ ） A ．247-B ．43-C ．724D ．2477．已知直角三角形ABC ，90C ∠=︒，4AC =，3BC =，现将该三角形沿斜边AB 旋转一周，则旋转形成的几何体的体积为（ ） A ．12π B ．16π C ．485πD ．243π8．某校迎新晩会上有6个节目，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在第三位，且节目丙、丁必须排在一起．则该校迎新晩会节目演出顺序的编排方案共有（ ）A ．36种B ．48种C ．72种D ．120种9．已知函数()()cos 0,2f x A x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的部分图像如图所示，则（ ）A ．()cos 6f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭B ．()sin 6f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．()f x 在8,23ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增 D ．若()f x θ+为偶函数，则()6k k πθπ=+∈Z10．第24届冬季奥林匹克运动会，于2022年2月在北京和张家口举行，北京冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，运用中国书法的艺术形态，将厚重的东方文化底葅与国际化的现代风格融为一体，呈现出新时代的中国新形象、新梦想．会徽图形上半部分展现滑冰运动员的造型，下半部分表现滑雪运动员的英姿．中间舞动的线条流畅且充满韵律，代表举办地起伏的山峦、赛场、冰雪滑道和节日飘舞的丝带，下部为奥运五环，不仅象征五大洲的团结，而且强调所有参赛运动员应以公正、坦诚的运动员精神在比赛场上相见．其中奥运五环的大小和间距按以下比例（如图）：若圆半径均为12，且相邻圆圆心水平距离为26，两排圆圆心垂直距离为11，设五个圆的圆心分别为1O ，2O ，3O ，4O ，5O ，若双曲线C 以1O ，3O 为焦点、以直线24O O 为一条渐近线，则C 的离心率为（ ）A ．29011 B ．29013 C ．1311 D ．12511．已知正方体1111ABCD A B C D 的棱长为a ，点E ，F ．G 分别为棱AB ，1AA ，11C D 的中点，下列结论中正确的个数是（ ）①过E ，F ，G 三点作正方体的截面，所得截面为正六边形：②11B D ∥平面EFG ：③异面直线EF 与1BD 所成角的正切值为2；④四面体11ACB D 的体积等于等33a ．A ．1B ．2C ．3D ．412．已知实数0a >， 2.718e =，对任意()1,x ∞∈-+，不等式()e e 2ln x a ax a ⎡⎤≥++⎣⎦恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．10,e⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．20,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．2,1e ⎛⎫⎪⎝⎭二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分．请把答案填在答题卡相应的位置） 13．已知平面向量()2,1a =-，(),2b k =-，若a b ∥，则32a b +=______．14．在ABC △中，已知120B =︒，AC =，2AB =则BC =______．15．已知抛物线2:2C y x =的焦点为F ，过F 且垂直于x 轴的直线l 与C 交于A ，B 两点，则以线段AB 为直径的圆被y 轴所截得的弦长为______．16．已知四棱锥P ABCD -的各个顶点都在球O 的表面上，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD是等腰梯形，AD BC ∥，3AB AD CD ===，3ABC π∠=，PA =M 是线段AB上一点，且AM AB λ=．过点M 作球O 的截面，所得截面圆面积的最小值为2π，则λ=______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17—21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． 17．已知数列{}n a 是首项114a =，公比14q =的等比数列，设()*1423log N n n b a n +=∈，数列{}n c 满足n n n c a b =．（1）证明：数列{}n b 成等差数列．（2）若2114n c m m ≤+-对一切正整数n 恒成立，求实数m 的収值范围． 18．为调查A ，B 两种同类药物在临床应用中的疗效，药品监管部门收集了只服用药物A和只服用药物B 的患者的康复时间，经整理得到如下数据：假设用频率估计概率，且只服用药物A 和只服用药物B 的患者是否康复相互独立．（1）若一名患者只服用药物A 治疗，估计此人能在14天内康复的概率；（2）从样本中只服用药物A 和只服用药物B 的患者中各随机抽取1人，以X 表示这2人中能在7天内康复的人数，求X 的分布列和数学期望：19．如图在棱锥P ABC -中，侧面PAC 是等边三角形，AB BC ⊥，PB PC =．（1）证明：平面PAC ⊥平面ABC ；（2）若24AC AB ==，则在棱PA 上是否存在动点M ，使得平面MBC 与平面ABC 的夹角为60︒？若存在，试确定点M 的位置；若不存在，说明理由．20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>离心率为1e ，短轴长为2，双曲线22:13y E x -=的离心率为2e ，且122e e =．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆C 的右焦点2F 的直线交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交直线:2l x =-于点M ，交直线AB 于点N ，当MAN ∠最小时，求直线AB 的方程．21．已知函数()21ln 12f x x x x x =---．（1）求()f x 的单调区间； （2）若函数21()(2)(1)ln 12g x x a x a x =+-+--恰有两个零点，求正数a 的取值范圈． （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题做答。

第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}1==x x M ，{}x x x N ==2，则=⋃N M ( )A.{}1B.{}1,1-C.{}1,0D.{}1,0,1-2.复数25-i 的共轭复数是( ) A.i +-2 B.i +2 C.i --2 D.i -23.某设备零件的三视图如右图所示，则这个零件的体积为( )A.8B.6C.4D.3 【答案】B考点：三视图，几何体的体积.4.已知命题a x R x p ≥∈∃sin ,:，下列a 的取值能使“p ⌝”命题是真命题的是( ) A.2=a B.1=a C.0=a D.R a ∈5.执行如右图所示的程序框图，如输入2=x ，则输出的值为( )A.5B.5log 8C.9D.9log 8 【答案】D【解析】试题分析： 由程序框图可知，程序在运行过程中各变量值变化如下表：x是否满足条件y第一次循环 2 5x >否 第二次循环 3 5x >否 第三次循环 5 5x >否第四次循环 95x >是9log 81y >是输出9log 8故选D .考点：算法与程序框图，对数函数的性质.6.点P 在边长为1的正方形ABCD 内运动，则动点P 到顶点A 的距离1＜PA 的概率为( ) A.41 B.21 C.4πD.π 【答案】C 【解析】7.函数4ln )2()44ln()2()(2--+--=x x x x x f 的零点个数为( )A.3B.2C.1D.0 【答案】B 【解析】8.已知函数)0(sin )(＞w wx x f =的一段图像如图所示，△ABC 的顶点A 与坐标原点O 重合，B 是)(x f 的图像上一个最低点，C 在x 轴上，若内角C B A ,,所对边长为c b a ,,，且△ABC 的面积S 满足22212a c b S -+=，将)(x f 左移一个单位得到)(x g ，则)(x g 的表达式为( )A.)2cos()(x x g π=B.)2cos()(x x g π-=C.)212sin()(+=x x g D.)212sin()(-=x x g【答案】A 【解析】试题分析：自点B 向x 轴作垂线，D 为垂足.考点：三角函数的性质，三角函数图象的变换，三角函数诱导公式，余弦定理的应用.9.已知椭圆)0(1222＞＞n m ny m x =+的左顶点为A ，右焦点为F ，点B 在椭圆上.BC ⊥x 轴，点C 在x 轴正半轴上.如果△ABC 的角C B A ,,所对边分别为c b a ,,，它的面积S 满足)(5222c a b S --=，则椭圆的离心率为( ) A.41 B.51 C.22 D.42 【答案】B【解析】无法确定选项！考点：椭圆的几何性质，余弦定理的应用.10.设R c b a ∈,,，且2=++c b a ，12222=++c b a ，则c 的最大值和最小值的差为( ) A.2 B.310 C.316 D.320 【答案】C 【解析】考点：一元二次方程，一元二次不等式的解法，转化与化归思想.第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分 ，共25分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.11.为了参加全市的中学生创新知识竞赛，绵阳一中举行选拔赛，共有2000名学生参加.为了了解成绩情况，从中抽取了50名学生成绩（得分均为整数，满分100分）进行统计请你根据如下表所示未完成的频率分布表，估计该校成绩超过80分的人数为______.【答案】900 【解析】试题分析：由表知，第2组的频率为150.350=；平移直线2=0x y -，当直线经过点33A （，）时，m a x z 23-3=3=⨯. 考点：简单线性规划13.已知幂函数)(x f y =的图像经过点)22,21(，则=+)5(lg )2(lg f f _________. 【答案】12【解析】14.已知,a b 是两个单位向量，且3ka b a kb +=-，若,a b 的夹角为60°则实数=k ___. 【答案】1 【解析】15.对非负实数m “四舍五入”到个位的值记为m .如048.0=，164.0=，1495.1=， ........,若2332x x <-+>=，则=x ________.三、解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16. （本小题满分12分）已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，693,,S S S 成等差数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的公比q ； （Ⅱ）证明：582,,a a a 成等差数列.【答案】（Ⅰ）342q =-．（Ⅱ）证明：见解析. 【解析】解得：1q =（舍去），或342q =-．…………………………………………………7分 （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知3612q q +=，∴ 4325111(1)a a a q a q a q q +=+=+671122a q q a q =⋅=， ∵ 78122a a q =，∴ 2582a a a +=，即582,,a a a 成等差数列． ……………………………………12分 考点：等比数列的求和公式，等差数列的性质.17.（本小题满分12分）绵阳市农科所研究出一种新的棉花品种，为监测长势状况.从甲、乙两块试验田中各抽取了10株棉花苗，量出它们的株高如下（单位：厘米）：（Ⅰ）画出两组数据的茎叶图，并根据茎叶图对甲、乙两块试验田中棉花棉的株高进行比较，写出两个统计结论；（Ⅱ）从甲、乙两块试验田的棉花苗株高在[23,29]中抽3株，求至少各有1株分别属于甲、乙两块试验田甲 37 21 31 20 29 19 32 23 25 33 乙10 30 47 27 46 14 26 10 44 46的概率.根据茎叶图可得统计结论如下：结论一：甲试验田棉花苗的平均珠高度小于乙试验田棉花苗的平均珠高．结论二：甲试验田棉花苗比乙试验田棉花苗长得整齐． ………………………………6分 （Ⅱ）甲试验田中棉花苗株高在[23，29]共有3株，分别记为A ，B ，C ， 乙试验田中棉花苗株高在[23，29]共有2株，分别记为a ，b ， 从甲，乙两块试验田中棉花苗株高在[23，29]中抽3株基本事件为：ABC Aab Bab Cab ABa ACa BCa ABb ACb BCb ，，，，，，，，，共10个． ……8分其中，甲，乙两块试验田中棉花苗至少各有1株的基本事件为：Aab Bab Cab ABa ACa BCa ABb ACb BCb ，，，，，，，，，共9个， ……………10分∴ 910P =．……………………………………………………………………………12分 考点：茎叶图，古典概型.18.（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点),(),,(2211y x B y x A 在单位平面上，∠xOA=α，∠AOB=4π，且(,)62ππα∈.（Ⅰ）若cos(α+3π)147-=，求1x 的值；（Ⅱ）过点A,B 分别做x 轴的垂线，垂足为C 、D ，记△AOC 的面积为S 1，△BOD 的面积为S 2.设f(α)=S 1+S 2,求函数f(α)的最大值.【答案】（Ⅰ）1277x =．（Ⅱ）max 3()34f παα==，． 【解析】试题分析：（Ⅰ）由三角函数的定义有12cos cos()3x x παα==+，，结合角的取值范围，即得max 3()34f παα==，． 试题解析：（Ⅰ）由三角函数的定义有12cos cos()3x x παα==+，， ……………………2分∵ 7cos()()31462πππαα+=-∈，，， ∴ 321sin()314πα+=， ………………………………………………………………4分 ∴ 1cos cos ()cos()cos sin()sin 333333x ππππππαααα⎡⎤==+-=+++⎢⎥⎣⎦，∴ 1277x =． …………………………………………………………………………6分19.（本小题满分12分）如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是梯形，且满足AD=DC=CB=a AB =21在直角梯形ACEF 中，︒=∠90,21//ECA AC EF ，已知二面角E-AC-B 是直二面角. （Ⅰ）求证：AF BC ⊥； （Ⅱ）求多面体ABCDEF 的体积.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）D ACEF B ACEF V V V --=+33316a =． 【解析】试题分析：（Ⅰ）根据已知条件，取AB 的中点G ，连结CG ．得到DC//AG ． 又推知四边形ADCG 是平行四边形，得AD=CG=a ， 得到AC ⊥BC ．进一步BC ⊥平面ACEF ． 得到 BC ⊥AF ．（Ⅱ）根据面面垂直、线面垂直得到BC 、DH 分别是四棱锥B-ACEF 、D-ACEF 的高． 根据平行四边形、直角三角形，确定211333()(3)22228ACEFa a S EF AC CE a a =+⋅=+⋅=四边形，（Ⅱ）解：连结DG 交AC 于H ，连结FH ． ∵ 平面ACEF ⊥平面ABCD ， 由（Ⅰ）知BC ⊥面ACEF ，DH//BC ， ∴ DH ⊥面ACEF ．即BC 、DH 分别是四棱锥B-ACEF 、D-ACEF 的高． 在Rt △ACB 中，2243AC a a a =-=，EF=32a ． 由EF//21AC//CH ，且∠ACE=90º，知四边形HCEF 是矩形， ∴ FH//EC ，于是FH ⊥AH ． 在Rt △FAH 中，222231()22CE FH AF AH a a a ==-=-=． ∴ 211333()(3)22228ACEFa a S EF AC CE a a =+⋅=+⋅=四边形， ∴ D ACEF B ACEFV V V --=+2213313338382a a a a =⨯⨯+⨯⨯33316a =．………12分 考点：平行关系，垂直关系，几何体体积计算.20.（本小题满分13分）已知函数,221ln )(2x ax x x f --=其中0,≠∈a R a . （Ⅰ）若))1(,1(f 是)(x f 的一个极值点，求a 的值；（Ⅱ）若函数)(x f 的图像上任意一点处切线的斜率1-≥k 恒成立，求实数a 的最大值； （III ）试着讨论)(x f 的单调性.【答案】（Ⅰ）a=-1． （Ⅱ）a 的最大值为14-．（Ⅲ）①当a 1≤-时，)(x f 在(0)+∞，上是增函数； ② 当10a -<<时，)(x f 在11(0)a a +-，上是增函数，在1111()a a a a+--+-，上是减函数，在11()a a-+-+∞，上是增函数；∵ (1，f(1))是)(x f 的一个极值点， ∴(1)120f a '=--=，解得a=-1．……………………………………………………………………………3分 （Ⅱ）由题意知x>0，且1()2f x ax x '=--≥-1恒成立，即a ≤211x x-. 令g(x)=211x x -，于是323212()x g x x x x--'=+=，∴ 当x ≥2时，()g x '0≥，即()g x 是[2+)∞，上的增函数，当0<x<2时，()g x '0<，即()g x 是(0，2)上的减函数，∴ 当x=2时，()g x 取最小值g(2)=14-，∴ a ≤14-，即a 的最大值为14-．…………………………………………………7分（Ⅲ）∵ 1()2f x ax x'=-+=221ax x x --+，设2()21(00)x ax x x a ϕ=--+>≠，，① 当a 0>时，③当a 0>时，)(x f 在11(0)a a +-，上是增函数，在11()a a+-+∞，上是减函数． ……………………………………………………13分考点：应用导数研究函数的单调性、最（极）值，转化与化归思想，不等式恒成立问题，不等式解法. 21.（本小题满分14分） 已知圆E 的圆心在x 轴上，且与y 轴切于原点.过抛物线y 2=2px(p ＞0)焦点F 作垂直于x 轴的直线l 分别交圆和抛物线于A 、B 两点.已知l 截圆所得的弦长为3,且FB FA 32=.（Ⅰ）求圆和抛物线的标准方程；（Ⅱ）若P 在抛物线运动，M 、N 在y 轴上，且⊙E 的切线PM （其中B 为切点）且PN ⊙E 与有一个公共点，求△PMN 面积S 的最小值.【答案】（Ⅰ）抛物线的方程为2y 2x =，圆的方程为()22x 1y 1-+=． （Ⅱ）S △PMN 的最小值为8．【解析】试题分析： （Ⅰ）设圆的标准方程为()()222x r y rr 0-+=>，由已知有F(2p ，0)，即|EF|=r-2p ．根据 l 截得的弦长为3，从而22200020448()(2)x y x b c x +--=-， 利用200y 2x =，化简得到220204()(2)x b c x -=-，即0022x b c x -=-．从而PMN S ∆=00000014()(2)4222x b c x x x x x -⋅=⋅=+-+--2=448≥+.又直线PM 与圆()22x 1y 1-+=相切，∴0022001()y b x b y b x -+=-+，化简得22200002()x x b y b x b =-+．按题意，0x 2>，上式化简得，2000(2)20x b y b x -+-=．…………………………8分 同理，由直线PC 与圆()22x 1y 1-+=相切，可得2000(2)20x c y c x -+-=．………9分∴ 由根与系数的关系知，0022y b c x -+=-，002x bc x -=-，。

