统计研究 混合效应模型的非参数贝叶斯分位回归方法研究

DOI:10.13546/ki.tjyjc.2020.13.008 (^~------------------理论探讨混合效应贝叶斯模型的统计推断及其应用刘浩(中南财经政法大学统计与数学学院，武汉430073)摘要：文章对混合效应贝叶斯模型进行系统研究，针对其参数的先验优选、后验计算以及统计推断等进 行分析。

在此基础上，选取2014—2018年中国14个城市的雾S监测数据进行实证。

结果表明：在层数较多的 混合效应模型（HLM)中，当最高层数据较少时，结合先验估计的完全贝叶斯方法优于其他的估计方法。

从模型 总体拟合程度、模型偏差以及变量的显著性来看，极大似然估计下的经验贝叶斯估计效果优于限制极大似然估 计；综合来看，完全贝叶斯估计优于经验贝叶斯，而且在完全贝叶斯估计中，结合实际意义以及极大似然估计下 设置的先验分布拟合效果更好。

关键词：混合效应模型；贝叶斯统计；统计推断中图分类号:C812 文献标识码:A文章编号:1002-6487(2020) 13-0038-050引言在社会科学中，数据结构往往具有分层性和高维性，个体在某种意义上嵌套于较大的群体，而对于较大的群体，也拥有一系列的特征变量。

在估计方法上，与一些经 典估计方法相比，贝叶斯方法在统计推断时，除了可以利 用所搜集到的样本信息之外,还可以结合先验信息，确定 参数的先验分布，从而提高统计推断效果。

混合效应贝叶斯模型就是贝叶斯估计与混合效应模型(HLM)的结合。

国外对混合效应贝叶斯模型的研究主要集中在参数的后验计算上。

研究发现，众多学者已经在 混合效应贝叶斯模型的参数估计和模型应用上作出了系列贡献,Lindley和Smith(1972)开创了将贝叶斯方法应用于线性模型参数估计上的先河m,G〇el(1983)融合了经验贝叶斯方法和HLM模型，研究了各观测变量的超参数行为[21。

Gelfand等（1996)和Bryk等（1992)指出当高层单位量较小，数据缺失或数据比例失衡时，模型具有显著优势|3’\Seltzer(1993)则首次对HLM模型中参数的M CM C 模拟进行了研究(51,并促进了 HLM模型在后验计算上的发 展。

DOI: 10.13546/ki.tjyjc.2020.19.002 (-----------------------------------------丨理论探讨非参数面板数据模型的贝叶斯分位回归方法研究张敏，罗幼喜(湖北工业大学理学院，武汉430068)摘要：文章针对面板数据在贝叶斯分析的框架下讨论了非参数分位回归建模方法。

利用低秩薄板惩罚样条的展开，通过引入虚拟变量和非对称Laplace 分布，建立贝叶斯分层分位回归模型，给出了未知参数估计的Metropolis-Hastings 抽样算法。

模拟结果显示，新方法在稳定性和无偏性方面都更优于4种传统方法。

最后以 消费支出面板数据为例，演示了新方法在实际建模中的应用，获得了一些有益的新结论。

关键词：惩罚样条；非参数分位回归；MCMC 算法；蒙特卡罗模拟中图分类号:0212 文献标识码:A 文章编号：1002-6487(2020)19-0009-060引言面板数据建模一直是统计和计量经济研究领域中的一个热门课题，相比面板数据的参数模型,非参数面板数 据模型的灵活性更高，对模型的条件假设也更宽松。

自Muller (1988)"1首次将非参数方法引人面板数据中后，相关研究就大量出现在文献之中。

Lee 和R 〇bins 〇n (2015)121探讨了含有个体固定效应的面板数据非参数回归模型，采用 Nadaraya -Watson 核方法去近似条件均值函数，当带宽较 短，时期数和个体数都较大时，该方法的稳定性较好，但核 函数的估计方法会产生边界效应问题。

Qian 和Wang (2012)131提出了用边际整合的方法去近似面板数据半参数 模型中的非线性部分，蒙特卡洛模拟显示,在有限样本和基金项目：国家社会科学基金资助项目（17BJY210)作者简介：张敏（1995—），女，湖北利川人，硕士研究生，研究方向：贝叶斯统计。

