高二数学试题-2018年虞城高中高二期中考试卷(必修5和选修1-1第一章) 最新

虞城县民族中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析班级__________姓名__________ 分数__________一、选择题1． 若是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列为真命题的是（ ）,m n ,,αβγA ．若，则,m βαβ⊂⊥m α⊥B ．若，则,//m m n αγ= //αβC ．若，则,//m m βα⊥αβ⊥D ．若，则,αγαβ⊥⊥βγ⊥2． 如图所示，已知四边形ABCD 的直观图是一个边长为的正方形，则原图形的周长为（）A ．B ． C.D ．3． 直线l ⊂平面α，直线m ⊄平面α，命题p ：“若直线m ⊥α，则m ⊥l ”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．34． 如图是一容量为100的样本的重量的频率分布直方图，则由图可估计样本重量的中位数为（ ）A ．11B ．11.5C ．12D ．12.55． 是z 的共轭复数，若z+=2，（z ﹣）i=2（i 为虚数单位），则z=（ ）A ．1+iB ．﹣1﹣iC ．﹣1+iD ．1﹣i6． 已知=（2，﹣3，1），=（4，2，x ），且⊥，则实数x 的值是（ ）A ．﹣2B ．2C ．﹣D ．7． 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（ ）A ． 2B ．4C ．D ．3438【命题意图】本题考查三视图的还原以及特殊几何体的体积度量，重点考查空间想象能力及对基本体积公式的运用，难度中等.8． 已知等差数列{a n }中，a 6+a 8=16，a 4=1，则a 10的值是（ ）A ．15B ．30C ．31D ．649． 设是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于（ ）i 21ii-A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限10．已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能是（）A ．1B ．C ．D ．11．已知函数（）在定义域上为单调递增函数，则的最小值是（）2()2ln 2f x a x x x =+-a R ∈A ．B ．C ．D ．141212．在中，，，，则等于（ ）ABC ∆b =3c =30B =A B ．C D ．2二、填空题13．向区域内随机投点，则该点与坐标原点连线的斜率大于1的概率为 ．14．x 为实数，[x]表示不超过x 的最大整数，则函数f （x ）=x ﹣[x]的最小正周期是 ．15．函数y=lgx 的定义域为 ．16．若数列满足，则数列的通项公式为 .{}n a 212332n a a a a n n =++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅{}n a17．若函数y=f （x ）的定义域是[，2]，则函数y=f （log 2x ）的定义域为 ．18．已知为抛物线上两个不同的点，为抛物线的焦点．若线段的中点的纵坐标为2，M N 、24y x =F MN ，则直线的方程为_________.||||10MF NF +=MN 三、解答题19．（本小题满分12分）成都市某中学计划举办“国学”经典知识讲座.由于条件限制，按男、女生比例采取分层抽样的方法，从某班选出10人参加活动，在活动前，对所选的10名同学进行了国学素养测试，这10名同学的性别和测试成绩（百分制）的茎叶图如图所示.（1）根据这10名同学的测试成绩，分别估计该班男、女生国学素养测试的平均成绩；（2）若从这10名同学中随机选取一男一女两名同学，求这两名同学的国学素养测试成绩均为优良的概率.（注：成绩大于等于75分为优良）20．已知函数f （x ）=4sinxcosx ﹣5sin 2x ﹣cos 2x+3．（Ⅰ）当x ∈[0，]时，求函数f （x ）的值域；（Ⅱ）若△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足=，=2+2cos （A+C ），求f （B ）的值．21．已知函数f（x）=•，其中=（2cosx，sin2x），=（cosx，1），x∈R．（1）求函数y=f（x）的单调递增区间；（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f（A）=2，a=，且sinB=2sinC，求△ABC的面积．22．已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为，且过点D（2，0）．（1）求该椭圆的标准方程；（2）设点，若P是椭圆上的动点，求线段PA的中点M的轨迹方程．23．已知函数f（x）=ax2+2x﹣lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=4，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）若f′（x）在（0，1）有唯一的零点x0，求a的取值范围；（Ⅲ）若a ∈（﹣，0），设g （x ）=a （1﹣x ）2﹣2x ﹣1﹣ln （1﹣x ），求证：g （x ）在（0，1）内有唯一的零点x 1，且对（Ⅱ）中的x 0，满足x 0+x 1＞1．24．如图所示，在四棱锥中，底面为菱形，为与的交点，平P ABCD -ABCD E AC BD PA ⊥面，为中点，为中点．ABCD M PA N BC （1）证明：直线平面；//MN ABCD（2）若点为中点，，，，求三棱锥的体积．Q PC 120BAD ∠=︒PA =1AB =A QCD -虞城县民族中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）一、选择题1．【答案】C【解析】试题分析：两个平面垂直，一个平面内的直线不一定垂直于另一个平面，所以A不正确；两个平面平行，两个平面内的直线不一定平行，所以B不正确；垂直于同一平面的两个平面不一定垂直，可能相交，也可能平行，所以D不正确；根据面面垂直的判定定理知C正确．故选C．考点：空间直线、平面间的位置关系．2．【答案】C【解析】考点：平面图形的直观图.3．【答案】B【解析】解：∵直线l⊂平面α，直线m⊄平面α，命题p：“若直线m⊥α，则m⊥l”，∴命题P是真命题，∴命题P的逆否命题是真命题；￢P：“若直线m不垂直于α，则m不垂直于l”，∵￢P是假命题，∴命题p的逆命题和否命题都是假命题．故选：B．4．【答案】C【解析】解：由题意，0.06×5+x×0.1=0.5，所以x为2，所以由图可估计样本重量的中位数是12．故选：C．5．【答案】D【解析】解：由于，（z﹣）i=2，可得z﹣=﹣2i ①又z+=2 ②由①②解得z=1﹣i故选D．6．【答案】A【解析】解：∵=（2，﹣3，1），=（4，2，x），且⊥，∴=0，∴8﹣6+x=0；∴x=﹣2；故选A．【点评】本题考查向量的数量积判断向量的共线与垂直，解题的关键是将垂直关系转化为两向量的内积为0，建立关于x的方程求出x的值．7．【答案】B8．【答案】A【解析】解：∵等差数列{a n}，∴a6+a8=a4+a10，即16=1+a10，∴a10=15，故选：A．9．【答案】B【解析】因为所以，对应的点位于第二象限故答案为：B【答案】B10．【答案】C【解析】解：水平放置的正方体，当正视图为正方形时，其面积最小为1；当正视图为对角面时，其面积最大为．因此满足棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积的范围为．因此可知：A ，B ，D 皆有可能，而＜1，故C 不可能．故选C ．【点评】正确求出满足条件的该正方体的正视图的面积的范围为是解题的关键．11．【答案】A 【解析】试题分析：由题意知函数定义域为，，因为函数),0(+∞2'222()x x a f x x++=2()2ln 2f x a x x x=+-（）在定义域上为单调递增函数在定义域上恒成立，转化为在a R ∈0)('≥x f 2()222h x x x a =++),0(+∞恒成立，，故选A. 110,4a ∴∆≤∴≥考点：导数与函数的单调性．12．【答案】C 【解析】考点：余弦定理．二、填空题13．【答案】 ．【解析】解：不等式组的可行域为：由题意，A （1，1），∴区域的面积为=（x3）=，由，可得可行域的面积为：1=，∴坐标原点与点（1，1）的连线的斜率大于1，坐标原点与与坐标原点连线的斜率大于1的概率为：=故答案为：．【点评】本题考查线性规划的应用，几何概型，考查定积分知识的运用，解题的关键是利用定积分求面积．　14．【答案】　[1，）∪（9，25]　．【解析】解：∵集合，得（ax﹣5）（x2﹣a）＜0，当a=0时，显然不成立，当a＞0时，原不等式可化为，若时，只需满足，解得；若，只需满足，解得9＜a ≤25，当a ＜0时，不符合条件，综上，故答案为[1，）∪（9，25]．【点评】本题重点考查分式不等式的解法，不等式的性质及其应用和分类讨论思想的灵活运用，属于中档题．　15．【答案】　{x|x ＞0}　．【解析】解：对数函数y=lgx 的定义域为：{x|x ＞0}．故答案为：{x|x ＞0}．【点评】本题考查基本函数的定义域的求法．　16．【答案】6,12,2,n n a n n n n *=⎧⎪=+⎨≥∈⎪⎩N 【解析】【解析】()()12312n a a a a n n =++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅；11:6n a ==()()()123112312:12 1n n n n a a a a a n n a a a a n n --≥⋅=++=+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅故22:n n n a n+≥=17．【答案】　[，4]　．【解析】解：由题意知≤log 2x ≤2，即log 2≤log 2x ≤log 24，∴≤x ≤4．故答案为：[，4]．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，正确理解“函数y=f （x ）的定义域是[，2]，得到≤log 2x ≤2”是关键，考查理解与运算能力，属于中档题．18．【答案】20x y --=【解析】解析： 设，那么，，∴线段1122(,)(,)M x y N x y 、12||||210MF NF x x +=++=128x x +=MN 的中点坐标为.由，两式相减得，而，∴(4,2)2114y x =2224y x =121212()()4()y y y y x x +-=-1222y y +=，∴直线的方程为，即.12121y y x x -=-MN 24y x -=-20x y --=三、解答题19．【答案】【解析】【命题意图】本题考查茎叶图的制作与读取，古典概型的概率计算，是概率统计的基本题型，解答的关键是应用相关数据进行准确计算，是中档题.20．【答案】sin2x+2cos2x=4sin（2x+）．∵x∈[0，]，∴2x+∈[，]，∴f（x）∈[﹣2，4]．（Ⅱ）由条件得sin（2A+C）=2sinA+2sinAcos（A+C），∴sinAcos（A+C）+cosAsin（A+C）=2sinA+2sinAcos（A+C），化简得sinC=2sinA，由正弦定理得：c=2a，又b=，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=3a2+4a2﹣4a2cosA，解得：cosA=，故解得：A=，B=，C=，∴f（B）=f（）=4sin=2．【点评】本题考查了平方关系、倍角公式、两角和差的正弦公式及其单调性、正弦定理、余弦定理，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．21．【答案】【解析】解：（1）f（x）=•=2cos2x+sin2x=sin2x+cos2x+1=2sin（2x+）+1，令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，解得﹣+kπ≤x≤+kπ，函数y=f（x）的单调递增区间是[﹣+kπ，+kπ]，（Ⅱ）∵f（A）=2∴2sin（2A+）+1=2，即sin（2A+）=…．又∵0＜A＜π，∴A=．…∵a=，由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣3bc=7 ①…∵sinB=2sinC∴b=2c ②…由①②得c2=．…∴S△ABC=．…22．【答案】【解析】解：（1）由题意知椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的标准方程是∵椭圆经过点D（2，0），左焦点为，∴a=2，，可得b==1因此，椭圆的标准方程为．（2）设点P的坐标是（x0，y0），线段PA的中点为M（x，y），由根据中点坐标公式，可得，整理得，∵点P（x0，y0）在椭圆上，∴可得，化简整理得，由此可得线段PA中点M的轨迹方程是．【点评】本题给出椭圆满足的条件，求椭圆方程并求与之有关的一个轨迹方程，着重考查了椭圆的标准方程、简单几何性质和轨迹方程的求法等知识点，属于中档题．23．【答案】【解析】满分（14分）．解法一：（Ⅰ）当a=4时，f（x）=4x2+2x﹣lnx，x∈（0，+∞），．…（1分）由x∈（0，+∞），令f′（x）=0，得．当x变化时，f′（x），f（x）的变化如下表：xf′（x）﹣0+f（x）↘极小值↗故函数f（x）在单调递减，在单调递增，…（3分）f（x）有极小值，无极大值．…（4分）（Ⅱ），令f′（x）=0，得2ax2+2x﹣1=0，设h（x）=2ax2+2x﹣1．