2022年四川省绵阳市高考数学三诊试卷（文科）一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，，则( )A. B. C. D.2.若复数，则z的共轭复数为( )A. B. C. D.3.某车间从生产的一批产品中随机抽取了1000个零件进行一项质量指标的检测，整理检测结果得此项质量指标的频率分布直方图如图所示，则下列结论错误的是( )A.B. 估计这批产品该项质量指标的众数为45C. 估计这批产品该项质量指标的中位数为60D. 从这批产品中随机选取1个零件，其质量指标在的概率约为4.已知，是两个不同的平面，m是一条直线，若，则“”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件5.已知函数，则( )A. 为奇函数B.C. 在上单调递增D. 的图象关于点对称6.已知曲线在处的切线为l，若l与：相切，则实数( )A. 2或B. 或3C. 2D. 37.函数的部分图象如图所示，则( )A.B. 1C.D.8.在2022年北京冬奥会开幕式上，二十四节气倒计时惊艳亮相，与节气相配的14句古诗词，将中国人独有的浪漫传达给了全世界．我国古代天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度，二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．已知雨水的晷长为尺，立冬的晷长为尺，则冬至所对的晷长为( )A. 尺B. 尺C. 尺D. 尺9.若抛物线的焦点为F，直线l：与抛物线交于A，B两点，且，则( )A. B. C. 2 D. 410.今4名医生分别到A 、B 、C 三所医院支援抗疫，每名医生只能去一所医院，且每个医院至少去一名医生，则甲、乙两医生恰好到同一医院支援的概率为( )A.B.C.D.11.某几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图均为等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为( )A.B.C.D.12.在给出的①；②；③三个不等式中，正确的个数为( )A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

一、单选题二、多选题1. 若函数为奇函数,且,若,则的值为A ．1B．C ．2D．2.瑞士数学家贝努利提出了一个重要的不等式：设实数，则，该不等式被称为“贝努利不等式”．当比较接近于0时，，常被用于估值问题，则方程的根的近似值为（ ）（结果保留四位小数）A ．1.0003B ．1.0006C ．1.0008D ．1.00503.若函数(其中)图象的一个对称中心为，其相邻一条对称轴方程为，且函数在该对称轴处取得最小值，为了得到的图象，则只要将f （x ）的图象（ ）A ．向右平移个单位长度B ．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D ．向左平移个单位长度4.已知正四棱锥，各棱长均为6，正四棱锥中存在一点，使得到四棱锥八条棱的距离均相等，则点到各棱的距离为（ ）A ．3B．C ．2D ．45. 已知双曲线的中心在原点，一个焦点为，点在双曲线上，且线段的中点坐标为，则此双曲线的方程是A．B．C．D．6. 若函数在定义域上存在最小值，则当取得最小值时，（ ）A．B．C．D．7. 《中华人民共和国国家标准综合排放标准》中一级标准规定的氨氮含量允许排放的最高浓度为15ml/L ．某企业生产废水中的氨氮含量为450ml/L ，现通过循环过滤设备对生产废水的氨氮进行过滤，每循环一次可使氨氮含量减少，要使废水中的氨氮含量达到国家排放标准，至少要进行循环的次数为(参考数据lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)（ ）A ．3B ．4C ．8D ．98. 直线l 与双曲线的一条渐近线平行，且l 过抛物线的焦点，交C 于A ，B 两点，若，则E 的离心率为（ ）A ．2B．C．D．9. 已知向量，，且与的夹角为，则（ ）A．B．C．D．10.已知点，若过点的直线交圆于两点，是圆上的动点，则（ ）A．的最小值为2B ．的最大值为C．的最小值为D ．当取最大值时，底边上的高所在的直线方程为11. 如图，棱长为2的正方体中，点分别是棱的中点，则（ ）四川省绵阳市2023届高三三模文科数学试题(3)四川省绵阳市2023届高三三模文科数学试题(3)三、填空题四、解答题A ．直线为异面直线B．平面C．过点的平面截正方体的截面面积为D．点是侧面内一点（含边界），平面，则的取值范围是12. 若，为正整数且，则（ ）A．B．C．D．13. 圆心在直线上的圆与轴的正半轴相切，圆截轴所得弦的长为，则圆的标准方程为____________.14. 若函数的最小值为，则实数a 的取值范围是___________.15. 已知则的值为______16.在递增的等比数列中，，是一元二次方程的根.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.17. 记的内角的对边分别为，已知．(1)求角的大小；(2)若，求的取值范围．18. 如图1，在直角梯形中，，，，，.现沿平行于的折叠，使得且平面，如图2所示.(1)求的长度；(2)求二面角的大小.19. 如图，在多面体中，平面平面.四边形为正方形，四边形为梯形，且，是边长为1的等边三角形，M 为线段中点，.(1)求证：；(2)求直线与平面所成角的正弦值；(3)线段上是否存在点N，使得直线平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.20. 已知数列满足.(1)设，求证数列是等比数列；(2)设，求数列的前项和的最值.21. 已知点F为椭圆的右焦点，椭圆上任意一点到点F距离的最大值为3，最小值为1.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若M为椭圆C上的点，以M为圆心，长为半径作圆M，若过点可作圆M的两条切线(为切点)，求四边形面积的最大值.。

绵阳市高中2020级第三次诊断性考试理科数学参考答案及评分意见一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． CBDAC AADCB BA二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．3 14．2 15．116．21三、解答题：本大题共6小题，共70分．17．解：（1）抽取的3个销售终端中至少有2个销售终端的年销售额超过40万元的概率2134164320557C C C P C ． ········································································· 5分 （2）由样本估计总体，从全国随机抽取1个销售终端，春季新款的年销售额超过40万元的概率是15，随机变量 ～B 1(3)5，． ··············································· 6分00331464(0)()()55125P C ， ······························································· 7分1231448(1)55125（）P C ，······························································ 8分2231412(2)(55125P C ， ································································ 9分3303141(3)()(55125P C ． ······························································ 10分的分布列为：·································································································· 11分∴的期望为：3()5E np ． ···························································· 12分18．解：（1）证明：取AC 的中点为O ，连接BO ，PO ．∵PA =PC ，∴PO AC ． ···································································· 1分∵4PA PC AC ，∴90APC ， ················································································ 2分 ∴122PO AC，同理2BO ． ························································· 3分又PB 222PO OB PB ，即PO OB ． ·································· 4分∵AC OB O ，AC ，OB 平面ABC ， ∴PO 平面ABC ． ··········································································· 5分又PO 平面PAC ，∴平面PAC平面ABC ． ··································································· 6分（2）∵PO 平面ABC ，OB AC ，则PO OB ． 又PO OC ，建立如图所示空间直角坐标系O -xyz ，则(200)，，A ，(020)B ，，，(200)，，C ，(002)，，P ，24(0)33，，M ，············· 7分∴(202)，，AP uu u r， 220，，AB uu u r ．设平面PAB 的法向量为n ()，，x y z ，由0=0，，n AP n AB得220220，，x z x y 令1x ，得n (111)，，， ························· 9分 同理，平面APM 的法向量为m (121)，，， ············································· 10分∵cos cos 3，m n m n m n， ··················································· 11分∴二面角余弦值为3． ···································································12分 19．解：（1）由)n n S T ，令n =1，得11111))23=a S T b ，即12=a ， ·························· 2分又∵4134a a d ，∴等差数列{n a }的公差2 d ，42 n a n ， ··········································· 4分∴21()32n n n a a S n n， ································································ 5分 ∴nn n T 32)3( ． ············································································· 6分（2）当2≥n时，22(1)3(1)54-1n n nn n T ， ······································ 7分∴当2≥n时，24213n n nn n T b T，················································· 8分 当1n 时，311b 也满足上式，所以23n n b (n N )． ····························· 9分 ∴2243=n n n n a n c b， 要使11n n n c c c 成立，即321262422333n n n n n n ， ······························· 10分 解得n =4， ······················································································· 11分∴323c，449c ，529c ，满足：4c 为3c ，5c 的等差中项， ∴存在n =4符合题意． ······································································· 12分20．解：（1）221()x ax f x x， ······························································· 1分∵()f x 在1(2)2上即有极大值又有极小值，所以方程2210x ax 在1(2)2上有两不等实根， ·································· 2分令2()21g x x ax ，则280122413(0222(2)920a a a g g a， ············································ 3分解得：3a ，所以实数a的取值范围为：3a ． ················································ 5分（2）设切点为00()，x y ，其中22x ，则由题意可得： 200020000211ln ，，x ax x x a x x ax····································································· 6分 整理得：00121a x x， ··································································· 7分 ∴200001ln 220x x x x，（ ） 令21()ln 22h x x x x x)2（x ， 则22211(1)(21)()22x x h x x x x x ， ············································ 8分由2210x ， 易知：()h x在12（上单调递增，在1)（， 上单调递减． ························ 9分 ∴()(1)0≤h x h ，所以方程（ ）只有唯一解：01x ， ··························· 10分所以：2a ． ·················································································· 12分 21．解：（1）设M (x 1，y 1)， N (x 2，y 2)，直线l ：y =x −2， ······························· 1分联立方程222x y y px，整理得：2240y py p ，···································· 2分由韦达定理：121224y y py y p ， ······························································· 3分12MN y························································· 4分解得：12p，故抛物线的方程为：y 2=x ．··············································· 5分 （2）方法一：设y 1=a ，则2()，M a a ，联立直线MN 与抛物线C 方程可得：22x ty y x，整理得：220y ty ；由韦达定理：y 1 y 2=−2，则y 2=2a； ······················································ 7分 联立直线MP 与抛物线C 方程可得：23x ny y x，整理得：230y ny ，由韦达定理：y 1 y 3=−3，则y 3=3a． ······················································ 8分 ∴121=+=PMN PAN PAM PAMy y S S S S y121313111()()156()22y y y y y y y y3165=()2a aa ······························································· 10分 令365()h a a a a，∴224244(51822()a a a a h a a a由()0h a解得：a，由()0h a解得：0a ， ∴()h a在区间单调递减，在) 单调递增， ··········· 11分 ∴当252a时，h (a )取得最小值. 故M的横坐标为52． ············· 12分 （2）方法二：延长PN 交x 轴于点Q ， 设 P (x 3，y 3)，Q (x 4，0)，y 1=a ，则2()，M a a ， 联立直线MN 与抛物线C 方程可得：22x ty y x，整理得：220y ty ， 由韦达定理：y 1 y 2=−2，则y 2=2a ，故N (242a a)， ·································· 7分联立直线MP 与抛物线C 方程可得：23x ny y x，整理得: 230y ny ，由韦达定理：y 1 y 3=−3，则y 3=3a ，故P (293，a a)， ·································· 9分 ∵Q ，N ，P 三点共线，故QNNP k k ，代入得：4222145aa x a a，解得：426x a ，∴2102(QN a a，2153()，QP a a，即23QN QP ，故13NP QP ， 则1323111163165==(3)()=()33262MNP MQP S S QB y y a a a a a a ，········ 10分令365()h a a a a ，则424518()a a h a a ，当252a时，h (a )取得最小值， ···················································· 11分 故M的横坐标为52． ································································· 12分 22．解：（1）可得圆C 的标准方程为：22(2)4x y ，∴ 圆C 是以C （2，0）为圆心，2为半径的圆， ······································ 2分 ∴ 圆C 的参数方程为：22cos 2sin x y（ 为参数）． ····························· 5分（2）∵||AB ，可得2ACB， ·················································· 6分不妨设点A 所对应的参数为 ，则点B 所对应的参数为2，∴(22cos 2sin )，A ，则(22cos(2sin())22，B，即B 22sin 2cos ， ， ··································································· 7分∴ 1122cos 2sin x y，2222sin 2cos -x y，∴ 1212x x y y =22cos )(22sin )2sin 2cos （ ······························ 8分=44(cos sin ) =4+)4， ······························ 9分∵[02]， ，则9[]444，，∴ 当cos(4=1，即 =74时，1122x y x y 的最大值为4 ． ·········· 10分 23．解：（1）由a =1，则2b +3c =3，由柯西不等式，得222(]23)≥b c ，····························· 2分∴21153()232≤ ， ····························································· 3分∴2，当且仅当92105b c 时等号成立． ···························· 5分 （2）∵a +2b +3c =4，即2b +3c =4−a ，2 2 ， ············································· 6分又由（1）可知：222(23)≥b c ，···························· 7分∴25(4)(26≥a ，即1140≤a ， ········································· 8分t ，所以2112440≤t t ， 解得：2211≤≤t ，即44121≤≤a ， ························································· 9分 又2b +3c =4−a ，且b >0，c >0，∴4−a>0，即a<4，综上可得，44121≤a ． ···································································· 10分。

