《圆》章节知识点复习
一、圆的概念
集合形式的概念:
1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合;
2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；
3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合
轨迹形式的概念:
1、圆:到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆;
2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线(也叫中垂线）；
3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；
4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；
5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系
<⇒点C在圆内；
1、点在圆内⇒d r
=⇒点B在圆上;
2、点在圆上⇒d r
>⇒点A在圆外;
3、点在圆外⇒d r
三、直线与圆的位置关系
>⇒无交点；
1、直线与圆相离⇒d r
=⇒有一个交点；
2、直线与圆相切⇒d r
<⇒有两个交点；
3、直线与圆相交⇒d r
四、圆与圆的位置关系
>+；
外离（图1）⇒无交点⇒d R r
=+；
外切（图2）⇒有一个交点⇒d R r
-<<+；
相交（图3）⇒有两个交点⇒R r d R r
=-;
内切（图4）⇒有一个交点⇒d R r
<-；
内含（图5）⇒无交点⇒d R r
五、垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1:（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧
以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即:
①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
即:在⊙O 中，∵AB ∥CD
∴弧AC =弧BD
六、圆心角定理
圆心角定理:同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的
弧相等，弦心距相等。 此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，
只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论,
即：①AOB DOE ∠=∠；②AB DE =;
③OC OF =；④ 弧BA =弧BD
七、圆周角定理
1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。
即：∵AOB ∠和ACB ∠是弧AB 所对的圆心角和圆周角
∴2AOB ACB ∠=∠
2、圆周角定理的推论：
推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周
角所对的弧是等弧;
即：在⊙O 中，∵C ∠、D ∠都是所对的圆周角
∴C D ∠=∠
推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧
是半圆,所对的弦是直径。
即：在⊙O 中，∵AB 是直径 或∵90C ∠=︒
∴90C ∠=︒ ∴AB 是直径
推论3:若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直
角三角形。
即：在△ABC 中，∵OC OA OB ==
∴△ABC 是直角三角形或90C ∠=︒
注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。
八、圆内接四边形
圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。
即：在⊙O 中，
∵四边形ABCD 是内接四边形
∴180C BAD ∠+∠=︒ 180B D ∠+∠=︒
DAE C ∠=∠
九、切线的性质与判定定理
（1）切线的判定定理:过半径外端且垂直于半径的直线是切线；
两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可
即：∵MN OA ⊥且MN 过半径OA 外端
∴MN 是⊙O 的切线
(2)性质定理:切线垂直于过切点的半径（如上图）
推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。
推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。
以上三个定理及推论也称二推一定理：
即：①过圆心；②过切点;③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个.
十、切线长定理
切线长定理:
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
即:∵PA 、PB 是的两条切线
∴PA PB =
PO 平分BPA ∠
十一、圆幂定理
（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。
即:在⊙O 中，∵弦AB 、CD 相交于点P ，
∴PA PB PC PD ⋅=⋅
（2)推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两
条线段的比例中项。
即：在⊙O 中，∵直径AB CD ⊥，
∴2CE AE BE =⋅
（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线,切线
长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.
