2015-2016年四川省德阳市高二上学期期末数学试卷(文科)与解析

2015-2016学年四川省泸州市高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．（5分）过点（2，3）和点（6，5）的直线的斜率为（）A．B．﹣C．2D．﹣22．（5分）设命题p：∃x 0∈R，x﹣1＞0，则￢p为（）A．∃x0∈R，x﹣1≤0B．∃x0∈R，x﹣1＜0C．∀x∈R，x2﹣1≤0D．∀x∈R，x2﹣1＜03．（5分）直线x+y+1=0的倾斜角为（）A．150°B．120°C．60°D．30°4．（5分）若a＜b＜0，则下列不等式不成立的是（）A．＞B．＞C．＞D．|a|＞﹣b 5．（5分）在空间直角坐标系中，在x轴上的点P（m，0，0）到点P1（4，1，2）的距离为，则m的值为（）A．﹣9或1B．9或﹣1C．5或﹣5D．2或36．（5分）圆x2+y2﹣6x+4y+12=0与圆（x﹣7）2+（y﹣1）2=36的位置关系是（）A．外切B．相交C．内切D．外离7．（5分）抛物线y=x2的焦点坐标是（）A．（0，）B．（﹣，0）C．（﹣，0）D．（0，）8．（5分）若不等式ax2+5x﹣2＞0的解集是{x|＜x＜2}，则a的值为（）A．﹣B．2C．﹣2D．9．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为（）A．﹣2B．﹣1C．2D．110．（5分）“m=﹣1”是“直线mx+（2m﹣1）y+1=0和直线3x+my+3=0垂直”的（）A．必要而不充分条件B．充分而不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件11．（5分）F1、F2分别是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于A、B两点，若△ABF2是等边三角形，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）=x+b﹣2﹣，若方程|f（x）|=1有且仅有3个不等实根，则实数b的取值范围是（）A．[1，）B．[0，﹣1]C．[﹣1，1）D．[﹣1，1]二、填空题:本大题共4个小题，每小题5分.13．（5分）双曲线的一条渐近线方程为．14．（5分）函数f（x）=，则不等式xf（x）﹣x≤2的解集为15．（5分）已知抛物线C：y2=﹣4x的焦点F，A（﹣1，1），则曲线C上的动点P到点F与点A的距离之和的最小值为．16．（5分）已知方程x2+ax+2b=0（a∈R，b∈R），其一根在区间（0，1）内，另一根在区间（1，2）内，则的取值范围为．三、解答题：解答应写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤17．（12分）已知直线l1：x+y﹣3m=0和l2：2x﹣y+2m﹣1=0的交点为M，若直线l1在y轴上的截距为3．（Ⅰ）求点M的坐标；（Ⅱ）求过点M且与直线l2垂直的直线方程．18．（12分）已知命题p：方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆．命题q：实数m满足m2﹣4am+3a2＜0，其中a＞0．（Ⅰ）当a=1且p∧q为真命题时，求实数m的取值范围；（Ⅱ）若p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．19．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2，在y轴上截得线段长为2．（Ⅰ）求圆心P的轨迹方程；（Ⅱ）若圆心P到直线2x﹣y=0的距离为，求圆P的方程．20．（12分）某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元，为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x（n∈N*）名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为10（a﹣）万元（a＞0），剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x%．（1）若要保证剩余与员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？（2）在（1）的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余与员工创造的年总利润，则a的取值范围是多少？21．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的短轴长为2，离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设过点M（2，0）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，F1为椭圆的左焦点．（1）若B点关于x轴的对称点是N，证明：直线AN恒过一定点；（2）试求椭圆C上是否存在点P，使F1APB为平行四边形？若存在，求出F1APB 的面积，若不存在，请说明理由．请在22、23两题中任选一题作答，注意：只能做选做给定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分.[选修4-4：坐标系于参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，以原点为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C1的参数方程为（α为参数），曲线C2的方程为x2+（y﹣4）2=16．（Ⅰ）求曲线C1的极坐标方程；（Ⅱ）若曲线θ=（ρ＞0）与曲线C1．C2交于A，B两点，求|AB|．[选修4-5：不等式证明选讲]23．设函数f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|．（1）解不等式f（x）＞0；（2）若∃x0∈R，使得f（x0）+2m2＜4m，求实数m的取值范围．2015-2016学年四川省泸州市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．（5分）过点（2，3）和点（6，5）的直线的斜率为（）A．B．﹣C．2D．﹣2【解答】解：由题意得：k==，故选：A．2．（5分）设命题p：∃x0∈R，x﹣1＞0，则￢p为（）A．∃x0∈R，x﹣1≤0B．∃x0∈R，x﹣1＜0C．∀x∈R，x2﹣1≤0D．∀x∈R，x2﹣1＜0【解答】解：命题是特称命题，则命题的否定是：∀x∈R，x2﹣1≤0，故选：C．3．（5分）直线x+y+1=0的倾斜角为（）A．150°B．120°C．60°D．30°【解答】解：设直线的倾斜角为α（0°＜α＜180°），则tanα=．所以α=150°．故选：A．4．（5分）若a＜b＜0，则下列不等式不成立的是（）A．＞B．＞C．＞D．|a|＞﹣b【解答】解：选项A，﹣=＞0，故正确；选项B，取a=﹣4，b=﹣2，此时不等式＞不成立，故不正确；选项C，∵a＜b＜0，则﹣a＞﹣b＞0，∴＞，故正确；选项D，∵a＜b＜0，则﹣a＞﹣b＞0，∴|a|=﹣a＞﹣b，故正确；故选：B．5．（5分）在空间直角坐标系中，在x轴上的点P（m，0，0）到点P1（4，1，2）的距离为，则m的值为（）A．﹣9或1B．9或﹣1C．5或﹣5D．2或3【解答】解：（1）点P的坐标是（m，0，0），由题意|P0P|=，即=，∴（m﹣4）2=25．解得m=9或m=﹣1．故选：B．6．（5分）圆x2+y2﹣6x+4y+12=0与圆（x﹣7）2+（y﹣1）2=36的位置关系是（）A．外切B．相交C．内切D．外离【解答】解：将圆x2+y2﹣6x+4y+12=0化为标准方程得：（x﹣3）2+（y+2）2=1，又，（x﹣7）2+（y﹣1）2=36，∴圆心坐标分别为（3，﹣2）和（7，1），半径分别为r=1和R=6，∵两圆心距d==5，∴d=R﹣r，则两圆的位置关系是内切．故选：C．7．（5分）抛物线y=x2的焦点坐标是（）A．（0，）B．（﹣，0）C．（﹣，0）D．（0，）【解答】解：化为标准方程为x2=2y，∴2p=2，∴=，∴焦点坐标是（0，）．故选：D．8．（5分）若不等式ax2+5x﹣2＞0的解集是{x|＜x＜2}，则a的值为（）A．﹣B．2C．﹣2D．【解答】解：∵不等式ax2+5x﹣2＞0的解集为{x|＜x＜2}，∴，2为方程ax2+5x﹣2=0的两根，∴根据韦达定理可得∴×2=﹣∴a=﹣2故选：C．9．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为（）A．﹣2B．﹣1C．2D．1【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由，解得：A（2，2），由z=2x﹣y得：y=2x﹣z，由图知，直线过A（2，2）时，z取得最大值，∴z的最大值是2，故选：C．10．（5分）“m=﹣1”是“直线mx+（2m﹣1）y+1=0和直线3x+my+3=0垂直”的（）A．必要而不充分条件B．充分而不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：直线mx+（2m﹣1）y+1=0和直线3x+my+3=0垂直的充要条件为：3m+（2m﹣1）m=0解得m=0或m=﹣1；若m=﹣1成立则有m=0或m=﹣1一定成立；反之若m=0或m=﹣1成立m=﹣1不一定成立；所以m=﹣1是直线mx+（2m﹣1）y+1=0和直线3x+my+3=0垂直的充分不必要条件．故选：B．11．（5分）F1、F2分别是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于A、B两点，若△ABF2是等边三角形，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：因为△ABF2为等边三角形，不妨设AB=BF2=AF2=m，A为双曲线上一点，F1A﹣F2A=F1A﹣AB=F1B=2a，B为双曲线上一点，则BF2﹣BF1=2a，BF2=4a，F1F2=2c，由∠ABF2=60°，则∠F1BF2=120°，在△F1BF2中应用余弦定理得：4c2=4a2+16a2﹣2•2a•4a•cos120°，得c2=7a2，则e2=7，解得e=．故选：D．12．（5分）已知函数f（x）=x+b﹣2﹣，若方程|f（x）|=1有且仅有3个不等实根，则实数b的取值范围是（）A．[1，）B．[0，﹣1]C．[﹣1，1）D．[﹣1，1]【解答】解：若|f（x）|=1，则f（x）=x+b﹣2﹣=1，或f（x）=x+b﹣2﹣=﹣1，即x+b﹣3=，或x+b﹣1=，画出y=x+b﹣3，y=x+b﹣1，与y=的图象如下图所示：若方程|f（x）|=1有且仅有3个不等实根，则y=x+b﹣3，y=x+b﹣1，与y=的图象共有3个交点，则b﹣1∈[0，），即b∈[1，），故选：A．二、填空题:本大题共4个小题，每小题5分.13．（5分）双曲线的一条渐近线方程为y=x．【解答】解：双曲线的a=2，b=，则渐近线方程为y=x，故答案为：y=x．14．（5分）函数f（x）=，则不等式xf（x）﹣x≤2的解集为[﹣1，2]【解答】解：当x＞1时，不等式xf（x）﹣x≤2化为x2﹣x≤2即：﹣1≤x≤2，所以1＜x≤2；当x≤1时，不等式xf（x）﹣x≤2化为﹣2x≤2可得：﹣1≤x≤1综上不等式xf（x）﹣x≤2的解集为：[﹣1，2]故答案为：[﹣1，2]15．（5分）已知抛物线C：y2=﹣4x的焦点F，A（﹣1，1），则曲线C上的动点P到点F与点A的距离之和的最小值为2．【解答】解：∵抛物线方程为y2=﹣4x，∴2p=4，可得焦点为F（﹣1，0），准线为x=1设P在抛物线准线l上的射影点为Q点，A（﹣1，1）则由抛物线的定义，可知当P、Q、A点三点共线时，点P到点（﹣1，1）的距离与P到该抛物线焦点的距离之和最小，∴最小值为1+1=2．故答案为：2．16．（5分）已知方程x2+ax+2b=0（a∈R，b∈R），其一根在区间（0，1）内，另一根在区间（1，2）内，则的取值范围为．【解答】解：令f（x）=x2+ax+2b，由题意可知，，即．由约束条件画出可行域如图，A（﹣1，0），联立，解得B（﹣3，1），的几何意义为可行域内的动点与定点M（1，3）连线的斜率，∵．∴的取值范围为．故答案为：．三、解答题：解答应写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤17．（12分）已知直线l 1：x+y﹣3m=0和l2：2x﹣y+2m﹣1=0的交点为M，若直线l1在y轴上的截距为3．（Ⅰ）求点M的坐标；（Ⅱ）求过点M且与直线l2垂直的直线方程．【解答】解：（Ⅰ）∵直线l1在y轴上的截距是3m，而直线l1在y轴上的截距为3，即3m=3，m=1，由，解得：，∴M（，）；（Ⅱ）设过点M且与直线l2垂直的直线方程是：x+2y+c=0，将M代入解得：c=﹣，∴所求直线方程是：3x+6y﹣16=0．18．（12分）已知命题p：方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆．命题q：实数m满足m2﹣4am+3a2＜0，其中a＞0．（Ⅰ）当a=1且p∧q为真命题时，求实数m的取值范围；（Ⅱ）若p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆，则，得，得＜m＜2，若a=1，由m2﹣4m+3＜0得1＜m＜3，若p∧q为真命题时，则p，q同时为真，则1＜m＜2．（Ⅱ）由m2﹣4am+3a2＜0，（a＞0）．得（m﹣a）（m﹣3a）＜0，得a＜m＜3a，即q：a＜m＜3a，￢q：x≥3a或0＜x ≤a，∵p是￢q的充分不必要条件，∴3a≤或a≥2，即a≤或a≥2，∵a＞0，∴0＜a≤或a≥2即实数a的取值范围是（0，]∪[2，+∞）19．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2，在y轴上截得线段长为2．（Ⅰ）求圆心P的轨迹方程；（Ⅱ）若圆心P到直线2x﹣y=0的距离为，求圆P的方程．【解答】解：（Ⅰ）设圆心为P（a，b），半径为R，∵圆P在x轴上截得线段长为2，在y轴上截得线段长为2，∴由题意知R2﹣b2=2，R2﹣a2=3，∴b2﹣a2=1，∴圆心P的轨迹方程为y2﹣x2=1．（Ⅱ）由题意知R2﹣b2=2，R2﹣a2=3，=，解得a=0，b=1，R=或a=0，b=﹣1，R=或a=，b=，R=或a=﹣，b=﹣，R=，∴满足条件的圆P有4个：x2+（y﹣1）2=3或x2+（y+1）2=3或（x﹣）2+（y﹣）2=或（x+）2+（y+）2=．20．（12分）某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元，为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x（n∈N*）名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为10（a﹣）万元（a＞0），剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x%．（1）若要保证剩余与员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？（2）在（1）的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余与员工创造的年总利润，则a的取值范围是多少？【解答】解：（1）由题意得：10（1000﹣x）（1+0.2x%）≥10×1000，即x2﹣500x≤0，又x＞0，所以0＜x≤500．即最多调整500名员工从事第三产业．（2）从事第三产业的员工创造的年总利润为万元，从事原来产业的员工的年总利润为万元，则（1+0.2x%）所以，所以ax≤，即a≤恒成立，因为，当且仅当，即x=500时等号成立．所以a≤5，又a＞0，所以0＜a≤5，即a的取值范围为（0，5]．21．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的短轴长为2，离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设过点M（2，0）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，F1为椭圆的左焦点．（1）若B点关于x轴的对称点是N，证明：直线AN恒过一定点；（2）试求椭圆C上是否存在点P，使F1APB为平行四边形？若存在，求出F1APB 的面积，若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）的短轴长为2，∴由题意知2b=2，解得b=1，∵离心率为e==，∴a2=2c2=2a2﹣2b2，解得a=，∴椭圆C的方程为．证明：（Ⅱ）（1）设过M（2，0）的直线l：y=k（x﹣2），联立，得（1+2k2）x﹣8k2x﹣2=0，∵直线与椭圆交于两点，∴△＞0，即0＜k2＜，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，x1x2=，∵B点关于x轴的对称点是N，∴N（x2，﹣y2），设直线AN：y﹣y1==（x﹣x1），∵A（x1，y1），B（x2，y2）满足直线l：y=k（x﹣2），∴y=（x﹣x1）+y1=x﹣+y1==[（x1+x2﹣4）x﹣2（x1x2﹣（x1+x2））]=﹣，∴直线l过定点（1，0）．解：（2）椭圆左焦点F1（﹣1，0），设AB的中点N（x0，y0），则=，，假设存在点P（x3，y3）使F1APB为平行四边形，则N是F1P的中点，∴x3﹣1=2x0，y3=2y0，即，，∵P（x3，y3）在椭圆C上，∴=1．整理，得92k4+44k2﹣1=0，解得或k2=﹣（舍），∵0≤，∴，此时，|AB|==，左焦点F1（﹣1，0）到直线l：y=k（x﹣2）的距离d==，∴平行四边形F 1APB的面积S=2=2×=．请在22、23两题中任选一题作答，注意：只能做选做给定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分.[选修4-4：坐标系于参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，以原点为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C1的参数方程为（α为参数），曲线C2的方程为x2+（y﹣4）2=16．（Ⅰ）求曲线C1的极坐标方程；（Ⅱ）若曲线θ=（ρ＞0）与曲线C1．C2交于A，B两点，求|AB|．【解答】解：（I）曲线C1的参数方程为（α为参数），消去参数α化为普通方程：x2+（y﹣2）2=4，把代入可得极坐标方程：ρ=4sinθ．（II）曲线C1的极坐标方程为ρ=4sinθ．把曲线C 2的方程x 2+（y ﹣4）2=16化为极坐标方程为：ρ=8sinθ， 曲线θ=（ρ＞0）与曲线C 1交于A ：ρ1==2，与曲线C 2交于B 点：ρ2==4．∴|AB |=|ρ2﹣ρ1|=2．[选修4-5：不等式证明选讲]23．设函数f （x ）=|2x ﹣1|﹣|x +2|． （1）解不等式f （x ）＞0；（2）若∃x 0∈R ，使得f （x 0）+2m 2＜4m ，求实数m 的取值范围．【解答】解：（1）函数f （x ）=|2x ﹣1|﹣|x +2|=，令f （x ）=0，求得x=﹣，或x=3，故不等式f （x ）＞0的解集为{x |x ＜﹣，或x ＞3}．（2）若存在x 0∈R ，使得f （x 0）+2m 2＜4m ，即f （x 0）＜4m ﹣2m 2 有解， 由（1）可得f （x ）的最小值为f （）=﹣3•﹣1=﹣，故﹣＜4m ﹣2m 2 ， 求得﹣＜m ＜．赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔②x 1≤x 2＜k ⇔③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0)(<k f xy1x 2x 0>a O∙kx y1x 2x O∙k<a 0)(>k f④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p = (Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =x>O-=f(p) f (q)()2b f a-x>O-=f (p)f (q)()2b f a-x>O-=f (p)f (q)()2bf a-xx x(q)0x①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x<O-=f (p) f (q) ()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。

四川省德阳市绵竹中学高二数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若集合中的元素是△的三边长，则△一定不是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形参考答案：D2. 函数的定义域为A. B. C. D.参考答案：C3. 垂直于同一条直线的两条直线一定A．平行 B．相交 C．异面 D．以上都有可能参考答案：4. 已知数列，那么“对任意的，点都在直线上”是“为等差数列”的(A) 必要而不充分条件 (B) 既不充分也不必要条件(C) 充要条件 (D) 充分而不必要条件参考答案：D 5. 与参数方程为（t为参数）等价的普通方程为（）A．x2+=1 B．x2+=1（0≤x≤1）C．x2+=1（0≤y≤2）D．x2+=1（0≤x≤1，0≤y≤2）参考答案：D【考点】参数方程化成普通方程．【分析】先由参数方程求出参数t得取值范围，进而求出x、y的取值范围，再通过变形平方即可消去参数t．【解答】解：由参数方程为，∴，解得0≤t≤1，从而得0≤x≤1，0≤y≤2；将参数方程中参数消去得x2+=1．因此与参数方程为等价的普通方程为．故选D．6. 下列函数是奇函数的是 ()A. B. C. D.参考答案：A7. 若直线3x+y+a=0过圆x2+y2+2x﹣4y=0的圆心，则a的值为（）A．﹣1 B． 1 C． 3 D．﹣3参考答案：B考点：圆与圆的位置关系及其判定．专题：待定系数法．分析：把圆x2+y2+2x﹣4y=0的圆心为（﹣1，2）代入直线3x+y+a=0，解方程求得a的值．解答：解：圆x2+y2+2x﹣4y=0的圆心为（﹣1，2），代入直线3x+y+a=0得：﹣3+2+a=0，∴a=1，故选 B．点评：本题考查根据圆的方程求圆心的坐标的方法，用待定系数法求参数的取值范围．8. 如图是函数的大致图象，则等于A.1B.0C.D.参考答案：B略9. 已知某个几何体的三视图如右侧，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（）A． B． C． D．参考答案：B如图该几何体可以看作一个正方体与一个直三棱柱组合而成。

