相似三角形的性质

相似三角形的性质一、引言相似三角形是几何学中的重要概念，广泛运用于日常生活和科学技术领域。

相似三角形的性质揭示了三角形之间的一种特殊关系，即它们的形状相同但大小不同。

本文将对相似三角形的性质进行详细阐述，以便更好地理解这一几何概念。

二、相似三角形的定义1.∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F（对应角相等）2.AB/DE=BC/EF=AC/DF（对应边成比例）那么，三角形ABC与三角形DEF是相似的，记作△ABC≌△DEF。

三、相似三角形的性质1.对应角相等相似三角形的一个基本性质是对应角相等。

这意味着如果两个三角形相似，那么它们的每个角都对应相等。

例如，在△ABC与△DEF相似的情况下，有∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。

2.对应边成比例相似三角形的另一个基本性质是对应边成比例。

这意味着相似三角形的每条边都与另一三角形的对应边成相同的比例。

例如，在△ABC与△DEF相似的情况下，有AB/DE=BC/EF=AC/DF。

3.对应高的比相等相似三角形的对应高（从顶点到对边的垂线）的比相等。

例如，在△ABC与△DEF相似的情况下，有h₁/h₂=k，其中h₁和h₂分别是△ABC和△DEF的对应高，k是相似比。

4.对应中线的比相等相似三角形的对应中线（连接顶点和对边中点的线段）的比相等。

例如，在△ABC与△DEF相似的情况下，有m₁/m₂=k，其中m₁和m₂分别是△ABC和△DEF的对应中线，k是相似比。

5.对应角平分线的比相等相似三角形的对应角平分线（将顶点角平分的线段）的比相等。

例如，在△ABC与△DEF相似的情况下，有s₁/s₂=k，其中s₁和s₂分别是△ABC和△DEF的对应角平分线，k是相似比。

6.面积比等于相似比的平方相似三角形的面积比等于相似比的平方。

例如，在△ABC与△DEF相似的情况下，有S₁/S₂=k²，其中S₁和S₂分别是△ABC和△DEF的面积，k是相似比。

四、相似三角形的判定方法1.AA（角角）相似判定法如果两个三角形有两个角分别相等，那么这两个三角形相似。

三角形的相似性质与判定三角形是平面几何中的基本图形，具有相似性质的三角形在数学和实际应用中起着重要的作用。

本文将探讨三角形的相似性质以及如何判定两个三角形是否相似。

一、相似三角形的定义与性质相似三角形是指具有相同的形状但大小不一的三角形。

它们的边长之比相等，并且对应角度相等。

考虑两个三角形ABC和DEF，若存在一个比值k使得AB/DE=BC/EF=AC/DF=k，则称这两个三角形相似。

相似三角形有以下性质：1. 对应角度相等：∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。

2. 对应边长比例相等：AB/DE = BC/EF = AC/DF = k。

3. 对应边长比例相等的性质也可以表达为：AB/BC = DE/EF =AC/DF = 1/k。

二、判定三角形相似的方法1. 三边对应角相等法（SAS法）：如果两个三角形的两条边的比值相等，并且这两个边夹角相等，那么这两个三角形相似。

根据这个方法，可以判定两个三角形是否相似，但需要注意两个三角形的顶点要对应一致。

2. 角-角-角（AAA）法：如果两个三角形的三个角度分别相等，那么这两个三角形相似。

由于一个三角形的内角和为180度，所以只需知道两个角度相等就可以推断出第三个角度相等。

但是需要注意，AAA法只能说明两个三角形是相似的可能性，还需要验证其他条件。

3. 角-边-角（ASA）法：如果两个三角形的一对角度相等，并且夹在两条相等边之间的夹角也相等，那么这两个三角形相似。

4. 边-角-边（SAS）法：如果两个三角形的一对边比值相等，并且两条边之间夹角相等，那么这两个三角形相似。

三、相似三角形的应用1. 比例定理：相似三角形的边长比值等于对应边上的线段比值。

例如，若三角形ABC与三角形DEF相似，则有AB/DE = BC/EF =AC/DF。

2. 测量不可达长度：当实际中无法直接测量到物体的长度时，可以利用相似三角形的性质来计算。

通过测量已知长度的物体与其相似三角形的对应边长，再利用比例关系计算出不可达长度。