即：在⊙O 中，∵PA 是切线，PB 是割线
∴ 2PA PC PB =⋅
(4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。
即：在⊙O 中，∵PB 、PE 是割线
∴PC PB PD PE ⋅=⋅
十二、两圆公共弦定理
圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆
的的公共弦。
如图：12O O 垂直平分AB 。
即：∵⊙1O 、⊙2O 相交于A 、B 两点
∴12O O 垂直平分AB
十三、圆的公切线
两圆公切线长的计算公式:
（1）公切线长：12Rt O O C ∆中，22221122AB CO O O CO ==-;
(2）外公切线长：2CO 是半径之差; 内公切线长:2CO 是半径之和 . 十四、圆内正多边形的计算
（1）正三角形
在⊙O 中△ABC 是正三角形，有关计算在Rt BOD ∆中进行：::1:3:2OD BD OB =；
（2）正四边形
同理，四边形的有关计算在Rt OAE ∆中进行，::1:1:2OE AE OA =：
（3)正六边形
同理，六边形的有关计算在Rt OAB ∆中进行，::1:3:2AB OB OA =。
十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式
1、扇形：（1）弧长公式:180
n R l π=； （2）扇形面积公式: 213602
n R S lR π== n ：圆心角 R :扇形多对应的圆的半径 l ：扇形弧长 S :扇形面积
2、圆柱:
(1）圆柱侧面展开图
2S S S =+侧表底=222rh r ππ+
（2)圆柱的体积：2V r h π=
(2)圆锥侧面展开图
(1）S S S =+侧表底=2Rr r ππ+
（2）圆锥的体积：213
V r h π=
《圆》章节知识点复习 一、圆的概念 集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念： 1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆； 2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）； 3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。 二、点与圆的位置关系 ?点A在圆外； 3、点在圆外?d r 三、直线与圆的位置关系 >?无交点； 1、直线与圆相离?d r
=?有一个交点； 2、直线与圆相切?d r +； 外离（图1）?无交点?d R r =+； 外切（图2）?有一个交点?d R r -<<+； 相交（图3）?有两个交点?R r d R r =-； 内切（图4）?有一个交点?d R r <-； 内含（图5）?无交点?d R r 五、垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： ①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在⊙O 中，∵AB ∥CD ∴弧AC =弧BD 六、圆心角定理 圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对 的弧相等，弦心距相等。 此定理也称1推3定理，即上述四个结论 中， 只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论， 即：①AOB DOE ∠=∠；②AB DE =； ③OC OF =；④ 弧BA =弧BD 七、圆周角定理
2016最新版初三下册数学知识点总结 第一天 第一章 直角三角形边的关系 ※一. 正切： 正切．． 即的邻边 的对边 A A A ∠∠=tan ; 正弦，即斜边 的对边A A ∠=sin ; 余弦，即斜边 的邻边 A A ∠= cos ; ①)90cos(sin A A ∠-?=； )90sin(cos A A ∠-?= sin 2 A+cos 2 A=1 (5)直角三角形的内切圆半径2c b a r -+= (6)直角三角形的外接圆半径c R 2 1 = ※ 如图2，坡面与水平面的夹角叫做坡角．． (或叫做坡比．．)。用字母i 表示，即A l h i tan == （第二天）第三章 圆 1. 点与圆的位置关系及其数量特征： 如果圆的半径为r ，点到圆心的距离为d ，则 ①点在圆上 <===> d=r; ②点在圆内 <===> d
圆章节复习 课前测试 【题目】课前测试 如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E． （1）当BC=1时，求线段OD的长； （2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由； （3）设BD=x，△DOE的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域． 【答案】；存在，DE=；y=（0＜x＜）． 【解析】（1）如图（1），∵OD⊥BC， ∴BD=BC=， ∴OD==；
