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第一章 :复数与复变函数这一章主假如解说复数和复变函数的有关观点 ,大多数内容与实变函数近似 ,不难理解。
一、复数及其表示法介绍复数和几种新的表示方法 ,其实就是把表示形式变来变去 ,方便和其余的数学知识联系起来。
二、复数的运算高中知识 ,加减乘除 ,乘方开方等。
主假如用新的表示方法来解说了运算的几何意义。
三、复数形式的代数方程和平面几何图形就是把实数替代成复数 ,因为复数的性质 ,因此平面图形的方程式二元的。
四、复数域的几何模型——复球面将复平面上的点 ,一一映照到球面上 ,意义是扩大了复数域和复平面 ,就是多了一个无量远点 ,此刻还不知道有什么意义 ,猜想应当是方便将微积分的思想用到复变函数上。
五、复变函数不同于实变函数是一个或一组坐标对应一个坐标 ,复变函数是一组或多组坐标对应一组坐标 ,因此看起来仿佛是映照在另一个坐标系里。
六、复变函数的极限和连续性与实变函数的极限、连续性同样。
第二章 :分析函数这一章主要介绍分析函数这个观点 ,将实变函数中导数、初等函数等观点移植到复变函数系统中。
一、分析函数的观点介绍复变函数的导数 ,近似于实变二元函数的导数,求导法例与实变函数同样。
所谓的分析函数 ,就是函数到处可导换了个说法 ,并且只合用于复变函数。
而复变函数能够分析的条件就是 : μ对 x 与ν对 y 的偏微分相等且μ对 y 和ν对 x 的偏微分互为相反数 ,这就是柯西黎曼方程。
二、分析函数和调解函数的关系出现了新的观点:调解函数。
就是对同一个未知数的二阶偏导数互为相反数的实变函数。
而分析函数的实部函数和虚部函数都是调解函数。
而知足柯西黎曼方程的两个调解函数能够构成一个分析函数 ,而这两个调解函数互为共轭调解函数。
三、初等函数和实变函数中的初等函数形式同样,可是变量成为复数 ,因此有一些不同的性质。
第三章 :复变函数的积分这一章 ,主假如将实变函数的积分问题,在复变函数这个系统里进行了系统的转化 ,让复变函数有独立的积分系统。
复变函数简单总结复变函数简单总结对于某些专业的工科学生，学习复变函数是非常有意义的。
复变函数的记号是w＝f（z）。
从几何的角度上看，复变函数是一个复平面上的点集到另一个复平面上的一个映射。
在直角坐标系复平面上，自变量记作z＝x＋iy，函数值记作w＝u＋iv。
那么复变函数w＝f（z）就等价于两个二元函数u=u（x，y）,v=v（x，y），即一个复变函数的映射，等同于两个二元实函数的映射。
在物理学或力学中，可以用复变函数来建立“平面场”的数学模型，例如在流体力学中，平面流速场的速度分布可用复函数V＝V（z）＝Vx（x，y）＋iVy（x，y）来表示，其中，Vx（x，y）和Vy （x，y）是坐标轴方向的速度分量（不是偏导数记号），V（z）则称为复速度。
在静电学中，平面静电场也可以用复函数E（z）＝Ex（x，y）＋iEy（x，y）来表示，Ex（x，y）和Ey（x，y）是坐标轴方向的场强分量，E（z）称为复场强。
对于理科的物理专业，以及工科与流体力学、电工电子学有关的各类专业，“复变函数与数学物理方法”课程（也有分为两门的，甚至三门的，即积分变换）都是很基础的一门课程。
复变函数泛谈首先，复变函数以复数为中心进行一系列讨论和分析，而复数的独特之处在于它的虚部，也就是虚数部分；之前对虚数域的认识，完全在于一个虚字。
而对于复变产生的意义，书中是这样给出的：由于解代数方程的需要，人们引出了复数。
复数的出现，使得基本运算中的开方运算不再存在无解情况，n此多项式也不再存在增根，这为人类在某些逻辑领域的运算提供了帮助。
复数的集合复平面是一个二维平面，但却并非我们所在的三维世界中的任何一个二维平面。
可以说复平面在现实世界中完全找不到具体的一一对应，是一个纯粹缔造出来的二维平面。
而就在最近我弄清了两个概念：数学与科学。
结论为：数学不是科学。
数学不属于科学的范畴，是一种逻辑学，作为工具的学科；而科学则是理论的集合。
哪怕是假命题如地心说，也是科学。
复变函数与积分变换复习重点总结一、复变函数基本概念1.复数的定义与运算规则。
复数由实部和虚部构成，在复平面上表示为点，加减乘除等运算遵循分配律。
2.复平面及相关概念。
复平面是复数集合在直角坐标系上的表示，实部和虚部在坐标轴上的投影分别对应x轴和y轴，共轭复数、模、幅角等概念。
3.复变函数的定义与性质。
复变函数表示为z的其中一种函数，具有实变量函数的性质，例如连续性、可微性等。
二、整函数1.整函数的定义与性质。
整函数指复变函数在全复平面都解析，可以用无穷级数表示为幂级数形式。
2.全纯函数与调和函数。
全纯函数是整函数的一种特殊情况，对应于实变量函数的解析函数，调和函数满足拉普拉斯方程。