绵阳市高中2021级第三次诊断性考试文科数学参考答案及评分意见一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．CDACC ACCBD CA二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．2 1415．45π 16三、解答题：本大题共6小题，共70分．17．解：（1）①当1n =时，11614a a =+，则112a =． ································· 1分②当2n ≥时，由614n n S a =+，得11614n n S a −−=+， ····························· 2分 两式相减，得1644n n n a a a −=−， ······················································ 3分 ∴12n n a a −=−，即12(2)nn a n a −=−≥，·················································· 4分 ∴数列{}n a 是以112a =为首项，2−为公比的等比数列， ······················· 5分 ∴11(2)2n n a −=⋅−． ········································································ 6分（2）由（1）得21211[1(2)]1421(2)63n n n n b S ++−−===+−−， ····························· 8分可知数列4{}3n 是以43为首项，4为公比的等比数列， ··························· 9分∴4(14)3614n n nT −=+− ···································································· 10分 14469n n +−=+ ······································································· 11分2323818n n ++−=．（也可不计算到此步） ····································· 12分18．解：（1）调试前，电池的平均放电时间为：2.5×0.02×5+7.5×0.06×5+12.5×0.08×5+17.5×0.04×5=11小时， ·········· 4分调试后的合格率为：0.1×5+0.06×5=0.8，则0.812aa =+， ······················ 5分 ∴a =48； ···················································································· 6分（2）由列联表可计算()2210024124816 4.762 3.84140607228K ⨯⨯−⨯=≈>⨯⨯⨯， ················ 10分∴有95%的把握认为参数调试能够改变产品合格率． ························· 12分 19．解：（1）∵E 是BP 的中点，AB =AP ，∴AE ⊥PB ， ················································································ 1分 又平面P AB ∩平面PBC =PB ，且平面P AB ⊥平面PBC ，∴AE ⊥平面PBC ， ······································································· 2分 过D 作DF ⊥PC 交PC 于F ，∵平面PCD ⊥平面PBC ，且平面PCD ∩平面PBC =PC ，∴DF ⊥平面PBC ， ······································································· 4分 ∴AE ∥DF ， ················································································ 5分 又DF ⊂平面PCD ，AE ⊄平面PCD ，∴AE ∥平面PCD ； ······································································· 6分 （2）∵AD ∥BC∴V C -PBD =V D -PBC =V A -PBC =V C -P AB ， ∴V C -PBD =V C -P AB =13S △ABP ·d ， ··························································· 8分 又∵平面PBC ⊥平面P AB ，过C 作CH ⊥PB 交PB 于H ，∴CH ⊥平面P AB ， ······································································· 9分在直角△CHB 中：·sin45d CH BC ︒===，···················· 10分 ∴ 221sin 332C PBD ABPV S AB AP BAP −==⋅⋅⋅∠， ································ 11分 ∴当sin ∠BAP =1时，体积的最大值为83． ······································ 12分20．解：（1）解：当1=a 时，2211()()ln 24f x x x x x x =+−−， ······················· 1分 ()(1)ln f x x x '=+， ········································································· 2分此时切线斜率为：e 1k =+； ··························································· 3分 所以曲线()f x 在(e ，(e)f )处的切线方程：21e (e 1)(e)4y x −=+− ·············· 4分 即：23(e 1)e e 04x y +−−−=； ··························································· 5分 （2）证明方法一：因为()()(ln ln )f x x a x a '=+−， ································ 6分 由()0f x '>得到a x >；由()0f x '<得到a x <<0．∴()f x 在)0(a ，单调递减，在)(∞+，a 单调递增． ∴2min 5()()4f x f a a ==−， ····························································· 7分 要证15()(1ln )e 4a f x a −>−+，即证：2155(1ln )e 44a a a −−>−+，只需证：121ln e 1(1)a a a a −+>>，······················································· 8分 设121ln ()e x x g x x−+=，即证：()1g x >在(1)x ∈+∞，恒成立. ·············· 9分 则13[(2)ln 1]()e x x x x g x x−−+−'=， 令()(2)ln 1h x x x x =−+−， ······················································· 10分 ∴2()ln 2h x x x'=−+， ∴()h x '在(1)+∞，上单调递增，则()(1)0h x h ''>= ∴()h x 在(1)+∞，上单调递增，则()(1)0h x h >= ··························· 11分 ∴()0g x '>在(1)+∞，恒成立，则()h x 在(1)+∞，上单调递增， ∴()(1)0g x g >=，原不等式得证. ················································ 12分 方法2：因为)ln )(ln ()(a x a x x f −+='， ··········································· 6分 由()0f x '>得到a x >；由()0f x '<得到a x <<0．∴()f x 在)0(a ，单调递减，在)(∞+，a 单调递增．∴2min 45)()(a a f x f −==， ···························································· 7分 要证15()(1ln )e 4a f x a −>−+，即证：2155(1ln )e 44a a a −−>−+，即证：21(1ln )e (1)a a a a −<+>，即证：11ln (1)e a a a a a−+<>， 只需证：11ln e x x xx−+<， 令1()e x x g x −=，则1ln (1ln )xg x x++=， 即证：()(1ln )g x g x <+， ···························································· 8分 又∵11()e x x g x −−'=，且1x >，则11()0e x xg x −−'=<， ∴()g x 在(1)x ∈+∞，单调递减， ··················································· 9分 又(1)x ∈+∞，，1ln (1)x +∈+∞，， ∴即证1ln x x >+，只需证：1ln 0x x −−>， ································ 10分 令()1ln h x x x =−−， ∴'1()10h x x=−>，则()h x 在(1)x ∈+∞，单调递增， ···················· 11分 ∴()(1)0h x h >=，即1ln 0x x −−>，所以原不等式得证． ·············· 12分21．解：（1）离心率e =12b a =，① ······························· 1分当x =1，y =±||=2AB ，② ··························· 3分 联立①②得: 21，a b ==， ··························································· 4分故椭圆C 方程为：2214x y +=； ······················································ 5分 （2）设过F ，A ，B 三点的圆的圆心为Q (0，n )，1122()()A x y B x y ，，，，又(0)F ，则22||=||QA QF ，即222211(0)()(0(0)x y n n −+−=+−， ················ 6分又11()A x y ，在椭圆2214x y +=上，故221114x y +=， 带入上式化简得到：2113210y ny +−=，③ ········································· 7分同理，根据22=QB QF 可以得到：2223210y ny +−=，④ ··················· 8分由③④可得：12,y y 是方程23210y ny +−=的两个根，则1213y y =−， ····· 9分设直线AB ：1x ty =+，联立方程：22141x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理得：22(4)230t y ty ++−=，⑤ ··············································· 10分 故1223143y y t −==−+，解得：25t =，∴t =， ·············································································· 11分 ∴直线l的斜率为：5±． ·························································· 12分 22．解：（1）方法一：令0=x ，即0sin 3cos =+αα，解得33tan −=α， ······································································· 1分 ∴ππαk 265+=或Z k k ∈+=，ππα2611， ········································· 2分当ππαk 265+=时，4)23(3212=−⨯−+=y ； ································ 3分 当ππαk 2611+=时，0233212=⨯−−=y ， ··································· 4分 ∴曲线C 1与y 轴的交点坐标为（0，4），（0，0）． ······························· 5分 方法二：消参：由C 1的参数方程得：431)cos 3(sin )sin 3(cos )2(2222=+=−++=−+ααααy x ，············· 1分 即曲线C 1的普通方程为：4)2(22=−+y x ， ······································ 2分 令0=x ，得0=y 或4， ································································ 4分 ∴曲线C 1与y 轴的交点坐标为（0，4），（0，0）． ······························· 5分（2）方法一：将曲线C 1：4)2(22=−+y x 化为极坐标方程，得：θρsin 4=， ·········································································· 6分联立C 1，C 2的极坐标方程⎪⎩⎪⎨⎧==+θρπθρsin 42)3sin(，得θsin 42)3sin(=+⋅πθ， 从而1)cos 3(sin sin =+θθθ，则12sin 2322cos 1=+−θθ ··················· 7分 整理得：21)62sin(=−πθ，所以65662πππθ或=−， ····························· 8分即26ππθ或=， ············································································ 9分∴∠AOB 362πππ=−=． ······························································· 10分方法二：将C 2的极坐标方程2)3sin(=+πθρ，化为直角坐标方程：043=−+y x ， ··············································· 6分 ∴C 2是过点（0,4）且倾斜角为32π的直线， ······································· 7分 不妨设B （0,4），则∠OBA 6π=，因为BO 为直径，所以∠BAO 2π=， ···· 9分∴∠AOB 362πππ=−=． ······························································· 10分23．解：（1）由b a b a 33+=+，得3)(3=⇒+=+ab abb a b a ， ① ··················· 1分 又由2)())(=−=−−−≥−+−=a b b x a x b x a x x f （， ························ 3分 且0>>b a ，所以2=−b a ， ② ······················································ 4分 由①②得：1,3==b a ； ································································· 5分 （2）t t t t bt at +−=+−=+−13333， ································ 6分令20,sin πθθ≤≤=t ，则θcos 1=−t ，·········································· 7分∴)3sin(2sin cos 313πθθθ+=+=+−t t ， ································· 9分∴当6πθ=时，即41=t 时，bt at +−3的最大值为2． ···················· 10分。

绵阳南山中学2023年春绵阳三诊热身试文科数学参考答案一、选择题：AABC BBDD CBAA 二、填空题：13.－214.315.505016.②③三、解答题：17.解：（1）由题中表格可得2×2列联表如下：阅读爱好者非阅读爱好者总计男生451055女生301545总计7525100由题意得：22100(45153010) 3.03 3.84125755545K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯；所以没有95%的把握认为“阅读爱好者”与性别有关.（2）根据检测得分不低于80分的人称为“阅读达人”，则这100名学生中的男生“阅读达人”中，按分层抽样的方式抽取，[)80,90内抽取3人：设为a，b，c，[]90,100内抽取2人：设为A，B，则基本事件：abc，abA，abB，acA，acB，aAB，bcA，bcB，bAB，cAB，共10种；至少有1人得分在[]90,100内的事件：abA，abB，acA，acB，aAB，bcA，bcB，bAB，cAB，共9种；所以这三人中至少有1人得分在[]90,100内的概率为910.18.(1)∵222sin sin sin sin sin A C A C B ++=，∴由正弦定理可得222a c b ac +-=-，∴由余弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==-，又∵()0,πB ∈，∴2π3B =．(2)在△ABC 中，由余弦定理得2222222cos 122cosπ3b ac ac B a c ac =+-⇒=+-，即2212a c ac ++=．∵0a >，0c >，∴222a c ac +≥，当且仅当a c =时取等号，∴221234a c ac ac ac =++⇒≥≤，当且仅当a＝c＝2时，()max 4ac =，又∵△ABC 面积为112πsin sin 2234S ac B ac ac ===，∴当且仅当a＝c＝2时△ABC 面积最大．当a＝c＝2时，12πππ236BAC C ⎛⎫∠=∠=-= ⎪⎝⎭．又∵AD 为BAC ∠的角平分线，∴π12BAD DAC ∠=∠=∴在△ABD 中，π1264ππADB DAC C ∠=∠+∠=+=，∴在△ABD中，由正弦定理得32222ππ2sin sin342AD AD ⨯=⇒==19解：（1）证明：取DF 中点G ，连接AG EG CG ,,，因为//,CE GF CE GF =，所以四边形CEFG 是平行四边形，所以////CG EF AB 且CG EF AB ==，所以四边形ABCG 是平行四边形，所以//AG BC ，因为AG ⊂平面AGE ，且BC ⊄平面BCD ，所以//AG 平面BCD ，同理可知：四边形CEGD 是平行四边形，所以//GE DC ，证得//GE 平面BCD ，因为,AG GE ⊂平面AGE ，且AG GE G ⋂=，,BC DC ⊂平面,BCD BC DC C ⋂=，所以平面//AGE 平面BCD ，因为AE ⊂平面AGE ，所以//AE 平面BCD .（2）解：若AD =2AF =，4DF =，则222DF AD AF =+，故AD AF ⊥，所以,AD AB AF ,两两垂直，连接DE ，该几何体分割为四棱锥D ABEF -和三棱锥D BCE -，则ABEF 1116324333D ABEF V S AD -=⋅=⨯⨯⨯=矩形，因为平面//BCE 平面ADF ，故211343243343D BCE A BCE BCE V V S AB --==⋅=⨯⨯=，所以该几何体的体积为2033D ABEF D BCE V V V --=+=.20.（1）解：设椭圆C 的长半轴长为a ，短半轴长为b ，半焦距为c ，因为123,1EF EF ===，所以1242EF EF a +==，即2a =．又因为c =2222b a c =-=，所以C 的方程为22142x y +=．（2）因为12AM PQ =，则2PQ AM =，又因为M 为PQ 的中点，所以AP AQ ⊥，易知点()2,0A ，设()()1122,,,P x y Q x y ．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx m =+，由22,24,y kx m x y =+⎧⎨+=⎩,得()()222214240,k x kmx m +++-=，所以()()()222222Δ16421248420k m k m k m =-+-=-+>，由韦达定理可得2121222424,2121km m x x x x k k --+==++，()()11222,,2,AP x kx m AQ x kx m =-+=-+，则()()()()()()()221212121222124AP AQ x x kx m kx m k x x km x x m ⋅=--+++=++-+++=()()()2222221424021m k km km m k -+--++=+，化简可得223840m km k ++=，即()()2320m k m k ++=．若2m k =-，则直线l 的方程为()2y k x =-，此时直线l 过顶点A ，不符合题意；若23m k =-，易知满足()22Δ8420k m =-+>，此时直线l 的方程为23y k x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，直线l 过定点2,03⎛⎫⎪⎝⎭；当直线l 的斜率不存在时，设直线l 的方程为()2x t t =≠，则()()11,,P t y Q t y -､，所以221142y t +=，则()()221112,2,,2,2t y AP t y AQ t y =-=-=-- ，22222113(2)(2)242022AP AQ t y t t t t ⋅=--=--+=-+= ，因为2t ≠，解得23t =，直线l 过点2,03⎛⎫⎪⎭．综上，直线l 过定点2,03⎛⎫⎪⎝⎭．备注：设直线倒斜率，同样给分，运算较小！21.解(1)函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，当a＝1时，f(x)＝－x 2－x＋ln x，f′(x)＝－2x－1＋1x ＝()()xx x 121-+-，令f′(x)>0，解得0<x<12，令f′(x)<0，解得x>12，故即(2)f(x)≤xxx∈(0，＋∞)上恒成立，即xe x －1≥ln x＋ax 在x∈(0，＋∞)上恒成立，即a≤e x －ln x x －1x在x∈(0，＋∞)上恒成立．令g(x)＝e x －ln x x －1x ，则g′(x)＝e x＋ln x x 2＝x 2e x＋ln x x2，令h(x)＝x 2e x ＋ln x，则h′(x)＝2xe x ＋x 2e x＋1x >0，所以h(x)在(0，＋∞)上单调递增，而1e2e e－1<0，故存在x 0使得h(x 0)＝0，即x 200e x ＋ln x 0＝0，所以x 00e x ＝－1x 0ln x 0＝1x 0ln 1x 0＝ln 1x 0·01lne x，令λ(x)＝xe x ，x∈(0，＋∞)，λ′(x)＝(x＋1)e x>0，所以λ(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以x 0＝ln 1x 0＝－ln x 0，当x∈(0，x 0)时，h(x)<0，即g′(x)<0，故g(x)在(0，x 0)上单调递减；当x∈(x 0，＋∞)时，h(x)>0，即g′(x)>0，故g(x)在(x 0，＋∞)上单调递增，所以当x＝x 0时，g(x)取得极小值，也是最小值，所以g(x)min ＝g(x 0)＝0e x －ln x 0x 0－1x 0＝01lne x －－x 0x 0－1x 0＝1，故a≤1，所以a 的取值范围为(－∞，1]．备注：直接移项构造函数也可以得解！22(1)解62，O(0，0)，A(0，6)，B(6，6)，则△ABO 是以OB 为斜边的直角三角形，所以圆C 的圆心为C(3，3)，半径r＝32，故所求圆C 的方程为(x－3)2＋(y－3)2＝18.(2)证明α，α(t 为参数，α∈R )代入圆C 的方程得t 2－(8cos α＋2sin α)t－1＝0，Δ＝(8cos α＋2sin α)2＋4>0，故直线l 与圆C 有两个交点M，N，即方程有两个不相等的实数根t 1，t 2，且t 1＋t 2＝8cos α＋2sin α，t 1t 2＝－1.由于P(－1，2)在直线l 上，所以|PM|·|PN|＝|t 1||t 2|＝1，即|PM|·|PN|为定值1.23.解：（1）化简得：()21f x x a x a =-+-+.当3a =时，()()()35352f x x x x x =-+-≥---=，当35x ≤≤时等号成立，所以()f x 的最小值为2；（2）由基本不等式：8=≤=，当且仅当122m m =-，即4m =时，等号成立.又因为()()()21211f x x a x a x a x a a =-+-+≥---+=-，当且仅当()()210x a x a --+≤时，等号成立.所以，18a ->，∴18a ->或18a -<-，∴9a >或7a <-.。

秘密★启用前【考试时间：2023年4月19日15:00—17:00】绵阳市高中2020级第三次诊断性考试文科数学注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡 上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将答题卡交回。