（2）如图（2），存在，DE是不变的． 连接AB，则AB==2， ∵D和E分别是线段BC和AC的中点， ∴DE=AB=； （3）如图（3），连接OC， ∵BD=x， ∴OD=， ∵∠1=∠2，∠3=∠4， ∴∠2+∠3=45°， 过D作DF⊥OE． ∴DF==，由（2）已知DE=，∴在Rt△DEF中，EF==， ∴OE=OF+EF=+= ∴y=DF•OE=•• =（0＜x＜）．
总结：本题考查的是垂径定理、勾股定理、三角形的性质，综合性较强，难度中等． 【难度】4 【题目】课前测试 如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，O是BC边上一点，以O为圆心的半圆与AB边相切于点D，与AC、BC边分别交于点E、F、G，连接OD，已知BD=2，AE=3，tan∠BOD=．（1）求⊙O的半径OD； （2）求证：AE是⊙O的切线； （3）求图中两部分阴影面积的和． 【答案】OD=3；AE是⊙O的切线； 【解析】（1）∵AB与圆O相切， ∴OD⊥AB， 在Rt△BDO中，BD=2，tan∠BOD==， ∴OD=3； （2）连接OE， ∵AE=OD=3，AE∥OD， ∴四边形AEOD为平行四边形， ∴AD∥EO，
一、导入（进入美妙的世界啦~） 如图，点A、B、C表示三个村庄，现要建一座深水井泵站，向三个村庄分别送水，为使三条输水管线长度相同，水泵站应建在何处？请画出图，并说明理由． 二、知识典例（注意咯，下面可是黄金部分！） 圆周角和圆心角的关系 1、圆周角：角的顶点在圆上，它的两边分别与圆有另外的一个交点 2、一条弧所对的圆周角等于圆心角的一半 3、同弧或等弧所对的圆周角相对 4、直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径 确定圆的条件 1、定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆．定理中“不在同一直线”这个条件不可忽略，“确定”一词应理解为“有且只有”． 2、通过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心为三角形的外心，这个三角形叫圆的内接三角形．只要三角形确定，那么它的外心和外接圆半径也随之确定了． 圆4、5节
D C B E A 例1、如图，已知A 、B 、C 三点在⊙O 上，∠A=50°，则∠BOC 的度数为（ ） B O C A A ．50° B ．25° C ．75° D ．100° 变式1、如图，线段 AB 是⊙O 的直径，弦CD 丄AB ，∠CAB=20°，则∠AOD 等于（ ） A ．120° B ．140° C ．150° D ．160° 变式2、如图，已知AB 是⊙O 直径，130AOC ∠=o ，则D ∠等于（ ） A ．65o B ．25o C ．15o D ．35o 变式3、如图，圆内接四边形ABCD 中，圆心角∠1=100°，则圆周角∠ABC 等于（ ） A ．100° B ．120° C ．130° D ．150° 例2、如图，点A 、B 、C 、D 、E 将圆五等分，则∠CAD ＝ 度。 变式1、在⊙O 中同弦所对的圆周角（ ）
九年级下册第三章圆 【知识梳理】 一、圆的认识 1. 圆的定义： 描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的圆形叫做圆．；固定的端点O叫做圆心 ．．；以点O为圆心的圆，记作⊙ ．．；线段OA叫做半径 O，读作“圆O” 集合性定义：圆是平面内到定点距离等于定长的点的集合。其中定点叫做圆心 ．．．．，圆 ．．，定长叫做圆的半径 心定圆的位置，半径定圆的大小，圆心和半径确定的圆叫做定圆 ．．。 对圆的定义的理解：①圆是一条封闭曲线，不是圆面； ②圆由两个条件唯一确定：一是圆心（即定点），二是半径（即定长）。 2、与圆相关的概念 ①弦和直径： 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦．。 直径：经过圆心的弦叫做直径 ．．。 ②弧、半圆、优弧、劣弧： 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧 ．．，简称弧．，用符号“⌒”表示，以CD为端点的弧记为 “”，读作“圆弧CD”或“弧CD”。 半圆：直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫做半圆 ．．。 优弧：大于半圆的弧叫做优弧 ．．。 劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧 ．．。(为了区别优弧和劣弧，优弧用三个字母表示。) ③弓形：弦及所对的弧组成的图形叫做弓形 ．．。 ④同心圆：圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆 ．．．。 ⑤等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆。