相似三角形的性质相似三角形是指两个或更多个三角形的对应角相等，并且对应边的比值相等的情况。

在几何学中，相似三角形具有一些重要的性质和定理。

本文将介绍相似三角形的性质，并探讨与之相关的定理。

一、1. 对应角相等：当两个三角形的对应角分别相等时，它们是相似三角形。

对应角是指在两个三角形中，两个相对的角。

2. 对应边比值相等：相似三角形的边长之比等于它们的对应边长之比。

即若两个三角形ABC和DEF是相似三角形，那么有AB/DE=BC/EF=AC/DF。

3. 角相等：若两个三角形的一个角分别相等，并且两个边的比值相等，那么这两个三角形也是相似三角形。

4. 边长比值：在相似三角形中，对应边的比值等于任意两边的比值。

例如，在相似三角形ABC和DEF中，有AB/DE=BC/EF=AC/DF，同时也有AB/BC=DE/EF=AC/DF。

二、相似三角形的重要定理1. AA相似定理：如果两个三角形的两个角分别相等，那么这两个三角形是相似的。

具体而言，如果∠A=∠D，且∠B=∠E，则三角形ABC与三角形DEF是相似的。

2. SAS相似定理：如果两个三角形的一对对边成比例，且这两条对边之间的夹角相等，则这两个三角形是相似的。

具体而言，如果AB/DE=BC/EF且∠B=∠E，则三角形ABC与三角形DEF是相似的。

3. SSS相似定理：如果两个三角形的对边比值相等，则这两个三角形是相似的。

具体而言，如果AB/DE=BC/EF=AC/DF，则三角形ABC 与三角形DEF是相似的。

三、使用相似三角形的方法和应用1. 比例求解：根据相似三角形的性质，我们可以利用已知条件和未知数来求解未知边的长度或者未知角的度数。

通过建立各边之间的比例关系，可以使用正比例求解法来解决各种几何问题。

2. 测量不可达距离：在实际应用中，有时我们无法直接测量两点之间的距离，但可以利用相似三角形的性质来间接求解。

通过测量一个已知距离和相关角度，可以建立相似三角形的比例关系，从而求解不可达距离。

数学八年级20．相似三角形的性质相似三角形的性质有： 1．对应角相等； 2．对应边成比例；3．对应线段（中线、高、角平分线）之比等于相似比； 4．周长之比等于相似比；5．面积之比等于相似比的平方。

性质（3）主要应用于三角形内接特殊平行四边形的问题，性质（5）进一步丰富了面积有关知识，拓展了我们研究面积问题的视角。

例1．如图，已知□ABCD 中，过点B 的直线顺次与AC 、AD 及CD的延长线相交于点E 、F 、G ，若BE=5，EF=2，则FG 的长是___________.解题思路 由相似三角形建立含FG 的关系式，注意中间比的代换。

例2．如图，已知△ABC 中，DE//FG//BC ，且AD ：DF ：FB=1：2：3， 则SADE：S DFGE 四边形：S FBCG 四边形=（ ）A ．1：9：36B ．1：4：9C ．1：8：27D ．1：8：36解题思路 △ADE 、△AFG 都与△ABC 相似，用△ABC 面积的 代数式分别表示△ADE 、四边形DFGE 、四边形FBCG 的面积。

例3．如图，在△ABC 的内部选取一点P ，过P 点作三条分别与△ABC 的三边平行的直线，这样所得的三个三角形t 1、t 2、t 3 的面积分别为4、9和49，，求△ABC 的面积。

解题思路 由于问题条件中没有具体的线段长，所以不能用面积公式求出有关图形的面积，可考虑应用相似三角形的性质。

例4．在一块锐角三角形的余料上，加工成正方形零件，使正方形的四个顶点都在三角形边上，若三角形的三边长分别为a 、b 、c ，且a ＞b ＞c ，问正方形的两个顶点放在哪条边上可使加工出来的正方形零件面积最大。

解题思路 正方形的两个顶点放在三角形边上有三种情形，把每一种情形的正方形的边长用a 、b 、c 的代数式表示出来。

例5．如图，△PQR 和△P Q R '''是两个全等的等边三角形，它们的重叠部分是一个六边形ABCDEF ，设这个六边形的边长为：AB=a 1，BC=b 1，CD=a 2，DE=b 2，EF=a 3，FA=b 3，求证：222222123123a a ab b b ++=++解题思路 本例是一个颇为复杂的非常规性证明题，显然不能用勾股定理证明，从已知易得相似三角形，由相似三角形的性质寻找解题的突破口。

