3.2.1_直线的点斜式方程

3.2.1直线的点斜式方程研究给定一个点),(000y x P 和斜率k ，怎样确定一条直线？1、如图，直线l 经过点),(000y x P ，且斜率为k ，设点),(y x P 是直线l 上不同于点0P 的任意一点，因为直线l 的斜率为k ，由斜率公式得：k=例1直线l 经过点)3,2(0-P 倾斜角α=450变式：写出下列直线的点斜式方程：1直线l 经过点)3,2(0-P 斜率是0 ： .2.直线l 经过点)3,2(0-P 斜率不存在 ： . 2、直线l 的斜率为k ，且与y 轴的交点为（0，b ），求直线l 的点斜式方程截距：直线l 与y 轴交点（0，b ）的纵坐标 叫做直线l 在y 轴上的 方程（2）由直线的斜率k 与它在y 轴上的截距b 确定，所以方程（2）叫做直线的斜截式方程，简称斜截式练习：写出下列直线的斜截式方程：1. 斜率是2，在y 轴上的截距是-22. 斜率是-2，在y 轴上的截距是4【例2】已知直线l 1：y = k 1 + b 1，l 2：y 2 = k 2 x + b 2 .试讨论：（1）l 1∥l 2的条件是什么？（2）l 1⊥l 2的条件是什么？变式：判断下列各对直线是否平行或垂直：1211(1):3,:222l y x l y x =+=-1253(2):,:35l y x l y x ==- 当堂检测1. 过点(4,2)-，倾斜角为135ο的直线方程是（ ）. A．20y ++-=B360y +++= C．40x +--=D．40x ++-= 2. 已知直线的方程是21y x +=--，则（ ）.A ．直线经过点(2,1)-，斜率为1-B ．直线经过点(2,1)--，斜率为1C ．直线经过点(1,2)--，斜率为1-D ．直线经过点(1,2)-，斜率为1- 3. 直线130kx y k -+-=，当k 变化时，所有直线恒过定点（ ）. A ．(0,0) B ．（3，1）C ．(1,3) D ．(1,3)-- 4. 直线l的倾斜角比直线122y x =+的倾斜角大45ο，且直线l 的纵截距为3，则直线的方程是 .5. 已知点(1,2),(3,1)A B ，则线段AB 的垂直平分线的方程是：.6.求倾斜角是直线1y =+的倾斜角的14，且分别满足下列条件的直线方程.（1）经过点1)-； （2）在y 轴上的截距是5.。

3．2.1直线的点斜式方程理解教材新知入门答辩斜拉桥又称斜张桥，桥身简约刚毅，力感十足．若以桥面所在直线为x轴，桥塔所在直线为y轴建立平面直角坐标系，那么斜拉索可看成过桥塔上同一点的直线．问题1：已知某一斜拉索过桥塔上一点B，那么该斜拉索位置确定吗？问题2：若某条斜拉索过点B(0，b)，斜率为k，则该斜拉索所在直线上的点P(x，y)满足什么条件？问题3：可以写出问题2中的直线方程吗？新知自解1．直线的点斜式方程(1)定义：如图所示，直线l过定点P(x0，y0)，斜率为k，则把方程________叫做直线l 的点斜式方程，简称点斜式．(2)说明：如图所示，过定点P(x0，y0)，倾斜角是90°的直线没有点斜式，其方程为x －x0＝0，或________．2.直线的斜截式方程(1)定义：如图所示，直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0，b)，则方程________叫做直线l的斜截式方程，简称斜截式．(2)说明：一条直线与y 轴的交点(0，b )的纵坐标b 叫做直线在y 轴上的________．倾斜角是________的直线没有斜截式方程．归纳升华领悟1．直线的点斜式方程的前提条件是(1)已知一点P (x 0，y 0)和斜率k ；(2)斜率必须存在，只有这两个条件都具备才可以写出点斜式方程．2．斜截式与一次函数的解析式相同，都是y ＝kx ＋b 的形式，但有区别，当k ≠0时，y ＝kx ＋b 即为一次函数；当k ＝0，y ＝b 时，不是一次函数，一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)必是一条直线的斜截式方程．把握热点考向考点一 直线的点斜式方程[例1] 已知直线l 过点A (2，－3)．