二项式定理第一课时教学设计

1.3 二项式定理 第一课时一、教学目标 1．核心素养通过二项式定理的推导过程的学习，提高学生的归纳推理能力，树立由特殊到一般的数学思想，增强学生的逻辑推理能力. 2．学习目标(1)初步掌握求二项展开式.(2)熟练运用通项公式求二项展开式中指定的项（如常数项、有理项）. 3．学习重点熟练运用通项公式求二项展开式中指定的项（如常数项、有理项）. 4．学习难点熟练运用通项公式求二项展开式中指定的项（如常数项、有理项）. 二、教学设计 （一）课前设计1.预习任务（阅读教材完成）1.二项式定理：=+nb a ）（ ； 2.(1)n b a ）（+的二项展开式中共有 项； (2)二项式系数： ；(3)二项展开式的通项公式：=+1r T ，它是展开式的第 项. 2．预习自测1.二项式91()x x-的展开式的第3项是( )A ．－84x 3B ．84x 3C ．－36x 5D ．36x 5 解：D2．(1＋x )7的展开式中x 2的系数是( ) A ．42 B ．35 C ．28 D ．21 解：D3．在62()x x-的二项展开式中，常数项等于________．解：－160 （二）课堂设计1．知识回顾(1)错误！未找到引用源。

；(2)错误！未找到引用源。

(3)错误！未找到引用源。

2．问题探究问题探究一探究归纳，形成二项式定理●活动一回顾旧知，回忆展开式(a+b)4=(a+b) (a+b) (a+b) (a+b)展开式中的各项是什么？思考：ab3是怎样来的？有多少个？引导学生追究每个系数的来源，借助于组合的思想找到规律，从中体会到探索的乐趣.归纳结论：由上面的探索得到：(a+b)4=C04a4+C14a3b+C24a2b2+C34ab3+C44b4●活动二大胆猜想(a+b)n展开式中的各项是什么？归纳：一般对于任意的正整数n,有：(a+b)n=C0n a n+C1n a n-1b+…+C r n a n-r b r…+C n n b n(n∈N*)并指出：①这个式子所表示的定理叫二项式定理.右边的多项式叫(a+b)n的二项展开式.各项系数C r n（r=0、1、2、…、n）叫做二项式系数.②式子中的C r n a n-r b r叫做二项展开式的通项.记做：T r+1=C r n a n-r b r.上述结论是从分析了少数特例后，得出了一般的结论，这种方法叫不完全归纳法，还需用数学归纳法证明，但这里教材不要求证明了.问题探究二利用二项式定理能解决问题？1.求二项式的指定项或其系数例1.（1）(1＋x)7的展开式中x2的系数是( )A．42 B．35 C．28 D．21【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】解：选D 依题意可知，二项式(1＋x)7的展开式中x2的系数等于C27×15＝21.（2）在(2x2－1x)5的二项展开式中，x的系数为( )A．10 B．－10 C．40 D．－40【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】解：D.(2x2－1x)5的展开式的通项为T r＋1＝5rC(2x2)5－r(－1x)r＝5rC25－r(－1)r x10－3 r，令10-3r＝1得，r＝3，∴T4＝35C22(－1)3x＝－40x.∴x的系数是－40.例2.（1）在62()x x-的二项展开式中，常数项等于________．【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】解：-160.由通项公式得T r ＋1＝6r C x 6－r 2()r x-＝(－2)r 6r C x 6－2r，令6－2r ＝0，解得r ＝3，所以是第4项为常数项，T 4＝(－2)336C ＝－160.(2)已知8()ax x-展开式中常数项为1 120，其中实数a 是常数，则展开式中各项系数的和是( )A ．28B ．38C ．1或38D ．1或28【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】解：选C 由题意知48C ·(－a )4＝1 120，解得a ＝±2，令x ＝1，得展开式各项系数和为(1－a )8＝1或38.例3.(1) 在(x －2)5y)4的展开式中x 3y 2的系数为________． 【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】 解：480 (x －2)5的展开式的通项为T r ＋1＝5r C x 5－r (－2)r ，令5－r ＝3得r ＝2，得x 3的系数25C (－2)2＝40；y)4的展开式的通项公式为T r ＋1＝4r C 4－ry r ，令r ＝2得y 2的系数24C 2＝12，于是展开式中x 3y 2的系数为40×12＝480.(2) 在(x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)的展开式中，含x 4的项的系数是________． 【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】解：－15.从4个因式中选取x ，从余下的一个因式中选取常数，即构成x 4项，即－5x 4－4x 4－3x 4－2x 4－x 4，所以x 4项的系数应是－1－2－3－4－5＝－15. 3．课堂总结 【知识梳理】二项式定理及其通项公式1.二项式定理：01()()n n n r n r rn nn n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈2.(1)nb a ）（+的二项展开式中共有错误！未找到引用源。

