高二精选题库 数学10-1北师大版

江西省赣州市赣县中学北校区2013-2014学年高二数学10月月考试题北师大版命题时间：2013/10/4本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．l 1、l 2是两条异面直线，直线m 1、m 2与l 1、l 2都相交，则m 1、m 2的位置关系是( ) A ．异面或平行 B ．相交 C ．异面 D ．相交或异面 2．某几何体的主视图如图1所示，则该几何体的俯视图不可能．．．的是()3．直三棱柱的侧棱长和底面边长均为2，主视图和俯视图如图2(2)所示，则其左视图的面积为( )A ．4 B. 3 C ．2 3 D ．24．已知空间两条不同的直线m ，n 和两个不同的平面α，β，则下列命题中正确的是( ) A ．若m ∥α，n ⊂α，则m ∥n B ．若α∩β＝m ，m ⊥n ，则n ⊥αC ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nD ．若m ∥α，m ⊂β，α∩β＝n ，则m ∥n 5．如图3是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积是( ) A ．27 B ．30 C ．33 D ．366．如图4所示，平行四边形ABCD 中，AB ⊥BD ，沿BD 将△ABD 折起，使面ABD ⊥面BCD ，连结AC ，则在四面体ABCD 的四个面中，互相垂直的平面的对数为()7．如图5，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 是底面正方形ABCD 的中心，M 是DD 1的中图1点，N是A1B1上的动点，则直线ON，AM的位置关系是( )A．平行 B．相交 C．异面垂直 D．异面不垂直8．一个与球心距离为1的平面截球体所得的圆面面积为π，则球的体积为( )A.823π B.83π C.323π D．8π9．如图6，六棱锥P—ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论正确的是( )A．PB⊥AD B．平面PAB⊥平面PBCC．直线BC∥平面PAE D．平面PAB⊥平面PAE10．如图7所示，在斜三棱柱ABC—A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在( ) A．直线AB上 B．直线BC上 C．直线AC上 D．△ABC内部第Ⅱ卷二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上)11．若圆锥的母线长为2 cm，底面圆的周长为2π cm，则圆锥的表面积为________．12．已知直线l，m，平面α，β且l⊥α，m⊂β，给出四个命题：①若α∥β，则l⊥m；②若l⊥m，则α∥β；③若α⊥β，则l∥m；④若l∥m，则α⊥β.其中真命题的个数是________．13．三棱锥P—ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝3，底面ABC是边长为2的正三角形，则三棱锥P—ABC的体积等于________．14．如图8所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，点M∈AB1，N∈BC1，且AM＝BN，有以下四个结论：①AA1⊥MN；②A1C1∥MN；③MN与面A1B1C1D1平行；④MN与A1C1是异面直线．其中正确结论的序号是________．15．如图9所示，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF＝________时，CF⊥平面B1DF.三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分12分)如图10所示，已知正方体ABCD－A′B′C′D′，求：(1) BC′与CD′所成的角；(2)AD与BC′所成的角．17．(本小题满分12分)如图11所示，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD ＝4，DC ＝3，E 是PC 的中点． (1)证明：PA ∥平面BDE ；(2)求△PAD 以PA 所在的直线为轴旋转一周所形成的几何体的体积．18．(本小题满分12分)如图12，已知一个圆锥的底面半径为=1R ，高为2h .，一个圆柱的下底面在圆锥的底面上，且圆柱的上底面为圆锥的截面，设圆柱的高为x . (1)求圆柱的侧面积．(2)x 为何值时，圆柱的侧面积最大？19．(本小题满分12分)如图13，PA ⊥平面ABCD ，ABCD 是矩形，PA ＝AB ＝1，AD ＝3，点F 是PB 的中点，点E 在边BC 上移动．(1)求三棱锥E —PAD 的体积；(2)当点E 为BC 的中点时，试判断EF 与平面PAC 的位置关系，并说明理由； (3)证明：无论点E 在边BC 的何处，都有PE ⊥AF .20．(本小题满分13分) 如图13，四棱锥P ABCD －中，底面ABCD 是菱形，3BAD π∠＝，若P A P D ＝，平面PAD ⊥平面ABCD . （1）求证：AD PB ⊥；（2）若E 为BC 的中点，能否在棱PC 上找到一点F ，使得平面DEF ⊥平面ABCD ，并证明你的结论.21. 已知某几何体的直观图和三视图如图14所示，主视图为矩形，左视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，（1）求证：11//BC C B N 平面； （2）求证：11BN C B N 平面； （3）求此几何体的体积.图14赣县中学北校区2013—2014学年上学期高二年级十月月考数学试题参考答案7．【解析】 如图所示，取BC 、AD 的中点E 、F ，分别连结B 1E ，EF ，FA 1，则ON ⊂平面A 1FEB 1. ∵AM ⊥A 1F ，AM ⊥A 1B 1，A 1F ∩A 1B 1＝A 1.∴AM ⊥平面A 1FEB 1，∴AM ⊥ON .【答案】 C8．【解析】 依题意知，截面圆的半径r ＝1，球的半径R ＝12＋12＝2，故球体的体积V ＝43π(2)3＝823π.【答案】 A 9．【解析】 ∵PB 在底面射影为AB ，AB 与AD 不垂直，∴PB 与AD 不垂直，排除A.又BD ⊥AB ，BD ⊥PA ，∴BD ⊥面PAB .但BD 不在面PBC 内，排除B.∵BD ∥AE ，∴BD ∥面PAE ，∴BC 与面PAE 不平行，排除C.又∵PD 与面ABC 所成角为∠PDA ，AD ＝2AB ＝PA ，∴∠PDA ＝45°.【答案】 D 10．【解析】 由已知易推出平面ABC 1⊥平面ABC ，故C 1在底面上的射影H 在两平面交线AB 上．【答案】 A11. 【解析】设圆锥的底面半径为r. 则2 πr ＝2π，∴r ＝1，则圆锥的表面积：S ＝12×2π×2＋πr2＝2π＋π＝3π.答案：3π 12．【解析】命题①，由l ⊥α，α∥β得l ⊥β，∴l ⊥m ，故①对；命题②，l ⊥mD /⇒l ⊥β，则l ⊥mD /⇒α∥β，故命题②错误．命题③，当α⊥β时，l 与m 也可能相交或异面，故③错误．命题④，由l ⊥α，l ∥m 得m ⊥α，∴α⊥β，故④正确．【答案】 ①④ 12．【解析】 ∵PA ⊥底面ABC ，∴PA 为三棱锥P —ABC 的高，且PA ＝3，∵底面ABC 为正三角形且边长为2，∴底面面积为12×22×sin 60°＝3，∴V P —ABC ＝13×3×3＝ 3.【答案】 314．【解析】考虑极端：M为A，N为B，排除②；M为B1，N为C1，排除④.如图作MM′⊥A1B1于M′，作NN′⊥B1C1于N′，易证|MM′|＝|NN′|，MM′∥NN′，MN∥M′N′，由此知①③正确．【答案】①③15．【解析】由已知得B1D⊥平面AC1，又CF⊂平面AC1，∴B1D⊥CF，故若CF⊥平面B1DF，则必有CF⊥DF.设AF＝x(0＜x＜3a)，则CF2＝x2＋4a2，DF2＝a2＋(3a－x)2，又CD2＝a2＋9a2＝10a2，∴10a2＝x2＋4a2＋a2＋(3a－x)2，解得x＝a或2a.【答案】a或2a16．解：(1)连接BA′，则BA′∥CD′，则∠A′BC′就是BC′与CD′所成的角．连接A′C′，由△A′BC′为正三角形，知∠A′BC′＝60°.即BC′与CD′所成的角为60°.………………………………………6分(2)由AD∥BC，知AD与BC′所成的角就是∠C′BC.易知∠C′BC＝45°.………………………12分由三角形相似得r h x R h -=，所以1(2)2r x =-， S 圆柱侧=π21(2)(2)2x x x x -=π- 2(2)(02)x x x =π-+<<．…………………8分(2) S 圆柱侧2(2)x x =π-+2[(1)1]x =π--+，又02x <<， 所以当1x =时，S 圆柱侧最大=π.……………12分19．【解】 (1)∵V E —PAD ＝V P —ADE ，又PA ＝1，S △ADE ＝12AD ·AB ＝32，∴V E －PAB ＝13PA ·S △ADE ＝13×1×32＝36.…………………………4分(2)当点E 为BC 的中点时，EF 与平面PAC 平行． ∵在△PBC 中，E 、F 分别为BC 、PB 的中点，∴EF ∥PC ，又EF ⊄平面PAC ，PC ⊂平面PAC ，∴EF ∥平面PAC . …………………………8分 (3)证明 ∵PA ⊥平面ABCD ，BE ⊂平面ABCD ， ∴BE ⊥PA ，又BE ⊥AB ，AB ∩PA ＝A ， ∴BE ⊥平面PAB .又AF ⊂平面PAB ， ∴AF ⊥BE .又PA ＝AB ＝1，点F 是PB 的中点， ∴PB ⊥AF ，又∵PB ∩BE ＝B ， ∴AF ⊥平面PBE .∵PE ⊂平面PBE ，∴AF ⊥PE . …………………………12分21．【解】（1）证明： 该几何体的正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，∴1,,BA BC BB 两两互相垂直。