则f′（x）在（0，1）有唯一的零点x0等价于h（x）在（0，1）有唯一的零点x0当a=0时，方程的解为，满足题意；…（5分）当a＞0时，由函数h（x）图象的对称轴，函数h（x）在（0，1）上单调递增，且h（0）=﹣1，h（1）=2a+1＞0，所以满足题意；…（6分）当a＜0，△=0时，，此时方程的解为x=1，不符合题意；当a＜0，△≠0时，由h（0）=﹣1，只需h（1）=2a+1＞0，得．…（7分）综上，．…（8分）（说明：△=0未讨论扣1分）（Ⅲ）设t=1﹣x，则t∈（0，1），p（t）=g（1﹣t）=at2+2t﹣3﹣lnt，…（9分），由，故由（Ⅱ）可知，方程2at2+2t﹣1=0在（0，1）内有唯一的解x0，且当t∈（0，x0）时，p′（t）＜0，p（t）单调递减；t∈（x0，1）时，p′（t）＞0，p（t）单调递增．…（11分）又p（1）=a﹣1＜0，所以p（x0）＜0．…（12分）取t=e﹣3+2a∈（0，1），则p（e﹣3+2a）=ae﹣6+4a+2e﹣3+2a﹣3﹣lne﹣3+2a=ae﹣6+4a+2e﹣3+2a﹣3+3﹣2a=a（e﹣6+4a﹣2）+2e﹣3+2a＞0，从而当t∈（0，x0）时，p（t）必存在唯一的零点t1，且0＜t1＜x0，即0＜1﹣x1＜x0，得x1∈（0，1），且x0+x1＞1，从而函数g（x）在（0，1）内有唯一的零点x1，满足x0+x1＞1．…（14分）解法二：（Ⅰ）同解法一；…（4分）（Ⅱ），令f′（x）=0，由2ax2+2x﹣1=0，得．…（5分）设，则m∈（1，+∞），，…（6分）问题转化为直线y=a与函数的图象在（1，+∞）恰有一个交点问题．又当m∈（1，+∞）时，h（m）单调递增，…（7分）故直线y=a与函数h（m）的图象恰有一个交点，当且仅当．…（8分）（Ⅲ）同解法一．（说明：第（Ⅲ）问判断零点存在时，利用t→0时，p（t）→+∞进行证明，扣1分）【点评】本题考查函数与导数等基本知识，考查推理论证能力和运算求解能力，考查函数与方程的思想、化归与转化的思想、数形结合的思想，考查运用数学知识分析和解决问题的能力．24．【答案】（1）证明见解析；（2）.18【解析】试题解析：（1）证明：取中点，连结，，PD R MR RC ∵，，，//MR AD //NC AD 12MR NC AD ==∴，，//MR NC MR AC =∴四边形为平行四边形，MNCR ∴，又∵平面，平面，//MN RC RC ⊂PCD MN ⊄PCD ∴平面．//MN PCD（2）由已知条件得，所以1AC AD CD ===ACD S ∆=所以．111328A QCD Q ACD ACD V V S PA --∆==⨯⨯=考点：1、直线与平面平行的判定；2、等积变换及棱锥的体积公式.。

北京师范大学附属实验中学2017－2018学年度高二年级第二学期数学期中试卷(理科)（Ⅰ卷）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．） 1．1d x x =⎰A. 0B.12C. 1D. 12-2．复数2(2iz i i-=+为虚数单位）在复平面内对应的点所在的象限为 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3．函数()ln f x x =与函数2()g x ax a =-的图象在点(10)，处的切线相同，则实数a 的值为A. 1B. 12-C. 12D. 12或12-4．若,,a b c 均为正实数，则三个数111,,a b c b c a+++中不小于2的数A. 可以不存在B. 至少有1个C. 至少有2个D. 至多有2个5．函数2xy x e =⋅的大致图象是6．函数()f x 的图象如图所示，下列结果正确的是 A.0<B.0<C.0< D.0<7．已知函数321, 0( ), 01 x x f x x ax x +≤⎧=⎨-+>⎩ 有极大值且有极小值，则实数a 的取值范围是A. (0,)+∞B. (1,)+∞C. (,0)∞-8．定义在R 上的函数(f x 示，则函数()()F x f x =A. B. C.D. 有一个极大值点，一个极小值点二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分，将正确答案填在答题纸上）9. 已知函数2()f x x =，则0(1)(1)lim x f x f x∆→+∆-=∆______.10. 已知复数z 满足2z ≤，则复数z 在复平面内对应的点Z 的集合构成的图形的面积是_______.11. 观察下列等式：1－1122= 1－1111123434+-=+1－1111111123456456+-+-=++…… ……据此规律，第n 个等式为_______.12．若函数3211()32f x x ax x =-+在区间()0,1内为增函数，则实数a 的取值范围是 .13. 右图是函数()y f x =的导函数()y f x '=的图象，给出下列命题：①2-是函数()y f x =的极值点； ②1是函数()y f x =的极值点；③()y f x =在0x =处切线的斜率小于零； ④()y f x =在区间(2,2)-上单调递增.则正确命题的序号是 ．（写出所有正确命题的序号）14. 对于函数()y f x =，若在其定义域内存在0x ，使得00()1x f x =成立，则称函数()f x 具有性质P.（1）下列函数中具有性质P 的有 .①()2f x x =-+ ②()sin f x x =([0,2])x π∈ ③1()f x x x=+，((0,))x ∈+∞ ④()ln(1)f x x =+ （2）若函数()ln f x a x =具有性质P ，则实数a 的取值范围是 .三、解答题（本大题共3小题，共36分，写出必要的解答过程,将答案写在答题纸上）15. （本小题满分12分）已知数列}{n a 满足112a =，且12n n n a a n +⋅=+*()n ∈N ． （Ⅰ）求2a ，3a ，4a ，并猜想数列}{n a 的通项公式； （Ⅱ）用数学归纳法证明你的猜想．16. xyO 1 2–2（Ⅰ）在所给的坐标系中画出函数()f x 在区间[0,3]的图象； （Ⅱ）若直线6y x b =+是函数()f x 的一条切线，求b 的值.17. （本小题满分12分）已知函数sin ()xxf x x e =-. （Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数在区间[0,]π上的最大值和最小值.（Ⅱ卷）四、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸横线上）18. 若对任意1(,)2x ∈+∞，不等式2ln(21)+x x a -≤恒成立，则a 的取值范围是 ．19．在极坐标系中，直线1cos sin =-θρθρ被曲线1=ρ截得的线段长为 ．20．已知函数32()21f x x ax =-+在区间1[,2]2上恰有两个零点，则的取值范围是 .21．已知集合{,,}{1,2,3}a b c =，且下列三个关系：①3a ≠，②3b =，③1c ≠，有且只有一个正确，则________10100=++c b a .()f x a五、解答题（本大题共3小题，共30分，写出必要的解答过程）22.（本小题满分10分）在直角坐标系x y O 中，直线l的参数方程为132x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），C e 的参数方程是(1+sin x y θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩）为参数）．（I ）写出C e 的直角坐标方程（即普通方程）；（II ）P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求点P 的直角坐标.23.（本小题满分10分）已知函数21()ln (1)2f x a x x a x =+-+ ()a ∈R . （Ⅰ）若2x =为函数)(x f 的极值点，求a 的值； （Ⅱ）讨论函数)(x f 在区间内的单调性.24．（本小题满分10分）已知函数2()exf x x -=⋅，()(2)g x f x =-.（Ⅰ）求函数()g x 的极大值点；（Ⅱ）设函数()()()F x f x g x =-，求证：函数()F x 无极值；（Ⅲ）设11(,)A x y ，22(,)B x y 为函数()f x 图象上的两点，且满足12x x ≠，12y y =．若00,)M x y （为线段AB 的中点，求0x 的取值范围．()0,2。

2018-2019学年安徽省铜陵一中高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）下列命题中为真命题的是（）A．命题“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题B．命题“x＞1，则x2＞1”的否命题C．命题“若x＝1，则x2+x﹣2＝0”的否命题D．命题“若x2＞0，则x＞1”的逆否命题2．（5分）如图，是函数y＝f（x）的导函数f′（x）的图象，则下面判断正确的是（）A．在区间（﹣2，1）上f（x）是增函数B．在（1，3）上f（x）是减函数C．在（4，5）上f（x）是增函数D．当x＝4时，f（x）取极大值3．（5分）函数f（x）＝（x﹣1）（x﹣2）2在[0，3]上的最小值为（）A．﹣8B．C．0D．﹣44．（5分）对于空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，且有＝x+y+z（x，y，z∈R），则x＝2，y＝﹣3，z＝2是P，A，B，C四点共面的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件5．（5分）曲线y＝与直线y＝x﹣1及直线x＝1所围成的封闭图形的面积为（）A．B．C．4﹣2ln2D．2ln26．（5分）已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝x7．（5分）已知F是抛物线x2＝4y的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段PF中点轨迹方程是（）A．x2＝y﹣B．x2＝2y﹣C．x2＝2y﹣2D．x2＝2y﹣1 8．（5分）[x]表示不超过x的最大整数，例如：[π]＝3．S1＝[]+[]+[]＝3S2＝[]+[]+[]+[]+[]＝10S3＝[]+[]+[]+[]+[]+[]+]＝21，…，依此规律，那么S10＝（）A．210B．230C．220D．2409．（5分）若存在过点O（0，0）的直线l与曲线f（x）＝x3﹣3x2+2x和y＝x2+a都相切，则a的值是（）A．1B．C．1或D．1或﹣10．（5分）已知点M是抛物线y2＝4x的一点，F为抛物线的焦点，A在圆C：（x﹣4）2+（y﹣1）2＝1上，则|MA|+|MF|的最小值为（）A．2B．3C．4D．511．（5分）设函数f（x）在R上存在导数f′（x），对任意的x∈R，有f（﹣x）+f（x）＝x2，且x∈（0，+∞）时，f′（x）＞x．若f（2﹣a）﹣f（a）≥2﹣2a，则实数a的取值范围为（）A．[1，+∞）B．（﹣∞，1]C．（﹣∞，2]D．[2，+∞）12．（5分）如图，已知双曲线上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F为双曲线的右焦点，且满足AF⊥BF，设∠ABF＝α，且，则该双曲线离心率e的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知命题p：∀x＞0，总有（x+1）e x＞1．则￢p为．14．（5分）（文科）若方程+＝1是椭圆”，则m的取值范围是．15．（5分）双曲线C：的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上且直线P A2斜率的取值范围是[1，2]，那么直线P A1斜率的取值范围是．16．（5分）设函数f（x）＝，对任意x1、x2∈（0，+∞），不等式恒成立，则正数k的取值范围是．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知m∈R，命题p：对任意x∈[0，1]，不等式2x﹣2≥m2﹣3m恒成立；命题q：存在x∈[﹣1，1]，使得m≤ax成立．（1）若p为真命题，求m的取值范围；（2）当a＝1时，若p且q为假，p或q为真，求m的取值范围．18．（12分）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点．（1）求证：AB1⊥平面A1BD；（2）求锐二面角A﹣A1D﹣B的余弦值；19．（12分）已知函数f（x）＝e x+ax﹣a（a∈R且a≠0）．（Ⅰ）若函数f（x）在x＝0处取得极值，求实数a的值；并求此时f（x）在[﹣2，1]上的最大值；（Ⅱ）若函数f（x）不存在零点，求实数a的取值范围．20．（12分）已知抛物线的对称轴为坐标轴，顶点是坐标原点，准线方程为x＝﹣1，直线l 与抛物线相交于不同的A，B两点．（1）求抛物线的标准方程；（2）如果直线l过抛物线的焦点，求的值；（3）如果，直线l是否过一定点，若过一定点，求出该定点；若不过一定点，试说明理由．21．（12分）已知椭圆，离心率．左焦点为F，过点F且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为3．（1）求该椭圆的方程；（2）过椭圆的左焦点的任意一条直线l与椭圆交于A，B两点，在x轴上是否存在定点P 使得x轴平分∠APB，若存在，求出定点坐标，若不存在，说明理由．22．（12分）已知函数（其中a，b∈R）在点（1，f（1））处的切线斜率为1．（1）用a表示b；（2）设g（x）＝f（x）﹣lnx，若g（x）≥1对定义域内的x恒成立，求实数a的取值范围；（3）在（2）的前提下，如果g（x1）＝g（x2），证明：x1+x2≥2．