一 、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1 . 若复数z=2-i,i 为虚数单位，则云的虚部为A.iB.-1C.1D.2 2. 已知集合A={1,3,5},B={x ∈N|x<4}, 则 ANB=A.{1,3}B.{1,2}C.{0,1,2,3}D.{2,3} 3. 由1,2,3组成的无重复数字的三位数为偶数的概率为4. 已知平面向量a=(2,3-m),b=(1,m), 若 a//b, 则 m=A.-2B.1C.2D.4 5. 已知直线l:y=Aox 与 圆C:(x-2)²+(y -1)²=1,是“直线l 与 圆C 相切”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6. 在 △ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c, 且 c-bcosA<0, 则△ABC 形状为A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰直角三角形 7 . 已 知Fi,F ₂ 为双曲线的左，右焦点，过点F ₂向该双曲线的一条渐近线作垂线PF ₂, 垂足为P, 则 △PF ₁F ₂ 的面积为A.2B.√3C.4D.2√3文科数学试题第1页(共4页)8. 据统计，我国牛、羊肉集贸市场价格在2019年波动幅度较大，2020年开始逐渐趋于稳定，如下图分别为2019年1月至2020年3月，我国牛肉、羊肉集贸市场月平均价格B.2019 年3月开始至当年末，牛肉与羊肉的月平均价格都一直持续上涨 c.2019 年7月至10月牛肉月平均价格的平均增量高于2020年1至2月的增量 D. 同期相比，羊肉的月平均价格一定高于牛肉的月平均价格9 . 已知函数是区间[一否,0]上的增函数,则正实数四的取值范围是A.(0,1)D.(0,2)10.《孔雀东南飞》中曾叙“十三能织素，十四学裁衣，十五弹箜篌，十六诵诗书. ”箜篌历史悠久、源远流长，音域宽广、音色柔美清澈， 表现力强.如图是箜篌的一种常见的形制，对其进行绘制，发现近 似一扇形，在圆弧的两个端点A,B 处分别作切线相交于点C, 测得 切 线AC=99.9cm,BC=100.2 cm,AB=180cm, 根据测量数据可估算出 该圆弧所对圆心角的余弦值为A.0.62B.0.56C.-0.56D.-0.62 11. 已知球O 的体积为36π,圆锥SO ₁的顶点S 及底面圆O ₁ 上所有点都在球面上，且底 面 圆O ₁ 半径为2 √ 2,则该圆锥侧面的面积为A.6√2πB.4 √6π 或6 √2πC.8 √3π 或4 √6πD.8 √3π 12. 设函数f(x) 为网 - 1与x²-2ax+a+3 中较大的数，若存在x 使得f(x )≤0成立，则实数a 的取值范围为D.[-1,1]文科数学试题第2页(共4页)大|单致位：元走/斤图，下列说法不正确的是90.686.9 83.2- 79.5 7077823_82.44 75.8 -76.0--72.1 68.96765.68.3569.4464.768.2467.63 B8.0468.4 单位：元/公斤85.482.2 79.0 75.872.6 69.4 66.2 82.12_ 77.858.279.020.6680.0 75.27 2019年01月-2020年03月牛肉(去骨统肉)集贸市场月平均价格2019年01月-2020年03月羊肉(去骨统肉)集贸市场月平均价格A.2019 年1月至2020年3月，牛肉与羊肉月平均价格的涨跌情况基本一致二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

四川省绵阳市高中高三第三次诊断（数学文）本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题） 两部分．第I 卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页．满分150分．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试卷上．3．本试卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式P （A + B ）= P （A ）+ P （B ）； S=4πR2 如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径P （A ·B ）= P （A ）·P （B ）； 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率为P ，那么 V=34πR3n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径k n k kn n P P C k P --⋅⋅=)1()(．一、选择题：（1）设集合U=R ，M={x | |x| <1}，N={x |x 1>1}，则M ∩(UN)=（A ）∅（B ）R（C ）{x | -1<x ≤0}（D ）{x |-1<x<0，或0<x<1}（2）函数y=xa 与x a y )1(=（a>0，且a ≠1）的图象关于（A ）x 轴对称 （B ）y 轴对称 （C ）原点对称（D ）直线y=x 对称（3）设a 、b 是非零实数，那么“a>b ”是“lg(a -b)>0”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（4）函数f (x)=ax3+2x+1(a ≠0)在x=1处的切线方程为x+y -2=0，则实数a=（A ）1（B ）-1（C ）-2（D ）3（5）已知m 、n 是两条直线，α、β、γ是三个平面，下列命题正确的是（A ）若 m ∥α，n ∥α，则m ∥n （B ）若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β （C ）若 m ∥α，m ∥β，则α∥β（D ）若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n（6）函数f (x)=sin(x -2π)+|cosx| 的最小正周期为（A ）2π（B ）π （C ）2π（D ）4π（7）已知向量a 、b 不共线，若向量a +λb 与b +λa 的方向相反，则λ= （A ）1（B ）0（C ）-1（D ）±1（8）已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=1，A1C1到底面ABCD 的距离为2，若该四棱柱的八个顶点同在一个球面上，则B 、B1两点的球面距离为（A ）6π（B ）4π（C ）3π（D ）2π（9）某地为上海“世博会”招募了愿者，他们的编号分别是1号、2号、…、19号、若要从中任意选取4人再按编号大小分成两组去做一些预备服务工作，其中两个编号较小的人在一组，两个编号较大的在另一组．那么确保5号与14号入选并被分配到同一组的选取种数是 （A ）16（B ）21（C ）24（D ）90（10）把圆C ：2122=+y x 按向量a =(h ，-1)平移后得圆C1，若圆C1在不等式x+y+1≥0所确定的平面区域内，则h 的最小值为（A ）1 （B ）-1（C ）33（D ）33-（11）某同学在电脑上进行数学测试，共做十道选择题，答完第n （n=1，2，…，10）题电脑会自动显示前n 题的正确率f (n)，则下列关系中不可能成立的是 （A ）f (5) = 2f (10)（B ）f (1)=f (2)=…=f (8)>f (9)> f (10)（C ）f (1)<f (2)<f (3)<…<f (9)<f (10)（D ）f (8) < f (9)且f (9)= f (10)（12）已知抛物线y=ax2+bx+c 与直线y=-bx 交于A 、B 两点，其中a>b>c ，a+b+c=0，设线段AB 在x 轴上的射影为A1B1，则 |A1B1| 的取值范围是（A ）），323(（B ）），∞+3(（C ）），30(（D ）），322(第Ⅱ卷注意事项：1．用钢笔或圆珠笔直接答在试卷中． 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚． 3．本卷共10小题，共90分．（13）设(2x+1)10=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+a10(x+2)10，则a0+a1+a2+…+a10=________． （14）若函数f (x)=a x -的反函数为y=)(1x f -，且)2(1-f=1，则f (2)= ________．（15）已知抛物线221xy =的焦点为F ，准线为l ，M 在l 上，线段MF 与抛物线交于N 点，若|MN|=2|NF|，则|MF|=________．（16）若对任意x ∈R ，y ∈R 有唯一确定的f (x ，y)与之对应，则称f (x ，y)为关于x ，y 的二元函数． 定义：同时满足下列性质的二元函数f (x ，y)为关于实数x ，y 的广义“距离”：（Ⅰ）非负性：f (x ，y)≥0； （Ⅱ）对称性：f (x ，y)= f (y ，x)；（Ⅲ）三角形不等式：f (x ，y)≤f (x ，z)+ f (z ，y)对任意的实数z 均成立． 给出下列二元函数：①f (x ，y)=(x -y)2；②f (x ，y)=|x -y|；③f (x ，y)=yx -；④f (x ，y)=|sin(x -y)|．则其中能够成为关于x ，y 的广义“距离”的函数编号是________．（写出所有真命题的编号）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分12分）已知△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，若A 、B 、C 成等差数列，b=1，记角A=x ，a+c=f (x)．（Ⅰ）当x ∈[6π，3π]时，求f (x)的取值范围；（Ⅱ）若56)6(=-πx f ，求sin2x 的值．（18）（本小题满分12分）我国西南地区正遭受着百年不遇的旱灾．据气象预报，未来48小时受灾最严重的甲地有望迎来一次弱降雨过程．某军区命令M 部队立即前往甲地准备实施人工增雨作业，已知“人工增雨”高炮车Ⅰ号载有3枚“增雨炮弹”和1枚“增雨火箭”，通过炮击“积雨云”实施增雨，第一次击中积雨云只能使云层中的水分子凝聚，第二次击中同一积雨云才能成功增雨．如果需要，第4次射击才使用“增雨火箭”，当增雨成功或者增雨弹用完才停止射击．每次射击相互独立，且用“增雨炮弹”击中积雨云的概率是32，用“增雨火箭”击中积雨云的概率是98．（Ⅰ）求不使用“增雨火箭”就能成功增雨的概率； （Ⅱ）求要使用“增雨火箭”才能成功增雨的概率； （Ⅲ）求射击次数不小于3的概率．（19）（本小题满分12分）已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的侧面BB1C1C 与底面ABC 垂直，BB1=BC ，∠B1BC=60º，AB=AC ，M 是B1C1的中点．（Ⅰ）求证：AB1//平面A1CM ；（Ⅱ）若AB1与平面BB1C1C 所成的角为45º，求二面角B-AC-B1的大小．（本小题满分12分）数列{an}中，a1=1，且an+1 =Sn （n ≥1，n ∈N *），数列{bn}是等差数列，其公差d>0，b1=1，且b3、b7+2、3b9成等比数列．（Ⅰ）求数列{an}、{bn}的通项公式；（Ⅱ）设数列{cn}满足cn=n n b a ，求{cn}的前n 项和Tn ．（21）（本小题满分12分）已知双曲线12222=-b x a y （a>0，b>0）的上、下顶点分别为A 、B ，一个焦点为F(0，c)（c>0），两准线间的距离为1，|AF|、|AB|、|BF|成等差数列． （Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）设过点F 作直线l 交双曲线上支于M 、N 两点，如果S △MON=27-tan ∠MON ，求△MBN 的面积．（22）（本小题满分14分）AA 1B 1C 1BCM设a ∈R ，向量m =(a ，1)，函数y=f (x )的图象经过坐标原点，)(x f '是函数)(x f 的导函数．已知A(-1，)1(-'f )，B(x ，x2)，)(x f '=⋅AB m ．（Ⅰ）求)(x f 的解析式；（Ⅱ）若方程4)1(2)(22x x a x f -+=在区间[-1，1]上有两个不相等的实数根，求a 的取值范围； （Ⅲ）若a =2，设数列{an}满足a1=3，3)(241-'=-n n a f a （n=2，3，4，…）．求证：1212->-n n a （n∈N *）．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．CBBBD CCDBA DA二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． 13．114．515．216．②④三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．解：（I ）由已知 A 、B 、C 成等差数列，得2B=A+C ，∵ 在△ABC 中， A+B+C=π，于是解得3π=B ，32π=+C A ．∵ 在△ABC 中，C cB b A a sin sin sin ==，b=1，∴ CA c a sin 3sin1sin 3sin1ππ+⋅=+)]32sin([sin 332A A -+=π]sin 32cos cos 32sin [sin 332A A A ππ-+=A A cos sin 3+=)6sin(2π+=A ，即)6sin(2)(π+=x x f ． …………………………………………………………6分由6π≤x ≤3π得3π≤x+6π≤2π，于是3≤)(x f ≤2，即f(x)的取值范围为[3，2] ． ………………………………………………8分（Ⅱ）∵56)66sin(2)6(=+-=-πππx x f ，即53sin =x ． ∴54sin 1cos 2±=-±=x x ． ……………………………………………………9分 若54cos -=x ，此时由2254-<-知x>43π，这与32π=+C A 矛盾．∴ x 为锐角，故54cos =x ． ……………………………………………………11分 ∴2524cos sin 22sin ==x x x ．……………………………………………………12分18．解：（I ）设不使用“增雨火箭”就成功增雨的概率为P1，则P1=27203232)321(323212=⋅⋅-+⋅C ．………………………………………………4分 （II ）要使用“增雨火箭”才能成功增雨，就必须是前3次射击中有且只有一次击中积雨云，且第四次射击也要击中积雨云．设概率为P2，则811698323212132=⋅⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-=C P ． ……………………………………………………8分（3）设射击次数不小于3次的概率为P3，则（法一）95271513211323213232321303213123==⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+⋅⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+⋅⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-=C C C P ． （法二）953212223=⎪⎭⎫⎝⎛⋅-=C P ．………………………………………………12分 19．解：（I ）证明：如图，连结AC1，交A1C 于N ，连结MN ．∵ M 是中点，N 是AC1的中点， ∴ MN//AB1． ∵ MN ⊂平面A1CM ，∴ AB1//平面A1CM ．………………4分 （II ）作BC 的中点O ，连接AO 、B1O ． ∵ AB=AC ， ∴ AO ⊥BC ．∵ 侧面BB1C1C 与底面ABC 垂直，∴ AO ⊥面BB1C1C ， …………………………………………………………6分 ∴ ∠AB1O 是AB1与平面BB1C1C 所成的角，即∠AB1O=45º，从而AO=B1O ． 又∵ BB1=BC ，∠B1BC=60º，∴ △B1BC 是正三角形，所以 B1O ⊥BC ．以O 为原点，分别以OB 、OB1、OA 为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示空间直角坐标系．设OA=a ，则A(0，0，a)，B1(0，a ，0)，C(a33-，0，0)，O(0，0，0)，∴)033(a a --=，，，)00(a -=，，，)0(1a a AB -=，，． ∵ OB1⊥平面ABC ，故1OB 是平面ABC 的一个法向量，设为n 1，则n 1=)00(1，，a OB =，设平面AB1C 的法向量为n 2=(x2，y2，z2)，由⋅ n 2=0且⋅1AB n 2=0 得⎪⎩⎪⎨⎧=-=--，，00332222z y z x1令y2=a ，得n 2=(3-a ，a ，a)．∴ cos< n 1，n 2>=55511||||2121=⨯=⋅⋅n n n n ，∴ <n 1，n 2>=55arccos．即二面角B-AC-B1的大小是55arccos． ……………………………………12分：（I ）由已知有n n n S S S =-+1，即)(2*1N ∈=+n S S n n ，∴ {Sn}是以S1=a1=1为首项，2为公比的等比数列． ∴ Sn=12-n ．由⎩⎨⎧≥-==-，，)2()1(11n S S n S a n n n 得⎩⎨⎧≥==-．，)2(2)1(12n n a n n ……………………………4分∵ b3，b7+2，3b9成等比数列，∴ (b7+2)2=b3·3b9，即 (1+6d+2)2=(1+2d)·3(1+8d)，解得 d=1或d=21-(舍)，∴ n n b n =⨯-+=1)1(1．…………………………………………………………7分 （II ）Tn=a1b1+a2b2+……+anbn=1×1+2××21+…+n ×22-n ，设T=2××21+…+n ×22-n ，∴ 2T=2×21+3×22+…+n ×12-n ，相减得-T=2+21+22+…+22-n -n ·12-n11221)21(11--⋅---⨯+=n n n 12)1(-⋅-=n n ，即T=(n -1)·12-n ，∴ Tn=1+(n -1)·12-n (n ∈N *)． ……………………………………………12分21．解：（I ）由已知|AF|=c -a ，AB=2a ，|BF|= c+a ，∴ 4a=(c -a)+(c+a)，即c=2a ．又∵ 122=c a ，于是可解得a=1，c=2，b2=c2-a2=3．∴ 双曲线方程为1322=-x y ． …………………………………………………3分（II ）∵ S △MON= MON ON OM ∠⋅⋅sin ||||21， ∴ MON MONMON ON OM ∠∠⋅-=∠⋅⋅cos sin 27sin ||||21 整理得|OM|·|ON|·cos ∠MON=-7，即7-=⋅．……………………5分 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，于是)(11y x OM ，=，)(22y x ，=， ∴ x1x2+y1y2=-7．设直线MN 的斜率为k ，则MN 的方程为y=kx+2．∴ ⎪⎩⎪⎨⎧=-+=，，13222x y kx y 消去y ，整理得(3k2-1)x2+12kx+9=0．………………………7分∵ MN 与双曲线交于上支，∴ Δ=(12k)2-4×9×(132-k )=36k2+36>0， x1x201392<-=k ，1312221--=+k kx x ，∴312<k ．∴ x1x2+(kx1+2)(kx2+2)=-7，整理得x1x2+k2x1x2+2k(x1+x2)+4=-7，代入得：11132413913922222-=--+-+-k k k k k ，解得912=k ，满足条件． ………10分 S △MBN=12||21x x BF -⋅=⨯⨯321212214)(x x x x -+ =⨯⨯3211394)13(1442222-⋅--k k k=103321⨯⨯=2109． ……………………………………………12分22．解：（I ）∵))1(1(2-'-+=f x x AB ，，∴ ⋅='AB x f )(m =)1()1(2-'-++f x x a ． 令x=-1，则)1()1()1()1(2-'--++=-'f x a f ，解得21)1(=-'f ． ∴21)(2-++='a ax x x f ． ∵ y=f (x)的图象过原点， ∴x a x a x x f )21(231)(23-++=．…………………………………………………4分 （II ）原方程可以整理为x x x a -+=232132． 令x x x x g -+=232132)(，则12)(2-+='x x x g ．由0)(='x g 有x=-1或21=x ， 且当x<-1或21>x 时0)(>'x g ，当211<<-x 时0)(<'x g ． ∴ 在]11[，-∈x 时，g(x)在[-1，21]上是减函数，在[21，1]上是增函数，…………………………………………………………………………………8分∴ 在[-1，1]上247)21((min -==g x g ）． 又65)1(=-g >61)1(=g ， ∴ 要使原方程在[-1，1]上有两个不相等的实数根，则须使a <-247≤61． 即a 的取值范围为⎥⎦⎤ ⎝⎛-61247，．………………………………………………10分（III ）a=2时，232)(2++='x x x f ．∴ 4an=2(232121++--n n a a )-3，整理得12122--+=n n n a a a (n ≥2)．变形得 (1-n a +1)2=2an+1<2(an+1)，令cn=an+1，则c1=4，212->n n c c (n ≥2) ． 两边同取对数有 2122log )2(log ->n n c c ，即122log 2log 1->+n n c c ．令n n c d 2log =，则d1=2，且1+dn>21-n d ， ∴ dn -1>2(1-n d -1)(n ≥2)，∴ dn -1>2(1-n d -1) >22(2-n d -1)>……>12-n (d1-1)=12-n ， ∴ dn>1+12-n >12-n ， ∴ cn=n d 2>122-n ， ∴ an>122-n -1(n ≥2)．当n=1时，a1=3>1122--1=1，即不等式也成立，∴ an>122-n -1(n ∈N*)． ………………………………………………………14分。