相似三角形的判定与性质相似三角形是指有着对应角度相等、对应边比例相等的两个三角形。

在解决几何问题中，判定两个三角形是否相似是非常重要的，因为相似三角形的性质可以帮助我们得到许多有用的结论。

本文将讨论相似三角形的判定方法以及其性质。

一、相似三角形的判定方法1. AA相似判定法:当两个三角形的两个对应角相等时，这两个三角形是相似的。

例如：若∠A1 = ∠A2且∠B1 = ∠B2，则△A1B1C1~△A2B2C2。

2. SSS相似判定法:当两个三角形的三边对应成比例时，这两个三角形是相似的。

例如：若A1B1/A2B2 = B1C1/B2C2 = C1A1/C2A2，则△A1B1C1~△A2B2C2。

3. SAS相似判定法:当两个三角形的两边成比例，且夹角对应相等时，这两个三角形是相似的。

例如：若A1B1/A2B2 = B1C1/B2C2且∠A1 = ∠A2，则△A1B1C1~△A2B2C2。

二、相似三角形性质1. 边比例性质:若△ABC~△A'B'C'，则AB/A'B' = BC/B'C' = AC/A'C'。

也就是说，相似三角形的边长之比保持不变。

2. 高比例性质:若△ABC~△A'B'C'，则AA'为两个三角形的对应边之比，BB'为对应边之比，CC'为对应边之比。

也就是说，相似三角形的高线段之比与对应边之比相等。

3. 角度性质:若△ABC~△A'B'C'，则∠A = ∠A'，∠B = ∠B'，∠C = ∠C'。

也就是说，相似三角形的对应角度相等。

4. 面积比例性质:若△ABC~△A'B'C'，则△ABC的面积与△A'B'C'的面积之比等于对应边的平方之比。

也就是说，相似三角形的面积之比等于对应边的平方之比。

一、相似的有关概念1．相似形具有相同形状的图形叫做相似形．相似形仅是形状相同，大小不一定相同．相似图形之间的互相变换称为相似变换． 2．相似图形的特性两个相似图形的对应边成比例，对应角相等． 3．相似比两个相似图形的对应角相等，对应边成比例．二、相似三角形的概念1．相似三角形的定义对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形．如图，ABC △与A B C '''△相似，记作ABC A B C '''△∽△，符号∽读作“相似于”．A 'B 'C 'CB A2．相似比相似三角形对应边的比叫做相似比．全等三角形的相似比是1．“全等三角形”一定是“相似形”，“相似形”不一定是“全等形”．三、相似三角形的性质1．相似三角形的对应角相等如图，ABC △与A B C '''△相似，则有A A B B C C '''∠=∠∠=∠∠=∠，，．A 'B 'C 'CB A2．相似三角形的对应边成比例 如图，ABC △与A B C '''△相似，则有AB BC ACk A B B C A C ===''''''（k 为相似比）． 相似三角形的性质及判定A 'B 'C 'CB A3．相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比．如图1，ABC △与A B C '''△相似，AM 是ABC △中BC 边上的中线，A M ''是A B C '''△中B C ''边上的中线，则有AB BC AC AMk A B B C A C A M ====''''''''（k 为相似比）． M 'MA 'B 'C 'C BA图1如图2，ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有AB BC AC AHk A B B C A C A H ====''''''''（k 为相似比）． H 'H AB C C 'B 'A '图2如图3，ABC △与A B C '''△相似，AD 是ABC △中BAC ∠的角平分线，A D ''是A B C '''△中B A C '''∠的角平分线，则有AB BC AC ADk A B B C A C A D ====''''''''（k 为相似比）．D 'D A 'B C 'C B A图34．相似三角形周长的比等于相似比． 如图4，ABC △与A B C '''△相似，则有AB BC ACk A B B C A C ===''''''（k 为相似比）．应用比例的等比性质有AB BC AC AB BC ACk A B B C A C A B B C A C ++====''''''''''''++．A 'B 'C 'CB A图45．相似三角形面积的比等于相似比的平方．如图5，ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有AB BC AC AHk A B B C A C A H ====''''''''（k 为相似比）．进而可得21212ABC A B C BC AH S BC AH k S B C A H B C A H '''⋅⋅==⋅=''''''''⋅⋅△△．H 'H AB C C 'B 'A '图5四、相似三角形的判定1．平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． 2．如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．可简单说成：两角对应相等，两个三角形相似．3．如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．4．如果一个三角形的三条边与另一个三角形的你对应成比例，那么这两个三角形相似．可简单地说成：三边对应成比例，两个三角形相似．5．如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．6．直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似（常用但要证明）7．如果一个等腰三角形和另一个等腰三角形的顶角相等或一对底角相等，那么这两个等腰三角形相似；如果它们的腰和底对应成比例，那么这两个等腰三角形也相似．五、相似证明中的比例式或等积式、比例中项式、倒数式、复合式证明比例式或等积式的主要方法有“三点定形法”． 1．横向定型法欲证AB BCBE BF=，横向观察，比例式中的分子的两条线段是AB 和BC ，三个字母A B C ，，恰为ABC △的顶点；分母的两条线段是BE 和BF ，三个字母B E F ，，恰为BEF △的三个顶点．因此只需证2．纵向定型法欲证AB DEBC EF=，纵向观察，比例式左边的比AB 和BC 中的三个字母A B C ，，恰为ABC △的顶点；右边的比两条线段是DE 和EF 中的三个字母D E F ，，恰为D E F △的三个顶点．因此只需证ABC DEF △∽△． 3．中间比法由于运用三点定形法时常会碰到三点共线或四点中没有相同点的情况，此时可考虑运用等线，等比或等积进行变换后，再考虑运用三点定形法寻找相似三角形．这种方法就是等量代换法．在证明比例式时，常用到中间比．比例中项式的证明，通常涉及到与公共边有关的相似问题。

