2021届四川省乐山外国语学校高三第一次调研模拟数学试题Word版含答案

2021届高三数学上学期一诊模拟试题 理（含解析）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.复数(,)z a bi a b R =+∈的虚部记作Im()z b =，则3Im 1i i +⎛⎫= ⎪+⎝⎭（ ） A. -1 B. 0C. 1D. 2【答案】A 【解析】 【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简31ii++，再根据题目中定义的复数的虚部，可得答案． 【详解】解：3(3)(1)4221(1)(1)2i i i ii i i i ++--===-++-， 又复数(,)z a bi a b R =+∈的虚部记作()Im z b =， 3()11iIm i+∴=-+． 故选：A ．【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算、虚部的定义，属于基础题． 2.执行如图所示的程序框图，输出的s 值为( )A .3B. 6-C. 10D. 15-【答案】C 【解析】 【分析】程序框图的作用是计算22221234-+-+，故可得正确结果. 【详解】根据程序框图可知2222123410S =-+-+=，故选C. 【点睛】本题考查算法中的选择结构和循环结构，属于容易题. 3.关于函数()tan f x x =的性质，下列叙述不正确的是（ ） A. ()f x 的最小正周期为2π B. ()f x 是偶函数C. ()f x 的图象关于直线()2k x k Z π=∈对称 D. ()f x 在每一个区间(,)()2k k k Z πππ+∈内单调递增【答案】A 【解析】试题分析：因为1()tan()()22tan f x x f x xππ+=+=≠，所以A 错；()tan()tan ()f x x x f x -=-==，所以函数()f x 是偶函数，B 正确；由()tan f x x =的图象可知，C 、D 均正确；故选A. 考点：正切函数的图象与性质.4.已知0,0a b >>，则“1a ≤且1b ≤”是“2a b +≤且1ab ≤”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】试题分析：当01a <≤且01b <≤时，由不等式性质可得2a b +≤且1ab ≤；当31,22a b ==，满足2a b +≤且1ab ≤，但不满足1a ≤且1b ≤，所以“1a ≤且1b ≤”是“2a b +≤且1ab ≤”的充分不必要条件，故选A.考点：1.不等式性质；2.充要条件.5.如果21nx ⎫-⎪⎭的展开式中含有常数项，则正整数n 的最小值是（ ） A. 3 B. 4C. 5D. 6【答案】C 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式中x 的指数为0,得到5n r =,由此可得正整数n 的最小值是5. 【详解】因为21nx ⎫⎪⎭的展开式的通项公式为52121()(1)n rrn rr r rr nn T C C x x--+=-=-,(0,1,2,)r n =,令502n r-=,则5n r =,因为*n N ∈,所以1r =时,n 取最小值5. 故选:C【点睛】本题考查了二项展开式的通项公式,利用通项公式是解题关键,属于基础题.6.在约束条件：1210x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩下，目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为1，则ab 的最大值等于（ ） A.12B. 38C.14D.18【答案】D 【解析】 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数取得最大值，确定a ，b 的关系，利用基本不等式求ab 的最大值．【详解】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）， 由(0,0)z ax by a b =+>>，则a z y x b b =-+，平移直线a zy x b b=-+，由图象可知当直线a zy x b b=-+经过点(1,2)A 时直线的截距最大，此时z 最大为1．代入目标函数z ax by =+得21a b +=． 则1222a b ab =+， 则18ab当且仅当122a b ==时取等号，ab ∴的最大值等于18， 故选：D ．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合以及基本不等式是解决此类问题的基本方法．7.设{a n }是有正数组成的等比数列，n S 为其前n 项和．已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5＝（ ） A.152B.314C.334D.172【答案】B 【解析】 【分析】由等比数列的性质易得a 3＝1，进而由求和公式可得q 12=，再代入求和公式计算可得． 【详解】由题意可得a 2a 4＝a 32＝1，∴a 3＝1， 设{a n }的公比为q ，则q ＞0， ∴S 3211q q =++1＝7，解得q 12=或q 13=-（舍去），∴a 121q ==4，∴S 551413121412⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭==-故选B.【点睛】本题考查等比数列的通项公式和求和公式，属基础题．8. 用数字0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有（ ） A. 288个 B. 306个 C. 324个 D. 342个【答案】C 【解析】试题分析：当个位、十位、百位全为偶数时，有3313434390C A C A -=；当个位、十位、百位为两个奇数、一个偶数时，有21312133434333234C C A A C C A -=，所以共有90234324+=种,故选C.考点：1.分类计数原理与分步计数原理；2.排列与组合.【名师点睛】本题主要考查两个基本原理与排列、组合知识的综合应用问题，属难题；计数原理应用的关键问题是合理的分类与分步，分类要按时同一个的标准进行，要做到不重不漏，分类运算中的每一类根据实际情况，要分步进行.9.已知函数()f x 对x R ∀∈都有()(4)f x f x =-，且其导函数()f x '满足当2x ≠时,(2)()0x f x '->，则当24a <<时，有（ ） A. ()()22(2)log af f f a <<B. ()()2log (2)2af a f f <<C. ()()2log 2(2)af a f f <<D. ()()2(2)log 2af f a f <<【答案】D 【解析】 【分析】根据导函数()f x '满足当2x ≠时,(2)()0x f x '->,可得()f x 在(,2)-∞上递减,在(2,)+∞上递增,可得(2)f 为最小值,再根据对称轴和单调性可得2(log )(2)af a f <,从而可知选D【详解】因为函数()f x 对x R ∀∈都有()(4)f x f x =-, 所以()f x 的图象关于2x =对称,又当2x >时,'()0f x >,2x <时,'()0f x <, 所以()f x 在(,2)-∞上递减,在(2,)+∞上递增, 所以2x =时,函数取得最小值,因为24a <<,所以2221log 2log log 42a =<<=,2224a >=, 所以224log 3a <-<, 所以224log 2aa <-<,所以2(4log )(2)af a f -<, 所以2(log )(2)af a f <,所以()()2(2)log 2af f a f <<.故选:D【点睛】本题考查了利用导数判断函数的单调性,考查了利用单调性比较大小,考查了利用对数函数的单调性比较大小,属于中档题.10.对圆22(1)(1)1x y -+-=上任意一点(,)P x y ，|349||34|x y x y a --+-+的取值与x ，y 无关，则实数a 的取值范围是（ ）A. [6,)+∞B. [4,6]-C. (4,6)-D.(,4]-∞-【答案】A 【解析】 【分析】首先将|349||34|x y x y a --+-+的取值与x ，y 无关,转化为圆上的点到直线1;3490l x y --=的距离与到直线2:340l x y a -+=的距离之和与,x y 无关,继续转化为直线2:340l x y a -+=必与圆相离或相切,且圆在1;3490l x y --=与2:340l x y a -+=之间,再根据圆心到直线的距离小于等于半径且(349)(34)0a ---+≤,解不等式组可得答案.【详解】因为|349||34|x y x y a --+-+的取值与x ，y 无关,所以+的取值与x ，y 无关,取值与x ，y 无关,即圆上的点到直线1;3490l x y --=的距离与到直线2:340l x y a -+=的距离之和与,x y 无关,因为圆心(1,1)到直线1;3490l x y --=21=>,所以直线1;3490l x y --=与圆相离,所以直线2:340l x y a -+=必与圆相离或相切,且圆在1;3490l x y --=与2:340l x y a -+=之间,1≥,且(349)(34)0a ---+≤,所以6a ≥或4a ≤- 且1a ≥, 所以6a ≥. 故选:A【点睛】本题考查了点到直线的距离公式,利用点到直线的距离公式将问题转化为直线2:340l x y a -+=必与圆相离或相切,且圆在1;3490l x y --=与2:340l x y a -+=之间是解题关键,属于中档题.11.若a ，b ，c 满足，||||2||2a b c ===，则()()a b c b -⋅-的最大值为（ ） A. 10 B. 12C.D. 【答案】B 【解析】 【分析】设OA a =，OB b =，OC c =，表示出a b -，-c b 利用向量的数量积的定义求出最值.【详解】解：设OA a =，OB b =，OC c =，则a b BA -=，c b BC -=()()cos a bc b BA BC BA BC ABC ∴--==⋅∠||||2||2a b c ===4BA ∴≤，3BC ≤当且仅当BA ，BC 同向时()()a b c b --取最大值12故()()max12a bc b --=故选：B【点睛】本题考查向量的数量积的定义，属于中档题.12.已知棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -,点E 是棱AB 的中点，12CF FC =，动点P 在正方形11AA DD （包括边界）内运动，且1PB 面DEF ，则PC 的长度范围为（ ）A. [13,19]B. 335,195⎡⎤⎢⎥⎣ C. 335,13⎡⎤⎢⎥⎣ D.339,19⎡⎤⎢⎥⎣【答案】B 【解析】 分析】如图:先作出过1B P 且与平面DEF 平行的平面,可知点P 的轨迹为QN ,然后根据平面几何知识求出DP 的最小值和最大值,根据勾股定理可求出PC 的取值范围. 【详解】如图所示:在1AA 上取点Q ,使得112AQ QA =,连接1B Q ,因为12CF FC =,所以1//B Q DF ; 取11C D 的中点M ,连接1B M ,因为E 为AB 的中点,所以1//B M DE ; 因此平面1//B QM 平面DEF ,过M 作//MN DF 交1DD 于N ,则四点1,,,B Q N M 共面,且123DN DD =, 因为1//B P 平面DEF ,所以点P 在线段QN 上运动, 连接DP ,根据正方体的性质可知CD DP ⊥,所以PC ,在平面QADN 中,1=AQ ,3AD =,2DQ =,所以DNDQ ==所以点D 到QN的距离为1322152⨯⨯=, 所以DP,, 所以PC5=,=. 所以PC的取值范围是5⎡⎢⎣. 故选:B【点睛】本题考查了作几何体的截面,考查了平面与平面平行的判定,考查了立体几何中的轨迹问题,关键是作出点P 的运动轨迹,属于中档题.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡相应位置上） 13.命题“2,1x N x ∀∈>”的否定为__________．” 【答案】2,1x N x ∃∈≤ 【解析】全称命题“,()x M p x ∀∈”的否定是存在性命题“,()x M p x ∃∈⌝”，所以“2,1x N x ∀∈>”的否定是“2,1x N x ∃∈≤”．14.在样本的频率分布直方图中, 共有9个小长方形, 若第一个长方形的面积为0.02, 前五个与后五个长方形的面积分别成等差数列且公差是互为相反数,若样本容量为1600,则中间一组（即第五组）的频数为 ▲ . 【答案】360 【解析】 【详解】根据题意9个小长方形面积依次为0.02,0.02,0.022,0.023,0.024,0.023,0.022,0.02,0.02d d d d d d d +++++++因为9个小长方形面积和为1，所以0.82160.1811600(0.024)36016d d d +=∴=∴⨯+= 15.设O 、F 分别是抛物线22y x =的顶点和焦点，M 是抛物线上的动点，则MOMF的最大值为__________. 【答案】233【解析】【详解】试题分析：设点M 的坐标为(,)M x y ，由抛物线的定义可知，12MF x =+，则222222122411111()2224x MOx yx x x xMFx x x x x -+++====++++++， 令14t x =-，则14t >-,14x t =+,若t>02112311139933216162MO t MF t t t t =+=+≤+=++++3t 4=时等号成立， 所以MOMF的最大值为33. 考点：1.抛物线的定义及几何性质；2.基本不等式.【名师点睛】本题主要考查抛物线的定义及几何性质、基本不等式，属中档题；求圆锥曲线的最值问题，可利用定义和圆锥曲线的几何性质，利用其几何意义求之，也可根据已知条件把所求的问题用一个或两个未知数表示，即求出其目标函数，利用函数的性质、基本不等式或线性规划知识求之. 16.已知14ab =，,(0,1)a b ∈，则1211a b +--的最小值为 ．【答案】424+ 【解析】试题分析：因为，所以，则（当且仅当，即时，取等号）；故填4243+． 【方法点睛】本题考查利用基本不等式求函数的最值问题，属于难题；解决本题的关键是消元、裂项，难点是合理配凑、恒等变形，目的是出现基本不等式的使用条件（正值、定积），再利用基本不等式进行求解，但要注意验证等号成立的条件. 考点：基本不等式．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.设ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,已知3c =,且1sin cos 64C C π⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭.（1）求角C 的大小;（2）若向量()1,sin m A =与()2,sin n B =共线, 求,a b 的值. 【答案】(1)3π;(2)3,23a b ==． 