2015-2016学年四川省德阳市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．已知角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，若点P（1，﹣）是角α终边上一点，则tanα的值为（）A． B．﹣C．﹣D．﹣【考点】任意角的三角函数的定义．【专题】计算题；方程思想；综合法；三角函数的求值．【分析】利用三角函数的定义，即可得出结论．【解答】解：∵点P（1，﹣）是角α终边上一点，∴tanα=﹣，故选：C．【点评】本题考查三角函数的定义，考查学生的计算能力，比较基础．2．若集合A={1，a，b}，B={1，﹣1，2}，且B=A，则a+b的值为（）A．3 B．1 C．0 D．不能确定【考点】集合的相等．【专题】集合思想；综合法；集合．【分析】根据集合的相等，求出a，b的值，相加即可．【解答】解：∵集合A={1，a，b}，B={1，﹣1，2}，且B=A，∴a=﹣1，b=2或a=2，b=﹣1，则a+b=1，故选：B．【点评】本题考查了集合的相等问题，是一道基础题．3．函数f（x）=﹣2lg（x+1）的定义域为（）A．（﹣1，3]B．（﹣∞，3]C．[3，+∞）D．（﹣1，+∞）【考点】函数的定义域及其求法．【专题】计算题；函数思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】由根式内部的代数式大于等于0，对数的真数大于0，列不等式组，求解即可得答案．【解答】解：由，得﹣1＜x≤3．∴函数f（x）=﹣2lg（x+1）的定义域为：（﹣1，3]．故选：A．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查了根式以及对数函数的性质，是基础题．4．设a=e0.3，b=0.92，c=ln0.9，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜c＜a【考点】对数值大小的比较．【专题】数形结合；转化思想；函数的性质及应用．【分析】由于a=e0.3＞1，0＜b=0.92＜1c=ln0.9＜0，即可得出．【解答】解：a=e0.3＞1，0＜b=0.92＜1c=ln0.9＜0，∴c＜b＜a．故选：B．【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．x）【考点】二分法的定义．【专题】计算题；函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】本题考查的是方程零点存在的大致区间的判断问题．在解答时，应先将方程的问题转化为函数零点大致区间的判断问题，结合零点存在性定理即可获得解答．【解答】解：令f（x）=e x﹣x﹣2，由表知f（1）=2.72﹣3＜0，f（2）=7.39﹣4＞0，∴方程e x﹣x﹣2=0的一个根所在的区间为（1，2）．故选：C．【点评】本题考查的是方程零点存在的大致区间的判断问题．在解答的过程当中充分体现了函数与方程的思想、问题转化的思想以及数据处理的能力．值得同学们体会和反思．6．已知幂函数f（x）=（m﹣3）x m，则下列关于f（x）的说法不正确的是（）A．f（x）的图象过原点B．f（x）的图象关于原点对称C．f（x）的图象关于y轴对称D．f（x）=x4【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据幂函数的定义求出f（x）的解析式，判断四个选项是否正确即可．【解答】解：∵f（x）=（m﹣3）x m是幂函数，∴m﹣3=1，解得m=4，∴函数解析式是f（x）=x4，且当x=0时，y=f（0）=0，即函数f（x）的图象过原点，又函数f（x）的图象关于y轴对称；∴选项A、C、D正确，B错误．故选：B．【点评】本题考查了幂函数的定义以及幂函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．7．已知y=f（x）是定义在R上的偶函数，在区间[0，+∞）上单调递增，且f（1）=0，那么不等式＞0的解集是（）A．{x|x＞1或﹣1＜x＜0} B．{x|x＞1或x＜﹣1} C．{x|0＜x＜1或x＜﹣1} D．{x|﹣1＜x ＜1且x≠0}【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】计算题；数形结合；转化思想；函数的性质及应用．【分析】根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化，即可得到不等式的解集．【解答】解：∵偶函数f（x）在[0，+∞）上为增函数，f（1）=0，∴对应的图象如图：不等式＞0等价为或，即﹣1＜x＜0或x＞1，即不等式的解集为{x|x＞1或﹣1＜x＜0}，故选：A．【点评】本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用．8．若角θ满足=3，则tanθ的值为（）A．﹣B．﹣2 C．﹣D．1【考点】三角函数的化简求值．【专题】计算题；方程思想；数学模型法；三角函数的求值．【分析】利用诱导公式化简已知三角等式，化弦为切求得答案．【解答】解：由=3，得，分子分母同时除以cosθ，得，解得：tanθ=1．故选：D．【点评】本题考查三角函数的化简与求值，熟记三角函数的诱导公式是关键，是基础题．9．如图是函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜2π）在一个周期内的图象，则（）A．A=2，ω=2，φ= B．A=2，ω=2，φ=C．A=2，ω=，φ=﹣D．A=2，ω=2，φ=﹣【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】数形结合；数形结合法；三角函数的图像与性质．【分析】由图象易得A值，由周期公式可得ω，代点结合角的范围可得φ值．【解答】解：由图象可得A=2，周期T==2[﹣（﹣）]，解得ω=2，∴y=2sin（2x+φ），代点（﹣，2）可得2=2sin（﹣+φ），∴sin（﹣+φ）=1，∴﹣+φ=2kπ+，解得φ=2kπ+，k∈Z，结合0＜φ＜2π可得φ=故选：B【点评】本题考查三角函数的图象和解析式，属基础题．10．设函数f（x）=，则f（log2）+f（）的值等于（）A． B．1 C．5 D．7【考点】函数的值．【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用．【分析】化简f（log 2）+f（）=+，从而解得．【解答】解：∵log2＜0，＞0，∴f（log2）+f（）=+=6+1=7，故选：D．【点评】本题考查了分段函数的应用及对数运算的应用．11．定义在R上的函数f（x）=（其中a＞0，且a≠1），对于任意x1≠x2都有＜0成立，则实数a的取值范围是（）A．[，1）B．（，]C．（，） D．（，1）【考点】分段函数的应用．【专题】计算题；函数思想；分析法；函数的性质及应用．【分析】由题意可得f（x）在R上递减．运用一次函数和对数函数的单调性，结合x=1的情况，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：任意x1≠x2都有＜0成立，即为f（x）在R上递减．当x∈（﹣∞，1]时，f（x）=（1﹣2a）x+递减，可得1﹣2a＜0，解得a＞；当x∈（1，+∞）时，f（x）=alog a x递减，可得0＜a＜1；由R上递减，可得1﹣2a+≥alog a1=0，解得a≤．综上可得，＜a≤．故选：B．【点评】本题考查分段函数的单调性的判断和运用，考查单调性的定义的运用，注意分界点的运用，考查运算能力，属于中档题和易错题．12．已知a＞0，函数f（x）=在区间[1，4]上的最大值等于，则a的值为（）A．或B． C．2 D．或2【考点】函数的最值及其几何意义．【专题】计算题；函数思想；分析法；函数的性质及应用．【分析】讨论x﹣2a在区间[1，4]上恒大于零，恒小于零，既有大于零又有小于零．对应的f（x）的最大值是什么，求出a的值．【解答】解：（1）当x﹣2a在区间[1，4]上恒大于零时，由x﹣2a＞0，可得a＜；当x=1时，满足x﹣2a在[1，4]上恒大于零，即a＜；此时函数f（x）==1﹣，该函数在定义域[1，4]上为增函数，在x=4时，取最大值f（4）=，∴a=，不满足a＜的假设，舍去．（2）当x﹣2a在区间[1，4]上恒小于零时，∵x﹣2a＜0，∴a＞；当x=4时，满足x﹣2a在[1，4]上恒小于零，即a＞2；此时函数f（x）==﹣1，该函数在定义域[1，4]上为减函数，在x=1时，取最大值f（1）=，∴a=，不满足a＞2的假设，舍去．（3）由前面讨论知，当＜a＜2时，x﹣2a在区间[1，4]上既有大于零又有小于零时，①当x＜2a时，x﹣2a＜0，此时函数f（x）=﹣1在[1，2a）上为减函数，在x=1时，取到最大值f（1）=；②当x＞2a时，x﹣2a＞0．此时函数f（x）=1﹣在（2a，4]时为增函数，在x=4时，取到最大值f（4）=；总之，此时函数在区间[1，4]上先减后增，在端点处取到最大值；当函数在x=1处取最大值时，解得a=，此时函数f（x）=，将函数的另一个最大值点x=4代入得：f（4）=，∵f（1）＞f（4），∴满足条件；当函数在x=4处取最大值时，解得a=，此时函数f（x）=，将函数的另一个最大值点x=1代入得：f（1）=，∵f（1）＜f（4），∴满足条件；∴a=或a=；故选：A．【点评】本题考查了含有绝对值的函数在某一闭区间上的最值问题，注意运用分类讨论的思想方法，运用单调性解决，是易错题．二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）13．若一个扇形的圆心角为，所在圆的半径为2，则这个扇形的面积为．【考点】扇形面积公式．【专题】函数思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由题意可得扇形的弧长，代入扇形的面积公式计算可得．【解答】解：由题意可得α=，r=2，∴扇形的弧长l=αr=，∴扇形的面积S=lr=，故答案为：．【点评】本题考查扇形的面积公式和弧长公式，属基础题．14．若sinA﹣cosA=，则sinA•cosA的值为﹣．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系，求得sinA•cosA的值．【解答】解：∵sinA﹣cosA=，则平方可得1﹣2sinA•cosA=，求得sinAcosA=﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，属于基础题．15．定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=﹣f（x），当﹣1≤x≤1时，f（x）=1﹣x2，则f[f （5）]等于1．【考点】函数的值．【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用．【分析】化简f（5）=﹣f（3）=f（1）=0，从而解得．【解答】解：∵f（x+2）=﹣f（x），∴f（5）=﹣f（3）=f（1）=0，f[f（5）]=f（0）=1﹣0=1，故答案为：1．【点评】本题考查了函数的周期性的变形应用及复合函数的应用．16．已知函数f（x）=sinx（x∈R），则下列四个说法：①函数g（x）=是奇函数；②函数f（x）满足：对任意x1，x2∈[0，π]且x1≠x2都有f（）＜[f（x1）+f（x2）]；③若关于x的不等式f2（x）﹣f（x）+a≤0在R上有解，则实数a的取值范围是（﹣∞，]；④若关于x的方程3﹣2cos2x=f（x）﹣a在[0，π]恰有4个不相等的解x1，x2，x3，x4；则实数a的取值范围是[﹣1，﹣），且x1+x2+x3+x4=2π；其中说法正确的序号是③④．【考点】命题的真假判断与应用；正弦函数的图象．【专题】综合题；函数思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】①求出函数g（x）的定义域，由定义域不关于原点对称判断函数为非奇非偶函数；②利用三角函数的和差化积判断；③利用换元法，把不等式转化为一元二次不等式求解；④利用换元法，把函数转化为一元二次函数进行零点判断．【解答】解：对于①，由f（x）﹣1≠，得f（x）≠1，∴sinx≠1，即，则函数g（x）=的定义域为{x|}，函数为非奇非偶函数，故①错误；对于②，对任意x1，x2∈[0，π]且x1≠x2，有f（）=sin，[f（x1）+f（x2）]==≤sin，故＜②错误；对于③，令f（x）=sinx=t（﹣1≤t≤1），关于x的不等式f2（x）﹣f（x）+a≤0在R上有解，即t2﹣t+a≤0在[﹣1，1]上有解，则，即a，∴实数a的取值范围是（﹣∞，]，故③正确；对于④，关于x的方程3﹣2cos2x=f（x）﹣a在[0，π]恰有4个不相等的解x1，x2，x3，x4，即2sin2x﹣sinx+1+a=0在[0，π]恰有4个不相等的解x1，x2，x3，x4，∵x∈[0，π]，∴sinx∈[0，1]，设t=sinx，则t∈[0，1]，2t2﹣t+1+a=0．由于[0，1）内的一个t值对应了[0，π]内的2个x值，则由题意可得，关于t的方程f（t）=2t2﹣t+1+a=0在[0，1）上有两个不等根．则，解得﹣1，此时x1+x2+x3+x4=2π，故④正确．∴正确的命题是③④．故答案为：③④．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了与正弦函数有关的复合函数的性质判断，考查了复合函数的零点判断，是中档题．三、解答题（本大题共6小题，共52分）17．已知集合A={x|a﹣4≤x≤a}，B={x|x＜﹣1或x＞5}．（1）当a=0时，试求A∩B，A∪B；（2）若A∪B=B，求实数a的取值范围．【考点】集合的包含关系判断及应用；交集及其运算．【专题】计算题；集合思想；综合法；集合．【分析】（1）当a=0时，求出集合A=[﹣4，0]，则A∩B，A∪B可求；（2）由A∪B=B，可得A⊆B，则a＜﹣1或a﹣4＞5，求解即可得到实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a=0时，集合A=[﹣4，0]，B={x|x＜﹣1或x＞5}，则A∩B=[﹣4，0]∩{x|x＜﹣1或x＞5}=[﹣4，﹣1），A∪B=[﹣4，0]∪{x|x＜﹣1或x＞5}=（﹣∞，0]∪（5，+∞）；（2）由A∪B=B，可得A⊆B，∴a＜﹣1或a﹣4＞5．解得a＜﹣1或a＞9．故实数a的取值范围是：（﹣∞，﹣1）∪（9，+∞）．【点评】本题考查了集合的包含关系判断及应用，考查了交集及并集运算，是基础题．18．已知y=f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣2x．（1）当x＜0时，求函数f（x）的解析式；（2）若函数y=f（x）﹣kx+4（k≠0）在（﹣∞，0）上恰有两个零点，求实数k的取值范围．【考点】函数奇偶性的性质；函数解析式的求解及常用方法．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）利用偶函数的定义求函数解析式；（2）由题意，x2+2x﹣kx+4=0）在（﹣∞，0）上恰有两个不等根，可得不等式，即可求实数k的取值范围．【解答】解：（1）当x＜0时，﹣x＞0，∵f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f（x）=x2﹣2x，∴f（x）=f（﹣x）=x2+2x；（2）由题意，x2+2x﹣kx+4=0）在（﹣∞，0）上恰有两个不等根，则，∴k＜﹣2．【点评】本题考查了函数奇偶性的应用，考查函数的零点，属于中档题．19．已知sin（α+）cos（α+）=，α∈（，），cos（2β﹣）=，β∈（，）．（1）求sin（2α+）及cos（2α+）的值；（2）求cos（2α+2β）的值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；两角和与差的余弦函数．【专题】整体思想；综合法；三角函数的求值．【分析】（1）使用二倍角公式求出sin（2α+），判断出2α+的范围，使用同角三角函数的关系求出cos（2α+）；（2）使用和角的余弦公式计算．【解答】解：（1）sin（2α+）=2sin（α+）cos（α+）=．∵α∈（，），∴2α+∈（，），∴cos（2α+）=﹣=﹣=﹣．（2）∵β∈（，），∴2β﹣∈（，），∴sin（2β﹣）==．∴cos（2α+2β）=cos[（2α+）+（2β﹣）]=cos（2α+）cos（2β﹣）﹣sin（2α+）sin（2β﹣）=﹣×﹣×=．【点评】本题考查了三角函数的恒等变换，两角和的余弦公式，观察角的特点是解题关键．20．某种产品的成本f1（x）（万元）与年产量x（吨）之间的函数关系是f1（x）=x2，该产品的销售单价f2（x）可以表示为关于年销量的一次函数，其部分图象如图所示，且生产的产品都能在当年销售完．（1）求f2（x）的解析式及定义域；（2）当年产量为多少吨时，所获利润s（万元）最大（注：利润=收入﹣成本）；并求出s的最大值．【考点】函数解析式的求解及常用方法；函数的图象．【专题】数形结合；转化思想；待定系数法；函数的性质及应用．【分析】（1）由题意可设：f2（x）=kx+b（k≠0），由于图象经过点（0，3），（100，2）．代入解出即可得出．令f2（x）＞0，解得函数的定义域．（2）设年产量为x吨，s=x•f2（x）﹣f1（x）=﹣（x﹣75）2+，利用二次函数的单调性即可得出．【解答】解：（1）由题意可设：f2（x）=kx+b（k≠0），由于图象经过点（0，3），（100，2）．∴，解得，∴f2（x）=+3，令f2（x）=+3＞0，解得0＜x＜300，其定义域为（0，300）．（2）设年产量为x吨，s=x•f2（x）﹣f1（x）=﹣x2=+3x=﹣（x﹣75）2+，∴当x=75时，s取得最大值（万元）．【点评】本题考查了一次函数与二次函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．将函数y=msinx（其中m≠0）的图象上的所有点向左平移个单位，再将所得图象上所有点的横坐标压缩到原来的倍，纵坐标保持不变，得到了函数y=f（x）的图象．（1）写出函数f（x）的表达式；（2）当m=时，求函数f（x）的最小正周期及对称中心；（3）若x∈[﹣，]时，函数f（x）的最大值为2，试求函数f（x）的最小值．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的图象．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】（1）由调件利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得函数f（x）的表达式．（2）由条件利用正弦函数的周期性，正弦函数的图象的对称性，得出结论．（3）由条件利用正弦函数的定义域和值域，求得函数f（x）的最小值．【解答】解：（1）把函数y=msinx（其中m≠0）的图象上的所有点向左平移个单位，可得y=msin（x+）的图象；再将所得图象上所有点的横坐标压缩到原来的倍，纵坐标保持不变，得到了函数y=f（x）=msin（2x+）的图象，故f（x）=msin（2x+）．（2）当m=时，函数f（x）=sin（2x+），它的最小正周期为=π，令2x+=kπ，求得x=﹣，k∈Z，可得它的图象的对称中心为（﹣，0），k∈Z．（3）若x∈[﹣，]时，2x+∈[﹣，]，函数f（x）=msin（2x+）的最大值为m=2，求函数f（x）的最小值m•（﹣）=﹣1．【点评】本题主要考查y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的周期性以及定义域和值域，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．22．已知f（log a x）=x﹣（k∈R），且函数f（x）是定义域为R的奇函数，其中a＞0，且a≠1．（1）求k的值；（2）判断函数f（x）的单调性，并证明你的结论；（3）若f（1）=时，不等式f（a2x+a﹣2x）+f（ma﹣x﹣ma x）＞0对任意x∈[1，+∞）均成立，求实数m的取值范围．【考点】函数奇偶性的性质；函数的单调性及单调区间．【专题】综合题；方程思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）求出函数f（x），利用函数f（x）是定义域为R的奇函数，求k的值；（2）求导数，可得函数f（x）的单调性；（3）不等式f（a2x+a﹣2x）+f（ma﹣x﹣ma x）＞0对任意x∈[1，+∞）均成立，等价于不等式22x+2﹣2x＞m2x﹣m2﹣x，对任意x∈[1，+∞）均成立，分离参数，即可求实数m的取值范围．【解答】解：（1）令t=log a x，则x=a t，∴f（t）=a t﹣（k﹣1）a﹣t，∵函数f（x）是定义域为R的奇函数，∴a﹣x﹣（k﹣1）a x=﹣a x+（k﹣1）a﹣x，∴k﹣1=1，∴k=0；（2）f（x）=a x﹣a﹣x，∴f′（x）=lna（a x+a﹣x），a＞1，lna＞0，f′（x）＞0，函数在R上单调递增；0＜a＜1，lna＜0，f′（x）＜0，函数在R 上单调递减；（3）f（1）=时，a﹣=，∴a=2，函数在R上单调递增．不等式f（a2x+a﹣2x）+f（ma﹣x﹣ma x）＞0对任意x∈[1，+∞）均成立，等价于不等式22x+2﹣2x＞m2x﹣m2﹣x，对任意x∈[1，+∞）均成立，设2x﹣2﹣x=t（t≥），则22x+2﹣2x=t2+2，∴m＜t+，∵t≥，∴t+≥，∴m＜．【点评】本题考查函数的奇偶性，考查函数的单调性，考查学生的计算能力，属于中档题．。