高二数学选修1-2第一章统计案例练习题(含答案北师大版)一、选择题1．下列两个变量具有相关关系的是()A．正方体的体积与边长B．匀速行驶的车辆的行驶距离与行驶时间C．人的身高与体重D．人的身高与视力【解析】A、B是函数关系，D无相关关系．相关关系是一种不确定的关系．【答案】C2．随机抽样中测得四个样本点为(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，则y与x 之间的回归直线方程为()A．y＝x＋1B．y＝x＋2C．y＝2x＋1D．y＝x－1【解析】x＝1＋2＋3＋44＝52，y＝2＋3＋4＋54＝72.因为回归直线一定过点(x，y)，所以A项符合要求．【答案】A3．设(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)是变量x和y的n个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图1－1－1)，以下结论正确的是()图1－1－1A．直线l过点(x，y)B．x和y的相关系数为直线l的斜率C．x和y的相关系数在0到1之间D．当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同【解析】由样本的中心(x，y)落在回归直线上可知A正确；x和y的相关系数表示为x与y之间的线性相关程度，不表示直线l的斜率，故B 错；x和y的相关系数应在－1到1之间，故C错；分布在回归直线两侧的样本点的个数并不绝对平均，无论样本点个数是奇数还是偶数，故D错．【答案】A4．为了考查两个变量x和y之间的线性相关性，甲、乙两名同学各自独立地做了10次试验和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l1和l2.已知两个人在试验中发现对变量x的观测数据的平均数都为s，对变量y的观测数据的平均数都为t，那么下列说法中正确的是()A．直线l1和l2都过点(s，t)B．直线l1和l2相交，但交点不一定是(s，t)C．直线l1和l2必平行D．直线l1和l2必重合【解析】线性回归方程y＝bx＋a恒过点(x，y)，故直线l1和l2都过点(s，t)．【答案】A5．若已知∑(xi－x)2是∑(yi－y)2的两倍，∑(xi－x)(yi－y)是∑(yi－y)2的1.2倍，则相关系数r的值是()A.21.2B.1.22C．0.92D．0.65【解析】由题意知r＝i＝－－＝－＝－＝1.2i＝－＝－＝－＝1.22.【答案】B二、填空题6．已知变量y对x的线性回归方程为y＝－0.81＋0.50x，则当x＝25时，y的估计值为________．【解析】当x＝25时，y的估计值为－0.81＋0.50×25＝11.69.【答案】11.697．某单位为了了解用电量y(度)与气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：气温(℃)181310－1用电量(度)24343864由表中数据得线性回归方程y＝bx＋a中b＝－2，预测当天气温为－4℃时，用电量约为________．【解析】∵x＝18＋13＋10－14＝10，y＝24＋34＋38＋644＝40，y＝－2x＋a过(10,40)，∴a＝40＋2×10＝60，∴y＝－2x＋60.当x＝－4时，y＝－2×(－4)＋60＝68.【答案】68度8．若回归直线方程中的回归系数b＝0，则相关系数r＝________. 【解析】对比线性相关系数和线性回归方程系数b的求解公式：r＝∑ni ＝1xiyi－＝1x2i－＝1y2i－和b＝∑ni＝1xiyi－nxy∑ni＝1x2i－nx2，可以发现其分子相同，故b＝0，可推得r＝0.【答案】0三、解答题9．某连锁经营公司所属的5个零售店某月的销售额和利润情况如下表：商店名称ABCDE销售额x/千万元35679利润y/百万元23345判断销售额与利润是否具有相关性；若销售额和利润具有线性相关关系，用最小二乘法计算利润y对销售额x的线性回归方程．(判断相关性利用两种方法)【解】判断相关性先利用散点图大体观察是否具有相关性，散点图如下：通过散点图可知，两个变量具有相关性，下面通过计算再次明确是否具有相关性(根据上表数据，可以算出：x＝6，y＝3.4)，其他数据见下表：xiyix2iy2ixiyiA32946B5325915C6336918D7*******E95812545合计301720063112进而可求得r＝112－5×6×3.4200－5×6263－5×3.42≈0.98，相关系数非常接近1，因此两个变量具有显著的线性相关性，b＝112－5×6×3.4200－5×62＝0.5，a＝3.4－0.5×6＝0.4，故所求线性回归方程为y＝0.5x＋0.4.10．某小卖部为了解雪糕销售量与气温之间的关系，随机统计并制作了卖出雪糕数与当天气温的对照表：气温x(℃)2023252729313435卖出雪糕数y(根)1624303438425064求出线性回归方程，并预测气温为37℃时卖出雪糕的数量．【解】由表中数据可得：i＝18x2i＝6466，i＝18xiyi＝8884，x＝28，y＝37.25，进而可以求得b＝i＝18xiyi－8xyi＝18x2i－8x2＝8884－8×28×37.256466－8×282≈2.78，a＝y－bx≈37.25－2.78×28＝－40.59.∴线性回归方程为y＝－40.59＋2.78x.把x＝37代入，得y≈62，∴预测气温为37℃时，卖出雪糕的数量约为62根．11．某种图书每册的成本费y(元)与印刷册数x(千册)有关，经统计得到数据如下：x123510203050100200y10.155.524.082.852.111.621.411.301.211.15检测每册书的成本费y与印刷册数的倒数1x之间是否具有线性相关关系，如有，求出y对x的回归方程．【解】首先作变量转换u＝1x，题目所给数据变成如下表所示的数据：i12345678910ui10.50.330.20.10.050.030.020.010.005yi10.155.524.082.852.111.621.411.301.211.15可以求得，r＝∑10i＝－－＝－＝－因此，变量y与u之间具有较强的线性相关关系．经计算得b≈8.973，a≈1.125，最后回代u＝1x可得，y＝1.125＋8.973x.。

北师大版高二（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）命题“∃x0∈R，使得x02+x0+1＜0”的否定是（）A．“∃x0∈R使得x02+x0+1≥0”B．“∃x0∈R使得x02+x0+1＞0”C．“∀x∈R，使得x2+x+1≥0”D．“∀x∈R，使得x2+x+1＞0”2．（5分）“0＜m＜2”是“方程表示椭圆”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，∠DAD1＝45°，∠CDC1＝30°，那么异面直线AD1与DC1所成角的余弦值是（）A．B．C．D．4．（5分）若关于x的不等式ax﹣b＞0的解集是（﹣∞，﹣2），关于x的不等式的解集为（）A．（﹣∞，﹣1）∪（1，2）B．（﹣1，0）∪（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（0，2）D．（0，1）∪（2，+∞）5．（5分）若抛物线y2＝4px（p＞0）的焦点是椭圆的一个焦点，则p＝（）A．8B．4C．3D．26．（5分）边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角的和是（）A．75°B．90°C．135°D．120°7．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＞0且，当S n取最大值时，n的值为（）A．9B．10C．11D．128．（5分）已知双曲线的左，右焦点分别为F1，F2，双曲线的离心率为e，若双曲线上一点P使，则的值为（）A．3B．2C．﹣3D．﹣29．（5分）已知log2（a﹣2）+log2（b﹣1）＝1，则2a+b取到最小值时，a+b＝（）A．9B．6C．4D．310．（5分）椭圆＝1的长轴为A1A2，短轴为B1B2，将椭圆沿y轴折成一个二面角，使得A1点在平面B1A2B2上的射影恰好为椭圆的右焦点，则该二面角的大小为（）A．75°B．60°C．45°D．30°11．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若c＝2，，且sin C+sin（B﹣A）﹣2sin2A＝0，则下列选项不一定成立的是（）A．b＝2aB．△ABC的周长为C．△ABC的面积为D．△ABC的外接圆半径为12．（5分）已知椭圆C的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），过点F2的直线与椭圆C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为（）A．+y2＝1B．+＝1C．+＝1D．+＝1二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知实数x，y满足，则z＝|2x+y|的最大值是．14．（5分）已知数列{a n}为正项的递增等比数列，a1+a5＝82，a2•a4＝81，记数列的前n项和为T n，则使不等式成立的正整数n的最大值为．15．（5分）已知抛物线C：y2＝6x，过焦点F且斜率为的直线与C相交于P，Q两点，且P，Q两点在准线上的投影分别为M，N两点，则S△MFN＝．16．（5分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB，AC，AA1两两互相垂直，AA1＝2AB＝2AC，M，N 是线段BB1，CC1上的点，平面AMN与平面ABC所成（锐）二面角为，当B1M最小时，∠AMB ＝．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．设p：函数f（x）＝lg（ax2﹣4x+a）的定义域为R；q：设，，不等式对∀x∈（﹣∞，﹣1）上恒成立，如果命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．18．已知数列{a n}和{b n}满足a1＝1，b1＝0，4a n+1＝3a n﹣b n+4，4b n+1＝3b n﹣a n﹣4．（1）证明：{a n+b n}是等比数列，{a n﹣b n}是等差数列；（2）求{a n}和{b n}的通项公式．19．已知F是抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，P（1，t）是抛物线上一点，且|PF|＝2．（1）求抛物线C的方程；（2）直线l与抛物线C交于A，B两点，若•＝﹣4（O为坐标原点），则直线l是否会过某个定点？若是，求出该定点坐标，若不是，说明理由．20．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，（sin B﹣sin C）2＝sin2A﹣sin B sin C．（1）求A；（2）若△ABC为锐角三角形，且，求b2+c2+bc取值范围．21．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝BC＝2AD＝2，四边形EDCF为矩形，，平面EDCF⊥平面ABCD．（1）求证：DF∥平面ABE；（2）在线段DF上是否存在点P，使得直线BP与平面ABE所成角的正弦值为，若存在，求出线段BP的长．