近世代数判断题

近世代数模拟试题一一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1、设A ＝B ＝R(实数集)，如果A 到B 的映射ϕ：x →x ＋2，∀x ∈R ，则ϕ是从A 到B 的（ ）A 、满射而非单射B 、单射而非满射C 、一一映射D 、既非单射也非满射2、设集合A 中含有5个元素，集合B 中含有2个元素，那么，A 与B 的积集合A ×B 中含有（ ）个元素。

A 、2B 、5C 、7D 、103、在群G 中方程ax=b ，ya=b ， a,b ∈G 都有解，这个解是（ ）乘法来说A 、不是唯一B 、唯一的C 、不一定唯一的D 、相同的(两方程解一样)4、当G 为有限群，子群H 所含元的个数与任一左陪集aH 所含元的个数（ ）A 、不相等B 、0C 、相等D 、不一定相等。

5、n 阶有限群G 的子群H 的阶必须是n 的（ ）A 、倍数B 、次数C 、约数D 、指数二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

1、设集合{}1,0,1-=A ；{}2,1=B ，则有=⨯A B ---------。

2、若有元素e ∈R 使每a ∈A ，都有ae=ea=a ，则e 称为环R 的--------。

3、环的乘法一般不交换。

如果环R 的乘法交换，则称R 是一个------。

4、偶数环是---------的子环。

5、一个集合A 的若干个--变换的乘法作成的群叫做A 的一个--------。

6、每一个有限群都有与一个置换群--------。

7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是---，元a 的逆元是-------。

8、设I 和S 是环R 的理想且R S I ⊆⊆，如果I 是R 的最大理想，那么---------。

<近世代数复习题>一、定义描述（8’）1、群：设G是一个非空集合，是它的一个代数运算。

如果满足以下条件：（1）结合律成立，即对G中任意元素a，b，c都有（a b）c = a （b c）.（2）G中有元素e.叫做G的左单位元，它对G中每个元素a都有e a = a .（3）对G中每个元素a，在G中都有元素a-1，叫做a的左逆元，使a-1 a = e .则称G对代数运算做成一个群。

2、正规子群：设N是群G的一个子群，如果对G中每个元素a都有aN=Na，即aNa-1=N ，则称N是群G的一个正规子群（或不变子群）。

3、环：设非空集合R有两个代数运算，一个叫做加法并用加号+ 表示，另一个叫做乘法用乘号表示，如果：（1）R对加法作成一个加群；（2）R对乘法满足结合律：（ab）c = a（bc）；（3）乘法对加法满足左右分配率：a（b+c）= ab + ac ，（b+c）a = ba + ca .其中a，b，c为R中任意元素，则称R对这两个代数运算作成一个环。

4、极大理想：设N是环R的一个理想，且N≠R .如果除R和N外，R中没有包含N的其它理想，则称N为环R的一个极大理想。

5、惟一分解整环：设K是有单位元的整环。

如果K中每个既不是零又不是单位的元素都能惟一分解，则称K为惟一分解整环。

整数环Z及域F上多项式环F[ x ]都是惟一分解整环。

6、欧氏环：设K是一个有单位元的整环，如果（1）有一个从K的非零元集K – { 0}到非负整数集的映射ψ存在；（2）这个ψ对K中任意元素a及b≠0，在K中有元素q，r使a=bq + r，r=0或ψ（r）＜ψ（b），则称R关于ψ作成一个欧氏环。

-------------7、素理想：设R是一个交换环，P ◁R .如果ab∈P => a∈P或b∈P，其中a，b∈R，则称P是R的一个素理想。

显然，环R本身是R的一个素理想；又零理想{ 0}是R的素理想当且仅当R无零因子，亦即R是一个整环。

陕西师大08级近世代数（一）一、单项选择题1. 如果B A B A ⋃= ， 则 ( )。

A.B A ⊂B. B A ⊃C. B A =D. B A ≠2.设}2,1,0{=S ，则S 上的等价关系有（ ）个。

A. 2B. 3C. 4D. 53. 指出下列运算（ ）是对应集合的二元运算A ．在有理数集Q 上，ba b a = B. 在非零有理数集*Q 上，b a b a -= C. 在有理数集Q 上，b a b a -= D. 在非零有理数集*Q 上，22b a b a -=4. 下列集合（）对运算b a =2-+b a 作成交换群。

A ．整数集Z B. 非零实数集*R C. 非零有理数集*Q D. 非零整数集*Z5. 模6加群6Z 的生成元有（ ）个。

A. 2B. 3C. 4D. 56.设),(*•=R G ，下列（ ）规则是群G 的自同态映射。

A.x x 2B. 2x xC. x x -D. xx 1-7. 下面（ ）环是非交换环。

A. ),),((•+F M nB. ),,(•+ZC. ),,(•+m ZD. 高斯整环8. 设F 是域，且16||=F ，则F 的特征为（ ）。

A. 2B. 3C. 4D. 89. 模12的剩余类环12Z 中，子环（ ）无零因子。

A. }6,0{B. }8,4,0{C. }9,6,3,0{D. }10,8,6,4,2,0{10. 设R ，-R 是两个环，且-R R ~，则下列命题中的错误的是（ ）。

A. 若R 是可换环，则-R 可换B. 若R 有单位元，则-R 有单位元C. 若R 无零因子，则-R 无零因子D. 若a 是R 的逆元，则a 象是-R 逆元。

二、计算题设5,S ∈τσ，其中)45)(123(=σ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2314554321τ。

1.求σ的周期; 2.求1-τστ及其周期;3.将1-τστ表示成形式为(1i)的2-循环置换的乘积。

三、计算与证明题设3S 是三次对称群。

世代数模拟试题一一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1、设人=B=R (实数集)，如果A 到B 的映射：x-x+2,xCR,则是从A 到B 的() A 、满射而非单射B 、单射而非满射C 、一一映射D 、既非单射也非满射2、设集合A 中含有5个元素，集合B 中含有2个元素，那么，A 与B 的积集合AXB 中含有()个元素。

A 、2B 、5C 、7D 、103、在群G 中方程ax=b,ya=b,a,bCG 都有解，这个解是()乘法来说 A 、不是唯一B 、唯一的C 、不一定唯一的D 、相同的(两方程解一样)4、当G 为有限群，子群H 所含元的个数与任一左陪集aH 所含元的个数() A 、不相等B 、0C 、相等D 、不一定相等。

5、n 阶有限群G 的子群H 的阶必须是门的() A 、倍数B 、次数C 、约数D 、指数二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分) 1、设集合A1,0,1;B1,2,则有BA 。

2、若有元素eCR 使每aCA,都有ae=ea=a,则e 称为环R 的。

3、环的乘法一般不交换。

如果环R 的乘法交换，则称R 是一个。

4、偶数环是的子环。

5、一个集合A 的若干个--变换的乘法作成的群叫做A 的一个。

6、每一个有限群都有与一个置换群。

7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是,元a 的逆元是。

8、设I 和S 是环R 的理想且ISR,如果I 是R 的最大理想，那么 9、一个除环的中心是一个。

三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)并把和写成对换的乘积。

2、证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。

3、设集合M m {0,1,2,,m1,m}(m1),定义M m 中运算“m ”为a m b=(a+b)(modm),则(M m,m)是不是群，为什么？四、证明题(本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分)1、设G 是群。

第九章 特殊的代数系统习题1. 判断下列运算关于自然数集合是否构成半群：⑴},max{b a b a = ； ⑵b b a = ；⑶ab b a 2= ；⑷b a b a -= 。

解 ⑴是半群。

显然，二元运算“ ”在N 上是封闭的， 所以，>< ,N 是一个代数系统，另一方面，,,,N c b a ∈∀有(){}{}c b a c b a c b a ,,m ax ,m ax == ，而(){}{}c b a c b a c b a ,,max ,max == ，因此，()()c b a c b a =，所以，运算“ ”满足结合律的，故>< ,N 是半群；⑵是半群。

显然，二元运算“ ”在N 上是封闭的， 所以，>< ,N 是一个代数系统，另一方面，N c b a ∈∀,,，有()c c b c b a == ，而()c c a c b a == ，则()()c b a c b a =，所以，运算“ ”满足结合律，故>< ,N 是半群；⑶是半群。

显然，二元运算“ ”在N 上是封闭的， 所以，>< ,N 是一个代数系统，另一方面，N c b a ∈∀,,，有()abc c ab c ab c b a 4)2(2)2(=== ，()()abc bc a bc a c b a 422)2(=== ，即()()c b a c b a = ，所以，运算“ ”满足结合律，故>< ,N 是半群。

⑷不是半群。

虽然，二元运算“ ”在N 上是封闭的，即>< ,N 是一个代数系统，但是 对于5，3，6，因为，()4635635635=--=-= ，而2635635)63(5=--=-= ，即())63(5635 ≠，所以，运算“ ”不满足结合律，故>< ,N 不是半群。

2 在实数集R 上的二元运算定义为：),(R b a ab b a b a ∈++=试判断下列论断是否正确：⑴>< ,R 是一个代数系统； ⑵>< ,R 是一个半群； ⑶>< ,R 是一个独异点。