一、单选题二、多选题1. 已知为虚数单位，则（ ）A．B．C．D．2. 已知函数，其中表示不超过x 的最大整数.设，定义函数，则下列说法正确的有（ ）个.①的定义域为；②设，，则；③；④，则M 中至少含有8个元素.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3. 在△中，，则（ ）A．B．C．D．或4. 在中，则（ ）A．B．C．D．5.是定义在上的增函数，且满足：的导函数存在，且，则下列不等式成立的是（ ）A．B．C．D．6. 已知椭圆：，过中心的直线交于，两点，点在轴上，其横坐标是点横坐标的3倍，直线交于点，若直线恰好是以为直径的圆的切线，则的离心率为（ ）A．B．C．D．7. 已知定义域为的奇函数，则的值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．不能确定8. 已知函数在内有且仅有两个零点，则的取值范围是（ ）A．B．C．D．9. 下列叙述中不正确的是（ ）A ．若a ，b ，，则“”的充要条件是“”B ．若a ，b ，，则“”的充要条件是“”C ．“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件D ．“”是“”的充分不必要条件10. 设椭圆C：的左､右焦点分别为､，上､下顶点分别为､，点P 是C 上异于､的一点，则下列结论正确的是（ ）A ．若C 的离心率为，则直线与的斜率之积为四川省绵阳八一中学2022-2023学年高三上学期第三次模拟考试数学文科试题四川省绵阳八一中学2022-2023学年高三上学期第三次模拟考试数学文科试题三、填空题四、解答题B．若，则的面积为C ．若C 上存在四个点P 使得，则C的离心率的范围是D．若恒成立，则C的离心率的范围是11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）A ．f （x ）的最大值为2B ．f （x ）在上单调递增C ．f （x ）在上有4个零点D ．把f （x ）的图象向右平移个单位长度，得到的图象关于直线对称12. 已知三棱锥的四个顶点都在球O 的球面上，PA ⊥平面ABC ，在底面△ABC 中，，若球O 的体积为π，则下列说法正确的是（ ）A ．球O的半径为B ．C ．底面△ABC 外接圆的面积为4πD．13. 在直角坐标系中，矩形的四个顶点都在椭圆上，将该矩形绕轴旋转一周，得到一个圆柱体，当该圆柱体的体积最大时，其侧面积为_______14. 某学校共1000人参加数学测验，考试成绩近似服从正态分布，若，则估计成绩在120分以上的学生人数为______.15. 复数的值是_____________．16. 在如图所示的几何体ABCDE 中，平面ABC ，，，F 是线段AD 的中点，.（1）求证：；（2）若，求三棱锥的体积.17. 为深入学习党的二十大精神，我校团委组织学生开展了“喜迎二十大，奋进新征程”知识竞赛活动，现从参加该活动的学生中随机抽取了100名，统计出他们竞赛成绩分布如下：成绩（分）人数242240284(1)求抽取的100名学生竞赛成绩的方差（同一组中数据用该组区间的中点值为代表）；(2)以频率估计概率，发现我校参赛学生竞赛成绩X近似地服从正态分布，其中近似为样本平均分，近似为样本方差，若，参赛学生可获得“参赛纪念证书？”；若，参赛学生可获得“参赛先锋证书”.①若我校有3000名学生参加本次竞赛活动，试估计获得“参赛纪念证书”的学生人数（结果保留整数）；②试判断竞赛成绩为96分的学生能否获得“参赛先锋证书”.附：若，则，，；抽取的这100名学生竞赛成绩的平均分.18. 已知函数，其中为常数，设为自然对数的底数．（1）当时，求的最大值；（2）若在区间上的最大值为，求的值；（3）当时，试推断方程是否有实数解．19. 已知数列满足，且，，.(1)求实数，使得数列为等差数列；(2)在（1）的条件下，设数列的前项和为，求的取值范围20. 在直三棱柱中，，，.（1）求异面直线与所成角的大小；（2）求直线与平面的距离.21. 已知函数.（1）写出函数的最小正周期以及单调递增区间；（2）在中，角所对的边分别为，若，且，求的值.。

绵阳市高中2020级第三次诊断性考试文科数学参考答案及评分意见一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．CABBACDDCACB 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．314．22-15．4316．12三、解答题：本大题共6小题，共70分．17．解：（1）用平均数估计总体，在某个销售门店春季新款的年销售额的是33万元，···································2分用中位数估计总体，在某个销售门店春季新款的年销售额的是31.5万元．·································4分（2）6个销售门店分别记为A ，B ，C ，D ，E ，F ．年销售额不低于40万元的有：A ，D ．·····················································5分从A ，B ，C ，D ，E ，F 中随机抽取2个，基本事件为：{A ，B }，{A ，C }，{A ，D }，{A ，E }，{A ，F }，{B ，C }，{B ，D }，{B ，E }，{B ，F }，{C ，D }，{C ，E }，{C ，F }，{D ，E }，{D ，F }，{E ，F }，共计15个基本事件．····································8分事件：“恰好抽到1个门店的年销售额不低于40万元”包含的基本事件为：{A ，B }，{A ，C }，{A ，E }，{A ，F }，{B ，D }，{C ，D }，{E ，D }，{F ，E }，············································································10分∴所求概率为815P =．········································································12分18．解：（1）证明：如图，取AC 的中点为O ，连接BO ，PO ．∵PA =PC ，∴PO AC ⊥，·······································································1分∵4PA PC AC ===，∴90APC ∠=︒，···········································2分∴122PO AC ==，同理2BO =，··························································3分又PB =222PO OB PB +=，∴PO OB ⊥，·····················································································4分∵AC OB O = ，AC ，OB ⊂平面ABC ，∴PO ⊥平面ABC ，·············································································5分又PO ⊂平面PAC ，∴平面PAC ⊥平面ABC ；·····································································6分（2）∵点M 是线段AP 上，且13PM PA =，过点M 作MN AC ⊥，∥MN PO ，·························································7分∴MN ⊥平面ABC ，···········································································8分P MBC P ABC M ABC V V V ----=···································································10分1()3ABC S PO MN =⋅-△·······················································11分1248933=⨯⨯=．·····································································12分19．解：（1）由)n n S T =，令n =1，得11111))23=a S T b ====-，∴12=a -，························································································2分又∵d a a 3414+==，∴等差数列{n a }的公差2=d ，42-=n a n ，············································4分∴21()32n n n a a S n n +==-．·································································6分（2）由（1）可知nn n T 32)3(-=，····························································7分当2≥n时，22(1)3(1)54-1n n nn n T ----+==，············································8分所以当2≥n时，24213n n nn n T b T ---===；············································10分当1n =时，311=b 也满足上式，····························································11分所以23n n b -=(n N *∈)．·······································································12分20．解：（1）当3a =时，2()ln 3f x x x x =+-，1()23f x x x'=+-，················2分因为切点为(12)，-，所以切线斜率为：(1)0k f '==，·································3分所以曲线()f x 在1x =处切线的方程为：2y =-．······································5分（2）2222(1)(22)()2a x ax a x x a f x x a x x x--+---+'=+-==，··················6分令()0f x '=得1x =或12ax =-，·····························································7分①当4≤a 时，()f x 在[1e]，上单调递增，此时(1)1f a =-，2(e)(1e)e 2f a =-++，当10a ->，即1a <时，()f x 在区间[1e]，上无零点；当10(e)0a f -≤⎧⎨≥⎩，即2e 21e 1≤≤a --时，()f x 在区间[1e]，上有一个零点；当(e)0f <，即2e 24e 1≤a -<-时，()f x 在区间[1e]，上无零点；···················9分②当1e 2≥a -，即2e 2≥a +时，()f x 在[1e]，上单调递减，此时(1)10f a =-<，()f x 在区间[1e]，上无零点．···································10分③当422a e <<+时，()f x 在[11]2，a -上单调递减，在[1e]2，a -上单调递增，此时(1)10f a =-<，2(e)(1e)e 20f a =-++<，()f x 在区间[1e]，上无零点．11分综上：当1a <或2e 2e 1a ->-时，()f x 在区间[1e]，上无零点；当2e 21e 1≤≤a --时，()f x 在区间[1e]，上有一个零点．·····························12分21．解：（1）设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线l ：y =x −2，·································1分联立方程222x y y px =+⎧⎪⎨=⎪⎩，整理得：2240y py p --=，·····································2分由韦达定理：121224y y py y p +=⎧⎨=-⎩， (3)分12MN y =-==··························································4分解得：12p =，故抛物线的方程为：y 2=x ．················································5分（2）延长PN 交x 轴于点Q ，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P (x 3，y 3)，设直线MN 的方程为：2x ty =+，··················································6分联立直线MN 与抛物线C 方程可得：22x ty y x=+⎧⎪⎨=⎪⎩，整理得：220y ty --=，由根与系数的关系：y 1y 2=−2①，···························································8分同理，联立直线MP 与抛物线C 方程可得：23x ny y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩，整理得：230y ny --=，可得y 1y 3=−3②，············································10分由①②可知，2323y y =，·······································································11分∴232=3QN y QPy =．·············································································12分22．解：（1）可得圆C 的标准方程为：22(2)4x y -+=，∴圆C 是以C （2，0）为圆心，2为半径的圆，········································2分∴圆C 的参数方程为：22cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）．·······························5分（2）∵||AB =可得2ACB π∠=，···················································6分不妨设点A 所对应的参数为α，则点B 所对应的参数为2πα+，∴(22cos 2sin )，A αα+，则(22cos()2sin())22，B ππαα+++，即B ()22sin 2cos ，αα-，····································································7分∴1122cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩，2222sin 2cos -x y αα=⎧⎨=⎩，∴1212x x y y +=22cos )(22sin )2sin 2cos （αααα+⋅-+⋅································8分=44(cos sin )αα+-=4+)4πα+，·······························9分∵[02]，απ∈，则9[]444，πππα+∈，∴当cos()4πα+=1，即α=74π时，1122x y x y +的最大值为4+．·············10分23．解：（1）方法一：由a =1，则2b +3c =3，由柯西不等式，得222(]23)≥b c ++，·····························2分∴21153()232≤⨯+=，······························································3分，当且仅当92105b c ==时等号成立．·····························5分方法二：∵a =1，则2b +3c =3，θ=，θ=，(0)2，πθ∈，·······································2分sinθθ=+)θϕ=+，其中tan ϕ=·······························4分当2πθϕ+=，即sin cos θϕ==cos sin θϕ==时，等号成立，，当29510c b ==时等号成立．······································5分（2）方法一：由题知：2b +3c =4−a ，设2b =(4−a )2cos θ，3c =(4−a )2sin θ，······················································6分θ=，θ=((20，πθ∈)，θθ=+sin()θϕ+，··············7分其中tan ϕ=，且ϕ是一象限角，sin cos ϕϕ==，∵02πθ<<，则2πϕθϕϕ<+<+，sin()1≤θϕ<+，)θϕ<+，··································8分又∵2+=-，2<-，················································9分∴41121≤a <．········································································10分方法二：令z c y b x a ===，，，则⎩⎨⎧=++=++，，4322222z y x z y x ，即⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+，，22222432)2()(x z y x z y ·····································7分∴x x z y yz z y +-=+++223222222，可得x x yz z y y zz y +-=+++22322，令zy t =>0，则32)1(2222++=+-t t x x ，令)1(1>+=m t m ，∴5422222+-=+-m m m x x ]6531(24512，∈+-=m m ，··································9分∴125326≤x x -<+，∴2111≤x <，即2111<，∴41121≤a <．········································································10分。