二项式定理（第一课时）教案高二数学备课组教学目的：掌握二项式定理及其推导方法，二项展开式的有关特征，并能用它们计算和论证一些简单的问题。

教学重点：二项式定理、二项展开式、通项公式教学过程：一、新课引入有 n 个口袋，每个口袋都同样装有一红一黑两个小球，现依次从这些口袋中各取出一个小球，共有_____种不同的取法；“无黑” (全红) 的取法有_____种；“恰有1个黑球”的取法有_____种“恰有2个黑球”的取法有_____种“恰有r 个黑球”的取法有____种“全是黑球”的取法有______种.“取球”的不同结果共有_________个.()()()...()n a b a b a b a b +=+++展开式共有________项展开式中n a 的系数是______展开式中11n a b - 的系数是_______展开式中22n a b -的系数是_______展开式中n r r a b - 的系数是________展开式中 n b 的系数是______所以 0111*()......()n n n r n r r n n n nn n a b C a C a b C a b C b n N --+=+++++∈二、 二项式定理这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做 ()n a b + 的二项展开式, 其中的系数 r n C 叫做二项式系数， 展开式中的r n r r n C a b -叫做二项式的通项，用 1r T + 表示，即通项公式为1r n r r r n T C a b -+=(0,1,2,...,)r n =表示展开式的第 1r + 项注意: (1)公式中的,a b 可以是单项式，也可以是多项式 .(2)公式中,a b 的顺序不能颠倒二项展开式的性质(1)项数：展开式共有 1n + 项 (2) 系数：依次为01,,...,...,r n n n n n C C C C ，这些系数称为二项式系数注意：展开式中某一项的系数和该项二项式系数是不同的概念.(3) 指数：a 的指数从n 起依次减 1直到 0，b 的指数从0起依次增 1直到 n ，每项中 ,a b 的指数和为n .三、 例题分析例1 写出41(1)x+的展开式例2 求12()x a -的展开式的倒数第四项例3 试问822()x x -的展开式中有没有含4x 的项，若有，写出该项；若没有，说明理由四、学生练习1、 求5(2)a b +的展开式2、 10(1)x -的第六项系数是__________3、6展开式的第四项是__________, 二项式系数是a b(2)__________,系数是__________五、小结1、二项式定理是初中多项式乘法的延伸，又是后继学习概率的基础，要理解和掌握好展开式的规律，利用它对二项式展开，进行相应的计算与证明2、要注意“系数”、“二项式系数”等概念的区别与联系，对二项式展开式的特征要分析清楚，灵活正用、逆用展开式作业：P113 2. 4(1) (2))。

1.3.1 二项式定理课前预习学案预习目标：通过分析(a+b)2 、（a+b ）3的展开式，猜测归纳得出二项式定理;掌握二项式定理的公式特征。

问题1：利用多项式乘以多项式运算法则，展开下列三个式子：（要求：按a 的次幂从高到低排列各项）（a+b ）2=（a+b ）3 =问题2：观察（a+b ）2，（a+b ）3 三个展开式各自的特点,试写出：（a+b ）n 展开有 项相加，每一项都是 次单项式。

每一项中字母a 的指数由 递 到 。

每一项中字母b 的指数由 递 到 。

那每一项前的系数有什么规律呢？问题3：猜想:（a+b ）n 的展开式中的每一项有哪些？（a+b ）n 展开式中的项有：问题4：在（a+b ）2的展开式中22,,b ab a 是怎么来的？问题5：再次猜想:（a+b ）n 的展开式又是什么呢？（a+b ）n =(利用2-3分钟小组交流上面问题，展示3分钟)课内探究学案一、学习目标：知识：1.掌握二项式定理及二项展开式的通项公式，并能熟练地进行二项式的展开及求解某些指定的项。