群一、填空题1. 设4)(x x f =是复数集到复数集的一个映射, 则)1(1-f ={_______}.2. 设τ=(134),σ=(13)(24), 则τσ=____________________.3. 群G 的元素a 的阶是m ，b 的阶是n ，ba ab =，则≤ab ，如果),(m n = 1，则=ab _____.4. 设<a >是任意一个循环群.若|a |=∞，则<a >与________________同构；若|a |=n ，则<a >与______________同构.5. 设σ=（14）（235），τ=（153）（24），则|σ| = ____，στσ1- =______.6. 设群G 的阶为m ，G a ∈，则=m a .7. 设“～”是集合A 的一个关系，如果“～”满足_________________，则称“～”是A的元素间的一个等价关系.8. 设σ＝(23)(35)，τ＝(1243)(235)∈S 5，那么στ＝___________(表示成若干个没有公共数字的循环置换之积)， τ是 (奇、偶)置换.9. 设群G 中元素a 的阶为m ，如果e a n =，那么m 与n 存在整除关系为 .10. 一个群G 的非空子集H 做成一个子群的充分必要条件是 .11. 设G 为群，若对于任意的元G b a ∈,，都有ba ab =，则称群G 为 群.12.n 次对称群n S 的阶是____________.13.设G =<a >是10阶循环群，则G 的全部生成元有 ，G 的子群有 个，分别是 .14.设H 是群G 的子群，G b a ∈,，则⇔=Hb Ha .15.设G =<a >是循环群，则G 与整数加群同构的充要条件是 .16．在3次对称群3S 中，H ＝{(1),(123),(132)}是3S 的一个正规子群，则商群H S 3中的元素(12)H ＝{}.17．如果f 是A 与A 间的一一映射，a 是A 的一个元，则()[]=-a f f 1 .18.设集合A 有一个分类，其中i A 与j A 是A 的两个类，如果j i A A ≠，那么=j i A A I .19. 凯莱定理说：任一个群都与一个 同构.20. 设G =<a >是12阶循环群, 则G 的生成元集合为｛ ｝.21. 一个群G 的一个子群H 的右陪集（或左陪集）的个数叫做H 在G 中的 .22. 设G 是一个pq 阶群，其中q p ,是素数，则G 的子群的一切可能的阶数是 ____ .23. 写出S 3的一个非平凡的正规子群_____.24. 已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4a 的阶等于 .25. 一个有限非可换群至少含有____________个元素.26. 设G 是p 阶群（p 是素数），则G 的生成元有____________个.27. 一个有限群中元素的个数叫做这个群的 .28.设R 是实数集，规定R 的一个代数运算ab b a 2:=οο，（右边的乘法是普通乘法），就结合律、交换律而言，“ο”适合如下运算律： .29. 设H 是群G 的子群，G b a ∈,，则⇔=bH aH .30. 写出三次对称群3S 的子群()(){}13,1=H 的一切左陪集 .31. 如果G 是一个含有15个元素的群，那么，G 有 个5阶子群，对于∀∈a G ，则元素a 的阶只可能是___________.32.设G 是一个pq 阶群，其中q p ,都是素数，则G 的真子群的一切可能的阶数是 ，G 的子群的一切可能的阶数是 .33. 已知群G 中的元素a 的阶等于n ，则k a 的阶等于n 的充分必要条件是 .34. 设(G ，·)是一个群，那么对于∀∈b a ,G ，(ab )－1＝___________.35. 群中元素a 的阶为n 3，k a 的阶为n ，则)3,(n k = .36．若一个群G 的每一个元都是G 的某一个固定元a 的方幂，则G 称为 .37．5-循环置换)31425(=π，那么=-1π .38．设G 为群，G N ≤，且对于任意的G a ∈，有 ，则N 叫做G 的正规子群.39. 设G 为乘群，G a ∈，则能够使得e a m =的最小正整数m ，叫做a 的___________.设G 为加群，G a ∈，则能够使得 的最小正整数m ，叫做a 的阶.40．设τ＝(1243)(235)∈5S ，那么1-τ＝___ _.τ是 (奇、偶)置换.41. 设～是集合A 的元间的一个等价关系，它决定A 的一个分类：则a 所在的等价类a ={ ｝.42. 设A ={d c b a ,,,}，则A 到A 的映射共有________个，A 到A 的一一映射共有________个，A A ⨯到A 的映射共有________个（A 上可以定义 个代数运算）.43. 设G 是6阶循环群，则G 的生成元有____________个.44. 非零复数乘群*C 中由i -生成的子群是____________.45. )125(=σ，)246(=τ，则στ的阶数等于 .46．素数阶群G 的非平凡子群个数等于____________.47. 设G 是一个n 阶交换群，a 是G 的一个m （n m ≤）阶元，则商群><a G 的阶等于 .48. 设σ是集合A 到集合B 的一个映射,则存在B 到A 的映射τ,使στσ⇔=A 1为 ; 存在B 到A 的映射τ,使σστ⇔=B 1为 .49. 若群G 中的每个元素的阶都有限,则称G 为 群. 若群G 中除了单位元外,其余元素的阶都无限,则称G 为 群.50. n 阶循环群有 个生成元,有且仅有 个子群.51. 若n k ,则n 阶循环群>=<a G 必有k 阶子群,其k 阶子群为 .52. 在同构意义下,4阶群只有两个,一个是4阶循环群,另一个是 .53. 在同构意义下,6阶群只有两个,一个是6阶循环群,另一个是 .54. 非交换群G 的每个子群都是其正规子群,则称G 为 群.55. n 元置换)(21k i i i Λ的阶为 ，=-12121)])([(m k j j j i i i ΛΛ .二、选择题1. 设R B A == (实数集)，如果A 到B 的映射R x x x ∈∀+→,2:ϕ,则ϕ是从A 到B 的（ ）.A) 满射而非单射; B) 单射而非满射;C) 一一映射; D) 既非单射也非满射.2.3S 中可以与(123)交换的所有元素有（ ）.A) (1),(123),(132); B) (12),(13),(23); C) (1),(123); D)3S 中的所有元素.3.设15Z 是以15为模的剩余类加群，那么15Z 的子群共有（ ）个.A) 2 B) 4 C) 6 D) 8.4. 设c b a ,,和x 都是群G 中的元素且xac acx bxc a x ==-,12，那么=x （ ）.A) 11--a bc B) 11--a c C) 11--bc a D) ca b 1-.5. 设f 是复数集到复数集的一个映射. 如果对任意的复数x ，有4)(x x f =，则))1((1f f -=( ).A) {1，-1}; B) {i ，-i }; C) {1， -1，i ，-i }; D) 空集.6. 设A ={所有实数}，A 的代数运算是普通乘法，则以下映射作成A 到A 的一个子集A 的同态满射的是( ).A) x x 10→ B) x x 2→ C) x x → D) x x -→.7. 设G 是实数集，定义乘法k b a b a ++=οο:，这里k 为G 中固定的常数,那么群()ο,G 中的单位元e 和元x 的逆元分别是（ ）.A) 1和x -； B) 1和0； C) -k 和k x 2-； D)k -和)2(k x +-.8.下面的集合对于给定的代数运算不能成为群的是( ).A) 全体整数对于普通减法; B) 全体不为零的有理数对于普通乘法;C) 全体整数对于普通加法; D) 1的3次单位根的全体对于普通乘法.9. 设G 是群,c b a ,,是群G 中的任意三个元素, 则下面阶数可能不相等的元素对为( ).A)ba ab , B) bac abc , C) 1,-bab a D) 1,-a a .10. 设R 是实数集合,规定R 的元素间的四个关系如下,( )是R 的等价关系.A)b a aRb ≤⇔; B) 0≥⇔ab aRb ; C) 022≥+⇔b a aRb ; D) ab aRb ⇔<0.11.设G 是一个半群，则下面的哪一个不是做成群的充要条件( ).A) G 中有左单位元，同时G 中的每个元素都有左逆元；B) 对于G 中任意元素a 和b ，G 中恰好有一个元素x 满足a x =b ；同时G 中恰好有一个元素y 满足y a =b ；C) G 中有单位元，同时G 中的每个元素都有逆元；D) 在G 中两个消去律成立.12.设H 是群G 的子群，且G 有左陪集分类{}cH bH aH H ,,,. 如果子群H 的阶是6，那么G 的阶=G （ ）.A) 6 B) 24 C) 10 D) 1213. 三次对称群3S = {(1),(12),(13),(23),(123),(132)}，那么下面关于3S 的四个论述中，正确的个数是( ).(1) 3S 是交换群；(2) 3S 的2阶互异子群有三个；(3) 3S 的3阶互异子群有两个；(4)3S 的元素(123)和(132)生成相同的循环群.A) 1 B ) 2 C) 3 D) 414. 设Z 15是以15为模的剩余类加群，那么，Z 15的子群共有（ ）个。

第一章 基本概念 练习题一、填空：1、若A 中有个m 元素,B 中有个n 元素,则A ×B 中有 个元素.2、设}2,1{=A ,}4,3{=B .那么=⨯B A .3、D B A 到⨯的映射叫做D B A 到⨯的一个 .4、 若A A A 到是⨯ 的代数运算，则称 是A 的 ，也称A 对 是封闭的.5、设 是A 的代数运算.若对任意A c b a ∈，，，有)()(c b a c b a =，则称 适合 .6、A 到A 的映射φ叫做A 的一个 .7、建立实数集R 到正实数集R +的映射，:2x x σ，R 的运算为数的加法，R +的运算为数的乘法，该映射 （是或不是）R 到正实数集R +的一个同态映射．8、建立正实数集R +到实数集R 的映射，:ln xx σ，R +的运算为数的乘法，R 的运算为数的加法，该映射________（是或不是）R +到R 的一个同态映射．9、若存在映射φ是A 到A 的一个 时，则对于 ， 来说，称A 与A 同态．10、集合上满足反身性、对称性和 的一个关系叫做等价关系．二、判断题1、A={所有不等于零的实数}， 是普通除法,则这个代数运算 不适合结合律．( )2、A={所有实数}，定义代数运算 ：2a b a b =+，则这个代数运算不适合结合律．( )3、设,Z A =“ ”是整的减法，则“ ”在Z 中不满足结合律． ( )4、设,Z A =“ ”规定如下：3a b b =，则该代数运算不满足结合律． ( )5、设,Z A =“ ”规定如下：2a b b =，则该代数运算不满足结合律． ( )6、一个有限集与它的真子集之间不可能有一一映射。

( )7、当A 与A 是无限集时，它们之间可能存在一一映射。

( ) 8、设 ， 分别是集合A A ,的代数运算，A A →:φ是一个映射。

若A b a ∈∀,，有 )()()(b a b a φφφ =，则称φ是A 到A 的一个同构映射。

近世代数模拟试题一一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分,共15分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分.1、设A＝B＝R(实数集），如果A到B的映射：x→x＋2，x∈R，则是从A到B的（)A、满射而非单射B、单射而非满射C、一一映射D、既非单射也非满射2、设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素,那么,A与B的积集合A×B中含有（）个元素。

A、2B、5C、7D、103、在群G中方程ax=b，ya=b，a,b∈G都有解，这个解是( )乘法来说A、不是唯一B、唯一的C、不一定唯一的D、相同的（两方程解一样)4、当G为有限群,子群H所含元的个数与任一左陪集aH所含元的个数（）A、不相等B、0C、相等D、不一定相等。

5、n阶有限群G的子群H的阶必须是n的（）A、倍数B、次数C、约数D、指数二、填空题（本大题共10小题，每空3分,共30分）请在每小题的空格中填上正确答案.错填、不填均无分。

1、设集合；，则有--—--———-。

2、若有元素e∈R使每a∈A，都有ae=ea=a，则e称为环R的--—--———.3、环的乘法一般不交换。

如果环R的乘法交换,则称R是一个-——--—。

4、偶数环是—-—-———-—的子环。

5、一个集合A的若干个—-变换的乘法作成的群叫做A的一个--———--—。

6、每一个有限群都有与一个置换群--—————-。

7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群,则这个群的单位元是---,元a的逆元是————--—.8、设和是环的理想且,如果是的最大理想,那么------—-—。

9、一个除环的中心是一个——-—---。

三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、设置换和分别为：，,判断和的奇偶性,并把和写成对换的乘积.2、证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。