四川省高考数学试卷10（文科）2016年4月15日星期五一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）（2015•德阳模拟）复数的实部为（）A．﹣B．C．﹣D．2．（5分）（2015•德阳模拟）已知直线l1：ax+2y+1=0，l2：（3﹣a）x﹣y+a=0，则条件“a=1”是“l1⊥l2“的（）A．充分必要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不必要也不充分条件3．（5分）（2015•德阳模拟）已知向量=（x，1），=（1，2），=（﹣1，3），若（+2）∥，则实数x的值为（）A．﹣B．﹣17 C．12 D．134．（5分）（2015•德阳模拟）一个几何体的俯视图是半径为l的圆，其主视图和侧视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．3πB．4πC．5πD．7π5．（5分）（2015•德阳模拟）执行右边的程序框图，则输出的结果是（）A．B．C．D．6．（5分）（2015•德阳模拟）将函数y=sin（2x+θ）的图象向右平移个单位，得到的图象关于x=对称，则θ的一个可能的值为（）A．﹣B． C．﹣D．7．（5分）（2015•德阳模拟）函数f（x）=x•2|x|﹣x﹣1的零点个数为（）A．2 B．3 C．0 D．18．（5分）（2015•德阳模拟）已知数列{a n}为等差数列，前n项和为S n，若a7+a8+a9=，则cosS15的值为（）A．﹣B．C．D．﹣9．（5分）（2015•德阳模拟）已知关于x的二次函数f（x）=ax2﹣4bx+1，设（a，b）是区域，内的随机点，则函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率是（）A．B．C．D．10．（5分）（2015•德阳模拟）命题p：∃x∈R，e x﹣mx=0，命题q：f（x）=﹣mx2﹣2x 在[﹣1，1]递减，若p∨（¬q）为假命题，则实数m的取值范围为（）A．[0，]B．[﹣3，0]C．[﹣3，e）D．[0，e）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分将答案填在答题卡对应题号后横线上．11．（5分）（2015•德阳模拟）双曲线﹣=1的焦点到渐近线的距离为．12．（5分）（2015•德阳模拟）设x、y满足，则目标函数z=3x﹣2y的最小值为．13．（5分）（2015•德阳模拟）直线l：x﹣y=0被圆：（x﹣a）2+y2=1截得的弦长为，则实数a的值为．14．（5分）（2015•德阳模拟）已知f（x）是R上的奇函数，f（x）=，则f（x﹣1）＜f（mx）解集为．15．（5分）（2015•德阳模拟）设f′（x）为f（x）的导函数，f″（x）是f′（x）的导函数，如果f（x）同时满足下列条件：①存在x0，使f″（x0）=0；②存在ε＞0，使f′（x）在区间（x0﹣ε，x0）单调递增，在区间（x0，x0+ε）单调递减．则称x0为f（x）的“上趋拐点”；如果f（x）同时满足下列条件：①存在x0，使f″（x0）=0；②存在ε＞0，使f′（x）在区间（x0﹣ε，x0）单调递减，在区间（x0，x0+ε）单调递增．则称x0为f（x）的“下趋拐点”．给出以下命题，其中正确的是（只写出正确结论的序号）①0为f（x）=x3的“下趋拐点”；②f（x）=x2+e x在定义域内存在“上趋拐点”；③f（x）=e x﹣ax2在（1，+∞）上存在“下趋拐点”，则a的取值范围为（，+∞）；④f（x）=，若a为f（x）的“上趋拐点”，则a=﹣1．三、解答题：本大题共6个小题，共75分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（12分）（2015•德阳模拟）已知函数f（x）=2sin（ωx﹣）cosωx+（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求f（x）的值域；（2）已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）=，b+c=2，求a 的最小值．17．（12分）（2015•德阳模拟）已知正项等比数列{a n}中，S n为其前n项和，已知a2a4=1，S3=7．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=a n log2a n，T n=b1+b2+…+b n（n∈N*），求T n的值．18．（12分）（2015•德阳模拟）为了整顿食品的安全卫生，食品监督部门对某食品厂生产的甲、乙两种食品进行了检测调研，检测某种有害微量元素的含量，随机在两种食品中各抽取了10个批次的食品，每个批次各随机地抽取了一件，卞表是测量数据的茎叶图（单位：毫克）规定：当食品中的有害微量元素含量在[0，10]时为一等品，在（10，20]为二等品，20以上为劣质品．（1）分别求出甲、乙两种食品该有害微量元素含量的样本平均数，并据此判定哪种食品的质量较好；（2）若用分层抽样的方法，分别在两组数据中各抽取5个数据，分别求出甲、乙两种食品一等品的件数；（3）在（2）的条件下，从甲组5个数据中随机抽取2个，求恰有一件一等品的概率．19．（12分）（2015•德阳模拟）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ACD=90°，AB=1，AD=2，ABEF为正方形，平面ABEF⊥平面ABCD，P为DF的中点．AN⊥CF，垂足为N．（1）求证：BF∥平面PAC；（2）求证：AN⊥平面CDF；（3）求三棱锥B﹣CEF的体积．20．（13分）（2015•德阳模拟）已知椭圆=1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点与抛物线y2=4x的焦点F重合．（1）求椭圆的方程；（2）过F的直线l交椭圆于A、B两点，椭圆的左焦点力F'，求△AF'B的面积的最大值．21．（14分）（2015•德阳模拟）已知函数f（x）=﹣（a﹣1）x﹣a1nx．（l）讨论f（x）的单调性；（2）设a＜0，若对任意x1、x2∈（0，+∞），（x1≠x2），|f（x1）﹣f（x2）|＞4|x1﹣x2|，求实数a的取值范围；（3）设g（x）=f（x）+（a﹣1）x，A（x1，g（x1）），B（x2，g（x2））为g（x）图象上任意两点，x0=，AB的斜率为k，g′（x）为g（x）的导函数，当a＞0时，求证：g′（x0）＞k．2015年四川省德阳市高考数学二诊试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）（2015•德阳模拟）复数的实部为（）A．﹣B．C．﹣D．【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则、实部的定义即可得出．【解答】解：复数==的实部为，故选：D．【点评】本题考查了复数的运算法则、实部的定义，属于基础题．2．（5分）（2015•德阳模拟）已知直线l1：ax+2y+1=0，l2：（3﹣a）x﹣y+a=0，则条件“a=1”是“l1⊥l2“的（）A．充分必要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不必要也不充分条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】结合线面垂直的条件，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：若l1⊥l2，则（3﹣a）a﹣2×1=0，解得a=1或a=2．所以a=1是l1⊥l2的充分不必要条件．故选：B【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，以及直线垂直的应用，要熟练掌握直线垂直的等价条件．a1x+b1y+c1=0和a2x+b2y+c2=0垂直的等价条件为：a1a2+b1b2=03．（5分）（2015•德阳模拟）已知向量=（x，1），=（1，2），=（﹣1，3），若（+2）∥，则实数x的值为（）A．﹣B．﹣17 C．12 D．13【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】平面向量及应用．【分析】利用已知条件求出+2，然后利用向量的平行列出方程求解x即可、【解答】解：向量=（x，1），=（1，2），=（﹣1，3），+2=（x+2，5），∵（+2）∥，∴3x+6=﹣5，解得x=．故选：A．【点评】本题考查向量的共线以及坐标运算，基本知识的考查．4．（5分）（2015•德阳模拟）一个几何体的俯视图是半径为l的圆，其主视图和侧视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．3πB．4πC．5πD．7π【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是圆柱与半球的组合体，结合图中数据，求出它的表面积．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底部为圆柱，上部为半球的组合体，且圆柱的底面圆半径为1，高为1，半球的半径为1；所以该组合体的表面积为2π×1×1+π×12+×4π×12=5π．故选：C．【点评】本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，也考查了求几何体的表面积的应用问题，是基础题目．5．（5分）（2015•德阳模拟）执行右边的程序框图，则输出的结果是（）A．B．C．D．【考点】程序框图．【专题】图表型；算法和程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的n，s的值，当n=4时满足条件n≥4，退出循环，输出s的值为．【解答】解：模拟执行程序框图，可得n=0，s=0，n=1，s=，不满足条件n≥4，n=2，s=不满足条件n≥4，n=3，s=不满足条件n≥4，n=4，s=满足条件n≥4，退出循环，输出s的值为．故选：B．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，依次正确写出每次循环得到的n，s的值是解题的关键，属于基本知识的考查．6．（5分）（2015•德阳模拟）将函数y=sin（2x+θ）的图象向右平移个单位，得到的图象关于x=对称，则θ的一个可能的值为（）A．﹣B． C．﹣D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律、正弦函数的图象的对称性，可得2•﹣+θ=kπ+，k∈z，由此求得θ的一个可能的值．【解答】解：将函数y=sin（2x+θ）的图象向右平移个单位，得到的图象对应的函数解析式为y=sin[2（x﹣）+θ]=sin（2x﹣+θ），再根据所得函数的图象关于x=对称，可得2•﹣+θ=kπ+，k∈z，即θ=kπ+，k∈z，则θ的一个可能的值为﹣，故选：A．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．7．（5分）（2015•德阳模拟）函数f（x）=x•2|x|﹣x﹣1的零点个数为（）A．2 B．3 C．0 D．1【考点】函数零点的判定定理．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】注意到绝对值，分x＜0与x≥0讨论，从而函数的单调性及函数零点的判定定理判断零点的个数．【解答】解：当x＜0时，f（x）=x•2|x|﹣x﹣1=x（2|x|﹣1）﹣1＜﹣1；故函数f（x）=x•2|x|﹣x﹣1在（﹣∞，0）上没有零点；当x≥0时，f（x）=x•2x﹣x﹣1f′（x）=2x+xln2•2x﹣1=xln2•2x+2x﹣1≥0；故f（x）=x•2x﹣x﹣1在[0，+∞）上是增函数，且f（0）=﹣1，f（2）=8﹣2﹣1=5＞0；故函数f（x）=x•2|x|﹣x﹣1在[0，+∞）上有且只有一个零点；综上所述，函数f（x）=x•2|x|﹣x﹣1的零点个数为1；故选：D．【点评】本题考查了函数的单调性的判断及函数零点的判定定理的应用，属于基础题．8．（5分）（2015•德阳模拟）已知数列{a n}为等差数列，前n项和为S n，若a7+a8+a9=，则cosS15的值为（）A．﹣B．C．D．﹣【考点】等差数列的前n项和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由题意和等差数列的性质可得a8=，进而可得S15=，计算余弦值可得．【解答】解：由等差数列的性质可得3a8=a7+a8+a9=，∴a8=，∴S15===15a8=，∴cosS15=cos=cos=故选：B【点评】本题考查等差数列的求和公式和等差数列的性质，涉及三角函数的运算，属基础题．9．（5分）（2015•德阳模拟）已知关于x的二次函数f（x）=ax2﹣4bx+1，设（a，b）是区域，内的随机点，则函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率是（）A．B．C．D．【考点】几何概型；二次函数的性质．【专题】概率与统计．【分析】由题意求出使二次函数在区间[1，+∞）上是增函数的满足条件，求出区域面积，利用几何概型解答．【解答】解：关于x的二次函数f（x）=ax2﹣4bx+1在区间[1，+∞）上是增函数，则，即，满足条件的如图阴影部分，直线x+y﹣8=0与x+2y=0的交点为（），已知区域面积为=32，阴影部分面积为，所以函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率是；故选C．【点评】本题考查了几何概型的概率求法；关键是求出区域面积，由公式解答．10．（5分）（2015•德阳模拟）命题p：∃x∈R，e x﹣mx=0，命题q：f（x）=﹣mx2﹣2x在[﹣1，1]递减，若p∨（¬q）为假命题，则实数m的取值范围为（）A．[0，]B．[﹣3，0]C．[﹣3，e）D．[0，e）【考点】复合命题的真假．【专题】函数的性质及应用；导数的概念及应用．【分析】首先求出函数m=的极值，进一步利用导数求出函数f（x）=﹣mx2﹣2x在[﹣1，1]递减的充要条件，最后利用p假q真求出m的交集即可．，【解答】解：命题p：∃x∈R，e x﹣mx=0，则：m=，设g（x）=则：g′（x）=当x＞1时，g′（x）＞0，函数g（x）为单调递增函数．当0＜x＜1时，g′（x）＜0，函数g（x）为单调递减函数．当x＜0时，g′（x）＜0，函数g（x）为单调递减函数．所以：当x=1时函数g（x）取极小值，g（1）=e．所以：函数g（x）的值域为：（﹣∞，0）∪[e，+∞）．即：m∈（﹣∞，0）∪[e，+∞）．命题q：f（x）=﹣mx2﹣2x在[﹣1，1]递减，所以：f′（x）=x2﹣2mx﹣2则：解得：．由于p∨（¬q）为假命题，则：p假q真，所以：则：．故选：A【点评】本题考查的知识要点：利用导数求函数的单调区间和极值，复合命题的应用，及相关的运算问题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分将答案填在答题卡对应题号后横线上．11．（5分）（2015•德阳模拟）双曲线﹣=1的焦点到渐近线的距离为．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先由题中条件求出焦点坐标和渐近线方程，再代入点到直线的距离公式即可求出结论．【解答】解：由题得：其焦点坐标为（﹣，0），（，0）．渐近线方程为y=±x，即x ﹣2y=0，所以焦点到其渐近线的距离d==．故答案为：．【点评】本题以双曲线方程为载体，考查双曲线的标准方程，考查双曲线的几何性质，属于基础题．12．（5分）（2015•德阳模拟）设x、y满足，则目标函数z=3x﹣2y的最小值为1．【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由题意作出其平面区域，将z=3x﹣2y化为y=x﹣z，﹣z相当于直线y=x﹣z的纵截距，由几何意义可得．【解答】解：由题意作出其平面区域，将z=3x﹣2y化为y=x﹣z，﹣z相当于直线y=x﹣z的纵截距，故求目标函数z=3x﹣2y的最小值，即求直线y=x﹣z的纵截距的最大值，由解得，x=y=1；故目标函数z=3x﹣2y的最小值为3﹣2=1；故答案为：1．【点评】本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题．13．（5分）（2015•德阳模拟）直线l：x﹣y=0被圆：（x﹣a）2+y2=1截得的弦长为，则实数a的值为±1．【考点】直线与圆相交的性质．【专题】直线与圆．【分析】由题意利用弦长公式求得弦心距，再利用点到直线的距离公式求得弦心距，由此建立方程求得a的值．【解答】解：由题意利用弦长公式求得弦心距d==，再利用点到直线的距离公式可得d==，由此求得a=±1，故答案为：±1．【点评】本题主要考查直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于基础题．14．（5分）（2015•德阳模拟）已知f（x）是R上的奇函数，f（x）=，则f（x﹣1）＜f（mx）解集为（﹣1，+∞）．【考点】函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】先根据f（x）为奇函数，便有f（﹣1）=﹣f（1），所以可求出m=2，所以f（x）=，而根据二次函数的单调性以及分段函数单调性的判断方法可得出函数f（x）在R上单调递增．所以由f（x﹣1）＜f（2x）便得到x﹣1＜2x，这样便解得x＞﹣1．【解答】解：f（x）是R上的奇函数；∴f（﹣1）=﹣f（1）；∴﹣1﹣m=﹣3；∴m=2；容易判断二次函数x2+2x在[0，+∞）单调递增，﹣x2+2x在（﹣∞，0）上单调递增；∴x2+2x≥0，﹣x2+2x＜0；∴函数f（x）=在R上单调递增；∴由f（x﹣1）＜f（2x）得，x﹣1＜2x；∴x＞﹣1；∴f（x﹣1）＜f（mx）的解集为（﹣1，+∞）．故答案为：（﹣1，+∞）．【点评】考查奇函数的定义，二次函数的单调性，以及分段函数单调性的判断方法，函数单调性定义的运用．15．（5分）（2015•德阳模拟）设f′（x）为f（x）的导函数，f″（x）是f′（x）的导函数，如果f（x）同时满足下列条件：①存在x0，使f″（x0）=0；②存在ε＞0，使f′（x）在区间（x0﹣ε，x0）单调递增，在区间（x0，x0+ε）单调递减．则称x0为f（x）的“上趋拐点”；如果f（x）同时满足下列条件：①存在x0，使f″（x0）=0；②存在ε＞0，使f′（x）在区间（x0﹣ε，x0）单调递减，在区间（x0，x0+ε）单调递增．则称x0为f（x）的“下趋拐点”．给出以下命题，其中正确的是①③④（只写出正确结论的序号）①0为f（x）=x3的“下趋拐点”；②f（x）=x2+e x在定义域内存在“上趋拐点”；③f（x）=e x﹣ax2在（1，+∞）上存在“下趋拐点”，则a的取值范围为（，+∞）；④f（x）=，若a为f（x）的“上趋拐点”，则a=﹣1．【考点】函数的单调性与导数的关系．【专题】导数的概念及应用；导数的综合应用．【分析】通过分析可知，x0是导函数f′（x）的极大值点时，则x0是f（x）的“上趋拐点”；x0是导函数f′（x）的极小值点时，则x0是f（x）的“下趋拐点”．依此对原题四个选项逐一进行判断．【解答】解：由题意可知，x0是导函数f′（x）的极大值点时，则x0是f（x）的“上趋拐点”；x0是导函数f′（x）的极小值点时，则x0是f（x）的“下趋拐点”．①由已知f′（x）=3x2，所以f″（x）=6x，且当x＜0时，f″（x）＜0，当x＞0时，f″（x）＞0，所以0为f（x）的“下趋拐点”，故①正确；②由已知f′（x）=2x+e x，则f″（x）=2+e x＞0恒成立，故f″（x）=0无解，所以f（x）=x2+e x 无上趋拐点，故②错误；③由已知得f′（x）=e x﹣2ax，所以f″（x）=e x﹣2a，易知，该函数为定义域上的增函数，令f″（x）=0，若有解，则x=ln（2a），则当x＜ln（2a）时，f″（x）＜0，当x＞ln（2a）时，f″（x）＞0，故函数f′（x）在（﹣∞，ln（2a））上递减，在（ln（2a），+∞）上递增，所以x=ln（2a）是函数f（x）的下趋拐点，由题意得ln（2a）＞1=lne，所以2a＞e，所以a＞，故③正确；④由已知得f′（x）=ax2﹣a（a﹣1）x﹣a2，所以f″（x）=2ax﹣a（a﹣1），若x=a是上（或下）趋拐点，则f″（a）=2a2﹣a（a﹣1）=0，解得a=0或﹣1，显然a≠0，当a=﹣1时，f″（x）=﹣2x﹣2，易知当x＜﹣1时，f″（x）＞0，当x＞﹣1时，f″（x）＜0，所以f′（x）在（﹣∞，﹣1）上递增，在（﹣1，+∞）上递减，所以a=﹣1是f（x）的上趋拐点．故④正确．故答案为：①③④．【点评】本题考查了新定义问题的处理方法，主要是根据所学将问题转化为已知的“极值问题”来认识，从而得到了解决问题的方法．三、解答题：本大题共6个小题，共75分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（12分）（2015•德阳模拟）已知函数f（x）=2sin（ωx﹣）cosωx+（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求f（x）的值域；（2）已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）=，b+c=2，求a的最小值．【考点】余弦定理；三角函数中的恒等变换应用；正弦定理．【专题】解三角形．【分析】（1）由三角函数公式化简可得f（x）=sin（2ωx﹣），易得值域和ω值；（2）由（1）和题意可得A=，由余弦定理可得a2=4﹣bc，由基本不等式可得可得bc≤1，代入可得a的最小值．【解答】解：（1）化简可得f（x）=2sin（ωx﹣）cosωx+=2（sinωx﹣cosωx）cosωx+=sinωcosωx﹣cos2ωx+=sin2ωx﹣（2cos2ωx﹣1）=sin2ωx﹣cos2ωx=sin（2ωx﹣），∴f（x）的值域为[﹣1，1]，∵最小正周期为π，∴=π，解得ω=1，（2）由（1）知f（x）=sin（2x﹣），由f（）=可得sin（A﹣）=，∴A﹣=或A﹣=，解得A=，或A=π（舍去）∴由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccos=b2+c2+bc=（b+c）2﹣bc=4﹣bc，再由2=b+c≥2可得bc≤1，即﹣bc≥﹣1当且仅当b=c=1时取等号，∴a2=4﹣bc≥3，∴a≥，∴a的最小值为：【点评】本题考查余弦定理，涉及三角函数公式和基本不等式求最值，属中档题．17．（12分）（2015•德阳模拟）已知正项等比数列{a n}中，S n为其前n项和，已知a2a4=1，S3=7．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=a n log2a n，T n=b1+b2+…+b n（n∈N*），求T n的值．【考点】数列的求和；等比数列的前n项和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）由已知得，且q＞0，由此能求出a n=23﹣n．（2）由b n=a n log2a n==，利用分组求和法和错位相减法能求出T n的值．【解答】解：（1）∵正项等比数列{a n}中，a2a4=1，S3=7，∴，且q＞0，解得q=，a1=4，∴a n==4×（）n﹣1=23﹣n．（2）b n=a n log2a n==，T n=b1+b2+…+b n=3（）﹣（）=3×﹣（）设S n=，①=，②①﹣②，得=﹣=﹣=1﹣．∴S n=2﹣．∴T n=3（1﹣）﹣2+=+1．【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分组求和法和错位相减法的合理运用．18．（12分）（2015•德阳模拟）为了整顿食品的安全卫生，食品监督部门对某食品厂生产的甲、乙两种食品进行了检测调研，检测某种有害微量元素的含量，随机在两种食品中各抽取了10个批次的食品，每个批次各随机地抽取了一件，卞表是测量数据的茎叶图（单位：毫克）规定：当食品中的有害微量元素含量在[0，10]时为一等品，在（10，20]为二等品，20以上为劣质品．（1）分别求出甲、乙两种食品该有害微量元素含量的样本平均数，并据此判定哪种食品的质量较好；（2）若用分层抽样的方法，分别在两组数据中各抽取5个数据，分别求出甲、乙两种食品一等品的件数；（3）在（2）的条件下，从甲组5个数据中随机抽取2个，求恰有一件一等品的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图．【专题】概率与统计．【分析】（1）根据平均数的定义，计算得到两组数据的平均数，即可判定哪种食品的质量较好；（2）依据分层抽样的方法，即可得到求出甲、乙两种食品一等品的件数；（3）列出从甲组5个数据中随机抽取2个，所有可能的结果，然后找出恰有一件一等品的结果，根据古典概型的概率公式解之即可．【解答】解：（1）根据平均数的定义，则=（3+4+5+7+13+14+17+18+21+29）=13.1，=（1+3+4+5+6+9+11+13+23+27）=10.2，由于＞，故乙种食品的质量较好；（2）甲种食品一等品的件数为4×=2件，乙种食品一等品的件数为6×=3件；（3）设甲组中的两件一等品为A，B，非一等品为c，d，e，则从这5个数据中随机抽取2个，所有可能的结果为：AB，Ac，Ad，Ae，Bc，Bd，Be，cd，ce，de，共10种，其中恰有一件一等品的情况有6种，故恰有一件一等品的概率为P=．【点评】本题主要考查了茎叶图，平均数以及利用列举法计算基本事件及其发生的概率，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．19．（12分）（2015•德阳模拟）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ACD=90°，AB=1，AD=2，ABEF为正方形，平面ABEF⊥平面ABCD，P为DF的中点．AN⊥CF，垂足为N．