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2020年4月普通高考（山东卷）全真模拟卷（4）数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：高中全部内容。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数z ＝1a ii＋－（a 为实数），若z 为纯虚数，则a 是（ ） A ．－1 B ．1 C ．－2D ．22．若3422a b c ln ===，，则（ ）A ．c b a <<B ．c a b <<C ．a b c <<D ．b a c <<3．已知()0,1A ，()3,5B ，向量a AB =r u u u r ，()sin ,cos b αα=r ，且//a b r r，则tan α=（ ）A ．34B ．34-C ．43D ．43-4．已知02παβ<<<且()41,tan 53sin ααβ=-=-，则tan β=（ ） A ．13B ．913C ．139D ．35．函数在处的切线过点，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．6．如图，某广场要规划一矩形区域ABCD ，并在该区域内设计出三块形状、大小完全相同的小矩形绿化区，这三块绿化区四周均设置有1 m 宽的走道，已知三块绿化区的总面积为200 m 2，则该矩形区域ABCD 占地面积的最小值为( )A ．248 m 2B ．288 m 2C ．328 m 2D ．368 m 27．如图，已知圆锥的底面半径为10r =，点Q 为半圆弧»AB 的中点，点P 为母线SA 的中点．若PQ 与SO 所成角为4π，则此圆锥的全面积与体积分别为（ ）A ．B ．100(1π+C ．D ．100(1π+ 8．汽车维修师傅在安装好汽车轮胎后，需要紧固轮胎的五个螺栓，记为A 、B 、C 、D 、E （在正五边形的顶点上），紧固时需要按一定的顺序固定每一个螺栓，但不能连续固定相邻的两个，则不同固定螺栓顺序的种数为（ ） A ．20 B ．15 C ．10 D ．5二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。
最新高三（下）4月联考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，则（∁U A）∩B=（）A．{2} B．{4，6} C．{l，3，5} D．{4，6，7，8}2．复数=（）A．1+3i B．﹣1﹣3i C．﹣1+3i D．1﹣3i3．下列有关命题的说法正确的是（）A．“f（0）=0”是“函数f（x）是奇函数”的充要条件B．若p：．则￢p：∀x∈R，x2﹣x﹣1＜0C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题D．“若，则”的否命题是“若，则”4．若点（sin，cos）在角α的终边上，则sinα的值为（）A．B． C．D．5．某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号001，002，…，699，700．从中抽取70个样本，如图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第5个样本编号是（）A．607 B．328 C．253 D．0076．若数列{a n}满足﹣=d（n∈N*，d为常数），则称数列{a n}为调和数列．已知数列{}为调和数列，且x1+x2+…+x20=200，则x5+x16=（）A．10 B．20 C．30 D．407．已知函数图象过点，则f（x）图象的一个对称中心是（）A．B．C．D．8．如图，网格纸上正方形小格的边长为1cm，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积为（）A．20πcm3B．16πcm3C．12πcm3D．9．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为（）（参考数据：≈1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305）A．12 B．24 C．36 D．4810．△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，且，且||=||，则向量在方向上的投影为（）A．B．3 C．D．﹣311．过椭圆+=1（a＞b＞0）的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若0＜k＜，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（0，）D．（，1）12．已知函数f（x）=x2+2ax，g（x）=3a2lnx+b，设两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，且在该点处的切线相同，则a∈（0，+∞）时，实数b的最大值是（）A．B． C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知函数f（x）=，则f[f（）]= ．14．已知A，B，C点在球O的球面上，∠BAC=90°，AB=AC=2．球心O到平面ABC的距离为1，则球O的表面积为．15．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=2，若等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，则|PC|的最大值为．16．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，sinA+sinB﹣4sinC=0，且△ABC的周长L=5，面积S=﹣（a2+b2），则cosC= ．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知数列{a n}为等差数列，a2=3，a4=7；数列{b n}为公比为q（q＞1）的等比数列，且满足集合{b1，b2，b3}={1，2，4}．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n+b n}的前n项和S n．18．某数学教师对所任教的两个班级各抽取20名学生进行测试，分数分布如表，若成绩120分以上（含120分）为优秀．分数区间甲班频率乙班频率[0，30）0.1 0.2[30，60）0.2 0.2[60，90）0.3 0.3[90，120）0.2 0.2[120，150] 0.2 0.1优秀不优秀总计甲班乙班总计2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828k00.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 P（K2≥k0）（Ⅰ）求从乙班参加测试的90分以上（含90分）的同学中，随机任取2名同学，恰有1人为优秀的概率；（Ⅱ）根据以上数据完成上面的2×2列联表：在犯错概率小于0.1的前提下，你是否有足够的把握认为学生的数学成绩是否优秀与班级有关？19．如图所示的多面体中，ABCD是菱形，BDEF是矩形，ED⊥面ABCD，．（1）求证：平面BCF∥面AED；（2）若BF=BD=a，求四棱锥A﹣BDEF的体积．20．已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=25，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）过曲线C上的一点作两条直线分别交曲线于A，B两点，已知OA，OB的斜率互为相反数，求直线AB的斜率．21．已知函数f（x）=lnx﹣mx2，g（x）=mx2+x，m∈R，令F（x）=f（x）+g（x）．（Ⅰ）当时，求函数f（x）的单调区间及极值；（Ⅱ）若关于x的不等式F（x）≤mx﹣1恒成立，求整数m的最小值．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，在△ABC中，DC⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE交DC于点F，若BF=FC=3，DF=FE=2．（1）求证：AD•AB=AE•AC；（2）求线段BC的长度．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是2ρsin（θ+）=3，射线OM：θ=与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．[选修4-5：不等式选讲]24．已知f（x）=2|x﹣2|+|x+1|（1）求不等式f（x）＜6的解集；（2）设m，n，p为正实数，且m+n+p=f（2），求证：mn+np+pm≤3．高三（下）4月联考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，则（∁U A）∩B=（）A．{2} B．{4，6} C．{l，3，5} D．{4，6，7，8}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】由全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，知C U A={4，6，7，8}，由此能求出（C u A）∩B．【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，∴C U A={4，6，7，8}，∴（C u A）∩B={4，6}．故选B．2．复数=（）A．1+3i B．﹣1﹣3i C．﹣1+3i D．1﹣3i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数，则答案可求．【解答】解：=，故选：B．3．下列有关命题的说法正确的是（）A．“f（0）=0”是“函数f（x）是奇函数”的充要条件B．若p：．则￢p：∀x∈R，x2﹣x﹣1＜0C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题D．“若，则”的否命题是“若，则”【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】A．f（0）=0推不出函数f（x）是奇函数，例如f（x）=x2；函数f（x）是奇函数，例如f（x）=，则f（0）无意义，即可判断出结论；B．利用非命题的定义即可判断出真假；C．若p∧q为假命题，则p，q至少一个为假命题，即可判断出真假；D．利用否命题的定义即可判断出真假．【解答】解：A．f（0）=0推不出函数f（x）是奇函数，例如f（x）=x2；函数f（x）是奇函数，例如f（x）=，则f（0）无意义，因此．“f（0）=0”是“函数f（x）是奇函数”的既不充分也不必要条件，不正确；B．若p：．则￢p：∀x∈R，x2﹣x﹣1≤0，因此不正确；C．若p∧q为假命题，则p，q至少一个为假命题，因此不正确；D．“若，则”的否命题是“若，则”，正确．故选：D．4．若点（sin，cos）在角α的终边上，则sinα的值为（）A．B． C．D．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义转化求解sinα的值．【解答】解：角α的终边上一点的坐标为（sin，cos）即（，），则由任意角的三角函数的定义，可得sinα=，故选：A．5．某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号001，002，…，699，700．从中抽取70个样本，如图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第5个样本编号是（）A．607 B．328 C．253 D．007【考点】系统抽样方法．【分析】从第5行第6个数2的数开始向右读，依次为253，313，457，860，736，253，007，其中860，736不符合条件故可得结论．【解答】解：从第5行第6个数2的数开始向右读，第一个数为253，符合条件，第二个数为313，符合条件，第三个数为457，符合条件，以下依次为：860，736，253，007，328，其中860，736不符合条件且253与第一个重复了不能取，这样007是第四数，第五个数应为328．故第五个数为328．．故选：B．6．若数列{a n}满足﹣=d（n∈N*，d为常数），则称数列{a n}为调和数列．已知数列{}为调和数列，且x1+x2+…+x20=200，则x5+x16=（）A．10 B．20 C．30 D．40【考点】数列的求和．【分析】由题意知道，本题是构造新等差数列的问题，经过推导可知{x n}是等差数列，运用等差数列的性质可求解答案．【解答】解：由题意知：∵数列{}为调和数列∴﹣=x n+1﹣x n=d∴{x n}是等差数列又∵x1+x2+…+x20=200=∴x1+x20=20又∵x1+x20=x5+x16∴x5+x16=20故选：B．7．已知函数图象过点，则f（x）图象的一个对称中心是（）A．B．C．D．【考点】正弦函数的图象．【分析】由题意可得=2sinφ，结合（|φ|＜）可得φ的值，由五点作图法令2x+=0，可解得：x=﹣，则可求f（x）的图象的一个对称中心．【解答】解：∵函数f（x）=2sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象过点（0，），∴=2sinφ，由（|φ|＜），可得：φ=，∴f（x）=2sin（2x+），∴由五点作图法令2x+=0，可解得：x=﹣，则f（x）的图象的一个对称中心是（﹣，0）．故选：B．8．如图，网格纸上正方形小格的边长为1cm，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积为（）A．20πcm3B．16πcm3C．12πcm3D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图判断几何体的形状，通过三视图的数据求出几何体的体积，再计算原几何体的体积即可．【解答】解：几何体是由两个圆柱组成，一个是底面半径为3高为2，一个是底面半径为2，高为4，组合体体积是：32π•2+22π•4=34π；底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯的体积为：32π×6=54π；所以切削掉部分的体积为54π﹣34π=20πcm3．故选：A．9．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为（）（参考数据：≈1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305）A．12 B．24 C．36 D．48【考点】程序框图．【分析】列出循环过程中S与n的数值，满足判断框的条件即可结束循环．【解答】解：模拟执行程序，可得：n=6，S=3sin60°=，不满足条件S≥3.10，n=12，S=6×sin30°=3，不满足条件S≥3.10，n=24，S=12×sin15°=12×0.2588=3.1056，满足条件S≥3.10，退出循环，输出n的值为24．故选：B．10．△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，且，且||=||，则向量在方向上的投影为（）A．B．3 C．D．﹣3【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意可得，可得四边形OBAC是平行四边形，结合||=||可得四边形OBAC是边长为2的菱形，且∠ABO=∠AC0=60°，可得∠ACB=∠AC0=30°，由投影的定义可得．【解答】解：∵，∴，即，可得四边形OBAC是平行四边形，∵△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，∴||=||=||=2，∴四边形OBAC是边长为2的菱形，且∠ABO=∠AC0=60°，∴∠ACB=∠AC0=30°，∴向量在方向上的投影为：cos∠ACB=2cos30°=．故选：A11．过椭圆+=1（a＞b＞0）的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若0＜k＜，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（0，）D．（，1）【考点】椭圆的简单性质．【分析】作出图形，则易知|AF2|=a+c，|BF2|=，再由∠BAF2是直线的倾斜角，易得k=tan∠BAF2，然后通过0＜k＜，分子分母同除a2得0＜＜求解．【解答】解：如图所示：|AF2|=a+c，|BF2|=，∴k=tan∠BAF2=，又∵0＜k＜，∴0＜＜，∴0＜＜，∴＜e＜1．故选：D．12．已知函数f（x）=x2+2ax，g（x）=3a2lnx+b，设两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，且在该点处的切线相同，则a∈（0，+∞）时，实数b的最大值是（）A．B． C．D．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】分别求出函数f（x）的导数，函数g（x）的导数．由于两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，设为P（x0，y0），则有f（x0）=g（x0），且f′（x0）=g′（x0），解出x0=a，得到b关于a的函数，构造函数，运用导数求出单调区间和极值、最值，即可得到b的最大值．【解答】解：函数f（x）的导数为f'（x）=x+2a，函数g（x）的导数为，由于两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，设为P（x0，y0），则，由于x0＞0，a＞0则x0=a，因此构造函数，由h'（t）=2t（1﹣3lnt），当时，h'（t）＞0即h（t）单调递增；当时，h'（t）＜0即h（t）单调递减，则即为实数b的最大值．故选D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知函数f（x）=，则f[f（）]= ．【考点】函数的值．【分析】根据分段函数的表达式，直接代入进行求解即可．【解答】解：由分段函数可知，f（）=log，f（﹣1）=，故答案为：．14．已知A，B，C点在球O的球面上，∠BAC=90°，AB=AC=2．球心O到平面ABC的距离为1，则球O的表面积为12π．【考点】球的体积和表面积．【分析】由∠BAC=90°，AB=AC=2，得到BC，即为A、B、C三点所在圆的直径，取BC的中点M，连接OM，则OM即为球心到平面ABC的距离，在Rt△OMB中，OM=1，MB=，则OA可求，再由球的表面积公式即可得到．【解答】解：如图所示：取BC的中点M，则球面上A、B、C三点所在的圆即为⊙M，连接OM，则OM即为球心到平面ABC的距离，在Rt△OMB中，OM=1，MB=，∴OA==，即球的半径R为，∴球O的表面积为S=4πR2=12π．故答案为：12π．15．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=2，若等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，则|PC|的最大值为2．【考点】圆的标准方程．【分析】得到圆心坐标和半径．等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，可得|PC|的最大值为直径，即可得出结论．【解答】解：由圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=2，∴圆心坐标C（1，2），半径r=．∵等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，∴|PC|的最大值为直径2．故答案为：2．16．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，sinA+sinB﹣4sinC=0，且△ABC的周长L=5，面积S=﹣（a2+b2），则cosC= ．【考点】余弦定理．【分析】利用正弦定理化简已知的第一个等式，得到a+b=4c，代入第二个等式中计算，即可求出c的长，利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积S，代入已知的等式中，利用完全平方公式变形后，将a+b=4代入化简，即可求出cosC的值．【解答】解：△ABC中，∵sinA+sinB﹣4sinC=0，∴a+b=4c，∵△ABC的周长L=5，∴a+b+c=5，∴c=1，a+b=4．