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3.1.1 方程的根与函数的零点
课前导引
问题导入
求函数f(x)=lnx+2x-6的零点个数.
解析：用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表（如下表）和图象（如下图）
x 1 2 3 4 5
f(x) -4 -1.306 9 1.098 6 3.386 3 5.609 4
x 6 7 8 9
f(x) 7.791 8 9.945 9 12.079 4 14.197 2
由表和图可知，f(2)＜0,f(3)＞0，即f(2)·f(3)＜0，说明这个函数在区间(2,3)内有
零点.由于函数f(x)在定义域(0,+∞)内是增函数，所以它仅有一个零点.
你认为如何判断一个函数零点的个数？
知识结构
1.对于函数y=f(x),把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.函数y=f(x)的零点即方
程f(x)=0的根,也即函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标.
2.方程f(x)=0有实根函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点.
3.如果函数y=f(x)在区间［a,b］上的图象是连续不断的一条曲线,并且f(a)·f(b)＜0,那
么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程
f(x)=0的根.
广东省电白县高中数学第三章函数的应用3.1.1 方程的根与函数的的零点教案新人教A版必修1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（广东省电白县高中数学第三章函数的应用3.1.1 方程的根与函数的的零点教案新人教A版必修1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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方程的根与函数的零点一、教学内容分析本节课选自《普通高中课程标准实验教课书数学I必修本（A版）》第94-95页的第三章第一课时3。
1.1方程的根与函数的的零点。
函数与方程是中学数学的重要内容，既是初等数学的基础，又是初等数学与高等数学的连接纽带。
在现实生活注重理论与实践相结合的今天，函数与方程都有着十分重要的应用，再加上函数与方程还是中学数学四大数学思想之一,因此函数与方程在整个高中数学教学中占有非常重要的地位.就本章而言,本节通过对二次函数的图象的研究判断一元二次方程根的存在性以及根的个数的判断建立一元二次方程的根与相应的二次函数的零点的联系,然后由特殊到一般，将其推广到一般方程与相应的函数的情形．它既揭示了初中一元二次方程与相应的二次函数的内在联系，也引出对函数知识的总结拓展.之后将函数零点与方程的根的关系在利用二分法解方程中(3。
1。
2）加以应用,通过建立函数模型以及模型的求解（3.2)更全面地体现函数与方程的关系，逐步建立起函数与方程的联系．渗透“方程与函数" 思想。
总之，本节课渗透着重要的数学思想“特殊到一般的归纳思想" “方程与函数"和“数形结合”的思想，教好本节课可以为学好中学数学打下一个良好基础,因此教好本节是至关重要的。
3.1.1方程的根与函数的零点
一、教材分析
《方程的根与函数的零点》是人教版《普通高中课程标准实验教科书》A版必修1第三章《函
数的应用》第一节的第一课时，主要内容是函数零点的概念、函数零点与相应方程根的关系，
函数零点存在性定理，是一节概念课．
本节课是在学生学习了基本初等函数及其相关性质，具备初步的数形结合的能力基础之
上，利用函数图象和性质来判断方程的根的存在性及根的个数，从而掌握函数在某个区间上存
在零点的判定方法，为下节“用二分法求方程的近似解”和后续学习奠定基础．因此本节内容
具有承前启后的作用，地位至关重要．
二、教学目标
【知识与技能】理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程要的关系，
掌握零点存在的判定条件．
【过程与方法】零点存在性的判定．
【情感、态度、价值观】在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值．
教学重点难点：
重点 零点的概念及存在性的判定．
难点 零点的确定．
三、学情分析
高一学生已经学习了函数的概念，对初等函数的性质、图象已经有了一个比较系统的认
识与理解．特别是对一元二次方程和二次函数在初中的学习中已是一个重点，对这块内容已经
有了很深的理解，所以对本节内容刚开始的引入有了很好的铺垫作用，但针对高一学生，刚进
人高中不久，学生的动手，动脑能力，以及观察，归纳能力都还没有很全面的基础上，在本节
课的学习上还是会遇到较多的困难，所以我在本节课的教学过程中，从学生已有的经验出发，
环环紧扣提出问题引起学生对结论追求的愿望，将学生置于主动参与的地位．
三 教学环节设计
【教学过程】
（一）创设情境，感知概念
实例引入
解下列方程并作出相应的函数图像
2x-4=0;y=2x-4
（二）探究1：观察几个具体的一元二次方程的根与二次函数，完成下表：
填空：
方程 x2-2x-3=0 x2-2x+1=0 x2-2x+3=0
根 x1=-1，x2=3 x1=x2=1 无实数根
函数 y=x2-2x-3 y=x2-2x+1 y=x2-2x+3
图象
图象与x轴的交点 两个交点：
(-1,0)，(3,0)
一个交点：(1,0) 没有交点
问题1：从该表你可以得出什么结论？
归纳：
判别式Δ Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
方程ax2+bx+c=0 (a>0)的根 两个不相等的实数根x1、x2 有两个相等的
实数根x1 = x2
没有实数根
函数y=ax2+bx+c
(a>0)的图象
函数的图象与x轴的交点 两个交点： (x1,0)，(x2,0) 一个交点：
(x1,0)
无交点
问题2：一元二次方程的根与相应的二次函数的图象之间有怎样的关系？
学生讨论，得出结论：一元二次方程的根就是函数图象与x轴交点的横坐标．
问题3：其他的函数与方程之间也有类似的关系吗？
师生互动：由一元二次方程抽象出一般方程，由二次函数抽象出一般函数，得出一般的结论：
方程f(x)＝0有几个根，y＝f(x)的图象与x轴就有几个交点，且方程的根就是交点的横坐标．
（三）辨析讨论，深化概念
概念：对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
即兴练习：函数f(x)=x(x2－16)的零点为 （ D ）
A．(0，0)，(4，0) B．0，4 C．(–4，0)，(0，0)，(4，0) D．–4，0，4
说明：①函数零点不是一个点，而是具体的自变量的取值．
②求函数零点就是求方程f(x)＝0的根．
问题4：函数的零点与方程的根有什么共同点和区别？
（1）联系：①数值上相等：求函数的零点可以转化成求对应方程的根；
②存在性一致：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数
y＝f(x
)有零点．
（2）区别：零点对于函数而言，根对于方程而言．
探究2：如何求函数的零点？
练习1：求下列函数的零点
(1)y=3x- 3
(2)y=log2x
小结：求函数零点的步骤：（1）令f(x)=0；（2）解方程f(x)=0；（3）写出零点.