(通讯作者）罗幼喜（1979—),男，湖北红安人，博士，副教授,研究方向：数据挖掘、计量经济建模。

统计学研究中的贝叶斯分析方法统计学是一门研究数据收集、分析和解释的学科。

在统计学中，贝叶斯分析方法是一种重要的统计推断方法，它基于贝叶斯概率理论，通过先验知识和实证数据来更新对未知参数的推断。

贝叶斯分析方法在各个领域中广泛应用，包括医学、经济学、生态学等。

在传统的统计学中，我们通常使用频率学派方法来进行统计推断。

频率学派方法主要依赖于大样本理论，通过观察到的数据来推断参数的真实值。

但是在实际中，样本往往是有限的，这就带来了一定的不确定性。

而贝叶斯分析方法可以在不完全信息下提供更精确的推断结果。

贝叶斯分析方法的一个重要概念是贝叶斯定理，即后验概率等于似然函数与先验概率的乘积除以边缘似然函数。

这个定理的核心思想是在观察到数据之后，我们可以通过将之前的知识和观察到的数据结合起来来更新对未知参数的推断。

贝叶斯分析方法的另一个关键概念是先验分布和后验分布。

先验分布是对未知参数的预先假设分布，它反映了我们对未知参数的先前知识或信念。

而后验分布则是在观察到数据后，根据贝叶斯定理计算得到的未知参数的概率分布。

通过后验分布，我们可以得到对未知参数的点估计、区间估计和预测。

贝叶斯分析方法的优点在于它能够利用先验信息来提供更准确的推断结果。

这在小样本情况下特别有用，因为先验信息可以帮助我们更好地缩小参数空间，减少不确定性。

而传统的频率学派方法在小样本情况下通常会产生较大的不确定性。

贝叶斯分析方法也可以应用于模型比较和选择。

在贝叶斯框架中，我们可以使用贝叶斯因子或边际似然来比较不同的模型。

这样我们可以选择最优的模型，从而提供最准确的预测和解释。

贝叶斯分析方法还可以与其他统计方法结合使用，如蒙特卡洛方法和马尔可夫链蒙特卡洛方法。

蒙特卡洛方法通过模拟伪随机数来近似计算复杂的概率积分，从而得到未知参数的分布。

而马尔可夫链蒙特卡洛方法则通过构建一个马尔可夫链，从而生成服从未知参数分布的样本。

这些方法可以帮助我们更好地处理高维参数空间和复杂的模型。

贝叶斯混合效应模型1. 引言贝叶斯混合效应模型（Bayesian Mixed Effects Model）是一种用于统计建模的方法，常用于分析具有层次结构和重复测量的数据。

该模型结合了贝叶斯统计学和混合效应模型的思想，能够对个体差异和群体差异进行建模，并通过后验分布进行参数估计。

本文将介绍贝叶斯混合效应模型的基本概念、建模步骤以及在实际数据分析中的应用。

同时还将讨论该模型的优点和限制，并给出一些相关资源供读者进一步学习和探索。

2. 贝叶斯统计学基础在介绍贝叶斯混合效应模型之前，我们先来回顾一下贝叶斯统计学的基本概念。

2.1 贝叶斯公式贝叶斯公式是贝叶斯统计学的核心思想，它描述了如何根据观察到的数据更新对参数的信念。

设θ为待估参数，x为观测到的数据，则根据贝叶斯公式，后验概率可以表示为：P(θ|x)=P(x|θ)P(θ)P(x)其中，P(x|θ)为似然函数，表示在给定参数θ的情况下观测到数据x的概率；P(θ)为先验概率，表示对参数θ的先前信念；P(x)为边缘概率，表示观测到数据x的概率。

2.2 贝叶斯模型贝叶斯统计学将参数视为随机变量，并引入先验分布来描述对参数的不确定性。

在贝叶斯模型中，我们可以通过似然函数和先验分布来计算后验分布，从而得到关于参数的更准确的推断。

常见的贝叶斯模型包括线性回归模型、混合效应模型等。

其中，混合效应模型是一种广泛应用于多层次数据分析中的方法。

3. 混合效应模型基础混合效应模型（Mixed Effects Model），也称为多层次线性模型（Hierarchical Linear Model），是一种用于分析具有层次结构和重复测量的数据的统计建模方法。

3.1 模型结构混合效应模型将数据分为不同层次，并假设每个层次具有不同的随机效应。

模型的基本结构可以表示为：y ij=X ijβ+Z ij b i+ϵij其中，y ij表示第i个个体在第j个层次上的观测值；X ij和Z ij分别为固定效应和随机效应的设计矩阵；β为固定效应系数；b i为第i个个体的随机效应；ϵij为误差项。