绵阳市高中2021级|第三次诊断性考试数学 (文科 )本试卷分第I 卷 (选择题)和第II 卷 (非选择题 )两局部 .第I 卷l 至|2页 ,第II 卷 3至|4页 .总分值150分 .考试时间120分钟 .考前须知：1. 答题前,考生务必将自己的姓名、考号用毫米的黑色签字笔填写在答题卡上 , 并将条形码粘贴在答题卡的指定位置 .2. 选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上 ,非选择题用毫米的 黑色签字笔书写在答题卡的对应框内 ,超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷 上答题无效 .3. 考试结束后 ,将答题卡收回 .第I 卷 (选择题 ,共50分 )一、选择题：本大题共10小题 ,每题5分 ,共50分.在每题给出的四个选项中 ,只 有一项为哪一项符合题目要求的.1. 设集合U ={l,2, 3, 4}, M ={l, 2, 3}, N ={2 ,3, 4},那么)(N M C U 等于 A. {1, 2} B. {2, 3} C.{2, 4} D. {1, 4}2.抛物线x 2 = -4y 的准线方程是A. x = -1B. x =2C.y =1D. y = -23. 假设复数z 满足z*i =1 +i (i 为虚数单位),那么复数z = A. 1 +i B. -1 -i C. 1 -i D. -1 +i4. 设数列{a n }是等比数列 ,那么 "a 1<a 2广是 "数列{a n }是递增数列〞的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分又不必要条件5. 平面向量a 与b 的夹角为600,a =(2, 0) ,b =(cosa, sina),那么|a +2b| =A.C. 4 D . 126. 函数f(x) =7. 执行如下图的程序框图 ,假设输出结果为26,那么M 处的条件为 A. 31≥k B. 15≥k C. k>3l D. k>l58. 己知函数. )|)(|2sin(2)(πθθ<+=x x f ,假设函数f(x)在区间)85,6(ππ 上单调递增 ,那么0的取值范围是 A [87,3ππ]B [43,65ππ--] C (32,ππ--] [ππ,8-)D (3,ππ-] [ππ,87) 9. 椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 与离心率为2的双曲线)0,0(12222>>=+n m ny m x 的公共焦点 是F 1 F 2,点P 是两曲线的一个公共点 ,假设31cos 21=∠PF F ,那么椭圆的离心率为 A.42 B. 22 C.1010D. 510 10. 函数f(x) =ln(e x +a)(e 是自然对数的底数 ,a 为常数 )是实数集R 上的奇函数 ,假设 函数f(x) =lnx -f(x)(x 2 -2ex +m)在(0, +∞)上有两个零点 ,那么实数m 的取值范围是A. )1,1(2ee e+ B. )1,0(2ee + C. ),1(2+∞+e e D. )1,(2ee +-∞第II 卷 (非选择题 ,共100分 )二、填空题：本大题共5小题 ,每题5分 ,共25分.11. 假设直线x +(a -1)y =4与直线x =1平行 ,那么实数a 的值是____ 12. 如下图 ,一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为 4的正方形 ,俯视图是一个直径为4的圆 ,那么这个几何体的侧 面积是____13. 设变量x 、y 满足约束条件：⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤11y y x x y ,那么目标函数z =2x+y 的最|大值是_______14. 己知534sin )3sin(-=++a a π,且32ππ-<<-a 那么cosa=______15. 定义在区间[a, b]上的函数y =f(x),)(x f '是函数f(x)的导数 ,如果],[b a ∈∃ξ ,使得f(b) -f(a) = ))((a b f -'ξ,那么称ξ为[a,b]上的 "中值点〞.以下函数：① f(x) =2x +l,② f(x) =x 2 -x +l, ③ f(x) =lnx +l,④3)21()(-=x x f ,其中在区间[0, 1]上的 "中值点〞多于一个的函数是______(请写出你认为正确的所有结论的序号 )三、解答题：本大题共6小题 ,共75分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题总分值12分 )从高三学生中抽取n 名学生参加数学竞赛 ,成绩 (单位：分 )的分组及各数据绘制的频 率分布直方图如下图 ,成绩的范围是 区间[40, 100),且成绩在区间[70, 90)的学 生人数是27人.(I) 求n 的值;(II)试估计这n 名学生的平均成绩；(III)假设从数学成绩 (单位：分 )在[40,60)的学生中随机选取2人进行成绩分析 ,求至|少有1人成绩在[40, 50)内的概率.17. (本小题总分值12分 ){a n }是等差数列 ,a 1 =3, Sn 是其前n 项和 ,在各项均为正数的等比数列{b n }中 , b 1 =1 且b 2+S 2=1O, S 5 =5b 3 +3a 2.(I )求数列{a n }, {b n }的通项公式； (II)设n n S c 2=,数列{c n }的前n 项和为T n ,求证23<n T18. (本小题总分值12分 )如图 ,ABCD 是边长为2的正方形 ,ED 丄平面ABCD,ED =1, EF//BD 且EF =BD.(I)求证：BF//平面ACE(II)求证：平面EAC 丄平面BDEF; (III)求几何体ABCDEF 的体积.19. (本小题总分值12分 )函数)2||,0)(sin()(πϕωϕω<>+=x x f 的局部图象如图示 ,将y =f(x)的图象向右平移4π个单位后得到函数y =f(x)的 图象. (I )求函数y =g(x)的解析式；(II)ΔABC 中三个内角A ,B , C 的对边分别为a, b ,c ,且满足)122(π+A g +)122(π+B g ＝26sinAsinaB,且C =3π,c =3 ,求ΔABC 的面积.20. (本小题总分值13分 )椭圆C: )0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为23,以原点为圆心 ,椭圆c 的短半轴长为半径的圆与直线 02=++y x 相切.A 、B 是椭圆的左右顶点 ,直线l 过B 点且与x 轴垂直 ,如图.(I )求椭圆的标准方程；(II)设G 是椭圆上异于A 、B 的任意一点 ,GH 丄x 轴 ,H 为垂足 ,延长HG 到点Q 使得HG =GQ,连接AQ 并延长交直线l 于点M,点N 为MB 的中点 ,判定直线QN 与以AB 为直径的圆O 的位置关系 ,并证明你的结论.21. (本小题总分值14分 )函数f(x) =e x -ax(e 为自然对数的底数). (I )求函数f(x)的单调区间；(II)如果对任意],2[+∞∈x ,都有不等式f(x)> x + x 2成立 ,求实数a 的取值范围； (III)设*N n ∈,证明：nn)1( +nn)2( +nn)3( +… +nnn )(<1-e e绵阳市高中2021级|第三次诊断性考试数学(文)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共10小题 ,每题5分 ,共50分．DCCBB AABDD二、填空题：本大题共5小题 ,每题5分 ,共25分．11．112．16π13．31415．①④ 三、解答题：本大题共6小题 ,共75分．解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．解： (Ⅰ )成绩在区间[)9070，的频率是：1-(0.02 +0.016 +0.006 +0.004)×10 =0.54 ,∴ 27500.54n ==人． ……………………………………………………………3分(Ⅱ )成绩在区间[)8090，的频率是：1-(0.02 +0.016 +0.006 +0.004 +0.03)⨯10 =0.24 , 利用组中值估计这50名学生的数学平均成绩是： 45×0.04 +55×0.06 +65×0.2 +75×0.3 +85×0.24 +95×0.16 =76.2． ……………3分 (Ⅲ )成绩在区间[)4050，的学生人数是：50×0.04 =2人 ,成绩在区间[)5060，的学生人数是：50×0.06 =3人 ,设成绩在区间[)4050，的学生分别是A 1 ,A 2 ,成绩在区间[)5060，的学生分别是B 1 ,B 2 ,B 3 ,从成绩在[)6040，的学生中随机选取2人的所有结果有：(A 1 ,A 2) ,(A 1 ,B 1) , (A 1 ,B 2) ,(A 1 ,B 3) ,(A 2 ,B 1) ,(A 2 ,B 2) ,(A 2 ,B 3) ,(B 1 ,B 2) ,(B 1 ,B 3) ,(B 2 ,B 3)共10种情况．至|少有1人成绩在[)5040，内的结果有：(A 1 ,A 2) ,(A 1 ,B 1) ,(A 1 ,B 2) ,(A 1 ,B 3) ,(A 2 ,B 1) ,(A 2 ,B 2) ,(A 2 ,B 3)共7种情况．∴ 至|少有1人成绩在[)5040，内的概率P =107． ……………………………6分 17．解： (Ⅰ )设等差数列{a n }的公差为d ,等比数列{b n }的公比为q ,由题意可得：11211121054553()2b q a d a d b q a d ⋅++=⎧⎪⎨⨯+⨯=++⎪⎩，， 解得q =2或q =517-(舍) ,d =2． ∴ 数列{a n }的通项公式是a n =2n +1 ,数列{b n }的通项公式是12n n b -=． …7分(Ⅱ )由 (Ⅰ )知2(321)22n n n S n n ++==+ ,于是2112n n c S n n ==-+ , ∴ 11111111324352n T n n =-+-+-+⋅⋅⋅+-+1111212n n =+--++ 311212n n =--++<32． …………12分 18．解： (Ⅰ )如图 ,记AC 与BD 的交点为O ,连接EO ,于是DO =OB ．∵ EF ∥BD 且EF ＝12BD , ∴ EF ,∴ 四边形EFBO 是平行四边形 , ∴ BF ∥EO ．而BF ⊄平面ACE ,EO ⊂平面ACE ,∴ BF ∥平面ACE ．…………………………4分ABCDEFO(Ⅱ )∵ ED ⊥平面ABCD ,AC ⊂平面ABCD , ∴ ED ⊥AC ．∵ ABCD 是正方形 , ∴ BD ⊥AC ,∴ AC ⊥平面BDEF ．又AC ⊂平面EAC ,故平面EAC ⊥平面BDEF ． ……………………………8分 (Ⅲ )连结FO ,∵ EF DO ,∴ 四边形EFOD 是平行四边形． 由ED ⊥平面ABCD 可得ED ⊥DO , ∴ 四边形EFOD 是矩形． ∵ 平面EAC ⊥平面BDEF ．∴ 点F 到平面ACE 的距离等于就是Rt △EFO 斜边EO 上的高 ,且高h =EF FO OE ⋅． ∴几何体ABCDEF 的体积E ACD F ACE F ABC V V V V ---=++三棱锥三棱锥三棱锥=111111221+221323232⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ =2．……………………………………………12分19．解： (Ⅰ )由图知：2=4+126πππω（）,解得ω =2． 再由()sin(2)11212f ππϕ=⋅+= ,得2(Z)62k k ππϕπ+=+∈ ,即2(Z)3k k πϕπ=+∈．由22ππϕ-<<,得3πϕ=．∴ ()sin(2)3f x x π=+．∴ ()sin[2()]sin(2)4436f x x x ππππ-=-+=- ,即函数y =g (x )的解析式为g (x ) =sin(2)6x π-．………………………………6分(Ⅱ )由化简得：sin sin sin A B A B +=．∵ 32sin sin sin sin 3a b c R A B C π====(R 为△ABC 的外接圆半径) ,∴2R = ,∴ sin A =2a R ,sin B =2bR ．∴2222a b a b R R R R+=⋅ ,即 a b +． ① 由余弦定理 ,c 2 =a 2 +b 2 -2ab cos C , 即 9 =a 2 +b 2 -ab =(a +b )2 -3ab ． ②联立①②可得：2(ab )2 -3ab -9 =0 ,解得：ab =3或ab =23-(舍去) , 故△ABC 的面积S △ABC =1sin 2ab C =…………………………………12分20．解： (Ⅰ )由题可得：e=c a = ∵ 以原点为圆心 ,椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线x +y +2 =0相切 ,∴=b ,解得b =1．再由 a 2 =b 2 +c 2 ,可解得：a =2．∴ 椭圆的标准方程：2214x y +=．……………………………………………5分 (Ⅱ )由 (Ⅰ )可知：A ( -2 ,0) ,B (2 ,0) ,直线l 的方程为：x =2． 设G (x 0 ,y 0)(y 0≠0) ,于是H (x 0 ,0) ,Q (x 0 ,2y 0) ,且有220014x y += ,即4y 02 =4 -x 02． 设直线AQ 与直线BQ 的斜率分别为：k AQ ,k BQ ,∵220000220000224412244AQ BQ y y y x k k x x x x -⋅=⋅===-+--- ,即AQ ⊥BQ , ∴ 点Q 在以AB 为直径的圆上．∵ 直线AQ 的方程为：002(2)2y y x x =++ , 由002(2)22y y x x x ⎧=+⎪+⎨⎪=⎩，， 解得：00282x y y x =⎧⎪⎨=⎪+⎩，，即008(2)2y M x +， ,∴ 004(2)2yN x +，．∴ 直线QN 的斜率为：0000000220000422222442QN y y x x y x y x k x x y y -+---====-- ,∴ 0000212OQ QN y x k k x y -⋅=⋅=- ,于是直线OQ 与直线QN 垂直 , ∴ 直线QN 与以AB 为直径的圆O 相切． …………………………………13分 21．解： (Ⅰ )∵a e x f x -=')( ,当a ≤0时0)(>'x f ,得函数f (x )在( -∞ , +∞)上是增函数． 当a >0时 ,假设x ∈(ln a , +∞) ,0)(>'x f ,得函数()f x 在(ln a , +∞)上是增函数； 假设x ∈( -∞ ,ln a ) ,0)(<'x f ,得函数()f x 在( -∞ ,ln a )上是减函数．综上所述 ,当a ≤0时 ,函数f (x )的单调递增区间是( -∞ , +∞)；当a >0时 ,函数f (x ) 的单调递增区间是(ln a , +∞) ,单调递减区间是( -∞ ,ln a )．…5分(Ⅱ )由题知：不等式e x -ax >x +x 2对任意[2)x ∈+∞，成立 , 即不等式2x e x xa x--<对任意[2)x ∈+∞，成立． 设2()x e x x g x x --=(x ≥2) ,于是22(1)()x x e x g x x --'=．再设2()(1)x h x x e x =-- ,得()(2)x h x x e '=-．由x ≥2 ,得()0h x '> ,即()h x 在[2)+∞，上单调递增 ,∴ h (x )≥h (2) =e 2 -4>0 ,进而2()()0h x g x x'=> , ∴ g (x )在[2)+∞，上单调递增 , ∴ 2min[()](2)32e g x g ==- ,∴ 232e a <- ,即实数a 的取值范围是2(3)2e -∞-，．………………………10分 (Ⅲ )由 (Ⅰ )知 ,当a =1时 ,函数f (x )在( -∞ ,0)上单调递减 ,在(0 , +∞)上单调递增． ∴ f (x )≥f (0) =1 ,即e x -x ≥1 ,整理得1 +x ≤e x ．令ix n=-(n ∈N* ,i =1 ,2 ,… ,n -1) ,那么01i n <-≤in e - ,即(1)n i n -≤i e - , ∴1()n n n -≤1e - ,2()n n n -≤2e - ,3()n n n -≤3e - ,… ,1()n n ≤(1)n e -- ,显然()n nn ≤0e ,∴ 1231()()()()()n n n n n n n n n n n n n n ---++++⋅⋅⋅+≤0123(1)n e e e e e -----++++⋅⋅⋅+ 11(1)111n n e e e e e e e -----==<--- , 故不等式123()()()+1n n n n n en n n n e +++<-…（） (n ∈N * )成立．……………4分。