【解析】试题分析：（1）根据三角恒等变换，sin 216C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，可解得3C π=；（2）由m 与n 共线， 得sin 2sin 0B A -=，再由正弦定理，得2b a =，在根据余弦定理列出方程，即可求解,a b 的值.试题解析：（1）2113sin cos cos ,2cos 2122C C C C C -=-=, 即sin 21,0,2662C C C ππππ⎛⎫-=<<∴-= ⎪⎝⎭,解得3C π=. （2）m 与n 共线,sin 2sin 0B A ∴-=, 由正弦定理sin sin a bA B=,得2b a =,① 3c =,由余弦定理，得2292cos3a b ab π=+-, ② 联立①②,{a b ==考点：正弦定理；余弦定理.18.学校为了了解高三学生每天自主学习中国古典文学的时间，随机抽取了高三男生和女生各50名进行问卷调查，其中每天自主学习中国古典文学的时间超过3小时的学生称为“古文迷”，否则为“非古文迷”，调查结果如表：（Ⅰ）根据表中数据能否判断有60%的把握认为“古文迷”与性别有关？（Ⅱ）现从调查的女生中按分层抽样的方法抽出5人进行调查，求所抽取的5人中“古文迷”和“非古文迷”的人数；（Ⅲ）现从（Ⅱ）中所抽取的5人中再随机抽取3人进行调查，记这3人中“古文迷”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望．参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．参考数据：20()P K k ≥0.50 0.40 0.25 0.05 0.025 0.0100k0.455 0.708 1.321 3.841 5.024 6.635【答案】（I ）没有的把握认为“古文迷”与性别有关；（II ）“古文迷”的人数为3，“非古文迷”有2；（III ）分布列见解析，期望为95. 【解析】【详解】（I ）由列联表得所以没有的把握认为“古文迷”与性别有关．（II ）调查的50名女生中“古文迷”有30人，“非古文迷”有20人，按分层抽样的方法抽出5人，则“古文迷”的人数为人，“非古文迷”有人．即抽取的5人中“古文迷”和“非古文迷”的人数分别为3人和2人（III ）因为为所抽取3人中“古文迷”的人数，所以的所有取值为1，2,3．，，．所以随机变量ξ的分布列为123于是．19.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，每个侧面均为正方形，D 为底边AB 的中点，E 为侧棱1CC 的中点.（Ⅰ）求证：CD ∥平面1A EB ； （Ⅱ）求证：1AB ⊥平面1A EB ；（Ⅲ）求直线1B E 与平面11AAC C 所成角的正弦值.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析（Ⅲ）直线1B E 与平面11AAC C 所成角的正弦值为15【解析】【详解】证明：（Ⅰ）设11AB A B 和的交点为O ,连接EO ，连接EO .因为O 为1AB 的中点，O 为EO 的中点,所以EO ∥1AB 且112OD BB =.又O 是1AB 中点， 所以AB ∥1AB 且112OD BB =,所以AB ∥EO 且EC OD =.所以，四边形ECOD 为平行四边形.所以EO ∥EC .又CD ⊄平面1A BE ,EO ⊂平面1A BE ,则EC ∥平面1A BE . (Ⅱ)因为三棱柱各侧面都是正方形，所以1BB AB ⊥，1BB AB ⊥. 所以1BB ⊥平面ABC .因为CD ⊂平面ABC ，所以1BB AB ⊥. 由已知得AB BC AC ==，所以CD AB ⊥, 所以ABC 平面11A ABB .由（Ⅰ）可知EO ∥EC ，所以CD ⊂平面11A ABB . 所以CD ⊂1AB .因为侧面是正方形，所以11AB A B ⊥.又1EO A B O ⋂=，EO ⊥平面1A EB ，1A B ⊂平面1A EB , 所以1A B ⊂平面1A BE .（Ⅲ）解: 取11A C 中点F ，连接1,?B F EF . 在三棱柱111ABC A B C -中，因1BB ⊥平面ABC ，所以侧面11ACC A ⊥底面1AB ⊥.因为底面1AB ⊥是正三角形，且F 是11A C 中点， 所以111B F AC ⊥，所以1BB ⊥侧面11ACC A . 所以EF 是11A C 在平面11ACC A 上的射影. 所以1FEB ∠是11A C 与平面11ACC A 所成角.111sin 5B F BE F B E ∠==20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点分别为())12,F F ,以椭圆短轴为直径的圆经过点()1,0M . (1)求椭圆C 的方程;(2)过点M 的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点,设点()3,2N ,直线,AN BN 的斜率分别为12,k k ,问12k k +是否为定值?并证明你的结论.【答案】(1)2213x y +=；(2)定值为2.【解析】试题分析：（1）由题意得到c =1b OM ==，所以a =（2）联立直线方程与椭圆方程，得到韦达定理2122631k x x k +=+，21223331k x x k -=+，()()()()()21212121212212121212211222462223393621k x x k x x x x y y k k x x x x x x k +⎡⎤-++-++--⎣⎦+=+===---+++. 试题解析： （1）依题意，c =222a b -=.∵点()1,0M 与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直， ∴1b OM ==，∴a =∴椭圆C 的方程为2213x y +=.（2）①当直线l 的斜率不存在时，由22113x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得1x =，y =.设A ⎛ ⎝⎭，1,B ⎛ ⎝⎭，则122233222k k ++=+=为定值. ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：()1y k x =-.将()1y k x =-代入2213x y +=整理化简，得()2222316330k x k x k +-+-=.依题意，直线l 与椭圆C 必相交于两点，设()11,A x y ，()22,B x y ，则2122631k x x k +=+，21223331k x x k -=+. 又()111y k x =-，()221y k x =-， 所以1212122233y y k k x x --+=+-- ()()()()()()122112232333y x y x x x --+--=-- ()()()()()1221121221321393k x x k x x x x x x ⎡⎤⎡⎤---+---⎣⎦⎣⎦=-++ ()()()121212121212224693x x k x x x x x x x x ⎡⎤-++-++⎣⎦=-++()22122222223361222463131633933131k k x x k k k k k k k ⎡⎤--++⨯-⨯+⎢⎥++⎣⎦=--⨯+++ ()()2212212621k k +==+. 综上得12k k +为常数2.点睛：圆锥曲线大题熟悉解题套路，本题先求出椭圆方程，然后与直线方程联立方程组，求得韦达定理，则2122631k x x k +=+，21223331k x x k -=+，()()()()()21212121212212121212211222462223393621k x x k x x x x y y k k x x x x x x k +⎡⎤-++-++--⎣⎦+=+===---+++，为定值．21.已知函数()ln ()f x tx x t =+∈R . （1）当1t =-时，证明：()1f x ≤-；（2）若对于定义域内任意x ，()1xf x x e ≤⋅-恒成立，求t 的范围 【答案】（1）见解析 （2）(,1]-∞ 【解析】 【分析】（1）构造函数()ln 1g x x x =-+利用导数求出函数的单调性，得到函数的最大值，即可得证；（2）参变分离得到ln 1xx t e x +≤-在(0,)+∞恒成立，构造函数ln 1()xx x e xϕ+=-求出函数的最小值，即可得到参数t 的取值范围.【详解】（1）证明：即是证明ln 1x x -≤-，设()ln 1g x x x =-+，1()xg x x-'=当01x <<，()0g x '>，()g x 单调递增；当1x >，()0g x '<，()g x 单调递减；所以()g x 在1x =处取到最大值，即()(1)0g x g ≤=，所以ln 1x x -≤-得证 （2）原式子恒成立即ln 1xx t e x+≤-在(0,)+∞恒成立 设ln 1()xx x e xϕ+=-， 22ln ()x x e x x x ϕ+'=，设2()ln xQ x x e x =+， ()21()20x Q x x x e x '=++>，所以()Q x 单调递增，且102Q ⎛⎫< ⎪⎝⎭，(1)0Q > 所以()Q x 有唯一零点0x ，而且0200ln 0x x ex ⋅+=，所以0200ln x x e x ⋅=-两边同时取对数得()()0000ln ln ln ln x x x x +=-+-易证明函数ln y x x =+是增函数，所以得00ln x x =-，所以01x e x =所以由()x ϕ在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，所以()0000000ln 111()1xx x x x e x x x ϕϕ+-+≥=-=-= 于是t 的取值范围是(,1]-∞【点睛】本题考查利用导数证明不等式恒成立问题，属于中档题.请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分.22.在极坐标系下，已知圆:cos sin O ρθθ=+和直线()2:sin 0,024l πρθρθπ⎛⎫-=≥≤≤ ⎪⎝⎭（1）求圆O 和直线l 的直角坐标方程；（2）当()0,θπ∈时，求圆O 和直线l 的公共点的极坐标.【答案】（1） 圆O 的直角坐标方程为x 2+y 2-x-y=0,直线l 的直角坐标方程为x-y+1=0 （2）【解析】试题分析：（1）根据222cos ,sin ,x y x y ρθρθρ===+ 将圆O 和直线l 极坐标方程化为直角坐标方程（2）先联立方程组解出直线l 与圆O 的公共点的直角坐标，再根据222cos ,sin ,x y x y ρθρθρ===+化为极坐标试题解析：(1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ， 即ρ2＝ρ cos θ＋ρ sin θ，故圆O 的直角坐标方程为x 2＋y 2－x －y ＝0. 直线l ：ρsin＝，即ρsin θ－ρcos θ＝1，则直线l 的直角坐标方程为x －y ＋1＝0.(2)由(1)知圆O 与直线l 的直角坐标方程，将两方程联立得，，解得即圆O 与直线l 在直角坐标系下的公共点为(0，1)， 将(0，1)转化为极坐标为，即为所求．23.已知函数()2321f x x x =++-． （1）求不等式()5f x <的解集；（2）若关于x 的不等式()1f x m <-的解集非空，求实数m 的取值范围．【答案】（1）73|44x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭（2）6m >或2m <- 【解析】 【分析】（1）通过讨论x 的范围，求出不等式的解集即可；（2）求出f （x ）的最小值，得到关于m 的不等式，解出即可． 【详解】（1）原不等式为：23215x x ++-≤，当32x ≤-时，原不等式可转化为425x --≤，即7342x -≤≤-； 当3122x -<<时，原不等式可转化为45≤恒成立，所以3122x -<<；当12x ≥时，原不等式可转化为425x +≤，即1324x ≤≤．所以原不等式的解集为73|44x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭． （2）由已知函数()342,2314,22142,2x x f x x x x ⎧--≤-⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪+≥⎪⎩，可得函数()y f x =的最小值为4，所以24m ->，解得6m >或2m <-．【点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．。

数学模拟试题一、选择题:（每小题5分，共50分）1.若集合}41|{<<=x x A ，集合}4|{2<=y y B ，则=⋂B A ( )A. φB. {}2,1 C. ()2,1 D. ()4,1 2.计算=+-11i i ( ) A. i B. i - C. 1 D. 1-3.下列说法正确的是 ( ) A. 若q p ∨为真命题，则q p ∧为真命题B. 命题“若y x cos cos ≠，则y x ≠”的否命题是“若y x cos cos =，则y x ≠”C. “0>x ”是“02>-x x ”的充分不必条件D. 若023,:2<--∈∀x x R x p ，则023,:0200≥--∈∃⌝x x R x p4.设R b a ∈,，且b a <，则 ( )A. 22b a < B. ba 11> C. b a ln ln < D. 3131b a <5.已知向量()2,3=a ϖ，()4,x b =ϖ且a ϖ//b ϖ，则x 的值是 ( ) A. 6 B. 6- C.38 D. 38- 6.在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若46822,1a a a a +==，则6a 的值是 ( ) A . 22 B. 4 C. 24 D. 8 7.将函数x y sin =的图象向左平移2π个单位，得到函数)(x f y =的函数图象，则下列说法 正确的是 ( ) A. )(x f y =是奇函数 B. )(x f y =的周期为πC. )(x f y =的图象关于直线2π=x 对称 D. )(x f y =的图象关于点⎪⎭⎫⎝⎛-0,2π对称 8.已知)(x f y =是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，x x x f 3)(2-=，则函数()=x g3)(+-x x f 的零点的集合为 ( ) A.{}3,1 B. {}3,1,72- C. {}3,1,72-- D. {}3,1,1,3--9.已知函数)(x f y =与)(x g y =的图象如图所示，则函数)()(x g x f y ⋅=的图象可能 是 ( )10.已知函数),,()(231)(23R c b a c x b a x a x x f ∈++++=的两个极值点分别为21,x x ，且()()b a z x x -=+∞∈∈2,,1,1,021，则z 的取值范围是 ( )A. (]3,-∞-B. ()3,-∞-C. [)+∞-,3D. ()+∞-,3 二、填空题：（每小题5分，共25分） 11.函数)1ln(x x y -=的定义域为＿＿＿＿＿＿＿（用区间表示）12.执行如图所示的程序框图，若输入的x 的值为1，则输出的n 的值为＿＿＿＿13.设20πθ<<，向量()θθcos ,2sin =a ρ，()θcos ,1-=b ρ，若0=⋅b a ϖϖ，则=θtan ＿＿14.若曲线x x y ln =上点P 处的切线平行与直线012=+-y x ，则点P 的坐标是＿＿＿＿15.已知数列{}n a 满足)(,32,4,1*1221N n a a a a a n n n ∈=+==++，则{}n a 的通项公式=n a ＿＿三、解答题：16.（12分）设向量()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈==2,0,sin ,cos ,sin ,sin 3πx x x b x x a ϖϖ。