2018-2019学年安徽省铜陵一中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【解答】解：A中命题“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题是“若x＞|y|，则x＞y”，无论y是正数、负数、0都成立；B中命题的否命题是“x≤1，则x2≤1”，当x＝﹣1时不成立；C中命题的否命题是“若x≠1，则x2+x﹣2≠0”，当x＝﹣2时，x2+x﹣2＝0，故错误；D中逆否命题与原命题同真假，原命题假，故错误．故选：A．2．【解答】解：由于f′（x）≥0⇒函数f（x）d单调递增；f′（x）≤0⇒单调f（x）单调递减观察f′（x）的图象可知，当x∈（﹣2，1）时，函数先递减，后递增，故A错误当x∈（1，3）时，函数先增后减，故B错误当x∈（4，5）时函数递增，故C正确由函数的图象可知函数在4处取得函数的极小值，故D错误故选：C．3．【解答】解：函数f（x）＝（x﹣1）（x﹣2）2，可得：f′（x）＝3x2﹣10x+8，令3x2﹣10x+8＝0，可得x＝2，或x＝，由f（0）＝﹣4．f（）＝，f（2）＝0，f（3）＝2，可得f（x）在[0，3]的最小值为﹣4．故选：D．4．【解答】解：若P，A，B，C四点共面，则满足x+y+z＝1，则x＝2，y＝﹣3，z＝2不一定成立，即必要性不成立．若x＝2，y＝﹣3，z＝2，则满足x+y+z＝2+3﹣2＝1，则P，A，B，C四点共面，即充分性成立，故x＝2，y＝﹣3，z＝2是P，A，B，C四点共面的充分不必要条件，故选：A．5．【解答】解：画图得三个交点分别为（1，0），（1，2），（2，1），故曲线y＝与直线y＝x﹣1及直线x＝1所围成的封闭图形的面积为S＝（﹣x+1）＝（2lnx﹣+x）＝2ln2﹣2+2+﹣1＝2ln2﹣，故选：D．6．【解答】解：根据题意，双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，则有e2＝＝＝1+＝，即＝，即有＝，又由双曲线的焦点在x轴上，则其渐近线方程为：y＝±x；故选：C．7．【解答】解：由x2＝4y，得其焦点坐标为（0，1），设线段PF中点为（x，y），P（x1，y1），由中点坐标公式得：，∴，∵P是抛物线上的点，∴，即4x2＝4（2y﹣1），∴x2＝2y﹣1．故选：D．8．【解答】解：∵[x]表示不超过x的最大整数，∴S1＝[]+[]+[]＝1×3＝3，S2＝[]+[]+[]+[]+[]＝2×5＝10，S3＝[]+[]+[]+[]+[]+[]+]＝3×7＝21，…，S n＝[]…＝n×（2n+1），∴S10＝10×21＝210．故选：A．9．【解答】解：设直线l：y＝kx．∵y′＝3x2﹣6x+2，∴y′|x＝0＝2，又∵直线与曲线均过原点，于是直线y＝kx与曲线y＝x3﹣3x2+2相切于原点时，k＝2．直线l的方程为2x﹣y＝0若直线与曲线f（x）＝x3﹣3x2+2x切于点（x0，y0）（x0≠0），则k＝，∵y0＝x03﹣3x02+2x0，∴＝x02﹣3x0+2，又∵k＝y′|_x＝x0＝3x02﹣6x0+2，∴x02﹣3x0+2＝3x02﹣6x0+2，∴2x02﹣3x0＝0，∵x0≠0，∴x0＝，∴k＝x02﹣3x0+2＝﹣，直线l的方程为x+4y＝0．直线l的方程为2x﹣y＝0与y＝x2+a联立，可得x2﹣2x+a＝0，其中△＝0，即（﹣2）2﹣4a＝0，解得a＝1；直线l的方程为x+4y＝0与y＝x2+a联立，可得x2+x+a＝0，其中△＝0，即（）2﹣4a＝0，解得a＝．故选：C．10．【解答】解：抛物线y2＝4x的准线方程为：x＝﹣1过点M作MN⊥准线，垂足为N∵点M是抛物线y2＝4x的一点，F为抛物线的焦点∴|MN|＝|MF|∴|MA|+|MF|＝|MA|+|MN|∵A在圆C：（x﹣4）2+（y﹣1）2＝1，圆心C（4，1），半径r＝1∴当N，M，C三点共线时，|MA|+|MF|最小∴（|MA|+|MF|）min＝（|MA|+|MN|）min＝|CN|﹣r＝5﹣1＝4∴（|MA|+|MF|）min＝4故选：C．11．【解答】解：∵f（﹣x）+f（x）＝x2，∴f（x）﹣x2+f（﹣x）﹣x2＝0，令g（x）＝f（x）﹣x2，∵g（﹣x）+g（x）＝f（﹣x）﹣x2+f（x）﹣x2＝0，∴函数g（x）为奇函数．∵x∈（0，+∞）时，f′（x）＞x．∴x∈（0，+∞）时，g′（x）＝f′（x）﹣x＞0，故函数g（x）在（0，+∞）上是增函数，故函数g（x）在（﹣∞，0）上也是增函数，由f（0）＝0，可得g（x）在R上是增函数．f（2﹣a）﹣f（a）≥2﹣2a，等价于f（2﹣a）﹣≥f（a）﹣，即g（2﹣a）≥g（a），∴2﹣a≥a，解得a≤1，故选：B．12．【解答】解：在Rt△ABF中，|OF|＝c，∴|AB|＝2c，在直角三角形ABF中，∠ABF＝α，可得|AF|＝2c sinα，|BF|＝2c cosα，取左焦点F'，连接AF'，BF'，可得四边形AFBF'为矩形，∴||BF|﹣|AF||＝|AF'|﹣|AF|＝2c|cosα﹣sinα|＝2a，∴，∵，∴，∴，故选：A．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．【解答】解：命题p：∀x＞0，总有（x+1）e x＞1”是全称命题，否定时将量词对任意的x变为∃x，再将不等号＞变为≤即可．故答案为：∃x0＞0，使得．14．【解答】解：∵方程+＝1是椭圆，∴，解得﹣3＜m＜1或m＜5．∴m的取值范围是：（﹣3，1）∪（1，5）．故答案为：（﹣3，1）∪（1，5）．15．【解答】解：由双曲线C：，可知其左顶点A1（﹣，0），右顶点A2（，0）．设P（x0，y0）（x0≠±），则．记直线P A1的斜率为k1，直线P A2的斜率为k2，则k1k2＝，∴．∵直线P A2斜率的取值范围是[1，2]，即1≤k2≤2，∴直线P A1斜率的取值范围是[，]，故答案为：[，]．16．【解答】解：∵当x＞0时，＝＝2e ∴x1∈（0，+∞）时，函数f（x1）有最小值2e∵∴＝当x＜1时，g′（x）＞0，则函数g（x）在（0，1）上单调递增当x＞1时，g′（x）＜0，则函数在（1，+∞）上单调递减∴x＝1时，函数g（x）有最大值g（1）＝e则有x1、x2∈（0，+∞），f（x1）min＝2e＞g（x2）max＝e∵恒成立且k＞0，∴∴k≥1故答案为k≥1三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【解答】解：（1）对任意x∈[0，1]，不等式2x﹣2≥m2﹣3m恒成立，∴﹣2≥m2﹣3m，解得1≤m≤2．（2）a＝1时，存在x∈[﹣1，1]，使得m≤ax成立．∴m≤1．∵p且q为假，p或q为真，∴p与q必然一真一假，∴或，解得1＜m≤2或m＜1．∴m的取值范围是（﹣∞，1）∪（1，2]．18．【解答】（1）证明：取BC中点O，连结AO．∵△ABC为正三角形，∴AO⊥BC．∵在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，平面ABC∩平面BCC1B1＝BC，AO⊂平面ABC，∴AO⊥平面BCC1B1，取B1C1中点O1，以O为原点，的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系O﹣xyz，如图所示，则B（1，0，0），D（﹣1，1，0），A1（0，2，），A（0，0，），B1（1，2，0），∴，∴∴，∴AB1⊥平面A1BD；（2）解：设平面A1AD的法向量为．＝（﹣1，1，﹣），＝（0，2，0）．∵，∴令z＝1得n＝（﹣，0，1）为平面A1AD的一个法向量．由（1）知AB1⊥平面A1BD，为平面A1BD的法向量，∴＝．∴锐二面角A﹣A1D﹣B的余弦值为．19．【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域为R，f′（x）＝e x+a，由函数f（x）在x＝0处取得极值，则f′（0）＝1+a＝0，解得a＝﹣1，即有f（x）＝e x﹣x+1，f′（x）＝e x﹣1，当x＜0时，有f′（x）＜0，f（x）递减，当x＞0时，有f′（x）＞0，f（x）递增．则x＝0处f（x）取得极小值，也为最小值，且为2，又f（﹣2）＝e﹣2+3，f（1）＝e，f（2）＞f（1），即有f（﹣2）为最大值e﹣2+3；（Ⅱ）函数f（x）不存在零点，即为e x+ax﹣a＝0无实数解，由于x＝1时，e+0＝0显然不成立，即有a∈R且a≠0．若x≠1，即有﹣a＝，令g（x）＝，则g′（x）＝，当x＞2时，g′（x）＞0，g（x）递增，当x＜1和1＜x＜2时，g′（x）＜0，g（x）递减．即有x＝2处g（x）取得极小值，为e2，在x＜1时，g（x）＜0，则有0＜﹣a＜e2，解得﹣e2＜a＜0，则实数a的取值范围为（﹣e2，0）．20．【解答】解：（1）已知抛物线的对称轴为坐标轴，顶点是坐标原点，准线方程为x＝﹣1，所以，p＝2．∴抛物线的标准方程为y2＝4x．（2）设l：my＝x﹣1，与y2＝4x联立，得y2﹣4my﹣4＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），∴y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，∴．（3）解：假设直线l过定点，设l：my＝x+n，，得y2﹣4my+4n＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），∴y1+y2＝4m，y1y2＝4n．由，解得n＝﹣2，∴l：my＝x﹣2过定点（2，0）．21．【解答】解：（1）由题意可得：＝，＝3，a2＝b2+c2．联立解得：a＝2，b2＝3，c＝1．∴椭圆的标准方程为：+＝1．（2）假设在x轴上存在点P（t，0），使得x轴平分∠APB，当l斜率不存在时，点P显然存在，当l斜率存在时，设l：y＝k（x+1）与椭圆交于两点A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，化为：（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12＝0，∴x1+x2＝，x1x2＝．又因为x轴平分∠APB，∴k AP+k BP＝0，即+＝0，整理得（1﹣t）（x1+x2）+2x1x2﹣2t＝0．∴（1﹣t）•+2•﹣2t＝0．去分母得t＝﹣4．∴存在P（﹣4，0）．22．【解答】解：（1），由题意f′（1）＝a﹣b＝1⇒b＝a﹣1（2）在定义域（0，+∞）上恒成立，即g（x）min ≥1．解法一：g（x）≥1恒成立，则g（1）＝a+a﹣1≥1⇒a≥1．当a≥1时，，令g′（x）＝0得（注意a≥1）所以x∈（0，1）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增．所以g（x）min＝g（1）＝2a﹣1≥1，符合题意．综上所述，g（x）≥1对定义域内的x恒成立时，实数a的取值范围是[1，+∞）．解法二：（分离变量）恒成立，分离变量可得对x∈（0，+∞）恒成立，令，则a≥h（x）max．这里先证明lnx≤x﹣1，记s（x）＝lnx﹣x+1，则，易得s（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，s（x）max＝s（1）＝0，所以lnx≤x﹣1．因此，，且x＝1时h（1）＝1，所以h（x）max＝1，实数a的取值范围是[1，+∞）．（3）由（2）知a≥1，且g（x）在（0，1）单调递减；在（1，+∞）单调递增，当g（x1）＝g（x2）时，不妨设0＜x1≤1≤x2，要证明x1+x2≥2，等价于x2≥2﹣x1≥1，只需要证明g（2﹣x1）≤g（x2）＝g（x1），这里0＜x1≤1，令G（x）＝g（2﹣x）﹣g（x），x∈（0，1]，求导得，，注意当x∈（0，1]时，，，（可由基本不等式推出）又a﹣1≥0，因此可得G′（x）≥﹣2a+2（a﹣1）+2＝0，当且仅当x＝1，a＝1时等号成立．所以G（x）在（0，1]上单调递增，G（x）≤G（1）＝0，也即g（2﹣x）≤g（x），x∈（0，1]，因此g（2﹣x1）≤g（x1）＝g（x2），此时2﹣x1，x2都在单调递增区间[1，+∞）上，所以2﹣x1≤x2，得x1+x2≥2．。