22．已知椭圆M：＝1（a＞0，b＞0）的两个顶点分别为A（﹣a，0），B（a，0），点P为椭圆上异于A，B的点，设直线P A的斜率为k1，直线PB的斜率为k2，．（1）求椭圆C的离心率；（2）若b＝1，设直线l与x轴交于D（﹣1，0），与椭圆交于M，N两点，求△OMN的面积的最大值．北师大版高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）命题“∃x0∈R，使得x02+x0+1＜0”的否定是（）A．“∃x0∈R使得x02+x0+1≥0”B．“∃x0∈R使得x02+x0+1＞0”C．“∀x∈R，使得x2+x+1≥0”D．“∀x∈R，使得x2+x+1＞0”【解答】解：原命题为特称命题，故其否定为全称命题，即命题的否定是：“∀x∈R，使得x2+x+1≥0”故选：C．2．（5分）“0＜m＜2”是“方程表示椭圆”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：根据题意，当m＝1时，满足0＜m＜2，方程即x2+y2＝1，表示圆不能表示椭圆，则“0＜m＜2”是“方程表示椭圆”的不充分条件，方程表示椭圆，必有，解可得0＜m＜1或1＜m＜2，则“0＜m＜2”是“方程表示椭圆”的必要条件，综合可得：则“0＜m＜2”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件，故选：C．3．（5分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，∠DAD1＝45°，∠CDC1＝30°，那么异面直线AD1与DC1所成角的余弦值是（）A．B．C．D．【解答】解：如图设AD＝1，则D1D＝1，C1D＝2，DC1＝，BC＝1将D1A平移到C1B，则∠DC1B是异面直线AD1与DC1所成角BD＝2，C1B＝，DC1＝2cos∠DC1B＝＝．故选：A．4．（5分）若关于x的不等式ax﹣b＞0的解集是（﹣∞，﹣2），关于x的不等式的解集为（）A．（﹣∞，﹣1）∪（1，2）B．（﹣1，0）∪（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（0，2）D．（0，1）∪（2，+∞）【解答】解：根据题意，关于x的不等式ax﹣b＞0的解集是（﹣∞，﹣2），必有，则有b＝﹣2a且a＜0，则⇒＞0⇒＞0⇒＜0⇒（x+1）x（x﹣2）＜0，解可得：x＜﹣1或0＜x＜2，即不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（0，2）；故选：C．5．（5分）若抛物线y2＝4px（p＞0）的焦点是椭圆的一个焦点，则p＝（）A．8B．4C．3D．2【解答】解：抛物线y2＝4px（p＞0）的焦点坐标为（p，0），由椭圆，得c＝，则椭圆焦点坐标为（，0），（，0），由题意，p＝，解得p＝2．故选：D．6．（5分）边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角的和是（）A．75°B．90°C．135°D．120°【解答】解：边长7所对应的角α满足：cosα＝＝，α∈（0°，180°），∴α＝60°．可得边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角的和＝180°﹣60°＝120°．故选：D．7．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＞0且，当S n取最大值时，n的值为（）A．9B．10C．11D．12【解答】解：等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＞0且，∴＝，整理，得，S n＝na1+＝﹣+＝﹣．∴当S n取最大值时，n的值为11．故选：C．8．（5分）已知双曲线的左，右焦点分别为F1，F2，双曲线的离心率为e，若双曲线上一点P使，则的值为（）A．3B．2C．﹣3D．﹣2【解答】解：双曲线的a＝1，b＝，c＝＝2，可得＝＝2，F1（﹣2，0），F2（2，0），P为右支上一点，由正弦定理可得|PF1|＝2|PF2|，由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|＝2a＝2，解得|PF1|＝4，|PF2|＝2．在△PF2F1中，由余弦定理得cos∠PF2F1＝＝，则＝||•||•cos∠PF2F1＝2×4×＝2．故选：B．9．（5分）已知log2（a﹣2）+log2（b﹣1）＝1，则2a+b取到最小值时，a+b＝（）A．9B．6C．4D．3【解答】解：由log2（a﹣2）+log2（b﹣1）＝1可得，（a﹣2）（b﹣1）＝2且a＞2，b＞1，由（a﹣2）（b﹣1）＝2可得，，∴，当且仅当a＝b＝3时，2a+b取到最小值9，此时a+b＝3+3＝6．故选：B．10．（5分）椭圆＝1的长轴为A1A2，短轴为B1B2，将椭圆沿y轴折成一个二面角，使得A1点在平面B1A2B2上的射影恰好为椭圆的右焦点，则该二面角的大小为（）A．75°B．60°C．45°D．30°【解答】解：连接A10∵A10⊥y轴，A20⊥y轴，∴∠A10A2为两个面的二面角．|A10|＝a＝4，|0F|＝c＝＝2，∴cos∠A10A2＝＝∴∠A10A2＝60°，故选：B．11．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若c＝2，，且sin C+sin（B﹣A）﹣2sin2A＝0，则下列选项不一定成立的是（）A．b＝2aB．△ABC的周长为C．△ABC的面积为D．△ABC的外接圆半径为【解答】解：由C＝π﹣A﹣B的，sin C＝sin（A+B），∵sin C+sin（B﹣A）﹣2sin2A＝0，∴sin（A+B）+sin（B﹣A）﹣2sin2A＝0，化简得，sin B cos A﹣2sin A cos A＝0，则cos A（sin B﹣2sin A）＝0，∴cos A＝0或sin B﹣2sin A＝0，（1）当cos A＝0，A＝时，由∠C＝得B＝，∵c＝2，∴b＝c tan B＝，则a＝；（2）当sin B﹣2sin A＝0时，由正弦定理得，b＝2a，∵c＝2，∠C＝，∴由余弦定理得c2＝a2+b2﹣2ab cos C，则4＝a2+4a2﹣2a×2a×解得a＝，则b＝，此时满足b2＝a2+c2，即B＝，对于A，当A＝时，a＝2b，故A错误；对于B，当A＝或B＝时，△ABC的周长为：a+b+c＝2+2，故B正确；对于C，当B＝时，△ABC的面积S＝ac＝，当A＝时，S＝bc＝，成立，故C正确；对于D，当A＝或B＝时，由正弦定理得2R＝＝，得R＝，故D正确，综上可得，命题正确的BCD，错误的为A故选：A．12．（5分）已知椭圆C的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），过点F2的直线与椭圆C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为（）A．+y2＝1B．+＝1C．+＝1D．+＝1【解答】解：∵|AF2|＝2|BF2|，∴|AB|＝3|BF2|，又|AB|＝|BF1|，∴|BF1|＝3|BF2|，又|BF1|+|BF2|＝2a，∴|BF2|＝，∴|AF2|＝a，|BF1|＝a，∵|AF1|+|AF2|＝2a，∴|AF1|＝a，∴|AF1|＝|AF2|，∴A在y轴上．在Rt△AF2O中，cos∠AF2O＝，在△BF1F2中，由余弦定理可得cos∠BF2F1＝，根据cos∠AF2O+cos∠BF2F1＝0，可得+＝0，解得a2＝3，∴a＝．b2＝a2﹣c2＝3﹣1＝2．所以椭圆C的方程为：+＝1．故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知实数x，y满足，则z＝|2x+y|的最大值是6．【解答】解：先根据实数x、y满足线性约束条件实数x，y满足画出可行域，A（1，1），C（﹣2，﹣2），B（﹣2，2）然后平移直线0＝2x+y，当直线z＝2x+y过点A（1，1）时，z最大值为3．经过C时，2x+y取得最小值：﹣6，所以z＝|2x+y|的最大值：6．故答案为：6．14．（5分）已知数列{a n}为正项的递增等比数列，a1+a5＝82，a2•a4＝81，记数列的前n项和为T n，则使不等式成立的正整数n的最大值为6．【解答】解：数列{a n}为正项的递增等比数列，a1+a5＝82，a2•a4＝a2•a4＝81，即解得，则公比q＝3，∴，则＝，∴，即，得3n＜2019，此时正整数n的最大值为6．故答案为：6．15．（5分）已知抛物线C：y2＝6x，过焦点F且斜率为的直线与C相交于P，Q两点，且P，Q两点在准线上的投影分别为M，N两点，则S△MFN＝6．【解答】解：根据题意设直线的方程为y＝（x﹣），设P（x1，y1），Q（x2，y2），由，得x2﹣5x+＝0，，|PQ|＝＝2×4＝8，|MN|＝8sin60°＝4，故S，故答案为：6．16．（5分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB，AC，AA1两两互相垂直，AA1＝2AB＝2AC，M，N 是线段BB1，CC1上的点，平面AMN与平面ABC所成（锐）二面角为，当B1M最小时，∠AMB＝．【解答】解：以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，设AA1＝2AB＝2AC＝2，BM＝a，CN＝b，则A（0，0，0），B（1，0，0），M（1，0，a），N（0，1，b），＝（1，0，a），＝（0，1，b），设平面AMN的法向量＝（x，y，z），由，取z＝1，得＝（﹣a，﹣b，1），平面ABC的法向量＝（0，0，1），∵平面AMN与平面ABC所成（锐）二面角为，∴cos＝＝，得a2+b2＝3，∴当B1M|最小时，BM＝a最大，此时a＝，b＝0，∴tan∠AMB＝，∴∠AMB＝．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．设p：函数f（x）＝lg（ax2﹣4x+a）的定义域为R；q：设，，不等式对∀x∈（﹣∞，﹣1）上恒成立，如果命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．【解答】解：若p真则ax2﹣4x+a＞0对x∈R都成立，则△＜0且a＞0，解得a＞2，若q真则由对∀x∈（﹣∞，﹣1）上恒成立，2x2+x﹣（ax+2）＞0即a＞2x﹣+1对∀x∈（﹣∞，﹣1）上恒成立，则a＞（2x﹣+1）max令y＝2x﹣+1，在（﹣∞，﹣1]上是增函数，当x＝﹣1时取得最大值y max＝1，故a≥1，又“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，等价于p，q一真一假，若p真q假，则，无解，若p假q真，则，则1≤a≤2，综上，1≤a≤2．