∵面积S=﹣（a2+b2），∴absinC=﹣（a2+b2）=﹣[（a+b）2﹣2ab]=ab，∴sinC=，∵c＜a+b，C是锐角，∴cosC==．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知数列{a n}为等差数列，a2=3，a4=7；数列{b n}为公比为q（q＞1）的等比数列，且满足集合{b1，b2，b3}={1，2，4}．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n+b n}的前n项和S n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）通过联立a2=3、a4=7计算可知等差数列{a n}的首项和公差，从而可得其通项公式；通过等比数列{b n}成公比大于1的等比数列可确定b1=1、b2=2、b3=4，进而可求出首项和公比，从而可得通项公式；（Ⅱ）通过（I），利用分组求和法计算即得结论．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列的首项和公差分别为a1、d，∵a2=3，a4=7，∴a1+d=3，a1+3d=7，解得：a1=1，d=2，∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，∵等比数列{b n}成公比大于1的等比数列且{b1，b2，b3}={1，2，4}，∴b1=1，b2=2，b3=4，∴b1=1，q=2，∴b n=2n﹣1；（Ⅱ）由（I）可知S n=（a1+a2+…+a n）+（b1+b2+…+b n）=+=n2+2n﹣1．18．某数学教师对所任教的两个班级各抽取20名学生进行测试，分数分布如表，若成绩120分以上（含120分）为优秀．分数区间甲班频率乙班频率[0，30）0.1 0.2[30，60）0.2 0.2[60，90）0.3 0.3[90，120）0.2 0.2[120，150] 0.2 0.1优秀不优秀总计甲班乙班总计2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828k00.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 P（K2≥k0）（Ⅰ）求从乙班参加测试的90分以上（含90分）的同学中，随机任取2名同学，恰有1人为优秀的概率；（Ⅱ）根据以上数据完成上面的2×2列联表：在犯错概率小于0.1的前提下，你是否有足够的把握认为学生的数学成绩是否优秀与班级有关？【考点】独立性检验；古典概型及其概率计算公式．【分析】（Ⅰ）由图表得到乙班参加测试的90分以上的同学有6人，记为A、B、C、D、E、F．成绩优秀的记为A、B．然后利用枚举法得到从这六名学生随机抽取两名的基本事件个数，进一步得到恰有一位学生成绩优秀的事件个数，由古典概型概率计算公式得答案；（Ⅱ）直接由公式求出K的值，结合图表得答案．【解答】解：（Ⅰ）乙班参加测试的90分以上的同学有6人，记为A、B、C、D、E、F．成绩优秀的记为A、B．从这六名学生随机抽取两名的基本事件有：{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{D，E}，{D，F}，{E，F}共15个，设事件G表示恰有一位学生成绩优秀，符合要求的事件有：{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}共8个，∴；（Ⅱ）优秀不优秀总计甲班 4 16 20乙班 2 18 20总计 6 34 40．在犯错概率小于0.1的前提下，没有足够的把握说明学生的数学成绩是否优秀与班级有关系．19．如图所示的多面体中，ABCD是菱形，BDEF是矩形，ED⊥面ABCD，．（1）求证：平面BCF∥面AED；（2）若BF=BD=a，求四棱锥A﹣BDEF的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面平行的性质．【分析】（1）证明FB∥平面AED，BC∥平面AED，利用面面平行的判定定理可得结论；（2）连接AC，AC∩BD=O，证明AO⊥面BDEF，即可求出四棱锥A﹣BDEF的体积．【解答】（1）证明：∵ABCD是菱形，∴BC∥AD，∵BC⊄面ADE，AD⊂面ADE，∴BC∥面ADE…∵BDEF是矩形，∴BF∥DE，∵BF⊄面ADE，DE⊂面ADE，∴BF∥面ADE，∵BC⊂面BCF，BF⊂面BCF，BC∩BF=B，∴面BCF∥面ADE…（2）解：连接AC，AC∩BD=O∵ABCD是菱形，∴AC⊥BD∵ED⊥面ABCD，AC⊂面ABCD，∴ED⊥AC，∵ED，BD⊂面BDEF，ED∩BD=D，∴AO⊥面BDEF，…∴AO为四棱锥A﹣BDEF的高由ABCD是菱形，，则△ABD为等边三角形，由BF=BD=a，则，∵，∴…20．已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=25，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）过曲线C上的一点作两条直线分别交曲线于A，B两点，已知OA，OB的斜率互为相反数，求直线AB的斜率．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）设圆P的半径为r，由题意得|PM|+|PN|=（1+r）+（5﹣r）=6，从而曲线C是以（﹣1，0），（1，0）为焦点，长轴长为6的椭圆，由此能求出曲线C的方程．（Ⅱ）设直线QA、QB的斜率分别为k，﹣k，则A（1+λ，），B（1+μ，），由此能求出直线AB的斜率．【解答】解：（Ⅰ）∵圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=25，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C，设圆P的半径为r，由题意得|PM|+|PN|=（1+r）+（5﹣r）=6，∴曲线C是以（﹣1，0），（1，0）为焦点，长轴长为6的椭圆，∴曲线C的方程为．（Ⅱ）设直线QA、QB的斜率分别为k，﹣k，则直线QA、QB的一个方向向量为（1，k），（1，﹣k），则=λ（1，k），=μ（1，﹣k），∴A（1+λ，），B（1+μ，），代入=1，并整理，得，两式相减，得：λ﹣μ=﹣，两式相加，得：λ+μ=﹣，∴直线AB的斜率k AB==．21．已知函数f（x）=lnx﹣mx2，g（x）=mx2+x，m∈R，令F（x）=f（x）+g（x）．（Ⅰ）当时，求函数f（x）的单调区间及极值；（Ⅱ）若关于x的不等式F（x）≤mx﹣1恒成立，求整数m的最小值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（Ⅱ）法一：令，求出函数的导数，通过讨论m的范围求出函数的单调区间，从而求出m的最小值即可；法二：分离参数，得到恒成立，令，根据函数的单调性求出函数h（x）的最大值，从而求出m的最小值即可．【解答】解：（Ⅰ），所以．…令f′（x）=0得x=1；…由f′（x）＞0得0＜x＜1，所以f（x）的单调递增区间为（0，1）．由f′（x）＜0得x＞1，所以f（x）的单调递增区间为（1，+∞）．…所以函数，无极小值…（Ⅱ）法一：令．所以．…当m≤0时，因为x＞0，所以G′（x）＞0所以G（x）在（0，+∞）上是递增函数，又因为．所以关于x的不等式G（x）≤mx﹣1不能恒成立．…当m＞0时，．令G′（x）=0得，所以当时，G′（x）＞0；当时，G′（x）＜0．因此函数G（x）在是增函数，在是减函数．…故函数G（x）的最大值为．令，因为．又因为h（m）在m∈（0，+∞）上是减函数，所以当m≥2时，h（m）＜0．所以整数m的最小值为2．…法二：由F（x）≤mx﹣1恒成立知恒成立…令，则…令φ（x）=2lnx+x，因为，φ（1）=1＞0，则φ（x）为增函数故存在，使φ（x0）=0，即2lnx0+x0=0…当时，h′（x）＞0，h（x）为增函数当x0＜x时，h′（x）＜0，h（x）为减函数…所以，而，所以所以整数m的最小值为2．…请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，在△ABC中，DC⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE交DC于点F，若BF=FC=3，DF=FE=2．（1）求证：AD•AB=AE•AC；（2）求线段BC的长度．【考点】与圆有关的比例线段；圆內接多边形的性质与判定．【分析】（1）推导出B，C，D，E四点在以BC为直径的圆上，由割线定理能证明AD•AB=AE •AC．（2）过点F作FG⊥BC于点G，推导出B，G，F，D四点共圆，F，G，C，E四点共圆，由此利用割线定理能求出BC的长．【解答】证明：（1）由已知∠BDC=∠BEC=90°，所以B，C，D，E四点在以BC为直径的圆上，由割线定理知：AD•AB=AE•AC．…解：（2）如图，过点F作FG⊥BC于点G，由已知，∠BDC=90°，又因为FG⊥BC，所以B，G，F，D四点共圆，所以由割线定理知：CG•CB=CF•CD，①…同理，F，G，C，E四点共圆，由割线定理知：BF•BE=BG•BC，②…①+②得：CG•CB+BG•BC=CF•CD+BF•BE，即BC2=CF•CD+BF•BE=3×5+3×5=30，…所以BC=．…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是2ρsin（θ+）=3，射线OM：θ=与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．【考点】简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化．【分析】解：（I）利用cos2φ+sin2φ=1，即可把圆C的参数方程化为直角坐标方程．（II）设（ρ1，θ1）为点P的极坐标，由，联立即可解得．设（ρ2，θ2）为点Q的极坐标，同理可解得．利用|PQ|=|ρ1﹣ρ2|即可得出．【解答】解：（I）利用cos2φ+sin2φ=1，把圆C的参数方程为参数）化为（x﹣1）2+y2=1，∴ρ2﹣2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．（II）设（ρ1，θ1）为点P的极坐标，由，解得．设（ρ2，θ2）为点Q的极坐标，由，解得．∵θ1=θ2，∴|PQ|=|ρ1﹣ρ2|=2．∴|PQ|=2．[选修4-5：不等式选讲]24．已知f（x）=2|x﹣2|+|x+1|（1）求不等式f（x）＜6的解集；（2）设m，n，p为正实数，且m+n+p=f（2），求证：mn+np+pm≤3．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）利用零点分段法去掉绝对值符号，转化为不等式组，解出x的范围；（2）由基本不等式，可以解得m2+n2+p2≥mn+mp+np，将条件平方可得（m+n+p）2=m2+n2+p2+2mn+2mp+2np=9，代入m2+n2+p2≥mn+mp+np，即可证得要求证得式子．【解答】（1）解：①x≥2时，f（x）=2x﹣4+x+1=3x﹣3，由f（x）＜6，∴3x﹣3＜6，∴x＜3，即2≤x＜3，②﹣1＜x＜2时，f（x）=4﹣2x+x+1=5﹣x，由f（x）＜6，∴5﹣x＜6，∴x＞﹣1，即﹣1＜x ＜2，③x≤﹣1时，f（x）=4﹣2x﹣1﹣x=3﹣3x，由f（x）＜6，∴3﹣3x＜6，∴x＞﹣1，可知无解，综上，不等式f（x）＜6的解集为（﹣1，3）；（2）证明：∵f（x）=2|x﹣2|+|x+1|，∴f（2）=3，∴m+n+p=f（2）=3，且m，n，p为正实数∴（m+n+p）2=m2+n2+p2+2mn+2mp+2np=9，∵m2+n2≥2mn，m2+p2≥2mp，n2+p2≥2np，∴m2+n2+p2≥mn+mp+np，∴（m+n+p）2=m2+n2+p2+2mn+2mp+2np=9≥3（mn+mp+np）又m，n，p为正实数，∴可以解得mn+np+pm≤3．故证毕．2016年10月19日。
山东省2020年普通高中学业水平等级考试4月（模拟）数学试题一、 单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|2},A x x B =∈<=Z {x|2x >1} ,则A∩B= A. {1}B. {1,2}C. {0,1}D.{-1,0,1}2.已知复数12,z z 在复平面内对应的点分别为(1,-1),(0,1),则12zz 的共轭复数为 A.1+iB.-1+iC.-1-iD.1-i3.若a ∈R ,则"|a|>1"是“31a >” A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知向量a ,b ,c ,其中a 与b 是相反向量,且a +c =b ,a -c =(3,-3),则a ·b =.2A.2B -C.2D. -25.已知0.55ln ,log 2,x y z e π-===，则 A. x>y>zB.x>z>yC.z>y>xD.z>x>y6.已知函数21()21,[1,42f x x x x =-+∈],当x=a 时f(x)取得最大值b,则函数||()x b g x a +=的大致图象为7. （九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中《商功》有如下问题：“今有委粟平地，下周一十二丈，高一丈，问积及为粟几何?" ,意思是"有粟若干，堆积在平地上,它底圆周长为12丈,高为1丈,问它的体积和粟各为多少?”如图主人意欲卖掉该堆粟已知圆周率约为3,-斛粟的体积约为2700立方寸(单位换算:1立方丈610=立方寸),一斛粟米卖270钱,一两银子1000钱，则主人卖后可得银子A.200两B.240两C.360两D.400两8. 点M 为抛物线214y x =上任意一点,点N 为圆223204x y y +-+=上任意一点,若函数f(x)log (2)2(1)a x a =++>的图象恒过定点P,则|MP|+|MN|的最小值为5.2A11.4B C.313.4D 二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分,有选错的得0分。
山东省16市2020届高三第一次模拟（4月）考试数学试题分类汇编数列一、单项选择题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.（2020·聊城·一模）6.数列1，6，15，28，45，...中的每一项都可用如图所示的六边形表示出来，故称它们为六边形数，那么第10个六边形数为（）A. 153B. 190C. 231D. 276【答案】B【分析】细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时联系相关知识,如等差数列、等比数列等，结合图形可知，a1=1=1×1，a2=6=2×3，a3=15=3×5，a4= 28=4×7,a5=45=5×9，⋅⋅⋅，a n=n(2n−1)，据此即可求解.【解析】由题意知，数列{a n}的各项为1，6，15，28，45，...所以a1=1=1×1，a2=6=2×3，a3=15=3×5，a4=28=4×7,a5=45=5×9，⋅⋅⋅，a n=n(2n−1)，所以a10=10×19=190.故选：B【名师点睛】本题考查合情推理中的归纳推理；考查逻辑推理能力；观察分析、寻求规律是求解本题的关键；属于中档题、探索型试题.2.（2020·德州·一模）3.设命题p:任意常数数列都是等比数列.则¬p是（）A. 所有常数数列都不是等比数列B. 有的常数数列不是等比数列C. 有的等比数列不是常数数列D. 不是常数数列的数列不是等比数列【答案】B【分析】直接根据命题的否定的定义得到答案.【解析】全称命题的否定是特称命题，命题：任意常数数列都是等比数列，则¬p：有的常数数列不是等比数列.故选：B.【名师点睛】本题考查了命题的否定，意在考查学生的推断能力.3.（2020·日照·一模）8. 如图，在直角坐标系xOy中，一个质点从A(a1,a2)出发沿图中路线依次经过B(a3,a4)，C(a5,a6)，D(a7,a8)，⋯，按此规律一直运动下去，则a2017+a2018+a2019+a2020=（）A. 2017B. 2018C. 2019D. 2020【答案】C【分析】由已知点坐标，得出{a n}的前8项，归纳出数列{a n}项的规律，即可求解.【解析】由直角坐标系可知，A(1,1)，B(−1,2)，C(2,3)，D(−2,4)，E(3,5)，F(−3,6)，即a1=1，a2=1，a3=−1，a4=2，a5=2，63a ，a7=−2，a8=4，…，由此可知，数列中偶数项是从1开始逐渐递增的，且都等于其项数除以2，每四个数中有一个负数，且为每组的第三个数，每组的第一个数为其组数，每组的第一个数和第三个数是互为相反数，因为2020÷4=505，则a2019=−505，所以a2017=505，a2018=1009，a2020=1010，a2017+a2018+a2019+a2020=2019.故选：C．【名师点睛】本题考查归纳推理问题，关键是找到规律，属于基础题.4.（2020·烟台·一模）4．数列{F n}：F1＝F2＝1，F n＝F n﹣1+F n﹣2（n＞2），最初记载于意大利数学家斐波那契在1202年所著的《算盘全书》，若将数列{F n}的每一项除以2所得的余数按原来项的顺序构成新的数列{a n}，则数列{a n}的前50项和为（）A．33 B．34 C．49 D．50【分析】将数列{F n}的每一项除以2所得的余数按原来项的顺序构成新的数列{a n}：1，1，0，1，1，0，1，1，0，……，根据其周期性即可得出．【解析】将数列{F n}的每一项除以2所得的余数按原来项的顺序构成新的数列{a n}，1，1，0，1，1，0，1，1，0，……，则数列{a n}的前50项和＝（1+1+0）×16+1+1＝34．故选：B．【名师点睛】本题考查了斐波那契数列的通项公式及其性质、等差数列的通项公式、求和公式、周期性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．二、多项选择题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求｡全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分｡5.（2020·威海·一模）10.等差数列{a n}的前n项和记为S n，若a1>0，S10=S20，则（）A. d<0B. a16<0C. S n≤S15D. 当且仅当S n<0时n≥32【答案】ABC【分析】根据等差数列的性质及S10=S20可分析出结果.【解析】因为等差数列中S10=S20，所以a11+a12+⋯+a19+a20=5(a15+a16)=0，又a1>0，所以a15>0,a16<0，所以d<0，S n≤S15，故ABC正确；=31a16<0，故D错误,因为S31=31(a1+a31)2故选：ABC【名师点睛】本题主要考查了等差数列的性质，等差数列的求和公式，属于中档题.6.（2020·青岛·一模）11. 已知数列{a n}的前n项和为S，a1=1，S n+1=S n+2a n+}的前n项和为T n，n∈N∗，则下列选项正确的为（）1，数列{2na n⋅a n+1A. 数列{a n+1}是等差数列B. 数列{a n+1}是等比数列C. 数列{a n }的通项公式为a n =2n −1D. 1n T <【答案】BCD【分析】由数列的递推式可得1121n n n n a S S a ++=-=+，两边加1后，运用等比数列的定义和通项公式可得a n ，1112211(21)(21)2121n n n n n n n n a a +++==-----，由数列的裂项相消求和可得T n ．【解析】由S n+1=S n +2a n +1即为1121n n n n a S S a ++=-=+，可化为a n+1+1=2(a n +1)，由S 1=a 1=1，可得数列{a n +1}是首项为2，公比为2的等比数列，则a n +1=2n ，即a n =2n −1，又1112211(21)(21)2121n n n n n n n n a a +++==-----，可得22311111111111212*********n n n n T ++=-+-+⋯+-=-<------， 故A 错误，B ，C ，D 正确． 故选：BCD ．【名师点睛】本题考查数列的递推式和等比数列的定义、通项公式，以及数列的裂项相消法求和，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．三、填空题：7. （2020·潍坊·一模）16.定义函数f(x)=[x[x]]，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，例如：[1.3]=1，[−1.5]=−2，[2]=2.当[)0,x n ∈(n ∈N ∗)时，f(x)的值域为A n .