混合模型的贝叶斯分析与选择讲解混合模型是一种统计模型，它结合了不同的概率分布函数来对观测数据进行建模。

这些概率分布函数通常被称为成分分布，每个成分分布对应于混合模型中的一个分量。

每个分量的权重表示相应成分在总体中的重要性。

混合模型广泛应用于聚类分析、密度估计、异常检测等领域。

贝叶斯分析是一种基于贝叶斯定理的概率推断方法，它可以通过已知的先验分布和观测数据来推断未知的参数或模型。

在混合模型的贝叶斯分析中，我们希望通过观测数据来估计混合模型的分量、权重和参数。

首先，我们需要选择适当的先验分布。

对于混合模型的分量，可以选择狄利克雷分布作为先验，它对分量的权重进行建模。

对于每个分量的参数，可以选择合适的先验分布，例如高斯分布对于均值和协方差矩阵。

先验分布的选择需要结合领域知识和数据的先验信息。

在选择了先验分布后，我们可以使用贝叶斯定理来计算后验分布。

后验分布表示了给定观测数据的情况下，未知参数的不确定性。

我们可以利用贝叶斯定理将先验分布与似然函数相乘，再进行归一化，得到后验分布。

由于混合模型的参数通常是高维的，求解后验分布的解析解是困难的，因此我们通常使用采样方法，如马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC）方法，来从后验分布中抽样。

一旦获得了后验分布，我们可以利用它来进行推断和预测。

对于混合模型的选择，我们可以通过比较不同模型的后验分布来进行模型选择。

通常采用贝叶斯信息准则（BIC）或较为复杂的迹值变分近似（VB）方法来评估模型的相对准确性和复杂度。

BIC考虑了模型的拟合度和模型复杂度，较小的BIC值表示更好的模型。

VB方法则通过迭代优化模型的变分下界来逼近真实的后验分布。

此外，在混合模型的贝叶斯分析中，还可以进行模型比较。

我们可以定义不同模型之间的比较指标，如边际似然、超参数的后验概率等，来评估模型相对的好坏。

总结起来，混合模型的贝叶斯分析涉及先验分布的选择、后验分布的计算以及模型选择和比较。

通过贝叶斯分析，我们可以得到更准确的混合模型的估计值，并对模型进行选择和比较。

统计学中的混合模型分析混合模型（Mixed Models）是统计学中一种重要的数据分析方法，适用于研究中存在多层次结构、重复测量或者来自不同总体的数据。

混合模型分析可以帮助我们更好地理解数据背后的规律，并做出科学合理的推断与预测。

一、混合模型的定义和基本概念混合模型是一类由固定效应和随机效应构成的统计模型。

其中，固定效应表示总体的一般性规律，随机效应则是用来考虑不同个体之间的差异。

混合模型将这两种效应相结合，能够同时捕捉总体和个体的特征，从而提供更准确的数据分析结果。

在混合模型中，我们通常使用线性混合模型（Linear Mixed Models）进行分析。

线性混合模型的基本形式为：Y = Xβ + Zu + ε其中，Y表示观测变量的取值，X和Z是设计矩阵，β和u分别是固定效应和随机效应的参数，ε是残差项。

通过最大似然估计或贝叶斯方法，可以求解混合模型的参数，并进行统计推断。

二、混合模型的应用领域混合模型具有广泛的应用领域，特别是在以下几个方面表现出色：1. 长期研究中的重复测量数据分析：混合模型可以有效地处理长期研究中的重复测量数据，考虑到个体之间和测量之间的相关性，提高数据的分析效果。