(1)若l 与过点(－4，4)和(－3，2)的直线l ′平行，求其方程；(2)若l 与过点(－4，4)和(－3，2)的直线l ′垂直，求其方程．[思路点拨] 首先由斜率公式求出直线l ′的斜率，再由直线平行与垂直的条件求出直线l 的斜率，最后由点斜式写出直线方程．[精解详析] (1)由斜率公式得k l ′＝2－4－3－（－4）＝－2， ∵l 与l ′平行，∴k l ＝－2.由直线的点斜式方程知y ＋3＝－2(x －2)，(2)∵直线l ′的斜率为k ＝－2，l 与其垂直，∴k l ＝12. 由直线的点斜式方程知l ：y ＋3＝12(x －2)． [一点通] 已知直线上一点的坐标以及直线斜率或已知直线上两点的坐标，均可用直线方程的点斜式表示，直线方程的点斜式，应在直线斜率存在的条件下使用．当直线的斜率不存在时，直线方程为x ＝x 0.题组集训1．直线l 的点斜式方程是y －2＝3(x ＋1)，则直线l 的斜率是( )A ．2B ．－1C ．3D ．－32．写出下列直线的点斜式方程：(1)经过点A (2，5)，斜率是4；(2)经过点B (2，3)，倾斜角是45°；(3)经过点C (－1，－1)，与x 轴平行．考点二 直线的斜截式方程[例2] 已知直线l 1的方程为y ＝－2x ＋3，l 2的方程为y ＝4x －2，直线l 与l 1平行且与l 2在y 轴上的截距相同，求直线l 的方程．[思路点拨] 由直线l 1的方程确定l 的斜率，由l 2的方程确定l 在y 轴上的截距．[精解详析] 由斜截式方程知直线l 1的斜率k 1＝－2，又∵l ∥l 1，∴l 的斜率k ＝k 1＝－2.由题意知l 2在y 轴上的截距为－2，∴l 在y 轴上的截距b ＝－2，由斜截式可得直线l 的方程为y ＝－2x －2.[一点通](1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在．当b ＝0时，y ＝kx 表示过原点的直线；当k ＝0时，y ＝b 表示与x 轴平行(或重合)的直线．(2)截距不同于日常生活中的距离，截距是一个点的横(纵)坐标，是一个实数，可以是正数，也可以是负数或零，而距离是一个非负数．题组集训3．已知直线l 的倾斜角为60°，在y 轴上的截距为－2，则直线l 的斜截式方程为________．4．直线l 的方程为y －a ＝(a －1)(x ＋2)，若直线l 在y 轴上的截距为6，则a ＝________．5．写出下列直线的斜截式方程：(1)斜率是2，在y 轴上的截距是－3；(2)倾斜角是60°，在y 轴上的截距是6；(3)倾斜角是30°，在y 轴上的截距是0.考点三 直线点斜式方程的应用[例3] (12分)直线l 过定点A (－2，3)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l 的方程．[思路点拨] 本题可设出直线l 的斜率为k ，得出其点斜式方程．分别令x ＝0，y ＝0求出直线在x 轴、y 轴的截距，利用其面积为4进行求解．[精解详析] 由题意直线l 的斜率一定存在，故设直线l 的斜率为k ，且k ≠0. (1分) ∴直线l 的方程为：y －3＝k (x ＋2)， (2分)令x ＝0，得y ＝2k ＋3，令y ＝0，得x ＝－3k－2. (5分) 由题意知：12|(2k ＋3)||(－3k－2)|＝4， (6分) ∴8＝|12＋4k ＋9k |即8＝12＋4k ＋9k 或－8＝12＋4k ＋9k. 解8＝12＋4k ＋9k即4k 2＋4k ＋9＝0得，方程无解． (8分)解－8＝12＋4k ＋9k 即4k 2＋20k ＋9＝0得k ＝－12或－92. (10分) 故所求直线的方程为y －3＝－12(x ＋2)或y －3＝－92(x ＋2)． (12分) [一点通] 过点(x 1，y 1)的直线，(1)当斜率不存在时，方程为x ＝x 1，在x 轴上截距为x 1；(2)当斜率为0时，方程为y ＝y 1，在y 轴上的截距为y 1；(3)当斜率k 存在且k ≠0时，方程为y －y 1＝k (x －x 1)，在x 轴上的截距为x 1－y 1k，在y 轴上的截距为y 1－kx 1.