18．已知数列{a n}和{b n}满足a1＝1，b1＝0，4a n+1＝3a n﹣b n+4，4b n+1＝3b n﹣a n﹣4．（1）证明：{a n+b n}是等比数列，{a n﹣b n}是等差数列；（2）求{a n}和{b n}的通项公式．【解答】解：（1）证明：∵4a n+1＝3a n﹣b n+4，4b n+1＝3b n﹣a n﹣4；∴4（a n+1+b n+1）＝2（a n+b n），4（a n+1﹣b n+1）＝4（a n﹣b n）+8；即a n+1+b n+1＝（a n+b n），a n+1﹣b n+1＝a n﹣b n+2；又a1+b1＝1，a1﹣b1＝1，∴{a n+b n}是首项为1，公比为的等比数列，{a n﹣b n}是首项为1，公差为2的等差数列；（2）由（1）可得：a n+b n＝（）n﹣1，a n﹣b n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1；∴a n＝（）n+n﹣，b n＝（）n﹣n+．19．已知F是抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，P（1，t）是抛物线上一点，且|PF|＝2．（1）求抛物线C的方程；（2）直线l与抛物线C交于A，B两点，若•＝﹣4（O为坐标原点），则直线l是否会过某个定点？若是，求出该定点坐标，若不是，说明理由．【解答】解：（1）由抛物线的定义知|PF|＝1+＝2，∴p＝2，∴抛物线C的方程为：y2＝4x．（2）设AB的方程为：x＝my+n，代入y2＝4x有y2﹣4my﹣4n＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1•y2＝﹣4n，∴x1•x2＝，∴＝x1•x2+y1•y2＝n2﹣4n＝﹣4，∴n＝2，∴AB的方程为：x＝my+2，恒过点N（2，0）．20．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，（sin B﹣sin C）2＝sin2A﹣sin B sin C．（1）求A；（2）若△ABC为锐角三角形，且，求b2+c2+bc取值范围．【解答】解：（1）∵（sin B﹣sin C）2＝sin2A﹣sin B sin C．∴sin2B+sin2C﹣sin2A＝sin B sin C，∴b2+c2﹣a2＝bc．由余弦定理，得．∵0°＜A＜180°，∴A＝60°．（2）由正弦定理，有，∴b＝2sin B，c＝2sin C，∴b2+c2+bc＝a2+2bc＝3+2bc＝8sin B sin C+3＝＝．∴，∴，∴，∴，∴b2+c2+bc∈（7，9]．21．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝BC＝2AD＝2，四边形EDCF为矩形，，平面EDCF⊥平面ABCD．（1）求证：DF∥平面ABE；（2）在线段DF上是否存在点P，使得直线BP与平面ABE所成角的正弦值为，若存在，求出线段BP的长．【解答】（1）证明：取D为原点，DA所在直线为x轴，过D且与AB平行的直线为y轴，DE所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则，∴，设平面ABE的法向量为，∴，可取，又，∴，∴，又∵DF不在平面ABE，∴DF∥平面ABE；（2）解：设，∴，∴，又∵平面ABE的一个法向量为，∴，∴8λ2﹣6λ+1＝0，∴或，∴当时，，∴，当时，，∴，综上．22．已知椭圆M：＝1（a＞0，b＞0）的两个顶点分别为A（﹣a，0），B（a，0），点P为椭圆上异于A，B的点，设直线P A的斜率为k1，直线PB的斜率为k2，．（1）求椭圆C的离心率；（2）若b＝1，设直线l与x轴交于D（﹣1，0），与椭圆交于M，N两点，求△OMN的面积的最大值．【解答】解：（1）设P（x0，y0），代入椭圆方程有：＝1，整理，得：＝﹣（），又k1＝，，∴k1k2＝＝﹣，联立两个方程有k1k2＝﹣＝﹣，解得e＝＝．（2）由（1）知a2＝2b2，又b＝1，∴椭圆C的方程有：．设直线l的方程为x＝my﹣1，代入椭圆的方程为：（m2+2）y2﹣2my﹣1＝0，设M（x1，y1），N（x2，y2），由韦达定理得：，y1y2＝﹣，∴S△OMN＝|OD|•|y1﹣y2|＝＝＝，令＝t，（t≥1），则m2＝t2﹣1，代入上式，有S△OMN＝＝＝≤，当且仅当t＝1，即m＝0时，等号成立，∴△OMN的面积的最大值为．。

高二数学北师大版试卷考试范围：xxx；考试时间：xxx分钟；出题人：xxx姓名：___________班级：___________考号：___________1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1.复数i﹣1（i是虚数单位）的虚部是（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i2.如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=2AD，设，以A，B为焦点且过点D的双曲线的离心率为，以C，D为焦点且过点A的椭圆的离心率为，则（）A．随着角度的增大，增大，为定值B．随着角度的增大，减小，为定值C．随着角度的增大，增大，也增大D．随着角度的增大，减小，也减小3.已知复数，则等于（）A．0 B．1 C． D．24.设二项式（）展开式的二项式系数和与各项系数和分别为，，则=（）A． B． C． D．5.定义在上的可导函数满足，且，则的解集为（）A．B．C．D．6.设表示不超过的最大整数（如［2］=2，［］=1），对于给定的n N*，定义，，则当时，函数的值域是（）A．B．C．D．7.（）A． B． C． D．8.已知,且是第四象限的角,则 ( )9.函数的零点所在的一个区间是 ( )A． B． C． D．10.已知函数的图象与轴切于（1，0）点，则的极值为（）A．极大值为，极小值为0B．极大值为0，极小值为C．极小值为，极大值为0D．极小值为0，极大值为11.已知,则下列结论中错误的是（）A．B．．C．D．12.设平面内有条直线（），其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点.若用表示这条直线交点的个数，=A． B． C． D．13.如图，，是双曲线的左、右两个焦点，若直线与双曲线交于，两点，且四边形为矩形，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．14.焦点为（0,6），且与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程是（）A． B． C． D．15.已知是两个不相等的正数，是的等差中项，是的等比中项，则与的大小关系是（）A． B． C． D．16.下列四个函数，在x=0处取得极值的函数是（）①y=x3②y=x2+1 ③y=|x|④y=2xA．①② B．②③ C．③④ D．①③17.已知＜α＜π，3sin2α=2cosα，则cos（α﹣π）等于（）A． B． C． D．18.已知随机变量服从正态分布N（2，σ2），且P（＜4）＝0.8，则P（0＜＜2）＝( ) A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.219.在同一直角坐标系中，表示直线与正确的是（）．A B C D20.在正项等比数列{a n }中，若s 2=7,s 6=91,则s 4的值为（ ） A ．28 B ．32 C ．35 D ．49 评卷人 得 分二、填空题21.某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月2日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知9时至10时的销售额为2.5万元 ，则11时至12时的销售额为___________万元．22.已知，则= 。

北师大版选修1-2高二数学推理精选题1. 类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，空间中有下列结论：①垂直于同一条直线的两条直线互相平行②垂直于同一个平面的两条直线互相平行③垂直于同一条直线的两个平面互相平行④垂直于同一个平面的两个平面互相平行，则其中正确的是（ ）A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④ 答案：B .2.设a n ＝log n ＋1(n ＋2)(n ∈N *)，观察下列运算：a 1·a 2＝log 23·log 34＝lg 3lg 2·lg 4lg 3＝2；a 1·a 2·a 3·a 4·a 5·a 6＝log 23·log 34·log 45·log 56·log 67·log 78＝lg 8lg 2＝3；……则当a 1·a 2……a k ＝2017时，正整数为( )A ．22015－2B ．22017C ．22017－2D ．22017＋2答案：C .3.在平面内，凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，凸六边形有9条对角线，由此猜想凸n 边形有________条对角线．答案：n (n －3)24.已知正三角形的外接圆的圆心位于该正三角形的高的三等分点处，且外接圆半径的长等于高的三分之二，由此类比，棱长为a 的正四面体的外接球的半径的长为 .答案：64a 5.由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四个面A ．各正三角形内一点B ．各正三角形的某高线上的点C ．各正三角形的中心D ．各正三角形外的某点 答案：C .6.观察下列各式：a ＋b ＝1，a ²＋b ²＝3，a 3＋b 3＝7，…，则a 10＋b 10＝ . 答案：1237.已知“整数对”按如下规律排列成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)， (1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个“整数对”是 . A .(5,7) B . (7,5) C . (2,10) D . (10,1) 答案：A . 8.将全体正偶数排成一个三角形的数阵：根据以上排列规律，数阵中第n(n≥3)行的从左到右的第3个数是.答案：n²－n＋69.下面几种推理是合情推理的是①由圆的性质类比出球的性质；②由直角三角形、等腰三角形、等比三角形内角和为180º，归纳出所有三角形的内角和都是180º；③某次考试张军成绩是100分，由此推出全班同学成绩都是100分；④三角形内角和180º，四边形内角和是360º，五边形内角和为540º，由此得出凸n 边形内角和为(n－2)·180º.A. ①②B. ②④C. ①③④D. ①②④答案：D.10.