⑥等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧 ．．。 ⑦圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角 ．．．. ⑧弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距 ．．．. 3、点与圆的位置关系及其数量特征： 如果圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则 ①点在圆上 <===> d=r; ②点在圆内 <===> d
圆的有关性质(一) 知识点回顾： 知识点一：圆的定义，掌握点与圆的位置关系 1. 圆上各点到圆心的距离都等于___________. 2. 圆是___________对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的___________；圆又是___________对称图形，___________是它的对称中心. 例1：（2009太原市）如图，在Rt ABC △中，C ∠=90°，AB =10，若以点C 为圆心，CB 长为半径的圆恰好经过AB 的中点D ，则AC 的长等于（ ） A ．53 B ．5 C ．52 D ．6 同步测试： 1．如图，在□ABCD 中，∠BAD 为钝角，且AE ⊥BC ，AF ⊥CD ． （1）求证：A 、E 、C 、F 四点共圆； （2）设线段BD 与（1）中的圆交于M 、N ．求证：BM=ND ． 知识点二：弦、弧、半圆、优弧、同心圆、等圆、等弧、圆心角、圆周角等与圆有关的概念 1.在同圆或等圆中，相等的弧叫做___________ 2. 同弧或等弧所对的圆周角___________，都等于它所对的圆心角的___________ 3. 直径所对的圆周角是___________，90°所对的弦是___________. 例2：如图3，⊙O 是等腰三角形ABC 的外接圆，AB AC =，45A ∠=o ，BD 为⊙O 的直径，22BD =，连结CD ，则D ∠=___________，BC =___________． 图3 图4 图5 同步测试： 1．如图4，四边形ABCD 内接于⊙O ，∠ADC ＝90°，B 是弧AC 的中点，AD ＝20，CD ＝ 15,求BD 的长. 知识点三：圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦，两个圆周角中有一组量___________，那么它们所对应的其余各组量都分别___________. 例3．如图5，⊙O 中两条不平行弦AB 和CD 的中点M ，N.且AB ＝CD ， 求证：∠AMN ＝∠CNM 同步测试： 1．下列命题中， ①顶点在圆周上的角是圆周角；②圆周角的度数等于圆心角度数的一半； ③的圆周角所对的弦是直径；④不在同一条直 线上的三个点确定一个圆；⑤同弧所对的圆周角相等。正确的是（ ） A ．①②③ B ．③④⑤ C ．①②⑤ D ．②④⑤ 知识点四：垂径定理 垂直于弦的直径平分___________，并且平分___________；平分弦（不是直径）的___________垂直于弦，并且平分___________. 例4：如图6，AB 是⊙O 的弦，OD ⊥AB 于D 交⊙O 于E ，则下列说法错误的是 ( ) B C D A
章末复习(三)圆 01 基础题 知识点1 圆的有关概念 1．下列命题中正确的有( ) ①弦是圆上任意两点之间的部分；②半径是弦；③直径是最长的弦；④弧是半圆，半圆是弧． A．1个B．2个C．3个D．4个 2．如图，已知AB，CD是⊙O的两条直径，∠ABC＝30°，那么∠BAD等于( ) A．45° B．60° C．90° D．30° 知识点2 圆的对称性 3．下列四个图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( ) A．等边三角形B．平行四边形 C．圆D．正五边形 4．如图，AB和CD是⊙O的两条直径，弦DE∥AB，若∠DOE＝40°的弧，则∠BOC＝( ) A．110° B．80° C．40° D．70° 知识点3 垂径定理 5．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A＝30°，CD＝6，则圆的半径长为( ) A．2 3 B．2 C．4 3 D.3 6．(六盘水中考)赵州桥是我国建筑史上的一大创举，它距今约1 400年，历经无数次洪水冲击和8次地震却安然无恙．如图，若桥跨度AB约为40米，主拱高CD约10米，则桥弧AB所在圆的半径R＝____________米．