2. 多层次结构数据分析：当数据存在多个层次结构时，传统的统计方法可能无法充分考虑到层次结构的影响。

而混合模型可以同时考虑到个体和群体层次的变异，更好地把握数据特征。

3. 不完全数据的分析：混合模型能够处理部分缺失的数据，通过考虑随机效应来填补缺失值，提高数据分析的准确性。

4. 随机实验和实验设计的分析：混合模型在随机实验和实验设计中也有重要应用。

通过考虑不同实验单位之间的差异，混合模型可以更好地评估实验因素对结果的影响。

三、混合模型分析的步骤混合模型分析的步骤主要包括以下几个方面：1. 数据准备：收集数据并进行预处理，包括数据清洗、变量选择和缺失值处理等。

2. 模型建立：确定混合模型的结构、选择随机效应以及建立固定效应的模型。

非参数回归模型在数据分析中的应用和实证研究一、引言随着数据科学技术的不断进步，传统的回归分析方法已不能满足数据处理与分析的需求。

因此，越来越多的非参数回归模型在数据分析领域得到了广泛的应用和研究。

与传统回归分析方法不同，非参数回归模型可以在不需要对数据进行过多假设的基础上构建模型，使得研究人员能够更好地发现数据的规律和特点。

二、非参数回归模型简介非参数回归模型是一种无需对数据变量与回归函数之间的函数形式设定假设的回归分析方法。

与传统的线性回归模型不同，非参数回归模型允许回归函数具有强非线性特征，从而更加准确地反映数据对回归函数的响应。

非参数回归模型可以通过多种方式构建，例如，核回归、局部多项式回归和样条回归等方法。

在实践中，核回归和局部多项式回归是最常用的两种非参数回归方法。

核回归利用核函数对变量$x$和对应的因变量$y$建立联系，通过核函数的核密度估计得到回归函数值。

局部多项式回归则是利用特殊的多项式函数来拟合数据，其中权重取决于距离的函数。

三、非参数回归模型在数据领域的应用非参数回归模型在数据分析中的应用主要有以下两个方面：1. 预测分析：在实际应用中，非参数回归模型常用于预测分析，如商品销量的预测、货币市场的股票价格预测等。

这些问题都需要分析历史数据与新数据之间的联系，并且提供准确可靠的预测结果。

2. 特征分析：非参数回归模型可以应用于理解数据中的关系，描述数据特征。

例如，非参数回归可以用来发现是否存在异常数据点，同时检测与变量的关系是否呈线性或非线性分布。

与传统的线性回归模型相比，非参数回归模型可以更强地适应数据的多元性，并且避免了对数据变量的过多限制。

因此，非参数回归模型在数据领域的应用和研究是极为重要的。

四、非参数回归模型在实证研究中的应用非参数回归模型在实证研究中同样发挥了重要作用，包括以下几个方面：1. 上市公司股票回报研究。

通过非参数回归分析，可以建立股票回报与其他因素的关联模型，如市场指数、市值和收益率等，从而预测股票的发展趋势。

非参数分位数回归非参数分位数回归（nonparametric quantile regression）是一种用于研究变量之间关系的统计方法。

与传统的回归分析方法相比，非参数分位数回归不需要对数据的分布做出任何假设，因此更加灵活和具有普适性。

本文将介绍非参数分位数回归的原理、应用场景以及优势。

一、原理非参数分位数回归的核心思想是通过估计不同分位点上的条件分布函数，来揭示自变量和因变量之间的关系。

与传统的回归方法只关注于均值时，非参数分位数回归能够更全面地描述变量之间的关系，并能够捕捉到数据分布的不对称性和离群值的影响。

二、应用场景非参数分位数回归在实际应用中有广泛的应用场景。

首先，它可以用于研究收入分配问题。

通过估计收入的分位数与其他变量（如教育水平、工作经验等）之间的关系，可以揭示不同因素对不同收入群体的影响程度。

其次，非参数分位数回归还可以用于金融领域的风险评估。

通过估计不同分位数下的股票收益与市场因素之间的关系，可以评估不同风险水平下的投资回报。

此外，非参数分位数回归还可以应用于医学研究、环境科学等领域。

三、优势相比传统的回归方法，非参数分位数回归有以下几个优势。

首先，非参数分位数回归不需要对数据分布做任何假设，因此更加灵活和普适。

其次，非参数分位数回归能够捕捉到数据分布的不对称性和离群值的影响，更能反映真实的数据特征。

此外，非参数分位数回归还可以提供更全面的结果，包括不同分位点下的条件分布函数和置信区间。

四、案例分析为了更好地理解非参数分位数回归的应用，我们以一个实际案例进行分析。

假设我们想要研究汽车价格与其各项特征（如车龄、里程数、品牌等）之间的关系。

我们可以利用非参数分位数回归方法，估计不同分位数下的汽车价格与这些特征之间的关系。

通过分析结果，我们可以得出不同特征对不同价格区间汽车价格的影响程度，为汽车市场的定价和销售提供参考。

五、总结非参数分位数回归是一种灵活、普适且有效的统计方法，用于研究变量之间关系。

基于统计学习的非参数模型优化研究近年来，随着数据的爆炸式增长和计算机算力的提升，机器学习成为了热门的研究方向之一。

其中，统计学习作为一种经典的机器学习方法，受到了广泛的关注。

而在统计学习中，非参数模型是一种强大的工具，其能够更加灵活地拟合数据分布，从而提高模型的准确性。

本文将从基于统计学习的非参数模型优化入手，探讨非参数模型的优化方法及其应用。

一、非参数模型概述非参数模型是一种不依赖于数据分布形式的模型，它不像参数模型需要预先设定好参数形式，而是通过对样本数据进行拟合，得到一个泛函形式来描述未知的分布函数。