3.零点与奇点。
零点是整函数取值为0的点，奇点是整函数在一些点上无定义或有定义但不解析的点。
4.极限定理与唯一性定理。
解析函数具有一致性和唯一性，即零点有稠密性，且相同函数在相同域上必然一致。
三、留数定理1.留数的概念与计算方法。
留数是复变函数在奇点处的残余，可以通过留数公式计算得到，留数与曲线积分的关系。
2. 留数定理与积分公式。
留数定理为计算曲线闭合积分提供了便捷的方法，包括留数定理、Cauchy积分公式、Cauchy积分定理等。
3.洛朗展开与留数计算。
洛朗展开将复变函数表示为一部分主要项和无穷级数项的形式，通过计算主要项的留数可以快速得到积分结果。
四、解析函数与幂级数展开1.解析函数的定义与性质。
解析函数是在一些域上解析的复变函数，具有在其定义域上处处可微的特点，可以表示为幂级数形式。
2.幂级数展开与泰勒级数。
将解析函数表示为幂级数展开的形式，其中泰勒级数是幂级数的一种特殊情况，可以用于近似计算。
3.余项估计与收敛半径。
余项估计用于估计幂级数展开的误差范围，收敛半径表示幂级数展开的有效范围。
4.解析函数的四则运算与复合函数。
解析函数具有基本的四则运算和复合运算规则，可通过幂级数展开来计算。
五、积分变换1.积分变换的基本概念与性质。
第一章 复述和复变函数 1.5连续若函数)(x f 在0z 的领域内（包括0z 本身）已经单值确定，并且)()(0lim 0zf z f z z =→，则称f(z)在0z 点连续。
1.6导数若函数在一点的导数存在，则称函数在该点可导。
f(z)=u(x,y)+iv(x,y)的导数存在的条件 (i)x u ∂∂、y u ∂∂、x v ∂∂、yv ∂∂在点不仅存在而且连续。
(ii)C-R 条件在该点成立。
C-R 条件为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∂∂-=∂∂∂∂=∂∂y y x u xy x v y y x v x y x u ),(),(),(),( 1.7解析若函数不仅在一点是可导的，而且在该点的领域内点点是可导的，则称该点是解析的。
解析的必要条件：函数f(z)=u+iv 在点z 的领域内(i)x u ∂∂、y u ∂∂、x v ∂∂、yv ∂∂存在。
(ii)C-R 条件在该点成立。
解析的充分条件：函数f(z)=u+iv 在领域内(i)x u ∂∂、y u ∂∂、x v ∂∂、yv∂∂不仅存在而且连续。
(ii)C-R 条件在该点成立。
1.8解析函数和调和函数的关系 拉普拉斯方程的解都是调和函数：22x u ∂∂+22y u∂∂=0 ①由此可见解析函数的实部和虚部都是调和函数。
但是任意的两个调和函数作为虚实两部形成的函数不一定是解析函数，因为它们不一定满足C —R 条件。
②当知道f(z)=u(x,y)+iv(x,y)中的u(x,y)时，如何求v(x,y)?通过C —R 条件列微分方程 第二章 复变函数的积分 2.2解析函数的积分柯西定理：若函数f(z)在单连区域D 内是解析的，则对于所有在这个区域内而且在两个公共端点A 与B 的那些曲线来讲，积分⎰BAdz z f )(的值均相等。
柯西定理推论：若函数f(z)在单连区域D 内解析，则它沿D 内任一围线的积分都等于零。
⎰=Cdz z f 0)(二连区域的柯西定理：若f(z)在二连区域D 解析，边界连续，则f(z)沿外境界线(逆时针方向)的积分等于f(z)沿内境界线(逆时针方向)的积分。
复变函数知识点总结1. 复数及复平面- 复数由实部和虚部组成，形式为 `z = a + bi`，其中 `a` 为实部，`b` 为虚部，`i` 为虚数单位。
- 复平面将所有复数表示为二维平面上的点，实轴表示实部，虚轴表示虚部。
- 复数可用极坐标和指数形式表示。
2. 复变函数的定义与性质- 复变函数是将复数域映射到复数域的函数。
- 复变函数的导数称为复导数，由极限定义及柯西—黎曼方程求得。
- 复变函数的连续性与分析性与实变函数类似。
3. 元素函数- 复指数函数：`exp(z) = e^z`，其中 `e` 为自然对数的底数。
- 复对数函数：`Log(z) = ln|z| + i(arg(z) + 2πn)`，其中 `arg(z)` 是复数 `z` 的辐角。
- 复正弦函数：`sin(z) = (e^(iz) - e^(-iz))/(2i)`。
- 复余弦函数：`cos(z) = (e^(iz) + e^(-iz))/2`。
4. 复变函数的级数展开- 柯西—黎曼方程可推导出复变函数的泰勒级数展开。
- 复变函数的泰勒级数展开在某一区域内收敛于该函数。
5. 复积分- 路径积分：沿曲线的积分，路径可用参数方程表示。
- 狭义路径积分与宽义路径积分分别对应于可积与不可积的情况。