（1）求证：BF∥平面PAC；（2）求证：AN⊥平面CDF；（3）求三棱锥B﹣CEF的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（1）把证线面平行转化为证线线平行，连接BD交AC于O，连接PO，由三角形的中位线定理证得答案；（2）证明AN⊥平面CDF，可证AN垂直于平面CDF内二相交直线，先由面面垂直的性质证明AF⊥CD，进一步证明CD⊥平面ACF，得到CD⊥AN，再由AN⊥CF得答案；（3）把三棱锥B﹣CEF的体积转化为C﹣BEF的体积求解．【解答】（1）证明：如图，连接BD交AC于O，连接PO，∵PO为△BDF的中位线，∴PO∥EF，∵PO⊂平面ACP，BF⊄平面ACP，∴BF∥平面ACP；（2）证明：∵平面ABEF⊥平面ABCD，交线为AB，AF⊥AB，∴AF⊥平面ABCD，∵CD⊂平面ABCD，∴AF⊥CD，又∵CD⊥AC，AC∩AF=A，且AC，AF⊂平面ACF，∴CD⊥平面ACF，则CD⊥AN，∵AN⊥CF，且CD，CF为平面CDF内二相交直线，∴AN⊥平面CDF；（3）解：∵平面ABEF⊥平面ABCD，交线为AB，又CA⊥AB，∴CA⊥平面ABEF，则CA=，∴=．【点评】本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是中档题．20．（13分）（2015•德阳模拟）已知椭圆=1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点与抛物线y2=4x的焦点F重合．（1）求椭圆的方程；（2）过F的直线l交椭圆于A、B两点，椭圆的左焦点力F'，求△AF'B的面积的最大值．【考点】椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）根据题意得F（1，0），即c=1，再通过及c2=a2﹣b2计算可得椭圆的方程；（2）由题设l：x=my+1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线l与椭圆方程，结合韦达定理，得=，利用换元法计算即可．【解答】解：（1）根据题意，得F（1，0），∴c=1，又，∴a=2，∴b2=a2﹣c2=3，∴椭圆的方程为：；（2）显然l的斜率不为0，设l：x=my+1，联立直线l与椭圆方程，化简，得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则△＞0恒成立，由韦达定理，得y1+y2=，y1y2=，∴==|y1﹣y2|===，令t=，t≥1，则m2=t2﹣1，∴==，令（t≥1），则=＞0，∴u（t）在[1，+∞）上单调递增，∴当t=1即m=0时，u min（t）=u（1）=4，（）max=3，故当m=0时，△AF'B的面积的最大值为3．【点评】本题考查椭圆的简单性质，直线与椭圆的位置关系，三角形的面积计算公式，韦达定理，换元法，函数的单调性等知识，属于中档题．21．（14分）（2015•德阳模拟）已知函数f（x）=﹣（a﹣1）x﹣a1nx．（l）讨论f（x）的单调性；（2）设a＜0，若对任意x1、x2∈（0，+∞），（x1≠x2），|f（x1）﹣f（x2）|＞4|x1﹣x2|，求实数a的取值范围；（3）设g（x）=f（x）+（a﹣1）x，A（x1，g（x1）），B（x2，g（x2））为g（x）图象上任意两点，x0=，AB的斜率为k，g′（x）为g（x）的导函数，当a＞0时，求证：g′（x0）＞k．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】函数的性质及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．【分析】（1）求出导数，对a讨论，当a≤0时，当a＞0时，由导数大于0，得增区间，由导数小于0，得减区间；（2）由条件结合（1），可得F（x）=f（x）﹣4x在（0，+∞）递增，由F（x）=﹣（a+3）x﹣a1nx，F′（x）=x﹣（a+3）﹣≥0对x∈（0，+∞）恒成立，运用参数分离，求得右边函数的最小值即可；（3）求出g（x）的导数，运用两点的斜率公式和作差法可得g′（x0）﹣k═（ln﹣2•），令t=，t＞1，h（t）=lnt﹣，运用导数判断单调性，即可得证．【解答】（1）解：f′（x）=x﹣（a﹣1）﹣=（x＞0），当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）递增；当a＞0时，f′（x）＞0，解得x＞a，f′（x）＜0，解得0＜x＜a，即有f（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增，综上可得，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）递增；当a＞0时，f（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增；（2）解：a＜0时，f（x）在（0，+∞）递增，设0＜x1＜x2，则f（x1）＜f（x2），|f（x1）﹣f（x2）|＞4|x1﹣x2|⇔f（x2）﹣f（x1）＞4（x2﹣x1）⇔f（x2）﹣4x2＞f（x1）﹣4x1，设F（x）=f（x）﹣4x，则F（x）在（0，+∞）递增，由F（x）=﹣（a+3）x﹣a1nx，F′（x）=x﹣（a+3）﹣≥0对x∈（0，+∞）恒成立，即为a≤对x∈（0，+∞）恒成立．令t=x+1，t＞1，y==t+﹣5≥2﹣5=﹣1，当且仅当t=2即x=1时，取得等号，则x=1，y取最小值﹣1．即有a≤﹣1；（3）证明：g（x）=f（x）+（a﹣1）x=﹣a1nx（x＞0），g′（x）=x﹣，设0＜x1＜x2，则k==（x1+x2）﹣，g′（x0）=﹣，g′（x0）﹣k=﹣=（lnx2﹣lnx1﹣）=（ln﹣2•），令t=，t＞1，h（t）=lnt﹣，h′（t）=﹣=＞0，h（t）在（1，+∞）递增，t＞1，则h（t）＞h（1）=0，即有ln﹣2•＞0，又＞0，则有g′（x0）﹣k＞0，即g′（x0）＞k．【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，主要考查函数的单调性的运用，运用参数分离和构造函数，运用导数判断单调性是解题的关键．参与本试卷答题和审题的老师有：孙佑中；whgcn；qiss；742048；w3239003；caoqz；炫晨；lincy；changq；chenzhenji；刘长柏；wkl197822；王兴华；zlzhan；szjzl；sxs123；cst；双曲线（排名不分先后）菁优网2016年4月15日。

2016年高二文科数学上学期期末试卷及解析一、选择题：本大题共12小题.每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知命题p：∀x∈R，log2x=2015，则￢p为( )A.∀x∉R，log2x=2015B.∀x∈R，log2x≠2015C.∃x0∈R，log2x0=2015D.∃x0∈R，log2x0≠20152.为了检查某超市货架上的奶粉是否含有三聚氰胺，要从编号依次为1到50的袋装奶粉中抽取5袋进行检验，用系统抽样方法确定所选取的5袋奶粉的编号可能是( )A.5，10，15，20，25B.2，4，8，16，32C.5，6，7，8，9D.6，16，26，36，463.如果一个家庭有两个小孩，则两个孩子是一男一女的概率为( )A. B. C. D.4.双曲线的渐近线方程为( )A.x±2y=0B.2x±y=0C.D.5.甲、乙两名学生五次数学测验成绩(百分制)如图所示.①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数;②甲同学的平均分与乙同学的平均分相等;③甲同学成绩的方差大于乙同学成绩的方差.以上说法正确的是( )A.①②B.②③C.①③D.①②③6.用秦九韶算法求多项式f(x)=4x4+3x3+2x2+x+7的值，则f(2)的值为( )A.98B.105C.112D.1197.运行如图的程序后，输出的结果为( )A. B. C. D.8.已知椭圆过点P(﹣2，1)作弦且弦被P平分，则此弦所在的直线方程为( )A.2x﹣y﹣3=0B. 2x﹣y﹣1=0C.x﹣2y﹣4=0D.x﹣2y+4=09.已知g(x)为函数f(x)=2ax3﹣3ax2﹣12ax(a≠0)的导函数，则它们的图象可能是( )A. B. C. D.10.已知倾斜角为45°的直线l过抛物线y2=4x的焦点，且与抛物线交于A，B两点，则△OAB(其中O为坐标原点)的面积为( )A.2B.C.D.811.已知f(x)，g(x)都是定义在R上的函数，且满足以下条件：①f(x)=ax•g(x)(a>0，且a≠1;②g(x)≠0;③f′(x)•g(x)若 + = ，则实数a的值为( )A. B.2 C. D.2或12.如图，直线x=m与抛物线x2=4y交于点A，与圆(y﹣1)2+x2=4的实线部分(即在抛物线开口内的圆弧)交于点B，F为抛物线的焦点，则△ABF的周长的取值范围是( )A.(2，4)B.(4，6)C.[2，4]D.[4，6]二、填空题：本大题共四小题，每小题5分.13.将十进制数2016(10)化为八进制数为.14.已知变量x与y的取值如下表：x 2 3 5 6y 7 8﹣a 9+a 12从散点图可以看出y对x呈现线性相关关系，则y与x的线性回归直线方程必经过的定点为.15.已知P为圆M：(x+2)2+y2=4上的动点，N(2，0)，线段PN的垂直平分线与直线PM的交点为Q，点Q的轨迹方程为.16.已知函数f(x)=xex，现有下列五种说法：①函数f(x)为奇函数;②函数f(x)的减区间为(﹣∞，1)，增区间为(1，+∞);③函数f(x)的图象在x=0处的切线的斜率为1;④函数f(x)的最小值为 .其中说法正确的序号是(请写出所有正确说法的序号).三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.设命题p：|x﹣2|>1;命题q：x2﹣(2a+1)x+a(a+1)≤0.若¬p是¬q的必要不充分条件，求实数a的取值范围.18.某校对高二年段的男生进行体检，现将高二男生的体重(kg)数据进行整理后分成6组，并绘制部分频率分布直方图(如图所示).已知第三组[60，65)的人数为200.根据一般标准，高二男生体重超过65kg属于偏胖，低于55kg属于偏瘦.观察图形的信息，回答下列问题：(1)求体重在[60，65)内的频率，并补全频率分布直方图;(2)用分层抽样的方法从偏胖的学生中抽取6人对日常生活习惯及体育锻炼进行调查，则各组应分别抽取多少人?(3)根据频率分布直方图，估计高二男生的体重的中位数与平均数.19.(1)执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[﹣1，3]，若输出的s 的取值范围记为集合A，求集合A;(2)命题p：a∈A，其中集合A为第(1)题中的s的取值范围;命题q：函数有极值;若p∧q为真命题，求实数a的取值范围.20.已知双曲线C：﹣ =1(a>0，b>0).(1)有一枚质地均匀的正四面体玩具，玩具的各个面上分别写着数字1，2，3，4.若先后两次投掷玩具，将朝下的面上的数字依次记为a，b，求双曲线C 的离心率小于的概率;(2)在区间[1，6]内取两个数依次记为a，b，求双曲线C的离心率小于的概率.[来源:]21.已知椭圆C：的中心在坐标原点O，对称轴在坐标轴上，椭圆的上顶点与两个焦点构成边长为2的正三角形.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若斜率为k的直线l经过点M(4，0)，与椭圆C相交于A，B两点，且，求k的取值范围.22.已知函数 .(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程;(2)当a>0时，若函数f(x)在[1，e]上的最小值记为g(a)，请写出g(a)的函数表达式.2015-2016学年福建省三明市A片区高中联盟校高二(上)期末数学试卷(文科)2016年高二文科数学上学期期末试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题.每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知命题p：∀x∈R，log2x=2015，则￢p为( )A.∀x∉R，log2x=2015B.∀x∈R，log2x≠2015C.∃x0∈R，log2x0=2015D.∃x0∈R，log2x0≠2015【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可.【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，即∃x0∈R，log2x0≠2015，故选：D.【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，根据全称命题的否定是特称命题是解决本题的关键.2.为了检查某超市货架上的奶粉是否含有三聚氰胺，要从编号依次为1到50的袋装奶粉中抽取5袋进行检验，用系统抽样方法确定所选取的5袋奶粉的编号可能是( )A.5，10，15，20，25B.2，4，8，16，32C.5，6，7，8，9D.6，16，26，36，46【分析】利用系统抽样的性质求解.【解答】解：∵要从编号依次为1到50的袋装奶粉中抽取5袋进行检验，用系统抽样方法确定所选取的5袋奶粉的编号，∴所选取的5袋奶粉的编号应该分别在1～10，11～20，21～30，30～40，41～50中各一袋，且所选取的5袋奶粉的编号间隔相等，由此能排除A、B、C，用系统抽样方法确定所选取的5袋奶粉的编号可能是D.故选：D.【点评】本题考查用系统抽样方法确定所选取样本的编号的求法，是基础题，解题时要注意系统抽样的性质的合理运用.3.如果一个家庭有两个小孩，则两个孩子是一男一女的概率为( )A. B. C. D.【分析】利用列举法求出基本事件空间，由此能求出结果.【解答】解：一个家庭有两个小孩，基本事件为：{男男}，{女女}，{男女}，{女男}，∴两个孩子是一男一女的概率为p= .故选：C.【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用.4.双曲线的渐近线方程为( )A.x±2y=0B.2x±y=0C.D.【分析】由双曲线﹣ =1(a，b>0)的渐近线方程为y=± x，即可得到所求双曲线的渐近线方程.【解答】解：由双曲线﹣ =1(a，b>0)的渐近线方程为y=± x，可得双曲线的渐近线方程为y=± x.故选：D.【点评】本题考查双曲线的渐近线方程，注意运用双曲线的方程和渐近线方程的关系，考查运算能力，属于基础题.5.甲、乙两名学生五次数学测验成绩(百分制)如图所示.①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数;②甲同学的平均分与乙同学的平均分相等;③甲同学成绩的方差大于乙同学成绩的方差.以上说法正确的是( )[来源:Z_xx_]A.①②B.②③C.①③D.①②③【分析】根据茎叶图中的数据，求出甲、乙两同学成绩的中位数、平均数与方差即可.【解答】解：根据茎叶图中的数据，得;甲同学成绩的中位数是90，乙同学成绩的中位数是90，中位数相等，①错误;甲同学的平均分是 = (87+89+90+91+93)=90，乙同学的平均分是 = (88+89+90+91+92)=90，平均分相等，②正确;甲同学成绩的方差是 = [(﹣3)2+(﹣1)2+02+12+32]=4，乙同学成绩的方差是 = [(﹣2)2+(﹣1)2+02+12+22]=2， > ，③正确;综上，正确的命题是②③.故选：B.【点评】本题考查了利用茎叶图中的数据求中位数、平均数与方差的应用问题，是基础题.6.用秦九韶算法求多项式f(x)=4x4+3x3+2x2+x+7的值，则f(2)的值为( )A.98B.105C.112D.119【分析】f(x)=4x4+3x3+2x2+x+7=(((4x+3)x+2)x+1)x+7，即可得出.【解答】解：f(x)=4x4+3x3+2x2+x+7=(((4x+3)x+2)x+1)x+7，∴f(2)=(((4×2+3)×2+2)×2+1)×2+7=105，故选：B.【点评】本题考查了秦九韶算法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.7.运行如图的程序后，输出的结果为( )A. B. C. D.【分析】根据程序语言的运行过程，得出程序运行后输出的S= + + + + ;计算S的值即可.【解答】解：根据程序语言的运行过程，得该程序运行后输出的是S= + + + + ;计算S=(1﹣ )+( ﹣ )+( ﹣ )+( ﹣ )+( ﹣ )=1﹣ = .所以输出S= .故选：C.【点评】本题利用程序语言考查了数列求和的应用问题，是基础题目.8.已知椭圆过点P(﹣2，1)作弦且弦被P平分，则此弦所在的直线方程为( )A.2x﹣y﹣3=0B.2x﹣y﹣1=0C.x﹣2y﹣4=0D.x﹣2y+4=0【分析】判断点P在椭圆内，设弦的端点的坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，代入椭圆方程，运用作差法，结合直线的斜率公式和斜率公式，可得斜率，再由点斜式方程即可得到所求直线方程.【解答】解：将P(﹣2，1)代入椭圆方程可得： + <1，即点P在椭圆内，设弦的端点的坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，可得 + =1， + =1，相减可得 + =0，则弦所在直线的斜率为 =﹣，由中点坐标公式可得，x1+x2=﹣4，y1+y2=2，可得斜率为﹣ = ，即有直线的方程为y﹣1= (x+2)，即为x﹣2y+4=0.故选：D.【点评】本题考查椭圆的方程的运用，直线方程的求法，注意运用点差法，以及中点坐标公式，考查运算能力，属于中档题.9.已知g(x)为函数f(x)=2ax3﹣3ax2﹣12ax(a≠0)的导函数，则它们的图象可能是( )A. B. C. D.【分析】利用导数与函数之间的关系.把握住导数的正负确定出函数的单调区间，根据变化趋势选出恰当的图象.确定出答案.【解答】解：∵f(x)=2ax3﹣3ax2﹣12ax(a≠0)，∴g(x)=f′(x)=6ax2﹣6ax﹣12a=6a ﹣，对称轴x= ，而f′(﹣1)=f′(2)=0，根据f′(x)>0时，y=f(x)递增;f′(x)<0时，y=f(x)递减可得.①中函数的图象的增减趋势与导函数的正负区间是吻合的，可能正确;而②④中的对称轴不是，③中函数的图象的增减趋势与导函数的正负区间不吻合，故错误，故选：A.【点评】本题考查函数与其导函数的关系，函数的递增区间即为导函数为正的区间，函数的递减区间即为导函数为负的区间，根据这个依赖性可以确定出函数图形吻合的是哪一个.10.已知倾斜角为45°的直线l过抛物线y2=4x的焦点，且与抛物线交于A，B两点，则△OAB(其中O为坐标原点)的面积为( )A.2B.C.D.8【分析】先确定抛物线的焦点坐标，可得直线l的方程，与抛物线方程联立，求弦AB的长，再求出原点到直线的距离，即可求得△OAB的面积.【解答】解：抛物线C：y2=4x的焦点F(1，0)，∵直线l：y=x+b经过抛物线的焦点，∴b=﹣1，∴直线l：y=x﹣1，由抛物线的定义：|AB|=xA+xB+2，将直线与抛物线方程联立，消去y可得x2﹣6x+1=0，∴xA+xB=6，∴|AB|=8，∵原点到直线的距离为d= ，∴S= =2 .故选：B.【点评】本题考查三角形面积的计算，考查直线与抛物线的位置关系，解题的关键是求出弦AB的长.11.已知f(x)，g(x)都是定义在R上的函数，且满足以下条件：①f(x)=ax•g(x)(a>0，且a≠1;②g(x)≠0;③f′(x)•g(x)若 + = ，则实数a的值为( )A. B.2 C. D.2或【分析】先根据 + = ，得到含a的式子，求出a的两个值，再由已知，利用导数判断函数 =ax的单调性求a的范围，判断a的两个之中哪个成立即可.【解答】解：由 + = ，得a1+a﹣1= ，所以a=2或a= .又由f(x)•g′(x)>f′(x)•g(x)，即f(x)g′(x)﹣f′(x)g(x)>0，也就是[ ]′=﹣ <0，说明函数 =ax是减函数，即0故选：A.【点评】本题考查了应用导数判断函数的单调性，做题时应认真观察.12.如图，直线x=m与抛物线x2=4y交于点A，与圆(y﹣1)2+x2=4的实线部分(即在抛物线开口内的圆弧)交于点B，F为抛物线的焦点，则△ABF的周长的取值范围是( )A.(2，4)B.(4，6)C.[2，4]D.[4，6]【分析】圆(y﹣1)2+x2=4的圆心为(0，1)，与抛物线的焦点重合，可得|FB|=2，|AF|=yA+1，|AB|=yB﹣yA，即可得出三角形ABF的周长=2+yA+1+yB﹣yA=yB+3，利用1【解答】解：圆(y﹣1)2+x2=4的圆心为(0，1)，与抛物线的焦点重合，∴|FB|=2，|AF|=yA+1，|AB|=yB﹣yA，∴三角形ABF的周长=2+yA+1+yB﹣yA=yB+3，∵1∴三角形ABF的周长的取值范围是(4，6).故选：B.【点评】本题考查了抛物线与圆的标准方程及其性质、三角形的周长，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.二、填空题：本大题共四小题，每小题5分.13.将十进制数2016(10)化为八进制数为3740(8) .【分析】将十进制数2016转化为八进制数，利用除K取余法直接计算得解.【解答】解：2016÷8=252 0252÷8=31 (4)31÷8=3 (7)3÷8=0 (3)∴化成8进制是3740(8).故答案为：3740(8).【点评】本题考查带余除法，进位制的转化，由十进制数转化为八进制数，用除K取余法计算即可，属于基础题.14.已知变量x与y的取值如下表：x 2 3 5 6y 7 8﹣a 9+a 12从散点图可以看出y对x呈现线性相关关系，则y与x的线性回归直线方程必经过的定点为(4，9) .【分析】由最小二乘法原理可知线性回归方程必经过数据中心( ).【解答】解： = =4， = =9，∴线性回归方程必经过(4，9).故答案为(4，9).【点评】本题考查了线性回归方程的特点，属于基础题.15.已知P为圆M：(x+2)2+y2=4上的动点，N(2，0)，线段PN的垂直平分线与直线PM的交点为Q，点Q的轨迹方程为x2﹣ =1 .【分析】由中垂线的性质可知|QN|=|PQ|，故而||QN|﹣|QM||=||PQ|﹣|QM||=|PM|=2，所以Q的轨迹为以M，N为焦点的双曲线.【解答】解：∵Q在PN的中垂线上，∴|QN|=|PQ|，∴||QN|﹣|QM||=||PQ|﹣|QM||=|PM|=2，∴Q的轨迹为以M，N为焦点的双曲线.设双曲线方程为，则，又∵a2+b2=c2，∴a2=1，b2=3，∴点Q的轨迹方程为x2﹣ =1.故答案为x2﹣ =1.【点评】本题考查了双曲线的定义，属于基础题.16.已知函数f(x)=xex，现有下列五种说法：①函数f(x)为奇函数;②函数f(x)的减区间为(﹣∞，1)，增区间为(1，+∞);③函数f(x)的图象在x=0处的切线的斜率为1;④函数f(x)的最小值为 .其中说法正确的序号是③④(请写出所有正确说法的序号).【分析】根据奇函数的定义判断①，求出函数的导数，得到函数的单调区间，判断②③④即可.【解答】解：①f(﹣x)=(﹣x)• ≠﹣f(x)，不是奇函数，故①错误;②f′(x)=(1+x)ex，当x∈(﹣∞，﹣1)时，f′(x)<0，当x∈(﹣1，+∞)时，f′(x)>0，∴f(x)的单调递增区间为(﹣1，+∞)，单调递减区间为(﹣∞，﹣1)，故②错误;③∵f′(x)=(1+x)ex，∴f′(0)=1，即函数f(x)的图象在x=0处的切线的斜率为1;故③正确;④f(x)的单调递增区间为(﹣1，+∞)，单调递减区间为(﹣∞，﹣1)，∴f(x)的最小值是f(﹣1)=﹣，故④正确;故答案为：③④.