高二下学期开学考（2月）模拟试卷(时间：120分钟，分值：150分，范围：选择性必修一 + 选择性必修二第一章)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知平面向量()0,1,0a =，130,2b ⎛=- ⎝⎭，则a 与a b +的夹角为（ ） A ．π3 B ．2π3 C ．π6 D ．5π62．已知过点()2,2P 的直线与圆22(1)5x y -+=相切，且与直线10ax y -+=平行，则=a （ ）A ．2B ．1C ．12- D ．123．坐标平面内有相异两点()2cos ,sin A θθ，(0,1)B ，经过两点的直线的的倾斜角的取值范围是（ ）A ．,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．30,,44πππ⎛⎤⎡⎫ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭C ．30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭D ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦4．已知实数1x ，2x ，1y ，2y 满足22114x y +=，22224x y +=，12120x x y y +=，则112244x y x y +-++-的最大值是（ ） A ．6 B ．8 C ．62D ．125．已知数列{}n a 满足12,1,n n n a n a a n +⎧=⎨+⎩为奇数为偶数，若9315a ≤≤，则1a 的取值范围是（ ）A ．[-1,0]B ．3,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[0,1]6．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为,AB BC 的中点，则（ ） A ．平面1D EF 平面11BA CB ．点P 为正方形1111DC B A 内一点，当DP //平面1B EF 时，DP 的最小值为32C ．过点1,,DEF 的平面截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面周长为325D ．当三棱锥1B BEF -的所有顶点都在球O 的表面上时，球O 的表面积为12π7．已知点()()2,0,5,7A B -，圆22:40C x y x m +-+=，若在圆C 上存在唯一的点Q 使得90AQB ∠=，则m 可以为（ ） A ．2- B ．68 C ．2或68-或12-或54- D ．2-或68-或548．设拋物线2:2(0)C y px p =>的焦点是F ，直线l 与抛物线C 相交于,P Q 两点，且2π3PFQ ∠=，线段PQ 的中点A 到拋物线C 的准线的距离为d ，则2PQ d ⎛⎫ ⎪⎝⎭的最小值为（ ）A 3B 3C ．3D ．13二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知方程22162x y m m +=--表示的曲线为C ，则下列四个结论中正确的是（ ）A ．当6m >或2m <时，曲线C 是双曲线B ．当26m <<时，曲线C 是椭圆C ．若曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆，则6m >D ．若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，则24m <<10．给出下列命题，其中正确的命题是（ ）A ．若直线l 的方向向量为(1,0,3)e =，平面α的法向量为22,0,3n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则直线l α∥B ．若对空间中任意一点O ，有111444OP OA OB OC =++，则P A B C ，，，四点共面 C ．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线D ．已知向量(9,4,4)a =-，(1,2,2)b =，则a 在b 上的投影向量为()1,2,211．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，下列说法正确的（ ）A ．若21n S n =+，则{}n a 是等差数列 B ．若31n n S =-，则{}n a 是等比数列 C ．若{}n a 是等差数列，则959S a =D ．若{}n a 是等比数列，且10,0a q >>，则2132S S S ⋅>12．如图，经过坐标原点O 且互相垂直的两条直线AC 和BD 与圆2242200x y x y +-+-=相交于,,,A C B D 四点，M 为弦AB 的中点，则下列说法正确的是（ ）A ．线段BO 长度的最大值为105B ．弦AC 长度的最小值为5 C ．点M 的轨迹是一个圆；D ．四边形ABCD 面积的取值范围为205,45⎡⎤⎣⎦.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.13．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，若动点P 在线段1BD 上运动，则DC AP ⋅的取值范围是___________．14．若圆2244100x y x y +---=上至少有三个不同的点到直线:l y kx =的距离为22则直线l 斜率的取值范围是___________15．如图，已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，126F F =，P 是双曲线右支上的一点，2F P 与y 轴交于点A ，1APF △的内切圆在边1PF 上的切点为Q ，若1PQ =，则双曲线的离心率是______.16．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知对任意的*n ∈N ，121++=+n n a a n ，且存在*k ∈N ，1210k k S S +==，则1a 的取值集合为______（用列举法表示）四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．(10分)已知直线:20l kx y k -+=与圆22:(1)(2)4C x y -+-=交于A ，B 两点． (1)若圆心C 到直线l 的距离为22，求k 的值. (2)是否存在过点19,44D ⎛⎫⎪⎝⎭的直线l '垂直平分弦AB ？若存在，求出直线l '与直线l 的交点坐标；若不存在，请说明理由． 18．(12分）如图，C 是以AB 为直径的圆O 上异于A ,B 的点,平面P AC ⊥平面ABC ，P A =PC =AC =2，BC =4，E ,F 分别是PC ,PB 的中点,记平面AEF 与平面ABC 的交线为直线l .(1)证明：l ⊥平面P AC ；(2)直线l 上是否存在点Q ，使得直线PQ 与平面AEF 5出AQ 的值；若不存在，请说明理由.19.（12分）已知正项等比数列{}n a 前n 项和为342,n S a a =，当2n ≥时，12,R n n S S m m -=+∈.(1)求{}n a 的通项公式；(2)求数列12n n n m S S +⎧⎫⋅⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点()3,0F ，长半轴长与短半轴长的比值为2．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设B 为椭圆C 的上顶点，直线():1l y x m m =+≠与椭圆C 相交于不同的两点M ，N ，若BM BN ⊥，求直线l 的方程． 21．（12分）记数列{}n a 的前n 项和为111,2,34n n n n S a S S a ++=+=-.(1)求{}n a 的通项公式；(2)设2log n n n b a a =，记{}n b 的前n 项和为n T .若2(1)2n t n T -+≤对于2n ≥且*N n ∈恒成立，求实数t 的取值范围.22．（12分）已知双曲线222:1x C y a-=的右焦点为F ，点,M N 分别为双曲线C 的左、右顶点，过点F 的直线l 交双曲线的右支于,P Q 两点，设直线,MP NP 的斜率分别为12,k k ，且1213k k =.(1)求双曲线C 的方程；(2)当点P 在第一象限，且tan 1tan 2MPN MQN ∠=∠时，求直线l 的方程.高二下学期开学考（2月）模拟试卷(时间：120分钟，分值：150分，范围：选择性必修一 + 选择性必修二第一章)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知平面向量()0,1,0a =，130,2b ⎛=- ⎝⎭，则a 与a b +的夹角为（ ） A ．π3 B ．2π3 C ．π6 D ．5π6【答案】A【分析】由题意可得13(0,)2a b +=，设a 与a b +的夹角为θ，由()cos ||||a a b a a b θ⋅+=⋅+求解即可.【详解】解：因为()0,1,0a =，130,2b ⎛=- ⎝⎭， 所以13(0,2a b +=，设a 与a b +的夹角为θ，则1()12cos 112||||a a b a a b θ⋅+===⨯⋅+，又因为[0,π]θ∈，所以π3θ=.故选：A 2．已知过点()2,2P 的直线与圆22(1)5x y -+=相切，且与直线10ax y -+=平行，则=a （ ）A ．2B ．1C ．12- D ．12【答案】C【分析】先根据垂直关系设切线方程，再根据圆心到切线距离等于半径列式解得结果. 【详解】因为切线与直线10ax y -+=平行，所以切线方程可设为0ax y m -+= 因为切线过点P (2，2)，所以22022a m m a -+=∴=-因为与圆()2215x y -+=2215441021a a a a =++=∴=-+ 故选：C3．坐标平面内有相异两点()2cos ,sin A θθ，(0,1)B ，经过两点的直线的的倾斜角的取值范围是（ ）A ．,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．30,,44πππ⎛⎤⎡⎫ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭C ．30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭D ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【分析】利用斜率公式求出AB k ，再利用三角函数求出AB k 的范围，利用斜率与倾斜角的关系求出倾斜角的范围.【详解】因为点()2cos ,sin A θθ，(0,1)B 是相异两点，22sin 1cos cos cos cos AB k θθθθθ--∴===-，且cos 0θ≠，[)(]1,00,1AB k ∴∈-设直线的倾斜角为α，则[)(]tan 1,00,1α∈-当01tan α<≤，倾斜角α的范围为04πα<≤．当1tan 0α-≤<，倾斜角α的范围为34παπ≤<． 30,,44ππαπ⎛⎤⎡⎫∴∈⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭故选：B【点睛】易错点睛：本题考查直线的倾斜角的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意是相异的两个点，利用cos θ求出斜率的范围，再利用倾斜角与斜率的关系求出倾斜角的范围，属于易错题.4．已知实数1x ，2x ，1y ，2y 满足22114x y +=，22224x y +=，12120x x y y +=，则112244x y x y +-++-的最大值是（ ） A ．6 B ．8 C ．62D ．12 【答案】D 【分析】采用数形结合法，将所求问题转化为,A B 两点到直线40x y +-=2结合梯形中位线性质和三角形三边关系可求.【详解】由22114x y +=，22224x y +=，12120x x y y +=，可知，点()()1122,,A x y B x y 在圆上，由12120x x y y OA OB +=⇒⊥，即OAB 为等腰直角三角形，结合点到直线距离公式42x y d +-可理解为点到直线40x y +-=的距离，变形得42x y d +-=，即所求问题可转化为,A B 两点到直线40x y +-=2AM l ⊥于M AN l ⊥于N ，AB 中点为E ，MN 中点为F ，由梯形中位线性质可得，2AM BN EF +=，作OT EF ⊥于T ，OC l ⊥于C ，连接OE ，则EF ET TF ET OC EO OC =+=+≤+，当且仅当T 与O 重合，(),,E O T C 三点共线时，EF 有最大值，由点到直线距离公式可得222OC ==2OE =max 32EF OC OE =+=262AM BN EF +==112244x y x y +-++-的最大值为26212.故选：D5．已知数列{}n a 满足12,1,n n n a n a a n +⎧=⎨+⎩为奇数为偶数，若9315a ≤≤，则1a 的取值范围是（ ）A ．[-1,0]B ．3,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[0,1]【答案】B【分析】根据题目信息以及数列的递推关系式，将9a 表示成1a 的表达式，即可求出1a 的取值范围.【详解】由题意可知，当n 为奇数时，11n n a a -=+，此时n 1-为偶数，则 12121n n a a --+=+，所以221n n a a -=+， 即212(1)n n a a -+=+，所以[]2349753112(1)2(1)2(1)2(1)4,16a a a a a +=+=+=+=+∈，即11,141a ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，即13,04a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.故选：B.6．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为,AB BC 的中点，则（ ） A ．平面1D EF 平面11BA CB ．点P 为正方形1111DC B A 内一点，当DP //平面1B EF 时，DP 32C ．过点1,,DEF 的平面截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面周长为325D ．当三棱锥1B BEF -的所有顶点都在球O 的表面上时，球O 的表面积为12π 【答案】B【分析】根据面面平行无交线可判断A ；由面面平行的性质得出DP 所在的平面，即可分析最小值P 点的位置，求解即可；用向量法根据平行的坐标表示，求出过点1,,D E F 的平面截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面，即可计算周长；根据三棱锥的外接球半径公式和球体的表面积公式求解即可.