知识点4 圆心角与圆周角定理 7．如图，已知OA，OB均为⊙O上一点，若∠AOB＝80°，则∠ACB＝( ) A．80°B．70° C．60°D．40° 8．如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，∠ABD＝53°，则∠BCD为() A．37°B．47° C．45°D．53° 9．如图，∠DAE是⊙O的内接四边形ABCD的一个外角，且∠DAE＝∠DAC.求证：DB＝DC. 知识点5 三角形的外接圆与内切圆 10．如图，点O是△ABC的内心，∠A＝62°，则∠BOC＝( ) A．59° B．31° C．124° D．121° 11．已知等腰三角形ABC，如图． (1)用直尺和圆规作△ABC的外接圆；
第三章圆 1 圆 2 圆的对称性 *3 垂径定理 4 圆周角和圆心角的关系 5 确定圆的条件 6 直线和圆的位置关系 *7 切线长定理 8 圆内接正多边形 9 弧长及扇形的面积 一．圆 描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的圆形叫做圆．；固定的端点O叫做圆心 ；线段OA叫 ．． ；以点O为圆心的圆，记作⊙O，读作“圆O” 做半径 ．． ，定长集合性定义：圆是平面内到定点距离等于定长的点的集合。其中定点叫做圆心 ．． ，圆心定圆的位置，半径定圆的大小，圆心和半径确定的圆叫做圆的半径 ．．．． 。 叫做定圆 ．． 对圆的定义的理解：①圆是一条封闭曲线，不是圆面； ②圆由两个条件唯一确定：一是圆心（即定点），二是半径（即定长）。 ※2. 点与圆的位置关系及其数量特征： 如果圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则
①点在圆上<===> d=r; ②点在圆内<===> d
【文库独家】 圆的知识点总结 （一）圆的有关性质 ［知识归纳］ 1. 圆的有关概念： 圆、圆心、半径、圆的内部、圆的外部、同心圆、等圆； 弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧、弓形、弓形的高； 圆的内接三角形、三角形的外接圆、三角形的外心、圆内接多边形、多边形的外接圆；圆心角、圆周角、圆内接四边形的外角。 2. 圆的对称性 圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴； 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形； 圆具有旋转不变性。 3. 圆的确定 不在同一条直线上的三点确定一个圆。 4. 垂直于弦的直径 垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧； 推论1 （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 垂径定理及推论1 可理解为一个圆和一条直线具备下面五个条件中的任意两个，就 可推出另外三个：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦（不是直径）；
④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。 推论2圆的两条平行弦所夹的弧相等。 5. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；所对的弦的弦心距相等。 推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 此定理和推论可以理解成：在同圆或等圆中，满足下面四个条件中的任何一个就能推出另外三个：①两个圆心角相等；②两个圆心角所对的弧相等；③两个圆 心角或两条弧所对的弦相等；④两条弦的弦心距相等。 圆心角的度数等于它所对的弧的度数。 6. 圆周角 定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半； 推论1同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等； 推论2半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径； 推论3如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。 7. 圆内接四边形的性质 圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。 ※8. 轨迹 轨迹符合某一条件的所有的点组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹。 （1）平面内，到一定点的距离等于定长的点的轨迹，是以这个定点为圆心，定长为半径的圆； （2）平面内，和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线；（3）平面内，到已知角两边的距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线。 ［例题分析］ 例1. 已知：如图1，在⊙O中，半径OM⊥弦AB于点N。 图1 ①若AB＝，ON＝1，求MN的长； ②若半径OM＝R，∠AOB＝120°，求MN的长。 解：①∵AB＝，半径OM⊥AB，∴AN＝BN＝ ∵ON＝1，由勾股定理得OA＝2 ∴MN＝OM－ON＝OA－ON＝1