把数列依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，…循环即为：(3)，(5,7)，(9,11,13)，(15,17,19,21)，…则2017在第n个括号内，则n＝.答案：4511.图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数就是（）A．25 B．66 C．91 D．120答案：C.12.按如图的规律所拼成的一图案共有1024个大小相同的小正三角形”△”或”▽”，则该图案共有A. 16层B. 32层C. 64层D.128层答案：B.13.观察数表(3),(5,7),(9,11,13),(15,17,19,21),(23),(25,27),(29,31,33),(35,37,39,41),(43),…,则第100个括号内各数之和为.A.1479B.1992C.2000D.2072答案：B.14.在平面上，若两个正三角形的边长之比1:2，则它们的面积之比为1:4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长之比为1:2，则它们的体积之比为（）A.1:4B.1:6C.1:8D.1:9答案：C.15.已知f(3)=1+12+13+…+1n(n∈N*)，经计算得f(2)=32，f(4)>2，f(8)>52，f(16)>3，f(32)>72，推测出n≥2时，有不等式成立.答案：f(2n)＞n＋2 216.观察下列等式(1+x+x²)1=1+x+x²(1+x+x²)2=1+2x+3x²+2x3+x4(1+x+x²)3=1+3x+6x²+7x3+6x4+3x5+x6(1+x+x²)4=1+4x+10x²+16x3+19x4+16x5+10x6+4x7+x8若(1+x+x²)6=a0+a1x+a2x²+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7+a8x8+a9x9+a10x10+a11x11+a12x12则a2= .答案：2117.把正整数按如图排列，现有一个三角形框架在图中上下或左右移动，每次恰有9个数在三角形内，则这9个数的和可以是.A．2015 B．1220 C. 2111 D．2264答案：B.3个数C.第13行第3个数D.第17行第2个数答案：C.19.用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为.A ． 6n －2B ． 8n －2C ． 6n ＋2D ． 8n＋2 答案：C . 20.观察式子：2222221311511171,1,1,222332344+<++<+++< 则可归纳出式子为（ ）A . ()222111211223n n nn+++++<≥ B . ()222111211223n n n n-++++<≥C . ()222211111223n n n n-++++<≥ D . ()222111211223n n n n-++++<≥ 答案：B .21观察等式：sin 50sin 202sin 35cos15+= ，sin 66sin 322sin 49cos17+= 猜想符合以上两式规律的一般结论，并进行证明．22.某少数民族的刺绣有着悠久的历史，下图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含f (n )个小正方形． ⑴求出f (2)，f (3)，f (4)，f (5)，并猜测f (n )的表达式；⑵求证：1f (1)+1f (2)-1+1f (3)-1+…+1f (n )-1＜3222.解析：(1)∵ f (1)＝1，f (2)＝5，f (3)＝13，f (4)＝25，∴ f (5)＝25＋4×4＝41. ………………………………4分 ∵ f (2)－f (1)＝4＝4×1，f (3)－f (2)＝8＝4×2， f (4)－f (3)＝12＝4×3，f (5)－f (4)＝16＝4×4， 由上式规律得出f (n ＋1)－f (n )＝4n .∴ f (n )－f (n －1)＝4(n －1)，f (n －1)－f (n －2)＝4·(n －2)， f (n －2)－f (n －3)＝4·(n －3)，…f (2)－f (1)＝4×1，∴ f (n )－f (1)＝41(n －1)＋(n －2)＋…＋2＋1]＝2(n －1)·n ，∴ f (n )＝2n 2－2n ＋1(n ≥2)，又n ＝1时，f (1)也适合f (n )．∴ f (n )＝2n 2－2n ＋1. ………… 7分 (2)当n ≥2时，()11f n -＝12n 2－2n ＋1－1＝12⎝⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ， (9)分 ∴()()()()1111121311f f f f n ++++=--- 1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n＝1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＝32－12n .32< 23.已知函数f (x )=13x +3，⑴分别求f (0)+f (1)，f (-1)+f (2)，f (-2)+f (3)的值； ⑵试根据⑴的结果归纳猜想一般性的结论，并给出证明.23.…………………………………………………2分………………………………6分（2）根据(1)的结果可以猜想()+()3f f =ｘ１－ｘ (8)分证明：()+()f f =+ｘ１－ｘ+ｘ３+ｘ３ｘ……11分()+()f f ∴ｘ ………………………………………………12分24.已知正数a ，b 满足a ＋b ＝1.观察以下不等式的规律：①1a ＋1b ≥4；②1a ＋4b ≥9；③1a ＋9b ≥16；…分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的不等式，并对猜想结果的正确性作出证明. 24解：猜想：*22,)1(1N n n bn a ∈+≥+5分 证明：1=+b a*22222222,)1(111,1(211))(1(1N n n n nb n a b a a n b n n ba n ab n b a bn a b n a ∈+=⎪⎩⎪⎨⎧+=+=⎩⎨⎧=+=++≥+++=++=+∴时取等号）即当且仅当所以猜想成立.演绎推理25．观察下面的演绎推理过程，判断正确的是大前提：若直线a ⊥直线 l ，且直线b ⊥直线 l ，则a ∥b ．小前提：正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，A 1B 1⊥AA 1．且AD ⊥AA 1 结论：A 1B 1∥ADA . 推理正确B ．大前提出错导致推理错误C ．小前提出错导致推理错误D ．仅结论错误 答案：B .26. 有一段“三段论”推理是这样的：“若函数f (x )在定义域内可以求导函数，如果f ʹ(x )=0，那么x =x 0是函数f (x )的极值点；因为函数f (x )=x ³在x =0处满足f ʹ(0)=0，所以x =0是函数 f (x )=x ³的极值点”.对于以上推理，说法正确的是A . 大前提错误B .小前提错误C .推理形式错误D .结论正确 答案：A .27.有一段演绎推理是这样的“任何实数的平方都大于0.因为a ∈R 所以a ²>0”,结论显然是错误的，是因为A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．非以上错误答案：A .28.下面三段话可组成“三段论”，则“小前提”是 ①因为指数函数y =a x (a >1)是增函数；②所以y =2x 是增函数③而y =2x 是指数函数. A . ① B . ② C . ①② D . ③ 答案：D .29.下面几种推理过程是演绎推理的是（ ） A ． 两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A 与∠B 是两条平行直线的同旁内角，则∠A +∠B =180°B ． 某校高三一班有55人,二班有54人,三班有52人,由此得高三所有班人数均超过50人C ． 由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质D ． 在数列{a n }中，a 1=1，a n =12(a n ﹣1+1a n ﹣1)(n ≥2)，由此归纳出{a n }的通项公式答案：A .30.大前提：若函数f (x )是奇函数，则f (0)=0，小前提：g (x )=1x 是奇函数，结论：f (0)=0，则该推理过程A .正确B .因大前提错误导致结论错误C . 因小前提错误导致结论错误D . 因推理形式错误导致结论错误 答案：B .31.下面是一段“三段论”推理过程：若函数f (x )在(a ,b )内可导且单调递增，则在(a ,b )内，f ′(x )＞0恒成立．因为f (x )=x 3在(﹣1，1)内可导且单调递增，所以在(﹣1，1)内， f ′(x )=3x 2＞0恒成立．以上推理中 .A ．大前提错误B .小前提错误C ．结论正确D ．推理形式错误答案：A .32.有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线.已知直线b 不在平面α内，直线a 在平面α内，直线b ∥平面α，则直线b ∥直线a ”.其结论显然是错误的，这是因为 .A ．大前提错误B .小前提错误C ．结论正确D ．推理形式错误答案：A .33.正弦函数是奇函数，f (x )=sin (x ²+1)是正弦函数，所以f (x )是奇函数，以上推理 .A ．结论正确B ．大前提不正确C . 全不正确D ．小前提不正确 答案：D .。

1.若向量满足，且，则向量的夹角为A．30°B．45°C．60°D．120°试题分析：因为，向量满足，且，所以，，，故选D。