过程：2.通过探索二项式定理，培养学生观察问题发现问题,归纳推理问题的能力。

情感：3.激发学生学习兴趣、培养学生不断发现，探索新知的精神，渗透事物相互转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点，并通过数学的对称美，培养学生的审美意识。

二、学习重难点：教学重点：（1）二项式定理及通项公式的运用（2）展开式中某一项的系数与二项式系数的区别教学难点：二项定理的推导及运用三、学习过程：1.新课讲授：(5分钟)二项式定理证明二项式定理。

归纳小结：二项式定理的公式特征（1）项数：_______;（2）次数：字母a按降幂排列，次数由____递减到_____；字母b按升幂排列，次数由____递增到______；（3）二项式系数：下标为_____，上标由_____递增至_____；（4）通项:T k+1=__________；指的是第k+1项，该项的二项式系数为______；（5）公式所表示的定理叫_____________，右边的多项式叫做（a＋b）n的二项展开式。

二项式定理第一课时教案一、教材分析二项式定理是选修2－3的1.3节的第一课时，本节课是在学习了排列组合的基础上学习的，为后面学习概率中的二项分布奠定了基础，所以它是承上启下的一节课。

二项式定理不仅能解决某些整除性、近似计算问题的一种方法，并能解释集合的子集个数问题；再者，二项式定理不仅仅是初中多项式乘法的拓展，它又是学生进一步学习数学分析中函数级数展开式的一个特例，在组合理论、开高次方、高阶等差数列求和中有广泛的应用，因此这节课在高中数学中有着十分重要的作用。

通过本课的教学，进一步提高学生的归纳演绎能力，让学生感受体验数学的简洁美、和谐美和对称美。

二、学情分析学生已经学习了计数原理、排列组合及合情推理的相关知识，已经具备了一 定的归纳演绎和分析事件方法种数的能力。

但是学生对数学严谨性的把握还不够，研究问题的方法和能力有待提高，有些学生容易粗心，对细节知识的把握还不够好。

本节课二项式定理的推导运用了先猜想后证明，由特殊到一般的研究问题的思想方法。

因此本堂课采用小组讨论学习，让学生在相互讨论的过程中直接或间接地感受和体验知识的产生、发展和演变过程，提高学生分析解决问题的能力。

三、教学目标：1、知识技能目标：（1）理解二项式定理是代数乘法公式的推广（2）理解并掌握二项式定理，能利用计数原理证明二项式定理2、过程与方法目标通过学生经历二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、归纳的能力，以及化归的意识与方法迁移的能力，体会归纳－猜想－论证的思想方法,发展探究能力.3、情感、态度、价值观目标培养学生自主探究意识，合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学语言的简捷和严谨四、教学重点、难点重点：用两个计数原理分析3)(b a +的展开式得到二项式定理；掌握二项展开式的通项公式；能应用它解决一些简单问题。

难点：用两个计数原理分析推导3)(b a +的展开式；用两个计数原理证明二项式定理五、教学过程（一）提出问题：引入：二项式定理研究的是n b a )(+的展开式。