九年级下册北师大数学圆的知识点北师大数学圆的知识点 圆是数学中一种特殊的几何形状，它在我们的日常生活中无处不在。在九年级下册的北师大数学课程中，我们将学习关于圆的一系列知识点，包括圆的定义、性质以及相关的定理。本文将对这些知识点进行介绍，帮助同学们更好地理解和应用圆的概念。 一、圆的定义和性质 1. 定义：圆是平面上与给定点距离相等的所有点的集合。这个给定点称为圆心，距离称为半径。 2. 性质一：圆的半径相等的两条弦相等。也就是说，在一个圆上，若两条弦的两端点都在圆上，且弦的长度相等，那么这两条弦的中点肯定也在圆上。 3. 性质二：圆的半径垂直于弦。对于一个圆，若弦的两端点在圆上，那么弦的中点和圆心连线一定垂直于弦。
二、圆的相关定理 1. 切线定理：如果一条直线与圆相切，那么它与半径的连线垂直。 2. 切圆定理：如果一条直线与圆只有一个公共点，那么它与圆的切点和圆心连线垂直。 3. 正切定理：如果一条直线能同时切两个圆，并且两个切点分别位于两个圆心对连线的两侧，那么这条直线的两个切点和两个圆心连线的两个交点共圆。 三、圆的计算 1. 弧长和扇形面积的计算：对于一个圆，我们可以通过已知半径和角度来计算弧长和扇形面积。弧长的计算公式为l = rθ，其中l 代表弧长，r 代表半径，θ 代表圆心角的弧度。扇形面积的计算公式为S = 1/2r²θ，其中 S 代表扇形面积。
2. 弧度和角度的转换：圆心角的弧度和角度之间存在一个转换关系，即角度 = 弧度× 180°/π，其中π 是一个无限不循环小数，它的近似值约为 3.14。 四、应用实例 1. 圆的应用：圆的应用非常广泛，它在建筑、艺术、科学等领域中都有重要的应用。比如，我们常见的圆柱体、圆锥体和球体都是基于圆的形状构建的。 2. 弧长和扇形面积的实际问题：弧长和扇形面积的计算在实际生活中也有很多应用。比如，在设计汽车驶过弯道的路径时，我们需要计算弧长和扇形面积来提供行驶的参考。 3. 切线的实际应用：切线定理和切圆定理在实际应用中也有一定的重要性。比如，在建筑设计中，我们需要通过切线定理来确定建筑物的外围墙体与地面的接触点。 总结
北师大版九年级下册圆的知识点圆是几何学中的一个基本概念，也是数学中非常重要的一个知 识点。在北师大版九年级下册数学教材中，关于圆的知识点涉及 到圆的定义、性质、面积和周长的计算等方面。下面我们就来一 起探索一下这些知识点。 首先，我们来看一下圆的定义。圆是平面上一组离一个定点距 离相等的点构成的集合。这个定点称为圆心，记作O；到圆心距 离相等的点称为圆上的点，它们组成了圆。 圆的性质是我们学习圆的关键。首先，圆的半径是由圆心到圆 上任意一点的距离，我们用字母r表示。半径相等的两个圆互为同心圆。圆上任意两点与圆心连线的长度相等，这个长度称为弦。 弦通过圆心时，称为直径，直径的长度是半径的两倍，记作d=2r。 圆的面积是我们计算圆的重要指标之一。圆的面积公式为 S=πr²，其中π≈3.14是一个固定的近似值。在计算圆的面积时，我 们需要将半径的平方与π相乘，就可以得到圆的面积。
而圆的周长则是另一个重要的指标。圆的周长公式为C=2πr， 即圆的周长等于半径的二倍乘以π。对于给定的圆，只要知道了半径，就可以根据公式计算出圆的周长。 正如我们在初中学习的内容一样，圆的知识点离不开实际生活 中的应用。例如，我们常常看到的钟表就是以圆形为基础的，它 的指针不断地绕圆形表盘运动。又如，在木匠工作中，我们需要 制作木桶、木头盆等物品时，往往会采用圆的造型。圆的知识点 也有助于我们更好地理解其他几何图形，例如圆柱体、圆锥等等。 最后，我们还可以通过算术方式来深入理解圆的知识点。例如，可以通过设定一个半径，计算圆的面积和周长，并与其他图形进 行对比，从而更好地理解圆形的特点。此外，还可以通过解决实 际问题来应用圆的知识点，例如计算一个花坛的周长或面积，或 者计算一个游泳池的圆周长度等等。 在北师大版九年级下册数学教材中，关于圆的知识点仅限于上 述内容。通过学习这些内容，我们可以对圆有一个全面而深入的 认识，并能够应用这些知识点进行问题的求解。