记集合A n 中元素的个数为a n ，则∑1a i−12020i=2的值为________.【答案】20191010【分析】先由题意求出[]x ，再求x [x ]，接着求出[x [x ]]，即可得到a n 的通项公式，表示出11n a -，用裂项相消法求出∑1a i −12020i=2即可. 【解析】∵[]x 表示不超过x 的最大整数，∴当[)0,x n ∈(n ∈N ∗)时，[x ]={0,x ∈0,1)1,x ∈1,2)⋯n −1,x ∈n −1,n )，∴x [x ]={0,x ∈0,1)x,x ∈1,2)⋯(n −1)x,x ∈n −1,n )，∴[x [x ]]在各区间内的元素个数为1，1，2，3，⋯，n −1，∴a n =1+1+2+3+⋯+(n −1)=1+(1+n−1)(n−1)2=1+n (n−1)2，∴1a n−1=2n (n−1)=2(1n−1−1n )， ∴∑1a i−12020i=2=2∑(1i−1−1i )2020i=2=2(1−12020)=20191010. 故答案为：20191010.【名师点睛】本题考查了函数的值域以及裂项相消法在数列求和中的应用，其中正确理解函数f(x)=[x[x]]所表示的意义是解答本题的关键，属于较难题.8. （2020·东营一中·一模）14.已知数列{a n }的前n 项和公式为S n =2n 2−n +1，则数列{a n }的通项公式为___． 【答案】a n ={2,n =14n −3,n ≥2【分析】由题意，根据数列的通项a n 与前n 项和S n 之间的关系，即可求得数列的通项公式．【解析】由题意，可知当n =1时，a 1=S 1=2；当n ≥2时，a n =S n −S n−1=2n 2−n −2(n −1)2+n −1=4n −3. 又因为a 1=1不满足a n =4n −3，所以a n ={2,n =14n −3,n ≥2.【名师点睛】本题主要考查了利用数列的通项a n 与前n 项和S n 之间的关系求解数列的通项公式，其中解答中熟记数列的通项a n 与前n 项和S n 之间的关系，合理准确推导是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9. （2020·淄博·一模）17．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n +1＝4a n +3n ﹣1，b n ＝a n +n ． （1）证明：数列{b n }为等比数列；（2）求数列{a n }的前n 项和．【分析】 （1）直接利用数列的递推关系式和等比数列的定义的应用求出结果． （2）利用（1）的结论，进一步利用分组法求出数列的和．【答案】证明：（1）数列{a n }满足a 1＝1，a n +1＝4a n +3n ﹣1，b n ＝a n +n ． 所以b n +1＝a n +1+n +1＝4a n +3n ﹣1+n ﹣1＝4（a n +n ）， 故数列b n+1b n=4(a n +n)a n +n=4（常数），所以数列{b n }是以b 1＝a 1+1＝2为首项，4为公比的等比数列． 解：（2）由于数列{b n }是以b 1＝a 1+1＝2为首项，4为公比的等比数列， 所以b n =a n +n =b 1⋅4n−1=22n−1． 所以a n =22n−1−n ，故T n ＝a 1+a 2+…+a n ＝（21+23+…+22n ﹣1）﹣（1+2+…+n ）=2(4n −1)4−1−n(n+1)2=22n+1−23−n(n+1)2． 【名师点睛】本题考查的知识要点：数列的递推关系式的应用，数列的通项公式的求法及应用，分组法在求和中的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．10. （2020·枣庄·一模）17.在①S 4是a 2与a 21的等差中项；②a 7是S33与a 22的等比中项；③数列{a 2n }的前5项和为65这三个条件中任选一个，补充在横线中，并解答下面的问题．已知{a n }是公差为2的等差数列，其前n 项和为S n ，________________________． （1）求a n ；（2）设b n =(34)n⋅a n ，是否存在*k N ，使得b k >278？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）不论选哪个条件，a n =2n +1（2）不存在，见解析【分析】（1）如果是①或者②，用a 1和d 表示出已知数列的项和前n 项和，求出a 1，可得通项公式，如果是③，先说明数列{a 2n }是公差为4的等差数列，首期为a 1+2，由等差数列前n 项和公式可求得a 1，同样得通项公式； （2）用作差法求出{b n }中的最大项b 3，而b 3<278，得结论不存在项>278．【解析】（1）解：若选①S 4是a 2与a 21的等差中项，则2S 4=a 2+a 21，即2(4a 1+4×32×2)=(a 1+2)+(a 1+20×2)．解得a 1=3．所以a n =3+2(n −1)=2n +1．若选②a 7是S33与a 22的等比中项，则a 72=S 33⋅a 22，即(a 1+6×2)2=(a 1+3−12×2)(a 1+21×2)．解得a 1=3．所以a n =3+2(n −1)=2n +1． 若选③数列{a 2n }的前5项和为65， 则a 2(n+1)−a 2n =[2(n +1)−2n]⋅2=4．又a 2=a 1+2，所以{a 2n }是首项为a 1+2，公差为4的等差数列． 由{a 2n }的前5项和为65，得5(a 1+2)+5×42×4=65．解得a 1=3．所以a n =3+2(n −1)=2n +1． （2）b n =(34)n⋅a n =(2n +1)⋅(34)n．b n+1−b n =(2n +3)⋅(34)n+1−(2n +1)⋅(34)n=3n4n+1[3(2n +3)−4(2n +1)]=3n4n+1(5−2n)．所以b n+1>b n ⇔b n+1−b n >0⇔5−2n >0⇔n <2.5⇔n =1,2；b n+1<b n ⇔b n+1−b n <0⇔5−2n <0⇔n >2.5⇔n =3,4,5,⋯所以b 1<b 2<b 3>b 4>b 5>b 6>⋯．所以{b n }中的最大项为b 3=(2×3+1)⋅(34)3=7×2764． 显然b 3=7×2764<8×2764=278．所以∀n ∈N ∗,b n <278．所以不存在*k N ，使得b k >278．【名师点睛】本题考查等差数列的通项公式与前n 项和公式，解题关键是根据已知条件求出数列的首项a 1．对于本题存在性命题，转化为求数列的最大项问题，而求数列的最大项方法可以解不等式组{a n ≥an−1a n ≥a n+1，满足此不等式组的n ，使得a n 最大，如果是正项数列，还可能用作商法，即由a n a n−1≥1且ana n+1≥1得最大项的项数．11. （2020·潍坊·一模）18.在①b 2n =2b n +1，②a 2=b 1+b 2，③b 1，2b ，b 4成等比数列这三个条件中选择符合题意的两个条件，补充在下面的问题中，并求解.已知数列{a n }中a 1=1，a n+1=3a n 公差不等于0的等差数列{b n }满足_________，求数列{bn an}的前n 项和S n . 【答案】详见解析【分析】根据已知求出{a n }的通项公式.当①②时，设数列{b n }公差为d ，利用赋值法得到b 1与2b 的关系式，列方程求出b 1与2b ，求出d ，写出{b n }的通项公式，可得数列{bna n}的通项公式，利用错位相减法求和即可；选②③时，设数列{b n }公差为d ，根据题意得到d 与b 1的关系式，解出d 与b 1，写出{b n }的通项公式，可得数列{bna n}的通项公式，利用错位相减法求和即可；选①③时，设数列{b n }公差为d ，根据题意得到d 与b 1的关系式，发现无解，则等差数列{b n }不存在，故不合题意.【解析】因为a 1=1，a n+1=3a n ，所以{a n }是以1为首项，3为公比的等比数列， 所以a n =3n−1， 选①②时，设数列{b n }公差为d ，因为a 2=3，所以b 1+b 2=3，因为b 2n =2b n +1，所以n =1时，b 2=2b 1+1， 解得b 1=23，b 2=73，所以d =53， 所以b n =5n−33.所以bna n=5n−33n .S n =b1a 1+b2a 2+⋯+bn a n=231+732+1233+⋯+5n−33n（i ）所以13S n =232+733+1234+⋯+5n−83n +5n−33n+1（ii ）（i ）−（ii ），得：23S n =23+5(132+133+⋯+13n )−5n−33n+1=23+56−152⋅3n+1−5n −33n+1=32−10n +92⋅3n+1所以S n=94−10n+94⋅3n.选②③时，设数列{b n}公差为d，因为a2=3，所以b1+b2=3，即2b1+d=3，因为b1，2b，b4成等比数列，所以b22=b1b4，即(b1+d)2=b1(b1+3d)，化简得d2=b1d，因为0d≠，所以b1=d，从而d=b1=1，所以b n=n，所以b na n =n3n−1，S n=b1a1+b2a2+⋯+b na n=130+231+332+⋯+n3n−1（i）所以13S n=131+232+333+⋯+n−13n−1+n3n（ii）（i）−（ii），得：23S n=1+131+132+133+⋯+13n−1−n3n=32(1−13n)−n3n=32−2n+32⋅3n，所以S n=94−2n+34⋅3n−1.选①③时，设数列{b n}公差为d，因为b2n=2b n+1，所以n=1时，b2=2b1+1，所以d=b1+1.又因为b1，2b，b4成等比数列，所以b22=b1b4，即(b1+d)2=b1(b1+3d)，化简得d2=b1d，因为0d≠，所以b1=d，从而无解，所以等差数列{b n}不存在，故不合题意.【名师点睛】本题考查了等差（比）数列的通项公式，考查了错位相减法在数列求和中的应用，考查了转化能力与方程思想，属于中档题.12. （2020·威海·一模）18.记数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1=1，S n+1=4a n +1．设b n =a n+1−2a n ． （Ⅰ）证明：数列{b n }为等比数列；（Ⅰ）设c n =|b n −100|，T n 为数列{c n }的前n 项和，求T 10． 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅰ）1994【分析】（Ⅰ）根据S n 与a n 的关系，得a n+1−2a n =2(a n −2a n−1)，即可证明；（Ⅰ）由（Ⅰ）可得b n =2⋅2n−1=2n ，c n =|2n −100|去绝对值号可化为分段函数，根据等比数列求和公式求解即可.【解析】（Ⅰ）由S n+1=4a n +1得S n =4a n−1+1(n ≥2,n ∈N) 两式相减得a n+1=4a n −4a n−1(n ≥2)，∴a n+1−2a n =2(a n −2a n−1)b n b n−1=an+1−2a na n−2an−1=2(a n −2a n−1)a n −2a n−1=2(n ≥2)，又由S 2=a 1+a 2=4a 1+1， ∴a 2=4， ∴b 1=2，∴数列{b n }是以2为首项以2为公比的等比数列． （Ⅱ）由（Ⅰ）可得b n =2⋅2n−1=2n ，c n =|2n−100|={100−2n ,n ≤62n−100,n >6∴T 10=600−(21+22+⋯+26)+27+28+29+210−400=200−2(1−26)1−2+27+28+29+210=200+2+28+29+210=1994【名师点睛】本题主要考查了S n 与a n 的关系，等比数列的证明，等比数列求和公式、通项公式，属于中档题.13. （2020·泰安·一模）17.在①53A B =，②122114a a B -=，③535B =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.已知等差数列{a n }的公差为d(d >0)，等差数列{b n }的公差为2d .设A n ,B n 分别是数列{a n },{b n }的前n 项和，且123,3b A ==， ， （1）求数列{a n },{b n }的通项公式；（2）设132na n n n cb b +=+，求数列{c n }的前n 项和S n . 【答案】（1）,21n n a n b n ==+；（2）2n+1−3(n+2)2n+3【分析】方案一：（1）根据等差数列的通项公式及前n 项和公式列方程组，求出a 1和d ，从而写出数列{a n },{b n }的通项公式；（2）由第（1）题的结论，写出数列{c n }的通项c n =2n +32(12n+1−12n+3)，采用分组求和、等比求和公式以及裂项相消法，求出数列{c n }的前n 项和S n . 其余两个方案与方案一的解法相近似. 【解析】方案一：（1）∵数列{a n }，{b n }都是等差数列，且2533,A A B ==， ∴{2a 1+d =35a 1+10d =9+6d ，解得{a 1=1d =1 ∴a n =a 1+(n −1)d =n ，b n =b 1+(n −1)2d =2n +1综上,21n n a n b n ==+ （2）由（1）得：331122(21)(23)22123n n n c n n n n ⎛⎫=+=+- ⎪++++⎝⎭∴S n =(2+22+⋯+2n )+32[(13−15)+(15−17)+⋯+(12n+1−12n+3)]()212311122323n n -⎛⎫=+-⎪-+⎝⎭=2n+1−3(n +2)2n +3方案二：（1）∵数列{a n }，{b n }都是等差数列，且21221143,A a a B =-=， ∴{2a 1+d =34a 1(a 1+d )=d(6+2d)解得{a 1=1d =1 ∴a n =a 1+(n −1)d =n ， b n =b 1+(n −1)2d =2n +1.综上，,21n n a n b n ==+ （2）同方案一 方案三：（1）∵数列{a n }，{b n }都是等差数列，且A 2=3,B 5=35. ∴{2a 1+d =33×5+5×42×2d =35，解得{a 1=1d =1，(1)n t a a n d n ∴=+-=，b n =b 1+(n −1)2d =2n +1. 综上，121n n a n b n ==+ （2）同方案一【名师点睛】本题考查了等差数列的通项公式、前n 项和公式的应用，考查了分组求和、等比求和及裂项相消法求数列的前n 项和，属于中档题.14. （2020·青岛·一模）17. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }的前n 项和为T n ．已知a 1b 1=2，26S =，S 3=12，T 2=43，n ∈N ∗． （1）求{a n }，{b n }的通项公式；（2）是否存在正整数k ，使得S k <6k 且T k >139？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）a n =2n ；b n =(13)n−1；（2）存在k =4满足题意．【分析】（1）设等差数列{a n }的公差为d ，在等差数列{a n }中，由已知求解公差d ，进一步求得首项，可得等差数列的通项公式；由a 1b 1=2求得b 1，结合已知求得2b ，可得等比数列的公比，则等比数列的通项公式可求； （2）由（1）知，1()(1)2k k k a a S k k +==+，由S k <6k 解得k 范围，再由T k =32−12×3k−1>139，解得k 范围，即可判断出结论．【解析】（1）设数列{a n }的为d ，在数列{a n }中，S 3−S 2=a 3=6 又因为S 2=a 1+a 2=a 3−2d +a 3−d =12−3d =6，所以d =2 从而a 1=a 3−2d =2，所以a n =2+(n −1)×2=2n 由a 1b 1=2得：b 1=T 1=1因为b 2=T 2−T 1=43−1=13，设数列{b n }的公比为q所以q =b 2b 1=13，所以b n =1×(13)n−1=(13)n−1（2）由（1）知：S k =k (a 1+a k )2=k(k +1)所以S k =k(k +1)<6k ，整理得k 2−5k <0，解得0<k <5 又因为T k =1×(1−13k )1−13=32(1−13k )=32−12×3k−1所以T k =32−12×3k−1>139，即13k−1<19，解得k >3 所以k =4【名师点睛】本题考查等差数列与等比数列的通项公式及前n 项和、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15. （2020·临沂·一模）17.记S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a n <0，a n 2−2a n =3−4S n ．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若a n b n =1，求满足b 1b 2+b 2b 3+⋯+b n b n+1<17的正整数n 的最大值． 【答案】（1）a n =−2n −1；（2）8．【分析】（1）根据公式1n n n a S S -=-得到a n −a n−1=−2得到通项公式. （2）b n =−12n+1，故b 1b 2+b 2b 3+⋯+b n b n+1=12(13−12n+3)，解得答案.【解析】（1）当n =1，a 12−2a 1=3−4a 1，a 12+2a 1−3=0，又a n <0，∴a 1=−3． 当n ≥2时，a n 2−2a n =3−4S n ，①a n−12−2a n−1=3−4S n−1，②①—②整理得，a n −a n−1=−2，∴a n =−3−2(n −1)，∴a n =−2n −1． （2）因为a n b n =1，所以b n =−12n+1， 所以b n b n+1=1(2n+1)(2n+3)=12(12n+1−12n+3)，故b 1b 2+b 2b 3+⋯+b n b n+1=12(13−15+15−17+⋯+12n+1−12n+3)=12(13−12n+3)， 令12(13−12n+3)<17，解得n <9，所以n 的最大值为8．【名师点睛】本题考查了数列的通项公式，裂项求和，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.16. （2020·聊城·一模）17.①a 5=b 3+b 5,②S 3=87③a 9−a 10=b 1+b 2这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，________，a 1=b 6，若对于任意n ∈N ∗都有T n =2b n −1，且S n ≤S k (k 为常数)，求正整数k 的值. 【答案】11【分析】利用T n 与b n 的关系式求出b n ,b n−1的关系式，利用等比数列的定义和通项公式求得数列{b n }的通项公式，然后三个条件代入求解，分别求出等差数列{a n }的首项、公差，从而求得其通项公式，判断其增减性，求出使S n 取得最大值的正整数的值. 【解析】由得，当时，；当时，，从而，即， 由此可知，数列是首项为1，公比为2的等比数列，故，①当，即，设数列的公差为，则，解得， 所以，因为当时，当时，所以当时取得最大值， 因此，正整数的值为11；②当时，，设数列的公差为，则，解得， 所以，因为时，当时，所以当时取得最大值， 因此，正整数的值为11；③当时，， 设数列的公差为，则，解得， 所以，因为当时，当时，所以当时取得最大值，k 21,n n T b n =-∈N 1n =11b =2n 1121n n T b --=-122n n n b b b -=-12n n b b -={}n b 12n n b -=535a b b =+1532,20a a =={}n a d 20324d =+3d =-323(1)353n a n n =--=-11n 0n a >11n >0n a <11n =n S k 387S =1232,387a a =={}n a d 3(32)87d +=3d =-323(1)353n a n n =--=-11n 0n a >11n >0n a <11n =n S k 91012a a b b -=+191032,3a a a =-={}n a d 3d -=3d =-323(1)353n a n n =--=-11n 0n a >11n >0n a <11n =n S因此，正整数的值为11. 故答案为：11【名师点睛】本题考查等比数列的定义和通项公式、等差数列的通项公式及其性质、利用等差数列的单调性求其前n 项和的最大值；考查运算求解能力和逻辑思维能力；熟练掌握等差数列和等比数列的相关知识是求解本题的关键；属于中档题.17. （2020·济宁·一模）18.