四川省乐山市2021届新高考数学一月模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．函数()xf x e ax =+（0a <）的图像可以是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】【分析】根据()0,0x f x <>，可排除,A D ，然后采用导数，判断原函数的单调性，可得结果.【详解】由题可知：0a <，所以当0x <时，()0f x >，又()'x fx e a =+， 令()'0fx >，则()ln x a >- 令()'0f x <，则()ln x a <- 所以函数()f x 在()(),ln a -∞-单调递减在()()ln ,a -+∞单调递增，故选：B【点睛】本题考查函数的图像，可从以下指标进行观察：（1）定义域；（2）奇偶性；（3）特殊值；（4）单调性；（5）值域，属基础题.2．如下的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为176，320，则输出的a 为（ ）A ．16B ．18C ．20D ．15【答案】A【解析】【分析】 根据题意可知最后计算的结果为a b ，的最大公约数.【详解】输入的a ，b 分别为176,320,根据流程图可知最后计算的结果为a b ，的最大公约数，按流程图计算320-176=144,176-144=32,144-32=112,112-32=80,80-32=48,48-32=16,32-16=16,易得176和320的最大公约数为16，故选:A.【点睛】本题考查的是利用更相减损术求两个数的最大公约数,难度较易.3．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想的内容是：每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，例如：422=+，633=+，835=+，那么在不超过18的素数中随机选取两个不同的数，其和等于16的概率为（ ）A ．121B ．221C ．115D ．215【答案】B【解析】【分析】先求出从不超过18的素数中随机选取两个不同的数的所有可能结果，然后再求出其和等于16的结果，根据等可能事件的概率公式可求.【详解】解：不超过18的素数有2，3，5，7，11，13，17共7个，从中随机选取两个不同的数共有2721C =，其和等于16的结果(3,13)，(5,11)共2种等可能的结果，故概率221P =. 故选：B.【点睛】 古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，本题不可以列举出所有事件但可以用分步计数得到，属于基础题.4．如图是二次函数2()f x x bx a =-+的部分图象，则函数()ln ()g x a x f x '=+的零点所在的区间是（ ）A ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．(1,2)D ．(2,3)【答案】B【解析】【分析】 根据二次函数图象的对称轴得出b 范围，y 轴截距，求出a 的范围，判断()g x 在区间端点函数值正负，即可求出结论.【详解】∵2()f x x bx a =-+，结合函数的图象可知，二次函数的对称轴为2b x =，0(0)1<=<f a ， 1122<=<b x ，∵()2'=-f x x b ， 所以()ln ()ln 2'=+=+-g x a x f x a x x b 在(0,)+∞上单调递增.又因为11ln 10,(1)ln12022⎛⎫=+-<=+-> ⎪⎝⎭g a b g a b ， 所以函数()g x 的零点所在的区间是1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故选:B.【点睛】本题考查二次函数的图象及函数的零点，属于基础题.5．已知数列{}n a 是公差为()d d ≠0的等差数列，且136,,a a a 成等比数列，则1a d=（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】A【解析】【分析】 根据等差数列和等比数列公式直接计算得到答案.【详解】由136,,a a a 成等比数列得2316a a a =⋅，即()()211125a d a a d +=+，已知0d ≠，解得14a d=. 故选：A .【点睛】本题考查了等差数列，等比数列的基本量的计算，意在考查学生的计算能力.6．设双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的一个焦点为F （c,0）（c ＞0）的一条渐近线被圆x 2+y 2﹣2cx ＝0截得的弦长为 ）A ．221205x y -= B ．22125100x y -= C ．221520x y -= D ．221525x y -= 【答案】C【解析】【分析】由题得ca =b ==222+=a bc ，联立解方程组即可得25a =，220b =，进而得出双曲线方程.【详解】由题得c e a== ①又该双曲线的一条渐近线方程为0bx ay -=，且被圆x 2+y 2﹣2cx ＝0截得的弦长为b == ②又222+=a b c ③由①②③可得：25a =，220b =，所以双曲线的标准方程为221520x y -=. 故选：C【点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质，圆的方程的有关计算，考查了学生的计算能力.7．若不等式210x ax ++≥对于一切10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦恒成立，则a 的最小值是 （ ） A ．0B ．2-C ．52-D ．3-【答案】C【解析】【分析】【详解】 试题分析：将参数a 与变量x 分离，将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题，即可得到结论． 解：不等式x 2+ax+1≥0对一切x ∈(0，12]成立，等价于a≥-x-1x 对于一切10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦成立， ∵y=-x-1x 在区间10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上是增函数 ∴115222x x--≤--=- ∴a≥-52∴a 的最小值为-52故答案为C ． 考点：不等式的应用点评：本题综合考查了不等式的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于中档题8．在ABC ∆中，E ，F 分别为AB ，AC 的中点，P 为EF 上的任一点，实数x ，y 满足0PA xPB yPC ++=，设ABC ∆、PBC ∆、PCA ∆、PAB ∆的面积分别为S 、1S 、2S 、3S ，记i i S S λ=（1,2,3i =），则23λλ⋅取到最大值时，2x y +的值为（ ）A ．－1B ．1C ．32-D ．32【答案】D【解析】【分析】根据三角形中位线的性质，可得P 到BC 的距离等于△ABC 的BC 边上高的一半，从而得到12312SS S S ==+，由此结合基本不等式求最值，得到当23λλ⋅取到最大值时，P 为EF 的中点，再由平行四边形法则得出11022PA PB PC ++=，根据平面向量基本定理可求得12x y ==，从而可求得结果. 【详解】如图所示：因为EF 是△ABC 的中位线，所以P 到BC 的距离等于△ABC 的BC 边上高的一半，所以12312S S S S ==+， 由此可得22232322322()1216S S S S S S S S S S λλ+=⨯=≤=， 当且仅当23S S =时，即P 为EF 的中点时，等号成立，所以0PE PF +=，由平行四边形法则可得2PA PB PE +=，2PA PC PF +=， 将以上两式相加可得22()0PA PB PC PE PF ++=+=，所以11022PA PB PC ++=， 又已知0PA xPB yPC ++=，根据平面向量基本定理可得12x y ==， 从而132122x y +=+=. 故选：D【点睛】本题考查了向量加法的平行四边形法则，考查了平面向量基本定理的应用，考查了基本不等式求最值，属于中档题.9．古希腊数学家毕达哥拉斯在公元前六世纪发现了第一、二个“完全数”6和28，进一步研究发现后续三个“完全数”分别为496，8128，33550336，现将这五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个，则6和28恰好在同一组的概率为( )A ．15B ．25C ．35D ．110【答案】B【解析】【分析】推导出基本事件总数，6和28恰好在同一组包含的基本事件个数，由此能求出6和28恰好在同一组的概率．【详解】解：将五个“完全数”6，28，496，8128，33550336，随机分为两组，一组2个，另一组3个， 基本事件总数2353C 10n C ==，6和28恰好在同一组包含的基本事件个数202123234m C C C C =+=，∴6和28恰好在同一组的概率42105m p n ===． 故选：B ．【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10．要得到函数12y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，只需将函数23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标（ ）A ．伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移4π个单位长度 B ．伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图像向左平移4π个单位长度 C ．缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移524π个单位长度 D ．缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移1124π个单位长度 【答案】B【解析】【分析】【详解】分析：根据三角函数的图象关系进行判断即可．详解：将函数23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到12233y x x ππ=⨯-=-（）（），再将得到的图象向左平移4π个单位长度得到333412y sin x sin x （）（），πππ=-+=- 故选B ． 点睛：本题主要考查三角函数的图象变换，结合ω和ϕ的关系是解决本题的关键．11．已知集合{}1,3,A m =，{}1,B m =，若A B A ⋃=，则m =（ ）A ．0或3B ．0或3C ．1或3D ．1或3 【答案】B【解析】 【分析】【详解】因为A B A ⋃=,所以B A ⊆,所以3m =或m m =.若3m =，则{1,3,3},{1,3}A B ==,满足A B A ⋃=.若m m =，解得0m =或1m =.若0m =，则{1,3,0},{1,3,0}A B ==，满足A B A ⋃=.若1m =，{1,3,1},{1,1}A B ==显然不成立，综上0m =或3m =，选B.12．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为（ ）A ．1112B ．6C ．112D ．223【答案】D【解析】【分析】用列举法，通过循环过程直接得出S 与n 的值，得到8n ＝时退出循环,即可求得.【详解】执行程序框图，可得0S =，2n =，满足条件，12S =，4n ＝，满足条件，113244S =+=，6n =，满足条件，1111124612S =++=，8n ＝，由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出S 的值为11228123⨯=. 故选D ．【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用,正确依次写出每次循环得到的S 与n 的值是解题的关键,难度较易.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021届四川省乐山市高考一诊模拟考试数学（文科）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设全集为R，集合A={x|x2-9＜0}，B={x|-1＜x≤5}，则A∩（R B）=（）A. （-3，0）B. （-3，-1）C. （-3，-1]D. （-3，3）2.式子的值等于（）A. sin40°B. cos40°C. cos130°D. -cos50°3.已知=（5，-1），=（3，2），对应的复数为z，则=（）A. 5-iB. 3+2iC. -2+3iD. -2-3i4.在一次期末考试中，随机抽取200名学生的成绩，成绩全部在50分至100分之间，将成绩按如下方式分成5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100）．据此绘制了如图所示的频率分布直方图．则这200名学生中成绩在[80，90）中的学生有（）A. 30名B. 40名C. 50名D. 60名5.函数f（x）=的零点之和为（）A. -1B. 1C. -2D. 26.我市高中数学研究会准备从会员中选拔x名男生，y名女生组成-个小组去参加数学文化知识竞赛，若x，y满足约束条件，则该小组最多选拔学生（）A. 21名B. 16名C. 13名D. 11名7.函数f（x）=（e x+e-x）•sin x的图象大致是（）A. B.C. D.8.元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示．若将“没了壶中酒”改为“剩余原壶中的酒量”，即输出值是输入值的，则输入的x=（）9.