一、单选题1.已知：向量与的夹角为锐角．若是假命题，则实数的取值范围为（ ）A．B．C．D．2. 古希腊哲学家、百科式科学家阿基米德最早采用分割法求得椭圆的面积为椭圆的长半轴长和短半轴长乘积的倍，这种方法已具有积分计算的雏形.已知椭圆的面积为，离心率为，，是椭圆的两个焦点，为椭圆上的动点，则下列结论正确的是（ ）①椭圆的标准方程可以为 ②若，则③存在点，使得④的最小值为A ．①③B ．②④C ．②③D ．①④3. 已知集合，则（ ）A．B．C．D．4. 已知随机变量X服从正态分布，下列四个命题：甲：；乙：；丙：；丁：如果有且只有一个是假命题，那么该命题是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁5. 甲、乙、丙三个地区分别有、、的人患了流感，且、、构成以为公差的等差数列．已知这三个地区的人口数的比为，现从这三个地区中任意选取一人，在此人患了流感的条件下，此人来自甲地区的概率最大，则的可能取值为（ ）A．B．C．D．6. “”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7. 已知，且，则（ ）A．B．C．D．8.设，则（ ）A ．2B．C．D ．19. 已知定义域为R的函数满足，且当时，，则不等式的解集为（ ）A．B．C．D．10. 有10件不同的电子产品，其中有2件产品运行不稳定.技术人员对它们进行一一测试，直到2件不稳定的产品全部找出后测试结束，则恰好3次就结束测试的方法种数是A．B．C．D．11. 已知复数，则在复平面内对应点所在象限为（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限四川省绵阳市2023届高三三模文科数学试题二、多选题12. 已知是定义在上的减函数，对任意、，恒成立，若，则的解集为（ ）A．B．C．D．13.设为等差数列，若，则公差（ ）A ．－2B ．－1C ．1D ．214.（ ）A．B．C．D．15. 已知是虚数单位，，若复数为纯虚数，则（ ）A．B．C．D．16.已知函数，则的图象大致为（ ）A．B．C．D．17. 已知10个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，设剩下的8个样本数据的方差为，平均数；最大和最小两个数据的方差为，平均数；原样本数据的方差为，平均数，若，则（ ）A ．剩下的8个样本数据与原样本数据的中位数不变B．C ．剩下8个数据的下四分位数大于原样本数据的下四分位数D．18.已知函数的定义域为，且，，则（ ）A．B．为偶函数C．为周期函数，且4为的周期D．19. 甲、乙两名射击运动员各射击6次的成绩如下：甲789549乙78a877则下列说法正确的是（ ）三、填空题A ．若，则甲射击成绩的中位数等于乙射击成绩的中位数B ．若，则甲射击成绩的极差大于乙射击成绩的极差C ．若，则乙比甲的平均成绩高，甲比乙的成绩稳定D ．若，则乙比甲的平均成绩高，乙比甲的成绩稳定20.定义在上的函数的导函数为，，，，则下列不等式中一定成立的是（ ）A．B．C．D．21. 已知点O 为△ABC 内的一点，D ，E 分别是BC ，AC 的中点，则（ ）A ．若O 为AD中点，则B ．若O 为AD中点，则C ．若O 为△ABC的重心，则D ．若O 为△ABC 的外心，且BC ＝4，则22. 一组数据是公差为2的等差数列，若去掉三项后，则（ ）A ．平均数没变B ．中位数没变C ．方差没变D ．极差没变23.已知正方体的边长为2，M为的中点，P为侧面上的动点，且满足平面，则下列结论正确的是（ ）A．B ．平面C ．与所成角的余弦值为D ．动点P的轨迹长为24. 若非空集合满足：，则（ ）A．B．C．D．25. 已知集合，，若，则____________．26. 一条抛物线把平面划分为二个区域，如果一个平面图形完全落在抛物线含有焦点的区域内，我们就称此平面图形被该抛物线覆盖.那么下列命题中，正确的是___________.(填写序号)（1）任意一个多边形所围区域总能被某一条抛物线覆盖；（2）与抛物线对称轴不平行､不共线的射线不能被该抛物线覆盖；（3）射线绕其端点转动一个锐角所扫过的角形区域可以被某二条抛物线覆盖；（4）任意有限多条抛物线都不能覆盖整个平面.27. 已知i 为虚数单位，复数z 满足，则z 的共轭复数为_____________.28. 已知（为自然对数的底数），，请写出与的一条公切线的方程______．29. 已知直线，若P 为l 上的动点，过点P 作的切线，切点为A 、B ，当最小时，直线的方程为__________.四、解答题30. 甲、乙两人向同一目标各射击一次，已知甲命中目标的概率为.乙命中目标的概率为，已知目标至少被命中次，则甲命中目标的概率为__________.31. 定义在区间[0,3π]上的函数y=sin2x 的图象与y=cosx 的图象的交点个数是______.32. 已知，，则__________．33.如图，在多面体中，四边形为菱形，且∠ABC =60°，AE ⊥平面 ABCD ，AB =AE =2DF ，AE DF.(1)证明：平面AEC ⊥平面 CEF ；(2)求平面ABE 与平面CEF 夹角的余弦值.34. （1）已知角终边上一点，求的值；（2）化简求值：35. 化简或求值：（1）；（2）.36. ChatGPT 是由人工智能研究实验室OpenAI 于2022年11月30日发布的一款全新聊天机器人模型，它能够通过学习和理解人类的语言来进行对话，ChatGPT 的开发主要采用RLHF （人类反馈强化学习）技术.在测试ChatGPT 时，如果输入的问题没有语法错误，则ChatGPT 的回答被采纳的概率为85%，当出现语法错误时，ChatGPT 的回答被采纳的概率为50%.(1)在某次测试中输入了8个问题，ChatGPT 的回答有5个被采纳.现从这8个问题中抽取3个，以表示抽取的问题中回答被采纳的问题个数，求的分布列和数学期望；(2)已知输入的问题出现语法错误的概率为10%，（i ）求ChatGPT 的回答被采纳的概率；（ii ）若已知ChatGPT 的回答被采纳，求该问题的输入没有语法错误的概率.37. 已知函数f (t )=（Ⅰ）将函数g(x )化简成Asin(ωx +φ)+B （A ＞0，ω＞0，φ∈[0，2π]）的形式；（Ⅱ）求函数g(x )的值域．38.设，.五、解答题（1）求的展开式中系数最大的项；（2）时，化简；（3）求证：.39. 已知函数，．(1)在给出的坐标系中画出函数的图像；(2)若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．40. 根据国家深化医药卫生体制改革的总体部署和要求，某地区自2015年起，开始逐步推行“基层首诊､逐级转诊”的医疗制度，从而全面推行家庭医生签约服务.已知该地区居民约为2000万，从1岁到101岁的居民年龄结构的频率分布直方图如图1所示.为了解各年龄段居民签约家庭医生的情况，现调查了1000名年满18周岁的居民，各年龄段被访者签约率如图2所示.（1）根据图1和图2的信息，估计该地区签约率超过35%低于60%的人群的总人数；（2）若以图2中年龄在岁居民签约率作为此地区该年龄段每个居民签约家庭医生的概率，现从该地区年龄在岁居民中随机抽取3人，记抽到的签约人数为，求的分布列及数学期望；（3）据统计，该地区被访者的签约率约为43%.为把该地区年满18周岁居民的签约率提高到55%以上，应着重提高图2中哪个年龄段的签约率？并结合数据对你的结论作出解释.41. 2016年，某省环保部门制定了《省工业企业环境保护标准化建设基本要求及考核评分标准》，为了解本省各家企业对环保的重视情况，从中抽取了40家企业进行考核评分，考核评分均在内，按照，，，，的分组作出频率分布直方图如图（满分为100分）．六、解答题(1)已知该省对本省每家企业每年的环保奖励（单位：万元）与考核评分的关系式为（负值为企业上缴的罚金）．试估计该省在2016年对这40家企业投放环保奖励的平均值；(2)在这40家企业中，从考核评分在80分以上（含80分）的企业中随机3家企业座谈环保经验，设为所抽取的3家企业中考核评分在内的企业数，求随机变量的分布列和数学期望．42. 已知函数的最大值为.（1）在如图所示的坐标系中作出函数的图象，并结合图象求出的值；（2）若，不等式恒成立，求的最小值.43. 已知函数.（1）在给定的坐标系中，作出函数在区间上的图象；（2）求函数在区间上的最大值和最小值.44. 如图，已知平行六面体的底面是菱形，，，且.(1)试在平面内过点作直线，使得直线平面，说明作图方法，并证明：直线；(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.45. 已知椭圆C 的中心为坐标原点，焦点在x 轴上，焦距为2，椭圆C 上的点到焦点的距离的最大值为3．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设点A ，F 分别为椭圆C 的左顶点、右焦点，过点F 的直线交椭圆C 于点P ，Q ，直线AP ，AQ 分别与直线交于点M ，N ，求证：直线FM 和直线FN 的斜率之积为定值．46. 已知的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且.(1)求证：.(2)求的取值范围.47. 如图，在四棱锥中，已知，．七、解答题(1)求证：；(2)若平面平面，，且，，二面角大小为45°，点E 是线段AP 上的动点，求直线EB 与平面PAD 所成角的正弦值的最小值，并说明此时点E 的位置．48. 如图，在长方体中，底面是边长为2的正方形，，E ，F分别是的中点．(1)求证：∥平面；(2)设H 在棱上，且，N为的中点，求证：平面；并求直线与平面所成角的正弦值．49.已知抛物线的焦点和椭圆的右焦点相同，点的坐标分别为是抛物线上的点，设直线与抛物线的另一交点分别为．(1)求抛物线的标准方程；(2)求证：当点在抛物线上变动时（只要点存在，且点与点不重合），直线恒过定点，并求出定点坐标．50. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，M ，N 分别为的中点，.（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.51. 假设一种机器在一个工作日内发生故障的概率为,若一周5个工作日内无故障,则可获得利润10万元;仅有一个工作日发生故障可获得利润5万元; 仅有两个工作日发生故障不获利也不亏损;有三个或三个以上工作日发生故障就要亏损2万元.求:(1)一周5个工作日内恰有两个工作日发生故障的概率(保留两位有效数字);(2)一周5个工作日内利润的期望.52. 2022年12月份以来，全国多个地区纷纷采取不同的形式发放多轮消费券，助力消费复苏.记发放的消费券额度为x （百万元），带动的消费为y （百万元）.某省随机抽查的一些城市的数据如下表所示.x33455668y1012131819212427(1)根据表中的数据，请用相关系数说明y与x有很强的线性相关关系，并求出y关于x的线性回归方程.(2)（ⅰ）若该省A城市在2023年2月份准备发放一轮额度为10百万元的消费券，利用（1）中求得的线性回归方程，预计可以带动多少消费？（ⅱ）当实际值与估计值的差的绝对值与估计值的比值不超过10％时，认为发放的该轮消费券助力消费复苏是理想的.若该省A城市2月份发放额度为10百万元的消费券后，经过一个月的统计，发现实际带动的消费为30百万元，请问发放的该轮消费券助力消费复苏是否理想？若不理想，请分析可能存在的原因.参考公式：，，.当时，两个变量之间具有很强的线性相关关系.参考数据：.53. 2021年东京奥运会，中国举重选手8人参赛，7金1银，在全世界面前展现了真正的中国力量；举重比赛根据体重进行分级，某次举重比赛中，男子举重按运动员体重分为下列十级：级别54公斤级59公斤级64公斤级70公斤级76公斤级体重54.01～5959.01～6464.01～7070.01～76级别83公斤级91公斤级99公斤级108公斤级108公斤级以上体重76.01～8383.01～9191.01～9999.01～108每个级别的比赛分为抓举与挺举两个部分，最后综合两部分的成绩得出总成绩，所举重量最大者获胜，在该次举重比赛中，获得金牌的运动员的体重以及举重成绩如下表体重5459647076839199106举重成绩291304337353363389406421430（1）根据表中的数据，求出运动员举重成绩y与运动员的体重x的回归直线方程（保留1位小数）；（2）某金牌运动员抓举成绩为170公斤，挺举成绩为204公斤，则该运动员最有可能是参加的哪个级别的举重？参考数据：；参考公式：．54. 某网校推出试听的收费标准为每课时100元，现推出学员优惠活动，具体收费标准如下（每次听课1课时）：第次课第1次课第2次课第3次课第4次课或之后收费比例0.90.80.70.6现随机抽取100位学员并统计它们的听课次数，得到数据如下：听课课时1课时2课时3课时不少于4课时数频数50201020假设该网校的成本为每课时50元．（1）估计1位学员消费三次及以上的概率；（2）求一位学员听课4课时，该网校所获得的平均利润．八、解答题55. 某人准备应聘甲､乙两家公司的高级工程师，两家公司应聘程序都是：应聘者先进行三项专业技能测试，专业技能测试通过后进入面试.已知该应聘者应聘甲公司，每项专业技能测试通过的概率均为，该应聘者应聘乙公司，三项专业技能测试通过的概率依次为，，m ，其中，技能测试是否通过相互独立.(1)若.求该应聘者应聘乙公司三项专业技能测试恰好通过两项的概率；(2)已知甲､乙两家公司的招聘在同一时间进行，该应聘者只能应聘其中一家，应聘者以专业技能测试通过项目数的数学期望为决策依据，若该应聘者更有可能通过乙公司的技能测试，求m 的取值范围.56. 甲、乙两位同学参加一个答题比赛，每人依次回答3个问题，已知甲同学答对第一个、第二个、第三个问题的概率分别为，，，乙同学答对每个问题的概率均为，且甲乙两人答题相互独立．(1)求甲同学至多答对1个问题的概率；(2)已知前两个问题每个10分，第三个问题20分，回答正确得到相应分数，回答错误不得分，比较甲、乙两位同学比赛得分的数学期望的大小．57. 已知动圆P 与x 轴相切且与圆x 2+(y -2)2=4相外切，圆心P 在x 轴的上方，P 点的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程；（2）已知E (4,2)，过点(0,4)作直线交曲线C 于A ，B 两点，分别以A ，B 为切点作曲线C 的切线相交于D ，当△ABE 的面积S 1与△ABD 的面积S 2之比取最大值时，求直线AB 的方程.58. 博鳌亚洲论坛2015年会员大会于3月27日在海南博鳌举办，大会组织者对招募的100名服务志愿者培训后，组织一次知识竞赛，将所得成绩制成如右频率分布直方图（假定每个分数段内的成绩均匀分布），组织者计划对成绩前20名的参赛者进行奖励．（1）试确定受奖励的分数线；（2）从受奖励的20人中选3人在主会场服务，记3人中成绩在90分以上的人数为，求的分布列与数学期望．59. 已知函数的部分图象如图所示.(1)求函数的解析式；(2)若函数在区间上恰有两个零点，求的值.60. 已知数列的前项和．(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和．61.在中，D为上靠近点C 的三等分点，且．记的面积为．(1)若，求；(2)求的取值范围．62. 已知函数f(x)＝x3－3ax－1，a≠0.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f(x)的图像有三个不同的交点，求m的取值范围.。

一、单选题二、多选题1. 已知，，，则（ ）A．B．C．D．2.已知，则A．B．C．D．3. 已知向量，满足，且，，则（ ）A ．5B ．3C ．2D ．14.已知，则（ ）A．B．C．D．5.在正方体中，点，，，分别为，，，的中点，则下列说法错误的是（ ）A ．平面平面B ．平面平面C．D ．异面直线与所成角的余弦值为6. 若正三角形的边长为2，顶点，分别在轴、轴的正半轴上滑动，点A 在第一象限，为的中心，的取值范围是（ ）.A．B．C．D．7. 已知，则（ ）A．B．C．D．8. 2023年5月21日，中国羽毛球队在2023年苏迪曼杯世界羽毛球混合团体锦标赛决赛中以总比分战胜韩国队，实现苏迪曼杯三连冠．甲、乙、丙、丁、戊五名球迷赛后在现场合影留念，其中甲、乙均不能站左端，且甲、丙必须相邻，则不同的站法共有（ ）A ．18种B ．24种C ．30种D ．36种9. 已知函数，下列说法正确的有（ ）A ．曲线在处的切线方程为B．的单调递减区间为C．的极大值为D．方程有两个不同的解10. 已知函数在区间上有且仅有3个对称中心，则下列说法的是（ ）A ．在区间上至多有3条对称轴B ．的取值范围是C ．在区间上单调递增D．的最小正周期可能为不正确四川省绵阳市2022届高三第三次诊断性考试文科数学试卷 (2)四川省绵阳市2022届高三第三次诊断性考试文科数学试卷 (2)三、填空题四、解答题11.已知，分别为双曲线C ：（，）的左、右焦点，的一条渐近线的方程为，且到的距离为，点为在第一象限上的点，点的坐标为，为的平分线则下列正确的是（ ）A．双曲线的方程为B．C．D．点到轴的距离为12.已知圆和圆，过圆上任意一点作圆的两条切线，设两切点分别为，则（ ）A ．线段的长度大于B．线段的长度小于C ．当直线与圆相切时，原点到直线的距离为D ．当直线平分圆的周长时，原点到直线的距离为13. 已知向量，若，则m =___________.14.已知函数，则___________.15.已知圆的圆心为，点是直线上的动点，若该圆上存在点使得，则实数的最大值为______.16.在中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，．(1)求；(2)若，，试求边上的高h ．17. 中国在第75届联合国大会上承诺，努力争取2060年之前实现碳中和(简称“双碳目标”)．新能源电动汽车作为战略新兴产业，对于实现“双碳目标”具有重要的作用．赛力斯汽车有限公司为了调查客户对旗下AITO 问界M7的满意程度，对所有的意向客户发起了满意度问卷调查，将打分在80分以上的客户称为“问界粉”．现将参与调查的客户打分(满分100分)进行了统计，得到如下的频率分布直方图：(1)估计本次调查客户打分的中位数(结果保留一位小数)；(2)按是否为“问界粉”比例采用分层抽样的方法抽取10名客户前往重庆赛力斯两江智慧工厂参观，在10名参观的客户中随机抽取2名客户赠送价值2万元的购车抵用券．记获赠购车券的“问界粉”人数为，求的分布列和数学期望．18. 已知函数（为常数）（1）若，求函数的单调区间；（2）若存在，使得，求的取值范围.19.已知函数(1)当时，求函数的单调区间；(2)若函数有且只有一个零点，求实数的取值范围．20. 某中学对高一年级学生进行体质测试（简称体测），随机抽取了120名学生的体测结果等级（“良好以下”或“良好及以上”）进行统计，并制成如图所示的列联表．良好以下良好及以上合计男40女10合计90120(1)将列联表补充完整；计算并判断是否有95%的把握认为本次体测结果等级与性别有关系；(2)事先在本次体测等级为“良好及以上”的学生中按照性别采用分层抽样的方式随机抽取了6人．若从这6人中随机抽取2人对其体测指标进行进一步研究，求抽到的2人中至少有1名女生的概率．附表及公式：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.072 2.7063.841 5.024 6.6357.87910.82 8其中，．21. 2020年9月，中国在第75届联合国大会上承诺，将采取更加有力的政策和措施，力争于2030年之前使二氧化碳的排放达到峰值，努力争取2060年之前实现碳中和（简称“双碳目标”），此举展现了我国应对气候变化的坚定决心，预示着中国经济结构和经济社会运转方式将产生深刻变革，极大促进我国产业链的清洁化和绿色化.新能源汽车､电动汽车是重要的战略新兴产业，对于实现“双碳目标”具有重要的作用为了解某一地区纯电动汽车销售情况，一机构根据统计数据，用最小二乘法得到电汽车销量y（单位：万台）关于x（年份）的线性回归方程为，且销量的方差为，年份的方差为.(1)求与的相关系数，并据此判断电动汽车销量与年份的相关性强弱；(2)该机构还调查了该地区90位购车车主的性别与购车种类情况，得到的数据如下表：购买非电动车购买电动车总计男性39645女性301545总计692190请判断有多大的把握认为购买电动汽车与性别有关；(3)在购买电动汽车的车主中按照性别进行分层抽样抽取7人，再从这7人中随机抽取3人，记这3人中，男性的人数为，求的分布列和数学期望.①参考数据：②参考公式：（i）线性回归方程：，其中（ii）相关系数：，若，则可判断y与x线性相关较强.（iii），其中.附表：。