练习2：函数f(x)=x2-4的零点为（ ）
A．(2，0) B．2 C．(–2，0)，(2，0) D．–2，2
练习3：求下列函数的零点
（1）f(x)=-x2+3x+4
（2）f(x)=lg(x2+4x-4)
小结：（1）求函数的零点可以转化成求对应方程的根；
（2）零点对于函数而言，根对于方程而言.
（四）实例探究，归纳定理
零点存在性定理的探索．
问题5：结合图像，试用恰当的语言表述如何判断函数在某个区间上是否存在零点？
观察函数的图象：
①在区间(a，b)上___(有/无)零点；f(a)·f(b) ___ 0（“＜”或“＞”）．
②在区间(b，c)上___(有/无)零点；f(b)·f(c) ___ 0（“＜”或“＞”）．
③在区间(c，d)上___(有/无)零点；f(c)·f(d) ___ 0（“＜”或“＞”）．
完成课本87P的探究，归纳函数零点存在的条件.
c b d a
x
O
y
零点存在性定理：
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，
那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点．即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是
方程f(x)＝0的根．
即兴练习：下列函数在相应区间内是否存在零点？
（1）f(x)=log2x，x∈[12，2]； （2）f(x)=ex-1+4x-4，x∈[0，1]．
（五）正反例证，熟悉定理
定理辨析与灵活运用
例1 判断下列结论是否正确，若不正确，请使用函数图象举出反例：
（1）已知函数y=f(x)在区间[a，b]上连续，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在区间(a，b)内有
且仅有一个零点． （ × ）
（2）已知函数y=f(x)在区间[a，b]上连续，且f(a)·f(b)≥0，则f(x)在区间(a，b)内
没有零点． （ × ）
（3）已知函数y=f(x)在区间[a，b]满足f(a)·f(b)<0，则f(x)在区间(a，b)内存在零点．
（ × ）
例题讲解
例2：求函数f(x)＝lnx＋2x－6的零点的个数，并确定零点所在的区间[n，n+1](n∈Z)．
解法1（借助计算工具）：用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表和图象．
x
1 2 3 4 5 6 7 8 9
f(x
) -4.0 -1.3 1.1 3.4 5.6 7.8 9.9 12.1 14.2
由表或图象可知，f (2)<0，f (3)>0,则f (2) f (3)<0，这说明函数f(x)在区间(2，3)内有
零点．
问题8：如何说明零点的唯一性？
又由于函数f(x)在(0，+∞)内单调递增，所以它仅有一个零点．
解法2（估算）：估计f(x)在各整数处的函数值的正负，可得如下表格：
x
1 2 3 4
f(x
) － － ＋ ＋
结合函数的单调性，f(x)在区间(2，3)内有唯一的零点．
解法3（函数交点法）：将方程lnx＋2x－6=0化为lnx=6-2x，分别画出g(x)=lnx与h(x)=6-2
x
的草图，从而确定零点个数为1．继而比较g(2)、h(2)、g(3)、h(3)等的大小，确定交点所在
的区间，即零点的区间．
由图可知f(x)在区间(2，3)内有唯一的零点．
练习：
（1）已知函数f (x)的图象是连续不断的，有如下的x，f(x)对应值表：
x
1 2 3 4 5 6 7
f(x
) 23 9 －7 11 －5 －12 －26
那么函数在区间[1，6]上的零点至少有 （ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
（六）课堂小结（学生谈谈本节课学习的收获）
（七）布置作业：习题3.1A组 2
6
O
x
y
2 1 3 4
g(x)
h(x)