已知三个数a=30.5，b=log32，c=cos，则它们之间的大小关系是（）A. c＜a＜bB. c＜b＜aC. a＜b＜cD. b＜c＜a10.已知单位向量，分別与平面直角坐标系x，y轴的正方向同向，且向量=3-，=2+6，则平面四边形ABCD的面积为（）A. B. C. 10 D. 2011.函数f（x）=，若函数f（x）在R上单调递增，则实数a的取值范围是（）A. [，2]B. [0，]C. [0，]D. [0，2]12.如图，已知函数，A1，A2，A3是图象的顶点，O，D上有五个不同的点B，C，D为f（x）与x轴的交点，线段A3Q，Q2，…，Q5，记（i=1，2，…，5），则n1+n2+…1+n5的值为（）A. B. 45 C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.命题“∀x∈R，f（x）≤x”的否定形式是______．14.如图，函数f（x）的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标为（0，4），（2，0），（6，4），则f（f（0））=______；函数f（x）在x=1处导数f′（1）=______．15.如图，在单位圆中，7S△PON=2，△MON为等边三角形，M、N分别在单位圆的第一、二象限内运动，则sin∠POM=______．16.在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，D是AB上的三等分点（靠近点A），且CD=1，（a-b）sin A=（c+b）（sin C-sin B），则a+2b的最大值是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知{a n}是递增的等差数列，且满足a2+a4=20，a1•a5=36．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=，求数列{b n}的前n项和T n的最小值．18.在△ABC中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且满足．（1）求sin2A；（2）若a=1，△ABC的面积为，求b+c的值．19.已知四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，PB⊥AD，△PAD是边长为2的正三角形，底面ABCD是菱形，点M为PC的中点．（1）求证：PA∥平面MDB；（2）求三棱锥P-DBM的体积．20.某校为了了解篮球运动是否与性别相关，在高一新生中随机调查了40名男生和40名女生，喜欢不喜欢总计女生8男生20总计过0.01的前提下认为喜欢篮球运动与性别有关？（2）从女生中按喜欢篮球运动与否，用分层抽样的方法抽取5人做进一步调查，从这5人中任选2人，求2人都喜欢篮球运动的概率．P（K2≥k）0.100 0.050 0.010 0.001k2.7053.841 6.635 10.828K2=，n=a+b+c+d．21.已知函数f（x）=（3m-2）e x-（m∈R）．（1）若x=0是函数f（x）的一个极值点，试讨论h（x）=b ln x+f（x）（h∈R）的单调性；（2）若f（x）在R上有且仅有一个零点，求m的取值范围．22.在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1的参数方程为，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=4cosθ．（1）求曲线C1与曲线C2两交点所在直线的极坐标方程；（2）若直线l的极坐标方程为，直线l与y轴的交点为M，与曲线C1相交于A，B两点，求|MA|+|MB|的值．23.已知x，y，z均为正数．（1）若xy＜1，证明：|x+z|⋅|y+z|＞4xyz；（2）若=，求2xy⋅2yz⋅2xz的最小值．2021届四川省乐山市高考一诊模拟考试数学（文科）试题参考答案1.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查集合的表示方法、集合的补集，两个集合的交集的定义和求法，属于基础题．根据补集的定义求得R B，再根据两个集合的交集的定义，求得A∩（RB）．【解答】解：∵集合A={x|x2-9＜0}={x|-3＜x＜3}，B={x|-1＜x≤5}，∴R B={x|x≤-1，或x＞5}，则A∩（R B）={x|-3＜x≤-1}，故选C．2.【答案】A【解析】解：===|cos130°|=cos50°=sin40°．故选：A．利用诱导公式，二倍角的余弦函数公式化简已知等式即可得解．本题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦函数公式，平方开方等运算，考查了转化思想，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：∵=（5，-1），=（3，2），∴=-（-）=（-2，3），对应的复数为z=-2+3i，则=-2-3i，故选：D．根据向量的线性表示求出，即可求解z，进而可求．本题主要考查了平面内对应的向量与复数的关系及共轭复数的定义的概念，属于基础试题．4.【答案】B【解析】解：成绩在[80，90）内的学生所占的频率为1-（0.005×2+0.025+0.045）×10=0.2，所以这200名同学中成绩大于等于80分且小于90分的学生有200×0.2=40名，故选：B．由频率直方图可求出绩在[80，90）内的学生所占的频率，再求出这200名同学中成绩大于等于80分且小于90分的学生．本题考查频率直方图，计算人数，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：函数f（x）=，可得x＞0时，3x-2=0，解得x=log32，x≤0时，x+log6=0，解得x=-log36．3所以函数f（x）=的零点之和为：log32-log36=-1．故选：A．利用已知条件，通过分段函数分别求解函数的零点，即可得到结果．本题考查分段函数的应用，函数的零点的求法，考查计算能力．6.【答案】B【解析】解：画出x，y满足约束条件，表示的平面区域，如图所示；要求招入的人数最多，即z=x+y取得最大值，目标函数化为y=-x+z；在可行域内任意取x，y且为正整数使得目标函数代表的斜率为定值-1，截距最大时的直线为过得A（7，9），此时目标函数取得最大值为：z=9+7=16．故选：B．由题意画出约束条件表示的可行域，找出目标函数z=x+y对应的最优解，计算可行域内使得z 取得最大时的最优解．本题考查了线性规划的应用问题，也考查了数形结合的求解问题，是基础题．7.【答案】B【解析】解：因为f（-x）=（e-x+e x）sin（-x）=-（e-x+e x）sin x=-f（x），所以函数f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，故排除A、D；又因为f（x）的定义域是R，排除C．故选：B．由函数的奇偶性及定义域，运用排除法求解．此题考查函数的奇偶性，函数图象识别，属于中档题．8.【答案】C【解析】【分析】根据程序框图进行模拟运算即可．本题考查程序框图的知识，考查运算求解能力，利用模拟运算法是解决本题的关键．【解答】解：i=1时．x=2x-1，i=2时，x=2（2x-1）-1=4x-3，i=3时，x=2（4x-3）-1=8x-7，i=4时，退出循环，此时8x-7=x解得x=，故选：C．9.【答案】B【解析】解：a=30.5＞30=1，1=log3＞b=log32＞log3=，3c=cos＜cos＜cos=，∴c＜b＜a．故选：B．利用指数、对数函数的单调性直接求解．本题考查指数、对数函数的单调性、不等式的基本性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.【答案】C【解析】解：•=（3-）•（2+6）=6-6=0，∴⊥，又||==，||==2，∴平面四边形ABCD的面积=•||•||=×2=10，故选：C．由已知可得•=0，可得⊥，可得平面四边形ABCD的面积=•||•||．本题考查了向量数量积运算性质、四边形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11.【答案】C【解析】解：由题知，2-a＞0，即a＜2，由y=x3-ax2+a得y′=3x2-2ax≥0在x∈（-∞，0]上恒成立，则a≥x在x∈（-∞，0]上上恒成立，即a≥0，又函数f（x）在R上单调递增，则需满足a≤，综上，实数的取值范围是：[0，]．故选：C．先分析每一段单调递增，再综合整个递增即可求解．此题考查分段函数的单调性，三次函数的单调性，恒成立问题，属于中档题目．12.【答案】D【解析】解：由题意得，函数f（x）的周期T=1，即B，C，D的横坐标分别为1，2，3，故，则，因为，故，故==．故选：D．可求得A2，A3的坐标，进而得到，运用数量积公式可得，由此得解．本题考查三角函数的图象，向量的坐标运算，向量垂直的判断，向量的分解，向量的数量积运算，以及数形结合思想，逻辑推理能力能，呈现方式新颖，属于较难题目．13.【答案】∃x0∈R，f（x0）＞x0．【解析】解：否定：否定量词，否定结论．故命题“∀x∈R，f（x）≤x”的否定形式是为：∃x0∈R，f（x0）＞x0．故答案为：：∃x0∈R，f（x0）＞x0．否定：否定量词，否定结论．本题考查命题否定，属于基础题．14.【答案】2 -2【解析】解：（1）由图象可知f（0）=4，f（4）=2，即f（f（0））=2（2）∵f（0）=4，f（4）=2，f（2）=4，∴由函数的图象可知，，当0≤x≤2时，f'（x）=-2∴f'（1）=-2故答案为：2，-2（1）要求f（f（0））的值，可先求f（0）=4，再求f（4），此即为所求；（2）函数的图象可知，，然后求出导数即可求出结果．本题考查函数的图象，导数的运算，解题时要注意分段函数的定义域，属于基础题．15.【答案】【解析】解：设∠POM=α，因为7S△PON=2，所以，又△MON为等边三角形，M、N分别在单位圆的第一、二象限内运动，所以，故90°＜α+60°＜120°，得，∴sinα=sin[（α+60°）-60°]=，故答案为：．由7S△PON=2，得到，故90°＜α+60°＜120°，得，再由sinα=sin[（α+60°）-60°]展开代入即可．考查三角形两角和与差的公式，单位圆，三角形的面积等，中档题．16.【答案】2【解析】解：由（a-b）sin A=（c+b）（sin C-sin B），利用正弦定理可得：（a-b）a=（c+b）（c-b），化为：a2+b2-c2=ab=2ab cos C，可得cos C=，C∈（0，π）．∴C=．∵D是AB上的三等分点（靠近点A），∴=+，两边平方可得：1=b2+a2+ab cos C．整理可得：a2+4b2+2ab=9．∴（a+2b）2=9+2ab≤9+，当且仅当a=2b=时取等号．解得a+2b≤2．∴a+2b的最大值是2．由（a-b）sin A=（c+b）（sin C-sin B），利用正弦定理可得：（a-b）a=（c+b）（c-b），再利用余弦定理可得C．由D是AB上的三等分点（靠近点A），可得=+，利用数量积运算性质可得：a2+4b2+2ab=9．再利用基本不等式的性质即可得出．本题考查了向量共线定理、数量积运算性质、正弦定理余弦定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.【答案】解：（1）{a n}是递增的等差数列，设公差为d，则d＞0，a+a4=20，a1•a5=36，可得a1+a5=20，2解得a1=2，a5=18，d==4，则a n=2+4（n-1）=4n-2；（2）b n=（4n-2）-30=2n-31，可得前n项和T n=n（-29+2n-31）=n2-30n=（n-15）2-225，当n=15时，前n项和T n取得最小值-225．【解析】（1）设公差为d，则d＞0，运用等差数列的性质和通项公式，可得公差d，首项，进而得到所求通项公式；（2）求得b n=（4n-2）-30=2n-31，运用等差数列的求和公式，配方可得所求最小值．本题考查等差数列的通项公式和求和公式，以及单调性、前n项和的最值求法，考查运算能力，属于基础题．18.【答案】解：（1）∵，∴由正弦定理可得：cos A（3sin B-sin C）=sin A cos C，可得：3sin B cos A=sin A cos C+cos A sin C=sin（A+C）=sin B，∵sin B≠0，∴可得cos A=，∵A∈（0，π），∴sin A==，sin2A=2sin A cosA=．（2）∵S△ABC=bc sin A=，∴bc=3，又∵cos A==，∴b2+c2=（b+c）2-2bc=3，即（b+c）2=9，∴b+c=3．【解析】（1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式，结合sin B≠0，可求cos A，进而利用同角三角函数基本关系式可求sin A，利用二倍角的正弦函数公式即可解得sin2A的值．（2）由已知利用三角形的面积公式可求bc=3，利用余弦定理即可解得b+c的值．本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．19.【答案】解：（1）证明：连结AC，交BD于O，由于底面ABCD为菱形，∴O为AC中点，又M为PC的中点，∴MO∥PA，又MO⊂平面MDB，PA⊄平面MDB，∴PA∥平面MDB．（2）解：过P作PE⊥AD，垂足为E，∵△PAD为正三角形，E为AD的中点．侧面PAD⊥底面ABCD，∴由面面垂直的性质得PE⊥平面ABCD．由AD⊥PE，AD⊥PB，得AD⊥平面PEB．由AD⊥PE，AD⊥PB，得AD⊥平面PEB，∴AD⊥EB，∴∠EAB=60°，∵M为PC的中点，∴V P-DEM=V C-DME====．【解析】（1）连结AC，交BD于O，则O为AC中点，从而MO∥PA，由此能证明PA∥平面MDB．（2）过P作PE⊥AD，垂足为E，V P-DEM=V C-DME==，由此能求出三棱锥P-DBM的体积．本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，计算能力，是中档题．喜欢不喜欢总计女生32 8 40男生20 20 40总计52 28 80由表中数据，计算K2=≈7.912＞6.635，所以能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“喜欢篮球运动与性别有关”；（2）从女生中按喜欢篮球运动与否，用分层抽样的方法抽取5人，其中喜欢篮球运动的有5×=4（人），不喜欢篮球运动的有1人；设喜欢篮球运动的4人为a、b、c、d，不喜欢篮球运动的1人为E；则随机抽取2人，所有的基本事件为：ab、ac、ad、aE、bc、bd、bE、cd、cE、dE共10个；其中恰有2人都喜欢篮球运动的基本事件为：ab、ac、ad、bc、bd、cd共6个，故所求的概率为P==．【解析】（1）由题意填写列联表，计算K2的值，对照临界值得出结论；（2）用分层抽样法抽取后，用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值．本题考查了列联表与独立性检验问题，也考查了利用列举法求古典概型的概率问题，是基础题．21.