非参数模型常用的方法包括核密度估计、最近邻估计、最大熵估计等。

其中，核密度估计是一种最为广泛使用的非参数模型，其通过将样本点周围的一定区域内的密度函数相加，得到样本分布的近似。

而在最近邻估计中，模型是通过计算样本点与最近邻之间的距离来确定未知分布函数的形式。

最大熵估计则是通过约束条件来确定分布函数的形式，使其满足数据分布，并且在其他所有符合约束条件的分布中，最大化不确定度。

二、非参数模型的优化方法由于非参数模型具有灵活的特点，能够更加准确地拟合数据，但其也存在许多问题，如过拟合、维度灾难等。

因此，如何对非参数模型进行优化，成为了当前研究的热点问题。

下面，本文将介绍三种常用的非参数模型优化方法：1.正则化方法正则化方法是一种常用的非参数模型优化方法，通过对模型的复杂度进行约束，达到防止过拟合的目的。

其中，L1正则化和L2正则化是相对常用的方法，分别通过限制参数大小和参数平方和来达到正则化的效果。

在实际应用中，正则化方法能够提高模型的泛化能力，提高模型的准确度，但也会对模型的拟合能力带来一定程度的影响。

2.交叉验证方法交叉验证方法也是一种常用的非参数模型优化方法，其主要通过将样本数据按照一定比例分为训练集和验证集，通过训练集训练模型，再通过验证集来评估模型的泛化能力。

而对于非参数模型的交叉验证方法，则可以使用“留一法”进行处理，即每次留下一条数据作为验证集，其余数据作为训练集进行模型训练。

贝叶斯分位数回归方法是一种结合了贝叶斯理论与分位数回归的统计分析方法。

它允许我们在给定分位数水平下，估计自变量和因变量之间的关系，同时提供了对模型参数的不确定性度量。

这种方法的提出，为我们提供了一种新的视角来处理回归问题，特别是在处理具有异方差性、非对称分布或异常值的数据时，显示出其独特的优势。

首先，我们需要了解分位数回归的基本概念。

分位数回归是一种描述自变量和因变量的分位数之间线性关系的回归方法。

与传统的均值回归不同，分位数回归关注因变量的条件分位数，而不是条件均值。

这样，它可以提供更丰富的信息，比如因变量在不同分位数水平下的变化情况。

此外，分位数回归对模型中的随机误差项不需做任何分布的假定，这使得整个回归模型具有更强的稳健性。

贝叶斯方法的引入，为分位数回归提供了新的估计参数的方式。

在贝叶斯框架下，参数被视为随机变量，而不是固定的未知量。

我们通过为先验分布和似然函数指定概率模型，然后使用贝叶斯定理来计算参数的后验分布。

这种方法允许我们利用先验信息，并在新的数据出现时更新我们的信念。

在贝叶斯分位数回归中，一个关键步骤是假设分位数回归模型的误差项服从非对称拉普拉斯分布。

这是因为分位数回归的损失函数与非对称拉普拉斯分布的密度函数具有紧密的联系。

通过假设误差项服从非对称拉普拉斯分布，我们可以写出似然函数，并在特定的分位数水平下极大化似然函数。

这样，分位数回归的参数估计值就可以通过优化得到。

贝叶斯分位数回归方法的优点在于，它结合了分位数回归的稳健性和贝叶斯方法的灵活性。

通过利用先验信息，贝叶斯分位数回归可以在数据稀疏或存在异常值的情况下提供更准确的估计。

此外，由于参数被视为随机变量，我们可以得到参数的不确定性度量，这对于决策制定和模型验证非常有用。

然而，贝叶斯分位数回归方法也存在一些挑战。

首先，选择合适的先验分布可能是一个难题，因为不同的先验分布可能会导致不同的后验推断。

其次，计算后验分布通常需要高维积分，这在计算上可能是昂贵的。