题组集训6．(1)过点(1，2)且与y ＝－34x －14平行的直线方程为________________． (2)过点(2，1)且与y ＝－2x ＋10垂直的直线方程为____________________．7．光线自点M (2，3)射到y 轴的点N (0，1)后被y 轴反射，其反射光线过点(2，－1)，求反射光线所在的方程．方法规律小结(1)利用点斜式求直线方程的步骤是：①判断斜率k 是否存在，并求出存在时的斜率；②在直线上找一点，并求出其坐标；③代入点斜式方程．(2)当直线过点(0，b )时，方程为y ＝kx ＋b ，即为直线的斜截式方程，是直线点斜式方程的一种特殊情况．学生应用创新演练请完成课时跟踪训练(十七)。

3.2.1直线的点斜式方程（练习）(建议用时：40分钟)一、选择题1．过点(－3,2)，倾斜角为60°的直线方程为()A．y＋2＝3(x－3)B．y－2＝33(x＋3)C．y－2＝3(x＋3)D．y＋2＝33(x＋3)【答案】C[因为直线的倾斜角为60°，所以其斜率k＝tan60°＝3，由直线方程的点斜式，可得方程为y－2＝3(x＋3)．]2．已知直线的倾斜角为60°，在y轴上的截距为－2，则此直线的方程为()A．y＝3x＋2B．y＝－3x＋2C．y＝－3x－2D．y＝3x－2【答案】D[直线的倾斜角为60°，则其斜率为3，利用斜截式得y＝3x－2.]3．直线y－b＝2(x－a)在y轴上的截距为()A．a＋b B．2a－bC．b－2a D．|2a－b|【答案】C[由y－b＝2(x－a)，得y＝2x－2a＋b，故在y轴上的截距为b－2a.]4．直线l过点(－3,0)，且与直线y＋1＝2x垂直，则直线l的方程为()A．y＝－12(x－3)B．y＝－12(x＋3)C．y＝12(x－3)D．y＝12(x＋3)【答案】B[因为直线y＝2x－1的斜率为2，所以直线l的斜率为－12.又直线l过点(－3,0)，故所求直线的方程为y＝－12(x＋3)，选B.]5．直线l1：y＝ax＋b与直线l2：y＝bx＋a(ab≠0，a≠b)在同一平面直角坐标系内的图象只可能是()【答案】D[对于A 选项，由l 1得a ＞0，b ＜0，而由l 2得a ＞0，b ＞0，矛盾；对于B 选项，由l 1得a ＜0，b ＞0，而由l 2得a ＞0，b ＞0，矛盾；对于C 选项，由l 1得a ＞0，b ＜0，而由l 2得a ＜0，b ＞0，矛盾；对于D 选项，由l 1得a ＞0，b ＞0，而由l 2得a ＞0，b ＞0.故选D.]二、填空题6．直线y ＝2x ＋1的斜率为________.【答案】27．设点A (－1,0)，B (1,0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是________．【答案】[－2,2][b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y ＝－2x ＋b 过点A (－1，0)和点B (1,0)时b 分别取得最小值和最大值．∴b 的取值范围是[－2,2]．]8．与直线l ：y ＝34x ＋1平行，且在两坐标轴上截距之和为1的直线l 1的方程为________.【答案】y ＝34x －3[依题意设直线方程为y ＝34x ＋b ，令x ＝0可得纵截距为b ，令y ＝0可得横截距为－43b ，∴－43b ＋b ＝1，∴b ＝－3，所以直线方程为y＝34x－3.]三、解答题9．一条直线经过点A(2，－3)，并且它的倾斜角等于直线y＝33x的倾斜角的2倍，求这条直线的点斜式方程．【答案】∵直线y＝33x的斜率为33，∴它的倾斜角为30°，∴所求直线的倾斜角为60°，斜率为 3.又直线经过点A(2，－3)，∴这条直线的点斜式方程为y＋3＝3(x－2)．10．已知三角形的顶点坐标是A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，试求这个三角形的三条边所在的斜截式方程.【答案】直线AB的斜率k AB＝－3－03－(－5)＝－38，过点A(－5,0)，∴直线AB的点斜式方程为y＝－38(x＋5)，即所求的斜截式方程为y＝－38x－158.