二项式定理第一课时教案一、教材分析1、地位和作用：二项式定理的内容实际上是初中学习的多项式乘法的继续，它所研究的是一种特殊的多项式---------二项式的乘方的展开式．这一小节与不少内容都有着密切联系，特别是它在本章学习中起着承上启下的作用．学习本小节的意义主要在于：（1）本小节是学习后面的概率知识以及进一步学习概率统计的准备知识．（2）由于二项式系数都是一些特殊的组合数，利用二项式定理可得到关于组合数的一些恒等式，从而深化对组合数的认识．（3）基于二项展开式与多项式乘法的联系，本小节的学习可对初中学习的多项式的变形起到复习、深化的作用．（4）二项式定理是解决某些整除性、近似计算等问题的一种方法．2、教学目标（1）知识教学点：使学生理解和掌握二项式定理及二项式系数的性质，准确写出通项公式，并能运用通项公式解决有关问题，能区分某项的二项式与某项系数这两种说明，并能运用于计算或证明一些简单的问题．（2）能力训练点：通过揭示二项式定理是代数中乘法公式的推广和提出二项式定理的推导过程，理解从特殊到一般的思维方法，培养学生的观察归纳能力、抽象思维能力和逻辑思维能力．（3）美育渗透：通过二项式定理的学习感受数学的对称美、和谐美与符号应用的简洁美．3、教学重点与难点重点是二项式定理、二项式系数的性质及展开式的通项公式．会利用二项展开式及通项公式解有关问题．难点是二项式定理猜想及应用．二、学法指导观察、概括、总结、归纳、类比联想是学法指导的重点．让学生观察、思考后，总结、概括、归纳的知识更有利于学生掌握；为了加深知识理解、掌握和更灵活地运用，运用类比联想去主动的发现问题、解决问题，从而更系统地掌握所学知识，形成新的认知结构和知识网络，让学生真正地体会到在问题解决中学习，在交流中学习． 三、教学过程：1. 复习引入引例：4个容器，每个容器中放标有“a”、“b”的球各一个，每次从4个容器中各取一个球，有多少种结果？每种结果有多少种取法？分析：取法及取法种数：取四个a 球（即不取b 球）：)(4404C C =；取三个a 球、一个b 球（取一个b 球）：)(3414C C =；取二个a 球、二个b 球（取二个b 球）：)(2424C C =；取一个a 球、三个b 球：)(1434C C =；取四个b 球：)(0444C C = 2. 由)()(1b a b a +=+=+2)(b a +2a +ab 22b=+3)(b a +3a +b a 23+23ab 3b联想=+4)(b a ))()()((b a b a b a b a ++++展开后，它的各项是什么呢？……容易看到，等号右边的积的展开式的每一项，是从每个括号里任取一个字母的乘积，因而各项都是4次式，即展开式应有下面形式的各项：432234,,,,b ab b a b a a在上面4个括号中：每个都不取b 的情况有1种，即04C 种，所以4a 的系数是04C ；恰有1个取b 的情况下有14C 种，所以b a 3 的系数是14C ；恰有2个取b 的情况下有种24C ，所以22b a 的系数是24C ；恰有3个取b 的情况下有种34C ，所以3ab 的系数是34C ；4个都取b 的情况下有种44C ，所以4b 的系数是44C ； 因此4)(b a +＝+404a C +b a C 314+2224b a C +334ab C 444b C＝+4a +b a 34+226b a +34ab 4b评述：求4)(b a +的展开式是本课的难点之一. 在二项式教学中，它起到承上启下的作用. 在这里，通过设计学生比较熟悉的“取球”问题，联系、类比到4)(b a +的展开式，既分解了难度，又为二项式定理教学打下基础．3. 猜想二项式定理二项展开式各项由系数和字母组成，下面分别探究它们的规律 由4)(b a + 系数 ——C 04，C 14，C 24，C 34，C 445)(b a + 系数 ——C 05，C 15，C 25，C 35，C 45，C 55你能猜想n b a )(+展开式的系数吗？n b a )(+——C n 0，C n 1，C n 2……C nn关于字母及其幂指数的规律：同学们通过观察4)(b a +展开式，能否发现a 、b 的结构规律？a 的指数由4逐一减少到0；而b 的指数内0逐一增加到4. 每一项a 、b 的指数和都是4，即4a ，b a 3，22b a ，3ab ，4b .据此，请说出5)(b a +的展开式.=+5)(b a +505a C +b a C 415+2325b a C +3235b a C +445ab C 555b C 那么在n b a )(+的展开式中，大家能猜想出a 、b 的指数规律吗？a 、b 的指数规律——a 的指数，从n 逐一减少到0，且等于组合数的下标－上标；b 的指数，从0逐一增加到n ，且等于组合数的上标. 每一项a 的指数与b 的指数之和等于n .猜想：=+n b a )(+nna C 0+-b a n n C 11++- 222b a n n C ++- r r n r n b a C n n n b C . 一般地，对于任意正整数n ，上面的关系式也成立，即有=+n b a )(+n n a C 0+-b a n n C 11++- 222b a n n C ++- r r n rn b a C nnn b C . )(*N n ∈这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做n b a )(+的二项展开式．其中各项的系数),3,2,1,0(n r C rn =叫做二项式系数．式中的r r n r nr b a C T -+=1叫做二项展开式的通项，为展开式的第1+r 项．在这里，教师指出，上面的定理严格来说是必须证明的，由于知识的局限，以后再证明．评述：认识事物的规律，遵循由特殊到一般的归纳过程. 在这里，考察二项展开式的系数和字母结构，猜想二项式定理，就是这样的认识过程. 归纳思想是一个重要的数学思想，提高学生的归纳能力，是本课教学的一个重点.4．.二项展开式有以下特征： （1）共有1+n 项．（2）各项里a 的指数从n 起依次减小1，直到0为止；b 的指数从0起依次增加1，直到n 为止．每一项里a 、b 的指数和均为n ．（3）二项式系数：C r n，即C n0，C n1，……，Cn n，与首末等距离的两项的二项式系数相等.但二项式系数与二项展开式系数是有区别的． （4）对通项要注意以下几点：①它表示二项展开式中的任意项，只要n 和r 确定，此项也随之确定． ②公式表示二项展开式中的第r+1 项，而不是第r 项． ③公式中a 、b 的位置不能颠倒，它们的系数和一定为n ．另外，要注意展开式的第r+1 项的二项式系数C r n 与第r+1 项的系数是不同的概念． 5. 公式的初步应用例1 .不展开10)2(x x-；①写出该二项展开式的通项公式；②求展开式中的第三项；③求倒数第二项；④求常数项；⑤21x 项的系数；⑥21x 项的二项式系数； 4)12(xx -例3.求72)2)(1(-+x x 的展开式3x 的系数．思考题： 求82)1(x x ++展开式中5x 的系数．四、总结提炼引导学生小结：1. 知识方面：本课我们用由特殊到一般，又由一般到特殊的归纳演绎的方法学习二项式定理．二项式定理的规律突出表现在二项式系数的规律和字母的规律．2. 能力方面：掌握了研究问题的一般方法．主要方法有：观察、发现、归纳、总结、类比等．数学思想和方法是数学的灵魂. 本课教学突出归纳思想．3. 二项式定理体现了数学美：简洁美、和谐美、对称美． 五、板书设计。