【详解】解：对于A ，延长1A B ，1C B ，1D E ，1D F ，有两个交点I ，J ，代表平面1D EF 平面11BA C IJ =，两平面不平行，A 选项错误 对于B ，分别取11C D ，11A D 的中点1E ，1F ，连接1111,,E F E D F D ，则11//E F EF ，11//B F F D ，且1111E F F D F ⋂=，1B F EF F ⋂=，111,E F F D ∈平面11E F D ，1,B F EF ∈平面1B EF ， 所以平面11//E F D 平面1B EF ，已知点P 为正方形1111D C B A 内一点，当P 在11E F 上时，DP ∈平面11E F D ，满足DP //平面1B EF ， 在11E F D 中，2211125E D F D =+2211112E F +=则11E F D 为等腰三角形，点P 在11E F 的中点时，DP 有最小值， 在1Rt E PD 中，11122E F E P ==，13252DP =-=B 选项正确；对于C ，如图建立空间直角坐标系，设AM m =，CN n =，则()0,0,M m ，()10,2,2D ，()2,1,0F ，()2,2,N n ，()1,0,0E()10,2,2MD m =-，()0,1,FN n =，()1,0,EM m =-，()12,0,2ND n =--122//1m MD FN n -⇒=，11//22mND EM n-⇒=-- 则2222n m n m =-⎧⎨-=⎩，解得2323m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，截面周长为222222242134132122112213233⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C 选项错误；对于D ，当三棱锥1B BEF -的所有顶点都在球O 的表面上时，22222221312222h R r ⎛⎫⎛⎫=+=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭234π4π6π2S R ∴==⋅=，D 选项错误；故选：B.7．已知点()()2,0,5,7A B -，圆22:40C x y x m +-+=，若在圆C 上存在唯一的点Q 使得90AQB ∠=，则m 可以为（ ）A ．2-B ．68C ．2或68-或12-或54-D ．2-或68-或54【答案】C【分析】若在圆C 上存在唯一的点Q 使得90AQB ∠=，存在几种情况： （1）圆C 内切于以AB 为直径的圆M ；（2）以AB 为直径的圆M 内切于圆C 时；（3）当点A 在圆C 上；（4）点B 在圆C 上，每种情况分别求出m 的值即可.【详解】将圆22:40C x y x m +-+=化为标准方程22(42)m x y -=-+，圆心()2,0C ，半径4r m =-若在圆C 上存在唯一的点Q 使得90AQB ∠=， 当以AB 为直径的圆和圆C 相切时，以AB 为直径的圆的圆心37,22M ⎛⎫ ⎪⎝⎭22(52)772++两圆的圆心距223752722022CM ⎛⎫⎛⎫=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ①当圆C 内切于圆M 时，圆C 的半径725224r m ==-2m =， ②当圆M 内切于圆C 时，圆C 的半径7252624r m ===-68m =-，当以AB 为直径的圆和圆C 相交时，①当点A 在圆C 上时，将()2,0A -代入22:40C x y x m +-+=中，解得：12=-m .②当点B 在圆C 上时，将()5,7B 代入22:40C x y x m +-+=中， 解得54m =-.综上可得2m =或68-或12-或54-， 故选：C.8．设拋物线2:2(0)C y px p =>的焦点是F ，直线l 与抛物线C 相交于,P Q 两点，且2π3PFQ ∠=，线段PQ 的中点A 到拋物线C 的准线的距离为d ，则2PQ d ⎛⎫ ⎪⎝⎭的最小值为（ ） A 3B 3C ．3D ．13【答案】C【分析】设出线段,FP FQ 的长度，用余弦定理求得PQ 的长度，利用抛物线的定义以及梯形的中位线长度的计算，从而2PQ d ⎛⎫⎪⎝⎭转化为,m n 的关系式，再结合不等式即可求得其最小值.【详解】设PF m =，QF n =，过点P ，Q 分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为P '，Q '，如下所示：则PP m '=，QQ n '=，因为点A 为线段PQ 的中点，根据梯形中位线定理可得，点A 到抛物线C 的准线的距离为22PP QQ m nd '++='=，因为2π3PFQ ∠=，所以在PFQ △中，由余弦定理得222222π2cos 3PQ m n mn m n mn =+-=++，所以()()()()()2222222224441m n mn m n mn PQ PQ mn d d m n m n m n ⎡⎤+-⎡⎤+⎥=+⎛⎫⎣⎦===-⎢⎥ ⎪+++⎢⎝⎭⎣⎦， 又因为()24m n mn +≥，所以()214mn m n ≤+，当且仅当m n =时，等号成立，（,m n 显然存在）， 所以214134PQ d ⎛⎫⎛⎫≥-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则2PQ d ⎛⎫ ⎪⎝⎭的最小值为3. 故选：C.【点睛】关键点睛：本题考查抛物线中的最值问题，处理问题的关键是充分利用抛物线的定义，还要注意到不等式的应用。

虞城县高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 全称命题：∀x ∈R ，x 2＞0的否定是（ ）A ．∀x ∈R ，x 2≤0B ．∃x ∈R ，x 2＞0C ．∃x ∈R ，x 2＜0D ．∃x ∈R ，x 2≤02． 若函数f （x ）=ax 2+bx+1是定义在[﹣1﹣a ，2a]上的偶函数，则该函数的最大值为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．23． 已知f （x ）=x 3﹣3x+m ，在区间[0，2]上任取三个数a ，b ，c ，均存在以f （a ），f （b ），f （c ）为边长的三角形，则m 的取值范围是（ ）A ．m ＞2B ．m ＞4C ．m ＞6D ．m ＞84． 在ABC ∆中，若60A ∠=，45B ∠=，BC =AC =（ ） A． B．C.D5． 已知 m 、n 是两条不重合的直线，α、β、γ是三个互不重合的平面，则下列命题中 正确的是（ ） A ．若 m ∥α，n ∥α，则 m ∥n B ．若α⊥γ，β⊥γ，则 α∥βC ．若m ⊥α，n ⊥α，则 m ∥nD ．若 m ∥α，m ∥β，则 α∥β6． 利用斜二测画法得到的：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形； ③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形．以上结论正确的是（ ）A ．①②B ．①C ．③④D ．①②③④ 7． 已知等差数列{a n }满足2a 3﹣a +2a 13=0，且数列{b n } 是等比数列，若b 8=a 8，则b 4b 12=（ ）A ．2B ．4C ．8D ．168． 已知数列{}n a 的各项均为正数，12a =，114n n n na a a a ++-=+，若数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为5，则n =（ ）A ．35B ． 36C ．120D ．1219．=（ ） A ．2 B ．4C ．πD ．2π10．曲线y=x 3﹣2x+4在点（1，3）处的切线的倾斜角为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°11．若方程C ：x 2+=1（a 是常数）则下列结论正确的是（ ）A ．∀a ∈R +，方程C 表示椭圆B ．∀a ∈R ﹣，方程C 表示双曲线C ．∃a ∈R ﹣，方程C 表示椭圆D ．∃a ∈R ，方程C 表示抛物线12．若定义在R 上的函数f （x ）满足：对任意x 1，x 2∈R 有f （x 1+x 2）=f （x 1）+f （x 2）+1，则下列说法一定正确的是（ ） A ．f （x ）为奇函数 B ．f （x ）为偶函数C ．f （x ）+1为奇函数D ．f （x ）+1为偶函数二、填空题13．椭圆的两焦点为F 1，F 2，一直线过F 1交椭圆于P 、Q ，则△PQF 2的周长为 ．14．设()xxf x e =，在区间[0,3]上任取一个实数0x ，曲线()f x 在点()00,()x f x 处的切线斜率为k ，则随机事件“0k <”的概率为_________.15．在（1+x ）（x 2+）6的展开式中，x 3的系数是 ．16．过椭圆+=1（a ＞b ＞0）的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2=60°，则椭圆的离心率为 ．17．已知椭圆中心在原点，一个焦点为F （﹣2，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是 ．18．i 是虚数单位，若复数（1﹣2i ）（a+i ）是纯虚数，则实数a 的值为 ．三、解答题19．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()|21|f x x =-．（1）若不等式1()21(0)2f x m m +≤+>的解集为(][),22,-∞-+∞，求实数m 的值；（2）若不等式()2|23|2yyaf x x ≤+++，对任意的实数,x y R ∈恒成立，求实数a 的最小值．20．（本小题满分12分）已知两点)0,1(1 F 及)0,1(2F ，点P 在以1F 、2F 为焦点的椭圆C 上，且1PF 、21F F 、 2PF 构成等差数列． （I ）求椭圆C 的方程；（II ）设经过2F 的直线m 与曲线C 交于P Q 、两点，若22211PQ F P F Q =+，求直线m 的方程．21．在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=1，AA 1=2，E 为BB 1中点． （Ⅰ）证明：AC ⊥D 1E ；（Ⅱ）求DE 与平面AD 1E 所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱AD 上是否存在一点P ，使得BP ∥平面AD 1E ？若存在，求DP 的长；若不存在，说明理由．22．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且满足2bcosC=2a ﹣c ． （Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若△ABC的面积为，b=2求a，c的值．23．已知集合A={x|1＜x＜3}，集合B={x|2m＜x＜1﹣m}．（1）若A⊆B，求实数m的取值范围；（2）若A∩B=∅，求实数m的取值范围．24．已知条件4:11px≤--，条件22:q x x a a+<-，且p是的一个必要不充分条件，求实数的取值范围．虞城县高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）一、选择题1．【答案】D【解析】解：命题：∀x∈R，x2＞0的否定是：∃x∈R，x2≤0．故选D．【点评】这类问题的常见错误是没有把全称量词改为存在量词，或者对于“＞”的否定用“＜”了．这里就有注意量词的否定形式．如“都是”的否定是“不都是”，而不是“都不是”．特称命题的否定是全称命题，“存在”对应“任意”．2．【答案】A【解析】解：函数f（x）=ax2+bx+1是定义在[﹣1﹣a，2a]上的偶函数，可得b=0，并且1+a=2a，解得a=1，所以函数为：f（x）=x2+1，x∈[﹣2，2]，函数的最大值为：5．故选：A．【点评】本题考查函数的最大值的求法，二次函数的性质，考查计算能力．3．【答案】C【解析】解：由f′（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1）=0得到x1=1，x2=﹣1（舍去）∵函数的定义域为[0，2]∴函数在（0，1）上f′（x）＜0，（1，2）上f′（x）＞0，∴函数f（x）在区间（0，1）单调递减，在区间（1，2）单调递增，则f（x）min=f（1）=m﹣2，f（x）max=f（2）=m+2，f（0）=m由题意知，f（1）=m﹣2＞0 ①；f（1）+f（1）＞f（2），即﹣4+2m＞2+m②由①②得到m＞6为所求．故选C【点评】本题以函数为载体，考查构成三角形的条件，解题的关键是求出函数在区间[0，2]上的最小值与最大值4．【答案】B【解析】考点：正弦定理的应用. 5． 【答案】C【解析】解：对于A ，若 m ∥α，n ∥α，则 m 与n 相交、平行或者异面；故A 错误； 对于B ，若α⊥γ，β⊥γ，则 α与β可能相交，如墙角；故B 错误； 对于C ，若m ⊥α，n ⊥α，根据线面垂直的性质定理得到 m ∥n ；故C 正确； 对于D ，若 m ∥α，m ∥β，则 α与β可能相交；故D 错误； 故选C ．【点评】本题考查了空间线线关系．面面关系的判断；熟练的运用相关的定理是关键．6． 【答案】A 【解析】考点：斜二测画法． 7． 【答案】D【解析】解：由等差数列的性质可得a 3+a 13=2a 8，即有a 82=4a 8，解得a 8=4（0舍去）， 即有b 8=a 8=4，由等比数列的性质可得b 4b 12=b 82=16．故选：D ．8． 【答案】C【解析】解析：本题考查等差数列的定义通项公式与“裂项法”求数列的前n 项和．由114n n n na a a a ++-=+得2214n n a a +-=，∴{}2n a 是等差数列，公差为4，首项为4，∴244(1)4n a n n =+-=，由0n a >得n a =1112n n a a +==+，∴数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n项和为11111)(1)52222n +++==，∴120n =，选C ． 