同理，直线BC的方程为y－2＝－53 x，即y＝－53x＋2.直线AC的方程为y－2＝25 x，即y＝25x＋2.∴直线AB，BC，AC的斜截式方程分别为y＝－38x－158，y＝－53x＋2，y＝25x＋2.1．已知等边三角形ABC 的两个顶点A (0,0)，B (4,0)，且第三个顶点在第四象限，则BC 边所在的直线方程是()A ．y ＝－3xB ．y ＝－3(x －4)C ．y ＝3(x －4)D ．y ＝3(x ＋4)【答案】C[由题意，知直线BC 的倾斜角为60°，故直线BC 的斜率为3，由点斜式得所求直线的方程为y ＝3(x －4)．]2．方程y ＝ax ＋1a表示的直线可能是图中的()【答案】B[直线y ＝ax ＋1a 的斜率是a ，在y 轴上的截距为1a.当a ＞0时，斜率a ＞0，在y轴上的截距1a ＞0，则直线y ＝ax ＋1a 过第一、二、三象限，四个选项都不符合；当a ＜0时，斜率a ＜0，在y 轴上的截距1a ＜0，则直线y ＝ax ＋1a过第二、三、四象限，仅有选项B 符合．]3．设直线l 的倾斜角是直线y ＝－3x ＋1的倾斜角的12，且与y 轴的交点到x 轴的距离是3，则直线l 的方程是________.【答案】y ＝3x ±3[直线y ＝－3x ＋1的倾斜角为120°，所以直线l 的倾斜角为60°，∴k l ＝tan 60°＝3，又直线l 在y 轴上的截距为b ＝±3.所以直线l 的方程为y ＝3x ±3.]4．已知直线y ＝12x ＋k 与两坐标轴围成的三角形的面积不小于1，则实数k 的取值范围是________．【答案】(－∞，－1]∪[1，＋∞)[令y ＝0，则x ＝－2k .令x ＝0，则y ＝k ，则直线与两坐标轴围成的三角形的面积为S ＝12|k |·|－2k |＝k 2.由题意知，三角形的面积不小于1，可得k 2≥1，所以k 的取值范围是k ≥1或k ≤－1.]5．已知直线l ：y ＝ax ＋3－a5.(1)求证：无论a 为何值，直线l 必经过第一象限；(2)若直线l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．【答案】(1)当x ＝15时，y ＝35，所以直线ll 必经过第一象限．(2)如图，直线OA 的斜率k OA ＝35－015－0＝3.若直线l 不经过第二象限，则直线l 的斜率k l ≥3，即a ≥3.所以实数a 的取值范围为[3，＋∞).。

3.2 直线的方程3.2.1 直线的点斜式方程 导入新课 在初中，我们已经学习过一次函数，并接触过一次函数的图象，现在，请同学们作一下回顾： 一次函数y=kx+b 的图象是一条直线，它是以满足y=kx+b 的每一对x 、y 的值为坐标的点构成的.由于函数式y=kx+b 也可以看作二元一次方程,所以我们可以说，这个方程的解和直线上的点也存在这样的对应关系.这节课我们就来学习直线的方程(宣布课题). 推进新课 提出问题 ①如果把直线当做结论，那么确定一条直线需要几个条件？如何根据所给条件求出直线的方程？ ②已知直线l 的斜率k 且l 经过点P 1(x 1,y 1)，如何求直线l 的方程? ③方程导出的条件是什么？ ④若直线的斜率k 不存在，则直线方程怎样表示？ ⑤k=11x x y y --与y-y 1=k(x-x 1)表示同一直线吗？讨论结果:①确定一条直线需要两个条件:a.确定一条直线只需知道k 、b 即可；b.确定一条直线只需知道直线l 上两个不同的已知点.②设P(x ，y)为l 上任意一点，由经过两点的直线的斜率公式,得k=11x x y y --,化简,得 直线的点斜式方程y －y 1=k(x －x 1). ③方程导出的条件是直线l 的斜率k 存在.④a.x=0；b.x=x 1. ⑤启发学生回答:方程k=11x x y y --表示的直线l 缺少一个点P 1(x 1,y 1),而方程y －y 1=k(x －x 1)表示的直线l 才是⑥已知直线l 的斜率k 且l 经过点（０，ｂ），如何求直线l 的方程？应用示例例1 一条直线经过点P 1(-2,3),倾斜角α=45°,求这条直线方程,并画出图形.