二项式定理（第1课时）一、内容和内容解析内容：二项式定理的发现与证明．内容解析：本节是高中数学人教A版选修2－3第一章第3节的内容．二项式定理是多项式乘法的特例，是初中所学多项式乘法的延伸，此内容安排在组合数模型之后，随机变量及其分布之前，既是组合计数模型的一个应用，也是为学习二项分布作准备．另外，由于二项式系数是一些特殊的组合数，由二项式定理可以导出一些组合数的恒等式，这对深化组合数的认识有好处。

由于二项式定理的发现，可以通过从特殊到一般进行归纳概括，在归纳概括过程中还可以用到组合计数模型，因此，这部分内容对于培养学生数学抽象与数学建模素养有着不可忽略的价值．教学中应当引起充分重视．二、学情分析这一堂课是面对高二学生。

学生已经初步具备了多项式乘法，同类项合并，排列计数原理，组合数计数原理以及归纳推理等知识储备。

能够在教师的引导下理解并掌握本节课中的推理演绎过程。

但是，学生的自我探究，归纳，分析的能力还有待提高。

三、课程学习目标（1）知识目标：使学生掌握二项式定理及推导方法，二项式展开式、通项公式的特点，并能利用二项式定理计算或证明一些简单问题。

（2）能力目标：在学生对二项式定理形成的参与讨论过程中，培养学生观察、猜想、归纳的能力，以及学生的化归意识及知识迁移能力。

（3）情感目标：通过二项式定理的学习，培养学生解决数学问题的兴趣和信心，让学生感受数学内在的和谐、对称美及数学符号应用的简洁美。

四、设计思想：本课采用合作探究、自主学习、合作交流的研究性学习方式，重点放在定理的形成、证明的探究及定理基本应用上，在知识的形成、发展过程中展开思维，逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力和创造性思维的能力。