倡１畅判断下列哪些是集合A 上的代数运算．（１） A ＝所有实数，A 上的除法．（２） A 是平面上全部向量，用实数和A 中向量作数量乘法（倍数）．（３） A 是空间全部向量，A 中向量的向量积（或外积，叉乘）．（４） A ＝所有实数，A 上的一个二元实函数．倡２畅给定集合F２＝｛１，０｝，定义F２上两个代数运算加法和乘法，用下面的加法表，乘法表来表示：＋０１³０１００１１１００００１０１例如，０＋１＝１，在加法表中＋号下的０所在的行与＋号右边的１所在的列相交处的元就是１；１³０＝０，在乘法表中³号下的１所在的行与³号右边的０所在的列相交处的元是０．试验证上述加法、乘法都有交换律、结合律，且乘法对于加法有分配律．倡３畅设R 是环．证明下述性质：橙a ，b ，c ∈ R ，（１） a ＋ b ＝ a ，则b ＝０，（２）－（ a ＋ b）＝（－ a）－ b ，（３）－（ a － b）＝（－ a）＋ b ，（４） a － b ＝ c ，则a ＝ c ＋ b ，² 2 ²（５） a０＝０，（６）－（ ab）＝（－ a）b ＝ a（－ b），（７）（－ a）（－ b）＝ ab （８） a（b － c）＝ ab － ac ．４畅R 是环，a１，a２，⋯，a m ，b１，b２，⋯，b n ∈ R ，则Σmi ＝１a i Σnj ＝１b j ＝Σmi ＝１Σnj ＝１a ib j ．倡５畅R 是环，验证：对所有非负整数m ，n ，橙a ，b ∈ R ，有a m ＋ n ＝ a m a n ，（ a m ）n ＝ a m n ．若a ，b 交换，则（ ab）m ＝ a m b m ．倡６畅R 是环，a ，b ∈ R ，a ，b 交换，证明二项定理：（ a ＋ b）n ＝ a n ＋n１a n －１b ＋⋯＋nk a n － k b k ＋⋯＋ b n ，其中nk ＝ C kn ＝ n（ n －１）⋯（ n － k ＋１）１²２⋯ k７畅R 是环，a１，a２，⋯，a m ∈ R ，分别有乘法逆元素a －１１，⋯，a －１m ，则a１⋯ a m的逆元素为a －１m a －１m －１⋯ a －１２a －１１．若a１，⋯，a m 两两交换，则a１a２⋯ a m 有逆元素的充要条件是a１，⋯，a m 皆有逆元素．８畅R 是环，a ，b ∈ R ．证明c（１－ ab）＝（１－ ab）c ＝１痴（１－ ba） d ＝ d（１－ ba）＝１，其中d ＝１＋ bca ．即若１－ ab 在R 内可逆，则１－ ba 也可逆．元素１＋ adb 等于什么？９畅M n （ F）为域F 上全体n ³ n 阵作成的环，n ≣２．举出其中零因子的例子．１畅（１）否，（２）否，（３）是，（４）是．２畅证明由于a ＋ b 和b ＋ a ，a ＋（b ＋ c）和（ a ＋ b）＋ c 中１，０出现的次数分别相同，它们的和就分别相等，故F２中加法交换律和结合律成立．由于ab 和ba ，a（bc）和（ ab）c 中如有０出现，其积为零，否则其积为１，故这两对积分别相等，于是F２中乘法交换律和结合律成立．对a（b ＋ c）和ab ＋ ac ，若a ＝０，这两式子都为零；若a ＝１，这两式子都为b ＋ c ，对这两种情形两式子都相等，故F２中乘法对加法的分配律成立．３畅（１）对a ＋ b ＝ a ＝ a ＋０用加法消去律，得b ＝０．（２）由于［（－ a）－ b］＋ a ＋ b ＝（－ a）＋［－ b ＋（ a ＋ b）］＝（－ a）＋ a ＝０，² 3 ²由负元的定义知（－ a）－ b ＝－（ a ＋ b）．（３）在（２）中将b 换为－ b ，就得－（ a － b）＝（－ a）＋ b ．（４）对a － b ＝ c 两边加上b ，左边＝（ a － b）＋ b ＝ a ，右边＝ c ＋ b ，故a ＝c ＋ b ．（５） a²０＋ a ＝ a²０＋ a²１＝ a（０＋１）＝ a ．用加法消去律得a²０＝０．（６）（－ a）b ＋ ab ＝（－ a ＋ a）b ＝０² b ＝０，故－ ab ＝（－ a）b ．将上式a ，b 互换就得－ ab ＝ a（－ b）．（７）（－ a）（－ b）＝－（ a（－ b））＝－（－ ab）＝ ab ．（８） a（b － c）＝ a（b ＋（－ c））＝ ab ＋ a（－ c）＝ ab － ac ．４畅Σmi ＝１a iΣnj ＝１b j ＝（ a１＋⋯＋ a m ）Σnj ＝１b j ＝ a１Σnj ＝１b j ＋⋯＋ a mΣnj ＝１b j ＝Σnj ＝１a１b j＋⋯＋Σnj ＝１a mb j ＝Σmi ＝１Σnj ＝１a ib j ．５畅分几种情形（i） m ＋ n ＝０，但m ，n 不为零，不妨设m 为正整数．a m a － m为m 个a 及m个a －１的乘积，由广义结合律知a m a － m ＝１＝ a０＝ a m ＋（－ m ）．（ii）若m ，n 中有零，不妨设m ＝０，则左边＝ a０＋ n ＝ a n ＝ a０a n ＝右边．（iii） m ，n 皆为正整数，则a m ＋ n与a m a n 皆为m ＋ n 个a 的积，由广义结合律知它们相等．若m ，n 皆为负整数，则a m ＋ n与a m a n 皆为－（ m ＋ n）个a －１的乘积，由广义结合律知它们相等．（iv） m ，n 中有正有负，且m ＋ n ≠０，不妨设m 与m ＋ n 为异号．则由（iii）a m ＋ n a － m ＝ a（ m ＋ n）－ m ＝ a n ，两边再乘上（ a － m ）－１＝ a m （参看（i）），则a m ＋ n ＝a m a n ．以上已证明了a m ＋ n ＝ a m a n 及（ a m ）－１＝ a － m ．再由a mn ＝ a m ＋ m ＋⋯＋ mn个＝ a m ⋯ a mn个＝（ a m ）n ，当n ＞０；a mn ＝ a（－ m ）（－ n）＝ a － m ⋯－ m（－ n）个＝ a － m ⋯ a － m（－ n）个＝（ a m ）－１⋯（ a m ）－１（－ n）个＝（ a m ）n ，当n ＜０；又a m²０＝１＝（ a m ）０．这就证明了a m n ＝（ a m ）n ．若a ，b 交换，当m ＝０时，显然有a m b m ＝（ ab）m ．当m 为正整数时，a m b m与（ ab）m 都是m 个a ，m 个b 的乘积，由广义结合律知它们相等，当m 为负整数时，a － m b － m ＝（ ab）－ m ，即（ a m ）－１（b m ）－１＝（（ ab）m ）－１．左边又是（ a m b m ）－１，² 4 ²故a m b m ＝（ ab）m ．６畅参照中学数学中对二项定理的证明．７畅由（ a１a２⋯ a m ）（ a－１m a－１m －１⋯ a－１２a－１１）＝ a１a２⋯ a m －１a m a－１m a－１m －１⋯ a－１１＝１，故（ a１a２⋯ a m ）－１＝ a －１m ⋯ a －１２a －１１．对第２个问题，上面一段正是证明了它的充分性．再证必要性．设a１a２⋯ a m ² u＝１，则任i ， a i （ a１⋯ a i －１a i ＋１⋯ a m u）＝１，故每个a i 有逆元素．８畅（１－ ba） d ＝（１－ ba）（１＋ bca）＝１－ ba ＋ bca － babca ＝１－ ba ＋ b（１－ab）ca ＝１－ ba ＋ ba ＝１，d（１－ ba）＝（１＋ bca）（１－ ba）＝１－ ba ＋ bca － bcaba ，＝１－ba ＋ bc（１－ ab） a ＝１－ ba ＋ ba ＝１．即１－ ba 在R 内也可逆．又由c（１－ ab）＝（１－ ab）c ＝１，得１＋ cab ＝１＋ abc ＝ c ．故１＋ adb ＝１＋ a（１＋ bca）b ＝１＋ ab ＋ abcab ＝１＋ ab（１＋ cab）＝１＋ abc ＝ c ．９畅当n ≣２时，取A ＝１１０⋯００００⋯０…………０００⋯０n ³ nB ＝１０⋯０－１０⋯０００⋯０………００⋯０n ³ n则A ≠０，B ≠０，但AB ＝０．A ，B 皆为零因子．² 5 ²第一章群１畅群的例子．２畅群的基本概念：群、子群、同态、同构、陪集、正规子群、商群、群阶、元的阶、群的方指数、循环群、交换群、奇（偶）置换、置换的轮换分解．３畅与群作用有关的概念：群作用及等价定义、轨道（等价类）、不变量及不变量的完全组、稳定子群、轨道长、共轭类．４畅重要结论：Lagrange 定理、Cayley 定理、类方程，群作为稳定子群的陪集的无交并、稳定子群的阶与轨道长的积等于群阶（有限群时）、同态基本定理、循环群及其子群的结构、有限交换群为循环群的充要条件、域中非零元的有限乘法子群是循环群、A n （ n ≣５）的单性、Burnside 关于轨道数的定理．５畅几个应用：图形的对称性群的计算（利用稳定子群）、晶体的对称性定律、轨道数的定理在一些组合计算问题中的应用．６畅解析几何、高等代数中有关群的例子、矩阵的各种变换与群作用的关系．１畅本章的一大特点也是本教材的一大特点是以群作用为主线来处理群论这一章的内容．在其它教材中群作用的概念和理论仅在群论的稍深入的部分出现．不少教材（例如为师范院校用的教材）甚至不涉及它．作者发现本章的内容（作为群论的引论内容）大量地与群作用有关：从图形的对称性群的分析引入群作用概念、用群作用的轨道引出陪集与共轭类的概念、Lagrange 定理和Cayley定理、群作用与高等代数中各种矩阵变换和几何学中的Erlanger 纲领的联系、群作用的轨道长和稳定子群关系的结论用于推出类方程和化简图形的对称性群的计算、Burnside 关于轨道数的结论用于组合计算问题等基本上形成了本章内容从头到尾的一条主线．中间穿插着讲述了群的各个基本概念和基本性质．这样就体现了群作用的重要性．２畅读者还可进一步考察高等代数中与群和群作用有关的其它例子．本教材中将群作用与高等代数矩阵变换相联系，体现了用群作用的高观点去看待以前² 6 ²的知识．３畅任意域中非零元素的乘法有限子群是循环群．这是非常漂亮的结果，是群论结果的推论．它在有限域的结构中起重要作用．４畅利用商群和同态基本定理可以搞清一些对象的构造和性质．读者可从教材内容和习题中举出几个例子来熟悉这种方法．（１）空间点阵绕一轴的转动若是它的对称性变换，则转角只有０，±π３，±π２，±２π３，π．证明只由这几个变换共能组五个群．（２）实对称n ³ n 方阵可用正交矩阵作相似变换化为对角矩阵．这其中有什么群作用？试找出这个群作用下的不变量的完全组，给出两个n ³ n 实对称方阵在同一轨道的充分必要条件．给出两个n ³ n 实对称矩阵在一般的（不一定是正交矩阵下）相似变换下能够互变的充分必要条件．§ 1 群的例子以下习题中打倡者为必作题，其余为选作题．倡１畅平面取定坐标系Oxy ，则平面仿射（点）变换θ：（ x ，y）T （ x′，y′）T （这里T 是矩阵的转置，（ x ，y）T 是一列的矩阵，即列向量）可写为x′＝ a１１x ＋ a１２y ＋ b１，y′＝ a２１x ＋ a２２y ＋ b２，（１）其中行列式a１１a１２a２１a２２≠０．证明平面上全体仿射变换对于变换的乘法成一个群，称为平面的仿射变换群．（可以把（１）写成矩阵形式，再进行证明）．倡２畅平面上取定直角坐标系Oxy ，任意平面正交（点）变换θ：（ x ，y）T（ x′，y′）T 可写为² 7 ²x′＝ a１１x ＋ a１２y ＋ b１，y′＝ a２１x ＋ a２２y ＋ b２，其中矩阵a１１a１２a２１a２２是正交矩阵．用这种表示式证明平面上全体正交变换对于变换的乘法成为一个群，它是平面的正交变换群（见例１０）．倡３畅平面上三个（不同的）点（ x０，y０）T ，（ x１，y１）T ，（ x２，y２）T （在习题１中同一坐标系Oxy 下）共线当且仅当有实数l ，使（ x２－ x０，y２－ y０）T ＝ l（ x１－ x０，y１－y０）T ．证明在习题１中的仿射变换θ下，有（ x′２－ x′０，y′２－ y′０）T ＝ l （ x′１－ x′０，y′１－ y′０）T ，故变换后的三点（ x′０，y′０），（ x′１，y′１），（ x′２，y′２）也共线．倡４畅平面上二点（ x１，y１）T ，（ x２，y２）T （在习题２中直角坐标系Oxy 下）的距离为｜x２－ x１，y２－ y１｜＝（ x２－ x１）２＋（y２－ y１）２．