9． 【答案】A【解析】解：∵（﹣cosx ﹣sinx ）′=sinx ﹣cosx ， ∴==2．故选A ．10．【答案】B【解析】解：y /=3x 2﹣2，切线的斜率k=3×12﹣2=1．故倾斜角为45°．故选B ．【点评】本题考查了导数的几何意义，以及利用正切函数的图象求倾斜角，本题属于容易题．11．【答案】 B【解析】解：∵当a=1时，方程C ：即x 2+y 2=1，表示单位圆∴∃a ∈R +，使方程C 不表示椭圆．故A 项不正确； ∵当a ＜0时，方程C：表示焦点在x 轴上的双曲线∴∀a ∈R ﹣，方程C 表示双曲线，得B 项正确；∀a ∈R ﹣，方程C 不表示椭圆，得C 项不正确 ∵不论a 取何值，方程C ：中没有一次项∴∀a ∈R ，方程C 不能表示抛物线，故D 项不正确 综上所述，可得B 为正确答案 故选：B12．【答案】C【解析】解：∵对任意x 1，x 2∈R 有 f （x 1+x 2）=f （x 1）+f （x 2）+1， ∴令x 1=x 2=0，得f （0）=﹣1∴令x 1=x ，x 2=﹣x ，得f （0）=f （x ）+f （﹣x ）+1， ∴f （x ）+1=﹣f （﹣x ）﹣1=﹣[f （﹣x ）+1]，∴f （x ）+1为奇函数． 故选C【点评】本题考查函数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．二、填空题13．【答案】 20 ．【解析】解：∵a=5，由椭圆第一定义可知△PQF 2的周长=4a ． ∴△PQF 2的周长=20．， 故答案为20．【点评】作出草图，结合图形求解事半功倍．14．【答案】35【解析】解析：本题考查几何概率的计算与切线斜率的计算．001()x x k f x e -'==，由0()0f x '<得，01x >，∴随机事件“0k <”的概率为23． 15．【答案】 20 ．【解析】解：（1+x ）（x 2+）6的展开式中，x 3的系数是由（x 2+）6的展开式中x 3与1的积加上x 2与x 的积组成；又（x 2+）6的展开式中，通项公式为 T r+1=•x 12﹣3r ，令12﹣3r=3，解得r=3，满足题意；令12﹣3r=2，解得r=，不合题意，舍去；所以展开式中x 3的系数是=20．故答案为：20．16．【答案】 ．【解析】解：由题意知点P 的坐标为（﹣c ，）或（﹣c ，﹣），∵∠F 1PF 2=60°，∴=，即2ac=b2=（a2﹣c2）．∴e2+2e﹣=0，∴e=或e=﹣（舍去）．故答案为：．【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质，考查了考生综合运用椭圆的基础知识和分析推理的能力，属基础题．17．【答案】．【解析】解：已知∴∴为所求；故答案为：【点评】本题主要考查椭圆的标准方程．属基础题．18．【答案】﹣2．【解析】解：由（1﹣2i）（a+i）=（a+2）+（1﹣2a）i为纯虚数，得，解得：a=﹣2．故答案为：﹣2．三、解答题19．【答案】【解析】【命题意图】本题主要考查绝对值不等式的解法、三角不等式、基本不等式等基础知识，以及考查等价转化的能力、逻辑思维能力、运算能力．20．【答案】【解析】【命题意图】本题考查椭圆标准方程和定义、等差数列、直线和椭圆的位置关系等基础知识，意在考查转化与化归的数学思想的运用和综合分析问题、解决问题的能力．（II ）①若m 为直线1=x ，代入13422=+y x 得23±=y ，即)23 , 1(P ，)23 , 1(-Q 直接计算知29PQ =，225||||2121=+Q F P F ，22211PQ F P F Q ?，1=x 不符合题意 ； ②若直线m 的斜率为k ，直线m 的方程为(1)y k x =- 由⎪⎩⎪⎨⎧-==+)1(13422x k y y x 得0)124(8)43(2222=-+-+k x k x k 设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则2221438k k x x +=+，222143124k k x x +-=⋅ 由22211PQ F P F Q =+得，110F P FQ ? 即0)1)(1(2121=+++y y x x ，0)1()1()1)(1(2121=-⋅-+++x k x k x x0)1())(1()1(2212212=+++-++k x x k x x k 代入得0438)1()143124)(1(222222=+⋅-+++-+kk k k k k ，即0972=-k 解得773±=k ，直线m 的方程为)1(773-±=x y 21．【答案】【解析】（Ⅰ）证明：连接BD∵ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1是长方体，∴D 1D ⊥平面ABCD ，又AC ⊂平面ABCD ，∴D 1D ⊥AC …1分在长方形ABCD 中，AB=BC ，∴BD ⊥AC …2分又BD∩D1D=D，∴AC⊥平面BB1D1D，…3分而D1E⊂平面BB1D1D，∴AC⊥D1E…4分（Ⅱ）解：如图建立空间直角坐标系Dxyz，则A（1，0，0），D1（0，0，2），E（1，1，1），B（1，1，0），∴…5分设平面AD1E的法向量为，则，即令z=1，则…7分∴…8分∴DE与平面AD1E所成角的正弦值为…9分（Ⅲ）解：假设在棱AD上存在一点P，使得BP∥平面AD1E．设P的坐标为（t，0，0）（0≤t≤1），则∵BP∥平面AD1E∴，即，∴2（t﹣1）+1=0，解得，…12分∴在棱AD上存在一点P，使得BP∥平面AD1E，此时DP的长．…13分．22．【答案】【解析】解：（Ⅰ）已知等式2bcosC=2a﹣c，利用正弦定理化简得：2sinBcosC=2sinA﹣sinC=2sin（B+C）﹣sinC=2sinBcosC+2cosBsinC﹣sinC，整理得：2cosBsinC﹣sinC=0，∵sinC≠0，∴cosB=，则B=60°；（Ⅱ）∵△ABC 的面积为=acsinB=ac ，解得：ac=4，①又∵b=2，由余弦定理可得：22=a 2+c 2﹣ac=（a+c ）2﹣3ac=（a+c ）2﹣12，∴解得：a+c=4，②∴联立①②解得：a=c=2．23．【答案】【解析】解：（1）由A ⊆B 知：，得m ≤﹣2，即实数m 的取值范围为（﹣∞，﹣2]；（2）由A ∩B=∅，得：①若2m ≥1﹣m 即m ≥时，B=∅，符合题意； ②若2m ＜1﹣m 即m ＜时，需或， 得0≤m ＜或∅，即0≤m ＜， 综上知m ≥0．即实数m 的取值范围为[0，+∞）．【点评】本题主要考查集合的包含关系判断及应用，交集及其运算．解答（2）题时要分类讨论，以防错解或漏解．24．【答案】[]1,2-．【解析】试题分析：先化简条件p 得31x -≤<，分三种情况化简条件，由p 是的一个必要不充分条件，可分三种情况列不等组，分别求解后求并集即可求得符合题意的实数的取值范围.试题解析：由411x ≤--得:31p x -≤<，由22x x a a +<-得()()10x a x a +--<⎡⎤⎣⎦，当12a =时，:q ∅；当12a <时，():1,q a a --；当12a >时，():,1q a a -- 由题意得，p 是的一个必要不充分条件， 当12a =时，满足条件；当12a <时，()[)1,3,1a a --⊆-得11,2a ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭， 当12a >时，()[),13,1a a --⊆-得1,22a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦ 综上，[]1,2a ∈-．考点：1、充分条件与必要条件；2、子集的性质及不等式的解法.【方法点睛】本题主要考查子集的性质及不等式的解法、充分条件与必要条件，属于中档题,判断p是的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p能否推得条件，二是由条件能否推得条件p.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题．本题的解答是根据集合思想解不等式求解的.。

选修1-1模块综合测试（一）(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．若命题p ：∀x∈R,2x 2＋1>0，则¬p 是( ) A ．∀x ∈R,2x 2＋1≤0 B ．∃x ∈R,2x 2＋1>0 C ．∃x ∈R,2x 2＋1<0 D ．∃x ∈R,2x 2＋1≤0 解析：¬p ：∃x ∈R,2x 2＋1≤0. 答案：D2．不等式x －1x>0成立的一个充分不必要条件是( )A. －1<x <0或x >1B. x <－1或0<x <1C. x >－1D. x >1解析：本题主要考查充要条件的概念、简单的不等式的解法．画出直线y ＝x 与双曲线y ＝1x 的图象，两图象的交点为(1,1)、(－1，－1)，依图知x －1x>0⇔－1<x <0或x >1 (*)，显然x >1⇒(*)；但(*)x >1，故选D.答案：D3．[2014·某某模拟]命题“若a >b ，则a ＋1>b ”的逆否命题是( ) A ．若a ＋1≤b ，则a >b B ．若a ＋1<b ，则a >b C ．若a ＋1≤b ，则a ≤b D ．若a ＋1<b ，则a <b解析：“若a >b ，则a ＋1>b ”的逆否命题为“若a ＋1≤b ，则a ≤b ”，故选C. 答案：C4．[2014·某某省日照一中模考]下列命题中，为真命题的是( ) A. ∀x ∈R ，x 2－x －1>0B. ∀α，β∈R ，sin(α＋β)<sin α＋sin βC. 函数y ＝2sin(x ＋π5)的图象的一条对称轴是x ＝45πD. 若“∃x 0∈R ，x 20－ax 0＋1≤0”为假命题，则a 的取值X 围为(－2,2)解析：本题主要考查命题的判定及其相关知识的理解．因为x 2－x －1＝(x －12)2－54，所以A 错误；当α＝β＝0时，有sin(α＋β)＝sin α＋sin β，所以B 错误；当x ＝4π5时，y ＝0，故C 错误；因为“∃x 0∈R ，x 20－ax 0＋1≤0”为假命题，所以“∀x ∈R ，x 2－ax ＋1>0”为真命题，即Δ<0，即a 2－4<0，解得－2<a <2，即a 的取值X 围为(－2,2)．故选D.答案：D5．已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是( )A ．2 3B ．6C ．4 3D ．12解析：设椭圆的另一焦点为F ，由椭圆的定义知 |BA |＋|BF |＝23，且|CF |＋|AC |＝23， 所以△ABC 的周长＝|BA |＋|BC |＋|AC | ＝|BA |＋|BF |＋|CF |＋|AC |＝4 3. 答案：C6．过点(2，－2)与双曲线x 2－2y 2＝2有公共渐近线的双曲线方程为( ) A.x 22－y 24＝1 B.x 24－y 22＝1 C.y 24－x 22＝1 D. y 22－x 24＝1解析：与双曲线x 22－y 2＝1有公共渐近线方程的双曲线方程可设为x 22－y 2＝λ，由过点(2，－2)，可解得λ＝－2. 所以所求的双曲线方程为y 22－x 24＝1.答案：D7．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右支上到原点和右焦点距离相等的点有两个，则双曲线离心率的取值X 围是( )A ．e > 2B ．1<e < 2C ．e >2D ．1<e <2解析：由题意，以原点及右焦点为端点的线段的垂直平分线必与右支交于两个点，故c2>a ，∴c a>2.答案：C8．把一个周长为12 cm 的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱的底面周长与高的比为( )A. 1∶πB. 2∶πC. 1∶2D. 2∶1解析：设圆柱高为x ，底面半径为r ，则r ＝6－x 2π，圆柱体积V ＝π(6－x 2π)2x ＝14π(x 3－12x 2＋36x )(0<x <6)，V ′＝34π(x －2)(x －6)． 当x ＝2时，V 最大．此时底面周长为6－x ＝4， (6－x )∶x ＝4∶2＝2∶1. 答案：D9．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线y ＝x 2＋1相切，则该双曲线的离心率等于( )A. 3 B ．2 C. 5D. 6解析：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b ax ，因为y ＝x 2＋1与渐近线相切，故x2＋1±bax ＝0只有一个实根，∴b 2a 2－4＝0，∴c 2－a 2a 2＝4， ∴c 2a2＝5，∴e ＝ 5. 答案：C10．[2014·某某五校联考]设函数f (x )＝e x(sin x －cos x )(0≤x ≤2012π)，则函数f (x )的各极小值之和为( )A. －e 2π1－e2012π1－e 2πB. －e 2π1－e1006π1－eπC. －e 2π1－e1006π1－e2πD. －e 2π1－e2010π1－e2π解析：f ′(x )＝(e x)′(sin x －cos x )＋e x(sin x －cos x )′＝2e xsin x ，若f ′(x )<0，则x ∈(π＋2k π，2π＋2k π)，k ∈Z ；若f ′(x )>0，则x ∈(2π＋2k π，3π＋2k π)，k ∈Z .所以当x ＝2π＋2k π，k ∈Z 时，f (x )取得极小值，其极小值为f (2π＋2k π)＝e2k π＋2π[sin(2π＋2k π)－cos(2π＋2k π)]＝e2k π＋2π×(0－1)＝－e2k π＋2π，k ∈Z .