目标解析：（1）二项式展开式是依多项式乘法获得的特殊形式，因此从多项式乘法出发去发现二项式定理符合学生的认知规律．但归纳概括的结论，如果不加以严格的证明不符合数学的基本要求．因此，在归纳概括的过程中，用好组合模型不仅可以更自然地得到结论，还能为证明二项式定理提供方法．（2）由于二项展开式是一个复杂的多项式．如果不把其看成一个数列的和，引进数列的通项帮助理解与应用，学生很难短期内对定理有深入的认识．因此，通过一些特例，建立二项式展开式与数列及数列和的联系，是达成教学目标的一个重要途径．（3）数学核心素养是数学教学的重要目标，但数学核心素养需要在每一堂课中寻找机会去落实．在二项式定理的教学中，从特殊的二项式展开式的特征归纳概括一般二项式展开式的规律是进行数学抽象教学的很好机会；同时利用组合计数模型证明二项式定理，以及利用二项式定理这个模型解决问题，也是进行数学建模教学的好机会．基于上述分析，本节课的教学重点定为：发现并证明二项式定理．五、教学重点与难点：重点： (1) 使学生参与并深刻体会二项式定理的形成过程，掌握二项式定理；（2）能正确应用二项式定理解决一些简单的问题。

二项式定理（1）教学设计教学目标：1.掌握二项式定理及二项展开式的通项公式 2.会利用二项展开式及通项公式解决相关问题。

教学重点：分析()nb a +展开式，得到二项式定理教学难点：用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项展开成单项式之和时各项系数的规律 教学过程 一．问题引入（1）今天是星期几？15天后的今天是星期几？ （2）你能猜出1008后的今天是星期几吗？【设计意图】从问题出发，抛出学生熟悉的问题，带学生进入情境，激发学生的求知欲，明确本课要解决的问题。

要解决这个问题就需要用到这节课要学习的二项式定理 二．引导探索，发现规律二项式定理要研究()nb a +的展开式()=++=+=++=+++=+)()()()()(2)(3423222b a b a b a b a b a b a b ab a b a=+100)(b a ？=+n b a )(？1.首先进行研究))()(()(3b a b a b a b a +++=+【设计意图】引导学生运用计数原理解决数学问题（1）项： )3,2,1,0( 33223 =-r b a b ab b a a r r（2）系数：CC C C C r 333231303分析b a 2))()(()(3b a b a b a b a +++=+从3个括号中取b 的种数（3）展开式3332232133033)(b ab b a a b a C C C C +++=+ 【探究1】=+4)(b a ？进一步猜想=+nb a )(？【设计意图】通过几个问题层层递进，分析各项产生的原理，分析各项的形式，项的系数个n n b a b a b a b a )())(()(+++=+（1）项：n r r n n n b b a b aa 1--（2）系数：C C C C nn rn n n 1分析rr n b a-n 个)(b a +相乘,其中r 个)(b a + 中选中b ，r n -个 )(b a +中选a ，得到系数C rn【探究2】=+nb a )(？【设计意图】通过类比得到nb a )(+ （3）展开式：r nn r r n r n n n n n n n n b b a b a b a a b a C C C C C +++++=+--- 222110)()(*N n ∈三．建构数学 二项式定理：r nn r r n r n n n n n n n n b b a b a b a a b a C C C C C +++++=+--- 222110)()(*N n ∈（1）项：共有1+n 项（2）次数：各项次数都等于n （3）二项式系数{} 3,2,1,0(∈r Cr n（4）二项展开式的通项：r r n rnr b a T C-+=1 【设计意图】进一步熟悉定理，学生归纳变式：nnn r r n rn n n n n n n nb b a b a b a a b a C C C C C )()()()()(22211-++-+-+-+=----n nn r r n n n n n x x b x x x C C C C C +++-++=+ 22210)()1(【探究3】你能猜出1008后的今天是星期几吗？()()111777171717171717178999910019811009901001000100100991991001001002982100199110001000100100100+⋅++⋅⋅+⋅=⋅⋅+⋅⋅++⋅⋅++⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=+=-C C C C C C C C C r r r被7除余1，是星期二 四．数学应用例1 利用二项式定理展开下列各式6))(1(b a -4)11)(2(x +5)1)(3(xx -【设计意图】熟悉二项展开式，培养学生的运算能力 例2 在7)21(x +展开式中，求 （1)第4项的二项式系数，系数呢？ （2)含3x 的项的系数【探究4】上面例1中第（3）问中求含3x 的项的系数【设计意图】（1）通过例题体会通项中系数与二项式系数的不同 （2）求二项式系数的一种方法是将二项式展开 五．课堂小结1.二项式定理：rnn r r n rn n n n n n n n b b a b a b a a b a C C C C C +++++=+--- 22211)( （1）二项式系数{} 3,2,1,0(∈r Cr n（2）二项展开式的通项：r r n rnr b a T C-+=1 2.思想方法（1）从特殊到一般的数学思维方式 （2）用计数原理分析二项式的展开过程 （3）类比、等价转换的思想 作业：5,132P 回顾反思。