【点评】本题考查了利用导研究函数的单调性极值与最值问题，考查函数的奇偶性问题，是一道基础题.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.设命题p：|x﹣2|>1;命题q：x2﹣(2a+1)x+a(a+1)≤0.若¬p是¬q的必要不充分条件，求实数a的取值范围.【分析】由p：|x﹣2|>1，解出x的范围.由q：x2﹣(2a+1)x+a(a+1)≤0，解出x的范围.由于¬p是¬q的必要不充分条件，可得p是q 的充分不必要条件.【解答】解：由p：|x﹣2|>1，解得x<1或x>3.…(3分)由q：x2﹣(2a+1)x+a(a+1)≤0得(x﹣a)[x﹣(a+1)]≥0，解得x≤a或x≥a+1.…(6分)∵¬p是¬q的必要不充分条件，∴p是q的充分不必要条件.…(8分)∴ ，则1≤a≤2.∴实数a的取值范围是[1，2].(10分)【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.18.某校对高二年段的男生进行体检，现将高二男生的体重(kg)数据进行整理后分成6组，并绘制部分频率分布直方图(如图所示).已知第三组[60，65)的人数为200.根据一般标准，高二男生体重超过65kg属于偏胖，低于55kg属于偏瘦.观察图形的信息，回答下列问题：(1)求体重在[60，65)内的频率，并补全频率分布直方图;(2)用分层抽样的方法从偏胖的学生中抽取6人对日常生活习惯及体育锻炼进行调查，则各组应分别抽取多少人?(3)根据频率分布直方图，估计高二男生的体重的中位数与平均数.【分析】(1)利用频率分布直方图的性质能求出求出体重在[60，65)内的频率，由此能补全的频率分布直方图.(2)设男生总人数为n，由，可得n=1000，从而体重超过65kg的总人数300，由此能求出各组应分别抽取的人数.(3)利用频率分布直方图能估计高二男生的体重的中位数与平均数.【解答】解：(1)体重在[60，65)内的频率=1﹣(0.03+0.07+0.03+0.02+0.01)×5=0.2= ，补全的频率分布直方图如图所示.…(4分)(2)设男生总人数为n，由，可得n=1000体重超过65kg的总人数为(0.03+0.02+0.01)×5×1000=300在[65，70)的人数为0.03×5×1000=150，应抽取的人数为，在[65，70)的人数为0.02×5×1000=100，应抽取的人数为，在[75，80)的人数为0.01×5×1000=50，应抽取的人数为 .所以在[65，70)，[70，75)，[75，80]三段人数分别为3，2，1.…(8分)(3)中位数为60kg平均数为(52.5×0.03+57.5×0.07+62.5×0.04+67.5×0.03+72.5×0.02+77.5×0.01)×5=6 1.75(kg)…(12分)【点评】本题考查频率的求法，考查频率分布直方图的作法，考查中位数、平均数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分层抽样、频率分布直方图的性质的合理运用.19.(1)执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[﹣1，3]，若输出的s 的取值范围记为集合A，求集合A;(2)命题p：a∈A，其中集合A为第(1)题中的s的取值范围;命题q：函数有极值;若p∧q为真命题，求实数a的取值范围.【分析】(1)由程序框图可知，分段函数的对称轴为t=2，在[1，2]上单调递增，在[2，3]上单调递减，解得smax=3，smin=2，即可解得集合A.(2)函数有极值，等价于f′(x)=x2+2ax+1=0有两个不相等的实数根，即△=(2a)2﹣4>0，由此能求出命题p：a<﹣1或a>1，利用p∧q为真命题，建立不等式组，即可解得实数a的取值范围.【解答】(本题满分为12分)解：(1)由程序框图可知，当﹣1≤t<1时，s=2t，则s∈[﹣2，2)，当1≤t≤3时，s=﹣(t﹣2)2+3，∵该函数的对称轴为t=2，∴该函数在[1，2]上单调递增，在[2，3]上单调递减.∴smax=3，smin=2，∴s∈[2，3].综上知，s∈[﹣2，3]，集合A=[﹣2，3].…(4分)(2)∵函数有极值，且f′(x)=x2+2ax+1，∴f′(x)=0有两个不相等的实数根，即△=(2a)2﹣4>0，解得a<﹣1或a>1，即命题p：a<﹣1或a>1.…(8分)∵p∧q为真命题，∴则，解得﹣2≤a<﹣1或1∴实数a的取值范围是[﹣2，﹣1)∪(1，3].…(12分)【点评】本题主要考查了选择结构的程序框图，考查函数的极大值和极小值的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用.20.已知双曲线C：﹣ =1(a>0，b>0).(1)有一枚质地均匀的正四面体玩具，玩具的各个面上分别写着数字1，2，3，4.若先后两次投掷玩具，将朝下的面上的数字依次记为a，b，求双曲线C 的离心率小于的概率;(2)在区间[1，6]内取两个数依次记为a，b，求双曲线C的离心率小于的概率.【分析】(1)由双曲线C的离心率小于，得到0(2)由a∈[1，6]，b∈[1，6]，以a为横轴，以b为纵轴建立直角坐标系，由几何概型能求出双曲线C的离心率小于的概率.【解答】解：(1)双曲线的离心率 .因为∴ .…(2分)因玩具枚质地是均匀的，各面朝下的可能性相等，所以基本事件(a，b)共有16个：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4).设“双曲线C的离心率小于”为事件A，则事件A所包含的基本事件为：(1，1)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)共有12个.故双曲线C的离心率小于的概率为.…(7分)(2)∵a∈[1，6]，b∈[1，6]∴所以以a为横轴，以b为纵轴建立直角坐标系，如图所示，S阴影= =21，由几何概型可知，双曲线C的离心率小于的概率为.…(12分)【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法和几何概型的合理运用.21.已知椭圆C：的中心在坐标原点O，对称轴在坐标轴上，椭圆的上顶点与两个焦点构成边长为2的正三角形.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若斜率为k的直线l经过点M(4，0)，与椭圆C相交于A，B两点，且，求k的取值范围.【分析】(1)由已知得2c=2，a=2，由此能求出椭圆C的标准方程.(2)设直线l的方程为y=k(x﹣4)，与椭圆联立，得((3+4k2)x2﹣32k2x+64k2﹣12=0，由此利用根的判别式、韦达定理、向量的数量积，能求出k的取值范围.【解答】解：(1)∵椭圆的上顶点与两个焦点构成边长为2的正三角形，∴2c=2，a=2，∴b2=a2﹣c2=3∴椭圆C的标准方程为.…(4分)(2)设直线l的方程为y=k(x﹣4)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)联立，消去y可得((3+4k2)x2﹣32k2x+64k2﹣12=0∵直线l与椭圆C相交于A，B两点，∴△>0由△=(32k2)2﹣4(3+4k2)(64k2﹣12)>0解得设A(x1，y1)，B(x2，y2)则，…(7分)解得∴∴k的取值范围是﹣或.…(12分)【点评】本题考查椭圆的标准方程的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、向量的数量积的合理运用.22.已知函数 .(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程;(2)当a>0时，若函数f(x)在[1，e]上的最小值记为g(a)，请写出g(a)的函数表达式.【分析】(1)求出函数的导数，求出f(1)，f′(1)的值，代入切线方程即可;(2)求出函数的导数，通过讨论a的范围，确定函数的单调区间，从而求出区间上的最小值即可.【解答】解：(1)∵ ，∴当a=1时，，f(1)=3，k=f′(1)=﹣2，曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为：y﹣3=﹣2(x﹣1)即2x+y﹣5=0.…(3分)(2) ，∵a>0，x>0，由f′(x)>0得x>2a，由f′(x)<0得0∴f(x)在(0，2a]上为减函数，在(2a，+∞)上为增函数.…(5分)①当0<2a≤1即0∴g(a)=f(1)=2a2+1在(0，2a]上为减函数，在(2a，+∞)上为增函数.…(7分)②当1<2a∴g(a)=f(2a)=﹣aln(2a)+3a…(9分)③当2a≥e即a≥ 时，f(x)在[1，e]上为减函数，∴ …(11分)综上所述，…(12分)【点评】本题考查了曲线的切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题.。

2015-2016学年四川省资阳市高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知圆C：（x﹣2）2+（y+1）2=4，则圆C的圆心和半径分别为（）A．（2，1），4 B．（2，﹣1），2 C．（﹣2，1），2 D．（﹣2，﹣1），22．当m∈N*，命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实根”的逆否命题是（）A．若方程x2+x﹣m=0有实根，则m＞0B．若方程x2+x﹣m=0有实根，则m≤0C．若方程x2+x﹣m=0没有实根，则m＞0D．若方程x2+x﹣m=0没有实根，则m≤03．已知命题p：∀x＞0，x3＞0，那么￢p是（）A．∀x＞0，x3≤0 B．C．∀x＜0，x3≤0 D．4．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．4πB．3πC．2πD．π5．已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数=3，=3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（）A．=0.4x+2.3 B．=2x﹣2.4 C．=﹣2x+9.5 D．=﹣0.3x+4.46．执行如图所示的程序框图，若输入x为13，则输出y的值为（）A．10 B．5 C．4 D．27．在区间[0，3]上随机地取一个实数x，则事件“1≤2x﹣1≤3”发生的概率为（）A．B．C．D．8．在班级的演讲比赛中，将甲、乙两名同学的得分情况制成如图所示的茎叶图．记甲、乙两名同学所得分数的平均分分别为甲、乙，则下列判断正确的是（）A．甲＜乙，甲比乙成绩稳定B．甲＞乙，甲比乙成绩稳定C．甲＜乙，乙比甲成绩稳定D．甲＞乙，乙比甲成绩稳定9．设m，n是空间两条直线，α，β是空间两个平面，则下列选项中不正确的是（）A．当n⊥α时，“n⊥β”是“α∥β”成立的充要条件B．当m⊂α时，“m⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件C．当m⊂α时，“n∥α”是“m∥n”必要不充分条件D．当m⊂α时，“n⊥α”是“m⊥n”的充分不必要条件10．已知表面积为24π的球体，其内接正四棱柱（底面是正方形，侧棱垂直于底面）的高为4，则这个正四棱柱的侧面积为（）A．32 B．36 C．48 D．6411．已知命题p：函数f（x）=x2﹣2mx+4在[2，+∞）上单调递增；命题q：关于x的不等式mx2+2（m﹣2）x+1＞0对任意x∈R恒成立．若p∨q为真命题，p∧q为假命题，则实数m的取值范围为（）A．（1，4）B．[﹣2，4]C．（﹣∞，1]∪（2，4）D．（﹣∞，1）∪（2，4）12．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，给出以下结论：①AC1⊥平面A1BD；②直线AC1与平面A1BD的交点为△A1BD的外心；③若点P在△A1BD所在平面上运动，则三棱锥P﹣B1CD1的体积为定值．其中，正确结论的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．根据如图所示的算法语句，当输入的x为50时，输出的y的值为．14．某校高一年级有900名学生，其中女生400名，按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为．15．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中2只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为．16．若直线y=x+b与曲线y=3﹣有公共点，则b的取值范围是．三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知命题p：x2﹣8x﹣20≤0，q：1﹣m≤x≤1+m（m＞0），若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．18．已知圆C过点A（1，4），B（3，2），且圆心在x轴上，求圆C的方程．19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面ABC等边三角形，E，F分别是BC，CC1的中点．求证：（Ⅰ）EF∥平面A1BC1；（Ⅱ）平面AEF⊥平面BCC1B1．20．某校高中一年级组织学生参加了环保知识竞赛，并抽取了20名学生的成绩进行分析，如图是这20名学生竞赛成绩（单位：分）的频率分布直方图，其分组为[100，110），[110，120），…，[130，140），[140，150]．（Ⅰ）求图中a的值及成绩分别落在[100，110）与[110，120）中的学生人数；（Ⅱ）学校决定从成绩在[100，120）的学生中任选2名进行座谈，求此2人的成绩都在[110，120）中的概率．21．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=，AB=BC=AD=a，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到如图2中△A1BE的位置，得到四棱锥A1﹣BCDE．（Ⅰ）证明：CD⊥平面A1OC；（Ⅱ）当平面A1BE⊥平面BCDE时，四棱锥A1﹣BCDE的体积为36，求a的值．22．已知直线x+y+1=0被圆O：x2+y2=r2（r＞0）所截得的弦长为．（Ⅰ）求圆O的方程；（Ⅱ）如图，圆O分别交x轴正、负半轴于点A，B，交y轴正半轴于点C，过点C的直线l交圆O于另一不同点D（点D与点A，B不重合），且与x轴相交于点P，直线AD与BC相交于点Q，求的值．2015-2016学年四川省资阳市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知圆C：（x﹣2）2+（y+1）2=4，则圆C的圆心和半径分别为（）A．（2，1），4 B．（2，﹣1），2 C．（﹣2，1），2 D．（﹣2，﹣1），2【考点】圆的标准方程．【专题】计算题；规律型；函数思想；直线与圆．【分析】利用圆的标准方程，直接写出圆心与半径即可．【解答】解：圆C：（x﹣2）2+（y+1）2=4，则圆C的圆心和半径分别为：（2，﹣1），2．故选：B．【点评】本题考查圆的标准方程的应用，是基础题．2．当m∈N*，命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实根”的逆否命题是（）A．若方程x2+x﹣m=0有实根，则m＞0B．若方程x2+x﹣m=0有实根，则m≤0C．若方程x2+x﹣m=0没有实根，则m＞0D．若方程x2+x﹣m=0没有实根，则m≤0【考点】四种命题间的逆否关系．【专题】简易逻辑．【分析】直接利用逆否命题的定义写出结果判断选项即可．【解答】解：由逆否命题的定义可知：当m∈N*，命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实根”的逆否命题是：若方程x2+x﹣m=0没有实根，则m≤0．故选：D．【点评】本题考查四种命题的逆否关系，考查基本知识的应用．3．已知命题p：∀x＞0，x3＞0，那么￢p是（）A．∀x＞0，x3≤0 B．C．∀x＜0，x3≤0 D．【考点】命题的否定．【专题】计算题；规律型；简易逻辑．【分析】利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p：∀x＞0，x3＞0，那么￢p是．故选：D．【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．4．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．4πB．3πC．2πD．π【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】由几何体的三视图得到几何体，然后求体积．【解答】解：由已知得到几何体是底面直径为2，高为2的圆柱，所以体积为π×12×2=2π；故选C．【点评】本题考查了几何体的三视图以及体积的计算；关键是由三视图正确还原几何体．5．已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数=3，=3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（）A．=0.4x+2.3 B．=2x﹣2.4 C．=﹣2x+9.5 D．=﹣0.3x+4.4【考点】线性回归方程．【专题】计算题；概率与统计．【分析】变量x与y正相关，可以排除C，D；样本平均数代入可求这组样本数据的回归直线方程．【解答】解：∵变量x与y正相关，∴可以排除C，D；样本平均数=3，=3.5，代入A符合，B不符合，故选：A．【点评】本题考查数据的回归直线方程，利用回归直线方程恒过样本中心点是关键．6．执行如图所示的程序框图，若输入x为13，则输出y的值为（）A．10 B．5 C．4 D．2【考点】程序框图．【专题】计算题；图表型；分析法；算法和程序框图．【分析】模拟执行程序框图，循环体为“直到型”循环结构，按照循环结构进行运算，即可求出满足题意时的y．【解答】解：模拟执行程序框图，可得x=13，x=10，满足条件x≥0，x=7满足条件x≥0，x=4满足条件x≥0，x=1满足条件x≥0，x=﹣2不满足条件x≥0，y=5输出y的值为5．故选：B．【点评】本题为程序框图题，考查对循环结构的理解和认识，按照循环结构运算后得出结果，属于基础题．7．在区间[0，3]上随机地取一个实数x，则事件“1≤2x﹣1≤3”发生的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【专题】计算题；对应思想；转化法；概率与统计．【分析】首先求出事件“1≤2x﹣1≤3”发生对应的区间长度，利用几何概型公式解答．【解答】解：在区间[0，3]上随机地取一个实数x，则事件“1≤2x﹣1≤3”发生，即1≤x≤2，区间长度为1，由几何概型公式得到事件“1≤2x﹣1≤3”发生的概率为；故选：B．【点评】本题考查了几何概型的概率求法；几何概型的概率求法关键是明确事件的测度，利用公式解答．8．在班级的演讲比赛中，将甲、乙两名同学的得分情况制成如图所示的茎叶图．记甲、乙两名同学所得分数的平均分分别为甲、乙，则下列判断正确的是（）A．甲＜乙，甲比乙成绩稳定B．甲＞乙，甲比乙成绩稳定C．甲＜乙，乙比甲成绩稳定D．甲＞乙，乙比甲成绩稳定【考点】众数、中位数、平均数．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】由茎叶图知分别求出两组数据的平均数和方差，由此能求出结果．【解答】解：由茎叶图知：=（76+77+88+90+94）=85，=[（76﹣85）2+（77﹣85）2+（88﹣85）2+（90﹣85）2+（94﹣85）2]=52，=（75+86+88+88+93）=86，=[（75﹣86）2+（86﹣86）2+（88﹣86）2+（88﹣86）2+（93﹣86）2]=35.6，∴甲＜乙，乙比甲成绩稳定．故选：C．【点评】本题考查茎叶图、平均数、方差的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意茎叶图性质的合理运用．9．设m，n是空间两条直线，α，β是空间两个平面，则下列选项中不正确的是（）A．当n⊥α时，“n⊥β”是“α∥β”成立的充要条件B．当m⊂α时，“m⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件C．当m⊂α时，“n∥α”是“m∥n”必要不充分条件D．当m⊂α时，“n⊥α”是“m⊥n”的充分不必要条件【考点】平面的基本性质及推论．【专题】计算题．【分析】当n⊥α时，“n⊥β”⇔“α∥β”；当m⊂α时，“m⊥β”⇒“α⊥β”，但是“α⊥β”推不出“m⊥β”；当m⊂α时，“n∥α”⇒“m∥n或m与n异面”，“m∥n”⇒“n∥α或n⊂α”；当m⊂α时，“n⊥α”⇒“m⊥n”，但“m⊥n”推不出“n⊥α”．【解答】解：当n⊥α时，“n⊥β”⇔“α∥β”，故A正确；当m⊂α时，“m⊥β”⇒“α⊥β”，但是“α⊥β”推不出“m⊥β”，故B正确；当m⊂α时，“n∥α”⇒“m∥n或m与n异面”，“m∥n”⇒“n∥α或n⊂α”，故C不正确；当m⊂α时，“n⊥α”⇒“m⊥n”，但“m⊥n”推不出“n⊥α”，故D正确．故选C【点评】本题考生查平面的基本性质和推论，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．10．已知表面积为24π的球体，其内接正四棱柱（底面是正方形，侧棱垂直于底面）的高为4，则这个正四棱柱的侧面积为（）A．32 B．36 C．48 D．64【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】先由球的表面积求出球的半径，由此能求出其内接正四棱柱的底面边长，从而能求出这个正四棱柱的侧面积．【解答】解：设表面积为24π的球体的半径为R，则4πR2=24π，解得R=，∵其内接正四棱柱（底面是正方形，侧棱垂直于底面）的高为4，设这个正四棱柱的底面边长为a，∴=2，解得a=2，∴这个正四棱柱的侧面积S=4×2×4=32．故选：A．【点评】本题考查正四棱柱的侧面积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意球的性质的合理运用．11．已知命题p：函数f（x）=x2﹣2mx+4在[2，+∞）上单调递增；命题q：关于x的不等式mx2+2（m﹣2）x+1＞0对任意x∈R恒成立．若p∨q为真命题，p∧q为假命题，则实数m的取值范围为（）A．（1，4）B．[﹣2，4]C．（﹣∞，1]∪（2，4）D．（﹣∞，1）∪（2，4）【考点】复合命题的真假．【专题】计算题；分类讨论；判别式法；简易逻辑．【分析】根据二次函数的单调性，以及一元二次不等式的解的情况和判别式△的关系即可求出命题p，q为真命题时m的取值范围．根据p∨q为真命题，p∧q为假命题得到p真q假或p假q真，求出这两种情况下m的范围求并集即可．【解答】解：若命题p为真，∵函数f（x）的对称轴为x=m，∴m≤2；若命题q为真，当m=0时原不等式为﹣4x+1＞0，该不等式的解集不为R，即这种情况不存在；当m≠0时，则有，解得1＜m＜4；又∵P∨q为真，P∧q为假，∴P与q一真一假；若P真q假，则，解得m≤1；若P假q真，则，解得2＜m＜4；综上所述，m的取值范围是m≤1或2＜m＜4．故选：C．【点评】本题主要考查了复合函数真假的判断，二次函数图象和性质，一元二次不等式的解法，是基础题．12．