图1点评:此例是点斜式方程的直接运用,要求学生熟练掌握,并具备一定的作图能力.变式训练求直线y=-3(x-2)绕点(2,0)按顺时针方向旋转30°所得的直线方程. 例2 如果设两条直线l 1和l 2的方程分别是l 1:y=k 1x+b 1,l 2:y=k 2x+b 2，试讨论: （1）当l 1∥l 2时，两条直线在y 轴上的截距明显不同，但哪些量是相等的？为什么？ （2）l 1⊥l 2的条件是什么？ 解:（1）当直线l 1与l 2有斜截式方程整条直线. ⑥y=kx+b .（直线的斜截式方程） 解:这条直线经过点P 1(-2,3),斜率是k=tan45°=1.代入点斜式方程,得y-3=x+2,即x-y+5=0, 这就是所求的直线方程,图形如图1所示. 解：设直线y=-3(x-2)的倾斜角为α，则tanα=-3， 又∵α∈［0°,180°)，∴α=120°.∴所求的直线的倾斜角为120°-30°=90°.∴直线方程为x=2.活动:学生思考：如果α1=α2，则tanα1=tanα2一定成立吗？何时不成立？由此可知：如果l 1∥l 2，当其中一条直线的斜率不存在时，则另一条直线的斜率必定不存在.反之，问：如果b 1≠b 2且k 1=k 2，则l 1与l 2的位置关系是怎样的？由学生回答，重点说明α1=α2得出tanα1=tanα2的依据.l 1:y=k 1x+b 1,l 2:y=k 2x+b 2时，直线l 1∥l 2⇔k 1=k 2且b 1≠b 2.(2)l 1⊥l 2⇔k 1k 2=-1.变式训练1.判断下列直线的位置关系:(1)l 1:y=21x+3,l 2:y=21x-2; (2)l 1:y=35x,l 2:y=-53x.2.已知点M （1，0），N （－1，0）,点P 为直线2x-y-1=0上的动点，则|PM|2+|PN|2的最小值为何？知能训练课本本节练习1、２、３、４.拓展提升已知直线y=kx ＋k ＋2与以A(0，－3)、B(3，0)为端点的线段相交，求实数k 的取值范围. 答案：(1)平行；(2)垂直. 解：∵P 点在直线2x-y-1=0上,∴设P （x 0,2x 0-1）. ∴|PM|2+|PN|2=10(x 0-52)2+512≥512. ∴最小值为512. 活动:此题要首先画出图形4，帮助我们找寻思路，仔细研究直线y=kx ＋k ＋2，我们发现它可以变为y －2=k(x ＋1)，这就可以看出，这是过(－1，2)点的一组直线.设这个定点为P(－1，2).图4 解：我们设PA 的倾斜角为α1，PC 的倾斜角为α，PB 的倾斜角为α2，且α1＜α＜α2. 则k 1=tanα1＜k ＜k 2=tanα2. 又k 1=132-+=-5，k 2=312--=-21， 则实数k 的取值范围是-5＜k ＜-21.课堂小结通过本节学习，要求大家：1.掌握由一点和斜率导出直线方程的方法，掌握直线的点斜式方程，了解直线方程的斜截式是点斜式的特例.2.引导学生根据直线这一结论探讨确定一条直线的条件，并会利用探讨出的条件求出直线的方程.作业习题3.2 A 组2、3、5.。

3．2.1 直线的点斜式方程1.了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程；2.掌握直线的点斜式方程与斜截式方程；3.会利用直线的点斜式与斜截式方程解决有关的实际问题．知识点一直线的点斜式方程思考1如图，直线I经过点P o(x o, y o)，且斜率为k,设点P(x, y)是直线I上不同于点P o的任意一点，那么x，y应满足什么关系?答案由斜率公式得k=y^y0,x —x o则x, y 应满足y—y o= k(x —x o).思考2经过点P o(x o, y o)的所有直线是否都能用点斜式方程来表示？答案斜率不存在的直线不能用点斜式表示，过点P o斜率不存在的直线为x = x o.知识点二直线的斜截式方程思考1已知直线I的斜率为k,且与y轴的交点为(o, b)，得到的直线I的方程是什么？答案将k及点(o, b)代入直线方程的点斜式得：y= kx+ b.思考2方程y= kx+ b,表示的直线在y轴上的截距b是距离吗？b可不可以为负数和零? 答案y轴上的截距b不是距离，可以是负数和零.思考 3 对于直线l i: y= k i x+ b i, I2：y= k2x+ b2.① l i // l2? ______________ ,② I l 丄12? ______________ .答案①k i= k2且b i z b2 ②k i k2=—1类型一直线的点斜式方程例1 (1)经过点(—3,1)且平行于y轴的直线方程是___________ .(2) 直线y= 2x+ 1绕着其上一点P(1,3)逆时针旋转90。