已知数列为公差不为0的等差数列，且成等比数列，. （1）求数列的通项； （2）设，求数列的前2020项的和.【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）根据题意，列出关于等差数列的基本量的方程，解方程即可求解；（2）根据（1）中通项公式代入，可知，根据数列的周期性，可求，再根据并项求和，计算即可求解. 【解析】（1）设等差数列的公差为，由得：解得所以数列的通项； （2）由（1）知数列最小正周期为，k {}n a 139a a a 、、246a a +={}n a n a ()21cos3n n n a b a π+={}n b 2020S =n a n 202020212S =-1a d ，()()2121coscos33n n n a n b a n ππ++=={}n b 3231332k k k b b b --++={}n a ()0d d ≠2319246a a a a a ⎧=⎨+=⎩()()()()2111112836a d a a d a d a d ⎧+=+⎪⎨+++=⎪⎩111a d =⎧⎨=⎩{}n a ()11n a a n d n =+-=()()2121cos cos33n n n a n b a n ππ++=={}n b 3T =32313k k k b b b --++∴数列的前2020项的和【名师点睛】本题考查（1）等差数列基本量的求解（2）并项求和，考查计算能力，属于中等题型.18. （2020·济南·一模）17.若数列满足为常数），则称数列为等方差数列，为公方差．（1）已知数列分别满足，从上述四个数列中找出所有的等方差数列（不用证明）；（2）若数列是首项为1，公方差为2的等方差数列，求数列的前项和．【答案】（1），为等方差数列；（2）【分析】（1）由等方差的定义可知：，为等方差数列, 不是等方差数列；（2）先求出，再利用等差数列的求和公式得解.【解析】（1）由等方差的定义可知：是一个常数，所以为等方差数列；是一个常数，所以为等方差数列；同理不是等方差数列；所以，为等方差数列.（2）因为数列是首项为1，公方差为2的等方差数列，()()()()()()2321231123132cos31cos 3cos 333k k k k k k πππ-+-++=-+-+()()*313332N 222k k k k -=--++=∈{}n b 2020122020S b b b =+++()()()1234562017201820192020b b b b b b b b b b =++++++++++()22020136732020cos23π⨯+=⨯+20192021202022=-=-{}n a 221(,n n a a p n N p +-=∈＋{}n a p {},{},{},{}n n n n c d xy 2020,2+1,3n n n n n c d x n y ＝＝＝{}n a 2{}n a n n S {}n c {}n d 2n S n ={}n c {}n d {},{}n n x y 221n a n =-22221202020200n n c c +-=-={}n c 221211n n d d n n +-=+--={}n d {},{}n n x y {}n c {}n d {}n a所以，所以,所以数列是一个等差数列， 所以．【名师点睛】本题主要考查数列新定义的理解掌握和运用，考查等差数列的求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19. （2020·菏泽·一模）18.已知数列满足，且．（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前项和． 【答案】（1）；（2）【分析】（1）根据已知可得，由累加法可得，进而求出的通项公式； （2）由（1）得，用错位相减法，即可求出的前项和． 【解析】（1）因为，所以， 所以， ， …， 所以． 又，所以，所以．又，也符合上式，212(1)21n a n n =+-=-22+121212n n a a n n -=+-+=2{}n a 2(121)2n n n S n +-=={}n a *1(1)1()n n na n a n +-+=∈N 11a ={}n a {}n b 13nn n a b -={}n b n n S 21n a n =-1133n n n S -+=-11111n n a a n n n n +-=-++n a n{}n a 1213n n n b --={}n b n n S 1(1)1n n na n a +-+=11111(1)1n n a a n n n n n n +-==-+++111(2)11n n a a n n n n n--=-≥--12111221n n a a n n n n ---=-----2111122a a -=-111(2)n a a n n n-=-≥11a =21n a n n n-=21(2)n a n n =-≥11a =所以对任意正整数，． （2）结合（1）得，所以 ，①，② ，得， ，所以．【名师点睛】本题考查累加法求数列的通项公式，错位相减法求数列的前项和，考查逻辑推理、数学计算能力，属于中档题.20. （2020·东营一中·一模）17.已知函数（k 为常数，且）． （1）在下列条件中选择一个________使数列是等比数列，说明理由； ①数列是首项为2，公比为2的等比数列； ②数列是首项为4，公差为2的等差数列；③数列是首项为2，公差为2的等差数列的前n 项和构成的数列．（2）在（1）的条件下，当时，设，求数列的前n 项和. 【答案】（1）②，理由见解析；（2） 【分析】（1）选②，由和对数的运算性质，以及等比数列的定义，即可得到结论； （2）运用等比数列的通项公式可得，进而得到，由数列的裂项相消求和可得所求和.【解析】（1）①③不能使成等比数列.②可以：由题意n 21n a n =-1213n n n b --=0123113572133333n n n S --=+++++ (23113521)33333n n n S -=++++…-①②212111211233333n n n n S --⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭…1112[1()]2122331213313n n n n n -⨯--+=+-=--1133n n n S -+=-n ()log k f x x =0k >1k ≠{}n a (){}n f a (){}n f a (){}n fa k =12241+=-n n n a b n {}n b n T 21n nT n =+()f x n a 2141n b n =-{}n a，即，得，且，. 常数且，为非零常数，数列是以为首项，为公比的等比数列．（2）由（1）知，所以当.因， 所以，所以，. 【名师点睛】本题考查等比数列的定义和通项公式，数列的裂项相消求和，考查化简运算能力，属于中档题.21. （2020·德州·一模）18.已知数列的前项和为，数列满足，（1）求数列、的通项公式；（2）求. 【答案】（1）；（2）【分析】（1），，代入计算得到，得到答案.（2）讨论和两种情况，计算得到答案.【解析】（1），当时，，()4(1)222n f a n n =+-⨯=+log 22k n a n =+22n n a k+=410a k =≠2(1)22122n n n n a k k a k++++∴==0k >1k ≠2k ∴∴{}n a 4k 2k ()14222n k n a k k k -+=⋅=k =12n n a +=12241+=-n n n a b n 2141n b n =-1111(21)(21)22121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭12111111L 1L 23352121n n T b b b n n ⎛⎫=+++=-+-++- ⎪-+⎝⎭11122121nn n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭{}n a n 0121n n n n n n S C C C C -=++++{}n b 2log n n b a ={}n a {}n b ()12222212341n n nT b b b b b +=-+-++-12n na 1nb n =-22,2,2n n n n T n n n ⎧-⎪⎪=⎨-⎪⎪⎩为偶数为奇数21n n S =-112n n n n a S S --=-=1n b n =-2n k =21n k =-012121n n n n n n n S C C C C -=++++=-2n ≥112n n n n a S S --=-=当时，也满足，所以，又数列满足，所以.（2）当，时，； 当，时，.所以，，即. 【名师点睛】本题考查了等差数列，等比数列通项公式，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.22. （2020·日照·一模）18. 在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.已知等差数列的公差，前项和为，若_______，数列满足，，. （1）求的通项公式； （2）求的前项和.【答案】（1）选①：；选②：；选③：；（2）选①：；选②：；选③： 【分析】若选①：（1）先令，代入求出，再由求出公差，进而求出；（2）先由（1）中求出的结合得到，再求.若选②：（1）先令，代入求出，再由，，求出公差，进而求出；1n =11a =12n n a 12n na {}nb 2log n n b a =1n b n =-2n k =*k N ∈()()()2222221234212n k k T b b b b b b -=-+-++-()122k b b b =-+++()()1221k ⎡⎤=-+++-⎣⎦22k k =-+21n k =-*k N ∈()()()22222221234232221n k k k T b b b b b b b ---=-+-++-+()()()2122341k k ⎡⎤=-+++-+-⎣⎦2231k k =-+()()222,2231,21n k k n k T k k n k ⎧-+=⎪=⎨-+=-⎪⎩*k N ∈22,2,2n n n n T n n n ⎧-⎪⎪=⎨-⎪⎪⎩为偶数为奇数2351a a a b +=-2372a a a ⋅=315S ={}n a 0d >n n S {}n b 11b =213b =11n n n n a b nb b ++=-{}n a {}n b n n T 31n a n =-31n a n =-31n a n =-()3132n --()3132n --()3132n --1n =11n n n n a b nb b ++=-1a 2351a a a b +=-d n a n a 11n n n n a b nb b ++=-n b n T 1n =11n n n n a b nb b ++=-1a 2372a a a ⋅=0d >d n a（2）先由（1）中求出的结合得到，再求.若选③：（1）（1）先令，代入求出，再由求出公差，进而求出；（2）先由（1）中求出的结合得到，再求.【解析】若选①：（1），当时，，，，. 又，，，； （2）由（1）知：，即，， 又，数列是以为首项，以为公比的等比数列，， . 若选②：（1），当时，，，，. 又，，，；（2）由（1）知：，即，， 又，数列是以为首项，以为公比的等比数列，，. n a 11n n n n a b nb b ++=-n b n T 1n =11n n n n a b nb b ++=-1a 315S =d n a n a 11n n n n a b nb b ++=-n b n T 11n n n n a b nb b ++=-∴1n =1212a b b b =-11b =213b =12a ∴=2351a a a b +=-111234a d a d b ∴+=+-3d ∴=31n a n ∴=-()1131n n n n b nb b ++-=-13n n nb nb +=113n n b b +∴=11b =∴{}n b 113113n n b -⎛⎫= ⎪⎝⎭∴()1133131213n n n T -⎛⎫- ⎪⎝⎭∴==--11n n n n a b nb b ++=-∴1n =1212a b b b =-11b =213b =12a ∴=2372a a a ⋅=()()()111226a d a d a d ∴++=+3d ∴=31n a n ∴=-()1131n n n n b nb b ++-=-13n n nb nb +=113n n b b +∴=11b =∴{}n b 113113n n b -⎛⎫= ⎪⎝⎭∴()1133131213n n n T -⎛⎫- ⎪⎝⎭∴==--若选③：（1），当时，，，，. 又，，，； （2）由（1）知：，即，， 又，数列是以为首项，以为公比的等比数列，，. 【名师点睛】本题考查等差和等比数列通项公式的求解和等比数列前项和的求解问题，考查学生对于等差和等比数列基本量的计算.23. （2020·烟台·一模）18．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，{b n }是各项均为正数的等比数列，a 1＝b 4， ①或②或③ ，b 2＝8，b 1﹣3b 3＝4，是否存在正整数k ，使得数列{1S n }的前k 项和T n ＞1516•若存在，求出k 的最小值；若不存在，说明理由． 从①S 4＝20，②S 3＝2a 3，③3a 3﹣a 4＝b 2这三个条件中任选一个，补充到上面问题中井作答．注：如果选择多个条件分别解答，按一个解答计分【分析】本题的第一步为求出数列通项公式，然后求出等差数列的前n 项和．题目中出现的三个条件均可采用等差数列的定义和性质求解．【解析】设等比数列{b n }的公比为q(q ＞0)，则b 1=8q，b 3＝8q ， 于是8q −3×8q =4， 即6q 2+q −2=0，解得q =12，q =−23(舍)，若选①，则a 1=b 1=2，S 4=4a 1+4×32d =20， 解得d ＝2所以S n =2n +n(n−1)2×2=n 2+n ， 11n n n n a b nb b ++=-∴1n =1212a b b b =-11b =213b =12a ∴=315S =1323152a d ⨯∴+=3d ∴=31n a n ∴=-()1131n n n nb nb b ++-=-13n n nb nb +=113n n b b +∴=11b =∴{}n b 113113n n b -⎛⎫= ⎪⎝⎭∴()1133131213n n n T -⎛⎫- ⎪⎝⎭∴==--n1 S n =1n(n+1)=1n−1n+1，于是T n=1S1+1S2+⋯+1Sk=(1−12)+(12−13)+⋯+(1k−1k+1)=1−1k+1．令1−1k+1＞1516，解得k＞15，因为k为正整数，所以k的最小值为16．若选②：则a1=b1=2，3a1+3×22d=2(a1+2d)，则a1＝d＝2．下同①．若选③：则a1＝b1＝2，3（a1+2d）﹣（a1+3d）＝8，解得d=43，于是S n=2n+n(n−1)2×43=23n2+43n，1 S n =32×1n(n+2)=34(1n−1n+2)，于是Tn=34[(1−13)+(12−14)+⋯+(1k−1−1k+1)+(1k−1k+2)] =34(1+12−1k+1−1k+2)=98−34(1k+1+1k+2)．令Tk ＞1516，得1k+1+1k+2＜14．注意到k为正整数，解得k≥7，所以k的最小值为7．【名师点睛】本题属于开放性的题目，要求我们选择合适的条件进行作答．本题的难点在于若选③难度较大，需要我们合理的筛选．。
2020年山东省高考数学（4月份）模拟试卷一、选择题. 1．复数√3+i1−√3i（i 为虚数单位）等于（ ） A ．1B ．﹣1C ．iD ．﹣i2．若集合A ={y|y =x 13，−1≤x ≤1}，B ={x|y =√1−x}，则A ∩B ＝（ ） A ．[﹣∞，1]B ．[﹣1，1]C ．∅D ．13．若0＜x ＜y ＜1，则下列不等式成立的是（ ） A ．(12)x ＜(12)y B ．x −12＜y −12C ．log 2x 12＜log 2y 12D ．log 12x 3＜log 12y 34．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝1，点P 满足PA →=2PM →，则AM →⋅(PB →+PC →)=（ ） A ．2B ．﹣2C ．23D ．−235．设函数f(x)=cos 2(x +π4)−sin 2(x +π4)，x ∈R ，则函数f （x ）是（ ） A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数6．过点（﹣2，0）且倾斜角为π4的直线l 与圆x 2+y 2＝5相交于M 、N 两点，则线段MN 的长为（ ） A ．2√2B ．3C ．2√3D ．67．一个各面都涂满红色的4×4×4（长、宽、高均为4）正方体，被锯成同样大小的单位（长宽高均为1）小正方体，将这些小正方体放在一个不透明的袋子中，充分混合后，从中任取一个小正方体，则取出仅有一面涂有色彩的小正方体的概率为（ ） A ．14B ．12C ．18D ．388．设F 1，F 2是双曲线x 2−y 224=1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于（ ）A ．4√2B ．8√3C ．24D ．48二、多项选择题：（共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，优题速享部分选对的得3分，有选错的得0分．） 9．如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“互为生成”函数．则下列函数可以构成互生函数是（ ） A ．f （x ）＝sin x +cos x B ．f(x)=√2(sinx +cosx) C ．f （x ）＝sin xD ．f(x)=√2sinx +√210．平面α外有两条直线m 和n ，从下面的条件中可以推出m ⊥n 的是（ ） A ．m ⊥α，n ∥αB ．m ⊥α，n ⊥αC ．m ⊥α，n ⊂αD ．m ∥α，n ∥α11．设y ＝f （x ）是定义在R 上的偶函数，满足f （x +1）＝﹣f （x ），且在[﹣1，0]上是增函数，给出下列关于函数y ＝f （x ）的判断正确的是（ ） A ．y ＝f （x ）是周期为2的函数 B ．y ＝f （x ）的图象关于直线x ＝1对称 C ．y ＝f （x ）在[0，1]上是增函数D ．f(12)=0．12．已知函数f （x ）＝x 3+ax 2+bx +c ，在定义域x ∈[﹣2，2]上表示的曲线过原点，且在x ＝±1处的切线斜率均为﹣1．下列说法正确的是（ ） A ．f （x ）是奇函数B ．若f （x ）在[s ，t ]内递减，则|t ﹣s |的最大值为4C ．若f （x ）的最大值为M ，则最小值为﹣MD ．若对∀x ∈[﹣2，2]，k ≤f '（x ）恒成立，则k 的最大值为2 三、填空题（每题5分，共20分）13．点M （5，3）到抛物线x 2＝ay （a ＞0）的准线的距离为6，那么抛物线的方程是 ． 14．若(x +1x )n 展开式中第2项与第6项的系数相同，则n ＝ ，那么展开式的常数项为 ．15．已知函数f(x)={log 2x 3x (x ＞0)#/DEL/#(x ≤0)#/DEL/#，且关于x 的方程f （x ）+x ﹣a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的范围是 ． 16．为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对该班50名学生进行了问卷调查，得到了如表的2×2列联表：喜爱打篮球不喜爱打篮球合计 男生 20 5 25 女生 10 15 25 合计302050则至少有的把握认为喜爱打篮球与性别有关？ （请用百分数表示） 附： P （K 2＞k 0）0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 02.7063.8415.0246.6357.87910.828K 2=n(ad −bc)2(a +b)(c +d)(a +c)(b +d)四、解答题（本题6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A 、B 、C 的对边，若tan A ＝3，cos C =√55．（1）求角B 的大小；（2）若c ＝4，求△ABC 面积．18．已知数列{a n }满足a n+1=1+an3−an(n ∈N ∗)，且a 1=13.（I ）求证：数列{1a n −1}是等差数列，并求a n ；（II ）令b n =2(n+2)2a n(n ∈N ∗)，求数列{b n }的前n 项和T n ．19．