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，给出以下结论：①AC1⊥平面A1BD；②直线AC1与平面A1BD的交点为△A1BD的外心；③若点P在△A1BD所在平面上运动，则三棱锥P﹣B1CD1的体积为定值．其中，正确结论的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个【考点】命题的真假判断与应用．【专题】演绎法；空间位置关系与距离；简易逻辑．【分析】①根据线面垂直的判定定理进行证明．②判断三棱锥C1﹣A1BD是正三棱锥即可．③根据面面平行的判定定理证明平面B1CD1∥平面A1BD即可．【解答】解：①，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，∵CC1⊥上底面ABCD，∴CC1⊥BD，又ABCD为正方形，∴AC⊥BD，AC∩CC1=C，∴BD⊥面ACC1，∴AC1⊥BD，同理得到AC1⊥A1B，又A1B∩BD=B，∴AC1⊥平面A1BD，①正确；②在正方体中，A1B=A1D=BD，则△A1BD为正三角形，同时三棱锥C1﹣A1BD是正三棱锥，则C1在面A1BD的射影为△A1BD的外心；∵AC1⊥平面A1BD；∴直线AC1与平面A1BD的交点为△A1BD的外心．故②正确，③∵B1C∥A1D，CD1∥A1B，且B1C∩CD1=C，∴平面B1CD1∥平面A1BD，即点P到平面的B1CD1距离为定值，∴若点P在△A1BD所在平面上运动，则三棱锥P﹣B1CD1的体积为定值．故③正确，故3个命题都正确，故选：D【点评】本题主要考查命题的真假判断，根据空间直线和平面平行或垂直的判定定理是解决本题的关键．考查学生的推理能力．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．根据如图所示的算法语句，当输入的x为50时，输出的y的值为35．【考点】伪代码．【专题】计算题；图表型；分析法；算法和程序框图．【分析】算法的功能是求y=的值，当输入x=50时，计算输出y的值．【解答】解：由算法语句知：算法的功能是求y=的值，当输入x=50时，输出y=30+0.5×10=35．故答案为：35．【点评】本题考查了选择结构的算法语句，根据语句判断算法的功能是关键，属于基础题．14．某校高一年级有900名学生，其中女生400名，按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为25．【考点】分层抽样方法．【专题】计算题；概率与统计．【分析】根据分层抽样的定义求出在各层中的抽样比，即样本容量比上总体容量，按此比例求出应抽取的男生人数．【解答】解：根据题意得，用分层抽样在各层中的抽样比为=，则应抽取的男生人数是500×=25人，故答案为：25．【点评】本题的考点是分层抽样方法，根据样本结构和总体结构保持一致，求出抽样比，再求出在各层中抽取的个体数目．15．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中2只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为．【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】计算题；方程思想；综合法；概率与统计．【分析】先求出基本事件总数，再求出这2只球颜色不同，包含的基本事件个数，由此能求出这2只球颜色不同的概率．【解答】解：袋中有形状、大小都相同的4只球，其中2只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，基本事件总数n==6，这2只球颜色不同，包含的基本事件个数m=C=4，∴这2只球颜色不同的概率p==．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．16．若直线y=x+b与曲线y=3﹣有公共点，则b的取值范围是[1﹣，3]．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】数形结合；直线与圆．【分析】曲线即（x﹣2）2+（y﹣3）2=4（1≤y≤3），表示以A（2，3）为圆心，以2为半径的一个半圆，由圆心到直线y=x+b的距离等于半径2，解得b=1+b=1﹣．结合图象可得b的范围．【解答】解：如图所示：曲线y=3﹣，即（x﹣2）2+（y﹣3）2=4（1≤y≤3，0≤x≤4），表示以A（2，3）为圆心，以2为半径的一个半圆．由圆心到直线y=x+b的距离等于半径2，可得=2，∴b=1+，或b=1﹣．结合图象可得1﹣≤b≤3，故答案为：[1﹣，3]．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知命题p：x2﹣8x﹣20≤0，q：1﹣m≤x≤1+m（m＞0），若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】计算题；转化思想；不等式的解法及应用；简易逻辑．【分析】由p：x2﹣8x﹣20≤0，由于p是q的充分不必要条件，可得[﹣2，10]⊊[1﹣m，1+m]．解出即可得出．【解答】解：由p：x2﹣8x﹣20≤0，得﹣2≤x≤10，∵p是q的充分不必要条件，∴[﹣2，10]⊊[1﹣m，1+m]．则，或，解得m≥9．故实数m的取值范围为[9，+∞）．【点评】本题考查了不等式的解法及其性质、充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．已知圆C过点A（1，4），B（3，2），且圆心在x轴上，求圆C的方程．【考点】圆的标准方程．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】法一：设圆C：（x﹣a）2+y2=r2，利用待定系数法能求出圆C的方程．法二：设圆C：x2+y2+Dx+F=0，利用待定系数法能求出圆C的方程．法三：由已知圆心C必在线段AB的垂直平分线l上，AB的中点为（2，3），由此能求出圆心C的坐标和半径，从而能求出圆C的方程．【解答】解法一：设圆C：（x﹣a）2+y2=r2，（1分）则（7分）解得所以圆C的方程为（x+1）2+y2=20．（12分）解法二：设圆C：x2+y2+Dx+F=0，（1分）则（7分）解得所以圆C的方程为x2+y2+2x﹣19=0．（12分）解法三：因为圆C过两点A（1，4），B（3，2），所以圆心C必在线段AB的垂直平分线l上，又因为，所以k l=1，又AB的中点为（2，3），故AB的垂直平分线l的方程为y﹣3=x﹣2，即y=x+1．又圆心C在x轴上，所以圆心C的坐标为（﹣1，0），（6分）所以半径，所以圆C的方程为（x+1）2+y2=20．（12分）【点评】本题考查圆的方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面ABC等边三角形，E，F分别是BC，CC1的中点．求证：（Ⅰ）EF∥平面A1BC1；（Ⅱ）平面AEF⊥平面BCC1B1．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【专题】证明题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）由三角形中位线定理得EF∥BC1，由此能证明EF∥平面A1BC1．（Ⅱ）由三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，得AE⊥BB1，由正三角形性质得AE⊥BC，由此能证明平面AEF⊥平面BCC1B1．【解答】证明：（Ⅰ）因为E，F分别是BC，CC1的中点，所以EF∥BC1．又因为BC1⊂平面A1BC1，EF⊄平面A1BC1，所以EF∥平面A1BC1．（6分）（Ⅱ）因为三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，所以BB1⊥平面ABC．又AE⊂平面ABC，所以AE⊥BB1．又因为△AB C为正三角形，E为BC的中点，所以AE⊥BC．又BB1∩BC=B，所以AE⊥平面BCC1B1．又AE⊂平面AEF，所以平面AEF⊥平面BCC1B1．（12分）【点评】本题考查线面平行的证明，考查面面垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．20．某校高中一年级组织学生参加了环保知识竞赛，并抽取了20名学生的成绩进行分析，如图是这20名学生竞赛成绩（单位：分）的频率分布直方图，其分组为[100，110），[110，120），…，[130，140），[140，150]．（Ⅰ）求图中a的值及成绩分别落在[100，110）与[110，120）中的学生人数；（Ⅱ）学校决定从成绩在[100，120）的学生中任选2名进行座谈，求此2人的成绩都在[110，120）中的概率．【考点】古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】（Ⅰ）根据频率分布直方图知组距为10，由频率分布直方图中小矩形面积之和为1，求出a，由此能求出成绩分别落在[100，110）与[110，120）中的学生人数．（Ⅱ）记成绩落在[100，110）中的2人为A1，A2，成绩落在[110，120）中的3人为B1，B2，B3，由此利用列举法能求出此2人的成绩都在[110，120）中的概率．【解答】解：（Ⅰ）根据频率分布直方图知组距为10，由（2a+3a+7a+6a+2a）×10=1，解得；（2分）所以成绩落在[100，110）中的人数为2×0.005×10×20=2；（4分）成绩落在[110，120）中的人数为3×0.005×10×20=3．（6分）（Ⅱ）记成绩落在[100，110）中的2人为A1，A2，成绩落在[110，120）中的3人为B1，B2，B3，则从成绩在[100，120）的学生中任选2人的基本事件共有10个：{A1，A2}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，其中2人的成绩都在[110，120）中的基本事件有3个：{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，所以所求概率为．（12分）【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．21．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=，AB=BC=AD=a，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到如图2中△A1BE的位置，得到四棱锥A1﹣BCDE．（Ⅰ）证明：CD⊥平面A1OC；（Ⅱ）当平面A1BE⊥平面BCDE时，四棱锥A1﹣BCDE的体积为36，求a的值．【考点】平面与平面垂直的性质；直线与平面垂直的判定．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（I）运用E是AD的中点，判断得出BE⊥AC，BE⊥面A1OC，考虑CD∥DE，即可判断CD⊥面A1OC．（II）运用好折叠之前，之后的图形得出A1O是四棱锥A1﹣BCDE的高，平行四边形BCDE的面积S=BC•AB=a2，运用体积公式求解即可得出a的值．【解答】解：（I）在图1中，因为AB=BC==a，E是AD的中点，∠BAD=，所以BE⊥AC，即在图2中，BE⊥A1O，BE⊥OC，从而BE⊥面A1OC，由CD∥BE，所以CD⊥面A1OC，（II）即A1O是四棱锥A1﹣BCDE的高，根据图1得出A1O=AB=a，∴平行四边形BCDE的面积S=BC•AB=a2，V==a=a3，由a=a3=36，得出a=6．【点评】本题考查了平面立体转化的问题，运用好折叠之前，之后的图形，对于空间直线平面的位置关系的定理要很熟练．22．已知直线x+y+1=0被圆O：x2+y2=r2（r＞0）所截得的弦长为．（Ⅰ）求圆O的方程；（Ⅱ）如图，圆O分别交x轴正、负半轴于点A，B，交y轴正半轴于点C，过点C的直线l交圆O于另一不同点D（点D与点A，B不重合），且与x轴相交于点P，直线AD与BC相交于点Q，求的值．【考点】曲线与方程．【专题】数形结合；转化思想；平面向量及应用；直线与圆．【分析】（I）利用点到直线的距离公式、弦长公式即可得出；（II）如图，可知A（1，0），B（﹣1，0），C（0，1），可得BC的方程．当l的斜率不存在时，AD∥BC，舍去．因此直线l的斜率存在，设为k（k≠0），直线l的方程为y=kx+1，可得．与圆的方程联立解得D的坐标，可得AD的方程，联立解出Q的坐标即可得出．【解答】解：（Ⅰ）圆心O到直线x+y+1=0的距离，由，解得r=1．∴圆O的方程为x2+y2=1．（Ⅱ）如图，可知A（1，0），B（﹣1，0），C（0，1），∴BC的方程为x﹣y+1=0．当l的斜率不存在时，AD∥BC，与题意不符，则直线l的斜率存在，设为k（k≠0），直线l的方程为y=kx+1，可得．由消去y，整理得（1+k2）x2+2kx=0，解得x=0或，∴D的纵坐标为．∴AD的方程为，整理得，联立，解得，即Q（﹣k，k+1）．∴．【点评】本题考查了直线与圆相交问题、直线相交问题、点到直线的距离公式、弦长公式、斜率计算公式、向量数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。

2015-2016学年四川省凉山州高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分，共60分）1．“a＞b，c＞0”是“ac＞bc”的（）条件．A．必要不充分B．充分不必要C．充要 D．既不充分也不必要2．直线x+y+1=0的斜率为（）A．B．﹣C．﹣D．3．下列算法的理解不正确的是（）A．算法需要一步步执行，且每一步都能得到唯一的结果B．算法的一个共同特点是对一类问题都有效而不是个别问题C．任何问题都可以用算法来解决D．算法一般是机械的，有时要进行大量重复的计算，它的优点是一种通法4．抛物线x2=﹣y的准线方程是（）A．x= B．x= C．y= D．y=5．为了了解全校1740名学生的身高情况，从中抽取140名学生进行测量，下列说法正确的是（）A．总体是1740 B．个体是每一个学生C．样本是140名学生 D．样本容量是1406．圆x2+y2=﹣4y和圆（x﹣1）2+y2=1的位置关系是（）A．相交 B．相离 C．外切 D．内切7．阅读如图所示的程序框图，若输入的k=10，那么输出的S值为（）A．1024 B．2036 C．1023 D．5118．空间直角坐标系xOy中，x轴上的一点M到点A（1，﹣3，1）与点B（2，0，2）的距离相等，则点M的坐标（）A．（﹣，0，0）B．（3，0，0）C．（，0，0）D．（0，﹣3，0）9．动点P到点M（3，0）及点N（1，0）的距离之差为2，则点P的轨迹是（）A．双曲线B．双曲线的一支 C．两条射线 D．一条射线根据上表，利用最小二乘法得他们的回归直线方程为=10.5x+时，y的估计值为（）A．210 B．211.5 C．212 D．212.511．直线xsinα+y+2=0的倾斜角的取值范围是（）A．[0，π） B．[0，]∪[，π）C．[0，] D．[0，]∪（，π）12．方程+=1表示椭圆的一个必要不充分条件是（）A．m∈（﹣5，3）B．m∈（﹣3，5）C．m∈（﹣3，1）∪（1，5）D．m∈（﹣5，1）∪（1，3）二、填空题(每小题5分，共20分)13．点（0，﹣1）到直线x+2y﹣3=0的距离为．14．某工厂生产甲、乙、丙三种不同型号的产品，产品数量之比依次为5：2：3，现用分层抽样的方法抽出一个容量为n的样本，样本中甲型号产品共15件，那么样本容量n= ．15．设双曲线的渐近线方程为3x±2y=0，则正数a的值为．16．已知四边形ABCD，对角线AC，BD互相垂直且内接于圆O，AB+BC+CD+DA=8，则点O到四边形各边距离之和为．三、解答题（6道题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．求经过直线l1：3x+2y﹣1=0和l2：5x+2y+1=0的交点，且垂直于直线l3：3x﹣5y+6=0的直线l的方程．18．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的一条弦所在的直线的方程为x﹣y+3=0，弦的中点坐标为（﹣2，1），求椭圆的离心率．19．某良种培育基地正在培育一种小麦新品种A，将其与原有的一个优良品种B进行对照试验，良种小麦各种植了25亩，所得亩产数据（单位：千克）如下：品种A：367，359，367，368，375，388，392，399，400，405，412，414，415，421，423，423，427，430，430，434，443，445，445，451，454，品种B：363，371，374，383，385，386，391，392，394，394，395，397，397，400，401，401，403，406，407，410，412，415，416，422，430（1）完成数据的茎叶图；（2）现从品种A中随机抽取了6个数据：359，367，400，388，434，392，计算该组数据的平均值、方差、标准差；（3）通过观察茎叶图，对品种A与B的亩产量极其稳定性进行比较，写出统计结论．20．已知过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F是一条直线l和抛物线交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，求证：y1y2为定值．21．已知：命题p：函数y=a x（a＞0，且a≠1）为R上的单调递减函数，命题q：函数y=lg （ax2﹣x+a）值域为R，若“p且q”为假，求a的取值范围．22．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）过点（1，），左焦点为F1（﹣，0）．（1）求椭圆C的方程；（2）过点（m，0）作圆x2+y2=1的切线l交椭圆C于A，B两点，将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值．2015-2016学年四川省凉山州高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1．“a＞b，c＞0”是“ac＞bc”的（）条件．A．必要不充分B．充分不必要C．充要 D．既不充分也不必要【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】利用不等式的简单性质，以及充要条件判断即可．【解答】解：“a＞b，c＞0”⇒“ac＞bc”，“ac＞b c”可以推出a＞b，c＞0或a＜b，c＜0．“a＞b，c＞0”是“ac＞bc”的充分不必要条件．故选：B．2．直线x+y+1=0的斜率为（）A．B．﹣C．﹣D．【考点】直线的斜率．【分析】直接化简直线方程为斜截式方程，即可得到直线的斜率．【解答】解：直线x+y+1=0化为：y=﹣x+．直线的斜率为：﹣．故选：C．3．下列算法的理解不正确的是（）A．算法需要一步步执行，且每一步都能得到唯一的结果B．算法的一个共同特点是对一类问题都有效而不是个别问题C．任何问题都可以用算法来解决D．算法一般是机械的，有时要进行大量重复的计算，它的优点是一种通法【考点】算法的特点．【分析】直接由算法的特性可判断四个选项中说法的正误即可得出正确答案．【解答】解：A，由算法的有序性及明确性可知：算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每一步都只能有一个确定的继任者，只有执行完前一步才能进入到后一步，并且每一步都确定无误后，才能解决问题，且算法中的每一个步骤都是确切的，能有效地执行且得到确定的结果，不能模棱两可．故A正确；B，由算法的普遍性：写出的算法必须能解决一类问题，并且能重复使用，这是设计算法的一条基本原则，这样才能使算法更有价值，故正确；C，算法通常是指用计算机按照一定规则解决一类问题的明确和有限的步骤，并不是任何问题都可以用算法来解决，故不正确；D，算法一般是机械的，有时要进行大量重复的计算，算法必须能解决一类问题，是一种通法，故正确．故选：C．4．抛物线x2=﹣y的准线方程是（）A．x= B．x= C．y= D．y=【考点】抛物线的简单性质．【分析】直接利用抛物线的标准方程求解P，然后求出准线方程．【解答】解：抛物线x2=﹣y，可得p=，抛物线x2=﹣y的准线方程是：y=．故选：D．5．为了了解全校1740名学生的身高情况，从中抽取140名学生进行测量，下列说法正确的是（）A．总体是1740 B．个体是每一个学生C．样本是140名学生 D．样本容量是140【考点】简单随机抽样；用样本的数字特征估计总体的数字特征．【分析】根据总体、个体、样本与样本容量的概念，对选项判断即可．【解答】解：为了解全校1740名学生的身高情况，从中抽取140名学生进行测量，总体是1740名学生的身高，个体是每一个学生的身高；样本是抽取的140名学生的身高，样本容量是140；所以，A、B、C错误，D正确．故选：D．6．圆x2+y2=﹣4y和圆（x﹣1）2+y2=1的位置关系是（）A．相交 B．相离 C．外切 D．内切【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】分别求出两圆的圆心和半径，由圆心距大于两圆半径之差的绝对值，小于半径之和，由此能判断两圆的位置关系．【解答】解：圆x2+y2=﹣4y的圆心C1（0，﹣2），半径r1==2，圆（x﹣1）2+y2=1的圆心C2（1，0），半径r2=1，∵|C1C2|==，2﹣1＜2+1，∴圆x2+y2=﹣4y和圆（x﹣1）2+y2=1的位置关系是相交．故选：A．7．阅读如图所示的程序框图，若输入的k=10，那么输出的S值为（）A．1024 B．2036 C．1023 D．511【考点】程序框图．【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出该程序运行输出的结果．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；S=0，i=1，k=10，S=1+2×0=1；i=2，i＞k？，否，S=1+2×1=3；i=3，i＞k？，否，S=1+2×3=7；i=4，i＞k？，否，S=1+2×7=15；i=5，i＞k？，否，S=1+2×15=31；i=6，i＞k？，否，S=1+2×31=63；i=7，i＞k？，否，S=1+2×63=127；i=8，i＞k？，否，S=1+2×127=255；i=9，i＞k？，否，S=1+2×255=511；i=10，i＞k？，否，S=1+2×511=1023；i=11，i＞k？，是，输出S=1023．故选：C．8．空间直角坐标系xOy中，x轴上的一点M到点A（1，﹣3，1）与点B（2，0，2）的距离相等，则点M的坐标（）A．（﹣，0，0）B．（3，0，0）C．（，0，0）D．（0，﹣3，0）【考点】空间两点间的距离公式．【分析】设出M的坐标，利用空间距离公式求解即可．【解答】解：设M（x，0，0），M到点A（1，﹣3，1）与点B（2，0，2）的距离相等，可得： =，解得：x=．点M的坐标：（﹣，0，0）．故选：A．9．动点P到点M（3，0）及点N（1，0）的距离之差为2，则点P的轨迹是（）A．双曲线B．双曲线的一支 C．两条射线 D．一条射线【考点】轨迹方程．【分析】结合已知条件，列出关系式判断即可．【解答】解：|PM|﹣|PN|=2=|MN|，点P的轨迹为一条射线故选：D．时，y的估计值为（）A．210 B．211.5 C．212 D．212.5【考点】线性回归方程．【分析】求出样本中心，然后确定回归直线方程，即可求解预测当x=20时，y的估计值．【解答】解：由题意可知： ==5，==54．因为回归直线方程经过样本中心，所以54=10.5×5+， =1.5，回归直线方程为： =10.5x+1.5，当x=20时，y的估计值为：10.5×20+1.5=211.5．