【答案】解：（1）f′（x）=（3m-2）e x-x，∵x=0是函数f（x）的一个极值点，则f′（0）=3m-2=0．∴m=，∴h（x）=b ln x-．h，当b≤0时，h′（x）≤0恒成立，h（x）在（0，+∞）上单调递减．当b＞0时，h′（x）＞0⇒0＜x＜．∴h（x）在（，+∞）上单调递减，在（0，）递增．综上，当b≤0时，h（x）在（0，+∞）上单调递减．当b＞0时，h（x）在（，+∞）上单调递减，在（0，）递增．（2）f（x）在R上有且仅有一个零点，即方程3m-2=有唯一解，令，g，令g′（x）=0，可得x=0或x=2．x∈（-∞，0）时，g′（x）＜0，x∈（0，2）时，g′（x）＞0，x∈（2，+∞）时，g′（x）＜0∴g（x）在（0，2）递增，在（-∞，0），（2，+∞）递减，且x→+∞时，g（x）→0，x→-∞时，g（x）→+∞∴3m-2＞或3m-2=0．∴m，或m=所以，m的取值范围（，+∞）．【解析】（1）f′（x）=（3m-2）e x-x，则f′（0）=3m-2=0．求得m=，即可得h（x）=b ln x-．h，分当b≤0 当b＞0讨论即可．（2）f（x）在R上有且仅有一个零点，即方程3m-2=有唯一解，令，g，利用导数根据图象求解．本题考查了导数的综合应用，考查了分离参数法、分类讨论思想，属于难题．22.【答案】解：（1）由（φ为参数），消去参数φ，得曲线C1的普通方程为：（x-5）2+y2=10．由ρ=4cosθ，得ρ2=4ρcosθ，得曲线C2的普通方程为：x2+y2=4x，即（x-2）2+y2=4．由两圆心的距离，得两圆相交，∴两方程相减可得交线为-6x+21=5，即．∴直线的极坐标方程为；（2）由，得，∴直线l的直角坐标方程：x+y=4，则与y轴的交点为M（0，4）．直线l的参数方程为，代入曲线C1（x-5）2+y2=10，得．设A，B两点的参数为t1，t2，∴，t1t2=31，则t1，t2同号．∴．【解析】（1）由曲线C1的参数方程消去参数φ，得曲线C1的普通方程．把ρ=4cosθ两边同时乘以ρ，结合极坐标与直角坐标的互化公式得曲线C2的普通方程．联立两圆的普通方程可得两交点所在直线的普通方程，进一步得到直线的极坐标方程；（2）由，展开两角和的正弦，得直线l的直角坐标方程，求得M（0，4），写出直线l的参数方程，代入曲线C1（x-5）2+y2=10，再由参数t的几何意义求解．本题考查参数方程与普通方程，以及极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查直线参数方程中参数t的几何意义及其应用，着重考查了运算与求解能力，是中档题．23.【答案】解：（1）证明：∵x，y，z均为正数，∴|x+z|⋅|y+z|=（x+z）（y+z）≥=，当且仅当x=y=z时取等号．又∵0＜xy＜1，∴，∴|x+z|⋅|y+z|＞4xyz；（2）∵=，∴．∵，，，当且仅当x=y=z=1时取等号，∴，∴xy+yz+xz≥3，∴2xy⋅2yz⋅2xz=2xy+yz+xz≥8，∴2xy⋅2yz⋅2xz的最小值为8．【解析】（1）利用基本不等式可得|x+z|⋅|y+z|≥=，再根据0＜xy＜1时，即可证明|x+z|⋅|y+z|＞4xyz；（2）由=，得，然后利用基本不等式即可得到xy+yz+xz≥3，从而求出2xy⋅2yz⋅2xz的最小值．本题考查了利用综合法证明不等式和利用基本不等式求最值，考查了转化思想和运算能力，属中档题．。

四川省乐山市高中第一次调查研究考试数 学（理工农医类）本卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页，共150分，考试时间为120分钟。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用钢笔和4B 或5B 铅笔写、涂写在答题卡上．高考资源网2．每小题选出答案后，用4B 或5B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再涂选其它答案，不准答在试题单上． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．参考公式：如果事件A 、B 五斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 如果事件A 、B 相互，那么()()()P A B P A P B ••=如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次重复试验中恰好发生k 次的概率()(1)n k kk n n P k C P P -=-一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知点(cot ,cos sin )P ααα-在第二象限，且3sin 5α=-，则sin()2πα+=（ ） 4()5A - 4()5B 3()5C 3()5D -2．已知全集为R ，集合{}12|log (1)1A x x =->，1|39x B x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，则集合{}|2x x ≤-=（ ）()A A B ⋂ ()B A B ⋃ ()()R C C A B ⋂ ()()R D C A B ⋃ 3．设函数11()2,()(2,1),()f x ax y f x f a --=+=-=且图像过点则（ ） 3()4A 4()3B 3()2C 2()3D 4．在递增的等比例数列n a {}中，14351726,5,a a a a a a •=+=则的值为（ ） 3()2A 2()3B 9()4C 4()9D 5．某医院为了支援汶川地震灾区的重建工作，要从4名男医生和3名女医生中选出3名前往灾区，则至少有一男一女的不同选派方法有（ ）()60A 种 ()30B 种 ()35C 种 ()210D 种6．已知25()1x f x -⎧=⎨⎩ 22x x ≠=，则下列结论正确的是（ ） ()()2A f x x =在处连续 ()(2)1B f =- 2()lim ()1x C f x →= 2()lim ()1x D f x →=- 7．设函数1()cos()2f x x ωϕ=+对任意x R ∈，都有()()66f x f x ππ-=+，若函数()g x = 3sin()2x ωϕ+-，则()6g π的值是（ ）()1A ()53B -或 ()2C - 1()2D 8．将函数()||f x x =的图象按向量(3,2)a =-平移后得到的图象对应的函数为()x ϕ，则不等式()()f x x ϕ<的解集为（ ）1()|2A x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭ 1()|2B x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭{}()|1C x x < {}()|1D x x >9．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若2,sin sin 3sin a B C A =+=，且△ABC 的面积为4sin 3A ，则角A=（ ） ()6A π()4B π()3C π2()3D π10．已知向量,a b 是两个不共线的向量，它们的起点相同，且1,,()()3a tb a b t R +∈这三个向量的终点在一条直线上，则t 的值为（ ） 1()2A 1()3B ()2C ()3D11．设数列{}n a 满足：1121,2nn n a a a a +==+，则经过点211(,)(2,)n n P n Q n a a ++、的直线的一个方向向量的坐标可以表示为（ ）1()(2,)2A ()(2,1)B -- 1()(,1)2C -- ()(1,1)D -- 12．函数2()ay a b c R x bx c+=∈-+、、的大致图象如图所示，1x =是该函 数图象的对称轴，则21c a -+的取值范围是（ ）()(3,1)A - ()(1,3)B -D+∞⋃-∞-C+∞⋃-∞-()[1,)(,3] ()(1,)(,3)绝密★启用前〔考试时间：12月29 日下午3：00一5：00〕乐山市高中第一次调查研究考试数学（理工农医类）第Ⅱ卷（非选择题 共90分）注意事项：1．第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上。

四川省乐山市2021届新高考数学模拟试题（1）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合{}220A x x x =-->，{}2log 2B x x =≤，则集合()R C A B = A ．{}12x x -≤≤B ．{}02x x <≤C ．{}04x x <≤D ．{}14x x -≤≤ 【答案】B【解析】【分析】先求出集合A 和它的补集，然后求得集合B 的解集，最后取它们的交集得出结果.【详解】对于集合A ，()()210x x -+>，解得1x <-或2x >，故[]1,2R C A =-.对于集合B ，22log 2log 4x ≤=，解得04x <≤.故()(]0,2R C A B ⋂=.故选B.【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查对数不等式的解法，考查集合的补集和交集的运算.对于有两个根的一元二次不等式的解法是：先将二次项系数化为正数，且不等号的另一边化为0，然后通过因式分解，求得对应的一元二次方程的两个根，再利用“大于在两边，小于在中间”来求得一元二次不等式的解集.2．已知角a 的终边经过点()()4,30P m m m -≠，则2sin cos a a +的值是( )A ．1或1-B ．25或25-C ．1或25-D ．1-或25 【答案】B【解析】【分析】根据三角函数的定义求得sin ,cos a a 后可得结论．【详解】由题意得点P 与原点间的距离5r m ==．①当0m >时，5r m =， ∴3344sin ,cos 5555m m a a m m -====-， ∴3422sin cos 2555a a +=⨯-=． ②当0m <时，5r m =-，∴3344sin ,cos 5555m m a a m m -==-==--，∴3422sin cos 2555a a ⎛⎫+=⨯-+=- ⎪⎝⎭． 综上可得2sin cos a a +的值是25或25-． 故选B ．【点睛】 利用三角函数的定义求一个角的三角函数值时需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x ，纵坐标y ，该点到原点的距离r ，然后再根据三角函数的定义求解即可．3．设α，β是方程210x x --=的两个不等实数根，记n n n a αβ=+（n *∈N ）.下列两个命题（ ）①数列{}n a 的任意一项都是正整数；②数列{}n a 存在某一项是5的倍数.A ．①正确，②错误B ．①错误，②正确C ．①②都正确D ．①②都错误【答案】A【解析】【分析】利用韦达定理可得1αβ+=,1αβ=-,结合n n n a αβ=+可推出1n a +1n n a a -=+,再计算出11a =,23a =,从而推出①正确;再利用递推公式依次计算数列中的各项,以此判断②的正误.【详解】因为α,β是方程210x x --=的两个不等实数根,所以1αβ+=,1αβ=-,因为n n n a αβ=+,所以111n n n a αβ+++=+()()n n n n n n αβααβββααβ=+++--()()()11n n n n αβαβαβαβ--=++-+()()111n n n n n n a a αβαβ---=+++=+,即当3n ≥时,数列{}n a 中的任一项都等于其前两项之和,又11a αβ=+=,()222223a αβαβαβ=+=+-=,所以3214a a a =+=,4327a a a =+=,54311a a a =+=,以此类推,即可知数列{}n a 的任意一项都是正整数,故①正确;若数列{}n a 存在某一项是5的倍数,则此项个位数字应当为0或5,由11a =,23a =,依次计算可知,数列{}n a 中各项的个位数字以1,3,4,7,1,8,9,7,6,3,9,2为周期,故数列{}n a 中不存在个位数字为0或5的项,故②错误;故选:A.【点睛】本题主要考查数列递推公式的推导,考查数列性质的应用,考查学生的综合分析以及计算能力.4．已知集合{}1,0,1,2A =-，{}|lg(1)B x y x ==-，则AB =（ ） A ．{2}B ．{1,0}-C ．{}1-D ．{1,0,1}-【答案】B【解析】【分析】求出集合B ，利用集合的基本运算即可得到结论.【详解】由10x ->，得1x <，则集合{}|1B x x =<，所以，{}1,0A B ⋂=-.故选：B.【点睛】本题主要考查集合的基本运算，利用函数的性质求出集合B 是解决本题的关键，属于基础题. 5．已知f(x)=-1x x e e a+是定义在R 上的奇函数，则不等式f(x-3)<f(9-x 2)的解集为（ ） A ．(-2,6)B ．(-6,2)C ．(-4,3)D ．(-3,4)【答案】C【解析】【分析】由奇函数的性质可得1a =，进而可知()f x 在R 上为增函数，转化条件得239x x -<-，解一元二次不等式即可得解.【详解】因为()1x x e f x e a-=+是定义在R 上的奇函数，所以()()011f f +-=， 即11101e e e a a e--+=++，解得1a =，即()12111x x x e f x e e -==-++， 易知()f x 在R 上为增函数.又()()239f x f x-<-，所以239x x -<-，解得43x -<<.故选：C.【点睛】本题考查了函数单调性和奇偶性的应用，考查了一元二次不等式的解法，属于中档题. 6．已知x ，y 满足不等式00224x y x y t x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩，且目标函数z ＝9x+6y 最大值的变化范围[20，22]，则t 的取值范围（ ）A ．[2，4]B ．[4，6]C ．[5，8]D ．[6，7]【答案】B【解析】【分析】作出可行域，对t 进行分类讨论分析目标函数的最大值，即可求解.【详解】 画出不等式组0024x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+=⎩所表示的可行域如图△AOB当t≤2时，可行域即为如图中的△OAM，此时目标函数z＝9x+6y 在A（2，0）取得最大值Z＝18不符合题意t＞2时可知目标函数Z＝9x+6y在224x y tx y+=⎧⎨+=⎩的交点（82433t t--，）处取得最大值，此时Z＝t+16由题意可得，20≤t+16≤22解可得4≤t≤6故选：B．【点睛】此题考查线性规划，根据可行域结合目标函数的最大值的取值范围求参数的取值范围，涉及分类讨论思想，关键在于熟练掌握截距型目标函数的最大值最优解的处理办法.7．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“乐”不排在第一节，“射”和“御”两门课程不相邻，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有（）种.A．408 B．