二项式定理教案（第一课时）执教：杨生成 2014年5月一、教学目标：1．知识技能：（1）理解二项式定理是代数乘法公式的推广（2）理解并掌握二项式定理，能利用计数原理证明二项式定理2．过程与方法通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归的意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式3．情感、态度、价值观培养学生自主探究意识，合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学语言的简捷和严谨二、教学重点、难点重点：用计数原理分析3)(b a +的展开式得到二项式定理。

难点：用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律。

（教具：多媒体课件）三、教学过程（一）提出问题：引入：二项式定理研究的是n b a )(+的展开式。

如2222)(b ab a b a ++=+， 那么： 3)(b a +=? 4)(b a +=? 100)(b a +=? 更进一步：n b a )(+=？（二）对4)(b a +展开式的分析222122022222)(b c ab c a c b ab a b a ++=++=+类似地 3332232133033223333)(b c ab c b a c a c b ab b a a b a +++=+++=+思考：))()()(()(4b a b a b a b a b a ++++=+=?问题：1)．4)(b a +展开后各项形式分别是什么？4a b a 3 22b a 3ab 4b2)．各项前的系数代表着什么？各项前的系数 就是在4个括号中选几个取b 的方法种数3)．你能分析说明各项前的系数吗？每个都不取b 的情况有1种，即04c ,则4a 前的系数为04c恰有1个取b 的情况有14c 种，则b a 3前的系数为14c恰有2个取b 的情况有24c 种，则22b a 前的系数为24c恰有3个取b 的情况有34c 种，则3ab 前的系数为34c恰有4个取b 的情况有44c 种，则4b 前的系数为44c则 44433422243144044)(b c ab c b a c b a c a c b a ++++=+问题4：请用类比的方法，求出二项展开式中的其它各项系数，并将式子：()()()()()4322344))()()(()(b ab b a b a a b a b a b a b a b a ++++=++++=+ 括号中的系数全部用组合数的形式进行填写。