一个袋中装有黑球，白球和红球共n （n ∈N *）个，这些球除颜色外完全相同．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是25．现从袋中任意摸出2个球．（1）若n ＝15，且摸出的2个球中至少有1个白球的概率是47，设ξ表示摸出的2个球中红球的个数，求随机变量ξ的概率分布及数学期望E ξ；（2）当n 取何值时，摸出的2个球中至少有1个黑球的概率最大，最大概率为多少？ 20．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为菱形，∠BAD ＝60°，Q 为AD 的中点． （Ⅰ）若PA ＝PD ，求证：平面PQB ⊥平面PAD ；（Ⅱ）点M 在线段PC 上，PM ＝tPC ，试确定实数t 的值，使PA ∥平面MQB ； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若平面PAD ⊥平面ABCD ，且PA ＝PD ＝AD ＝2，求二面角M ﹣BQ ﹣C 的大小21．已知函数f （x ）=1−xax+lnx ． （Ⅰ）当a ＝1时，求f （x ）在[12，2]上最大值及最小值； （Ⅱ）当1＜x ＜2时，求证（x +1）lnx ＞2（x ﹣1）．22．已知椭圆两焦点F 1、F 2在y 轴上，短轴长为2√2，离心率为√22，P 是椭圆在第一象限弧上一点，且PF 1→⋅PF 2→=1，过P 作关于直线F 1P 对称的两条直线PA 、PB 分别交椭圆于A 、B 两点． （1）求P 点坐标；（2）求证直线AB 的斜率为定值．参考答案一、选择题：（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．复数√3+i1−√3i（i为虚数单位）等于（）A．1B．﹣1C．i D．﹣i【分析】先把√3+i1−√3i 等价转化为√3+i)(1+√3i)(1−√3i)(1+√3i)，由此能求出结果．解：√3+i1−√3i=(√3+i)(1+√3i)(1−3i)(1+3i)=4i4＝i．故选：C．2．若集合A={y|y=x13，−1≤x≤1}，B={x|y=√1−x}，则A∩B＝（）A．[﹣∞，1]B．[﹣1，1]C．∅D．1【分析】集合A表示的是函数的值域，求出幂函数的值域即集合A，集合B表示的函数的定义域，令被开方数大于等于0求出解集即集合B；利用交集的定义求出A∩B．解：∵A={y|y=x13，−1≤x≤1}={y|﹣1≤y≤1}集合B={x|y=√1−x}={x|x≤1}∴A∩B＝[x|﹣1≤x≤1}故选：B．3．若0＜x＜y＜1，则下列不等式成立的是（）A．(12)x＜(12)y B．x−12＜y−12C．log2x12＜log2y12D．log12x3＜log12y3【分析】由题意利用幂函数、指数函数、对数函数的单调性，得出结论．解：∵0＜x＜y＜1，根据指数函数的单调性可得(12)x＞(12)y，故A错误；再根据幂函数的单调性可得x−12＞y−12，故B错误；再根据对数函数的单调性可得log 2x 12＜log 2y 12，故C 正确；由x 3＜y 3，函数y =log 12x 在（0，+∞）上是减函数，可得log 12x 3＞log 12y 3，故D 错误，故选：C ．4．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝1，点P 满足PA →=2PM →，则AM →⋅(PB →+PC →)=（ ） A ．2B ．﹣2C ．23D ．−23【分析】由题设条件 PB →+PC →=2 PM →=P →A ，故可得 AM →•（ PB →+PC →）=−A →M 2，由于线段AM 长度可以求出，故可解出 A →M •（ PB →+PC →）的值． 解：∵PA →=2PM →，∴M 为PA 的中点，又AM ＝1，M 是BC 的中点， ∴AM →⋅(PB →+PC →)=2AM →⋅PM →=−2， 故选：B ．5．设函数f(x)=cos 2(x +π4)−sin 2(x +π4)，x ∈R ，则函数f （x ）是（ ） A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数【分析】首先利用余弦的二倍角公式把原函数转化为y ＝A sin ωx 的形式，然后由y ＝A sin ωx 的性质得出相应的结论． 解：f （x ）=cos 2(x +π4)−sin 2(x +π4)=1+cos(2x+π2)2−1−cos(2x+π2)2＝﹣sin2x所以T ＝π，且为奇函数． 故选：A ．6．过点（﹣2，0）且倾斜角为π4的直线l 与圆x 2+y 2＝5相交于M 、N 两点，则线段MN 的长为（ ）A ．2√2B ．3C ．2√3D ．6【分析】用点斜式求出直线l 的方程，再求出圆心到直线的距离，利用弦长公式求出线段MN 的长．解：过点（﹣2，0）且倾斜角为π4的直线l 的斜率为1，方程为y ﹣0＝（x +2），x ﹣y +2＝0，圆x 2+y 2＝5的圆心到直线x ﹣y +2＝0 的距离等于√2=√2，由弦长公式得 MN ＝2√5−2=2√3， 故选：C ．7．一个各面都涂满红色的4×4×4（长、宽、高均为4）正方体，被锯成同样大小的单位（长宽高均为1）小正方体，将这些小正方体放在一个不透明的袋子中，充分混合后，从中任取一个小正方体，则取出仅有一面涂有色彩的小正方体的概率为（ ） A ．14B ．12C ．18D ．38【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是把一个各面都涂满红色的4×4×4正方体，锯成同样大小的单位小正方体，共有4×4×4种结果，满足条件的事件是仅有一面涂有色彩的小正方体，共有4×6种结果，得到概率． 解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是把一个各面都涂满红色的4×4×4正方体， 锯成同样大小的单位小正方体，共有4×4×4＝64种结果，满足条件的事件是仅有一面涂有色彩的小正方体，共有4×6＝24种结果， ∴根据古典概型概率公式得到P =2464=38， 故选：D ．8．设F 1，F 2是双曲线x 2−y 224=1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于（ ） A ．4√2B ．8√3C ．24D ．48【分析】先由双曲线的方程求出|F 1F 2|＝10，再由3|PF 1|＝4|PF 2|，求出|PF 1|＝8，|PF 2|＝6，由此能求出△PF 1F 2的面积．解：F 1（﹣5，0），F 2（5，0），|F 1F 2|＝10， ∵3|PF 1|＝4|PF 2|，∴设|PF 2|＝x ，则|PF 1|=43x ，由双曲线的性质知43x −x =2，解得x ＝6．∴|PF 1|＝8，|PF 2|＝6， ∴∠F 1PF 2＝90°， ∴△PF 1F 2的面积=12×8×6=24． 故选：C ．二、多项选择题：（共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，优题速享部分选对的得3分，有选错的得0分．） 9．如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“互为生成”函数．则下列函数可以构成互生函数是（ ） A ．f （x ）＝sin x +cos x B ．f(x)=√2(sinx +cosx) C ．f （x ）＝sin xD ．f(x)=√2sinx +√2【分析】根据新定义和利用三角函数的图象的性质可得答案． 解：f （x ）＝sin x +cos x =√2sin （x +π4），将函数的图象向右平移π4个单位，在向上平移√2个单位可得函数f(x)=√2sinx +√2，根据题意如果若干个函数的图象经过平移后能够重合， 则称这些函数为“互为生成”函数． 则函数可以构成互生函数是A 、D ， 故选：AD ．10．平面α外有两条直线m 和n ，从下面的条件中可以推出m ⊥n 的是（ ） A ．m ⊥α，n ∥αB ．m ⊥α，n ⊥αC ．m ⊥α，n ⊂αD ．m ∥α，n ∥α【分析】在A 中，则由线面垂直的性质定理得m ⊥n ；在B 中，m ，n 平行；在C 中，由线面垂直的性质定理得m ⊥n ；在D 中，m ，n 相交、平行或异面． 解：由平面α外有两条直线m 和n ，知：在A 中，若m ⊥α，n ∥α，则由线面垂直的性质定理得m ⊥n ，故A 正确； 在B 中，若m ⊥α，n ⊥α，则m ，n 平行，故B 错误；在C 中，若m ⊥α，n ⊂α，则由线面垂直的性质定理得m ⊥n ，故C 正确； 在D 中，若m ∥α，n ∥α，则m ，n 相交、平行或异面，故D 错误． 故选：AC ．11．设y＝f（x）是定义在R上的偶函数，满足f（x+1）＝﹣f（x），且在[﹣1，0]上是增函数，给出下列关于函数y＝f（x）的判断正确的是（）A．y＝f（x）是周期为2的函数B．y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称C．y＝f（x）在[0，1]上是增函数D．f(12)=0．【分析】由y＝f（x）是定义在R上的偶函数，满足f（x+1）＝﹣f（x），且在[﹣1，0]上是增函数，可得f（x）＝f（x+2），求出周期，因为f（﹣x）＝f（x），所以f（﹣x）＝f（x+2），可得x＝1是对称轴及在[0，1]上单调递减，因为f（x+1）＝﹣f（x），令x=−12可得f（12）＝﹣f（−12）可得f（12）＝﹣f（12），所以f（12）＝0，故选出答案．解：因为y＝f（x）是定义在R上的偶函数，满足f（x+1）＝﹣f（x），所以f（x）＝﹣f（x+1），而f（x）＝﹣f（x﹣1），所以f（x﹣1）＝f（x+1），即f（x）＝f（x+2），所以可得函数的周期T＝2，所以A 正确，因为f（﹣x）＝f（x），所以f（﹣x）＝f（x+2），所以对称轴x=−x+x+22=1，即关于x＝1对称，所以B正确；由函数f（x）为偶函数关于y轴对称，又在[﹣1，0]上是增函数，所以在[0，1]上单调递减，故C不正确；因为f（x+1）＝﹣f（x），令x=−12可得f（12）＝﹣f（−12）可得f（12）＝﹣f（12），所以f（12）＝0，所以D正确，故选：ABD．12．已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+c，在定义域x∈[﹣2，2]上表示的曲线过原点，且在x＝±1处的切线斜率均为﹣1．下列说法正确的是（）A．f（x）是奇函数B．若f（x）在[s，t]内递减，则|t﹣s|的最大值为4C．若f（x）的最大值为M，则最小值为﹣MD．若对∀x∈[﹣2，2]，k≤f'（x）恒成立，则k的最大值为2【分析】利用过原点求出c的值为0，再根据在x＝﹣1或1处的导数为﹣1，列方程组求出a ，b ．解：由题意f （0）＝0，得c ＝0． f ′（x ）＝3x 2+2ax +b ，∴{3+2a +b =−13−2a +b =−1，解得a ＝0，b ＝﹣4． ∴f （x ）＝x 3﹣4x ，f ′（x ）＝3x 2﹣4．对于A ，C ，显然f （﹣x ）＝﹣f （x ），f （x ）是奇函数，故A ，C 正确； 对于B ，令f ′（x ）＜0解得23x 23，所以|s −t|≤434，故B 错误； 对于D ，当x ∈[﹣2，2]时，3x 2﹣4≥﹣4，故k 的最大值为﹣4．故D 错误． 故选：AC ．三、填空题（每题5分，共20分）13．点M （5，3）到抛物线x 2＝ay （a ＞0）的准线的距离为6，那么抛物线的方程是 x 2＝12y ．【分析】先根据抛物线的方程表示出抛物线的准线方程，然后表示出点M 到准线的距离，根据结果为6求得a ，则抛物线的方程可得． 解：根据抛物线方程可知抛物线的准线为y =−a4则点M 到准线的距离为|3+a4|＝6，求得a ＝12或a ＝﹣36， 故抛物线方程为x 2＝12y ， 故答案为：x 2＝12y ．14．若(x +1x)n 展开式中第2项与第6项的系数相同，则n ＝ 6 ，那么展开式的常数项为 20 ．【分析】利用二项式系数的性质可知 ∁n 1=∁n 5，从而得n ＝6，于是利用二项展开式的通项公式即可求得常数项．解：由题可得∁n 1=∁n 5，从而得n ＝6；∴（x +1x ）6的展开式的通项公式为：∁6r •x 6﹣r •(1x)r =∁6r •x 6﹣2r ； 令6﹣2r ＝0可得r ＝3； ∴展开式的常数项为：∁63=20； 故答案为：6，20．15．已知函数f(x)={log 2x 3x (x ＞0)#/DEL/#(x ≤0)#/DEL/#，且关于x 的方程f （x ）+x ﹣a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的范围是 （1，+∞） ． 【分析】关于x 的方程f （x ）+x ﹣a ＝0有且只有一个实根⇔y ＝f （x ）与y ＝﹣x +a 的图象只有一个交点，结合图象可求观察．解：关于x 的方程f （x ）+x ﹣a ＝0有且只有一个实根⇔y ＝f （x ）与y ＝﹣x +a 的图象只有一个交点，画出函数的图象如下图，观察函数的图象可知当a ＞1时，y ＝f （x ）与y ＝﹣x +a 的图象只有一个交点． 故答案为：（1，+∞）．16．为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对该班50名学生进行了问卷调查，得到了如表的2×2列联表：喜爱打篮球不喜爱打篮球合计 男生 20 5 25 女生 10 15 25 合计302050则至少有的把握认为喜爱打篮球与性别有关？ 99.5% （请用百分数表示） 附： P （K 2＞k 0）0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 02.7063.8415.0246.6357.87910.828K 2=n(ad −bc)2(a +b)(c +d)(a +c)(b +d)【分析】由独立性检验公式：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)求出K 2，结合表格数据判断出 即可．解：由独立性检验公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=50(20×15−10×5)225×25×30×20=253＞7.879，故至少有99.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关，故答案为：99.5%四、解答题（本题6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，若tan A＝3，cos C=√55．（1）求角B的大小；（2）若c＝4，求△ABC面积．【分析】（1）求出C的正切函数值，利用两角和的正切函数求解即可．（2）利用正弦定理求出b，然后求解A的正弦函数值，然后求解三角形的面积．解：（1）∵cos C=√55，∴sin C=2√55，∴tan C＝2．∵tan B＝﹣tan（A+C）=−tanA+tanC1−tanAtanC=−3+21−3×2=1，又0＜B＜π，∴B=π4．（2）由正弦定理，得bsinB =csinC，∴b=c×sinBsinC=4×√222√55=√10．∵B=π4，∴A=3π4−C．∴sin A＝sin（3π4−C）＝sin3π4cos C﹣cos3π4sin C=√22×√55−（−√22）×2√55=3√1010．∴S△ABC=12bc sin A=12×√10×4×3√1010=6．18．已知数列{a n}满足a n+1=1+a n3−a n(n∈N∗)，且a1=13.（I）求证：数列{1a n−1}是等差数列，并求a n；（II）令b n=2(n+2)2a n(n∈N∗)，求数列{bn}的前n项和T n．【分析】（I）对a n+1=1+a n3−a n两边同时减去1，整理得到a n+1−1=1+a n3−a n−1=2a n−23−a n，然后两边同时取倒数得到1a n+1−1=−12+1a n−1，即1a n+1−1−1a n−1=−12，进而可证数列{1a n−1}是等差数列，结合等差数列的定义可得到1a n−1=113−1=−32，整理即可得到a n的表达式．（II ）先根据（I ）中的a n 的表达式表示出b n ，然后根据数列求和的裂项法求得答案．解：（I ）∵a n+1=1+a n 3−a n ∴a n+1−1=1+a n 3−a n −1=2a n−23−an故1a n+1−1=3−a n 2a n −2=1−a n 2a n −2+22a n −2=−12+1a n −1∴1a n+1−1−1a n −1=−12∴数列{1a n −1}是公差为−12的等差数列 而a 1=13，∴1a n −1=113−1=−32∴1a n −1=−32−12(n −1)=−n+22∴a n −1=−2n+2a n =1−2n+2 =nn+2（II ）由（I ）知a n =nn+2 ∴b n =2(n+2)2⋅nn+2=2n(n+2)=1n −1n+2故T n ＝b 1+b 2++b n =11−13+12−14++1n −1n+2=1+12−1n+1−1n+2=32−2n+3(n+1)(n+2)19．一个袋中装有黑球，白球和红球共n （n ∈N *）个，这些球除颜色外完全相同．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是25．现从袋中任意摸出2个球．（1）若n ＝15，且摸出的2个球中至少有1个白球的概率是47，设ξ表示摸出的2个球中红球的个数，求随机变量ξ的概率分布及数学期望E ξ；（2）当n 取何值时，摸出的2个球中至少有1个黑球的概率最大，最大概率为多少？ 【分析】（1）根据题意设出黑球和白球的个数，列出关于概率的方程，解出两种球的个数，由题意知变量取值，根据对应的事件做出分布列，求出期望．（2）设袋中有黑球个数，设从袋中任意摸出两个球，至少得到一个黑球为事件C ，用摸出的2个球中至少有1个黑球的对立事件摸两个球没有黑球，表示出概率，得到结果．解：（1）设袋中黑球的个数为x（个），记“从袋中任意摸出一个球，得到黑球”为事件A，则P(A)=x15=25．∴x＝6．设袋中白球的个数为y（个），记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件B，则P(B)=1−C15−y2C152=47，∴y2﹣29y+120＝0，∴y＝5或y＝24（舍）．∴红球的个数为15﹣6﹣5＝4（个）．∴随机变量ξ的取值为0，1，2，分布列是ξ的数学期望Eξ=1121×0+44105×1+235×2=56105=815；（2）设袋中有黑球z个，则z=25n(n=5，10，15，）．设“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个黑球”为事件C，用摸出的2个球中至少有1个黑球的对立事件求出则P(C)=1−C35n2C n2=1625+625×1n−1，当n＝5时，P（C）最大，最大值为710．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，Q为AD的中点．（Ⅰ）若PA＝PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；（Ⅱ）点M在线段PC上，PM＝tPC，试确定实数t的值，使PA∥平面MQB；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若平面PAD⊥平面ABCD，且PA＝PD＝AD＝2，求二面角M﹣BQ﹣C的大小【分析】（1）证明平面PAD 内的直线AD ，垂直平面PQB 内的两条相交直线BQ ，PQ ，即可证明平面PQB ⊥平面PAD ；（2）连AC 交BQ 于N ，交BD 于O ，说明PA ∥平面MQB ，利用PA ∥MN ，根据三角形相似，即可得到结论；（3）建立空间直角坐标系，先求出平面MQB 的法向量，平面ABCD 的法向量，利用向量的夹角公式即可求解． 【解答】（1）证明：连BD ，∵四边形ABCD 菱形，∠BAD ＝60°，∴△ABD 为正三角形， ∵Q 为AD 中点，∴AD ⊥BQ∵PA ＝PD ，Q 为AD 的中点，∴AD ⊥PQ又BQ ∩PQ ＝Q ，∴AD ⊥平面PQB ，AD ⊂平面PAD ∴平面PQB ⊥平面PAD ；（2）当t =13时，使得PA ∥平面MQB ，连AC 交BQ 于N ，交BD 于O ，连接MN ，则O 为BD 的中点， 又∵BQ 为△ABD 边AD 上中线，∴N 为正三角形ABD 的中心，令菱形ABCD 的边长为a ，则AN =√33a ，AC =√3a ．