一、单选题二、多选题1. 若全集，,,则（ ）A．B．C．D．2. 已知平面向量，的夹角为60°，，，则A ．2B．C．D．3. 函数的图象大致为（ ）A．B．C ．D．4. 已知三棱锥P-A BC 中，PA=4，AB=AC=2，BC=6，PA ⊥面ABC ，则此三棱锥的外接球的表面积为（ ）A．B．C．D．5. 将函数的图象向右平移个单位，再纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，所得新图象的函数解析式是( )A．B．C．D．6. 若双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（ ）A．B．C．D．7.设，则的大小关系是A．B．C．D．8. 设函数，对任意，若，则下列式子成立的是( )A．B．C．D．9. 下列结论正确的是（ ）A ．一组样本数据的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为B．已知随机变量，若，则C ．在列联表中，若每个数据均变成原来的2倍，则也变成原来的2倍（，其中）D ．分别抛掷2枚质地均匀的骰子，若事件“第一枚骰子正面向上的点数是奇数”，“2枚骰子正面向上的点数相同”，则互为独立事件10.已知函数的相邻对称轴之间的距离为，且图象经过点，则下列说法正确的是（ ）四川省绵阳市2022届高三第三次诊断性考试文科数学试卷(1)四川省绵阳市2022届高三第三次诊断性考试文科数学试卷(1)三、填空题四、解答题A．该函数解析式为B．函数的一个对称中心为C ．函数的定义域为D．将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，且函数的图象关于原点对称，则b 的最小值为.11. 烘焙食品是以面粉、酵母、食盐、砂糖为主料，油脂、乳品等为辅料，经过一系列工艺手段烘焙而成的食品.如图为2015—2020年中国人均每年烘焙食品市场消费量统计图，则下列结论正确的是（）A ．2016—2020年中国人均每年烘焙食品市场消费量同比增速最大的是2016年B ．2015—2020年中国人均每年烘焙食品市场消费量的平均数超过2017年中国人均每年烘焙食品市场消费量C ．2015—2020年中国人均每年烘焙食品市场消费量的中位数是6.9D ．2015—2020年中国人均每年烘焙食品市场消费量逐年增加12. 已知圆，则下列四个命题中正确的命题有（ ）A ．若圆与轴相切，则B ．圆的圆心到原点的距离的最小值为C ．若直线平分圆的周长，则D．圆与圆可能外切13.在锐角中，，，的面积为，__________．14. 若复数z 满足，其中i 为虚数单位，则______．15. 设,函数,若恰有两个零点，则的取值范围为_________．16. 自由购是通过自助结算方式购物的一种形式. 某大型超市为调查顾客使用自由购的情况，随机抽取了100人，统计结果整理如下：20以下70以上使用人数312176420未使用人数003143630（Ⅰ）现随机抽取 1名顾客，试估计该顾客年龄在且未使用自由购的概率；（Ⅱ）从被抽取的年龄在使用自由购的顾客中，随机抽取3人进一步了解情况，用表示这3人中年龄在的人数，求随机变量的分布列及数学期望；（Ⅲ）为鼓励顾客使用自由购，该超市拟对使用自由购的顾客赠送1个环保购物袋.若某日该超市预计有5000人购物，试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋.17. 已知，设函数，为的导函数，且恒成立.(1)求实数的取值范围；(2)设的零点为，的极小值点为，证明：.18. 如图，正四棱柱中（底面棱长与侧棱长不相等），E是对角线上靠近A的三等分点，，垂足为H.(1)证明：平面；(2)若与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值.19. 已知抛物线的焦点为.(1)求抛物线的方程；(2)过点的直线与抛物线交于两点，为抛物线上的点，且，，求的面积.20. 已知i虚数单位，.（1）求；（2）若复数的虚部为2，且的虚部为0，求.21. 设等差数列的前n项和为，已知，且是与的等比中项，数列的前n项和．(1)求数列的通项公式；(2)若，对任意总有恒成立，求实数的最小值．。

一、单选题二、多选题1.已知集合，则A．B．C．D．2. 某同学在研究学习中，收集到某制药厂今年5个月甲胶囊生产产量（单位：万盒）的数据如下表所示：（月份）12345（万盒）55668若线性相关，线性回归方程为，则以下为真命题的是A ．每增加1个单位长度，则一定增加0.7个单位长度B ．每增加1个单位长度，则必减少0.7个单位长度C ．当时，的预测值为8.1万盒D．线性回归直线经过点3. 如图，在梯形中，已知，，为的中点，，，则（）A ．1B．C ．3D．4. 已知，则（ ）A．B．C．D．5.已知定义在上的偶函数满足：当时，，且对一切恒成立，则实数的取值范围为（ ）A．B．C．D．6. 一个盒子里共有个大小形状相同的小球，其中个红球，个黄球，个绿球.从盒中任取球，若它不是红球，则它是绿球的概率是（ ）A．B．C．D．7. 从4名男生和3名女生中选出4人去参加一项创新大赛，下列说法正确的是（ ）A ．若4人中男生女生各选2人，则有18种选法B ．若男生甲和女生乙必须在内，则有12种选法C ．若男生甲和女生乙至少有1人在内，则有15种选法D ．若4人中既有男生又有女生，则有34种选法8.已知函数（，，）的部分图象如图所示，则下列判断正确的是（ ）四川省绵阳市2023届高三三模文科数学试题(高频考点版)四川省绵阳市2023届高三三模文科数学试题(高频考点版)三、填空题四、解答题A．B．C．直线是函数图象的对称轴D ．点是函数图象的对称中心9. 已知复数（为虚数单位），则的值为_____．10. 若函数f (2x －1)的定义域为[0，1)，则函数f (1－3x )的定义域为______．11. 已知函数是幂函数，且过点，则___________.12. 如图，正方体棱长为2，P 是线段上的一个动点，则下列结论中正确的为________．①BP的最小值为②存在P 点的某一位置，使得P ，A ，，C 四点共面③的最小值为④以点B 为球心，为半径的球面与面的交线长为13. 已知空间向量．(1)若，求(2)若，求实数k 的值．14. 已知集合，.（1）若，求实数a 的取值范围;（2）若，求实数a 的取值范围.15. （1）已知反比例函数满足，求的解析式；（2）已知是一次函数，且，求的解析式；（3）已知二次函数满足，，，求的解析式；（4）已知，求的解析式．16. 如图，在四棱锥中，为直角梯形，，平面平面．是以为斜边的等腰直角三角形，为上一点，且．(1)证明：直线∥平面;(2)求二面角的余弦值．。

一、单选题二、多选题1.函数的图象大致为（ ）A．B．C．D．2.设为定义在上的奇函数，当时，（为常数），则=A．B．C．D．3. 已知函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（ ）A．B．C．D．4. 已知为等比数列的前项和，，，则（ ）.A．B ．255C ．85D．5. 已知，且，则（ ）A．B．C．D．6. 已知集合，集合，则（ ）A．B．C．D．7. 向量在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则（）A．B ．4C ．2D．8. 已知矩形ABCD ，AB =1，AD =2，点E 为BC 边的中点将△ABE 沿AE 翻折，得到四棱锥B -AECD ，且平面BAE ⊥平面AECD ，则四面体B -ECD 的外接球的表面积为（ ）A．B ．4πC．D ．5π9. 已知函数，则（ ）四川省绵阳八一中学2022-2023学年高三上学期第三次模拟考试数学文科试题(2)四川省绵阳八一中学2022-2023学年高三上学期第三次模拟考试数学文科试题(2)三、填空题A ．函数在区间上单调递增B ．直线是函数图象的一条对称轴C ．函数的值域为D ．方程最多有8个根，且这些根之和为10.在平面直角坐标系中，已知点，动点满足()，记点P 的轨迹为曲线C ，则（ ）A ．存在实数，使得曲线上所有的点到点的距离大于2B ．存在实数，使得曲线上有两点到点与的距离之和为6C ．存在实数，使得曲线上有两点到点与的距离之差为2D ．存在实数，使得曲线上有两点到点的距离与到直线的距离相等11. 2021年2月28日国家统计局发布了《2020年国民经济和社会发展统计公报》，全面展示了一年来全国人民顽强奋斗取得的令世界瞩目、可载入史册的伟大成就，来之不易，催人奋进．如图是2016-2020年国内生产总值（单位：亿元）及其增长速度走势图和三次产业增加值占国内生产总值比重图，据图可知下列说法正确的是（）A ．2020年国内生产总值突破百万亿大关B ．2016-2020年国内生产总值逐年增长，但增长速度逐年降低C ．2016-2020年第二产业增加值占国内生产总值的比重整体呈下降趋势D ．2016-2020年第三产业增加值逐年增长12.将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得到如图所示的函数的部分图象，则关于函数的说法，正确的是（）A ．最小正周期为B ．图象关于点对称C ．图象关于直线对称D ．在区间上的值域为13. 函数的图象在处切线的倾斜角为______．14. 若复数满足，则___________.15. 已知F 为抛物线y 2＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，(其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是________.四、解答题16. 中的内角，，的对边分别为，，，已知，，．求边的值；求的值．17. 已知函数．（1）若函数在上单调递增，求实数a的取值范围；（2）当时，若方程有两个不等实数根，求实数m的取值范围，并证明．18. 已知函数．(1)讨论函数f（x）的单调性；(2)若，且存在0<m<n，使得f（x）与f（f（x））的定义域均为[m，n]，求实数a的取值范围．19. 已知动点P与两定点，，直线与的斜率之积为，记动点P的轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程；(2)设，E为直线上一动点，直线DE交曲线C于G，H两点，若、、、依次为等比数列的第m、n、p、q项，且，求实数a的值．20. 如图，已知平行六面体的底面是菱形，，且.(1)试在平面内过点作直线，使得直线平面，说明作图方法，并证明：直线；(2)求点到平面的距离.21. 如图，在棱长为1的正方体中，点E是棱AB上的动点.（1）求证：；（2）若直线与平面所成的角是45，请你确定点E的位置，并证明你的结论.。

一、单选题二、多选题1. 一组5个数据，，，，的和为25，方差为6，则，，，，，5这6个数的方差为（ ）A ．5B ．6C ．25D ．302. 有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：[11.5，15.5) 2 [15.5，19.5) 4 [19.5，23.5) 9 [23.5，27.5) 18[27.5，31.5) 1l [31.5，35.5) 12 [35.5，39.5) 7 [39.5，43.5) 3根据样本的频率分布估计，大于或等于31.5的数据约占A．B．C．D．3.已知函数的最小正周期为4π，则（ ）A ．函数f （x ）的图象关于原点对称B ．函数f （x ）的图象关于直线对称C ．函数f （x）图象上的所有点向右平移个单位长度后，所得的图象关于原点对称D ．函数f （x ）在区间（0，π）上单调递增4. 已知函数若函数的图象上关于原点对称的点有2对，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．5. 设是复数，则“是虚数”是“是虚数”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件6.设集合，，则（ ）A．B．C．D．7.，使得的否定是（ ）A．，使得B ．，使得C ．，D ．，8.已知等差数列（公差不为0）和等差数列的前项和分别为，如果关于的实系数方程有实数解，那么以下1003个方程中，有实数解的方程至少有（ ）个.A ．499B ．500C ．501D ．5029.设，其中若对一切恒成立，则以下结论正确的是（ ）．A ．；B ．；C．是奇函数；D ．的单调递增区间是；10.定义在上的函数满足，当时，，其中表示不大于的最大整数.关于有下述四个结论，其中错误的是（ ）A．是单调递减函数B．在上恒成立C ．方程有且仅有一个解D ．的值域为11. 已知，，且，则下列结论正确的是（ ）A．B．的最小值为16四川省绵阳市2023届高三三模文科数学试题(2)四川省绵阳市2023届高三三模文科数学试题(2)三、填空题四、解答题C．的最小值为9D ．的最小值为212. 进入冬季哈尔滨旅游火爆全网，下图是2024年1月1．日到1月7日哈尔滨冰雪大世界和中央大街日旅游人数的折线图，则（）A ．中央大街日旅游人数的极差是1.2B ．冰雪大世界日旅游人数的中位数是2.3C ．冰雪大世界日旅游人数的平均数比中央大街大D ．冰雪大世界日旅游人数的方差比中央大街大13. 2022北京冬奥会开幕式在北京鸟巢举行，小明一家五口人观看开幕式表演，他们一家有一排10个座位可供选择，按防疫规定，每两人之间必须至少有一个空位.现要求爷爷与奶奶之间有且只有一个空位，小明只能在爸爸妈妈中间且与他俩各间隔一个空位，则不同的就座方案有___________种.14.已知函数，则______.15. 设P 为圆O ：上任意一点，过点P 作椭圆的两条切线，切点分别为A ，B ，点O ，P 到直线AB的距离分别为，，则的值为______．16. 已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)若函数在处的切线恰好经过点，且对任意的，都有恒成立，求实数的取值范围.17. 如图，椭圆的中心在坐标原点，长轴端点为，右焦点为，且.(I)求椭圆的标准方程；(II)过椭圆的右焦点作直线，直线与椭圆分别交于点，直线与椭圆分别交于点且，求四边形的面积的最小值.18. 杭州亚运会吉祥物为一组名为“江南忆”的三个吉祥物“宸宸”，“琮琮”，“莲莲”，聚焦共同的文化基因，蕴含独特的城市元素．本次亚运会极大地鼓舞了中国人民参与运动的热情．某体能训练营为了激励参训队员，在训练之余组织了一个“玩骰子赢礼品”的活动，他们来到一处训练场地，恰有20步台阶，现有一枚质地均匀的骰子，游戏规则如下：掷一次骰子，出现3的倍数，则往上爬两步台阶，否则爬一步台阶，再重复以上步骤，当队员到达第7或第8步台阶时，游戏结束．规定：到达第7步台阶，认定失败；到达第8步台阶可赢得一组吉祥物．假设平地记为第0步台阶．记队员到达第步台阶的概率为（），记．(1)投掷4次后，队员站在的台阶数为第阶，求的分布列；(2)①求证：数列（）是等比数列；②求队员赢得吉祥物的概率．19. 在中，内角，，所对的边分别为，，，且满足，，，三角形的面积为．(1)求的值；(2)求的值．20.已知双曲线()经过点，其渐近线方程为．(1)求双曲线C的方程；(2)过点的直线l与双曲线C相交于A，B两点，P能否是线段AB的中点？请说明理由．21. 如图, 三棱中, 侧棱底面，且各棱长均相等.、、分别为棱、、的中点.（1）证明：平面；（2）证明：平面平面；（3）求直线与平面所成角的正弦值.。