- 围道积分：路径围成的图形内积分。
6. 复变函数的解析性- 柯西—黎曼方程刻画了函数在一个区域内的解析性。
- 解析函数满足柯西—黎曼方程，其导函数也是解析函数。
7. 复变函数的应用- 复变函数在电路分析、流体力学、量子力学等领域具有广泛应用。
以上是对复变函数的一些知识点的总结，希望能为您提供参考。
复变函数复习提纲(一)复数的概念1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.21i =-.注：两个复数不能比较大小. 2.复数的表示 1）模：z =2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ- 中的幅角。
3）()arg z 与arctanyx之间的关系如下： 当0,x > arg arctan yz x=；当0,arg arctan 0,0,arg arctan yy z x x y y z xππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩； 4）三角表示：()cos sin z z i θθ=+，其中arg z θ=；注：中间一定是“+”号。
5）指数表示：i z z e θ=，其中arg z θ=。
(二) 复数的运算1.加减法：若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+±2.乘除法：1）若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++；()()()()112211112121221222222222222222x iy x iy z x iy x x y y y x y x i z x iy x iy x iy x y x y +-++-===+++-++。
2）若121122,i i z z e z z eθθ==, 则()121212i z z z z e θθ+=；()121122i z z ez z θθ-= 3.乘幂与方根1） 若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则(cos sin )nnnin z z n i n z eθθθ=+=。
2） 若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则122cos sin (0,1,21)nk k z i k n n n θπθπ++⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭（有n 个相异的值）（三）复变函数1．复变函数：()w f z =，在几何上可以看作把z 平面上的一个点集D 变到w 平面上的一个点集G 的映射.2．复初等函数1）指数函数：()cos sin z x e e y i y =+，在z 平面处处可导，处处解析；且()zzee'=。
第一章复数1 =-1欧拉公式z=x+iy2i 1-=i 实部Re z 虚部 Im z2运算①2121Re Re z z z z =⇔≡21Im Im z z =②()()()()()2121212121Im Im Re Re Im Re z z z z z z z z z z ++±=±+±=±③()()()()1221212121122121221121y x y x i y y x x y y y ix y ix x x iy x iy x z z ++-=-++=++=⋅④()()()()222221212222212122222211222121y x y x x y i y x y y x x iy x iy x iy x iy x z z z z z z +-+++=-+-+==⑤共轭复数iy x z -=共轭技巧()()22y x iy x iy x z z +=-+=⋅运算律P1页3代数，几何表示z 与平面点一一对应，与向量一一对应iy x z +=()y x ,辐角当z ≠0时，向量z 和x 轴正向之间的夹角θ，记作θ=Argz=πθk 20+k=±1±2±3…把位于-π＜≤π的叫做Arg z 辐角主值 记作=0θ0θ0θ0arg z 4如何寻找arg z例：z=1-i4π-z=i 2πz=1+i 4πz=-1π5 极坐标：，θcos r x =θsin r y =()θθsin cos i r iy x z +=+=利用欧拉公式 θθθsin cos i e i +=可得到θi re z =()21212121212121θθθθθθ+=⋅=⋅=⋅i i i i i e r r e e r r e r e r z z 6 高次幂及n 次方()θθθn i