因为0≤x ≤2012π，又在两个端点的函数值不是极小值，所以k ∈[0,1004]，所以函数f (x )的各极小值构成以－e 2π为首项，以e 2π为公比的等比数列，共有1005项，故函数f (x )的各极小值之和为S 1005＝－e 2π－e 4π－…－e2010π＝e2π1－e2010π1－e2π.答案：D11．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且|AK |＝2|AF |，则△AFK 的面积为( )A ．4B ．8C ．16D ．32解析：∵抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F (2,0)，准线为x ＝－2，∴K (－2,0)． 设A (x 0，y 0)，如下图所示，过点A 向准线作垂线，垂足为B ，则B (－2，y 0)．∵|AK |＝2|AF |，又|AF |＝|AB |＝x 0－(－2)＝x 0＋2， ∴由|BK |2＝|AK |2－|AB |2，得y 20＝(x 0＋2)2， 即8x 0＝(x 0＋2)2，解得x 0＝2，y 0＝±4.∴△AFK 的面积为12|KF |·|y 0|＝12×4×4＝8，故选B.答案：B12．[2013·某某高考]如图，F 1、F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A 、B 分别是C 1、C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )A. 2B. 3C. 32D.62解析：本题考查椭圆、双曲线的定义和简单的几何性质．设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0) ①，点A 的坐标为(x 0，y 0)．由题意a 2＋b 2＝3＝c 2②，|OA |＝|OF 1|＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋y 20＝3x 20＋4y 20＝4，解得x 20＝83，y 20＝13，又点A 在双曲线C 2上，代入①得，83b 2－13a 2＝a 2b2③，联立②③解得a ＝2，所以e ＝c a ＝62，故选D. 答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．函数y ＝13ax 3－12ax 2(a ≠0)在区间(0,1)上是增函数，则实数a 的取值X 围是________．解析：y ′＝ax 2－ax ＝ax (x －1)，∵x ∈(0,1)，y ′>0，∴a <0. 答案：a <014．已知命题p ：∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋a ≤0，若命题p 是假命题，则实数a 的取值X 围是__________．解析：p 是假命题，则¬p 为真命题，¬p 为：∀x ∈R ，x 2＋2ax ＋a >0，所以有Δ＝4a 2－4a <0，即0<a <1.答案：(0,1)15．[2014·某某质检]已知a ∈R ，若实数x ，y 满足y ＝－x 2＋3ln x ，则(a －x )2＋(a ＋2－y )2的最小值是________．解析：(a －x )2＋(a ＋2－y )2≥x －a ＋a ＋2－y22＝x ＋x 2－3ln x ＋222.设g (x )＝x＋x 2－3ln x (x >0)，则g ′(x )＝1＋2x －3x＝2x ＋3x －1x，易知g (x )在(0,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，故g (x )≥g (1)＝2，(a －x )2＋(a ＋2－y )2≥2＋222＝8.答案：816．[2013·某某省某某一中月考]F 1、F 2分别是双曲线x 216－y 29＝1的左、右焦点，P 为双曲线右支上一点，I 是△PF 1F 2的内心，且S △IPF 2＝S △IPF 1－λS △IF 1F 2，则λ＝________.解析：本题主要考查双曲线定义及标准方程的应用．设△PF 1F 2内切圆的半径为r ，则S △IPF 2＝S △IPF 1－λS △IF 1F 2⇒12×|PF 2|×r ＝12×|PF 1|×r －12λ×|F 1F 2|×r ⇒|PF 1|－|PF 2|＝λ|F 1F 2|，根据双曲线的标准方程知2a ＝λ·2c ，∴λ＝a c ＝45.答案：45三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知全集U ＝R ，非空集合A ＝{x |x －2x －3<0}，B ＝{x |(x －a )(x －a 2－2)<0}．命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B .(1)当a ＝12时，p 是q 的什么条件？(2)若q 是p 的必要条件，某某数a 的取值X 围． 解：(1)A ＝{x |x －2x －3<0}＝{x |2<x <3}， 当a ＝12时，B ＝{x |12<x <94}，故p 是q 的既不充分也不必要条件．(2)若q 是p 的必要条件，即p ⇒q ，可知A ⊆B ， 由a 2＋2>a ，故B ＝{a |a <x <a 2＋2}，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2a 2＋2≥3，解得a ≤－1或1≤a ≤2.18．(12分)已知c >0，设p ：y ＝c x为减函数；q ：函数f (x )＝x ＋1x >1c 在x ∈[12，2]上恒成立，若“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，求c 的取值X 围．解：由y ＝c x为减函数，得0<c <1.当x ∈[12，2]时，由不等式x ＋1x ≥2(x ＝1时取等号)知：f (x )＝x ＋1x 在[12，2]上的最小值为2，若q 真，则1c <2，即c >12.若p 真q 假，则0<c <1且c ≤12，所以0<c ≤12.若p 假q 真，则c ≥1且c >12，所以c ≥1.综上：c ∈(0，12]∪[1，＋∞)．19．(12分)[2014·海淀期末]已知函数f (x )＝(x ＋a )e x，其中a 为常数． (1)若函数f (x )是区间[－3，＋∞)上的增函数，某某数a 的取值X 围； (2)若f (x )≥e 2在x ∈[0,2]时恒成立，某某数a 的取值X 围． 解：(1)f ′(x )＝(x ＋a ＋1)e x，x ∈R .因为函数f (x )是区间[－3，＋∞)上的增函数，所以f ′(x )≥0，即x ＋a ＋1≥0在[－3，＋∞)上恒成立． 因为y ＝x ＋a ＋1是增函数，所以满足题意只需－3＋a ＋1≥0，即a ≥2. (2)令f ′(x )＝0，解得x ＝－a －1，f (x )，f ′(x )的变化情况如下：f (0)≥e 2，解得a ≥e 2，所以此时a ≥e 2；②当0<－a －1<2，即－3<a <－1时，f (x )在[0,2]上的最小值为f (－a －1)， 若满足题意只需f (－a －1)≥e 2，求解可得此不等式无解， 所以a 不存在；③当－a －1≥2，即a ≤－3时，f (x )在[0,2]上的最小值为f (2)，若满足题意只需f (2)≥e 2，解得a ≥－1，所以此时a 不存在．综上讨论，所某某数a 的取值X 围为[e 2，＋∞)．20．(12分)已知椭圆x 29＋y 25＝1，F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，点A (1,1)为椭圆内一点，点P 为椭圆上一点．求|PA |＋|PF 1|的最大值．解：由椭圆的定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6， 所以|PF 1|＝6－|PF 2|，这样|PA |＋|PF 1|＝6＋|PA |－|PF 2|.求|PA |＋|PF 1|的最大值问题转化为6＋|PA |－|PF 2|的最大值问题， 即求|PA |－|PF 2|的最大值问题， 如图在△PAF 2中，两边之差小于第三边，即|PA |－|PF 2|<|AF 2|，连接AF 2并延长交椭圆于P ′点时， 此时|P ′A |－|P ′F 2|＝|AF 2|达到最大值， 易求|AF 2|＝2，这样|PA |－|PF 2|的最大值为2， 故|PA |＋|PF 1|的最大值为6＋ 2.21．(12分)已知椭圆M 的对称轴为坐标轴，且抛物线x 2＝－42y 的焦点是椭圆M 的一个焦点，又点A (1，2)在椭圆M 上．(1)求椭圆M 的方程；(2)已知直线l 的方向向量为(1，2)，若直线l 与椭圆M 交于B 、C 两点，求△ABC 面积的最大值．解：(1)由已知抛物线的焦点为(0，－2)，故设椭圆方程为y 2a 2＋x 2a 2－2＝1.将点A (1，2)代入方程得2a 2＋1a 2－2＝1，整理得a 4－5a 2＋4＝0，解得a 2＝4或a 2＝1(舍去)． 故所求椭圆方程为y 24＋x 22＝1.(2)设直线BC 的方程为y ＝2x ＋m ， 设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，代入椭圆方程并化简得4x 2＋22mx ＋m 2－4＝0， 由Δ＝8m 2－16(m 2－4)＝8(8－m 2)>0， 可得m 2<8.由x 1＋x 2＝－22m ，x 1x 2＝m 2－44，故|BC |＝3|x 1－x 2|＝3×16－2m22.又点A 到BC 的距离为d ＝|m |3，故S △ABC ＝12|BC |·d ＝m216－2m24≤142×2m 2＋16－2m22＝ 2.因此△ABC 面积的最大值为 2.22．(12分)[2014·某某质检]已知函数f (x )＝x －1＋ae x (a ∈R ，e 为自然对数的底数)．(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线平行于x 轴，求a 的值； (2)求函数f (x )的极值；(3)当a ＝1时，若直线l ：y ＝kx －1与曲线y ＝f (x )没有公共点，求k 的最大值． 解：(1)由f (x )＝x －1＋a e x ，得f ′(x )＝1－aex ，又曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线平行于x 轴，所以f ′(1)＝0，即1－ae ＝0，解之得a ＝e.(2)f ′(x )＝1－aex ，①当a ≤0时，f ′(x )>0，f (x )为(－∞，＋∞)上的增函数，所以函数f (x )无极值． ②当a >0时，令f ′(x )＝0，得e x＝a ，x ＝ln a .当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )<0；当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0， 所以f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增， 故f (x )在x ＝ln a 处取得极小值，且极小值为f (ln a )＝ln a ，无极大值．综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a >0时，f (x )在x ＝ln a 处取得极小值ln a ，无极大值．(3)当a ＝1时，f (x )＝x －1＋1e x .令g (x )＝f (x )－(kx －1)＝(1－k )x ＋1ex ，则直线l ：y ＝kx －1与曲线y ＝f (x )没有公共点，等价于方程g (x )＝0在R 上没有实数解．当k >1时，g (0)＝1>0，g (1k －1)＝－1＋1e 1k －1<0， 又函数g (x )的图象在定义域R 上连续，由零点存在定理，可知g (x )＝0至少有一实数解，与“方程g (x )＝0在R 上没有实数解”矛盾，故k ≤1.当k ＝1时，g (x )＝1e x >0，知方程g (x )＝0在R 上没有实数解．所以k 的最大值为1.。

虞城县高中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 已知两点M （1，），N （﹣4，﹣），给出下列曲线方程：①4x+2y ﹣1=0； ②x 2+y 2=3； ③+y 2=1； ④﹣y 2=1．在曲线上存在点P 满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是（ ）A ．①③B ．②④C ．①②③D ．②③④2． 设0＜a ＜b 且a+b=1，则下列四数中最大的是（ ）A ．a 2+b 2B ．2abC ．aD ．3． 函数f （x ）＝，关于点（－1，2）对称，且f （－2）＝3，则b 的值为（ ）kx ＋b x ＋1A ．－1B ．1C ．2D ．44． 已知函数f （x ）=2ax 3﹣3x 2+1，若 f （x ）存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，则a 的取值范围是（ ）A ．（1，+∞）B ．（0，1）C ．（﹣1，0）D ．（﹣∞，﹣1）5． 设为虚数单位，则（ ）A ．B ．C ．D ．6． 如图，在棱长为1的正方体中，为棱中点，点在侧面内运动，若1111ABCD A B C D -P 11A B Q 11DCC D ，则动点的轨迹所在曲线为（ ）1PBQ PBD ∠=∠QA.直线B.圆C.双曲线D.抛物线【命题意图】本题考查立体几何中的动态问题等基础知识，意在考查空间想象能力.7． 已知集合，，则（ ）{2,1,1,2,4}A =--2{|log ||1,}B y y x x A ==-∈A B = A ．B ．C ．D ．{2,1,1}--{1,1,2}-{1,1}-{2,1}--【命题意图】本题考查集合的交集运算，意在考查计算能力．8． 已知命题p ：∃x ∈R ，cosx ≥a ，下列a 的取值能使“￢p ”是真命题的是（ ）A ．﹣1B ．0C ．1D ．29． 下列给出的几个关系中：①；②；③；{}{},a b ∅⊆(){}{},,a b a b ={}{},,a b b a ⊆④,正确的有（ ）个{}0∅⊆A.个 B.个C.个D.个10．在极坐标系中，圆的圆心的极坐标系是( )。