证明：在习题２中的正交变换θ下，变换前后两点的距离不变．注：只要证明（ x２－ x１）２＋（y２－ y１）２＝（ x′２－x′１）２＋（y′２－ y′１）２．除直接计算外还可利用矩阵工具．实际上x′２－ x′１y′２－ y′１＝a１１a１２a２１a２２x２－ x１y２－ y１．又若把一个数看成１³１矩阵，则有（ x２－ x１）２＋（y２－ y１）２＝（ x２－ x１，y２－ y１）（ x２－ x１，y２－ y１）T及（ x′２－ x′１）２＋（y′２－ y′１）２＝（ x′２－ x′１，y′２－y′１）（ x′２－ x′１，y′２－ y′１）T ．５畅所有形为a b０ a（ a ≠０，a ，b 皆为复数）的矩阵对于矩阵的乘法成为一个群．倡６畅令G 是全部实数对（ a ，b），a ≠０，的集合．在G 上定义乘法为（ a ，b）（c ，d）＝（ ac ，ad ＋ b），e ＝（１，０），验证G 是一个群．倡７畅设G 是一个幺半群．若G 的每个元a 有右逆元，即有b ∈ G ，使ab ＝ e ，则G 是一个群．倡８畅设G 是一个群．若橙a ，b 皆有（ ab）２＝ a２b２，则G 是交换群．９畅设群G 的每个元素a 都满足a２＝ e ，则G 是交换群．１０畅G ＝｛ z ∈ C （复数域）｜｜z ｜＝１｝对于复数的乘法成群．² 8 ²１１畅K ＝αβ－珋β珔αα，β∈ C ，不同时为０，其中珔α，珋β是α，β的共轭复数，则K 在矩阵的乘法下成群．１２畅设G 是非空的有限集合，G 上的乘法满足：橙a ，b ，c ∈ G 有１）（ ab）c ＝ a（bc）；２） ab ＝ ac 痴b ＝ c ；３） ac ＝ bc 痴a ＝ b ；则G 是群．倡１３畅证明（１）群中元a ，a２＝ e 当且仅当a ＝ a －１．（２）偶数个元素的群都含有一个元a ≠ e ，使得a２＝ e ．１４畅证明任一个群G 不能是两个不等于G 的子群的并集．１５畅以Q p 记分母与某素数p 互素的全体有理数组成的集合，证明它对于数的加法成为一个群．１６畅以Q p 记分母皆为p i （ i ≣０，p 素数）的全体有理数的集合，证明它对数的加法成为群．倡１７畅令ρ＝１２３４５６６５４３２１，ζ＝１２３４５６２３１５６４，η＝１２３４５６６２１３５４，计算ρζ，ζη，ηρ，ζ－１，ζρζ－１．倡１８畅设ζ＝１２⋯ nζ（１）ζ（２）⋯ζ（ n），η＝１２⋯ nη（１）η（２）⋯η（ n）．问ζ＝η（１）η（２）⋯η（ n）？？⋯？，η－１＝？？⋯？i１i２⋯ i n，及ηζη－１＝ζ（１）ζ（２）⋯ζ（ n）？？⋯？１２⋯ nζ（１）ζ（２）⋯ζ（ n）？？⋯？１２⋯ n＝？倡１９畅将下列置换分解成不相交轮换的乘积：１２３４５６７７１２６５４３，１２３４５６７８９１０２４５９７１０８３１６．然后再分解成对换的乘积，并说是奇或偶置换．倡２０畅确定置换² 9 ²ζ＝１２⋯ n －１ nn （ n －１）⋯２１的奇偶性．倡２１畅把（１４７）（７８１０）（３１０９）（９４２）（３５６）分解成不相交的轮换的乘积．１畅写仿射点变换θ：（ x ，y）T （ x′，y′）T （这儿T 是矩阵的转置）为矩阵形式x′y′＝a１１a１２_ _ _ _ _ a２１a２２xy ＋b１b２＝ A xy ＋b１b２，其中｜A ｜＝a１１a１２a２１a２２≠０．设另一仿射点变换ρ：x′y′＝ B xy ＋c１c２其中｜B ｜≠０．则（ x ，y）T 经ρθ变成ρθxy＝ρθxy ＝ρ A xy ＋b１b２＝ B A xy ＋b１b２＋c１c２．＝ BA xy ＋ Bb１b２＋c１c２．由于｜BA ｜＝｜B ｜｜A ｜≠０，ρθ仍是仿射点变换．易证：仿射点变换θ１：x′y′＝ A －１xy －b１b２正是θ的逆变换．而仿射点变换x′y′＝xy ＝１００１xy ＋００是恒等变换，它是乘法单位元，又变换的乘法自然有结合律．故平面上全体仿射点变换对变换的乘法成为一个群．２畅平面上正交点变换θ可写成矩阵形式x′y′＝ A xy ＋b１b２，² 10 ²其中A 为２³２正交矩阵，即满足A A T ＝ A T A ＝ I（单位矩阵）．正交矩阵的乘积是正交矩阵，正交矩阵的逆也是正交阵．利用这两个性质，完全类似于习题１中的论证，能证明本习题的结论．３畅由题设有x２－ x０y２－ y０＝ lx１－ x０y１－ y０．在仿射点变换θ：x′y′＝ A xy ＋b１b２的变换下x′iy′i＝ Ax iy i＋b１b２，i ＝０，１，２．故x′２－ x′０y′２－ y′０＝x′２y′２－x′０y′０＝ Ax２y２－ Ax０y０＝ Ax２－ x０y２－ y０＝ A lx１－ x０y１－ y０＝ lAx１－ x０y１－ y０＝ lx′１－ x′０y′１－ y′０．由于｜ A ｜≠０，A 可逆．于是θ将不同的三点（ x i ，y i ）T 变成不同的三点（ x′i ，y′i ）T ，i ＝０，１，２．上面一串等式的最前端与最后端相等即表示这三点也共线．４畅与第三题类似有x′２－ x′１y′２－ y′１＝ Ax２－ x１y２－ y１其中A 满足A A T ＝ A T A ＝ I ．于是（ x′２－ x′１）２＋（y′２－ y′１）２＝（ x′２－ x′１，y′２－ y′１）x′２－ x′１y′２－ y′１＝ Ax２－ x１y２－ y１TAx２－ __________x１y２－ y１＝（ x２－ x１，y２－ y１）A T Ax２－ x１y２－ y１＝（ x２－ x１，y２－ y１）x２－ x１y２－ y１＝（ x２－ x１）２＋（y２－ y１）２．５畅略．６畅略．² 11 ²７畅对a ∈ G ，a 有右逆b ．b 又有右逆a′，这时a 为b 的左逆．由ba′＝ e ＝ab ，得到a ＝ a（ba′）＝（ ab） a′＝ a′，可知a ＝ a′．这样ba ＝ ab ＝ e ，即b 是a 的逆．８畅由题设，橙a ，b ∈ G ，（ ab）２＝ abab ＝ a２b２．对后一等号两边左乘a －１，右乘b －１，就得到ab ＝ ba ．９畅橙a ，b ∈ G ，有a２＝ b２＝ e ，故a －１＝ a ，b －１＝ b ，又（ ab）２＝ abab ＝ e ．对后一个等号两边左乘a ，右乘b ，就得ba ＝ ab ．１０畅略．１１畅略．１２畅设G ＝｛ g１，⋯，g s｝．由性质（２），橙a ∈ G ，｛ ag１，⋯，ag s ｝彻G ，且是s 个不同的元，故｛ ag１，⋯，ag s ｝＝ G ．同样由性质（３）可得，｛ g１a ，⋯，g s a｝＝ G ．设其中ag i ＝ a ，g j a ＝ a ．于是（ g１a） g i ＝ g１a ，⋯，（ g s a） g i ＝ g s a ；g j （ ag １）＝ ag１，⋯，g j （ ag s ）＝ ag s ．即g i 是G 的右单位元，g j 是G 的左单位元，分别记为e 及e′，则e ＝ e′e ＝ e′，即G 有单位元e ．类似于上面作法，由｛ ag１，⋯，ag s ｝＝ G ，有b ∈ G 使ab ＝ e ，由｛ g１a ，⋯，g s a｝＝ G ，而有b′∈ G 使b′a ＝ e ．于是b′＝ b′e ＝ b′（ ab）＝（ b′a） b ＝ eb ＝ b ，即橙a ∈ G 有逆元．又题设G 有结合律，故是一个群．１３畅只证（２）．用反证法．设橙a ∈ G ，a ≠ e 有a２≠ e ．由（１）知a ≠ a －１．取a１∈ G ＼｛ e｝，则a１≠ a －１１≠ e ．若G ＼｛ e｝除了｛ a１，a －１１｝外还有元素a２，于是a２≠ a －１２．由于a１，a －１１互为逆元素，若a －１２∈｛ a１，a －１１｝则a２＝（ a －１２）－１∈｛ a１，a －１１｝．这不可能，即a －１２∈｛ a１，a －１１｝．故｛ a１，a －１１，a２，a －１２｝是四个不同的元素．设上面的步骤进行了k －１步，得到２（ k －１）个元素｛ a１，a －１１，⋯，a k －１，a －１k －１｝彻G ＼｛ e｝．同样论证G ＼｛ e｝除了上述２（k －１）个元素外要么没有元素了，要么同时有a k 及a －１k 且a k ≠ a －１k ．可知G ＼｛ e｝要么等于｛ a１，a －１１，⋯，a k －１，a －１k －１｝，要么有２ k 个元素｛ a１，a －１１，⋯，a k ，a －１k ｝彻G ＼｛ e｝．因G ＼｛ e｝只有有限个元素，必然在某个第k 步停止，即G ＼｛ e｝＝｛ a１，a －１１，⋯，a k ，a －１k ｝．故G 有２ k ＋１个，即奇数个元素，矛盾．因此G 中必有元素a ≠ e ，a２＝ e ．１４畅设G１，G２皆为不等于G 的子群，但G ＝ G１∪ G２．因G１≠ G ，可取到g１∈ G１．由G ＝ G１∪ G２，g１∈ G２．同样能取到g２∈ G２，但g２∈ G１．作g ＝ g １² g２．若g ∈ G１，因g２∈ G１，则g１＝ g² g －１２∈ G１矛盾．于是g ∈ G１，同样g ∈ G２，就得到g ∈ G１∪ G２与G ＝ G１∪ G２矛盾．故不能有不等于G 的两个子群G１，G２使得G ＝ G１∪ G２．１５畅略．² 12 ²１６畅略．１７畅略．１８畅ζ＝η（１）η（２）⋯η（n）ζ（η（１））ζ（η（２））⋯ζ（η（n）），η－１＝η（i１）η（i２）⋯η（i n ）i１i２i nηζη－１＝ζ（１）ζ（２）⋯ζ（n）η（ζ（１））η（ζ（２））⋯η（ζ（n））１２⋯ nζ（１）ζ（２）⋯ζ（n）η（１）η（２）⋯η（n）１２⋯ n＝η（１）η（２）⋯η（n）η（ζ（１））η（ζ（２））⋯η（ζ（n））．１９畅略．２０畅略．２１畅略．§ 2 对称性变换与对称性群，晶体对称性定律下列习题中打倡者为必作题，其它为选作题．倡１畅计算下列图形的对称性群：（１）正五边形；（２）不等边矩形；（３）圆．倡２畅用S４的全部变换去变x１x２＋ x３x４，把变到的所有可能的多项式写出来．倡３畅用S３去变x３１x２２x３能变出几个多项式，把它们全写出来．以x３１x２２x３为其中一项作出一个和，使它是对称多项式，并使其项数最少．倡４畅用不相交的轮换的乘积的形式写出S３，A３，S４，A４中的全部元素．倡５畅S４中下列４个元素的集合｛（１），（１２）（３４），（１３）（２４），（１４）（２３）｝在置换乘法下成为一个群，记为V ４．并且它是A４的子群．６畅求出正四面体A１A２A３A４的对称性群．１畅（１）令绕O 反时针旋转０°，７２°，１４４°，２１６°，２８８°的５个旋转变换为T０，² 13 ²T１，T２，T３，T４，令平面对直线l１，l２，l３，l４，l５，的反射变换为S１，S２，S ３，S４，S５，它们都是对称性变换．对于此正五边形的任一个对称性变换T ，它若将顶点A１变成A i ，则T －１i －１T 就将A１变成A１．易知正五边形的保持A１不动的对称性变换只有T０和S１，即T －１i －１T ＝ T０或S１，故T ＝ T i －１T０＝ T i －１或T ＝ T i －１S１．故全部对称性变换为｛ T i －１S１，T i －１，i ＝１，２，⋯，５｝，最多有１０个元素．而前面已列出｛ T i －１，S i ，i ＝１，２，３，４，５｝共１０个对称性变换，它们必须相等．（２）令绕O 反时针旋转０°，１８０°的旋转变换为T０，T１，令平面对直线l１，l２的反射为S１，S２．它们都是该矩形的对称性变换．使A１分别变到A１，A２，A３，A４的对称性变换都只有一个，即分别为T０，S１，T１，S２．故它们是全部的对称性变换．（３）令绕O 反时针旋转任意角θ的旋转变换为Tθ，令平面对过中心O 的任意直线l 的反射为S l ．则圆的对称性变换群＝｛ Tθ，０≢θ＜３６０°，S l ，全部过中心O 的直线l｝２畅x１x２＋ x３x４，x１x３＋ x２x４，x１x４＋ x２x３．３畅能变出６个单项式，即为： x３１x２２x３，x２１x３２x３，x３１x２３x２，x２１x３３x２，x３２x２３x１，x２２x３３x１．它们的和x３１x２２x３＋ x２１x３２x３＋ x３１x２３x２＋ x２１x３３x２＋ x３２x２３x１＋ x２２x３３x１是所要求的项数最少的多项式．