120 C．156 D．240【答案】A【解析】【分析】利用间接法求解，首先对6门课程全排列，减去“乐”排在第一节的情况，再减去“射”和“御”两门课程相邻的情况，最后还需加上“乐”排在第一节，且“射”和“御”两门课程相邻的情况；【详解】解：根据题意，首先不做任何考虑直接全排列则有66720A=（种），当“乐”排在第一节有55120A=（种），当“射”和“御”两门课程相邻时有2525240A A =（种），当“乐”排在第一节，且“射”和“御”两门课程相邻时有242448A A =（种）， 则满足“乐”不排在第一节，“射”和“御”两门课程不相邻的排法有72012024048408--+=（种）， 故选：A ．【点睛】本题考查排列、组合的应用，注意“乐”的排列对“射”和“御”两门课程相邻的影响，属于中档题． 8．已知等差数列{}n a 的前13项和为52，则68(2)a a +-=（ ） A ．256B ．-256C ．32D ．-32 【答案】A【解析】【分析】利用等差数列的求和公式及等差数列的性质可以求得结果.【详解】由1371352S a ==，74a =，得()()68822256a a +-=-=.选A. 【点睛】本题主要考查等差数列的求和公式及等差数列的性质，等差数列的等和性应用能快速求得结果. 9．若函数f(x)＝13x 3＋x 2－23在区间(a ，a ＋5)上存在最小值，则实数a 的取值范围是 A ．[－5，0)B ．(－5，0)C ．[－3，0)D ．(－3，0)【答案】C【解析】【分析】求函数导数，分析函数单调性得到函数的简图，得到a 满足的不等式组，从而得解.【详解】由题意，f′(x)＝x 2＋2x ＝x(x ＋2)，故f(x)在(－∞，－2)，(0，＋∞)上是增函数，在(－2，0)上是减函数，作出其图象如图所示．令13x 3＋x 2－23＝－23，得x ＝0或x ＝－3， 则结合图象可知，3050a a -≤<⎧⎨+>⎩解得a ∈[－3，0)，故选C.【点睛】本题主要考查了利用函数导数研究函数的单调性，进而研究函数的最值，属于常考题型.10．已知i 为虚数单位，若复数z 满足5i 12i z =-+，则z =（ ） A ．1i +B ．1i -+C ．12i -D ．12i + 【答案】A【解析】 分析：题设中复数满足的等式可以化为512z i i =++，利用复数的四则运算可以求出z . 详解：由题设有512112z i i i i i=+=-+=-+，故1z i =+，故选A. 点睛：本题考查复数的四则运算和复数概念中的共轭复数，属于基础题.11．已知命题300:2,80p x x ∃>->，那么p ⌝为（ ） A ．3002,80x x ∃>-≤B ．32,80x x ∀>-≤C ．3002,80x x ∃≤-≤D ．32,80x x ∀≤-≤【答案】B【解析】【分析】利用特称命题的否定分析解答得解.【详解】 已知命题0:2p x ∃>，3080x ->，那么p ⌝是32,80x x ∀>-≤. 故选：B ．【点睛】本题主要考查特称命题的否定，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.12．已知函数22,0,()1,0,x x x f x x x ⎧-=⎨+<⎩，则((1))f f -=（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】A【解析】【分析】根据分段函数直接计算得到答案.【详解】因为22,0,()1,0,x x x f x x x ⎧-=⎨+<⎩所以2((1))(2)222f f f -==-=. 故选：A .【点睛】本题考查了分段函数计算，意在考查学生的计算能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

四川省乐山市2021届新高考数学考前模拟卷（1）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在ABC ∆中，“sin sin A B >”是“tan tan A B >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】D【解析】【分析】 通过列举法可求解，如两角分别为2,63ππ时【详解】 当2,36A B ππ==时，sin sin A B >，但tan tan A B <，故充分条件推不出； 当2,63A B ππ==时，tan tan A B >，但sin sin A B <，故必要条件推不出； 所以“sin sin A B >”是“tan tan A B >”的既不充分也不必要条件.故选：D.【点睛】本题考查命题的充分与必要条件判断，三角函数在解三角形中的具体应用，属于基础题2．设a b c ，，为非零实数，且a c b c >>，，则（ ）A ．a b c +>B ．2ab c >C ．a b 2c +>D ．112a b c+> 【答案】C【解析】【分析】取1,1,2a b c =-=-=-，计算知ABD 错误，根据不等式性质知C 正确，得到答案.【详解】 ,a c b c >>，故2a b c +>，2a b c +>，故C 正确； 取1,1,2a b c =-=-=-，计算知ABD 错误；故选：C .【点睛】本题考查了不等式性质，意在考查学生对于不等式性质的灵活运用.3．记递增数列{}n a 的前n 项和为n S .若11a =，99a =，且对{}n a 中的任意两项i a 与j a （19i j ≤<≤），其和i j a a +，或其积i j a a ，或其商ji a a 仍是该数列中的项，则（ ）A ．593,36a S ><B ．593,36a S >>C ．693,36a S >>D ．693,36a S >< 【答案】D【解析】【分析】 由题意可得955a a a =，从而得到53a =，再由53a =就可以得出其它各项的值，进而判断出9S 的范围． 【详解】解：i j a a +，或其积i j a a ，或其商j i a a 仍是该数列中的项， 29a a ∴+或者29a a 或者92a a 是该数列中的项， 又数列{}n a 是递增数列，1239a a a a ∴<<<⋯<，299a a a ∴+>，299a a a >，只有92a a 是该数列中的项， 同理可以得到93a a ，94a a ，..，98a a 也是该数列中的项，且有99919872a a a a a a a a <<<⋯<<， ∴955a a a =，53a ∴=或53a =-（舍)，63a ∴>， 根据11a =，53a =，99a =， 同理易得1423a =，1233a =，3443a =，5463a =，3273a =，7483a =， 94912914133613S a a a -∴=++⋯+=<-，故选：D ．【点睛】 本题考查数列的新定义的理解和运用，以及运算能力和推理能力，属于中档题．4．若,,x a b 均为任意实数，且()()22231a b ++-=，则()()22ln x a x b -+- 的最小值为（ ） A．B ．18 C．1- D．19-【答案】D【解析】【分析】该题可以看做是圆上的动点到曲线ln y x =上的动点的距离的平方的最小值问题，可以转化为圆心到曲线ln y x =上的动点的距离减去半径的平方的最值问题，结合图形，可以断定那个点应该满足与圆心的连线与曲线在该点的切线垂直的问题来解决，从而求得切点坐标，即满足条件的点，代入求得结果.【详解】由题意可得，其结果应为曲线ln y x =上的点与以()2,3C -为圆心，以1为半径的圆上的点的距离的平方的最小值，可以求曲线ln y x =上的点与圆心()2,3C -的距离的最小值，在曲线ln y x =上取一点(),ln M m m ，曲线有ln y x =在点M 处的切线的斜率为1'k m =，从而有'1CM k k ⋅=-，即ln 3112m m m-⋅=-+，整理得2ln 230m m m ++-=，解得1m =，所以点()1,0满足条件，其到圆心()2,3C -的距离为()()22213032d =--+-=，故其结果为()23211962-=-， 故选D.【点睛】本题考查函数在一点处切线斜率的应用，考查圆的程，两条直线垂直的斜率关系，属中档题. 5．函数2sin 1x x y x+=+的部分图象大致为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】【分析】 图像分析采用排除法，利用奇偶性判断函数为奇函数，再利用特值确定函数的正负情况。

2020~2021学年四川乐山市中区乐山外国语学校高三上学期期中理科数学试卷一、选择题1. 已知集合{}2,1,0,1,2A =--，{}26<0B x x x =--，则AB =（ ）.A. {}2,1,0,1,2,3--B. {}2,1,0,1,2--C.1,0,1,2D. {}2,1,0,1--【答案】C 【解析】【分析】解出集合B ，利用交集的定义可求得集合A B .【详解】因为集合{}{}26023B x x x x x =--<=-<<，{}2,1,0,1,2A =--，因此，{}1,0,1,2A B ⋂=-. 故选：C.2. 已知复数z 满足(2)(1)2z i i --=，则z 对应复平面内的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法运算求出1z i =+，可得复数的坐标，从而可得答案. 【详解】由(2)(1)2z i i --=， 得22(1)22(1)2112i i i z i i i i +=+=+=++=+-， 复平面内对应点的坐标为(1,1)，在第一象限． 故选：A ．【点睛】本题主要考查复数的除法运算以及复数的坐标表示，属于基础题.3. 某人5次上班途中所花的时间（单位:分钟）分别为x ，y ，10，11，9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则||x y -的值为（ ） A. 1B. 2C. 3D. 4【分析】根据这组数据的平均数为10,方差为2可求得,x y ,再求||x y -即可. 【详解】由题,1011951050x y ++++=⨯=,即20x y +=. 又()()()()()22222110101010111091025x y ⎡⎤-+-+-+-+-=⎣⎦, 即()()2210108x y -+-=.代入20x y +=有()()222010108y y --+-=,解得8y =或12y =.故128x y =⎧⎨=⎩或812x y =⎧⎨=⎩.故||4x y -=. 故选：D【点睛】本题主要考查了平均数与方程的综合运算,属于基础题. 4. 数列1、1、2、3、5、8、13、21、34、称为斐波那契数列，是意大利著名数学家斐波那契于1202年在他撰写的《算盘全书》中提出的，该数列的特点是：从第三项起，每一项都等于它前面两项的和.在该数列的前2020项中，偶数的个数为（ ） A. 505 B. 673C. 674D. 1010【答案】B 【解析】【分析】由斐波那契数列的特点可知，该数列只有第()3k k *∈N 项为偶数，再由202036731=⨯+可求得结果.【详解】由斐波那契数列的特点，可得此数列只有第()3k k *∈N 项为偶数，由于202036731=⨯+，所以前2020项中偶数的个数为673． 故选：B.【点睛】本题考查斐波那契数列的应用，考查推理能力，属于基础题.5. 已知第四象限内抛物线216y x =上的一点M 到y 轴的距离是该点到抛物线焦点距离的15，则点M 的坐标为A. ()1,8-B. ()1,4-C. (1,-D. (2,-【分析】利用抛物线上点到焦点距离与到准线的距离相等，设(,)M x y ，列式计算即可得解. 【详解】解：设(,)M x y ，则根据题意及抛物线的定义可得:1(4)5x x =+，解得1x =， 代入抛物线方程得：4y =±，又点M 在第四象限，所以4y =-，故(1,4)M -. 故选：B.【点睛】本题主要考查抛物线的定义，考查的数学核心素养是数学运算,属于基础题.6. 已知向量a ，b 满足1a →=，2b →=，22a b →→+=，则向量b →在向量a →方向上的投影是（ ） A. 12-B. 1-C.12D. 1【答案】B 【解析】【分析】根据向量数量积的运算及模的性质可求出1a b →→⋅=-，代入向量在向量上的投影公式可得. 【详解】由22a b →→+=可得，222(2)4||4||4a b a a b b →→→→→→+=+⋅+=，又1a →=，2b →=，所以1a b →→⋅=-，所以b →在向量a →方向上的投影为1a ba→→→⋅=-，故选：B【点睛】本题主要考查了向量的数量积运算，向量模的性质，向量在向量上的投影，属于中档题. 7. 在正三棱柱111ABC A B C -中，若1AB BB =，D 是1CC 的中点，则1CA 与BD 所成角的大小是A. 30B. 45C. 90D. 60【答案】C 【解析】【详解】如图所示，取AC 的中点E ，连结,BE DE ，ABC 为等边三角形，则BE AC ⊥， 由正棱柱的性质可得平面11ACC A ⊥平面ABC ，利用面面垂直的性质定理可得：BE ⊥平面11ACC A ，1BE A C ∴⊥， 正方形11ACC A 中，11,,CD C D AE CE DE AC ==∴⊥，又DE BE E ⋂=，由线面垂直的判断定理可得：1A C ⊥平面BDE ， 则1A C BD ⊥，即1CA 与BD 所成角的大小是90. 本题选择C 选项.8. 已知sin 15tan 2102α⎛⎫︒-=︒ ⎪⎝⎭，则()sin 60α︒+的值为（ ） A.13 B. 13-C.23D. 23-【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得到3sin 1523α⎛⎫︒-= ⎪⎝⎭进而得到26cos 1529α⎛⎫︒-= ⎪⎝⎭，()1cos 303α︒-=，从而有()()()sin 60sin 9030cos 30ααα⎡⎤︒+=︒-︒-=︒-⎣⎦.【详解】∵sin 15tan 2102α⎛⎫︒-=︒ ⎪⎝⎭，∴()sin 15tan 210tan 18030tan3023α⎛⎫︒-=︒=︒+︒=︒= ⎪⎝⎭， 则226cos 151sin 15229αα⎛⎫⎛⎫︒-=-︒-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()221cos 30cos 15sin 15223ααα⎛⎫⎛⎫︒-=︒--︒-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()()sin 60sin 9030αα⎡⎤︒+=︒-︒-⎣⎦()1cos 303α=︒-=， 故选A.【点睛】本题主要考查二倍角公式，同角三角函数的基本关系，诱导公式，属于基础题.9. “中国剩余定理”又称“孙子定理”，讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：已知[150,300]x ∈且x 是整数，则满足能被3除余1且被5除余3的所有x 的取值的和为（ ）A. 2020B. 2305C. 4610D. 4675【答案】B 【解析】 【分析】构造等差数列，再利用等差数列的前n 项和公式，即可得答案； 【详解】131x k =+且253x k =+，∴12352k k =+，∴当2222,5,8,,k k k ===时，13,28,43,x =，∴x 的值构成以13为首项，公差为15的等差数列， ∴13(1)15152n x n n =+-⋅=-，[150,300]x ∈，∴150152300n ≤-≤1120n ⇒≤≤，∴x 的取值的和为201020(13298)10(13148)230522S S ⋅+⋅+-=-=，故选：B.