n r e r z z z z z n in n n sin cos +==⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=凡是满足方程的ω值称为z 的n 次方根，记作 z n=ωn z=ω即()n k i re z ωπθ==+2nr ω=nr1=ωϕπθn k =+2nk πθϕ2+=第二章解析函数1极限2函数极限①复变函数对于任一都有 与其对应D Z ∈E ∈W ()z f =ω注：与实际情况相比，定义域，值域变化例()zz f =②称当时以A 为极限()A =→z f z z 0lim 0z z →()z f 0z z →☆当时，连续()0z f =A 例1证明在每一点都连续()z z f =证： ()()0000→-=-=-z z z z z f z f 0z z →所以在每一点都连续()z z f =3导数()()()()000limz z z z z z df z z z f z f z f =→=--='例2时有 ()C z f =()0'=C证：对有 所以z ∀()()0lim lim00=∆-=∆-∆+→∆→∆zCC z z f z z f z z ()0'=C 例3证明不可导()z z f =解：令0z z -=ω()()iyx iy x z z z z z z z z z z z f z f +-==--=--=--ωω000000当时，不存在，所以不可导。
0→ω定理：在处可导u ，v 在处可微，且满足C-()()()y x iv y x u z f ,,+=iy x z +=⇔()y x ,R 条件且y v x u ∂∂=∂∂x v y u ∂∂-=∂∂()xvix u z f ∂∂+∂∂='例4证明不可导()z z f =解： 其中 u,v 关于x,y 可微()iy x z z f -==()x y x u =,()y y x v -=, 不满足C-R 条件 所以在每一点都不可导11-=∂∂≠=∂∂yv x u 例5()zz f Re =解： ()x z z f ==Re ()x y x u =,()0,=y x v 不满足C-R 条件所以在每一点都不可导01=∂∂≠=∂∂yv x u 例6：()2zz f =解： 其中 ()222y x z z f +==()22,y x y x u +=()0,=y x v 根据C-R 条件可得02,02==y x 0,0==⇒y x 所以该函数在处可导0=z 4解析若在的一个邻域内都可导，此时称在处解析。
()z f 0z ()z f 0z 用C-R 条件必须明确u,v四则运算 ()g f g f '±'='±()()()()()z g g f z g f '⋅'='()f k kf '='()1-='n nnzz☆()g f g f g f '⋅+⋅'='⋅()zze e ='2g g f g f g f '⋅-⋅'=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛例：证明 ()ze zf =()zzee='解：()yie y e e z f xxzsin cos +==则()y e y x u xcos ,=()y e y x v xsin ,=y e yvy e x u x x cos cos =∂∂==∂∂ 任一点处满足C-R 条件y e xvy e y u x x sin sin -=∂∂-=-=∂∂iy x z +=所以处处解析ze ()z x x e y ie y e xvi x u z f =+=∂∂+∂∂='sin cos 练习：求下列函数的导数()zz z f ⋅=2解: ()()()()32233223222y y x i xy x iy xy y ix xiy x yx z z z f +++=+++=++=⋅=所以()23,xy x y x u +=()32,y y x y x v +=223y x x u+=∂∂223y x yv+=∂∂ 根据C-R 方程可得xy yu2=∂∂xy xv2-=∂∂-222233y x y v y x x u +=∂∂=+=∂∂ xy xvxy y u 22-=∂∂-==∂∂0,0==⇒y x 所以当时存在导数且导数为0，其它点不存在导数。