４畅S３＝｛（１），（１２），（１３），（２３），（１２３），（１３２）｝A３＝｛（１），（１２３），（１３２）｝S４＝｛（１），（１２），（１３），（１４），（２３），（２４），（３４），（１２３），（１３２），（１２４），（１４２），（１３４），（１４３），（２３４），（２４３），（１２）（３４），（１４）（２３），（１３）（２４），（１２３４），（１２４３），（１３２４），（１３４２），（１４２３），（１４３２）｝A４＝｛（１），（１２３），（１３２），（１２４），（１４２），（１３４）² 14 ²（１４３），（２３４），（２４３），（１２）（３４），（１４）（２３），（１３）（２４）｝．５畅略．６畅正四面体为ABCD ，O 为△ DBC 的中心，E ，F ，G ，L 分别是CD ，AB ，A C ，A D 的中点，我们先找出使顶点A 不动的全体对称性变换的集合H ．这些变换使△ BCD 变为自己，H 限制在平面BCD 上是△ BCD 的对称性群．由此易确定出H ＝｛ T i ，T i S ，i ＝１，２，３｝，其中T１，T２，T３是空间绕轴A O 旋转（按某固定方向）转０°，１２０°，２４０°的旋转变换，S 是空间对平面ABE 的镜面反射．再任选三个对称性变换M１，M２，M３，它们分别能将点B ，C ，D 与A 互变．例可取M１，M２，M３是空间分别对平面CDF ，BGD ，CBL 的镜面反射．与第１题（１）中的论证类似，可得正四面体ABCD 的对称性群G ＝｛ T i ，T i S ，M j T i ，M j T i S ，i ，j ＝１，２，３｝．G 有２４个元．§ 3 子群，同构，同态以下习题中打倡者为必作题，其余为选作题．倡１畅四个复数１，－１，i ，－ i 的集合U４构成非零复数的乘法群的子群．倡２畅H１，H２，⋯，H k ，⋯都是群G 的子群．证明（１） H１∩ H２是子群．（２）∩∞i ＝１H i 是子群．（３）若H１炒H２炒⋯炒H k 炒H k ＋１炒⋯，则∪∞i ＝１H i 是子群．倡３畅设G 是群．令Z（ G ）＝｛ a ∈ G ｜ag ＝ ga ，橙g ∈ G｝，则Z（ G ）是G 的子群．称为G 的中心．倡４畅G 是群，S 是G 的非空子集．令C G （ S）＝｛ a ∈ G ｜as ＝ sa ，橙s ∈ S｝，N G （ S）＝｛ a ∈ G ｜aSa －１＝ S｝，则它们都是G 的子群，其中aSa －１＝｛ asa －１｜橙s ∈ S｝．C G （ S）和N G （ S）分别称² 15 ²为S 在G 中的中心化子和正规化子．５畅设G 是群，H 是G 的子群．（１） a ∈ G ，则aHa －１也是子群．（２）η是G 的自同构，则η（ H）也是子群．６畅证明§２中习题５中V ４与上面习题１中U４不同构．倡７畅证明正三角形A１A２A３的对称性群与S３同构（将每个对称性变换与它引起的顶点的置换相对应）．８畅令L ＝ cosθ sinθ－ sinθ cosθ０≢θ＜２π，M ＝ e iθ００ e－ iθ０≢θ＜２π．它们都在矩阵的乘法下成为群，并且相互同构．９畅证明群G 是交换群当且仅当映射G Gx x －１是G 的自同构．１０畅实数域R 到习题８中群L 的映射θ： R Lx cosθ sinθ－ sinθ cosθ，其中x ＝２ kπ＋θ，０≢θ＜２π，是R 的加群到群L 的同态．１１畅G 是群，S 是G 的非空子集．令H ＝｛ t１⋯ t i ⋯ t k ｜橙k 是正整数，t i 或t －１i ∈ S｝．证明H 是子群且H ＝枙S枛．倡１２畅整数加法群Z 的子群一定是某个nZ （ n ∈ Z ）．１３畅证明有理数加法群Q 的任何有限生成的子群是循环群．１４畅G ＝｛全体２³２整数元素的可逆矩阵｝，对矩阵乘法是否成为群？全体正实数元素的２³２可逆矩阵对矩阵乘法是否成为群？倡１５畅群G 的全部自同构在G 上变换的乘法下成为群，称为G 的自同构群，记为Aut G ．１畅略．２畅（１）略．（２）对a ，b ∈∩∞∩∞i ＝１H i 来证ab －１∈i ＝１H i ．因a ，b ∈ H i ，H i 是子群，故ab －１∈² 16 ²H i ，i ＝１，２，⋯，于是ab －１∈∩∞∩∞i ＝１H i ．故i ＝１H i 是子群．（３）设a ，b ∈∪∞i ＝１H i ，必有k ，l 使a ∈ H k ，b ∈ H l ．不妨设k ≢ l ．于是由H k彻H l 得a ，b ∈ H l ，又H l 是子群，知ab －１∈ H l 彻∪∞∪∞i ＝１H i ．故i ＝１H i 是子群．３畅略．４畅略．５畅略．６畅写V ４中的元为a ，b ，c ，e（单位元），则有a２＝ b２＝ c２＝ e ．而U４中４个元为１，－１，i ，－ i ．假设V ４到U４有同构η．不妨设η（ a）＝ i ．由a２＝e ，η（ a２）＝η（e）＝１．但η（ a）＝ i ，i２＝－１，η（ a）η（ a）＝－１．故η（ a２）≠η（ a）η（ a），η不保持乘法，矛盾．故V ４与U４不同构．７畅§２例３中已计算过正三角形△ A１A２A３的对称性群G 有６个元素．每个对称性变换引起顶点A１，A２，A３的一个置换．这就引起了G 到S３的一个映射．易检验这６个变换引起S３的全部６个不同的置换．故这映射是双射．又连续两次作对称性变换引起连续两次顶点的置换．即对称性变换的乘积引起对应的顶点置换的乘积，故这映射保持乘法．因此上述映射是对称性变换群G 到S３的同构．８畅略．９畅略．１０畅略．１１畅橙t１⋯ t k ，x１⋯ x l ∈ H ，t i ，x i 或t －１i ，x －１i ∈ S ，则（ t１⋯ t k ）（ x１⋯ x l ）－１＝t１⋯ t k x －１l ⋯ x －１l －１⋯ x －１１，其中t i 或t －１i ，x －１i 或（ x －１i ）－１＝ x i 都属于S ，故（ t１⋯t k ）（ x１⋯ x l ）－１∈ H ，即H 是子群．又设H１是G 的包含S 的子群，则必含所有形为t１⋯ t k 的元素，其中t i 或t －１i ∈ S ，故H１澈H ，因而H 是包含S 的最小的子群．１２畅设H 是加法群Z 的子群，若H ≠０²Z ，则H 中有非零整数t ．若t ＜０，H是子群，H 含－ t ，它是正整数．故H 中有正整数．取n 为H 中最小的正整数．任m ∈ H ，作除法算式，m ＝ nq ＋ r ，其中r ＝０或０＜ r ＜ n ．但r ＝ m － nq ∈H ，若r ≠０则与n 的最小性矛盾．故r ＝０，m ＝ nq ，即H 彻nZ ．又n ∈ H ，橙l ∈ Z ，ln＝ n ＋⋯＋ nl个或ln ＝（－ n）＋⋯＋（－ n）－ l个∈ H ，即有nZ 彻H ．因此H ＝ nZ ．１３畅设H ＝枙q１p１，⋯，q sp s 枛是Q 的有限生成的加法子群．由第１２题易知H ＝² 17 ²Σsi ＝１l iq ip il i ∈ Z ．取p１，⋯，p s 的最小公倍数为m ，则q ip i＝mp iq im ，令为Q im ．再令（ Q１，⋯，Q s ）＝ n ，则q ip i＝ Q im ＝ nmQ in ，令为nmt i ．则（ t１，t２，⋯，t s ）＝１．取k１，⋯，k s ∈ Z ，使k１t１＋⋯＋ k s t s ＝１．于是Σsi ＝１k inmt i ＝ nmΣsi ＝１k i t i ＝ nm∈ H ，且任意Σsi ＝１l iq ip i＝Σsi ＝１l i t inm＝ nmΣsi ＝１l i t i ．这就证明了H ＝枙nm 枛是循环加法群．１４畅１－１１１＝２，１－１１１－１＝１２１１－１１，即１－１１１－１不是整数矩阵，故全体２³２整数元素的可逆矩阵不成为群．取正实数矩阵１１０１，１１０１－１＝１－１０１，即正实数可逆矩阵的逆矩阵不是正实数矩阵．故全体２³２正实数可逆矩阵不成为群．１５畅略．§ 4 群在集合上的作用，定义与例子以下习题中打倡者为必作题，其余为选作题．倡１畅V 是某域F 上n 维线性空间，G ＝ GL （ V ）是V 上全线性变换群．令M为V 的全部子空间的集合．证明G 在M 上有群作用．倡２畅G 是群．K ，H 是G 的子群．作群直积K ³ H ．定义映射礋：（ K ³ H）³ G G（（k ，h），g）（k ，h）礋g ＝ kgh －１．证明它是群K ³ H 在集合G 上的作用．３畅G 是正四面体A１A２A３A４的对称性群．令M１＝｛四面体的顶点的集合｝，M２＝｛四面体的四个面的集合｝，M３＝｛四面体的六条棱的集合｝，则G 在M１，M２，M３上分别有群作用．倡４畅令G 是n ³ n 实正交矩阵的群，M 是n ³ n 实对称矩阵的集合．证明下² 18 ²述对应是一个映射G ³ M M（ P ，A ） P礋A ＝ PA P －１，且是G 在M 上的群作用．倡５畅写域F 上多项式f （ x ，y ，z ）＝ f （ r），其中r ＝（ x ，y ，z ）T ，取M 为F 上x ，y ，z 的全部多项式的集合．G 为群GL３（ F）．对A ∈ G ，令r′＝（ x′，y′，z′）T ＝A （ x ，y ，z ）T ＝ A r ．证明下述对应（ A ，f ） A礋f ＝ f （ r′）＝ f （A r）是G ³ M M 的一个映射，且是G 在M 上的群作用．６畅利用Cayley 定理证明具有给定阶n 的不同构的有限群只有有限个．１畅略２畅（１） K ³ H 的单位元是（e ，e），其中e 是G 的，也是K 和H 的单位元．橙g ∈ G ，（e ，e）礋g ＝ ege －１＝ g ．（２）橙k１，k２∈ K ，h１，h２∈ H ，（ k１，h１），（ k２，h２）∈ K ³ H ．橙g ∈ G ，（ k１，h１）礋（（k２，h２）礋g）＝（k１，h１）礋（k２gh －１２）＝ k１k２gh －１２h －１１＝（ k１k２） g（ h１h２）－１＝（k１k２，h１h２）礋g ＝（（k１，h１）（k２，h２））礋g ．由定义１′，上面映射“礋”是K ³ H 在G 上的群作用．３畅略．４畅首先证明（ P ，A ） P礋A ＝ PA P －１定义了G ³ M 到M 的映射．橙P ∈ G ，P 是n ³ n 正交矩阵，故P －１＝ P′，对橙A ∈ M ，A 是n ³ n 实对称阵，有P礋A ＝ PA P －１＝ PA P′，是n ³ n 实对称阵，故P礋A ∈ M ，确定了G ³ M 到M 的映射．易证这映射是G 在M 上的一个群作用．５畅对A ∈ G ＝ GL３（ F），橙f （ r）是F 上x ，y ，z 的多项式，A 礋f ＝ f （ A r），A r ＝（ x′，y′，z′）T 中x′，y′，z′都是x ，y ，z 的一次多项式，若设为x′＝ a１１x ＋ a１２y ＋ a１３zy′＝ a２１x ＋ a２２y ＋ a２３zz′＝ a３１x ＋ a３２y ＋ a３３z ，其中a ij ∈ F ．则f （ A r）＝ f （ x′，y′，z′）＝ f （ a１１x ＋ a１２y ＋ a １３z ，a２１x ＋ a２２y ＋a２３z ，a３１x ＋ a３２y ＋ a３３z ）仍是F 上x ，y ，z 的多项式，故² 19 ²（A ，f ） A礋f ＝ f （A r）建立了G ³ M M 的一个映射，易证它是G 在M 上的群作用．６畅Cayley 定理断言，有限群G 同构于G 上的变换群．设G 的阶为n ，则G同构于S n 的子群．而S n 的子群只有限个，故只有有限个不同构的n 阶群．§ 5 群作用的轨道与不变量、集合上的等价关系以下习题中打倡者为必作题，其余为选作题．倡１畅§４习题１中的群作用有几条轨道？找出群作用的不变量与不变量的完全组．倡２畅找出§４习题４中群作用的不变量和不变量的完全组．倡３畅（联系§４习题２中的群作用）令t ∈ G ，称K tH ＝｛ kth ｜k ∈ K ，h ∈H｝为G 的一个（ K ，H）双陪集，则G 的两个（ K ，H ）双陪集或重合或不相交，且G 是全部（ K ，H）双陪集的无交并．１畅V 中可逆线性变换若把某子空间W 变成子空间W１，则把W 的基变成W１的基，故同一轨道上的子空间具有相同的维数，又设V 的两个子空间W 和W１，它们有同样维数k ＞０，分别取W 和W１的基为ε１，⋯，εk ；ε′１，⋯，ε′k ．