【点睛】本题考查等差数列通项公式和前n 项和公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 10. 已知函数()()1sin 02f x x x ωωω=->，若()f x 在π3π,22⎛⎫ ⎪⎝⎭上无零点，则ω的取值范围是（ ）A. 280,,99⎛⎤⎡⎫+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ B. 2280,,939⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦C. 280,,199⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦D. [)28,991,⎛⎤⎥⎦∞⎝+【答案】B 【解析】【分析】先利用辅助角公式可得()sin 3f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭，由函数()f x 在π3π,22⎛⎫⎪⎝⎭上无零点，结合正弦型函数图象与性质可知，3πππππ23232T ωωω⎛⎫⎛⎫---≤= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，并且()πππ,233ππ1π,23k k ωω⎧≤-⎪⎪⎨⎪+≥-⎪⎩在0>ω的前提下，对k 进行赋值解不等式求出ω的取值范围即可. 【详解】因为()1πsin sin 23f x x x x ωωω⎛⎫==- ⎪⎝⎭， 所以若π3π22x <<，则πππ3ππ23323x ωωω-<-<-， 即3πππππ23232T ωωω⎛⎫⎛⎫---≤=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则21ω≤，又0>ω，解得01ω<≤，又()πππ,233ππ1π,23k k ωω⎧≤-⎪⎪⎨⎪+≥-⎪⎩解得3412323k ωω-≤≤-， 当0k =时，2839ω≤≤；当1k =-时，因为01ω<≤，所以可得209ω<≤． 所以2280,,939ω⎛⎤⎡⎤∈ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦． 故选：B【点睛】本题考查利用辅助角公式和正弦型函数的图象与性质求参数的取值范围；考查知识的综合运用能力；属于难度较大型试题.11. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点，P 为底面ABCD 内一动点，设1,PD PE 与底面ABCD 所成的角分别为1212,(,θθθθ均不为0).若12θθ=，则动点P 的轨迹为A. 直线的一部分B. 圆的一部分C. 椭圆的一部分D. 抛物线的一部分【答案】B 【解析】【详解】由线面角的定义及题意可得1112112sin sin AA DD PD PEθθ=⇔=，即12PD PE =，以线段1D E 为x 轴，其中垂线为y 轴，如图，建立平面直角坐标系xOy ，设12,(,)AA P x y =，则11(22D E E D =-，所以2222(4(422x y x y -+=++，即2223302x y +++=，则动点P 的轨迹是圆，故应选答案B ．点睛：解答本题时，先将立体几何问题转化平面上动点的轨迹问题，再运用平面解析几何的有关知识分析探求，最后使得问题获解，体现了降维思想与转化化归思想的巧妙运用． 12. 若函数216()43cos(2)4x x f x x -=+--，则（ ） A. ()122331log 18log 122f f f ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥>>+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ B. ()1223131log 18log 22f f f ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥+>> ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ C. ()1232131log log 1822f f f ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥+>> ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ D. ()122313log 181log 22f f f ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥>+> ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦【答案】A 【解析】【分析】根据函数的解析式可知22216()43cos(2)443cos(2)4x x x x f x x x ---=+--=+--，从而可得()()4f x f x =-，构造函数()()2g x f x =+，由函数()g x 的单调性得出函数()f x 的单调性，即可根据函数()f x 的对称性和单调性比较出各式的大小． 【详解】因为22216()43cos(2)443cos(2)4x x x x f x x x ---=+--=+--，所以()()4f x f x =-，即函数()f x 的图象关于直线2x =对称．设()()2443cos xxg x f x x -=+=+-，()()ln 4443sin x x g x x -'=⨯-+，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0g x '≥； 当,2x π⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()()22ln 4443sin 4430x x g x x ππ--'=⨯-+>-->，所以当[)0,x ∈+∞时，()0g x '≥，故函数()g x 在[)0,+∞上单调递增，即函数()f x 在[)2,+∞上单调递增．因为22log 18log 164>=，12131122⎛⎫- ⎪⎝⎭⎛⎫>+=> ⎪⎝⎭，3330log log 312<<=， 而函数()f x 的图象关于直线2x =对称，所以3333log 4log 22f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即122331log 184log 122⎛⎫- ⎪⎝⎭⎛⎫>->+ ⎪⎝⎭，因此，()122331log 18log 122f f f ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥>>+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦． 故选：A ．【点睛】本题主要考查利用函数的解析式研究其性质，利用单调性比较大小，涉及对数函数单调性的应用，分数指数幂与根式的互化，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于较难题．二、填空题13. 已知实数x ，y 满足12020x x y x y ≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =-的最大值为________．【答案】1 【解析】 【分析】先根据约束条件画出可行域，再根据可行域求目标函数的最大值即可.【详解】解：由约束条件12020x x y x y ≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩，画出可行域，如图，有题意12x y x =⎧⎨=-+⎩，解得点(1,1)B ，根据图象可得，当目标函数过点(1,1)B 时，2z x y =-取得最大值211=1z =⨯-， 故答案为：1.【点睛】本题考查简单的线性规划、求线性目标函数的最值，是基础题.14. 二项式3nn x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的二项式系数之和为64，则二项式展开式中的常数项为______【答案】160- 【解析】【分析】根据二项式系数之和，求出6n =，由二项展开式的通项公式写出展开式的通项，进而可求出结果.【详解】由3nn x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的二项式系数之和为64，可得264n=，解得6n =，则二项式为62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 其展开式的第1r +项为()61666222rr rrrr r T C x C x x --+⎛⎫=- =-⎪⎝⎭， 令620r -=，则3r =故展开式中的常数项为33362160C x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭. 故答案为：160-.【点睛】本题主要考查求二项展开式中的常数项，考查由二项式系数之和求参数，属于常考题型. 15. 已知三棱锥P ABC -中，PC ⊥平面ABC ，若6PC BC ==，2AB =，PA 与平面ABC 所成线面角的正弦值为64，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为______．【答案】16π 【解析】 【分析】根据已知可得AB BC ⊥，可得三棱锥P ABC -的外接球，即为以PC ，AC ，AB 为长宽高的长方体的外接球，根据已知PC 、AC 、AB 的长，代入长方体外接球直径（长方体对角线）公式，易得球半径，即可求出三棱锥外接球的表面积． 【详解】解：PC ⊥平面ABC ，PA 与平面ABC 所成线面角的正弦值为6，∴6PC PA =，4PA ∴=， 根据勾股定理可得2210AC PA PC =-=， 在ABC ∆中，6=BC ，10AC =，2AB =，则ABC ∆为直角三角形．三棱锥P ABC -外接球即为以PC ，AC ，AB为长宽高的长方体的外接球，故26644R =++=，三棱锥外接球的表面积为2416S R ππ==． 故答案为：16π．【点睛】本题考查的知识点是球内接多面体，其中利用割补法，将三棱锥P ABC -的外接球，转化为一个长方体的外接球是解答的关键，属于中档题．16. 已知D 是ABC 边AC 上一点，且3CD AD =，2BD =，1cos 4ABC ∠=，则3AB BC +的最大值为__________．165【解析】【分析】设a BC =，c AB =，设AD t =，则3CD t =，4AC t =，利用余弦定理以及ADB BDC π∠=-∠可推导出2239322a c ac ++=，进而利用基本不等式可求得3a c +的最大值. 【详解】设a BC =，c AB =，设AD t =，则3CD t =，4AC t =，如下图所示：在ABD △中，22cos 22ADB t ∠=BCD △中，22cos 62BDC t∠=ADB BDC π∠=-∠，()cos cos cos ADB BDC BDC π∴∠=-∠=-∠， 22222262t t=，整理得2223128a c t +=+，①在ABC 中，2222221162cos 2AC t a c ac ABC a c ac ==+-∠=+-，② 由①②可得2239322a c ac ++=， 由基本不等式可得()()()22222239333329333322222a c a c ac a c ac a c a c a c +⎛⎫=++=+-=+-⋅⋅≥+-⋅ ⎪⎝⎭()2538a c =+， ()225635a c ∴+≤，因此，16535a c +≤，当且仅当3a c =时，等号成立， 因此，3AB BC +165165【点睛】本题考查利用基本不等式求三角形边长和的最值，同时也考查了余弦定理的应用，考查计算能力，属于难题.三、解答题17. 已知数列{a n }是公差不为零的等差数列，a 1=1，且存在实数λ满足2a n +1=λa n +4，n ∈N *. （1）求λ的值及通项公式a n ；（2）求数列{}2n n a -的前n 项和S n .【答案】（1）λ=2，a n =2n -1；（2）S n =2n +2-n 2-2n -4. 【解析】 【分析】（1）设等差数列{a n }的公差为d ，然后退项相减便可得出结果； （2）求出数列{}2n n a -的通项公式，然后利用分组求和法求出前n 项和. 【详解】（1）设等差数列{a n }的公差为d ，d ≠0， 由2a n +1=λa n +4(n ∈N *)， ① 得2a n =λa n -1+4(n ∈N *，n ≥2)， ② 两式相减得，2d =λd ，又d ≠0，所以λ=2.将λ=2代入①可得2a n +1=2a n +4，即2d =4，所以d =2. 又a 1=1，所以a n =1+(n -1)×2=2n -1；（2）由（1）可得2n n a -=2(2n -n )-1=2n +1-(2n +1)， 所以S n =(22+23+…+2n +1)-[3+5+…+(2n +1)]=()()412321122n n n -++--=2n +2-n 2-2n -4.【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，分组法求出数列的和，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型.18. 生男生女都一样，女儿也是传后人.由于某些地区仍然存在封建传统思想，头胎的男女情况可能会影响生二孩的意愿，现随机抽取某地200户家庭进行调查统计.这200户家庭中，头胎为女孩的频率为0.5，生二孩的频率为0.525，其中头胎生女孩且生二孩的家庭数为60.（1）完成下列22⨯列联表，并判断能否有95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有关；（2）在抽取的200户家庭的样本中，按照分层抽样的方法在头胎生女孩家庭中抽取了5户，进一步了解情况，在抽取的5户中再随机抽取3户，求这3户中恰好有2户生二孩的概率. 附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++（其中n a b c d =+++）.【答案】（1）列联表见解析，有95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有关；（2）35【解析】 【分析】（1）根据已知条件求出生二孩的总户数，即可补全列联表，计算2K ，对照数表，即可得出结论； （2）按照分层抽样原则，抽取的5户家庭中3户生二胎，2户不生二胎，按照生二胎和不生二胎对这5户家庭编号，列出5户家庭中抽取3户的所有情况，统计出恰好有2户生二胎的情况，按求古典概型的概率的方法，即可求解.