0=z ()z f 初等函数Ⅰ常数Ⅱ指数函数 ()y i y e e x z sin cos +=① 定义域 ② ③ ④2121z z z ze ee +=⋅()z z i z e i e e =+=+πππ2sin 2cos 2()zzee ='Ⅲ对数函数 称满足的叫做的对数函数，记作ωe z =ωz zln =ω分类：类比的求法（经验）n z 目标：寻找 幅角主值ωωϕarg =可用： ωe z =θi re z =ivu +=ω过程： θωθi iv u iv u i e r e e e e rez =⋅====+ivi u e e e r ==⇒θ, πθk v r u 2,ln +==⇒⋅⋅⋅⋅⋅⋅±±=2,1,0k 所以()()ππθωk z i z rgz i r k i r iv u 2arg ln ln 2ln ++=A +=++=+=⋅⋅⋅⋅⋅⋅±±=2,1,0k 例：求的值()1-Ln ()i Ln +1()i Ln ()π=-1arg ()()()()1221arg 1ln 1+=+-+-=-k i k i Ln ππ⋅⋅⋅⋅⋅⋅±±=2,1,0k ()41arg π=+i ()()()⎪⎭⎫⎝⎛++=++++=+πππk i k i i i i Ln 242ln 2121arg 1ln 1⋅⋅⋅⋅⋅⋅±±=2,1,0k ()2arg π=i ()()⎪⎭⎫⎝⎛++=++=πππk i k i i i i Ln 2212arg ln ⋅⋅⋅⋅⋅⋅±±=2,1,0k Ⅳ幂函数 对于任意复数，当时α0≠z Lnze z ααω==例1：求的值ii +1解：()()()()()()⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎭⎫⎝⎛++++++=====+ππππk i k i i i iArg i i Lni i iieeee e ii221221ln 11ln 11⋅⋅⋅⋅⋅⋅±±=2,1,0k 例2：求()()()()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛+-++-+-+===-+ππk i i i i i iee e i i242ln 2131ln 31ln 331Ⅴ三角函数⎩⎨⎧-=+=-yi y e yi y e iyiy sin cos sin cos ⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=--ie e y e e y iy iyiyiy 2sin 2cos 定义：对于任意复数，由关系式可得的余弦函数和正弦函数iy x z +=z2cos iziz e e z -+=ie e z iziz 2sin --=例：求 ()i +1sin ()i +5cos 解：()()()[]i i i i e e i i +-+-=+11211sin ()()()[]i i i i e e i +-++=+55215cos 第三章复变函数的积分1复积分定理3.1设C 是复平面上的逐段光滑曲线在C 上连续，则()()()y x iv y x u z f ,,+=在C 上可积，且有()()()y x iv y x u z f ,,+=()()()()()⎰⎰⎰++-=CCCdxy x v dy y x u i dy y x v dx y x u dz z f ,,,,注：①C 是线 ②方式跟一元一样方法一：思路：复数→实化把函数与微分相乘，可得()iv u z f +=idy dx dz +=()()()()()⎰⎰⎰++-=CCCdxy x v dy y x u i dy y x v dx y x u dz z f ,,,,方法二：参数方程法 ☆核心：把C 参数C ：()t z βα≤≤t ()()()⎰⎰'=Cdtt z t z dz z f βα例： 求①C ：0→的直线段②；⎰Cdz z i +1101−→−C iC+−→−112解：①C ：()it t t z +=10≤≤t ()()()()⎰⎰⎰=+-='+-=11111dt i i t dt it t it t dz z C②()t t z C =:110≤≤t()it t z C +=1:210≤≤t ()⎰⎰⎰⎰⎰+=⎪⎭⎫⎝⎛++=-+=+=1112121121i i dt it tdt dz z dz z dz z C C C★结果不一样2柯西积分定理例：()⎰⎩⎨⎧=-Cnidz a z 021π11≠=n n C ：以a 为圆心，ρ为半径的圆，方向：逆时针解：C ：θρi e a z +=iy x z +=πθ20≤≤()()()()()()()()11011121120120112020≠=⎪⎩⎪⎨⎧=--==⋅==-⎰⎰⎰⎰⎰---n n i n d e i n i d eid ie e dz e dz a z i n i n n Ci ni ni nπθπθππθθθθπθρθρρρ☆积分与路径无关：①单联通 ②处处解析例：求，其中C 是连接O 到点的摆线：()⎰++Cdz z z1822()a π2,0()()⎩⎨⎧-=-=θθθcos 1sin a y a x 解：已知，直线段L 与C 构成一条闭曲线。