相似三角形的性质【知识梳理】判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

（简述为：两角对应相等，两三角形相似）判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。

（简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似）判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。

（简述为：三边对应成比例，两三角形相似）【例题精讲】1、如图，∠ABD=∠C，AD=2， AC=8，求AB。

2、如图，在四边形ABCD中，∠B=∠ACD，AB=6，BC=4，AC=5，CD=172，求AD的长。

3、一根1.5米长的标杆直立在水平地面上，它在阳光下的影长为2.1米，此时一棵水衫树的影长为10.5米，这棵水衫树高为( )A．7.5米 B．8米 C．14.7米 D．15.75米4、如图是一面镜子，则有__ _∽__ __。

（第4题） （第5题）5、如图，某测量工作人员眼睛A 与标杆顶端F 、电视塔顶端E 在同一直线上，已知此人眼睛距地面1.6米，标杆高为3.2米，且BC ＝1米，CD ＝5米，求电视塔的高ED 。

A 【夯实基础】1．如图所示，矩形ABCD ，E 、F 分别为CD 、BC 上的点，且∠AEF=90°，则一定有（ ） A ．△ADE ∽△ECF B ．△AEF ∽△ABF C ．△EFC ∽△AFE D ．△ADE ∽△AEF2．如图，已知ABC ∆，P 是边AB 上的一点，连结CP ，以下条件中不能判定ABC ACP ∆∆~的是（ ） A 、B ACP ∠=∠ B 、ACB APC ∠=∠ C 、AC 2=AP •AB D 、BCABCP AC =APBC3．已知：如图，ABCD是正方形，E是CD的中点，P是BC边上的一点，下列条件中，不能推出ABP∆与ECP∆相似的是（）A、EPCAPB∠=∠ B、90=∠APE C、P是BC的中点 D、BP：BC=2：34．ABC∆中，D是AB上一个固定点，E是AC上的一个动点．若使ADE∆与ABC∆相似，则这样的点E有（） A、1个 B、2个 C、3个 D、很多5．如图，若点D为ABC∆中AB边上一点，且ACDABC∠=∠，AD=2cm，BC=4cm，则AC的长为（）A、12cmB、22cmC、3cmD、2cm6．下列说法①所有等腰三角形都相似；②有一个底角相等的两个等腰三角形相似；③有一个角相等的两个等腰三角形相似；④有一个角为60°的两个直角三角形相似，其中正确的说法是（）A．②，④ B．①，③ C．①，②，④ D．②，③，④7．△ABC中，D是AB上一固定点，E是AC上的一个动点，若使△ADE与△ABC相似，则这样的点E有（）。