2. 已知向量若，则的最小值为（）A．2 B．4 C．D．试题分析：利用向量垂直的充要条件：数量积为0，得到x，y满足的等式；利用幂的运算法则将待求的式子变形；利用基本不等式求出式子的最小值，注意检验等号何时取得.解：由于向量，可知为3（1-x）+2(2y-1)=0,3x-4y=1,又由于，因此可知答案为C.3. 已知是平面上的三个点，直线上有一点满足，则（）A．B．C．D．试题分析：本小题主要考查平面向量的基本定理，把一个向量用平面上的两个不共线的向量来表示，这两个不共线的向量作为一组基底参与向量的运算，注意题目给的等式的应用.根据那吗可知三点共线故选A.4. 已知，A(–3, 1)、B(2, –4)，则直线AB上方向向量的坐标是（）A．(–5, 5) B．(–1, –3) C．(5, –5) D．(–3, –1)试题分析：根据题意,由于向量的坐标等于终点B的坐标减去起点A的坐标,且A(–3, 1)、B(2, –4)，故可知=（2，-4）-（-3，1）=（5，-5），故选C5. 已知实数是和的等比中项，则=A．B．C．D．试题分析：根据等比中项的定义可知，实数是和的等比中项，则有，故答案为D6. 如果等差数列中，，那么( ) A．14 B．21 C．28 D．35试题分析：根据题意，由于等差数列中，，那么根据中项性质可知，，同时故答案为B7. 在等差数列中，若是方程的两个根，那么的值为( )A．－6 B．－12 C．12 D．6试题分析：因为，是方程的两个根，所以，由等差数列的性质，得，=，故选A。

8. 在中，内角依次成等差数列，，，则外接圆的面积为（）A．B．C．D．试题分析：内角依次成等差数列,由余弦定理得外接圆面积为9. 直线的倾斜角是（）A．300B．600C．1200D．1350试题分析：由于直线的斜率为，那么根据倾斜角和斜率的关系可知，tanθ=,那么可知角为1200，故选C.10.若直线始终平分圆的周长，则的最小值为（）．A．B．C．D．试题分析：把圆的圆心为（-1,2），由题意直线过圆心（-1,2），∴-2a-2b+2=0即a+b=1,∴,当且仅当a=b时等号成立，故选B11.若两个等差数列、的前项和分别为、，且满足，则的值为 ________．试题分析：由==，而=，代入已知条件即可算出解：由题设知，又=，所以=，即 ===，故答案为12. 某人向东方向走了x 千米，然后向右转，再朝新方向走了3千米，结果他离出发点恰好千米，那么x 的值是 ．试题分析：如图，由余弦定理得：，解得：千米13. 如图，在△中，M 是BC 的中点，若,则实数= .试题分析：由于在△ABC 中，M 是BC 的中点，可得，而，因此可知实数=2，故答案为2.14. 已知直线与直线互相垂直，则的最大值为 ． 试题分析：因为，直线与直线互相垂直，所以，，即，所以，由基本不等式得，，即的最大值为2.15. 已知实数，满足，则目标函数的最小值是试题分析：画出可行域及直线，平移直线，当其经过点A（3，6）时，目标函数的最小值是-9.16.设向量满足及(1)求夹角的大小；(2)求的值．试题分析：（1）根据题意，由于，且有，那么两边平方可知,根据向量的平方等于模长的平方可知(2)那么对于|3a＋b|＝9+1+2，故|3a＋b|=.17. 已知直线的方程为3x＋4y－12＝0，求满足下列条件的直线的方程．(1) ，且直线过点(－1,3)；(2) ，且与两坐标轴围成的三角形面积为4.试题分析：解：(1)直线：3x＋4y－12＝0，＝－，又∵∥，∴＝－.∴直线：y＝－(x＋1)＋3，即3x＋4y－9＝0.(2)∵⊥，∴＝.设在x轴上截距为b，则在y轴上截距为－b，由题意可知，S＝|b|·|－b|＝4，∴b＝±.∴直线：y＝（x＋）或y＝（x－）.18.在中，角所对的边分别为且满足．（1）求角的大小；（2）求的取值范围.试题分析：（1）由正弦定理得，因为所以，从而，又，所以，则（2）=又，综上所述，的取值范围.19. 风景秀美的凤凰湖畔有四棵高大的银杏树，记做A、B、P、Q，欲测量P、Q 两棵树和A、P两棵树之间的距离，但湖岸部分地方围有铁丝网不能靠近，现在可以方便的测得A、B两点间的距离为米，如图，同时也能测量出，，，，则P、Q两棵树和A、P两棵树之间的距离各为多少？试题分析：（1)中，由正弦定理：5分(2)中，,∴由余弦定理：∴. 10分答：P、Q两棵树之间的距离为米，A、P两棵树之间的距离为米。

选修4-1 第1节一、选择题1．若三角形三边上的高分别为a 、b 、c ，这三边长分别为6、4、3，则a ∶b ∶c ＝( )A ．1∶2∶3B ．6∶4∶3C ．2∶3∶4D ．3∶4∶6解析：由三角形面积公式： 12×6a ＝12×4b ＝12×3c ， ∴6a ＝4b ＝3c ，设3c ＝k ，则a ＝k 6，b ＝k 4，c ＝k 3，∴a ∶b ∶c ＝k 6∶k 4∶k3＝2∶3∶4.答案：C2．如下图，DE ∥BC ，DF ∥AC ，AD ＝4 cm ，BD ＝8 cm ，DE ＝5 cm ，则线段BF 的长为( )A ．5 cmB ．8 cmC ．9 cmD ．10 cm解析：∵DE ∥BC ，DF ∥AC ， ∴四边形DECF 是平行四边形， ∴FC ＝DE ＝5 cm ， ∵DF ∥AC ，∴BF FC ＝BDDA ，即BF 5＝84，∴BF ＝10 cm. 答案：D3．Rt △ABC 中，∠CAB ＝90°，AD ⊥BC 于D ，AB ∶AC ＝3∶2，则CD ∶BD ＝( )A ．3∶2B ．2∶3C ．9∶4D ．4∶9解析：由△ABD ∽△CBA 得AB 2＝BD ·BC ， 由△ADC ∽△BAC 得AC 2＝DC ·BC ， ∴CD ·BC BD ·BC ＝AC 2AB 2＝49，即CD ∶BD ＝4∶9. 答案：D4．已知：如右图，正方形ABCD 的边长为4，P 为AB 上的点，且AP ∶PB ＝1∶3，PQ ⊥PC ，则PQ 的长为( )A ．1 B.54 C.32D. 2解析：∵PQ ⊥PC ，∴∠APQ ＋∠BPC ＝90°， ∴∠APQ ＝∠BCP ，∴Rt △APQ ∽Rt △PBC ， ∴AP BC ＝AQBP. ∵AB ＝4，AP ∶PB ＝1∶3，∴PB ＝3，AP ＝1， ∴AQ ＝AP ·BP BC ＝1×34＝34，∴PQ ＝AQ 2＋AP 2＝916＋1＝54. 答案：B5．已知矩形ABCD ，R 、P 分别在边CD 、BC 上，E 、F 分别为AP 、PR 的中点，当P 在BC 上由B 向C 运动时，点R 在CD 上固定不变，设BP ＝x ，EF ＝y ，那么下列结论中正确的是( )A ．y 是x 的增函数B ．y 是x 的减函数C ．y 随x 的增大先增大再减小D ．无论x 怎样变化，y 为常数解析：∵E 、F 分别为AP 、PR 中点，∴EF 是△P AR 的中位线，∴EF ＝12AR ，∵R 固定，∴AR 是常数，即y 为常数．答案：D6．如右图所示，矩形ABCD 中，AB ＝12，AD ＝10，将此矩形折叠使点B 落在AD 边的中点E 处，则折痕FG 的长为( )A ．13 B.635 C.656D.636解析：过A 作AH ∥FG 交DG 于H ，则四边形AFGH 为平行四边形．∴AH ＝FG . ∵折叠后B 点与E 点重合，折痕为FG ， ∴B 与E 关于FG 对称．∴BE ⊥FG ，∴BE ⊥AH . ∴∠ABE ＝∠DAH ，∴Rt △ABE ∽Rt △DAH . ∴BE AB ＝AH AD. ∵AB ＝12，AD ＝10，AE ＝12AD ＝5，∴BE ＝122＋52＝13， ∴FG ＝AH ＝BE ·AD AB ＝656.答案：C 二、填空题7．在Rt △ABC 中，CD 、CE 分别是斜边AB 上的高和中线，设该图中共有x 个三角形与△ABC 相似，则x ＝________.解析：2个，△ACD 和△CBD . 答案：28．在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 上的点，且DE ∥BC ，△ADE 的面积是2 cm 2，梯形DBCE 的面积为6 cm 2，则DE ∶BC 的值为________．解析：△ADE ∽△ABC ，利用面积比等于相似比的平方可得答案． 答案：1∶29．如右图，在直角梯形ABCD 中，上底AD ＝3，下底BC ＝33，与两底垂直的腰AB ＝6，在AB 上选取一点P ，使△P AD 和△PBC 相似，这样的点P 有________个．解析：设AP ＝x ，(1)若△ADP ∽△BPC ，则AD BP ＝APBC，即36－x ＝x 33，所以x 2－6x ＋9＝0，解得x ＝3. (2)若△ADP ∽△BCP ，则AD BC ＝APBP ，即333＝x 6－x，解得x ＝32，所以符合条件的点P 有两个． 答案：两 三、解答题10．如右图，BD 、CE 分别是△ABC 的两边上的高，过D 作DG ⊥BC 于G ，分别交CE 及BA 的延长线于F 、H .求证：(1)DG 2＝BG ·CG ； (2)BG ·CG ＝GF ·GH .证明：(1)DG 为Rt △BCD 斜边上的高， ∴由射影定理得DG 2＝BG ·CG . (2)∵DG ⊥BC ，∴∠ABC ＋∠H ＝90°， ∵CE ⊥AB ，∴∠ABC ＋∠ECB ＝90°， ∴∠ABC ＋∠H ＝∠ABC ＋∠ECB ， ∴∠H ＝∠ECB .又∵∠HGB ＝∠FGC ＝90°， ∴Rt △HBG ∽Rt △CFG ， ∴BG GF ＝GHGC，∴BG ·CG ＝GF ·GH . 11．如右图，正方形ABCD 中，AB ＝2，P 是BC 边上与B 、C 不重合的任意一点，DQ ⊥AP 于Q .(1)试证明△DQA ∽△ABP ；(2)当点P 在BC 上变动时，线段DQ 也随之变化，设P A ＝x ，DQ ＝y ，求y 与x 之间的函数关系式．解：(1)∵DQ ⊥AP ，∴∠DQA ＝90°， ∠DAQ ＋∠ADQ ＝90°， 又∵∠DAQ ＋∠BAP ＝90°， ∴∠BAP ＝∠QDA . ∴△DQA ∽△ABP .(2)∵△DQA ∽△ABP ，∴DA AP ＝DQ AB，∴DQ ＝DA ·AB P A ，即y ＝4x.12．有一块直角三角形木板，如右图所示，∠C ＝90°，AB ＝5 cm ，BC ＝3 cm ，AC ＝4 cm.根据需要，要把它加工成一个面积最大的正方形木板，设计一个方案，应怎样裁才能使正方形木板面积最大，并求出这个正方形木板的边长．解：如图(1)所示，设正方形DEFG 的边长为x cm ，过点C 作CM ⊥AB 于M ，交DE 于N ，因为S △ABC ＝12AC ·BC ＝12AB ·CM ，所以AC ·BC ＝AB ·CM ，即3×4＝5·CM .所以CM ＝125.因为DE ∥AB ，所以△CDE ∽△CAB . 所以CN CM ＝DE AB ，即125－x 125＝x 5.所以x ＝6037.如图(2)所示，设正方形CDEF 的边长为y cm ， 因为EF ∥AC ，所以△BEF ∽△BCA . 所以BF BC ＝EF AC ，即3－y 3＝y 4.所以y ＝127.因为x ＝6037，y ＝127＝6035，所以x <y .所以当按图(2)的方法裁剪时，正方形面积最大，其边长为127cm.。