A 图5 【文库独家】 圆的总结 集合： 圆：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹： 1、到定点的距离等于定长的点的轨迹是：以定点为圆心，定长为半径的圆； 2、到线段两端点距离相等的点的轨迹是：线段的中垂线； 3、到角两边距离相等的点的轨迹是：角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线 点与圆的位置关系: 点在圆内 d D B B A B A O : 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： ①AB 是直径 ②AB ⊥CD ③CE=DE ④ ⑤ 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在⊙O 中，∵AB ∥CD 圆心角定理 圆周角定理 即：∵∠AOB 和∠ACB 是 ∴∠AOB=2∠ACB 圆周角定理的推论： 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧 即：在⊙O 中，∵∠C 、∠D 都是所对的圆周角 ∴∠C=∠D 推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆， 所对的弦是直径 即：在⊙O 中，∵AB 是直径 或∵∠C=90° ∴∠C=90° ∴AB 是直径 推论3：三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角 形 即：在△ABC 中，∵OC=OA=OB ∴△ABC 是直角三角形或∠C=90° BC BD =AC AD = 1 B 【文库独家】 圆 知识点 一．《圆》知识点 1．点的轨迹 ２．三种位置关系 ３．垂径定理 ４．圆心角定理 ５．圆周角定理 6．弦切角定理 ７．圆的内接四边形定理 ８．切线的性质与判定定理 ９．切线长定理 １０．相交弦定理 11．两圆公共弦定理 12．圆的公切线 13．圆内正多边形 14．弧长、扇形面积公式 15．侧面展开图 二．点的轨迹 集合： 圆：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹：1、到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心，定长为半径的圆； 2、到线段两端点距离相等的点的轨迹是线段的中垂线； 3、到角两边距离相等的点的轨迹是角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线 三．三种位置关系： 1.点与圆 ：点与圆的位置关系： 点在圆内 d 2 D 四．垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 注：以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个 即： ①AB 是直径 ②AB ⊥CD ③CE=DE ④ ⑤ ①② ③④⑤ 或 ①③ ②④⑤或…… 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在⊙O 中，∵AB ∥CD ∴ 五．圆心角定理 圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等 注：此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论 也即：①∠AOB=∠DOE ②AB=DE ③OC=OF ④ ① ②③④ 或 ② ①③④…… 六．圆周角定理 圆周角定理：同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半（图1） 即：∵∠AOB 和∠ACB 是 所对的圆心角和圆周角 ∴∠AOB=2∠ACB 圆周角定理的推论： 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧 即：在⊙O 中，∵∠C 、∠D 都是所对的圆周角 ∴∠C=∠D （图2） 推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径 即：在⊙O 中，∵AB 是直径 或∵∠C=90° ∴∠C=90° ∴AB 是直径（图3） 推论3：三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 即：在△ABC 中，∵OC=OA=OB ∴△ABC 是直角三角形或∠C=90°（图4） 注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。 （图1） （图2） （图3） （图4） 七．弦切角定理 弦切角定理：弦切角等于所夹弧所对的圆周角 A O B A 图5 »»BC BD =»»AC AD =⇒⇒»»AC BD =»»BA ED =⇒⇒»AB 九年级总复习知识点总结-------圆 几何B 级概念：（要求理解、会讲、会用，主要用于填空和选择题） 一 基本概念：圆的几何定义和集合定义、 弦、 弦心距、 弧、 等弧、 弓形、弓形高 三角形的外接圆、三角形的外心、三角形的内切圆、 三角形的内心、 圆心角、圆周角、 弦 切角、 圆的切线、 圆的割线、 两圆的内公切线、 两圆的外公切线、 两圆的内（外） 公切线长、 正多边形、 正多边形的中心、 正多边形的半径、 正多边形的边心距、 正 多边形的中心角. 