∴PA ∥平面MQB ，PA ⊂平面PAC ，平面PAC ∩平面MQB ＝MN ∴PA ∥MN ∴PM PC=AN AC =13即：PM =13PC ，t =13；（3）由PA ＝PD ＝AD ＝2，Q 为AD 的中点，则PQ ⊥AD ，又平面PAD ⊥平面ABCD ，所以PQ ⊥平面ABCD ，以Q 为坐标原点，分别以QA 、QB 、QP 所在的直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的坐标系，则各点坐标为A （1，0，0），B （0，√3，0）），Q （0，0，0），P （0，0，√3）设平面MQB 的法向量为n →=(x ，y ，1)，可得{n →⋅QB →=0n →⋅MN →=0，而PA ∥MN ，∴{n →⋅QB →=0n →⋅PA →=0，∴y ＝0，x =√3∴n →=(√3，0，1)取平面ABCD 的法向量m →=(0，0，1)∴cos ＜m →，n →＞=m →⋅n →|m →||n →|=12∴二面角M ﹣BQ ﹣C 的大小为60°． 21．已知函数f （x ）=1−xax+lnx ． （Ⅰ）当a ＝1时，求f （x ）在[12，2]上最大值及最小值； （Ⅱ）当1＜x ＜2时，求证（x +1）lnx ＞2（x ﹣1）．【分析】（Ⅰ）求出f （x ），求f ′（x ），根据导数符号判断函数f （x ）在[12，2]上的极值情况，再求端点值，即可得到函数f （x ）的最值．（Ⅱ）为便于求导数，因为x +1＞0，所以要证明原不等式成立，只要证明lnx ＞2(x−1)x+1即可．构造函数F （x ）=lnx −2(x−1)x+1，求导数F ′（x ）判断函数F （x ）在（1，2）上的单调性，经判断得到F （x ）在（1，2）上单调递增，所以F （x ）＞F （1）＝0，这样即证出lnx ＞2(x−1)x+1，所以证出原不等式． 解：（Ⅰ）f （x ）=1x +lnx −1，f ′（x ）=−1x 2+1x =x−1x2； ∴x ∈[12，1)时，f ′（x ）＜0；x ∈（1，2]时，f ′（x ）＞0；f （1）＝0是函数f （x ）的极小值，即f （x ）的最小值；又f （12）＝1﹣ln 2，f （2）＝ln 2−12；∴f （x ）的最大值是1﹣ln 2；∴函数f （x ）在[12，2]上的最小值是0，最大值是1﹣ln 2；（Ⅱ）∵x +1＞0，∴要证明原不等式成立，只要证明lnx ＞2(x−1)x+1； 设F （x ）=lnx −2(x−1)x+1，则F ′（x ）=1x −2(x+1)−2(x−1)(x+1)2=(x−1)2x(x+1)2＞0； ∴函数F （x ）在（1，2）上是增函数，∴F （x ）＞F （1）＝0；∴lnx ＞2(x−1)x+1； ∴原不等式成立．22．已知椭圆两焦点F 1、F 2在y 轴上，短轴长为2√2，离心率为√22，P 是椭圆在第一象限弧上一点，且PF 1→⋅PF 2→=1，过P 作关于直线F 1P 对称的两条直线PA 、PB 分别交椭圆于A 、B 两点． （1）求P 点坐标；（2）求证直线AB 的斜率为定值．【分析】（1）设出椭圆的标准方程，根据题意可知b ，进而根据离心率和a ，b 和c 的关系求得a 和c ，则椭圆的方程可得．进而求得焦点的坐标，设出点P 的坐标，分别表示出PF1→和PF2→，进而根据PF 1→⋅PF 2→=1求得x 0和y 0的关系式，把点P 的坐标代入椭圆方程求和另一个关系式，联立方程求得x 0和y 0即P 的坐标．（2）根据（1）可知PF 1∥x 轴，设PB 的斜率为k ，根据点斜式表示出直线的方程，与椭圆的方程联立消去y ，设出B 的坐标，根据题意可求得x B 的表达式，同理求得x A 的表达式，进而可知x A ﹣x B 的表达式，根据直线方程求得y A ﹣y B ，进而根据斜率公式求得直线AB 的斜率，结果为定值． 解：（1）设椭圆的方程为y 2a 2+x 2b 2=1，由题意可得b =√2，c a=√22，即a =√2c ， ∵a 2﹣c 2＝2 ∴c =√2，a ＝2∴椭圆方程为y 22+x 24=1∴焦点坐标为（0，√2），（0，−√2），设p （x 0，y 0）（x 0＞0，y 0＞0） 则PF 1→=（﹣x 0，√2−y 0），PF 2→=（﹣x 0，−√2−y 0）， ∴PF 1→•PF 2→=x 02﹣（2﹣y 02）＝1 ∵点P 在曲线上，则y 024+x 022=1∴x 02=4−y 022， 从而4−y 022−（2﹣y 02）＝1，得y 0=√2，则点P 的坐标为（1，√2）（2）由（1）知PF 1∥x 轴，直线PA ，PB 斜率互为相反数，设PB 的斜率为k （k ＞0）， 则PB 的直线方程为y −√2=k （x ﹣1），由{y −√2=k(x −1)x 22+y 24=1得（2+k 2）x 2+2k （√2−k ）x +（√2−k 2）﹣4＝0 设B （x B ，y B ），则x B =2k(k−√2)2+k2−1=k 2−2√2k−22+k 2，同理可得x A =k 2+2√2k−22+k2，则x A −x B =4√2k 2+k2，y A ﹣y B ＝﹣k （x A ﹣1）﹣k （x B ﹣1）=8k 2+k2所以AB 的斜率k AB =y A −yB x A−x B=√2为定值．。
2019-2020学年高三数学4月月考理试题文一．选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i 为虚数单位，实数x ，y 满足(3)x i i y i +=-，则x yi -=（ ） A ．4 B ．3 C2.已知集合2{|40}A x N x x =∈-≤，集合2{|20}B x x x a =++=，若{0,1,2,3,4,3}A B =-，则A B =（ ）A ．{1,3}-B ．{1}C ．{3}-D ．φ 3.函数()sin(2)f x x ϕ=+的图象向右平移3π个单位后所得的图象关于原点对称，则ϕ可以是（ ） A ．6π B ．3π C ．4π D ．23π4．若tan 24πα⎛⎫-=-⎪⎝⎭，则tan 2α=（ ） A ．3- B ．3 C ．34- D ．345．已知132a -=， 21log 3b =， 131log 4c =，则（ ） A. a b c >> B. a c b >> C. c b a >> D. c a b >> 6．函数()3ln 8f x x x =+-的零点所在的区间为（ ）A. ()0,1B. ()1,2C. ()2,3D. ()3,4 7.如图所示的三视图表示的几何体的体积为323，则该几何体的外接球的表面积为（ ） A ．12π B ．24π C ．36π D ．48π8.已知直线:l y m =+与圆22:(3)6C x y +-=相交于A ，B 两点，若120ACB ∠=︒，则实数m 的值为（ ）A．3或3．3+或3- C.9或3- D ．8或2-9.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，19a =，95495S S -=-，则n S 取最大值时的n 为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．4或510.四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的正方形，PA =E 为PC 的中点，则异面直线BE 与PD 所成角的余弦值为（ ）A．10 B．5 C．39 D．3911.已知函数()sin f x x x =+，若[2,1]x ∃∈-，使得2()()0f x x f x k ++-=成立，则实数k 的取值范围是（ ）A ．[1,3]-B ．[0,3]C ．(,3]-∞D ．[0,)+∞12.已知F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左焦点，经过原点的直线l 与椭圆E 交于P ，Q 两点，若||2||PF QF =，且120PFQ ∠=︒，则椭圆E 的离心率为（ ）A ．13 B ．12二．填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知实数x ，y 满足条件2300x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，则23x y +的最大值为 ．14．已知{}n a 是等比数列,若)2,(2a =，)3,(3a =,且a ∥b ,则2435+a a a a =+ .15.已知3sin()35πα-=，(,)42ππα∈，则tan α= ． 16.已知点1(,0)F c -，2(,0)(0)F c c >是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，点P 是这个椭圆上位于x 轴上方的点，点G 是12PF F ∆的外心，若存在实数λ，使得120GF GF GP λ++=，则当12PF F ∆的面积为8时，a 的最小值为 ．三、解答题：本大题共6小题，第22（或23）小题10分，其余每题均为12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程、计算步骤.17.(本大题满分12分)已知数列{}n a 满足11a =，121n n a a +=+.（Ⅰ）求证：数列{1}n a +为等比数列； （Ⅱ）求数列12n n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .18.(本大题满分12分)某中学一位高三班主任对本班50名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行调查，得到的统计数据如表所示：（Ⅰ）如果随机调查这个班的一名学生，那么抽到不积极参加班级工作且学习积极性不高的学生的概率是多少？（Ⅱ）若不积极参加班级工作且学习积极性高的7名学生中有两名男生，现从中抽取2名学生参加某项活动，问2名学生中有1名男生的概率是多少？（III ）学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关系？请说明理由． 附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ 19.(本大题满分12分)如图，四棱锥ABCD P -中，⊥PA 平面ABCD ，M BC PA AC AD AB BC AD ,4,3,//=====为线段AD 上一点，MD AM 2=，N 为PC 的中点.（Ⅰ）证明：;//PAB MN 平面 （Ⅱ）求四面体BCM N -的体积.20．(本大题满分12分)已知椭圆()01:2222>>=+b a by a x C 的左右顶点分别为1A ，2A ，左右焦点为分别为1F ，2F ，焦距为2，离心率为21.（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若P 为椭圆上一动点，直线1l 过点1A 且与x 轴垂直，M 为直线P A 2与1l 的交点，N 为直线P A 1与直线2MF 的交点，求证：点N 在一个定圆上.21.(本大题满分12分)已知函数2()2ln f x x x ax =-+()a R ∈.（Ⅰ）当2a =时，求()f x 的图象在1x =处的切线方程；（Ⅱ）若函数()f x 有两个不同零点1x ，2x ，且120x x <<，求证：12'()02x x f +<，其中'()f x 是()f x 的导函数.选考题，考生从22、23两题中任选一题作答，将选择的题号对应的方程用2B 铅笔涂黑，多做按所做的第一题记分.22．[选修4-4：坐标系与参数方程] (本大题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为为参数）ααα(sin 2cos 22⎩⎨⎧=+=y x ．以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线2C 的极坐标方程为3sin =θρ．（Ⅰ）求曲线1C 的极坐标方程；（Ⅱ）设1C 和2C 交点的交点为A ，B ，求AOB ∆的面积.23.(本大题满分10分)已知函数2()2f x x =-，()g x x a =-. （Ⅰ）若1a =，解不等式()()3f x g x +≥；（Ⅱ）若不等式()()f x g x >至少有一个负数解，求实数a 的取值范围.2018年春期四川省双流中学高三年级四月考试数学试卷（文史类）参考答案一．选择题二．填空题 13.213 14.32 15.1132548+- 16.4 17.解：（1）∵121n n a a +=+，∴112(1)n n a a ++=+. 又11a =，∴1120a +=≠，10n a +≠. ∴{1}n a +是以2为首项，2为公比的等比数列. （2）由（1）知21n n a =-，∴1122(21)(21)n nnn n n a a ++=--1112121n n +=---, ∴22111212121n T =-+---31111212121n n +-+⋅⋅⋅+---- 11121n +=--.18.解：（1）由题知，不积极参加班级工作且学习积极性不高的学生有19人，总人数为50人，所以1950P =． （2）设这7名学生分别为a ，b ，c ，d ，e ，A ，B （大写为男生），则从中抽取两名学生的情况有：(,)a b ，(,)a c ，(,)a d ，(,)a e ，(,)a A ，(,)a B ，(,)b c ，(,)b d ，(,)b e ，(,)b A ，(,)b B ，(,)c d ，(,)c e ，(,)c A ，(,)c B ，(,)d e ，(,)d A ，(,)d B ，(,)e A ，(,)e B ，(,)A B 共21种情况，其中有1名男生的有10种情况，∴1021P =． （3）由题意得，2250(181967)11.53810.82824262525K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，故有99.9%的把握认为“学生的学习积极性与对待班级工作的态度”有关系． 19.解（1）由已知得232==AD AM ，取RP 的中点T ，连接TN AT ,，由N 为PC 中点知,221,//==BC TN BC TN ，即,AM TN =又BC AD //，即,//AM TN 故四边形AMNT 为平行四边形，于是,//AT MN 因为,,PAB MN PAB AT 平面平面⊄⊂所以,//PAB MN 平面（2）因为⊥PA 平面ABCD ，N 为PC 的中点，所以N 到平面ABCD 的距离为,21PA 取BC 得中点E ，连接AE ，由3==AC AB 得,5,22=-=⊥BE AB AE BC AE 由BC AM //得M 到BC 的距离为5，故5421⨯⨯=∆BCM S ，所以四面体BCM N -的体积为.354231=⨯⨯=∆-PA S V BCM BCM N 20．解: （I ） 21,22==e c 3,2==∴b aC ∴的方程13422=+∴y x（II ）设点),(y x N()11,y x P ()221<<-x ,则1342121=+y x ,即3442121-=-x y,2:1-=x l 直线P A 2的方程:()2211--=x x y y ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--∴24-,211x y M ,又2111+=x y k P A , ∴直线P A 1的方程为)1()2(211++=x x y y ∴)2(34112-=x y k MF∴直线2MF 的方程为)2()1()2(3411--=x x y y由(1),(2)得：)1)(2()4(3421212-+-=x x x y y ∴)1)(2(2-+-=x x y 即 0222=-++x y x 所以，点N 在定圆上。
山东省16市2020届高三第一次模拟（4月）考试数学试题分类汇编集合一、单项选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的｡1.（2020·淄博·一模）1．已知全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{2，3，5}，集合B＝{1，3，4，6}，则集合A∩（∁U B）＝（）A．{3}B．{1，4，6}C．{2，5}D．{2，3，5}【答案】C【分析】根据题意求解集合A，B，再根据集合的及交集运算法则，即可求解.【解析】由全集U及B，求出B的补集，找出A与B的补集的交集即可．∵全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{2，3，5}，集合B＝{1，3，4，6}，∴∁U B＝{2，5}，则A∩（∁U B）＝{2，5}，故选：C．【名师点睛】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2.（2020·枣庄·一模）1.已知集合A={x|y=lg(x+1)}，B={y|y=−2x,x∈R}，则A∪B=（）A. (−1,0)B. (−1,+∞)C. RD. (−∞,0)【答案】C【分析】求出对数型复合函数的定义域得集合A，结合指数函数的值域求得集合B，再根据并集概念求得交集．【解析】由题意A={x|x+1>0}={x|x>−1}=(−1,+∞)，B={y|y<0}=(−∞,0)，∴A∪B=R．故选：C．【名师点睛】本题考查集合的并集运算，掌握对数函数和指数函数的性质是解题关键．3.（2020·潍坊·一模）1.设集合A={2,4}，B={x∈N|x−3≤0}，则A∪B=（）1,2,3,4 B. {0,1,2,3,4} C. {2} D. {x|x≤4}A. {}【答案】B【分析】求解集合B中的不等式，用列举法表示集合B，再根据并集的定义求出A∪B即可.【解析】由集合B ={x ∈N|x −3≤0}，化简可得{}0,1,2,3B =， 由A ={2,4}， ∴A ∪B ={0,1,2,3,4}. 故选：B.【名师点睛】本题考查了集合的不同表示方法，考查了并集的定义及其运算，考查了转化能力，属于基础题.4. （2020·威海·一模）1.已知集合A ={x|x =5n +1,n ∈N}，B ={6,9,11,18}，则集合A ∩B 中元素的个数为（ ） A. 4个 B. 3个C. 2个D. 1个【答案】C【分析】根据描述法可知集合A 中元素，利用交集计算即可. 【解析】因为A ={x|x =5n +1,n ∈N}， 所以A 中元素为被5除余1的自然数， 所以A ∩B ={6,11}，元素有2个， 故选：C【名师点睛】本题主要考查了集合描述法，集合的交集运算，属于容易题.5. （2020·泰安·一模）1.已知全集U =R ，集合M ={x|−3<x <1}，N ={x||x|⩽1}，则阴影部分表示的集合是（ ）A. [−1,1]B. (−3,1]C. (−∞,−3)∪(−1,+∞)D. (3,1)--【答案】D【分析】先求出集合N 的补集∁U N ，再求出集合M 与∁U N 的交集，即为所求阴影部分表示的集合. 【解析】由U =R ，N ={x||x|⩽1}，可得∁U N ={x |x <−1或x >1}， 又M ={x|−3<x <1}所以M ∩∁U N ={x |−3<x <−1}. 故选：D.【名师点睛】本题考查了韦恩图表示集合，集合的交集和补集的运算，属于基础题. 6. （2020·青岛·一模）2. 已知集合A ={x ∈R|log2x<2}，集合B ={x ∈R||x −1|<2}，则A ∩B =（ ） A. (0,3) B. (−1,3)C. (0,4)D. (,3)-∞【答案】A【分析】先求出集合A ，集合B ，由此能求出A ∩B ． 【解析】∵集合2{|log 2}{|04}A x R x x x =∈<=<<， 集合{||1|2}{|13}B x R x x x =∈-<=-<<， ∴A ∩B ={x|0<x <3}=(0,3)． 故选：A ．【名师点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题． 7. （2020·临沂·一模）1.已知集合A ={x ∈Z|x 2<2}，B ={x|2x >1}，则A ∩B =（ ） A. {1} B. {1,2}C. {0,1}D. {−1,0,1}【答案】A【分析】计算A ={−1,0,1}，B ={x |x >0}，再计算交集得到答案.【解析】A ={x ∈Z|x 2<2}={−1,0,1}，B ={x |2x ⟩1}={x |x >0}，故A ∩B ={1}. 故选：A .【名师点睛】本题考查了交集运算，属于简单题.8. （2020·聊城·一模）1.已知集合{}*|4,{|(2)0}A x x B x x x =∈<=-N ，则集合A ∩B 中元素的个数为（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】B【分析】根据题意，求出集合B ，利用集合的交运算求解即可. 【解析】根据题意，集合B ={x |0≤x ≤2}，因集合A ={x ∈N ∗|x<4}，由集合的交运算可得，A ∩B ={1,2}， 所以集合A ∩B 中元素的个数为2. 故选：2【名师点睛】本题考查集合的交运算；考查运算求解能力；属于基础题.9. （2020·济宁·一模）1.已知集合A ={x|x 2−x −2>0}，集合B ={x|y =√x −2}，则A ∩B =( ) A. 2,+∞) B. (2,+∞)C. 1,+∞)D. (1,+∞)【答案】B【分析】根据题意求解集合A ，B ，再根据集合的及交集运算法则，即可求解. 