分别补充成ε１⋯εk ⋯εn ；ε′１⋯ε′k ⋯ε′n ，使它们都是V 的基．由线性代数知道必有V 上可逆线性变换A ，使Aεi ＝ε′i ，i ＝１，２，⋯，n ．A 就将子空间W 变成子空间W１．故W 与W１在同一条轨道上．故对k ＝０，１，２，⋯，n ，V 中全体k 维子空间的集合V k 构成群作用的一条轨道．共有n ＋１条轨道．子空间的维数是不变量，并构成不变量的完全组．２畅对A ，B 皆为n ³ n 实对称矩阵，若A ，B 在同一轨道上，即有n ³ n 正交阵P 使B ＝ PA P －１，则它们有相同的特征值集合．反之，设A ，B 为具有相同特征值集合｛λ１，⋯，λn｝（λi 是k 重特征值就在集合中出现k 次）的n ³ n 实对称矩阵，它们都可用实正交矩阵化为对角阵，即有n ³ n 正交阵P１，P２使² 20 ²P１A P －１１＝λ１λ２筹λn＝ P２BP －１２．于是（ P －１２P１）A （ P －１２P１）－１＝ B ，P －１２P１仍为正交阵，故A ，B 在同一条轨道上．以上说明，特征值的集合是群作用的不变量的完全组．而全部特征值的和，全部特征值的积，特征多项式都是群作用的不变量．３畅实际上K tH 是§４习题２中群作用下的一条轨道，两条轨道或重合或不相交，即两个（ K ，H）双陪集或重合或不相交，群作用集G 是全体轨道的无交并也就是全体（ K ，H ）双陪集的无交并．§ 6 陪集，Lagrange 定理，稳定化子，轨道长以下习题中打倡者为必作题，其余为选作题．倡１畅G 是群，H 是G 的子群．x ，y ∈ G ，则x ，y 属于H 的同一左陪集当且仅当x －１y ∈ H ．倡２畅群G 作用于集合M 上，x ∈ M ．证明：（１）稳定化子Stab G （ x ）是子群．（２）设g１，g２∈ G ，则g１礋x ＝ g２礋x 当且仅当g１，g２属于Stab G （ x ）的同一左陪集．倡３畅V 是域F 上n 维线性空间，取定V 的一组基ε１，ε２，⋯，εn ．V 上任一可逆线性变换A ，设它在ε１，⋯，εn 下矩阵为A ，则建立起GL （ V ）到GL n （ F）的同构，A A ．于是群GL n （ F）通过GL （ V ）可作用于空间V 上，进而可作用于V 的子空间的集合M 上．（１） GL n （ F）在ε１处的稳定化子由哪些元素组成？（２）令W 是由ε１，ε２，⋯，εk ，k ≢ n ，生成的子空间，GL n （ F）在W 处的稳定化子由哪些元素组成？倡４畅正四面体A１A２A３A４的对称性群G 可作用在它的顶点的集合和它的面的集合上，也作用在它的棱的集合上．（１）试决定G 在顶点A１处的稳定化子；（２）求G 在面A２A３A４处的稳定化子；（３）求G 在棱A１A２处的稳定化子．５畅把正四面体A１A２A３A４的对称性群用顶点的置换表出．利用§６定理２中公式（２）写出它的对称性群的全部元素．再回到四面体上考察每个置换代表什² 21 ²么正交变换．６畅G 是群，K 及H 是G 的子群．（１）令M 是G 中H 的左陪集的集合．用K的元素对M 的元素进行左乘，得下列映射礋：K ³ M M（k ，tH） k礋tH ＝ ktH ，证明这是K 在M 上的一个群作用．（２）试决定这个群作用过tH 的轨道及在tH 处的稳定化子．并证明｜K tH ｜＝［ K ：K ∩ tHt －１］｜H ｜．倡７畅S３中C３＝ e ，（１２３），（１３２）组成S３的子群．写出S３中C３的全部左陪集和全部右陪集．倡８畅S４中写出子群S３＝１２３４i１i２i３４ i１i２i３是１２３的全部排列的全部左陪集．９畅G 是群，H 是子群．当G 是交换群时，H 的任一左陪集都是一个右陪集．倡１０畅写出Z 中子群３ Z ＝｛３ k ｜k ∈ Z ｝的全部左陪集．倡１１畅证明任意l ，k ∈ Z 属于nZ 在Z 中同一陪集的充分必要条件为l ≡k（mod n）（倡）．写出Z 中nZ 的全部陪集．１２畅S３作用在域F 上全部多项式f （ x１，x２，x３）的集合上．求S３在x３１x２２x３和x１x２＋ x２x３处的稳定化子及S３作用下分别过x３１x２２x３和x１x２＋ x２x３的轨道．１３畅有限群G 称为p 群，如果它的阶是素数p 的方幂．证明G 的非单位元子群的阶能被p 除尽，及G 对于其真子群（即不等于G 的子群）的指数也被p 除尽．１４畅有限群G 为p 群，则G 的中心Z（ G ）≠｛ e｝．（利用改进的类方程（７））．１５畅G ＝ S３共轭作用于自身．求中心化子C G （ζ），其中ζ分别是（１２３）和（１２）．倡１６畅求S３的含上题中（１２３）和（１２）的共轭类．倡１７畅G 是素数p 阶的群，则（１） G 除本身和单位元群以外没有其它子群．（２） G ＝枙a枛，橙a ≠ e ．即G 是循环群．（见§３定义４前一段）．１８畅G 作用在集合M 上．x ∈ M ，g ∈ G ，及g礋x ＝ y ，则Stab G （ y）＝ gStab G （ x） g －１．１９畅G 是有限群，H 炒K 皆是G 的子群，则［G ：H］＝［G ：K ］［ K ：H］．（倡）l ≡ k（mod n）表示l 与k 的差是n 的倍数，或用n 去除l 及k 所得的余数相同．² 22 ²２０畅有限群G 是p 群，p m ．G 在M 上有群作用，且｜M ｜＝ m ，则G 在M上有不动元．２１畅求S４及A４的全部共轭类．１畅略．２畅（１）设g１__________，g２∈ Stab G （ x ），g i礋x ＝ x ，i ＝１，２．于是（ g１g２）礋x ＝ g１礋（ g２礋x）＝ g１礋x ＝ x ，又g －１１礋x ＝ g －１１礋（ g１礋x ）＝（ g －１１g１）礋x ＝ e礋x ＝ x ．故g１g２及g －１１∈ Stab G （ x ），即Stab G （ x ）是G 的子群．（２） g１，g２∈ G ，g１礋x ＝ g２礋x 骋x ＝ g －１１礋（ g１礋x）＝ g －１１礋（ g２礋x ）＝（ g －１１g２）礋x 骋g －１１g２∈ Stab G （ x ），由第一题这等同于g１，g２属于Stab G （ x ）的同一左陪集．３畅（１）设A ∈ GL n （ F），A 礋ε１＝ε１．这等价于A （ε１，ε２，⋯，εn ）＝（ε１，倡，⋯，倡）＝（ε１，ε２，⋯，εn ）１倡⋯倡０倡⋯倡………０倡⋯倡故GL n （ F）在ε１处的稳定化子为１ a１２⋯ a１ n０ a２２⋯ a２ n………０ a n２⋯ a nn其中a２２⋯ a２ n⋯⋯a n２⋯ a nn≠０（２） A ∈ W 处的稳定化子，则A 所对应的线性变换A 满足A εi ＝Σkj ＝１a jiεj ，i ＝１，２，⋯，k ，也即A （ε１，⋯，εk ，⋯，εn ）＝（ε１，⋯，εk ，⋯，εn ）a１１⋯ a１ k⋯⋯倡a k１⋯ a kk○倡故GL n （ F）在W 处的稳定化子为² 23 ²a１１⋯ a１ k⋯⋯倡a k１⋯ a kka k ＋１，k ＋１⋯ a k ＋１，n○⋯⋯a n ，k ＋１⋯ a nn其中a１１⋯ a１ k⋯⋯a k１⋯ a kka k ＋１，k ＋１⋯ a k ＋１，n⋯⋯a n ，k ＋１⋯a nn≠０．４畅（１），（２）中的稳定化子相同，可参考§２第６题的结果．（３）令A１A２和A３A４的中点分别是F ，E ，则A１A２的稳定化子由恒等变换、绕FE 转１８０°的旋转变换、对平面A１A２E以及对平面A３A４F 的反射共四个变换组成．５畅在§２第６题中求正四面体A１A２A３A４的对称性群的方法与§６定理２中公式是一致的．那里求出对称性群有２４个元素，全体对称性变换对应了顶点A１，A２，A３，A４的２４个置换，正是S４的全部元素．令E 、F 、G 、H 、I 、L 分别是棱A３A４、A１A２、A１A３、A２A４、A２A３、A１A４的中点，则顶点的置换与对称性变换的对应如下：１２３４１２３４恒等变换．１２３４１３４２绕A１O 旋转１２０°．１２３４１４２３绕A１O 旋转２４０°．１２３４１２４３对平面A１OA２的镜面反射．１２３４１４３２对平面A１OA３的镜面反射．１２３４１３２４对平面A１OA４的镜面反射．１２３４２１３４对平面FA３A４的镜面反射．１２３４２３４１先绕A１O 旋转１２０°，再对平面FA３A４反射．１２３４２４１３先绕A１O 旋转２４０°，再对平面FA３A４进行反射．² 24 ²１２３４２１４３绕FE 轴旋转１８０°．１２３４２４３１绕四面体过A３的高线旋转１２０°．１２３４２３１４绕四面体过A４的高线旋转１２０°．１２３４３２１４对平面A２GA４的镜面反射．１２３４３１４２先绕A１O 转１２０°，再对平面A２GA４作反射．１２３４３４２１先绕A１O 转２４０°，再对平面A２GA４作反射．１２３４３２４１绕四面体过A２的高线旋转１２０°．１２３４３４１２绕GH 轴旋转１８０°．１２３４３１２４绕四面体过A４的高线旋转２４０°．１２３４４２３１对平面A２LA３的反射．１２３４４３１２先绕A１O 转１２０°再对平面A２LA３作反射．１２３４４１２３先绕A１O 转２４０°再对平面A２LA３作反射．１２３４４２１３绕四面体过A２的高线旋转２４０°．１２３４４１３２绕四面体过A３的高线旋转２４０°．１２３４４３２１绕IL 轴旋转１８０°．６畅（１）略．（２）过tH 的轨道为KtH ＝｛ ktH ｜k ∈ K｝，而在tH 处的稳定化子为Stab K （ tH）＝｛ k ∈ K ｜ktH ＝ tH｝＝｛ k ∈ K ｜（ t －１kt）H ＝ H｝＝｛ k ∈ K ｜（ t －１kt）∈ H｝＝｛ k ∈ K ｜k ∈ tHt －１｝＝ K ∩ tHt －１．｜K tH ｜＝（ KtH 中H 的左陪集的数目）²｜H ｜² 25 ²＝（ K 作用下过tH 的轨道的长度）²｜H ｜＝［ K ：Stab K （ tH）］²｜H ｜＝［ K ：K ∩ tHt －１］｜H ｜．７畅略．８畅S４中S３的左陪集为S３，１２３４４２３１S３，１２３４１４３２S３，１２３４１２４３S３．９畅略１０畅略１１畅略１２畅S３在x３１x２２x３处的稳定化子为｛１｝，在x１x２＋ x２x３处的稳定化子为１２３１２３，１２３３２１．S３作用下过x３１x２２x３的轨道为｛ x３１x２２x３，x２１x３２x３，x３１x２３x２，x２１x３３x２，x３２x２３x１，x２２x３３x１｝，而过x１x２＋ x３x４的轨道为｛ x１x２＋ x２x３，x２x３＋ x３x１，x２x１＋x１x３｝．１３畅设｜G ｜＝ p k ，k ＞０．对H 为G 的非单位元子群，则有｜H ｜｜G ｜．p k 的不等于１的因子必被p 整除，故p ｜H ｜．又设K 为G 的真子群，｜K ｜｜G ｜．｜G ｜＝ p k ，｜K ｜是p k 的不等于自己的因子，设为p l ，l ＜ k ．由［ G ：K ］＝ p k － l及k － l ＞０，故p ｜［G ：K ］．１４畅由改进的类方程| G | ＝ | Z（ G ） | ＋Σmi ＝１［ G ：C G （y i ）］，其中C G （ y i ）≠ G ．由１３题，p ｜［ G ：C G （ y i ）］．又p ｜ G ｜，故p ｜ Z （ G ）｜．即Z（ G ）≠｛ e｝．１５畅令ζ＝（１２３），η＝（１２），由计算得C G （ζ）＝ e ，（１２３），（１３２）C G （η）＝ e ，（１２）１６畅含（１２３）的共轭类为（１２３），（１３２）．含（１２）的共轭类为（１２），（１３），（２３）．１７畅（１）设H 是G 的子群，则｜H ｜｜G ｜，因｜G ｜＝ p 是素数，｜H ｜＝１或p ．当｜H ｜＝１时H ＝｛ e｝．当｜H ｜＝ p 时H ＝ G ．（２）取a ≠ e ，则枙a枛≠｛ e｝．由（１），枙a枛＝ G ．１８畅设g礋x ＝ y ，则² 26 ²h礋y ＝ y 骋h礋（ g礋x ）＝ g礋x 骋（ g －１hg）礋x ＝ x ．即h ∈ Stab G （ y ）骋g －１hg ∈ Stab G （ x ）．即g －１Stab G （ y ） g ＝ Stab G （ x ），或gStab G （ x） g －１＝ Stab G （y）．１９畅略．２０畅设O１，O２，⋯，O s 是M 在G 作用下的全部轨道，则| M | ＝Σsi ＝１| O i | ．。