【高二】2021高二数学下期期中考试理科试卷（北师大版附答案）高二下学期期中考试数学（理）一、选择题：（每小题5分，共60分）1. 椭圆上的一点到焦点的距离等于，则点到另一个焦点的距离是（）A． B． C． D．2. 若方程表示双曲线，则的取值范围是（）A． B． C． D．3. 设双曲线的焦点在轴上，两条渐近线为，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．4. 设椭圆（，）的右焦点与抛物线的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为（）A. B. C. D.5. 与围成的封闭图形的面积为（）A. B. C. D.6．函数，若，则的值等于（）A． B． C． D．7. 曲线在点（1,0）处的切线方程为（）A. B. C. D.8．把长度为16的线段分成两段，各围成一个正方形，它们的面积和的最小值为（）A. 2B. 4C. 6D.89. 等于（）A. B. C. D.10. 设是函数f(x)的导函数，的图象如左下图所示，则y=f(x)的图象最有可能的是（ )（的图象） A B C D11. 方程的实数根的个数为（）A. 3B. 2C. 1D.012. 设F为抛物线y2=4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若 =0，则FA+FB+FC=（）A．9B. 6 C.4 D. 3二、填空题（每小题5分，共20分）13. 曲线在点处的切线的倾斜角为___________________； . 14. 函数的单调递增区间是_________________________ 15．设点P是双曲线x2－ =1上一点，焦点F（2，0），点A（3，2），使PA+ PF有最小值时，则点P的坐标是．16. 已知是直线被椭圆所截得的线段的中点，则直线的方程为______________________ .三、解答题（共70分）1 7. 已知函数，当时，有极大值；（1）求的值；（2）求函数的极小值18. 若双曲线与椭圆有相同的焦点，与双曲线有相同渐近线，求双曲线方程.19. 已知长轴长为，短轴长为2，焦点在轴上的椭圆，过它的左焦点作倾斜角为的直线交椭圆于，两点，求弦的长．20. 已知为实数，。

第2模块 第1节[知能演练]一、选择题 1．已知函数f (x )＝a x－1的定义域和值域都是[1,2]，则a 的值是( )A.22B ．2 C. 2D.13解析：当a >1时，f (x )为增函数，所以有⎩⎪⎨⎪⎧ a 1－1＝1，a 2－1＝2，解得a ＝2；当0<a <1时，f (x )为减函数，所以有⎩⎪⎨⎪⎧a 1－1＝2，a 2－1＝1，无解．所以a ＝2.答案：B2．由等式x 3＋a 1x 2＋a 2x ＋a 3＝(x ＋1)3＋b 1(x ＋1)2＋b 2(x ＋1)＋b 3，定义一个映射：f (a 1，a 2，a 3)＝(b 1，b 2，b 3)，则f (2,1，－1)等于( )A ．(－1,0，－1)B ．(－1，－1,0)C ．(－1,0,1)D ．(－1,1,0)解析：由题意知x 3＋2x 2＋x －1＝(x ＋1)3＋b 1(x ＋1)2＋b 2(x ＋1)＋b 3， 令x ＝－1，得－1＝b 3，即b 3＝－1；再令x ＝0与x ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧－1＝1＋b 1＋b 2＋b 3，3＝8＋4b 1＋2b 2＋b 3，解得b 1＝－1，b 2＝0，故选A. 答案：A3．在股票买卖过程中，经常用到两种曲线，一种是即时价格曲线y ＝f (x )(实线表示)，另一种是平均价格曲线y ＝g (x )(虚线表示)〔如f (2)＝3是指开始买卖后两个小时的即时价格为3元；g (2)＝3表示两个小时内的平均价格为3元〕，下图给出的四个图象中，其中可能正确的是( )解析：解答该题要注意平均变化率是一个累积平均效应，因此可以得到正确选项为C. 答案：C4．函数f (x ＋1)为偶函数，且x <1时，f (x )＝x 2＋1，则x >1时，f (x )的解析式为( ) A ．f (x )＝x 2－4x ＋4 B ．f (x )＝x 2－4x ＋5 C ．f (x )＝x 2－4x －5 D ．f (x )＝x 2＋4x ＋5解析：因为f (x ＋1)为偶函数，所以f (－x ＋1)＝f (x ＋1)，即f (x )＝f (2－x )．当x >1时，2－x <1，此时，f (2－x )＝(2－x )2＋1，即f (x )＝x 2－4x ＋5. 答案：B 二、填空题5．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin(πx 2)，－1<x <0，e x －1，x ≥0若f (1)＋f (a )＝2，则a 的所有可能的值是________．解析：由已知可得，①当a ≥0时，有e 0＋e a －1＝1＋e a －1＝2，∴e a －1＝1.∴a －1＝0.∴a＝1.②当－1<a <0时，有1＋sin(a 2π)＝2，∴sin(a 2π)＝1.∴a 2＝2k ＋12(k ∈Z )．又－1<a <0，∴0<a 2<1，∴当k ＝0时，有a 2＝12，∴a ＝－22.综上可知，a ＝1或－22. 答案：1或－226．已知函数f (x )＝4|x |＋2－1的定义域是[a ，b ](a ，b 为整数)，值域是[0,1]，则满足条件的整数对(a ，b )共有________个．解析：令y ＝f (x )＝4|x |＋2－1，y ∈[0,1]，即0≤4|x |＋2－1≤1， 解得－2≤x ≤2，故满足条件的整数对(a ，b )为(－2,0)，(－2,1)，(－2,2)，(0,2)，(－1,2)，共5个． 答案：5 三、解答题7．已知函数f (x )的定义域是[－1,2]，求下列函数的定义域： (1)y ＝f (x )－f (－x )； (2)y ＝f (x －a )·f (x ＋a )(a >0)． 解：(1)函数必须满足⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤x ≤2－1≤－x ≤2⇒⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤2－2≤x ≤1⇒－1≤x ≤1.∴y ＝f (x )－f (－x )的定义域是[－1,1]． (2)为了使y ＝f (x －a )·f (x ＋a )有意义，需有⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤x －a ≤2，－1≤x ＋a ≤2，即⎩⎪⎨⎪⎧a －1≤x ≤a ＋2，－a －1≤x ≤－a ＋2.∵a >0，令a －1<－a ＋2，即0<a <32，则当0<a <32时，a －1<－a ＋2，故定义域为[a －1，－a ＋2]；当a ＝32时，故定义域为{x |x ＝12}；当a >32时，a －1>－a ＋2，故定义域为Ø(舍去)．8．(1)设f (x )是定义在实数集R 上的函数，满足f (0)＝1，且对任意实数a 、b ，有f (a －b )＝f (a )－b (2a －b ＋1)，求f (x )；(2)函数f (x )(x ∈(－1,1))满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，求f (x )． 解：(1)依题意令a ＝b ＝x ，则 f (x －x )＝f (x )－x (2x －x ＋1)， 即f (0)＝f (x )－x 2－x ， 而f (0)＝1，∴f (x )＝x 2＋x ＋1. (2)以－x 代x ，依题意有 2f (－x )－f (x )＝lg(1－x ) ① 又2f (x )－f (－x )＝lg(1＋x )②两式联立消去f (－x )得 3f (x )＝lg(1－x )＋2lg(1＋x )， ∴f (x )＝13lg(1＋x －x 2－x 3)(－1<x <1)．[高考·模拟·预测]1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x <0.若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是 ( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)解析：通过作图可知，f (x )在R 上单调递增，∴f (2－a 2)>f (a )⇔2－a 2>a ，解得－2<a <1.故选C.答案：C2．定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(1－x )，x ≤0，f (x －1)－f (x －2)，x >0，则f (2009)的值为}() A．－1 B．0C．1 D．2解析：由已知得f(－1)＝log22＝1，f(0)＝0，f(1)＝f(0)－f(－1)＝－1，f(2)＝f(1)－f(0)＝－1，f(3)＝f(2)－f(1)＝－1－(－1)＝0，f(4)＝f(3)－f(2)＝0－(－1)＝1，f(5)＝f(4)－f(3)＝1，f(6)＝f(5)－f(4)＝0，所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现，所以f(2009)＝f(5)＝1，故选C.答案：C3．已知函数f(x)为R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(x＋1)．若f(a)＝－2，则实数a ＝________.解析：当x<0时，－x>0，∴f(－x)＝－x(－x＋1)．又∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，从而f(x)＝x(1－x)．∵当x≥0时，f(x)＝x(x＋1)>0，∴a<0.∴a(1－a)＝－2，解得a＝－1或a＝2(舍)．∴a＝－1.答案：－14．某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价．该地区的电网销售电价表如下：千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为________元(用数字作答)．解析：A＝50×0.568＋150×0.598＋50×0.288＋50×0.318＝148.4.答案：148.45．已知二次函数f(x)有两个零点0和－2，且f(x)最小值是－1，函数g(x)与f(x)的图象关于原点对称．(1)求f (x )和g (x )的解析式．(2)若h (x )＝f (x )－λg (x )在区间[－1,1]上是增函数，求实数λ的取值范围． 解：(1)依题意，设f (x )＝ax (x ＋2)＝ax 2＋2ax (a >0)． f (x )图象的对称轴是x ＝－1，∴f (－1)＝－1，即a －2a ＝－1，得a ＝1. ∴f (x )＝x 2＋2x .由函数g (x )的图象与f (x )的图象关于原点对称， ∴g (x )＝－f (－x )＝－x 2＋2x .(2)由(1)得h (x )＝x 2＋2x －λ(－x 2＋2x )＝(λ＋1)x 2＋2(1－λ)x . ①当λ＝－1时，h (x )＝4x 满足在区间[－1,1]上是增函数； ②当λ<－1时，h (x )图象对称轴是x ＝λ－1λ＋1，则λ－1λ＋1≥1，又λ<－1，解得λ<－1； ③当λ>－1时，同理则需λ－1λ＋1≤－1，又λ>－1，解得－1<λ≤0.综上，满足条件的实数λ的取值范围是(－∞，0]．[备选精题]6．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )满足：对任意实数x ，都有f (x )≥x ，且当x ∈(1,3)时，有f (x )≤18(x ＋2)2成立．(1)证明：f (2)＝2；(2)若f (－2)＝0，f (x )的表达式．解：(1)由条件知f (2)＝4a ＋2b ＋c ≥2恒成立． ∵x ＝2时，f (2)＝4a ＋2b ＋c ≤18(2＋2)2＝2成立，∴f (2)＝2.(2)∵⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝24a －2b ＋c ＝0，∴4a ＋c ＝2b ＝1，∴b ＝12，c ＝1－4a .又∵f (x )≥x 恒成立，即ax 2＋(b －1)x ＋c ≥0恒成立， ∴a >0，Δ＝(12－1)2－4a (1－4a )≤0，解得a ＝18，b ＝12，c ＝12，∴f (x )＝18x 2＋12x ＋12.。