【解析】由题意，得A ={x|x <−1或x >2}B ={x|x −2≥0}={x|x ≥2}所以A ∩B =(2,+∞) 故选：B【名师点睛】本题考查集合交集运算，属于基础题.10. （2020·济南·一模）1.已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2>x}，则∁U A =（ ） A. [0,1] B. (0,1)C. −∞,1D. (−∞,1)【答案】A 分析】先化简集合A ，再求∁U A 得解.【解析】由题得A ＝{x |x >1或x <0}， 所以∁U A =[0,1]. 故选：A 【名师点睛】本题主要考查集合的化简和并集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 11. （2020·菏泽·一模）2.若集合A ={x|y =√1−x}，2{|20}B x x x =--≤，则A ∩B =（ ）．A. [−1,1]B. −1,2]C. [1,2]D. (−1,1]【答案】A【分析】化简集合A,B ，按照交集定义，即可求解 【解析】易知A ={x|y =√1−x}={x|x ≤1}，{|12}B x x =-≤≤，所以A ∩B ={x|−1≤x ≤1}． 故选：A ．【名师点睛】本题考查集合间的运算，属于基础题.12. （2020·东营一中·一模）1.已知集合A ={x|14≤2x ≤4}，B ={y|y =lg x ,x >110}，则A ∩B =（ ）A. [−2,2]B. (1,)+∞C. −1,2D. −∞,−1∪(2,+∞)【答案】C【.【分析】先解得不等式14≤2x≤4及x>110时函数y=lg x的值域,再根据交集的定义求解即可.【解析】由题,不等式14≤2x≤4,解得−2≤x≤2,即A={x|−2≤x≤2}；因为函数y=lg x单调递增,且x>110,所以y>−1,即B={y|y>−1},则A∩B=−1,2,故选:C【名师点睛】本题考查集合的交集运算,考查解指数不等式,考查对数函数的值域.13.（2020·德州·一模）1.设集合A={x|1≤2x≤√2}，B={x|ln x≤0}，则A∩B=（）A.10,2⎛⎫⎪⎝⎭B. 0,12) C. 0,12D. [0,12]【答案】C【分析】计算A={x|0≤x≤12}，B={x|0<x≤1}，再计算交集得到答案【解析】A={x|1≤2x≤√2}={x|0≤x≤12}，B={x|ln x≤0}={x|0<x≤1}，故A∩B=0,12.故选：C.【名师点睛】本题考查了交集计算，意在考查学生的计算能力.14.（2020·烟台·一模）1．已知集合M＝{x|y＝ln（x+1）}，N＝{y|y＝e x}，则M∩N＝A．（﹣1，0）B．（﹣1，+∞）C．（0，+∞）D．R【答案】C【分析】可以求出集合M，N，然后进行交集的运算即可．【解析】：∵M＝{x|x＞﹣1}，N＝{y|y＞0}，∴M∩N＝（0，+∞）．故选：C．【名师点睛】本题考查了描述法、区间的定义，对数函数的定义域，指数函数的值域，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．15.（2020·日照·一模）2. 已知集合M={x|x2−2x<0}，N={−2,−1,0,1,2}，则M N =（）．A. ∅B. {1}C. {0,1}D. {−1,0,1}【答案】B【分析】首先求出集合M，然后再利用集合的交运算即可求解. .【解析】由集合M ={x |x 2−2x <0}={x |0<x <2}，N ={−2,−1,0,1,2}， 所以M N {1}.故选：B【名师点睛】本题考查了集合的交运算、一元二次不等式的解法，属于基础题.山东省16市2020届高三第一次模拟（4月）考试数学试题分类汇编常用逻辑用语一、单项选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的｡ 16. （2020·淄博·一模）3．设z =1−i1+i +2i ，则|z |＝（ ） A ．0 B ．12C ．1D ．√2【答案】C【分析】 利用复数的代数形式的混合运算化简后，然后求解复数的模． z =1−i 1+i +2i =(1−i)(1−i)(1−i)(1+i)+2i ＝﹣i +2i ＝i ， 则|z |＝1． 故选：C ．【名师点睛】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的模的求法，考查计算能力． 17. （2020·枣庄·一模）3.“cos θ<0”是“θ为第二或第三象限角”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【分析】求出cos θ<0时θ的范围后，再根据充分必要条件的概念判断．【解析】cos θ<0时，θ是第二或第三象限角或终边在x 轴负半轴，因此题中就是必要不充分条件． 故选：B ．【名师点睛】本题考查充分必要条件，掌握充要条件和必要条件的定义是解题基础． 18. （2020·潍坊·一模）4.“a <1”是“∀x >0，x 2+1x≥a ”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据基本不等式的性质可得充分性成立，根据特殊值判断不是必要条件，即可得解. 【解析】∀x >0，x 2+1x=x +1x ≥2√x ⋅1x =2，当且仅当x =1x ，即x =1时取等号.若a<1时，则∀x>0，x2+1x≥2>1>a，因此“a<1”是“∀x>0，x2+1x≥a”的充分条件；若∀x>0，x2+1x ≥a，则a≤(x2+1x)min，即a≤2，推不出“a<1”，因此“a<1”不是“∀x>0，x2+1x≥a”的必要条件.故“a<1”是“∀x>0，x2+1x≥a”的充分不必要条件.故选：A.【名师点睛】本题考查了充分性与必要性的判断与应用，考查了基本不等式的应用，属于基础题.19.（2020·泰安·一模）4.已知函数f(x)=log a(|x−2|−a)(a>0，且a≠1)，则“f(x)在(3,+∞)上是单调函数”是“0<a<1”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【分析】先求出复合函数f(x)在(3,+∞)上是单调函数的充要条件，再看其和0<a<1的包含关系，利用集合间包含关系与充要条件之间的关系，判断正确答案.【解析】f(x)=log a(|x−2|−a)(a>0，且a≠1)，由|x−2|−a>0得x<2−a或x>2+a，即f(x)的定义域为{x|x<2−a或x>2+a}，（a>0,且a≠1）令t=|x−2|−a，其在(−∞,2−a)单调递减，(2+a,+∞)单调递增，f(x)在(3,+∞)上是单调函数，其充要条件为{2+a≤3 a>0a≠1即0<a<1.故选：C.【名师点睛】本题考查了复合函数的单调性的判断问题，充要条件的判断，属于基础题.20.（2020·临沂·一模）3.若a∈R，则“|a|>1”是“a3>1”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【分析】依次判断充分性和必要性，取a=−2得到不充分，得到答案.【解析】当|a|>1时，取a=−2，则a3=−8<1，故不充分；当a3>1时，根据幂函数y=x3的单调性得到a>1，故|a|>1，必要性成立.故选：B .【名师点睛】本题考查了必要不充分条件，意在考查学生的推断能力.21. （2020·聊城·一模）3.“a <2”是“∀x ∈R,a ≤x 2+1为真命题”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【分析】利用恒成立问题求参数的取值范围的方法求出a 的取值范围，再由充分必要条件的定义进行判断即可.【解析】因为∀x ∈R,a ≤x 2+1为真命题，又x 2+1≥1对∀x ∈R 恒成立， 所以∀x ∈R,a ≤x 2+1为真命题等价于a ≤1，所以“a <2”不能推出“a ≤1”，反之，“a ≤1”能推出“a <2”， 所以“a <2”是“∀x ∈R,a ≤x 2+1为真命题”的必要不充分条件. 故选：B【名师点睛】本题考查利用恒成立问题求参数的取值范围和充分必要条件；考查运算求解能力和逻辑推理能力；熟练掌握恒成立问题求参数的取值范围的方法和充分必要条件的判断是求解本题的关键；属于中档题.22. （2020·济宁·一模）3.“0x y >>”是“ln (x +1)>ln (y +1)”成立的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 即不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据题意，由对数函数的单调性，解对数不等式，结合对数函数定义域，判断充分性和必要性. 【解析】因为对数函数y =ln x 是增函数，定义域为(0，+∞)因为0x y >>，所以x +1>y +1>1，即ln (x +1)>ln (y +1)，所以充分性成立； 因为ln (x +1)>ln (y +1)，所以x +1>y +1>0，即x >y >−1，所以必要性不成立， 所以0x y >>是ln (x +1)>ln (y +1)的充分不必要条件， 故选：A【名师点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，考查逻辑推理能力，属于基础题.23. （2020·菏泽·一模）3.2019年12月，湖北省武汉市发现多起病毒性肺炎病例．2020年1月12日，世界卫生组织正式将造成此次肺炎疫情的病毒命名为“2019新型冠状病毒”．2020年2月11日，世界卫生组织将新型冠状病毒感染的肺炎命名为COVID-19（新冠肺炎）｡新冠肺炎患者症状是发热､干咳､浑身乏力等外部表征｡“某人表现为发热､干咳､浑身乏力”是“新冠肺炎患者”的（）．A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据充分必要的定义，即可得出结论.【解析】表现为发热、干咳、浑身乏力者不一定是感染新型冠状病毒，或者只是普通感冒等；而新型冠状病毒感染者早期症状表现为发热、干咳浑身乏力等外部表征．因而“某人表现为发热、干咳、浑身乏力”是“该人患得新型冠状病毒”的必要不充分条件．故选：A．【名师点睛】本题考查必要不充分条件的判定，属于基础题.24.（2020·东营一中·一模）3.“a<2”是“∀x>0,a≤x+1x”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【分析】若∀x>0,a≤x+1x ,则a≤(x+1x)min,利用均值定理可得(x+1x)min,则a≤2,进而判断命题之间的关系.【解析】若∀x>0,a≤x+1x ,则a≤(x+1x)min,因为x+1x ≥2,当且仅当x=1x时等号成立,所以a≤2,因为{a|a<2}⊆{a|a≤2},所以“a<2”是“∀x>0,a≤x+1x”的充分不必要条件,故选:A【名师点睛】本题考查充分条件和必要条件的判定,考查利用均值定理求最值.25.（2020·烟台·一模）3．设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“x2+2x﹣3＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．【解析】：解不等式|x﹣2|＜1，得1＜x＜3；解不等式x2+2x﹣3＞0，得x＜﹣3或x＞1．设集合A＝{x|1＜x＜3}，集合B＝{x|x＜﹣3或x＞1}．充分性：因为A⊂B，故充分性成立；必要性：当x＜﹣3或x＞1时，1＜x＜3不一定成立，故必要性不成立；综上“|x﹣2|＜1”是“x2+2x﹣3＞0”的充分不必要条件．故选：A．【名师点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，对不等式的正确求解是解决本题的关键．二、多项选择题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求｡全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分｡26.（2020·威海·一模）9.若a，b为正实数，则a b>的充要条件为（）A. 11a b> B. ln a>ln b C. a ln a<b ln b D. a−b<e a−e b【答案】BD【分析】根据充要条件的定义，寻求所给不等式的等价条件，满足与a b>等价的即可.【解析】因为1a >1b⇔b>a，故A选项错误；因为a，b为正实数，所以ln a>ln b⇔a>b，故B选项正确；取a=e2>b=e，则e2ln e2=2e2，e ln e=e，即a ln a<b ln b不成立，故C选项错误；因为y′=(e x−x)′=e x−1，当x>0时，y′>0，所以y=e x−x在(0,)x∈+∞上单调递增，即a>b⇔e a−a>e b−b⇔a−b<e a−e b，故D正确.故选：BD【名师点睛】本题主要考查了充要条件，不等式的性质，函数的单调性，属于中档题.三、填空题：27.（2020·菏泽·一模）13.命题“所有无理数的平方都是有理数”的否定是__________．【答案】存在一个无理数，它的平方不是有理数【分析】根据全称命题的否定形式，即可求解结论.【解析】存在一个无理数，它的平方不是有理数，全称性命题的否定是先改变量词，然后否定结论，故所求的否定是“存在一个无理数，它的平方不是有理数”． 故答案为：存在一个无理数，它的平方不是有理数【名师点睛】本题考查命题的否定形式，要注意量词之间的转化，属于基础题.山东省16市2020届高三第一次模拟（4月）考试数学试题分类汇编复数一、单项选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的｡28. （2020·枣庄·一模）2.已知i 是虚数单位，i −1是关于x 的方程x 2+px +q =0(p,q ∈R)的一个根，则p +q =（ ） A. 4 B. −4 C. 2 D. 2-【答案】A【分析】根据实系数方程的虚数根成对出现得出另一个根，然后由韦达定理求出p,q ， 【解析】∵i −1是关于x 的方程x 2+px +q =0(p,q ∈R)的一个根，∴方程的另一根为1i --， ∴−1+i +(−1−i)=−p ，p =2，q =(−1+i)(−1−i)=2，∴4p q +=． 故选：A ．【名师点睛】本题考查实系数方程的复数根问题，需掌握下列性质：实系数方程的虚数根成对出现，它们是共轭复数．29. （2020·威海·一模）2.已知复数z 满足(z +2)(1+i)=2i ，则z̄=（ ） A. 1i -+ B. 1i -- C. 1i - D. 1+i【答案】B【分析】根据复数的运算法则计算z ，即可写出共轭复数. 【解析】因为(z +2)(1+i)=2i ，所以z =2i1+i −2=2i(1−i)(1+i)(1−i)−2=i(1−i)−2=−1+i ， 故z =−1−i ， 故选：B【名师点睛】本题主要考查了复数的运算法则，共轭复数的概念，属于容易题.30. （2020·泰安·一模）2.已知复数2−ai i=1−bi ，其中a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则|a +bi |=（ ）A. −1+2iB. 1C. 5D. √5【答案】D【解析】由2−ai i=1−bi 得2−ai =i (1−bi )=b +i,∴a =−1,b =2 则a +bi =−1+2i,∴|a +bi |=|−1+2i |=√(−1)2+22=√5，故选D.【名师点睛】考点：1、复数的运算；2、复数的模. 31. （2020·青岛·一模）1. 已知i 是虚数单位，复数z =1−2i i，则z 的共轭复数z 的虚部为（ ）A. i -B. 1C. iD. −1【答案】B【分析】利用复数的运算法则、共轭复数与虚部的定义即可得出． 【解析】12(12)2i i i z i i i i---===---，则z 的共轭复数z =−2+i 的虚部为1． 故选：B ．【名师点睛】本题考查了复数的运算法则、共轭复数与虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．32. （2020·临沂·一模）2.已知复数1z ，z 2在复平面内对应的点分别为(1,−1)，()0,1，则z 1z 2的共轭复数为（ ） A. 1+i B. 1i -+ C. 1i -- D. 1i -【答案】B【分析】根据题意z 1=1−i ，z 2=i ，z =z1z 2=−1−i ，再计算共轭复数得到答案.【解析】复数1z ，z 2在复平面内对应的点分别为(1,−1)，()0,1，故z 1=1−i ，z 2=i ， z =z 1z 2=1−i i=−i (1−i )−i =−1−i ，故z =−1+i .故选：B .【名师点睛】本题考查了复数的除法，共轭复数，复数对应的点，意在考查学生对于复数知识的综合应用. 33. （2020·聊城·一模）2.已知复数z 满足(1+2i )z =|3+4i |，则复数z 的共轭复数为（ ） A. 1−2i B. −1−2i C. −1+2i D. 1+2i【答案】D【分析】利用复数的模的定义和复数的四则运算求出复数z ，再由共轭复数的定义进行求解即可. 【解析】因为|3+4i |=√32+42=5， 所以z =|3+4i |(1+2i )=5(1−2i )(1−2i )(1+2i )=1−2i ， 由共轭复数的定义可知，z =1+2i . 故选：D【名师点睛】本题考查复数的模和复数的四则运算及共轭复数的定义；考查运算求解能力；熟练掌握复数的四则运算和共轭复数的定义是求解本题的关键；属于基础题.34.（2020·济宁·一模）2.已知复数z在复平面上对应的点为(−1,1)，则 ( )A. z+1是实数B. z+1是纯虚数C. z+i是实数D. z+i是纯虚数【答案】B【分析】由已知求得z，然后逐一核对四个选项得答案.【解析】由题意，z=−1+i则z+1=i，为纯虚数，故A错误，B正确；z+i=−1+2i，故C,D错误，故选：B【名师点睛】本题考查复数的分类判断，属于基础题.35.（2020·济南·一模）2.设复数z=2i1+i（其中i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A试题分析：，对应的点为，在第一象限，故答案为A.考点：复数的四则运算及几何意义.36.（2020·菏泽·一模）1.已知i是虚数单位，则1i⋅(1+i)=（）．A. iB. i-C. 1i-D. 1+i【答案】C【分析】根据复数的除法运算法则，即可求解.【解析】1i ⋅(1+i)=1i+1=1−i.故选：C．【名师点睛】本题考查复数的代数运算，属于基础题.37.（2020·东营一中·一模）2.设i是虚数单位，若复数a+5i2+i(a∈R)是纯虚数，则a的值为（）A. −3B. 3C. 1D. −1【答案】D【分析】整理复数为b +ci 的形式,由复数为纯虚数可知实部为0,虚部不为0,即可求解. 【解析】由题,a +5i2+i =a +5i (2−i )(2+i )(2−i )=a +2i +1=(a +1)+2i , 因为纯虚数,所以a +1=0,则a =−1, 故选:D【名师点睛】本题考查已知复数的类型求参数范围,考查复数的除法运算.38. （2020·德州·一模）2.已知复数z 满足z (1+2i )=4+3i （i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点在第（ ）象限. A. 一 B. 二 C. 三 D. 四【答案】A【分析】化简得到z =2−i ，故z =2+i ，得到答案. 【解析】z (1+2i )=4+3i ，则z =4+3i1+2i =(4+3i )(1−2i )(1+2i )(1−2i )=10−5i 5=2−i ，故z =2+i ，对应的点在第一象限. 故选：A .【名师点睛】本题考查了复数的化简，共轭复数，复数对应象限，意在考查学生的计算能力.39. （2020·日照·一模）1. 已知复数z 满足z (1+2i )=i ，则复数z 在复平面内对应点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】D【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，求出z 的坐标得答案． 【解析】由(12)z i i +=，得(12)2112(12)(12)55i i i z i i i i -===+++-，所以z =25−15i∴复数z 在复平面内对应的点的坐标为(25,−15)，在第四象限．故选：D ．【名师点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题． 40. （2020·烟台·一模）2．若复数z 满足（1+i ）z ＝2i ，其中i 为虚数单位，则z =（ ） A ．1﹣i B ．1+iC ．2﹣2iD ．2+2i【答案】D【分析】通过化简求出z ，从而求出z 的共轭复数即可．