三角形相似的性质在我们的数学世界中，三角形是一个非常基础且重要的几何图形。

而三角形相似，则是三角形之间一种特殊的关系，它具有一系列独特而有趣的性质。

接下来，就让我们一起深入探索三角形相似的性质。

首先，我们来明确一下什么是三角形相似。

如果两个三角形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个三角形就被称为相似三角形。

相似三角形就好像是彼此的“放大版”或者“缩小版”，但它们的形状保持不变。

三角形相似的一个重要性质是对应角相等。

这意味着，如果三角形ABC 与三角形 A'B'C'相似，那么角 A 等于角 A'，角 B 等于角 B'，角 C 等于角 C'。

比如说，有两个相似的直角三角形，它们的直角角度始终都是 90 度，其他两个锐角的度数也分别相等。

再来说说对应边成比例这个性质。

假设三角形 ABC 相似于三角形A'B'C'，那么边 AB 与边 A'B'的比值，等于边 AC 与边 A'C'的比值，也等于边 BC 与边 B'C'的比值。

例如，一个小三角形的三条边分别是 3、4、5，一个大三角形与之相似，且对应边的比例为 2:1，那么大三角形的三条边就分别是 6、8、10。

相似三角形的对应高的比等于相似比。

什么是对应高呢？就是从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点和垂足之间的线段就是这条边上的高。

假设两个相似三角形的相似比为 k，那么它们对应边上的高的比也是 k。

比如说，一个三角形的高为 4，另一个与其相似的三角形的相似比为 3:1，那么相似三角形对应的高就是 12。

相似三角形的对应中线的比也等于相似比。

中线是连接三角形顶点和它的对边中点的线段。

同样，相似比为多少，对应中线的比就是多少。

相似三角形的对应角平分线的比同样等于相似比。

角平分线是将一个角平均分成两个相等角的射线。

还有一个很实用的性质是相似三角形的周长比等于相似比。

相似三角形的性质一、知识梳理1、相似三角形 相等、 成比例；2、相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线、周长的比都等于 ；3、相似三角形的面积比等于 。

如：（1）已知两个相似三角形的相似比为1∶2，那么对应高的比是 （2）已知两个相似三角形的相似比为2∶3，那么面积比为 .（3）已知两个相似三角形的面积比为1:9，那么它们的周长比是 。

（4）已知两个相似三角形的相似比为1∶5，较小的三角形的周长为4，那么另一个三角形的周长为 .（5）在△ABC 中，D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE∥BC，13DE BC=，那么:ADE ABC S S △△= 。

二、典型例题例1：111C B A ABC ∆∆和中，,的高是和ABC BE AD ∆且的高是和,1111111C B A E B D A ∆1C C ∠=∠，1111B A AB D A AD =. 求证：1111E B BED A AD =.例2：如图，平行四边形ABCD 中，E 是BC 上一点，AE 交BD 于点F ，已知BE ∶EC=3∶1，18=∆BFE S ,求DFA S ∆E1C1D1B1A1DECBA例3：如图，锐角△ABC 的边BC 长为8，高AH 位6，点D 、E 在AB 、AC 上，DE∥BC ，四边形DEFG 是正方形，且FG 在DE 的下方，它的边长为x ，正方形DEFG 与△ABC 公共部分面积为S 。

（1）当正方形DEFG 的边FG 恰好落在BC 上时，求正方形的面积； （2）当FG 不落在BC 上时，求S 关于x 的函数关系式和定义域。

三、巩固练习：1、如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线BD 分成两部分面积的比是1：2，EF 是中位线，则被EF 分成的两部分面积之比为S AEFD ：S BCFE =（ ） A 、3：4 B 、4：5 C 、5：7 D 、7：92、如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 相交于点O ，若S △AOD :S △ACD =1：3，则S △AOD :S △BOC 等于（ ） A 、1：6B 、1：3C 、1：4D 、1：63、如图，DE ∥BC ，DE 把△ABC 的面积分成相等的两部分，那么DE ：BC 等于（ ） A 、1：2B 、1：4C 、2：2D 、2：24、如图，将△ABC 的高AD 三等分，过每一个分点作底边的平行线，这样把三角形分成三部分，设这三部分的面积为S 1，S 2，S 3，则S 1：S 2：S 3=（ ） A 、1：2：3 B 、2：3：4 C 、1：3：5 D 、3：5：75、如图，在△ABC 中，∠CBA=90°，BD ⊥AC 于D ，则下面关系式中错误的是（ ） A 、AB 2=A D ·AC B 、BD 2=AD ·DC C 、AB 2=AC 2－BC 2 D 、AB 2=AC ·DC6、如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，PQMN 为正方形，且顶点在△ABC 各边上，BC=60cm ，AD=40cm ，则正方形边长为（ ）A 、12cmB 、16cmC 、20cmD 、24cmBCADGE FPH7、如果两个相似三角形的对应边的比是4：5，周长的和为18cm ，那么这两个三角形的周长分别为_______________。