故选：B．11．直线xsinα+y+2=0的倾斜角的取值范围是（）A．[0，π） B．[0，]∪[，π）C．[0，] D．[0，]∪（，π）【考点】直线的倾斜角．【分析】由直线的方程可确定直线的斜率，可得其范围，进而可求倾斜角的取值范围．【解答】解：直线xsinα+y+2=0的斜率为k=﹣sinα，∵﹣1≤sinα≤1，∴﹣1≤k≤1∴倾斜角的取值范围是[0，]∪[π，π）故选B12．方程+=1表示椭圆的一个必要不充分条件是（）A．m∈（﹣5，3）B．m∈（﹣3，5）C．m∈（﹣3，1）∪（1，5）D．m∈（﹣5，1）∪（1，3）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由方程+=1表示椭圆，可得，解得：m即可判断出结论．【解答】解：由方程+=1表示椭圆，可得，解得：﹣3＜m＜5，且m ≠1，∴方程+=1表示椭圆的一个必要不充分条件是m∈（﹣3，5），故选：B．二、填空题(每小题5分，共20分)13．点（0，﹣1）到直线x+2y﹣3=0的距离为．【考点】点到直线的距离公式．【分析】利用点到直线的距离公式即可得出．【解答】解：点（0，﹣1）到直线x+2y﹣3=0的距离d==，故答案为：．14．某工厂生产甲、乙、丙三种不同型号的产品，产品数量之比依次为5：2：3，现用分层抽样的方法抽出一个容量为n的样本，样本中甲型号产品共15件，那么样本容量n= 30 ．【考点】分层抽样方法．【分析】利用分层抽样的性质求解．【解答】解：∵某工厂生产甲、乙、丙三种不同型号的产品，产品数量之比依次为5：2：3，现用分层抽样的方法抽出一个容量为n的样本，样本中甲型号产品共15件，∴，解得n=30．故答案为：30．15．设双曲线的渐近线方程为3x±2y=0，则正数a的值为 2 ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】确定双曲线的渐近线方程，与条件比较，即可得到结论．【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=±即3x±ay=0∵双曲线的渐近线方程为3x±2y=0，∴a=2故答案为：216．已知四边形ABCD，对角线AC，BD互相垂直且内接于圆O，AB+BC+CD+DA=8，则点O到四边形各边距离之和为 4 ．【考点】三角形中的几何计算．【分析】取特殊值，令四边形ABCD是边长为2的正方形，则点O是对角线AC、BD的交点，由此能求出点O到四边形各边距离之和．【解答】解：∵四边形ABCD，对角线AC，BD互相垂直且内接于圆O，AB+BC+CD+DA=8，∴取特殊值，令四边形ABCD是边长为2的正方形，则点O是对角线AC、BD的交点，∴点O到四边形各边距离之和为4×1=4．故答案为：4．三、解答题（6道题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．求经过直线l1：3x+2y﹣1=0和l2：5x+2y+1=0的交点，且垂直于直线l3：3x﹣5y+6=0的直线l的方程．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】联立方程组可得交点坐标，由垂直关系可得l的斜率，可得点斜式方程，化为一般式可得．【解答】解：联立方程组，解得∴l1、l2的交点坐标为（﹣1，2），由l3的斜率可得l的斜率为﹣，∴所求直线的方程为：y﹣2=﹣（x+1），化为一般式可得5x+3y﹣1=018．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的一条弦所在的直线的方程为x﹣y+3=0，弦的中点坐标为（﹣2，1），求椭圆的离心率．【考点】椭圆的简单性质．【分析】设出以M为中点的弦的两个端点的坐标，代入椭圆的方程相减，把中点公式代入，可得弦的斜率与a，b的关系式．从而求得椭圆的离心率．【解答】解：显然M（﹣2，1）在椭圆内，设直线与椭圆的交点A（x1，y1），B（x2，y2），则，，相减得： +=0，整理得：k=﹣=1，又弦的中点坐标是（﹣2，1），∴，∴=，则椭圆的离心率是e===．椭圆的离心率：．19．某良种培育基地正在培育一种小麦新品种A，将其与原有的一个优良品种B进行对照试验，良种小麦各种植了25亩，所得亩产数据（单位：千克）如下：品种A：367，359，367，368，375，388，392，399，400，405，412，414，415，421，423，423，427，430，430，434，443，445，445，451，454，品种B：363，371，374，383，385，386，391，392，394，394，395，397，397，400，401，401，403，406，407，410，412，415，416，422，430（1）完成数据的茎叶图；（2）现从品种A中随机抽取了6个数据：359，367，400，388，434，392，计算该组数据的平均值、方差、标准差；（3）通过观察茎叶图，对品种A与B的亩产量极其稳定性进行比较，写出统计结论．【考点】茎叶图．【分析】（1）由已知条件利用十位和百位作茎，利用个位作叶，能作出茎叶图．（2）由已知条件能求出该组数据的平均值、方差、标准差．（3）通过观察茎叶图得出对品种A与B的亩产量极其稳定性进行比较．【解答】解：（1）由已知条件作出茎叶图，如下：（2）该组数据的平均值： ==390．该组数据的方差：S2= [2+2+2+2+2+2]=3534，该组数据的标准差：S=．（3）通过观察茎叶图得出：①品种A的亩产平均数（或均值）比品种B高．②品种A的亩产标准准差（或方差）比品种B大，故品种A的亩产稳定性较差．20．已知过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F是一条直线l和抛物线交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，求证：y1y2为定值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】根据直线过焦点，写出直线的方程，根据根和系数的关系得到结果．【解答】证明：经过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两不同点，抛物线y2=2px的焦点坐标为（，0）设直线为x﹣=ky，即x=ky+，代入抛物线y2=2px得：y2=2p（ky+），即y2﹣2pky﹣p2，由韦达定理得：y1•y2=﹣p2；21．已知：命题p：函数y=a x（a＞0，且a≠1）为R上的单调递减函数，命题q：函数y=lg （ax2﹣x+a）值域为R，若“p且q”为假，求a的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】因为“p且q”为假命题，所以p真q假或p假q真或都为假命题．【解答】解：∵命题p：函数y=a x（a＞0，且a≠1）为R上的单调递减函数，∴0＜a＜1；∵命题q：函数y=lg（ax2﹣x+a）值域为R，∴△=≥0，∴﹣＜a＜若“p且q”为假，所以：a≥22．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）过点（1，），左焦点为F1（﹣，0）．（1）求椭圆C的方程；（2）过点（m，0）作圆x2+y2=1的切线l交椭圆C于A，B两点，将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【分析】（1）利用已知条件c=，由椭圆的性质可知a2=b2+3，将椭圆方程转化成，，将点（1，）代入方程即可求得a和b的值，即可求椭圆C的方程；（2）利用直线的斜率存在与不存在，分别与椭圆方程联立，利用韦达定理，以及弦长公式表示弦长|AB|表示为m的函数，通过基本不等式求解弦长的最大值．【解答】解：（1）椭圆的焦点为F1（﹣，0），则c=．a2=b2+c2，即a2=b2+3，则椭圆的方程为：，将点（1，）代入椭圆方程得：，解得：b2=1，a2=4，∴椭圆C的方程：．（2）由题意知，|m|≥1．当m=1时，切线l的方程x=1，点A、B的坐标分别为（1，），（1，﹣）此时丨AB丨=；当m=﹣1时，同理可丨AB丨=，…当|m|＞1时，设切线l的方程为y=k（x﹣m），（k≠0），由得：（1+4k2）x2﹣8k2mx+4k2m2﹣4=0，设A、B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则△=64k4m2﹣16（1+4k2）（4k2m2﹣4）=48k2＞0，∴x1+x2=，x1•x2=，由与x2+y2=1相切， =1，即m2k2=k2+1，得k2=，∴|AB|===，∴|AB|=，|m|＞1，|AB|==≤2，当且仅当m=±时，|AB|=2，由于当m=±1时，|AB|=，综上可知：|AB|的最大值为2．。

- 1 -2015-2016学年上学期高二期末数学（文）试题考试时间：120分钟总分：150分一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1．直线x﹣3y+3=0的斜率是（）A．33B．3C．33-D．3-2．某品牌空调在元旦期间举行促销活动，所示的茎叶图表示某专卖店记录的每天销售量情况（单位：台），则销售量的中位数是( )A．13 B．14 C．15 D．163．双曲线2x2﹣y2=8的实轴长是( )A．2 B ．C．4 D ．4．已知两条直线1l：x+2ay﹣1=0，2l：x﹣4y=0，且1l∥2l，则满足条件a的值为（）A ．B ． C．﹣2 D．25．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（）A．3 B．11 C．38D．1236．圆C1：（x+2）2+（y﹣2）2=1与圆C2：（x﹣2）2+（y﹣5）2=16的位置关系是（）A．外离B．相交C．内切D．外切7．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是( )A．54 B．27 C．18 D．98. 定义在R上的函数)(),(xgxf的导函数分别为)(),(xgxf''且)()(xgxf'<'。

则下列结论一定成立的是 ( )A．)0()1()0()1(fggf+<+ B.)0()1()0()1(fggf+>+C．)0()1()0()1(fggf->- D. )0()1()0()1(fggf-<-9．若双曲线﹣=1的一个焦点到一条渐近线的距离为2a，则双曲线的离心率为( )A．2 B ．C ．D ．10．下列说法正确的是（）A．命题“若21x=，则1x=”的否命题为：“若21x=，则1x≠”B．若命题2:,210p x R x x∃∈-->，则命题2:,210p x R x x⌝∀∈--<C．命题“若x y=，则sin sinx y=”的逆否命题为真命题D．“1x=-”是“2560x x--=”的必要不充分条件11．函数f（x）=ax3﹣x2+5（a＞0）在（0，2）上不单调，则a的取值范围是( )A．0＜a＜1 B．0＜a ＜C ．＜a＜1 D．a＞112．已知直线1l：4x﹣3y+6=0和直线2l：x=﹣1，抛物线y2=4x上一动点P到直线1l和直线2l的距离之和的最小值是( )A ．B．2 C ．D．3二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13．已知点A（2,3,5），点B（3,1,4），那么A，B两点间的距离为____________14如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AA1，AB，BB1，B1C1 的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于．15.右表是某单位1-4月份水量（单位：百吨）的一组数据：由散点图可知，用水量y与月份x之间有较强的线性相关关系，其线性回归直线方程是axy+-=7.0ˆ，由此可预测该单位第5个月的用水量是百吨.16．若在区间[﹣5，5]内任取一个实数a，则使直线x+y+a=0与圆（x﹣1）2+（y+2）2=2有公共点的概率为三、解答题（本题共6道小题,第1题10分,第2题12分,第3题12分,第4题12分,第5题12分,第6题12分,共70分）17．已知命题p：方程x2+mx+1=0有两个不相等的实根；命题q：不等式4x2+4（m﹣2）x+1＞0的解集为R；若p或q为真，p且q为假，求实数m的取值范围．18．在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=AD=1，CD=2．（1）求证：AB∥平面PCD；（2）求证：BC⊥平面PBD．19．两会结束后，房价问题仍是国民关注的热点问题，某高校金融学一班的学生对某城市居民对房价的承受能力（如能买每平方米6千元的房子即承受能力为6千元）的调查作为社会实践，进行调查统计，将承受能力数据按区间[2.5，3.5），[3.5，4.5），[4.5，5.5），[5.5，6.5），[6.5，7.5]（千元）进行分组，得到如下统计图：（1）求a的值，并估计该城市居民的平均承受能力是多少元；- 2 -（2）若用分层抽样的方法，从承受能力在[3.5，4.5）与[5.5，6.5）的居民中抽取5人，在抽取的5人中随机取2人，求2人的承受能力不同的概率．20．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为圆心的圆与直线：相切．（1）求圆O 的方程；（2）若圆O 上有两点M 、N 关于直线x+2y=0对称，且，求直线MN 的方程．21．在直角坐标系xOy 中，已知A0），B0），动点C （x ，y ），若直线AC ，BC 的斜率k AC ，k BC 满足条件12AC BC k k =-． （1）求动点C 的轨迹方程；（2）过点（1,0）作直线l 交曲线C 于,M N 两点，若线段MN 中点的横坐标为13。

2015-2016学年四川省广元中学高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一个项是符合题目要求的．1．（5分）下列命题正确的是（）A．若a2＞b2，则a＞b B．若|a|＞b，则a2＞b2C．若a＞|b|，则a2＞b2D．若a＞b，则a2＞b22．（5分）已知等差数列{a n}中，a1+a3=16，则a2=（）A．7B．8C．9D．103．（5分）方程|y+1|=x表示的曲线是（）A．B．C．D．4．（5分）已知直线l1：ax﹣y+2a=0，l2：（2a﹣1）x+ay+a=0互相垂直，则a的值是（）A．0B．1C．0或1D．0或﹣1 5．（5分）抛物线x=﹣2y2的准线方程是（）A．B．C．D．6．（5分）已知双曲线C的焦点、实轴端点分别恰好是椭圆的长轴端点、焦点，则双曲线C的渐近线方程为（）A．4x±3y=0B．3x±4y=0C．4x±5y=0D．5x±4y=0 7．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线AC和BC1所成的角为（）A．45°B．30°C．60°D．90°8．（5分）长方体的一个顶点上三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（）A．25πB．50πC．125πD．都不对9．（5分）在△ABC中，a，b，c分别是A、B、C的对边，已知sinA，sinB，sinC 成等比数列，且a2=c（a+c﹣b），则角A为（）A．B．C．D．10．（5分）已知x＞0，y＞0，且2x+y=1，则的最小值是（）A．6B．4C．3+2D．3+411．（5分）设变量x，y满足约束条件：．则目标函数z=2x+3y的最小值为（）A．6B．7C．8D．2312．（5分）已知F1，F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）A．4+2B．+1C．﹣1D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知x2+y2﹣2ax+4y﹣6=0的圆心在直线x+2y+1=0上，那么实数a等于．14．（5分）若命题“∃x0∈R，x02+（a﹣1）x0+1＜0”是假命题，则实数a的取值范围为．15．（5分）已知M（4，2）是直线l被椭圆x2+4y2=36所截得的线段AB的中点，则直线l的方程为．16．（5分）设AB是椭圆（a＞b＞0）的长轴，若把AB给100等分，过每个分点作AB的垂线，交椭圆的上半部分于P1、P2、…、P99，F1为椭圆的左焦点，则|F1A|+|F1P1|+|F1P2|+…+|F1P99|+|F1B|的值是．三、解答题：（本题共6道大题，解答题每题写出必要的步骤）17．（10分）在△ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边，且a2+c2﹣b2+ac=0（1）求角B的大小；（2）若△ABC中sinC=2sinA，且b=，求a的值．18．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和记为S n，公差为2，且a1，a2，a4依次构成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式与S n（2）数列{b n}满足b n=，求数列{b n}的前n项和T n．19．（12分）已知函数（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）的最大值及取得最大值时x的取值集合；（3）求函数f（x）的单调递增区间．20．（12分）已知圆的半径为，圆心在直线y=2x上，圆被直线x﹣y=0截得的弦长为，求圆的方程．21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°．（1）求∠ADC；（2）求证：BC⊥PC；（3）求点A到平面PBC的距离．22．（12分）已知直线l：过椭圆C：（a＞b＞0）的右焦点F2，且椭圆C的中心关于直线l的对称点在直线（其中2c为焦距）上，直线m过椭圆左焦点F1交椭圆C于M、N两点．（1）求椭圆C的方程；（2）若，求直线m的方程；（3）设（O为坐标原点），当直线m绕点F1转动时，求λ的取值范围．2015-2016学年四川省广元中学高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一个项是符合题目要求的．1．（5分）下列命题正确的是（）A．若a2＞b2，则a＞b B．若|a|＞b，则a2＞b2C．若a＞|b|，则a2＞b2D．若a＞b，则a2＞b2【解答】解：对于A：错误，如a=﹣3，b=0；对于B：错误，如|a|=2，b=﹣5，对于C：正确；对于D：错误，如a=0，b=﹣3，故选：C．2．（5分）已知等差数列{a n}中，a1+a3=16，则a2=（）A．7B．8C．9D．10【解答】解：∵数列{a n}是等差数列，a1+a3=16，则a2==8，故选：B．3．（5分）方程|y+1|=x表示的曲线是（）A．B．C．D．【解答】解：∵|y+1|=x≥0，∴排除A，C，当x=0时，y=﹣1，排除B，故选：D．4．（5分）已知直线l1：ax﹣y+2a=0，l2：（2a﹣1）x+ay+a=0互相垂直，则a的值是（）A．0B．1C．0或1D．0或﹣1【解答】解：∵直线l1：ax﹣y+2a=0，l2：（2a﹣1）x+ay+a=0互相垂直，∴a（2a﹣1）﹣a=0，解得a=0或a=1．故选：C．5．（5分）抛物线x=﹣2y2的准线方程是（）A．B．C．D．【解答】解：∵抛物线x=﹣2y2的标准方程为y2=﹣x故2p=﹣即p=则抛物线x=﹣2y2的准线方程是故选：D．6．（5分）已知双曲线C的焦点、实轴端点分别恰好是椭圆的长轴端点、焦点，则双曲线C的渐近线方程为（）A．4x±3y=0B．3x±4y=0C．4x±5y=0D．5x±4y=0【解答】解：椭圆的长轴端点为（±5，0），焦点为（±3，0）．由题意可得，对双曲线C，焦点（±5，0），实轴端点为（±3，0），∴a=3，c=5，b=4，故双曲线C的方程为，故渐近线方程为y=±，即4x±3y=0，故选：A．7．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线AC和BC1所成的角为（）A．45°B．30°C．60°D．90°【解答】解：如图将BC1平移至AD1处，∠D1AC就是所求的角，又△AD1C为正三角形．∴∠D1AC=60°．故选：C．8．（5分）长方体的一个顶点上三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（）A．25πB．50πC．125πD．都不对【解答】解：因为长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一个球面上，所以长方体的对角线就是确定直径，长方体的对角线为：，所以球的半径为：，所以这个球的表面积是：=50π．故选：B．9．（5分）在△ABC中，a，b，c分别是A、B、C的对边，已知sinA，sinB，sinC 成等比数列，且a2=c（a+c﹣b），则角A为（）A．B．C．D．【解答】解：根据正弦定理以及sinA，sinB，sinC成等比数列可知b2=ac ①由余弦定理可知cosA=②又∵a2=c（a+c﹣b）∴a2=ac+c2﹣bc ③联立①②③解得cosA=A∈（0，180°）∴∠A=故选：D．10．（5分）已知x＞0，y＞0，且2x+y=1，则的最小值是（）A．6B．4C．3+2D．3+4【解答】解：∵x＞0，y＞0，且2x+y=1，∴=（）（2x+y）=3++≥3+2=3+2当且仅当=即x=且y=1+时取等号，故选：C．11．（5分）设变量x，y满足约束条件：．则目标函数z=2x+3y的最小值为（）A．6B．7C．8D．23【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（2，1），B（1，2），C（4，5）设z=F（x，y）=2x+3y，将直线l：z=2x+3y进行平移，当l经过点A时，目标函数z达到最小值=F（2，1）=7∴z最小值故选：B．12．（5分）已知F1，F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）A．4+2B．+1C．﹣1D．【解答】解：已知F1，F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则：设|F1F2|=2c进一步解得：|MF 1|=c，利用双曲线的定义关系式：|MF2|﹣|MF1|=2a两边平方解得：故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知x2+y2﹣2ax+4y﹣6=0的圆心在直线x+2y+1=0上，那么实数a等于3．【解答】解：∵x2+y2﹣2ax+4y﹣6=0的圆心是（a，﹣2），圆心在直线x+2y+1=0上，∴a+2（﹣2）+1=0，∴a=3故答案为：314．（5分）若命题“∃x0∈R，x02+（a﹣1）x0+1＜0”是假命题，则实数a的取值范围为[﹣1，3] ．【解答】解：∵命题“∃x0∈R，x+（a﹣1）x0+1＜0”是假命题，∴命题“∀x∈R，x2+（a﹣1）x+1≥0”是真命题，即对应的判别式△=（a﹣1）2﹣4≤0，即（a﹣1）2≤4，∴﹣2≤a﹣1≤2，即﹣1≤a≤3，故答案为：[﹣1，3]．15．（5分）已知M（4，2）是直线l被椭圆x2+4y2=36所截得的线段AB的中点，则直线l的方程为x+2y﹣8=0．【解答】解：由题意得，斜率存在，设为k，则直线l的方程为y﹣2=k（x﹣4），即kx﹣y+2﹣4k=0，代入椭圆的方程化简得（1+4k2）x2+（16k﹣32k2）x+64k2﹣64k﹣20=0，∴x1+x2==8，解得k=﹣，故直线l的方程为x+2y﹣8=0，故答案为x+2y﹣8=0．