第4模块 第1节[知能演练]一、选择题1．判断下列各命题的真假：(1)向量AB →的长度与向量BA →的长度相等；(2)向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； (3)两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同； (4)两个有公共终点的向量，一定是共线向量；(5)向量AB →与向量CD →是共线向量，则点A 、B 、C 、D 必在同一条直线上； (6)有向线段就是向量，向量就是有向线段． 其中假命题的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：(1)真命题；(2)假命题，若a 与b 中有一个为零向量时，其方向是不确定的；(3)真命题；(4)假命题，终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反；(5)假命题，共线向量所在直线可以重合、可以平行；(6)假命题，向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段．答案：C2．若四边形ABCD 是正方形，E 是DC 边的中点，且AB →＝a ，AD →＝b ，则BE →等于( )A ．b ＋12aB ．b －12aC ．a ＋12bD ．a －12b解析：BE →＝BC →＋CE →＝b ＋(－12a )＝b －12a .答案：B3．已知△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD →＝2DB →，若CD →＝ rAB →＋sAC →，则r ＋s 的值是( )A.23B ．0C.43D ．－3解析：在△ABC 中，CD →＝23CB →＝23(AB →－AC →)＝23AB →－23AC →，故r ＋s ＝0. 答案：B4．平行四边形ABCD 中，O 为AC 与BD 的交点，点E 在BC 上，且BE →＝2EC →，设AB →＝a ，AD →＝b ，则OE →为( )A.32a ＋76b B.12a ＋16 C.12a －16bD.12a ＋23b 解析：如右图．由向量的运算法则得OE →＝OC →＋CE →＝12AC →＋13DA →＝12(a ＋b )－13b ＝12＋16b ，故选B.答案：B 二、填空题5．△ABC 中，BD →＝12→，AE →＝3ED →，若AB →＝a ，AC →＝b ，则BE →＝________.解析：依题意有BE →＝BD →＋DE →＝BD →＋14→＝BD →＋14(BA →－BD →)＝34BD →＋14BA →＝34×13BC →＋14BA →＝14(b －a )＋14(－a )＝－12a ＋14b .答案：－12a ＋14b6．如下图所示，两块斜边长相等的直角三角板并在一起，若AD →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________，y ＝________.解析：以A 为原点，AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系，设AB →＝(1,0)，AC →＝(0,1)，则|BC →|＝2，∴|BD →|＝2×sin60°＝62.由题意有AD →＝(x ，y )，∴x ＝1＋62cos45°＝1＋32，y ＝62sin45°＝32.故x ＝1＋32，y＝32. 答案：1＋32，32三、解答题7．在△AOB 中，C 是AB 边上的一点，且BC CA ＝λ(λ>0)，若OA →＝a ，OB →＝b .(1)当λ＝1时，用a ，b 表示OC →； (2)用a ，b 表示OC →.解：(1)当λ＝1时，OC →＝12(OA →＋OB →)＝12a ＋12b .(2)OC →＝OB →＋BC →，BA →＝OA →－OB →＝a －b ， 因为BCCAλ，BC ＝λCA ，BA ＝BC ＋CA ， BA ＝(λ＋1)·CA ，BC ＝λ1＋λBA .所以BC →＝λ1＋λBA →， 即OC →＝OB →＋λ1＋λBA →＝b ＋λ1＋λ(a －b )＝λa ＋b 1＋λ.8．如下图，点O 是梯形ABCD 对角线的交点，|AD |＝4，|BC |＝6，|AB |＝2. 设与BC →同向的单位向量为a 0，与BA →同向的单位向量为b 0.(1)用a 0和b 0表示AC →，CD →和OA →；(2)若点P 在梯形ABCD 所在的平面上运动，且|CP →|＝2，求|BP →|的最大值和最小值． 解：(1)由题意知BC →＝6a 0，BA →＝2b 0，∴AC →＝BC →－BA →＝6a 0－2b 0； ∵AD →∥BC →，∴AD →＝4a 0，则CD →＝CA →＋AD →＝2b 0－6a 0＋4a 0＝2b 0－2a 0； 过C 点作CM ∥BD ，易知四边形BCMD 是平行四边形．则|AO ||AD |＝|AC ||AM |，即|AO |4＝|6a 0－2b 0|10， 得OA →＝450－125a 0.(2)BP →＝BC →＋CP →，BP →2＝(BC →＋CP →)2＝BC →·BC →＋CP →·CP →＋2BC →·CP →，即|BP →|2＝|BC →|2＋|CP →|2＋2|BC →|·|CP →|·cos 〈BC →，CP →〉＝62＋22＋2·6·2cos 〈BC →，CP →〉＝40＋24cos 〈BC →，CP →〉．∵cos 〈BC →，CP →〉∈[－1,1]，∴当cos 〈BC →，CP →〉＝1时，|BP →|max ＝8. 当cos 〈BC →，CP →〉＝－1时，|BP →|min ＝4.[高考·模拟·预测]1．已知向量a ，b 不共线，c ＝k a ＋b (k ∈R )，d ＝a －b .如果c ∥d ，那么( )A ．k ＝1且c 与d 同向B ．k ＝1且c 与d 反向C ．k ＝－1且c 与d 同向D ．k ＝－1且c 与d 反向解析：由c ∥d ，则存在λ使c ＝λd ，即k a ＋b ＝λa －λb ， ∴(k －1)a ＋(λ＋1)b ＝0.又a 与b 不共线， ∴k －λ＝0，且λ＋1＝0.∴k ＝－1.此时c ＝－a ＋b ＝－(a －b )＝－d . 故c 与d 反向，选D. 答案：D2．已知非零向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则△ABC 的形状是 ( )A ．三边均不相等的三角形B ．直角三角形C ．等腰(非等边)三角形D ．等边三角形解析：由⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，得∠BAC 的平分线垂直于BC . ∴AB ＝AC .而AB →|AB →|·AC →|AC →|＝cos 〈AB →，AC →〉＝12，又〈AB →，AC →〉∈[0°，180°]，∴∠BAC ＝60°.故△ABC 为正三角形，选D. 答案：D3．在四边形ABCD 中，AB →＝DC →＝(1,1)，1|BA →|BA →＋1|BC →|BC →＝3|BD →|BD →，则四边形ABCD的面积为________．解析：由于AB →＝DC →＝(1,1)，则四边形ABCD 是平行四边形且|AB →|＝2，又由1|BA →|BA →＋1|BC →|BC →＝3|BD →|BD →，得BC 、CD (BA )与BD 三者之间的边长之比为1∶1∶3，那么可知∠DAB ＝120°，所以AB 边上的高为62.所以四边形ABCD 的面积为2×62＝ 3. 答案： 34．已知向量集合M ＝{a |a ＝(1,2)＋λ(3,4)，λ∈R }，N ＝{b |b ＝(－2，－2)＋λ(4,5)，λ∈R }，则M ∩N ＝________.解析：由(1,2)＋λ1(3,4)＝(－2，－2)＋λ2(4,5)，得⎩⎪⎨⎪⎧1＋3λ1＝－2＋4λ22＋4λ1＝－2＋5λ2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝－1λ2＝0，∴M ∩N ＝{(－2，－2)}．答案：{(－2，－2)}5． O 是平面上一点，A ，B ，C 是平面上不共线三点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，λ＝12时，则PA →·(PB →＋PC →)的值为________． 解析：由OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，λ＝12AP →＝12(AB →＋AC →)，即P 为△ABC 中BC 边的中点．∴PB →＋PC →＝0.∴PA →·(PB →＋PC →)＝PA →·0＝0. 答案：06．若a ，b 是两个不共线的非零向量，t ∈R .(1)若a ，b 起点相同，t 为何值时，a ，t b ，13(a ＋b )三向量的终点在一直线上？(2)若|a |＝|b |且a 与b 夹角为60°，t 为何值时，|a －t b |的值最小？ 解：(1)设a －t b ＝m [a －13(a ＋b )]，m ∈R ，化简得(23－1)a ＝(m3t )b ，∵a 与b 不共线，∴⎩⎨⎧ 23m －1＝0m3－t ＝0⇒⎩⎨⎧m ＝32，t ＝12.∴t ＝12时，a ，t b ，13(a ＋b )的终点在一直线上．(2)|a －t b |2＝(a －t b )2 ＝|a |2＋t 2|b |2－2t |a ||b |cos60° ＝(1＋t 2－t )|a |2.∴当t ＝12时，|a －t b |有最小值32|a |.。