【解析】∵（1+i ）z ＝2i ， ∴z =2i 1+i=i （1﹣i ）＝1+i ，则z =1﹣i ， 故选：A ．【名师点睛】本题考查了复数的运算，考查复数的化简求值，是一道基础题．三、填空题：（2020·潍坊·一模）13.已知复数a−i 2+i是纯虚数（i 是虚数单位），则实数a 的值为_________.【答案】12【分析】利用复数的代数形式的乘除运算进行化简，根据纯虚数的定义，由实部等于0，虚部不等于0，列式求解即可.【解析】∵复数a−i2+i 是纯虚数，且a−i2+i =(a−i )(2−i )(2+i )(2−i )=2a−15+−2−a 5i ，{2a−15=0−2−a5≠0，解得a =12.故答案为：12.【名师点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算以及复数基本概念，属于基础题.山东省16市2020届高三第一次模拟（4月）考试数学试题分类汇编平面向量一、单项选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的｡41. （2020·淄博·一模）5．已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D 、E 分别是边AB 、BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →•BC →的值为（ ） A ．−58B ．14C ．18D ．118【答案】C【分析】 由题意画出图形，把AF →、BC →都用BA →、BC →表示，然后代入数量积公式得答案． 【解析】如图，∵D 、E 分别是边AB 、BC 的中点，且DE ＝2EF ，∴AF →•BC →=(AD →+DF →)⋅BC →=(−12BA →+32DE →)⋅BC →=(−12BA →+34AC →)⋅BC →=(−12BA →+34BC →−34BA →)⋅BC →=(−54BA →+34BC →)⋅BC →=−54BA →⋅BC →+34BC →2=−54|BA →|⋅|BC →|cos60°+34×12=−54×1×1×12+34=18． 故选：C ．【名师点睛】本题考查平面向量的数量积运算，考查向量加减法的三角形法则，是中档题．42. （2020·潍坊·一模）3.在平面直角坐标系xOy 中，点P(√3,1)，将向量OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 绕点O 按逆时针方向旋转π2后得到向量OQ ，则点Q 的坐标是（ ） A. (−√2,1) B. (−1,√2) C. (−√3,1) D. (−1,√3)【答案】D【分析】化P(√3,1)为P (2cos π6,2sin π6)，然后利用两角和的正弦与余弦公式，求得点Q 坐标，即可得解. 【解析】由P(√3,1)，得P (2cos π6,2sin π6)， ∵将向量OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 绕点O 按逆时针方向旋转π2后得到向量OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴Q (2cos (π6+π2),2sin (π6+π2))，又cos (π6+π2)=−sin π6=−12，sin (π6+π2)=cos π6=√32，∴Q(−1,√3). 故选：D.【名师点睛】本题考查了平面向量中的应用问题以及坐标与图形变换的关系，考查了三角函数的定义，属于基础题.43. （2020·泰安·一模）6.如图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB⃗⃗⃗⃗⃗ =mAM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =nAN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则m +n =（ ）A. 1B. 32C. 2D. 3【答案】C【分析】连接AO ，因为O 为BC 中点，可由平行四边形法则得AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，再将其用AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示.由M 、O 、N 三点共线可知，其表达式中的系数和m2+n2=1，即可求出m +n 的值. 【解析】连接AO ，由O 为BC 中点可得，AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=m 2AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +n2AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∵M 、O 、N 三点共线， ∴m 2+n2=1，2m n ∴+=.故选：C.【名师点睛】本题考查了向量的线性运算，由三点共线求参数的问题，熟记向量的共线定理是关键.属于基础题.44. （2020·临沂·一模）4.已知向量a →,b →,c →，其中a →与b →是相反向量，且a →+c →=b →，a →−c →=(3,−3)，则a →⋅b →=（ ） A. √2 B. −√2C. 2D. 2-【答案】D【分析】设a=(x,y )，则b ⃗ =(−x,−y )，计算得到x =1，y =−1，再计算数量积得到答案. 【解析】设a =(x,y )，则b ⃗ =(−x,−y )，a +c =b ⃗ ，故c =(−2x,−2y )， a −c =(3x,3y )=(3,−3)，故x =1，y =−1，a ⋅b⃗ =(1,−1)⋅(−1,1)=−2故选：D.【名师点睛】本题考查了向量的数量积，意在考查学生的计算能力和转化能力.45.（2020·济南·一模）3.加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分．某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为60°，每只胳膊的拉力大小均为400N，则该学生的体重（单位：kg）约为（）（参考数据：取重力加速度大小为g＝10m/s2，√3≈1.732）A. 63B. 69C. 75D. 81【答案】B【分析】根据平行四边形法则得到该学生的体重|G|=|F′|利用余弦定理即可求出|F′|得解.【解析】如图，设该学生的体重为G则G=F′.)=3×4002,∴|F′|=400√3.由余弦定理得|F′|2=4002+4002−2×400×400×cos(2π3所以|G|=400√3≈69kg.故选：B【名师点睛】本题主要考查向量的平行四边形法则和余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.46.（2020·菏泽·一模）4.已知向量a，b⃗满足a=(1,2)，a+b⃗=(1+m,1)，若a//b⃗，则m=（）．A. 2B. 2C. 12D. −12【答案】D【分析】根据已知求出b⃗ 的坐标，再由共线向量的坐标关系，即可求解. 【解析】b ⃗ =(a +b ⃗ )−a =(1+m,1)−(1,2)=(m,−1)． 因为a ∥b ⃗ ，所以2m +1=0，解得m =−12． 故选：D ．【名师点睛】本题考查向量的坐标运算，熟记公式即可，属于基础题.47. （2020·烟台·一模）5．设ABCD 为平行四边形，|AB|→=4，|AD|→=6，∠BAD =π3，若点M ，N 满足BM →=MC →，AN →=2ND →，则NM →⋅AM →=（ ） A ．23B ．17C ．15D ．9【答案】B【分析】根据向量的三角形法则结合已知条件，把所求问题转化即可求解．【解析】如图：∵ABCD 为平行四边形，|AB|→=4，|AD|→=6，∠BAD =π3，若点M ，N 满足BM →=MC →，AN →=2ND →， 则NM →⋅AM →＝（NA →+AB →+BM →）•（AB →+BM →） ＝（−23AD →+AB →+12AD →）•（AB →+12AD →）＝（−16AD →+AB →））•（AB →+12AD →）=AB →2+13AB →⋅AD →−112AD →2＝42+13×4×6×cos60°−112×62＝17． 故选：B ．【名师点睛】本题考查了平面向量的运算，数量积的运用，考查了数形结合的思想，关键是向量的分解，表示．二、多项选择题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求｡全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分｡48. （2020·青岛·一模）9. 已知向量a +b ⃗ =(1,1)，a −b ⃗ =(−3,1)，c =(1,1)，设a ,b⃗ 的夹角为θ，则（ ） A. |a |=|b ⃗ | B. a⊥c C. b ⃗ //cD. θ=135°【答案】BD 分析】根据题意，求出a ,b⃗ 的坐标，据此分析选项，综合即可得答案． 【解析】根据题意，a +b ⃗ =(1,1)，a −b ⃗ =(−3,1)，则a =(−1,1)，b ⃗ =(2,0)， 依次分析选项：对于A ，2a ||=，|b ⃗ |=2，则|a |=|b ⃗ |不成立，A 错误； 对于B ，a=(−1,1)，c =(1,1)，则a c =0，即a ⊥c ，B 正确； 对于C ，b ⃗ =(2,0)，c =(1,1)，b ⃗ //c 不成立，C 错误；对于D ，a =(−1,1)，b ⃗ =(2,0)，则a b⃗ =−2，2a ||=，|b ⃗ |=2，则cos θ==，则θ=135°，D 正确； 故选：BD ．【名师点睛】本题考查向量数量积的计算，涉及向量夹角的计算，属于基础题．49. （2020·德州·一模）12.如图，已知点E 是▱ABCD 的边AB 的中点，F n (n ∈N ∗)为边BC 上的一列点，连接n AF 交BD 于G n ，点G n (n ∈N ∗)满足G n D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a n+1⋅G n A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −2(2a n +3)⋅G n E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，其中数列{a n }是首项为1的正项数列，S n 是数列{a n }的前n 项和，则下列结论正确的是（ ）A. a 3=13B. 数列{a n +3}是等比数列C. 43n a n =-D. 122n n S n +=--【答案】AB【分析】化简得到G n D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a n+1−2a n −3)⋅G n A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −(2a n +3)⋅G n B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，根据共线得到a n+1−2a n −3=0，即a n+1+3=2(a n +3)，计算a n =2n+1−3，依次判断每个选项得到答案.【【解析】G n D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a n+1⋅G n A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −2(2a n +3)⋅12(G n A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +G n B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )， 故G n D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a n+1−2a n −3)⋅G n A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −(2a n +3)⋅G n B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，G n D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,G n B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线，故a n+1−2a n −3=0， 即a n+1+3=2(a n +3)，a 1=1，故a n +3=4×2n−1，故a n =2n+1−3. a 3=24−3=13，A 正确；数列{a n +3}是等比数列，B 正确； a n =2n+1−3，C 错误；S n =41−2n 1−2−3n =2n+2−3n −4，故D 错误.故选：AB .【名师点睛】本题考查了向量运算，数列的通项公式，数列求和，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力.三、填空题：50. （2020·枣庄·一模）14.在平行四边形ABCD 中，3AB ，AD =2，点M 满足DM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，点N 满足CN ⃗⃗⃗⃗⃗ =12DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =_________． 【答案】0 分析】把向量AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 都用AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示，再进行数量积运算即得．【解析】∵DM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，CN ⃗⃗⃗⃗⃗ =12DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +CN ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(49AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2)=12×(49×32−22)=0． 故答案为：0．【名师点睛】本题考查平面向量的数量积，解题关键是选取AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 为基底，其它向量都用基底表示，然后再进行运算．51. （2020·威海·一模）13.已知a →，b →为单位向量，c →=2a →−b →，且<a →,b →>=π3，则⟨a →,c →⟩=________．【答案】π6【分析】根据向量的夹角公式及数量积的运算计算即可求解.【解析】因为cos⟨a →,c →⟩=a →⋅c→|a→|⋅|c →|=a →(2a →−b →)|2a →−b →|=→2→→√(2a −b )2=2−cosπ3√4+1−4cos 3=√32，又0≤⟨a →,c →⟩≤π， 所以⟨a →,c →⟩=π6， 故答案为：π6【【名师点睛】本题主要考查了向量数量积的定义，运算法则，性质，向量的夹角公式，属于中档题. 52. （2020·聊城·一模）15.已知a =(cosα,sin α),b⃗ =(sin β,cos β)，且α+β=100°，则向量a 与b ⃗ 的夹角θ=___ 【答案】10°【分析】利用平面向量数量积的坐标表示和模的坐标表示求出a ⋅b ⃗ ,|a |,|b ⃗ |，代入夹角公式求解即可. 【解析】因为a =(cosα,sin α),b ⃗ =(sin β,cos β)， 所以a ⋅b ⃗ =cos αsin β+sin αcos β=sin (α+β)， |a |=√cos 2α+sin 2α=1,|b ⃗ |=√sin 2β+cos 2β=1， 由平面向量的夹角公式可得， cos θ=a⃗ ⋅b ⃗ |a⃗ |⋅|b ⃗ |=sin (α+β)1×1=sin (α+β)，因为α+β=100°，所以cos θ=sin (α+β)=sin 100∘=sin (90∘+10∘)=cos 10∘， 所以向量a 与b ⃗ 的夹角为10∘. 故答案为：10∘【名师点睛】本题考查平面向量数量积的坐标表示和模的坐标表示及其夹角公式、两角和的正弦公式及三角函数的诱导公式；考查运算求解能力和知识的综合运用能力；属于中档题.53. （2020·济宁·一模）14.如图，在边长为2的菱形ABCD 中∠BAD =60∘，E 为CD 中点，则AE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 、【答案】1 【解析】将表示为，然后利用向量的运算法则及数量积的定义即可求解．在菱形ABCD 中，∠BAD =60∘，所以三角形ABD 是正三角形，从而∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DE ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD BD ⋅+DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗故答案为1．【名师点睛】考点：平面向量的数量积．54. （2020·济南·一模）15.已知e 1⃗⃗⃗ ,e 2⃗⃗⃗ 是夹角为π3的单位向量，若|ae 1⃗⃗⃗ +be 2⃗⃗⃗ |=√3(a,b ∈R)，则a +b 的最大值为_________． 【答案】2【分析】先化简为(a +b)2−3=ab ，再解不等式(a +b)2−3=ab ≤(a+b)24得解.【解析】由题得a 2+b 2+2ab ×12=3,∴(a +b)2−ab =3,∴(a +b)2−3=ab ， 所以(a +b)2−3=ab ≤(a+b)24,∴(a +b)2≤4,∴a +b ≤2.(当且仅当a =b =1时取等) 所以a +b 的最大值为2. 故答案为：2【名师点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算和基本不等式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.55. （2020·菏泽·一模）15.已知直线Ax +By +C =0（其中A 2+B 2=C 2，C ≠0）与圆x 2+y 2=6交于点M ，N ，O 是坐标原点，则|MN |=__________，OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =__________． 【答案】 (1). 2√5 (2). −10【分析】先求出圆心O 到直线Ax +By +C =0的距离，再由相交弦长公式，求出|MN |；设M,N 的中点为D ，则有OD ⊥MN ，利用OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12ND ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，根据数量积的运算律，即可求解. 【解析】由A 2+B 2=C 2，C ≠0可知，圆心到直线Ax +By +C =0的距离d =√A 2+B 2=1， |MN|=2√|OM|2−d 2=2√6−1=2√5． 设M,N 的中点为D ，则OD ⊥MN ， OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−12MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=−10. 故答案为：2√5；−10.【名师点睛】本题考查直线与圆的位置关系、向量的数量积运算，熟记圆的弦长公式以及几何性质是解题关键，考查计算求解能力，属于中档题.56.（2020·东营一中·一模）13.已知向量a⃑=(2,m)，b⃗⃑=(1,−2)，且a⃑⊥b⃗⃑，则实数m的值是________．【答案】1【分析】根据a⊥b⃗即可得出a⋅b⃗=2−2m=0，从而求出m的值．【解析】∵a⊥b⃗；∴a⋅b⃗=2−2m=0；∴m＝1．故答案为：1．【名师点睛】本题考查向量垂直的充要条件，向量数量积的坐标运算．57.（2020·日照·一模）13. 已知向量m⃗⃗ =(a,−1)，n⃗=(−1,3)，若m n⊥，则a=__________．【答案】−3【分析】根据向量垂直坐标表示，即可求解.【解析】因为m n⊥，所以−a−3=0，即a=−3.故答案为：−3．【名师点睛】本题考查向量坐标运算，属于基础题.。