后得直线I，则直线I的点斜式方程是(3) 一直线I1过点A( —1,—2)，其倾斜角等于直线I2：3y= 3 x的倾斜角的2倍，则11的点斜式方程为 ____________ .答案(1)x=—31(2) y—3 = —^(x—1)(3) y + 2 = ,3(x + 1)解析(1) •••直线与y 轴平行，•••该直线斜率不存在, 直线方程为x =— 3.一 一 一 1(2)由题意知，直线I 与直线y = 2x + 1垂直，则直线I 的斜率为一2.那么直线I 1的倾斜角为2X 30°= 60° 则I 1的点斜式方程为y + 2= tan 60(x + 1)，即 y + 2 = .3(x + 1). 跟踪训练1写出下列直线的点斜式方程： (1) 经过点A(2,5)，斜率是4; ⑵经过点B(2,3)，倾斜角是45 ° ⑶经过点C(— 1 , — 1)，与x 轴平行. 解(1)y — 5 = 4(x — 2);⑵•••直线的斜率k = tan 45 =1,••直线方程为y — 3= x — 2; (3)y =— 1.类型二直线的斜截式方程 例2 (1)倾斜角为60°,与y 轴的交点到坐标原点的距离为答案 y = ,3x + 3 或 y = . 3x — 3 解析•/直线的倾斜角是60°, •••其斜率 k = tan 60 = 3,由点斜式方程可得1I 的方程为 y — 3= — ^(x —.3 (3) •••直线I 2的方程为y =x ,设其倾斜角为3的直线的斜截式方程是•••直线与y轴的交点到原点的距离是3,•直线在y轴上的截距是3或—3, •••所求直线方程是y=p3x+ 3或y= , 3x— 3.⑵已知直线l i 的方程为y = — 2x + 3, 12的方程为y = 4x — 2，直线l 与l i 平行且与12在y 轴上 的截距相同，求直线1的方程.解 由斜截式方程知直线l i 的斜率k i =— 2,又因为I //l i .由题意知12在y 轴上的截距为一2, 所以I 在y 轴上的截距b =— 2,由斜截式可得直线I 的方程为y =— 2x — 2. 反思与感悟(1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在.当b = 0时，y = kx 表示过原点的直线；当k = 0时，y = b 表示与x 轴平行(或重合)的直线. (2) 截距不同于日常生活中的距离，截距是一个点的横(纵)坐标，是一个实数，可以是正数，也可以是负数和零，而距离是一个非负数.跟踪训练2 (1)已知直线1的斜率为1，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求I 的斜截式6 方程；⑵已知直线1i 的方程为y = — 2x + 3, 12的方程为y = 4x — 2，直线1与1i 垂直且与12在y 轴上 的截距互为相反数，求直线 I 的方程.解(1)设直线方程为y = £x + b ,贝U x = 0时，y = b ; 1y = 0 时，x =— 6b.由已知可得 |b| |— 6b|= 3, 即 6|b|2= 6, ••• b = ±1.1 1故所求直线方程为 y=；x + 1或y=；x — 1.661⑵•/ I 1± I ，直线 I 1： y = — 2x + 3, •• I 的斜率为 2,T I 与I 2在y 轴上的截距互为相反数，直线|2： y = 4x — 2, • I 在y 轴上的截距为2,1•直线I 的方程为y =勿+ 2. 类型三平行与垂直的应用例3 (1)当a 为何值时，直线11： y = — x + 2a 与直线I 2： y = (a 2— 2)x + 2平行？ (2)当a 为何值时，直线I 1: y = (2a — 1)x + 3与直线I 2： y = 4x — 3垂直？ 解 ⑴由题意可知，k = —1, k I = a 2— 2,7<27解得a =— 1.a 2T I 1 // I 2 ,故当a=—1时，直线l i：y=—x+ 2a与直线12：y= (a2—2)x+ 2 平行.⑵由题意可知，k i= 2a —1,心=4,3•「l i丄I2, ••• 4(2a—1)=—1,解得a=3故当a= g时，直线l1: y= (2a —1)x+ 3与直线l2：y= 4x—3 垂直.反思与感悟设直线l1和|2的斜率k1, k2都存在，其方程分别为l1：y= k1x+ b1, I2：y= k2x + b2,那么：(1)l1 // I2? k1= k2,且3工b2；(2)k1= k2,且b1 = b2?两条直线重合；(3)h 丄I2? k1 k2=—1.跟踪训练 3 已知在△ ABC 中，A(0,0), B(3,1), C(1,3).(1) 求AB边上的高所在直线的方程；(2) 求BC边上的高所在直线的方程；(3) 求过A与BC平行的直线方程.1 —0 1解(1)直线AB的斜率k1= =-, AB边上的高所在直线斜率为—3且过点C,所以AB边3—0 3上的高所在直线的方程为y—3= —3(x—1).3—1⑵直线BC的斜率k2= =—1, BC边上的高所在直线的斜率为1且过点A，所以BC边1 —3上的高所在直线的方程为y= x.(3)由(2)知，过点A与BC平行的直线的斜率为一1，其方程为y=—x(2)由题意可知2a =3，解得a = — |.1 .方程y = k(x — 2)表示( )A .通过点(一2,0)的所有直线B .通过点(2,0)的所有直线C .通过点(2,0)且不垂直于x 轴的所有直线D •通过点(2,0)且除去x 轴的所有直线 答案 C解析 易验证直线通过点(2,0)，又直线斜率存在，故直线不垂直于 2 .倾斜角是30 °且过(2,1)点的直线方程是 ________________ . 答案 y — 1 = ^(x — 2) 解析•••斜率为tan 30 =¥， 直线的方程为y — 1 ^_33(x — 2).3. (1)已知直线y = ax —2和y = (a + 2)x + 1互相垂直，则 a = ________ ；2 1 、⑵若直线11 ： y =—_x — 一与直线12 : y = 3x — 1互相平行，则a =a a2答案⑴—1(2) — 2解析(1)由题意可知a(a + 2)=— 1,解得a =— 1.x 轴.1 8故所求的直线方程为 y = — ~x —3.1. 求直线的点斜式方程的方法步骤4. ⑴求经过点（1,1），且与直线y = 2x + 7平行的直线的方程； ⑵求经过点（—2, - 2），且与直线y = 3x — 5垂直的直线的方程. 解（1） •••与直线y = 2x + 7平行， •••该直线斜率为2, 由点斜式方程可得y — 1 = 2(x — 1),即卩 y = 2x — 1 •所求直线的方程为 y = 2x — 1.（2） •• •所求直线与直线 y = 3x — 5垂直, 1•该直线的斜率为一3，由点斜式方程得:1y + 2= — 3（x + 2）,即 y =- *x — 83.2．直线的斜截式方程的求解策略(1)用斜截式求直线方程，只要确定直线的斜率和截距即可，同时要特别注意截距和距离的区别．(2)直线的斜截式方程y= kx + b不仅形式简单，而且特点明显，k是直线的斜率，b是直线在y 轴上的截距，只要确定了k 和b 的值，直线的图象就一目了然．因此，在解决直线的图象问题时，常通过把直线方程化为斜截式方程，利用k， b 的几何意义进行判断．3．判断两条直线位置关系的方法直线l i: y = k i x+ b i，直线12：y= k2x+ b2.(1) 若k i z k2,则两直线相交.(2) 若k i = k2,则两直线平行或重合，当b i z b2 时，两直线平行；当b i= b2时，两直线重合.⑶特别地，当k i k2=—i时，两直线垂直.(4) 对于斜率不存在的情况，应单独考虑.、选择题过点(4, —2)，倾斜角为150。