2018-2019学年高二数学(必修2)期中考试考试时间：120分钟 试卷满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．在直角坐标系中，已知A (－1，2)，B (3，0)，那么线段AB 中点的坐标为( )． A ．(2，2)B ．(1，1)C ．(－2，－2)D ．(－1，－1)2．右面三视图所表示的几何体是( )．A ．三棱锥B ．四棱锥C ．五棱锥D ．六棱锥3．如果直线x ＋2y －1＝0和y ＝kx 互相平行，则实数k 的值为( )． A ．2B ．21C ．－2D ．－21 4．一个球的体积和表面积在数值上相等，则该球半径的数值为( )． A ．1B ．2C ．3D ．45．下面图形中是正方体展开图的是( )．A B C D(第5题)6．圆x 2＋y 2－2x －4y －4＝0的圆心坐标是( )． A ．(－2，4)B ．(2，－4)C ．(－1，2)D ．(1，2)7．直线y ＝2x ＋1关于y 轴对称的直线方程为( )． A ．y ＝－2x ＋1B ．y ＝2x －1正视图 侧视图俯视图(第2题)C ．y ＝－2x －1D ．y ＝－x －18．在空间中，a ，b 是不重合的直线，α，β是不重合的平面，则下列条件中可推出 a ∥b 的是( )． A ．a ⊂α，b ⊂β，α∥β B ．a ∥α，b ⊂β C ．a ⊥α，b ⊥αD ．a ⊥α，b ⊂α9． 圆x 2＋y 2＝1和圆x 2＋y 2－6y ＋5＝0的位置关系是( )． A ．外切B ．内切C ．外离D ．内含10． 圆(x －1)2＋(y －1)2＝2被x 轴截得的弦长等于( )． A ． 1B ．23 C ． 2 D ． 311．如图，三棱柱A 1B 1C 1—ABC 中，侧棱AA 1⊥底面A 1B 1C 1，底面三角形A 1B 1C 1是正三角形，E 是BC 中点，则下列叙述正确的是( )．A ．CC 1与B 1E 是异面直线B ．AC ⊥平面A 1B 1BAC ．AE ，B 1C 1为异面直线，且AE ⊥B 1C 1D ．A 1C 1∥平面AB 1E12．有一种圆柱体形状的笔筒，底面半径为4 cm ，高为12 cm ．现要为100个这种相同规格的笔筒涂色(笔筒内外均要涂色，笔筒厚度忽略不计)． 如果每0.5 kg 涂料可以涂1 m 2，那么为这批笔筒涂色约需涂料．A ．1.23 kgB ．1.76 kgC ．2.46 kgD ．3.52 kgA 1B 1C 1ABEC(第11题)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．坐标原点到直线4x ＋3y －12＝0的距离为 ．14．以点A (2，0)为圆心，且经过点B (－1，1)的圆的方程是 ．15．如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，棱锥A 1——ABCD 的体积与长方体的体积之比为_______________．16．在平面几何中，有如下结论：三边相等的三角形内任意一点到三边的距离之和为定值．拓展到空间，类比平面几何的上述结论，可得：四个面均为等边三角形的四面体内任意一点_______________________________________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分)已知直线l 经过点(0，－2)，其倾斜角是60°． (1)求直线l 的方程；(2)求直线l 与两坐标轴围成三角形的面积．18．（12分）如图，在三棱锥P —ABC 中，PC ⊥底面ABC ， AB ⊥BC ，D ，E 分别是AB ，PB 的中点． (1)求证：DE ∥平面P AC ； (2)求证：AB ⊥PB ；(3)若PC ＝BC ，求二面角P —AB —C 的大小．ABC DD 1C 1B 1A 1(第15题)ACPBDE(第18题)19.（12分）在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，设E 是棱1CC 的中点. （1） 求证：BD AE ⊥； （2）．求三棱锥1A B DE -的体积.20.（12分） 如图，已知直线1:40l x y +=，直线2:10l x y +-=以及2l 上一点(3,2)P -．求圆心在1l 上且与直线2l 相切于点P 的圆的方程．21（12分）．已知圆22:68210C x y x y +--+=和直线:430l kx y k --+=．⑴ 证明：不论k 取何值，直线l 和圆C 总相交；⑵ 当k 取何值时，圆C 被直线l 截得的弦长最短？并求最短的弦的长度．22．（12分）已知半径为5的圆C 的圆心在x 轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x ＋3y －29＝0相切．(1)求圆C 的方程；(2)设直线ax －y ＋5＝0与圆C 相交于A ，B 两点，求实数a 的取值范围；(3) 在(2)的条件下，是否存在实数a ，使得过点P (－2，4)的直线l 垂直平分弦AB ？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．(第19题)2018-2019学年高二数学(必修2)期中考试文科数学答题卡一、选择题（12个小题，每小题5分，共60分）二、填空题（4个小题，每小题5分，共20分）13. 14.15. 16.三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.（本小题满分10分）18. （本小题满分12分）19. （本小题满分12分）ACPBDE(第18题)(第19题)20.（本小题满分10分）21. （本小题满分12分）22. (本小题满分12分)参考答案一、选择题 1．B 2．D 3．D 4．C 5．A6．D7．A8．C9．A10．C11．C12．D二、填空题 13．512． 14．(x －2)2＋y 2＝10． 15．1:3．16．到四个面的距离之和为定值． 三、解答题17．解：(1)因为直线l 的倾斜角的大小为60°,故其斜率为tan 60°＝3，又直线l 经过点(0，－2)，所以其方程为3x －y －2＝0．(2)由直线l 的方程知它在x 轴、y 轴上的截距分别是32，－2，所以直线l 与两坐标轴围成三角形的面积S ＝21·32·2＝332．18．(1)证明：因为D ，E 分别是AB ，PB 的中点， 所以DE ∥P A ．因为P A ⊂平面P AC ，且DE ⊄平面P AC ， 所以DE ∥平面P AC ．(2)因为PC ⊥平面ABC ，且AB ⊂平面ABC ， 所以AB ⊥PC ．又因为AB ⊥BC ，且PC ∩BC ＝C ． 所以AB ⊥平面PBC ． 又因为PB ⊂平面PBC ，所以AB ⊥PB ． (3)由(2)知，PB ⊥AB ，BC ⊥AB ，所以，∠PBC 为二面角P —AB —C 的平面角． 因为PC ＝BC ，∠PCB ＝90°，ACPBDE(第18题)所以∠PBC ＝45°，所以二面角P —AB —C 的大小为45°．19．（1)【证明】连接BD ，AE . 因四边形ABCD 为正方形，故BD AC ⊥，因EC⊥底面ABCD ，BD ⊂面ABCD ，故EC BD ⊥，又EC AC C =，故BD ⊥平面AEC ，AE ⊂平面AEC ，故BD AE ⊥. （2）. 由⑵知，点A 到平面1B DE 的距离等于C 到平面1B DE 的距离，故三棱锥1A B DE -的体积11A B DE C B DE V V --=，而11111121223323C B DE D B CE B CE V V S DC --⎛⎫==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，三棱锥1A B DE -的体积为23.20. 【解】设圆心为(,)C a b ，半径为r ，依题意，4b a =-. 设直线2l 的斜率21k =-，过,P C 两点的直线斜率PC k ，因2PC l ⊥，故21PC k k ⨯=-，∴2(4)13PC a k a---==-，解得1,4a b ==-.||22r PC ==.，所求圆的方程为222(1)(4)(22)x y -++=.21．⑴. 方法一：圆C 的方程可化为：222(3)(4)2x y -+-=，圆心为(3,4)C ，半径2r =.直线l 的方程可化为：(4)3y k x =-+，直线过定点(4,3)P ，斜率为k .定点(4,3)P 到圆心(3,4)C 的距离22(43)(34)2d r =-+-=<，∴定点(4,3)P 在圆C 内部，∴不论k 取何值，直线l 和圆C 总相交. 方法二：圆C 的方程可化为：222(3)(4)2x y -+-=，圆心为(3,4)C ，半径2r =.圆心(3,4)C 到直线:430l kx y k --+=的距离21d k =+2222122111k k k d k k ++==+++，因()()221210k k k +-=-≥，212k k +≥，2211k k +≥，故22221241k dr d r k =+<=<+≤，，∴不论k 取何值，直线l 和圆C 总相交. ⑵. 圆心(3,4)C 到直线:430l kx y k --+=的距离d =C 被直线l截得的弦长＝=，当0k=时，弦长=；当0k ≠时，弦长=下面考虑先求函数1y k k=+的值域. 由函数知识可以证明：函数在(1)-∞-，上单调递增，在(10)-，上单调递减，在(01)，上单调递减，在(1)+∞，上单调递增（证明略）， 故当0k<时，函数在1k =-处取得最大值－2；当0k >时，函数在1k =处取得最小值2.即12k k +≥或12k k +-≤，故11012k k <+≤或11012k k-<+≤，可得2101k k --<+≤或2011k k <+-≤，即2111k k --+≤≤且201k k -≠+，22341k k-+≤≤且2331k k-≠+，4且≠.综上，当1k =时，弦长取得最小值1k =-时，弦长取得最大值4.22．解：(1)设圆心为M (m ，0)(m ∈Z)．由于圆与直线4x ＋3y －29＝0相切，且半径为5，所以，5294-m ＝5，即|4m －29|＝25． 因为m 为整数，故m ＝1．故所求的圆的方程是(x －1)2＋y 2＝25．(2)直线ax －y ＋5＝0即y ＝ax ＋5．代入圆的方程，消去y 整理，得 (a 2＋1)x 2＋2(5a －1)x ＋1＝0．由于直线ax －y ＋5＝0交圆于A ，B 两点，故△＝4(5a －1)2－4(a 2＋1)＞0， 即12a 2－5a ＞0，解得a ＜0，或a ＞125．所以实数a 的取值范围是(－∞，0)∪(125，＋∞)． (3)设符合条件的实数a 存在，由(2)得a ≠0，则直线l 的斜率为－a1，l 的方程为y ＝－a1(x ＋2)＋4， 即x ＋ay ＋2－4a ＝0．由于l 垂直平分弦AB ，故圆心M (1，0)必在l 上．所以1＋0＋2－4a ＝0，解得a ＝43．由于43∈(125，＋∞)，故存在实数a ＝43，使得过点 P (－2，4)的直线l 垂直平分弦AB ．。

2018-2019第一学期期中考试高二数学试题（必修二）一、选择题（本题包括12个小题，每小题5分，共60分）1、在x 轴上的截距是2，且与y 轴平行的直线方程为A 、02=+xB 、02=-yC 、02=+yD 、02=-x2、已知空间两点A （2,3,5），B （3,1,4），则A ，B 两点之间的距离为A 、2B 、6C 、6D 、323、已知两条直线m y m x l -=++2)1(:1与01642:2=++y mx l ，若21//l l ，则实数m 的值为 A 、2或-1 B 、1 C 、1或-2 D 、-24、设b a ,是空间中不同的两条直线，βα,是不同的两个平面，则下列说法正确的是A 、αα//,,//a b b a 则⊂B 、b a b a //,//,,则βαβα⊂⊂C 、βαββαα//,//,//,,则b a b a ⊂⊂D 、αββα⊥⊥a a 则,,//5、直线0534=+-y x 关于x 轴对称的直线方程为A 、0534=-+y xB 、0534=--y xC 、0534=++y xD 、0534=+-y x6、某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则这个几何体的体积（单位：cm 3）为A 、2B 、4C 、6D 、87、已知点M 与两个定点O （0,0），A （0,3）的距离的比为2，则点M 的轨迹方程为A 、09622=--+y y xB 、0181222=+-+y y xC 、09622=-++x y xD 、0181222=+-+x y x8、已知两点A （4,9），B(6,3)，则下列哪个点在以AB 为直径的圆上A 、（6,9）B 、（3,3）C 、（5,3）D （3,5）9、如图所示，AB ，CD 是某一正方体展开图中的两条线段，且AB//CD ，则原正方体中AB ，CD 的位置关系为A 、平行B 、共线C 、异面D 、相交10、在三棱锥ABC S -中，AC AB ⊥，SA AC AB ==，⊥SA 平面ABC ，D 为BC 的中点，则异面直线AB 与SD 所成角的余弦值为A 、 55B 、 66C 、 630D 、33 11、已知正方形ABCD 的边长为2，将∆ABC 沿对角线AC 所在直线翻折，在翻折过程中，给出下列结论：①存在某个位置，AD ⊥BC ；②三棱锥A-BCD 的体积的最大值为322；③AC ⊥BD 恒成立。