世代数模拟试题一一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1、设A ＝B ＝R(实数集)，如果A 到B 的映射ϕ：x →x ＋2，∀x ∈R ，则ϕ是从A 到B 的（ ）A 、满射而非单射B 、单射而非满射C 、一一映射D 、既非单射也非满射2、设集合A 中含有5个元素，集合B 中含有2个元素，那么，A 与B 的积集合A ×B 中含有（ ）个元素。

A 、2B 、5C 、7D 、103、在群G 中方程ax=b ，ya=b ， a,b ∈G 都有解，这个解是（ ）乘法来说A 、不是唯一B 、唯一的C 、不一定唯一的D 、相同的(两方程解一样)4、当G 为有限群，子群H 所含元的个数与任一左陪集aH 所含元的个数（ ）A 、不相等B 、0C 、相等D 、不一定相等。

5、n 阶有限群G 的子群H 的阶必须是n 的（ ）A 、倍数B 、次数C 、约数D 、指数二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)1、设集合{}1,0,1A =-；{}1,2B =，则有B A ⨯= 。

2、若有元素e ∈R 使每a ∈A ，都有ae=ea=a ，则e 称为环R 的 。

3、环的乘法一般不交换。

如果环R 的乘法交换，则称R 是一个 。

4、偶数环是 的子环。

5、一个集合A 的若干个--变换的乘法作成的群叫做A 的一个 。

6、每一个有限群都有与一个置换群 。

7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是 ，元a 的逆元是 。

8、设I 和S 是环R 的理想且I S R ⊆⊆，如果I 是R 的最大理想，那么 。

9、一个除环的中心是一个 。

三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、设置换σ和τ分别为：1234567864173528σ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，1234567823187654τ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，判断σ和τ的奇偶性，并把σ和τ写成对换的乘积。

2、证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。

近世代数复习思考题一、根本概念与根本常识的记忆〔一〕填空题1.剩余类加群Z 12有_________个生成元.2、设群G 的元a 的阶是n ，那么a k 的阶是________. 3. 6阶循环群有_________个子群. 4、设群G 中元素a 的阶为m ，如果e an=，那么m 与n 存在整除关系为———。

5. 模8的剩余类环Z 8的子环有_________个.6.整数环Z 的理想有_________个. 7、n 次对称群Sn 的阶是——————。

8、9-置换⎪⎪⎭⎫⎝⎛728169345987654321分解为互不相交的循环之积是————。

9.剩余类环Z 6的子环S={［0］,［2］,［4］}，那么S 的单位元是____________. 10.24中的所有可逆元是：__________________________.11、凯莱定理的内容是：任一个子群都同一个________同构。

12. 设()G a =为循环群，那么〔1〕假设a 的阶为无限，那么G 同构于___________，〔2〕假设a 的阶为n ，那么G 同构于____________。

13. 在整数环中，23+=__________________； 14、n 次对称群S n 的阶是_____.15. 设12,A A 为群G 的子群，那么21A A 是群G 的子群的充分必要条件为___________。

16、除环的理想共有____________个。

17. 剩余类环Z 5的零因子个数等于__________.18、在整数环Z 中，由｛2，3｝生成的理想是_________. 19. 剩余类环Z 7的可逆元有__________个.20、设Z 11是整数模11的剩余类环，那么Z 11的特征是_________. 21. 整环I={所有复数a+bi(a,b 是整数)}，那么I 的单位是__________. 22. 剩余类环Z n 是域⇔n 是_________.23、设Z 7 ={0，1，2，3，4，5，6}是整数模7的剩余类环，在Z 7 [x]中, (5x-4)(3x+2)=________.24. 设G 为群，a G ∈，假设12a =，那么8a =_______________。

一、选择题(每题2分,共16分)1、若(),G a orda n ==,（）则下列说法正确得就是 2、假定φ就是A 与()A A A =ΦI 间得一一映射,A a ∈,则)]([1a φφ-与)]([1a -φφ分别为3、若G 就是群,,()18,a G ord a ∈=则8()ord a =4、指出下列那些运算就是二元运算5、设12,,,n A A A L 与D 都就是非空集合,而f 就是12n A A A ⨯⨯⨯L 到D 得一个映射,那么6、设o 就是正整数集合N +上得二元运算,其中max(,)a b a b =o ,那么o 在Z 中7、在群G 中,G b a ∈,,则方程b ax =与b ya =分别有唯一解为8、设H 就是群G 得子群,且G 有左陪集分类{,,,}H aH bH cH 、如果[:]6G H =,那么G =9、设集合A 中含有5个元素，集合B 中含有2个元素，那么，A 与B 得积集合A ×B 中含有（ ）个元素。

10、设A ＝B ＝R(实数集)，如果A 到B 得映射ϕ：x →x ＋2，∀x ∈R ，则ϕ就是从A 到B 得11、设Z 15就是以15为模得剩余类加群，那么，Z 15得子群共有（ ）个。