《二项式定理》教案（第1课时）执教人：魏 征【教学目标】知识与技能：1．理解、掌握二项式定理及二项展开式的通项公式；2．能正确区分“项”、“项的系数”、“项的二项式系数”等概念； 3．能解决二项展开式有关的简单问题． 过程与方法：1．能从特殊到一般理解二项式定理；2．培养归纳猜想，抽象概括，演绎证明等理性思维能力． 情感、态度与价值观：教学过程中，要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法．【教材分析】二项式定理是初中乘法公式的推广，是排列组合知识的具体运用，是学习概率的重要基础．这部分知识具有较高应用价值和思维训练价值．中学教材中的二项式定理主要包括：定理本身，通项公式，杨辉三角，二项式系数的性质等．通过二项式定理的学习应该让学生掌握有关知识，同时在求展开式、其通项、证恒等式、近似计算等方面形成技能或技巧；进一步体会过程分析与特殊化方法等等的运用；重视学生正确情感、态度和世界观的培养和形成．二项式定理本身是教学重点，因为它是后面一切结果的基础．通项公式，杨辉三角，特殊化方法等意义重大而深远，所以也应该是重点．在教学中，努力把表现的机会让给学生，以发挥他们的自主精神；尽量创造让学生活动的机会，以让学生在直接体验中建构自己的知识体系；尽量引导学生的发展和创造意识，以使他们能在再创造的氛围中学习．【授课类型】新授课 【课时安排】3课时 【重点难点】重点：会用计数原理分析2)(b a +，3)(b a +的展开式，并归纳、猜想出二项式定理．难点：用计数原理分析二项式的展开过程，并归纳、猜想出二项式定理．【教学过程】 模块一：自主学习1．乘积))()((54321321321c c c c c b b b a a a ++++++++展开后，共有45项． 2．写出当321，　，　=n 时，nb a )(+的展开式．＝1)(b a +b a +； ＝2)(b a +222b ab a ++； ＝3)(b a +322333b ab b a a +++．①1)(b a +展开式中项数为2，每项的次数为2；②2)(b a +展开式中项数为3，每项的次数为3，a 的次数规律是：按降幂排列，从第一项开始，次数由2逐项减1直到零；b 的次数规律是：按升幂排列，从第一项开始，次数由零逐项增1直到2． ③3)(b a +展开式中项数为4，每项的次数为4，a 的次数规律是：按降幂排列，从第一项开始，次数由3逐项减1直到零；b 的次数规律是：按升幂排列，从第一项开始，次数由零逐项增1直到3． 自学教材第29页—第30页，并回答下列问题：问题1：你能用学过的两个计数原理来分析、说明2)(b a +、3)(b a +的展开式中每一项的来历吗？问题2：你能仿照上面的过程将4)(b a +展开吗？))()()(()(4b a b a b a b a b a ++++=+的各项都是4次式，即展开式应有下面形式的各项：4a ，b a 3，22b a ，3ab ，4b ， 展开式各项的系数：上面4个括号中，每个都不取b 的情况有1种，即04C 种，4a 的系数是04C ； 恰有1个取b 的情况有14C 种，b a 3的系数是14C ； 恰有2个取b 的情况有24C 种，22b a 的系数是24C ；恰有3个取b 的情况有34C 种，3ab 的系数是34C ； 有4都取b 的情况有44C 种，4b 的系数是44C ．∴44433422241314444)(b C ab C b a C b a C a C b a ++++=+．模块二：问题探究1．你能猜想出)()(*∈+N n b a n，　的展开式吗？ )()(1110*--∈+++++=+N n b C b a C b a C a C b a nn n k k n k n n n n n n2．你能证明猜想的结果吗？二项式定理：)()(1110*--∈+++++=+N n b C b a C b a C a C b a n n n k k n k n n n n n n（1）nb a )(+的展开式的各项都是n 次式，即展开式应有下面形式的各项：n a ，n a b ，…，k k n b a -，…，n b ，（2）展开式各项的系数：上面n 个括号中，每个都不取b 的情况有1种，即0n C 种，n a 的系数是0n C ； 恰有1个取b 的情况有1n C种，na b 的系数是1n C；……；恰有k 个取b 的情况有kn C 种，k kn b a-的系数是k n C ；……；有n 都取b 的情况有nn C 种，nb 的系数是nn C ． ∴)()(1110*--∈+++++=+N n b C b aC b aC a C b a nn nkkn k nn nnnn．这个公式叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做nb a )(+的展开式， 二项式定理()na b +的展开式共有1+n 项，其中)210(n k C k n，，　，　，　=叫做二项式系数， 式中kkn knb aC -叫做二项展开式的通项，用符号1+k T 表示，通项为展开式的第1+k 项，即)3210(1n k b a C T kk n k n k ，，　，　，　，　==-+． 小结：二项展开式形式上的特点（1）它有1+n 项；（2）各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为n ； （3）字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零；字母b 按升幂排列，从第一项开始，次数由零逐项增1直到n ；（4）二项展开式中，系数)210(n k C kn ，，　，　，　=叫做（第1+k ）二项式系数， 它们依次为nn n n n n C C C C C ，，　，，， 3210， 这是一组仅与二项式的次数n 有关的1+n 个组合数，而与b a ，无关．特别地：在二项式定理中，设x b a ==，1，则得到公式：)()1(2210*∈++++++=+N n x C x C x C x C C x nn n k k n n n n n ．模块三：典例分析例题：求出6)21(x -展开式．补充：（1）求出展开式中含3x 的项；（2）求出展开式中的第六项以及相应的系数； （3）求出展开式中的第六项的二项式系数．小结：对有关二项式展开式中特殊项及其系数．．．．．．．问题，一般都采用通项公式解决． 模块四：实战演练1．求73)2(x x +的展开式的第4项的二项式系数，并求第4项的系数．2．化简1)1(4)1(6)1(4)1(234+-+-+-+-x x x x ．3．写出n xx )21(33-的展开式的第1+r 项．【课堂小结】（1）二项式定理的探索思路：观察——归纳——猜想——证明； （2）二项式定理及通项公式的特点．【课后作业】课本36P 习题1.3 A 组 2，3，4【板书设计】。