二 定理： 1．不在一直线上的三个点确定一个圆. 2．任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆. 3．正n 边形的半径和边心距把正n 边形分为2n 个全等的直角三角形. 三 公式： 1.有关的计算：（1）圆的周长C=2πR ；（2）弧长L= 180 R n π；（3）圆的面积S=πR 2 . （4）扇形面积S 扇形 =LR 2 1 360R n 2=π； （5）弓形面积S 弓形 =扇形面积S AOB ±ΔAOB 的面积.（如图） 2.圆柱与圆锥的侧面展开图： （1）圆柱的侧面积：S 圆柱侧 =2πrh ； (r:底面半径；h:圆柱高) （2）圆锥的侧面积：S 圆锥侧 =LR 2 1 . （L=2πr ，R 是圆锥母线长；r 是底面半径） 四 常识： 1． 圆是轴对称和中心对称图形. 2． 圆心角的度数等于它所对弧的度数. 3． 三角形的外心 ⇔ 两边中垂线的交点 ⇔ 三角形的外接圆的圆心； 三角形的内心 ⇔ 两内角平分线的交点 ⇔ 三角形的内切圆的圆心. 4． 直线与圆的位置关系：（其中d 表示圆心到直线的距离；其中r 表示圆的半径） 直线与圆相交 ⇔ d ＜r ； 直线与圆相切 ⇔ d=r ； 直线与圆相离 ⇔ d ＞r. 5． 圆与圆的位置关系：（其中d 表示圆心到圆心的距离，其中R 、r 表示两个圆的半径 且R ≥r ） 两圆外离 ⇔ d ＞R+r ； 两圆外切 ⇔ d=R+r ； 两圆相交 ⇔ R-r ＜d ＜R+r ； 两圆内切 ⇔ d=R-r ； 两圆内含 ⇔ d ＜R-r. 6．证直线与圆相切，常利用：“已知交点连半径证垂直”和“不知交点作垂直证半径” 的方法加辅助线. 九年级数学下册第三章圆知识总结北师大版 年级： 姓名： 圆的知识总结 24.1 圆 定义：（1）平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。 （2)平面上一条线段，绕它的一端旋转360°，留下的轨迹叫圆。 圆心：（1）如定义（1）中，该定点为圆心 （2）如定义（2）中，绕的那一端的端点为圆心。 （3）圆任意两条对称轴的交点为圆心。 （4）垂直于圆内任意一条弦且两个端点在圆上的线段的二分点为圆心。 注：圆心一般用字母O表示 直径：通过圆心，并且两端都在圆上的线段叫做圆的直径。直径一般用字母d 表示。 半径：连接圆心和圆上任意一点的线段，叫做圆的半径。半径一般用字母r表示。 圆的直径和半径都有无数条。圆是轴对称图形，每条直径所在的直线是圆的对称轴。在同圆或等圆中：直径是半径的2倍，半径是直径的二分之一.d=2r或r=二分之d。 圆的半径或直径决定圆的大小，圆心决定圆的位置。 圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长，用字母C表示。 圆的周长与直径的比值叫做圆周率。 圆的周长除以直径的商是一个固定的数，把它叫做圆周率，它是一个无限不循环小数（无理数），用字母π表示。计算时，通常取它的近似值，π≈3.14。 直径所对的圆周角是直角。90°的圆周角所对的弦是直径。 圆的面积公式：圆所占平面的大小叫做圆的面积。πr2，用字母S表示。 一条弧所对的圆周角是圆心角的二分之一。 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦心距也相等。 周长计算公式 北师大版2020九年级数学：圆的知识点总结 圆的总结(史上最全的) 集合： 圆：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹： 1、到定点的距离等于定长的点的轨迹是：以定点为圆心，定长为半径的圆； 2、到线段两端点距离相等的点的轨迹是：线段的中垂线； 3、到角两边距离相等的点的轨迹是：角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线 点与圆的位置关系: 点在圆内 d 直线与圆相交 d 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： ①AB是直径②AB⊥CD ③CE=DE ④⑤ 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。即：在⊙O中，∵AB∥CD 圆心角定理2020北师大版九年级数学下册 圆的知识点
九年级数学 圆知识点总结 北师大版
九年级数学下册 第三章 圆知识总结北师大版
北师大版2020九年级数学：圆的知识点总结(史上最全的)
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