16．（5分）设AB是椭圆（a＞b＞0）的长轴，若把AB给100等分，过每个分点作AB的垂线，交椭圆的上半部分于P1、P2、…、P99，F1为椭圆的左焦点，则|F1A|+|F1P1|+|F1P2|+…+|F1P99|+|F1B|的值是101a．【解答】解：由椭圆的定义知|F1P i|+|F2P i|=2a（i=1，2，…，99）；∴；由题意知P1，P2，…，P99关于y轴成对称分布；∴又∵|F1A|+|F1B|=2a；故所求的值为101a．故答案为：101a．三、解答题：（本题共6道大题，解答题每题写出必要的步骤）17．（10分）在△ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边，且a2+c2﹣b2+ac=0（1）求角B的大小；（2）若△ABC中sinC=2sinA，且b=，求a的值．【解答】本题满分为12分解：（1）∵a2+c2﹣b2+ac=0，∴由余弦定理可得：cosB===﹣，∴结合B的范围：0＜B＜π，可解得：B=…（6分）（2）∵sinC=2sinA，∴由正弦定理可得：c=2a，∴由余弦定理可得：b2=14=a2+c2﹣2accosB=a2+4a2+2a2=7a2，∴可解得：a=…（12分）18．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和记为S n，公差为2，且a1，a2，a4依次构成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式与S n（2）数列{b n}满足b n=，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）∵等差数列{a n}的公差为2，∴a2=2+a1，a4=2×3+a1，又∵a1，a2，a4依次构成等比数列，∴（2+a1）2=a1（2×3+a1），解得a1=2，∴a n=2n，S n=2×=n（n+1）；（2）∵S n=n（n+1），∴b n===﹣，∴T n=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣=．19．（12分）已知函数（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）的最大值及取得最大值时x的取值集合；（3）求函数f（x）的单调递增区间．【解答】解：（1）∵∴f（x）===．∵，即函数f（x）的最小正周期为π．（2）当（5分）即时，f（x）取最大值2（7分）因此f（x）取最大值时x的集合是（8分）（3）f（x）=．再由，解得．所以y=f（x）的单调增区间为．（12分）20．（12分）已知圆的半径为，圆心在直线y=2x上，圆被直线x﹣y=0截得的弦长为，求圆的方程．【解答】解：设圆心（a，2a），由弦长公式求得弦心距d==，再由点到直线的距离公式得d==|a|，∴a=±2，∴圆心坐标为（2，4），或（﹣2，﹣4），又半径为，∴所求的圆的方程为：（x﹣2）2+（y﹣4）2=10或（x+2）2+（y+4）2=10．21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°．（1）求∠ADC；（2）求证：BC⊥PC；（3）求点A到平面PBC的距离．【解答】解：（1）过D作BC的平行线DE，交AB于E，∵在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°，∴AE=DE=1，DE⊥AE，∴∠DAE=45°，∴∠ADC=135°．证明：（2）∵PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴PD⊥BC，由∠BCD=90°，得BC⊥DC，又PD∩DC=D，PD⊂平面PCD，DC⊂平面PCD，∴BC⊥平面PCD，∵PC⊂平面PCD，∴PC⊥BC．解：（3）连结AC，设点A到平面PBC的距离为h，因为AB∥DC，∠BCD=90°，所以∠ABC=90°，从而由AB=2，BC=1，得△ABC的面积S=1，△ABC由PD⊥平面ABCD及PD=1，得三棱锥P﹣ABC的体积V=，∵PD⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，∴PD⊥DC，又PD=DC=1，∴PC==，=，由PC⊥BC，BC=1，得△PBC的面积S△PBC由==，解得h=，∴点A到平面PBC的距离为．22．（12分）已知直线l：过椭圆C：（a＞b＞0）的右焦点F2，且椭圆C的中心关于直线l的对称点在直线（其中2c为焦距）上，直线m过椭圆左焦点F1交椭圆C于M、N两点．（1）求椭圆C的方程；（2）若，求直线m的方程；（3）设（O为坐标原点），当直线m绕点F1转动时，求λ的取值范围．【解答】解：（1）由直线l：y=x﹣2，令y=0，解得x=2，可得c=2，即椭圆的焦点为（±2，0），设原点关于l的对称点为（x，y），则，解得x=3，即=3，可得a2=6，则b2=a2﹣c2=2．∴椭圆的方程为+=1；（2）由题意方程可得F1（﹣2，0），F2（2，0），设直线MN的方程为x=ty﹣2，代入椭圆方程可得，（3+t2）y2﹣4ty﹣2=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），可得y1+y2=，y1y2=﹣，由，可得（x1+x2﹣4）2+（y1+y2）2=50，又x1+x2=t（y1+y2）﹣4，即有（﹣8）2+（）2=50，解得t2=1，即t=±1，则直线m的方程为x=±y﹣2；（3），可得||•||sin∠MON=λ，=|OF1|•|y1﹣y2|即有λ=S△MON=|y1﹣y2|====≤=，当且仅当=，即t=±1时，S取得最大值．则有λ的取值范围是（0，]．。

2015-2016学年四川省遂宁市高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．）1．（5分）“a＞0”是“|a|＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．（5分）命题：“对任意的x∈R，x2+x+1＞0”的否定是（）A．不存在x∈R，x2+x+1＞0B．存在x0∈R，x02+x0+1＞0C．存在x0∈R，x02+x0+1≤0D．对任意的x∈R，x2+x+1≤0 3．（5分）如图是某样本数据的茎叶图，则该样本数据的茎叶图，则该样本数据的中位数（）A．22B．25C．28D．314．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的T等于（）A．32B．30C．20D．05．（5分）已知直线l的倾斜角为θ，若cosθ=，则该直线的斜率为（）A．B．C．D．6．（5分）已知α、β是两个平面，m、n是两条直线，则下列命题不正确的是（）A．若m∥n，m⊥α，则n⊥αB．若m⊥α，m⊥β，则α∥βC．若m⊥α，m⊂β，则α⊥βD．若m⊥α，α∩β=n，则m∥n 7．（5分）已知点A（2，0），B（0，3），则直线AB的方程为（）A．3x﹣2y﹣6=0B．2x﹣3y+6=0C．3x+2y﹣6=0D．2x+3y+6=0 8．（5分）如图所示，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为（）A．B．C．D．19．（5分）点P（﹣2，1）关于直线l：x﹣y+1=0对称的点P′的坐标是（）A．（1，0）B．（0，1）C．（0，﹣1）D．（﹣1，0）10．（5分）如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各条棱长都相等，则异面直线AB1和A1C所成的角的余弦值大小为（）A．B．C．D．11．（5分）已知关于x的二次函数f（x）=ax2﹣4bx+1，设集合A={﹣1，1，2，3，4，5}，B={﹣2，﹣1，1，2，3，4}，分别从集合A和B中随机取一个数记为a和b，则函数y=f（x）在[1，+∞）上单调递增的概率为（）A．B．C．D．12．（5分）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，BC=2，CD是∠ACB的角平分线（如图①）．若沿直线CD将△ABC折成直二面角B﹣CD﹣A（如图②）．则折叠后A，B两点间的距离为（）A．B．C．2D．3二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）13．（5分）设直线l1：3x+4y﹣5=0与l2：3x+4y+5=0间的距离为d，则d=．14．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的y等于．15．（5分）已知一圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的体积为．16．（5分）已知圆C：x2+y2=9，直线l1：x﹣y﹣1=0与l2：x+2y﹣10=0的交点设为P点，过点P向圆C作两条切线a，b分别与圆相切于A，B两点，则S△=．ABP三、解答题（17题10分，18至22每小题10分，共计70分）17．（10分）已知两条直线l1：x+（1+m）y=2﹣m，l2：2mx+4y=﹣16．m为何值时，l1与l2：（1）相交；（2）平行．18．（12分）设p：实数x满足a＜x＜3a，其中a＞0；q：实数x满足2＜x＜3．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．19．（12分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是AB、B1C1的中点．（1）求证：BD⊥平面ACC1A1；（2）求证：EF∥平面ACC1A1．20．（12分）某高校在2014年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下表所示．（Ⅰ）求频率分布表中n，p的值，并补充完整相应的频率分布直方图；（Ⅱ）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进入第二轮面试，则第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，学校决定从6名学生中随机抽取2名学生接受甲考官的面试，求第4组至少有1名学生被甲考官面试的概率．21．（12分）如图，正四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，CD=，点P在侧棱SD上，且SP=3PD．（1）求证：AC⊥SD；（2）求三棱锥P﹣ACD的体积．22．（12分）已知平面直角坐标系上一动点P（x，y）到点A（﹣2，0）的距离是点P到点B（1，0）的距离的2倍．（1）求点P的轨迹方程；（2）过点A的直线l与点P的轨迹C相交于E，F两点，点M（2，0），则是否取得最大值，若存在，求出此时l的方程，若不存在，请存在直线l，使S△EFM说明理由．2015-2016学年四川省遂宁市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．）1．（5分）“a＞0”是“|a|＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵a＞0⇒|a|＞0，|a|＞0⇒a＞0或a＜0即|a|＞0不能推出a＞0，∴a＞0”是“|a|＞0”的充分不必要条件故选：A．2．（5分）命题：“对任意的x∈R，x2+x+1＞0”的否定是（）A．不存在x∈R，x2+x+1＞0B．存在x0∈R，x02+x0+1＞0C．存在x0∈R，x02+x0+1≤0D．对任意的x∈R，x2+x+1≤0【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题：“对任意的x∈R，x2+x+1＞0”的否定是：存在x0∈R，x02+x0+1≤0．故选：C．3．（5分）如图是某样本数据的茎叶图，则该样本数据的茎叶图，则该样本数据的中位数（）A．22B．25C．28D．31【解答】解：从茎叶图中知共11个数据，按照从小到大排序后中间的一个数据为25，所以这组数据的中位数为25．故选：B．4．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的T等于（）A．32B．30C．20D．0【解答】解：程序在运行过程中各变量的聚会如下表示：是否继续循环S n T循环前/0 0 0第一圈否 5 2 2第二圈否10 4 6第三圈否15 6 12第四圈否20 8 20第五圈否25 10 30第六圈是退出循环，最后输出的T值为30．故选：B．5．（5分）已知直线l的倾斜角为θ，若cosθ=，则该直线的斜率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵直线l的倾斜角为θ，cosθ=，∴sinθ==，∴该直线的斜率k=tanθ==．故选：A．6．（5分）已知α、β是两个平面，m、n是两条直线，则下列命题不正确的是（）A．若m∥n，m⊥α，则n⊥αB．若m⊥α，m⊥β，则α∥βC．若m⊥α，m⊂β，则α⊥βD．若m⊥α，α∩β=n，则m∥n【解答】解：由α、β是两个平面，m、n是两条直线，知：在A中：若m∥n，m⊥α，则由直线与平面垂直的判定定理得n⊥α，故A正确；在B中：若m⊥α，m⊥β，则由面面平行的判定定理得α∥β，故B正确；在C中：若m⊥α，m⊂β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故C正确；在D中：若m⊥α，α∩β=n，则m与n相交、平行或异面，故D错误．故选：D．7．（5分）已知点A（2，0），B（0，3），则直线AB的方程为（）A．3x﹣2y﹣6=0B．2x﹣3y+6=0C．3x+2y﹣6=0D．2x+3y+6=0【解答】解：因为A（2，0），B（0，3），则直线AB的方程=：即3x+2y﹣6=0．故选：C．8．（5分）如图所示，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为（）A．B．C．D．1【解答】解：根据三视图，可知该几何体是三棱锥，右图为该三棱锥的直观图，并且侧棱PA⊥AB，PA⊥AC，AB⊥AC．则该三棱锥的高是PA，底面三角形是直角三角形，所以这个几何体的体积，故选：A．9．（5分）点P（﹣2，1）关于直线l：x﹣y+1=0对称的点P′的坐标是（）A．（1，0）B．（0，1）C．（0，﹣1）D．（﹣1，0）【解答】解：设点P（﹣2，1）关于直线l：x﹣y+1=0对称的点P′的坐标是（a，b），则由，求得，可得点P（﹣2，1）关于直线l：x﹣y+1=0对称的点P′的坐标是（0，﹣1）故选：C．10．（5分）如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各条棱长都相等，则异面直线AB1和A1C所成的角的余弦值大小为（）A．B．C．D．【解答】解：以A为原点，在平面ABC内过A作AC的垂线为x轴，以AC为y 轴，以AA1为z轴，建立空间直角坐标系，设正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各条棱长为2，则A（0，0，0），B1（，1，2），A1（0，0，2），C（0，2，0），=（），=（0，2，﹣2），设异面直线AB1和A1C所成的角的余弦值为θ，则cosθ===．∴异面直线AB1和A1C所成的角的余弦值大小为．故选：A．11．（5分）已知关于x的二次函数f（x）=ax2﹣4bx+1，设集合A={﹣1，1，2，3，4，5}，B={﹣2，﹣1，1，2，3，4}，分别从集合A和B中随机取一个数记为a和b，则函数y=f（x）在[1，+∞）上单调递增的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵函数f（x）=ax2﹣4bx+1的图象的对称轴为x=，要使函数f（x）=ax2﹣4bx+1在区间[1，+∞）上为增函数，当且仅当a＞0且≤1，即2b≤a，若a=1，则b=﹣2，﹣1；若a=2，则b=﹣2，﹣1，1；若a=3，则b=﹣2，﹣1，1；若a=4，则b=﹣2，﹣1，1，2；若a=5，则b=﹣2，﹣1，1，2；∴所求事件包含基本事件的个数是2+3+3+4+4=16，∴所求事件的概率为=．故选：D．12．（5分）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，BC=2，CD是∠ACB的角平分线（如图①）．若沿直线CD将△ABC折成直二面角B﹣CD﹣A（如图②）．则折叠后A，B两点间的距离为（）A．B．C．2D．3【解答】解：∵CD是∠ACB的角平分线，∴∠ACD=∠BCD=45°，过A作CD的垂线AG，过B作CD的延长线的垂线BH，∴AG=sin45°=，BH=2cos45°=，CG=cos45°=，CH=2sin45°=，则HG=CH﹣CG==，∴|AB|===．故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）13．（5分）设直线l1：3x+4y﹣5=0与l2：3x+4y+5=0间的距离为d，则d=2．【解答】解：直线l1：3x+4y﹣5=0与l2：3x+4y+5=0间的距离为d，则d==2．故答案为：2．14．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的y等于4．【解答】解：执行程序框图，可得x=1，y=1满足条件x≤4，x=2，y=2满足条件x≤4，x=4，y=3满足条件x≤4，x=8，y=4不满足条件x≤4，输出y的值为4．故答案为：4．15．（5分）已知一圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的体积为．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则，解得r=1，l=2．∴圆锥的高h==．∴圆锥的体积V=πr2h=．故答案为．16．（5分）已知圆C：x2+y2=9，直线l1：x﹣y﹣1=0与l2：x+2y﹣10=0的交点设为P点，过点P向圆C作两条切线a，b分别与圆相切于A，B两点，则S=△ABP．【解答】解：直线l1：x﹣y﹣1=0与l2：x+2y﹣10=0的交点P（4，3），∴|CP|=5．设CP与AB交于D，则由等面积可得AD=，∴PD==∴S==．△ABP故答案为：．三、解答题（17题10分，18至22每小题10分，共计70分）17．（10分）已知两条直线l1：x+（1+m）y=2﹣m，l2：2mx+4y=﹣16．m为何值时，l1与l2：（1）相交；（2）平行．【解答】解：（1）当L1与L2相交时⇒4≠2m（1+m）⇒m≠1且m≠﹣2；（2）当L1与L2平行时⇒4=2m（1+m）⇒m=1或m=﹣2；经检验m=﹣2时，两直线重合，所以，m=1．18．（12分）设p：实数x满足a＜x＜3a，其中a＞0；q：实数x满足2＜x＜3．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a=1时，若命题p为真，则1＜x＜3；若命题q为真，则2＜x＜3，∵p∧q为真，即p，q都为真，∴，∴2＜x＜3，即实数F的取值范围是（2，3）．（2）若若q是p的充分不必要条件，∵a＞0，a＜x＜3a，若q是p的充分不必要条件，∴，则1≤a≤2，∴a的取值范围是{a|1≤a≤2}．19．（12分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是AB、B1C1的中点．（1）求证：BD⊥平面ACC1A1；（2）求证：EF∥平面ACC1A1．【解答】（本题满分12分）解：（1）∵ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，∴BD⊥AC，CC1⊥平面ABCD，∵BD⊂平面ABCD，则BD⊥C1C，又∵AC∩C1C=C，∴BD⊥平面ACC1A1．…（6分）（2）设BC的中点为G，连接EG，FG．∵E、G分别是AB、BC的中点，则EG∥AC，∵EG⊄平面ACC1A1，AC⊂平面ACC1A1，∴EG∥平面ACC1A1，同理FG∥平面ACC1A1．又∵EG∩FG=G，则平面EGF∥平面ACC1A1，∵EF⊂平面EGF，∴EF∥平面ACC1A1…（12分）20．（12分）某高校在2014年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下表所示．（Ⅰ）求频率分布表中n，p的值，并补充完整相应的频率分布直方图；（Ⅱ）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进入第二轮面试，则第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，学校决定从6名学生中随机抽取2名学生接受甲考官的面试，求第4组至少有1名学生被甲考官面试的概率．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，第2组的频数n=0.35×100=35人，第3组的频率p=，（Ⅱ）∵第3、4、5组共有60名学生，∴利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组分别为：第3组：×6=3人，第4组：×6=2人，第5组：=1人，∴第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人（Ⅲ）试验发生包含的事件是从六位同学中抽两位同学有C62=15种满足条件的事件是第4组至少有一名学生被考官A面试有C21C41+1=9种结果，∴至少有一位同学入选的概率为=21．（12分）如图，正四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，CD=，点P在侧棱SD上，且SP=3PD．（1）求证：AC⊥SD；（2）求三棱锥P﹣ACD的体积．【解答】（1）证明：设AC的中点为O，连接OD，OS．由已知，AC⊥OD，SO⊥底面ABCD，∵AC⊂平面ABCD，∴SO⊥AC，又∵SO∩DO=O，∴AC⊥平面SOD，∵SD⊂平面SOD，∴AC⊥SD．…（6分）（2）解：在OD边上找一点Q，连接PQ，使PQ∥SO．由已知，SO⊥底面ABCD，∴PQ⊥底面ABCD，…（8分）又由已知，则∵△SDO∽△PDQ，且SP=3PD，∴，，∴．…（12分）22．（12分）已知平面直角坐标系上一动点P（x，y）到点A（﹣2，0）的距离是点P到点B（1，0）的距离的2倍．（1）求点P的轨迹方程；（2）过点A的直线l与点P的轨迹C相交于E，F两点，点M（2，0），则是否取得最大值，若存在，求出此时l的方程，若不存在，请存在直线l，使S△EFM说明理由．【解答】解：（1）∵动点P（x，y）到点A（﹣2，0）的距离是点P到点B（1，0）的距离的2倍，∴（x+2）2+y2=4（x﹣1）2+4y2，∴（x﹣2）2+y2=4；（2）设直线方程为y=k（x+2），即kx﹣y+2k=0，（2，0）到直线的距离为d=，直线代入圆的方程，整理得（1+k2）x2+（4k2﹣4）x+4k2=0，∴|EF|=•，=|EF|d=8∴S△EFM=8，设t=1+k2（t≥1），S△EFM取得最大值2，此时k=，y=（x+2）．∴t=时，S△EFM赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y fu=为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．yxo【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。