12、G 就是12阶得有限群，H 就是G 得子群，则H 得阶可能就是13、下面得集合与运算构成群得就是14、关于整环得叙述，下列正确得就是15、关于理想得叙述，下列不正确得就是16、整数环Z 中，可逆元得个数就是17、 设M 2(R)=⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d c b a a,b,c,d ∈R ，R 为实数域⎭⎬⎫按矩阵得加法与乘法构成R 上得二阶方阵环，那么这个方阵环就是18、 设Z 就是整数集，σ(a)=⎪⎩⎪⎨⎧+为奇数时当为偶数时当a ,21a a ,2a ，Z a ∈，则σ就是R 得 19、设A={所有实数x}，A 得代数运算就是普通乘法，则以下映射作成A 到A 得一个子集 得同态满射得就是( )、20、设ο就是正整数集Z 上得二元运算，其中{}max ,a b a b =o （即取a 与b 中得最大者），那么ο在Z 中（ ）21、设3S ={（1），（1 2），（1 3），（2 3），（1 2 3），（1 3 2）}，则3S 中与元（1 2 3）不能交换得元得个数就是( )22、设(),G o 为群，其中G 就是实数集，而乘法:a b a b k =++o o ，这里k 为G 中固定得常数。

《近世代数》作业一．概念解释1．代数运算：一个集合B A ⨯到集合D 的映射叫做一个B A ⨯到D 的代数运算。

2．群的第一定义：一个非空集合G 对乘法运算作成一个群，只要满足：1）G 对乘法运算封闭；2）结合律成立： )()(bc a bc a =对G 中任意三个元c b a ,,都成立。

3）对于G 的任意两个元b a ,来说，方程b ax =和b ya =都在G 中有解。

3．域的定义：一个交换除环叫做一个子域。

4．满射：若在集合A 到集合A 的映射Φ下，A 的每一个元至少是A 中的某一个元的象，则称Φ为A 到A 的满射。

5．群的第二定义：设G 为非空集合，G 有代数运算叫乘法，若：（1）G 对乘法封闭；（2）结合律成立； （3）单位元存在； （4）G 中任一元在G 中都有逆元，则称G 对乘法作成群。

6．理想：环R 的一个非空子集N 叫做一个理想子环，简称理想，假若： （1）N b a N b a ∈-⇒∈, （2）N ar N ra N r N a ∈∈⇒∈∈,,7．单射：一个集合A 到A 的映射，a a →Φ: ，A a A a ∈∈,，叫做一个A 到A 的单射。

若：b a b a ≠⇒≠。

8． 换：一个有限集合的一个一一变换叫做一个置换。

9． 环：一个环R 若满足：（1）R 至少包含一个不等于零的元。

（2）R 有单位元。

（3）R 的每一个非零元有一个逆元，则称R 为除环。

10．一一映射：既是满射又是单射的映射，叫做一一映射。

11．群的指数：一个群G 的一个子群H 的右陪集（或左陪集）的个数，叫做群H 在G 里的指数。

12．环的单位元：设R 是一个环，R e ∈，若对任意的R a ∈，都有a ae ea ==，则称e 是R 的单位元。

二．判断题1．Φ是集合n A A A ⨯⨯⨯Λ21列集合D 的映射，则),2,1(n i A i Λ=不能相同。

(×) 2．在环R 到环R 的同态满射下，则R 的一个子环S 的象S 不一定是R 的一个子环。

优秀的近世代数期末考试总复习近世代数模拟试题⼀⼀、单项选择题(本⼤题共5⼩题，每⼩题3分，共15分)在每⼩题列出的四个备选项中只有⼀个是符合题⽬要求的，请将其代码填写在题后的括号。

错选、多选或未选均⽆分。

1、设A ＝B ＝R(实数集)，如果A 到B 的映射?：x →x ＋2，?x ∈R ，则?是从A 到B 的（）A 、满射⽽⾮单射B 、单射⽽⾮满射C 、⼀⼀映射D 、既⾮单射也⾮满射2、设集合A 中含有5个元素，集合B 中含有2个元素，那么，A 与B 的积集合A ×B 中含有（）个元素。

A 、2B 、5C 、7D 、103、在群G 中⽅程ax=b ，ya=b ， a,b ∈G 都有解，这个解是（）乘法来说A 、不是唯⼀B 、唯⼀的C 、不⼀定唯⼀的D 、相同的(两⽅程解⼀样)4、当G 为有限群，⼦群H 所含元的个数与任⼀左陪集aH 所含元的个数（）A 、不相等B 、0C 、相等D 、不⼀定相等。

5、n 阶有限群G 的⼦群H 的阶必须是n 的（）A 、倍数B 、次数C 、约数D 、指数⼆、填空题(本⼤题共10⼩题，每空3分，共30分)请在每⼩题的空格中填上正确答案。

错填、不填均⽆分。

1、设集合{}1,0,1-=A ；{}2,1=B ，则有=?A B ---------。

2、若有元素e ∈R 使每a ∈A ，都有ae=ea=a ，则e 称为环R 的--------。

3、环的乘法⼀般不交换。

如果环R 的乘法交换，则称R 是⼀个------。

4、偶数环是---------的⼦环。

5、⼀个集合A 的若⼲个--变换的乘法作成的群叫做A 的⼀个--------。

6、每⼀个有限群都有与⼀个置换群--------。

7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成⼀个群，则这个群的单位元是---，元a 的逆元是-------。

8、设I 和S 是环R 的理想且R S I ??，如果I 是R 的最想，那么---------。

近世代数考试复习文件编码（008-TTIG-UTITD-GKBTT-PUUTI-WYTUI-8256）<近世代数复习题>一、定义描述（8’）1、群：设G是一个非空集合，是它的一个代数运算。

如果满足以下条件：（1）结合律成立，即对G中任意元素a，b，c都有（a b） c = a （b c）.（2）G中有元素e.叫做G的左单位元，它对G中每个元素a都有e a = a .（3）对G中每个元素a，在G中都有元素a-1，叫做a的左逆元，使a-1 a =e .则称G对代数运算做成一个群。

2、正规子群：设N是群G的一个子群，如果对G中每个元素a都有 aN=Na，即aNa-1=N ，则称N是群G的一个正规子群（或不变子群）。

3、环：设非空集合R有两个代数运算，一个叫做加法并用加号 + 表示，另一个叫做乘法用乘号表示，如果：（1）R对加法作成一个加群；（2）R对乘法满足结合律：（ab）c = a（bc）；（3）乘法对加法满足左右分配率：a（b+c）= ab + ac ，（b+c）a = ba + ca .其中a，b，c为R中任意元素，则称R对这两个代数运算作成一个环。

4、极大理想：设N是环R的一个理想，且N≠R .如果除R和N外，R中没有包含N的其它理想，则称N为环R的一个极大理想。

5、惟一分解整环：设K是有单位元的整环。

如果K中每个既不是零又不是单位的元素都能惟一分解，则称K为惟一分解整环。

整数环Z及域F上多项式环F[ x ]都是惟一分解整环。

6、欧氏环：设K是一个有单位元的整环，如果（1）有一个从K的非零元集K – { 0}到非负整数集的映射ψ存在；（2）这个ψ对K中任意元素a及b≠0，在K中有元素q，r使a=bq + r，r=0或ψ（r）＜ψ（b），则称R关于ψ作成一个欧氏环。

-------------7、素理想：设R是一个交换环，P R .如果ab∈P => a∈P或b∈P，其中a，b∈R，则称P是R的一个素理想。

近世代数题库：一、填空题：1、设集合A 有一个分类，其中i A 与j A 是A 的两个类，如果j i A A ≠，那么=j i A A 。

2、群的单位元是 的，每个元素的逆元素是 的。

3、若a,b ∈G;m,n ∈Z,且（ab ）n =a n b n ,则G 为 。

4、如果S=﹛a,b ﹜,且a,b 满足关系232;a b e ba ab ===，列出群,a b 的所有元素 。

5、凯莱定理说：每一个群都同一个 同构。

6、若映射ϕ既是单射又是满射，则称ϕ为 。

7、如果f 是A 与A 间的一一映射，a 是A 的一个元，则()[]=-a f f 1 。

8、设φ是群G 到G ′的同构映射，且φ可逆，若a 是G 的任一元素，则1a -= 。

9、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4a 的阶等于 。

10、设群G 中元素a 的阶为m ，如果e a n =，那么m 与n 存在整除关系为 。

11、设交换群G 中a 的阶是3, b 的阶是4,则ab 的阶是 。

12、在循环群G= a 中若a 的阶是一个有限整数n ，那么G 与 同构。

13、若群G= a 是无限循环群，那么G 与 同构。

14、求Z 12的全部生成元 ，全部子群 。

15、每一个有限群都同构于一个 。

16、n 次对称群n S 的阶是 。

17、给出一个5轮换)31425(=π，那么=-1π 。

18、设置换1212n n k k k τ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则对任一n 阶置换σ有1στσ-= 。

19、将下列轮换的乘积表示为不相交轮换的乘积（3654）（3241）（31524）= 。

20、已知σ4=（1437562），则σ= 。

21、整数加法群Z 关于子群nZ 的陪集为 。

22、设ord a=30，则4a 在a 中的所有左陪集是 。

23、在Z 12中，子群H=4中的所有左陪集是 。

24、H 是群G 一个子群,则H 的右、左陪集的个数 。

25、设N 是G 的正规子群，商群N G 中的单位元是 。

近世代数。

个代数运算以定义个元素的集合上总共可、含有 n n 12n （））（群。

能作成对运算集合、由全体正整数作成的 a b a G 2b = 3、循环群的⼦群仍是循环群。

（）4．正规⼦群的左陪集也⼀定是⼀个右陪集。

（）5．任何群G 都与其商群G/N 同态。

（）13123321 61）（、=???? ??- （）也是循环群是循环群，则，若是两个群且与、设G G G ~G G G 78．整数环Z 的每个理想不⼀定是主理想。

（）9．设环R 有单位元且每个⾮零元素都有逆元，若 | R |＞1，则R ⼀定是体。

（）10．⽆零因⼦的交换环不⼀定是整环。

（）11．环R 中所含元素的个数叫环R 的特征。

（）2、什么是理想？3什么是体？的⾏列式。

是矩阵其中同态映射，且是满射，的⼀个到是：普通乘法，证明：，代数运算是数的；再令运算是⽅阵的普通乘法数阶⽅阵作成的集合，代上全体是数域分）令三、（A |A | M M |A |A F M n F M 15?→??=四、（15分）设G 是⼀个群，且H ≤G ，K ≤G ，证明：H 与K 的交集是G 的⼀个⼦群。

五、（15分）设N 是群G 的任⼀正规⼦群，证明：G ~ G/N6、（15分）写出三次对称群S 3={(1),(12),(13),(23),(123),(132)}关于⼦群H={（1），（23）}的所有左陪集和所有右陪集。

⼀、判断题。

！个双射变换个元素的任意集合共有、含有 n n 1 2．在模8剩余类环Z 8中{}6,4,2,0 2>=<是⼀个极⼤理想。

（）4．整数环Z 的每个理想都是主理想。

（）⼆、单项选择题（每⼩题2分，共10分）1、关于半群的说法不正确的是：（）（A ）半群是带有⼀个代数运算的代数系统；(B) 半群的乘法⼀定适合结合律；(C) 半群的乘法不⼀定适合交换律；（D) 半群中⼀定有单位元。

2、设G 是⼀个群，H 是G 的⼀个⾮空⼦集，则H ≤G 的充要条件是（）（A ） H ab H b ,a ∈?∈ (B) H a H a 1∈?∈-(C) H ab H b ,a 1∈?∈- (D) H b a H b ,a ∈+?∈3、设R 是⼀个环，下⾯说法不正确的是（）（A ）R 中若有零因⼦，则⼀定既有左零因⼦也有右零因⼦；(B) R 中若⽆零因⼦，则⼀定既⽆左零因⼦也⽆右零因⼦；(C) ⼀个环⼀定有零因⼦；(D) R 中若有左零因⼦也⼀定有右零因⼦。