【详解】（1）因为头胎为女孩的频率为0.5， 所以头胎为女孩的总户数为2000.5100⨯=. 因为生二孩的概率为0.525，所以生二孩的总户数为2000.525105⨯=.22⨯列联表如下：22200(60554540)600 4.511 3.84110595100100133K ⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，故有95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有关. （2）在抽取的200户家庭的样本中，按照分层抽样的方法在头胎生女孩的家庭中抽取了5户， 则这5户家庭中，生二胎的户数为3，分别记为,,A B C ， 不生二孩的户数为2，分别记为,a b .从这5户家庭中随机抽取3户有(,,)A B C ，(,,)A B a ，(,,)A B b ，(,,)B C a ，(,,)B C b ，(,,)A C a ，(,,)A C b ， (,,)A a b ，(,,)B a b ，(,,)C a b ，共10种情况，其中恰好有2户生二孩的有(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)A B a A B b B C a B C b A C a A C b ，故6种情况，故所求概率为63105=. 【点睛】本题考查独立性检验，以及古典概型的概率，考查计算能力，属于中档题.19. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1111AC A B ⊥，D ，E ，F 分别为棱AB ，BC ，1B B 的中点，且113AC =，1114A B A A ==.（1）求证：平面1B DE ⊥平面11AC F ； （2）求二面角1B DE F --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（231010【解析】【分析】（1）要证面面垂直，只要证平面内的一条直线垂直于另一个平面即可得解，可证1B D ⊥平面11AC F 且1B D ⊂平面1B DE ，即可得证；（2）建立空间直角坐标系，求得面面的法向量的夹角，即可得解. 【详解】（1）∵111ABC A B C -为直三棱柱 ∴111A A A C ⊥，∵11111111,AC A B AA A B A ⊥⋂=， ∴11A C ⊥平面11A ABB ，∴111AC B D ⊥， ∵111A B A A = ，∴四边形11A ABB 为正方形，111,A FB B DB ≅ ∴111111A F B D AC A F A ⊥⋂=，，∴1B D ⊥平面11AC F ， 而1B D ⊂平面1B DE ， ∴平面1B DE ⊥平面11AC F .（2）以A 点为坐标原点，以AB ，AC ，1AA 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系.则()14,0,4B ，()2,0,0D ，()4,0,0B ，32,,02E⎛⎫ ⎪⎝⎭，()4,0,2F ， 设平面1B DE 的法向量为(),,m x y z =，而()12,0,4B D =--，30,,02DE ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴2400x z y --=⎧⎨=⎩， 令1z =-，则()2,0,1m =-， 同理，平面DEF 的法向量为()1,0,1n =-， 设二面角1B DE F --的平面角为α，则310cos 10m n m nα⋅==， 即二面角1B DE F --的余弦值为31010.【点睛】本题考查了面面垂直的证明，考查了建立空间直角坐标系求二面角，需要一定的空间想象和推理能力以及计算能力，属于中档题.20. 已知椭圆M ：22143x y +=，圆N 是椭圆M 长轴和短轴四个端点连接而成的四边形的内切圆.（1）求圆N的方程；（2）过圆N 上的任一点A 作圆N 的切线交椭圆M 于B ，C 两点，求证AB AC ⋅为定值. 【答案】（1）22127x y +=；（2）证明见详解. 【解析】【分析】（1）根据椭圆的方程得到右顶点和上顶点所在的直线方程，利用直线与圆心在原点的圆相切求解出圆的半径，从而求解出圆N 的方程；（2）先根据条件分析出,OB OC 的位置关系，根据,OB OC 的位置关系结合三角形中线段长度关系证明AB AC ⋅为定值.【详解】（1）取椭圆的上顶点(P ，右顶点()2,0Q ，所以20PQ l y +-=， 又因为PQ l 与圆N 相切且圆心在坐标原点，所以圆N 7=， 所以圆N 的方程为：22127x y +=； （2）当BC 的斜率存在时，设:BC l y kx m =+，()()1122,,,B x y C x y ， 因为BC l 与圆N =，所以()227121m k =+， 又223412y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，所以()2223484120k x kmx m +++-=， 所以21212228412,3434km m x x x x k k-+=-=++，所以()()()222212121212231234m k y y kx m kx m k x x km x x m k-=++=+++=+， 所以()22121227121034m k OB OC x x y y k-+⋅=+==+，所以OB OC ⊥，又因为OA BC ⊥，所以可得CAO △∽OAB ，所以AC AO OA AB =，所以2127AB AC AO ⋅==，所以AB AC ⋅为定值127；当BC的斜率不存在时，此时7A ⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭，所以,B C的坐标为77⎛± ⎝⎭或77⎛-± ⎝⎭，所以12==777AB AC ⋅， 综上可知：AB AC ⋅为定值127. 【点睛】本题考查圆锥曲线的综合应用，其中涉及到直线与圆的相切关系以及椭圆中的定值问题，对于学生的分析与计算能力要求较高，难度较难.圆锥曲线中的垂直问题，可转化为向量的数量积为零去分析计算. 21. 已知函数()ln f x x x =．（1）求()f x 的图象在x e =处的切线方程； （2）若函数()()2f x F x b x =-有两个不同的零点1x 、2x ，证明：2120x x e ->．【答案】（1）2y x e =-；（2）证明见解析. 【解析】【分析】（1）求出函数()y f x =的导数，求得()f e 和()f e '的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；（2）设120x x >>，令()0F x =可得出ln bx x =，由题意得出1122ln ln bx x bx x =⎧⎨=⎩，变形可得12112122ln ln x x x x x x x x +=-，令121x t x =>，由此将所求不等式转化为证明()21ln 1t t t ->+，然后构造函数()()21ln 1t g t t t -=-+，利用导数证明出()()10g t g >=即可. 【详解】（1）()ln f x x x =，定义域()0,∞+，()ln 1f x x '=+，()f e e =，()2f e '=.因此，函数()y f x =的图象在x e =处的切线方程为()2y e x e -=-，即2y x e =-； （2）令()()2ln 0f x xF x b b x x =-=-=，得ln bx x =，由题意可得1122ln ln bx x bx x =⎧⎨=⎩， 两式相加得()1212ln ln b x x x x +=+，两式相减得()1212ln ln b x x x x -=-，设120x x >>，可得12121122ln ln x x x x x x x x +=-，12112122ln ln x x x x x x x x +∴=-， 要证212x x e >，即证12112122ln ln 2x x x x x x x x +=>-，即()1122112122212ln 1x x x x x x x x x x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭>=++， 令121x t x =>，即证()21ln 1t t t ->+. 构造函数()()21ln 1t g t t t -=-+，其中1t >，()()()()222114011t g t t t t t -'=-=>++， 所以，函数()()21ln 1t g t t t -=-+在区间()1,+∞上单调递增. 当1t >时，()()10g t g >=，所以，()21ln 1t t t ->+.因此，212x x e >.【点睛】本题考查利用导数求解函数图象的切线方程，同时也考查了利用导数证明函数不等式，考查计算能力与推理能力，属于中等题.22. 在平面直角坐标系xOy中，已知曲线1122:{1x tC y =+=+（t 为参数），224:4x m C y m ⎧=⎨=⎩（m 为参数） （1）将1C ，2C 的参数方程化为普通方程； （2）曲线1C 与2C 交于A ，B 两点，点()2,1P，求11PA PB-的值． 【答案】（1）1C10y --=；2C 普通方程为24y x =；（2）27- 【解析】【分析】（1）在曲线1C 的参数方程中消去参数t 可得出曲线1C 的普通方程，在曲线2C 的参数方程中消去参数m 可得出曲线2C 的普通方程；（2）设点A 、B 的对应的参数分别为1t 、2t ，将直线1C 的参数方程代入曲线2C 的普通方程，列出韦达定理，利用直线参数方程的几何意义结合韦达定理可求得11PA PB-的值． 【详解】（1）1122:12x t C y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消去t得)12y x -=-10y --=，224:4x m C y m⎧=⎨=⎩，消去m 得24y x =． ∴1C10y --=；2C 普通方程为24y x =． （2）将1122:12x t C y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入24y x =，得)232704t t +-=，则(12423t t +=，()12473t t =⨯-，且120t t <， 所以1212121212111127t t t t PA PB t t t t t t -+--=-====． 【点睛】本题考查参数方程与普通方程之间的相互转化，考查了利用直线参数方程的几何意义求值，考查计算能力，属于中等题. 23. 已知函数()2231f x x x =+--．（1）求函数()f x 的最大值M ；（2）已知0,0,4a b a b M >>+=，求2221a b a b +++的最大值． 【答案】（1）6；（2）65． 【解析】【分析】（1）化简函数的解析式，画出函数图象，然后求解函数的最大值即可．（2）化简表达式，通过转化，结合基本不等式求解最大值即可．【详解】（1）因为()2231f x x x =+--，可得()7,251,217,1x x f x x x x x -<-⎧⎪=+-≤<⎨⎪-+≥⎩，函数图象如下所示：所以()max (1)6M f x f ===．（2）由2212122()221221221a b a b a b a b +=--=-+++++++， 令2,21x a y b =+=+，由条件知210,2,1x y x y +=>>， 所以212121414()()(4)(424)1010105x y y x x y x y x y ++=+=++≥+=, 等号成立条件为25x y ==，即33,4a b ==， 所以2221a b a b +++的最大值为46255-=． 【点睛】本题考查函数的最值的求法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．。

四川省乐山市2021届新高考数学模拟试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若||1OA =，||3OB =0OA OB ⋅=，点C 在AB 上，且30AOC ︒∠=，设OC mOA nOB =+(,)m n R ∈，则m n 的值为（ ） A ．13 B ．3 CD【答案】B【解析】【分析】利用向量的数量积运算即可算出．【详解】解：30AOC ︒∠= 3cos ,OC OA ∴<>=32OC OA OC OA ⋅∴= ()3mOA nOB OA mOA nOB OA +⋅∴=+222232m OA nOB OAOA mnOA OBn OB OA+⋅=+⋅+1OA =，3OB =，0OA OB ⋅= 2= 229m n ∴=又C 在AB 上0m ∴>，0n > 3m n ∴= 故选：B【点睛】本题主要考查了向量的基本运算的应用，向量的基本定理的应用及向量共线定理等知识的综合应用．2．在边长为23的菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，沿对角线BD 折成二面角A BD C --为120︒的四面体ABCD （如图），则此四面体的外接球表面积为（ ）A ．28πB ．7πC ．14πD ．21π【答案】A【解析】【分析】 画图取BD 的中点M ，法一：四边形12OO MO 的外接圆直径为OM ，即可求半径从而求外接球表面积；法二：根据13OO =，即可求半径从而求外接球表面积；法三：作出CBD ∆的外接圆直径CE ，求出AC 和sin AEC ∠，即可求半径从而求外接球表面积； 【详解】如图，取BD 的中点M ，CBD ∆和ABD ∆的外接圆半径为122r r ==，CBD ∆和ABD ∆的外心1O ，2O 到弦BD 的距离（弦心距）为121d d ==.法一：四边形12OO MO 的外接圆直径2OM =，7R =28S π=； 法二：13OO =7R =，28S π=；法三：作出CBD ∆的外接圆直径CE ，则3AM CM ==，4CE =，1ME =，7AE =AC 33=cos 27427AEC ∠==⋅⋅，sin AEC ∠=，2sin AC R AEC ===∠R =28S π=. 故选：A【点睛】此题考查三棱锥的外接球表面积，关键点是通过几何关系求得球心位置和球半径，方法较多，属于较易题目.3．四人并排坐在连号的四个座位上，其中A 与B 不相邻的所有不同的坐法种数是（ ）A ．12B ．16C ．20D ．8【答案】A【解析】【分析】先将除A ，B 以外的两人先排，再将A ，B 在3个空位置里进行插空，再相乘得答案.【详解】先将除A ，B 以外的两人先排，有222A =种；再将A ，B 在3个空位置里进行插空，有23326A =⨯=种，所以共有2612⨯=种.故选：A【点睛】本题考查排列中不相邻问题，常用插空法，属于基础题.4．在ABC 中，3AB =，2AC =，60BAC ∠=︒，点D ，E 分别在线段AB ，CD 上，且2BD AD =，2CE ED =，则BE AB ⋅=（ ）． A ．3-B ．6-C ．4D ．9【答案】B【解析】【分析】根据题意，分析可得1AD =,由余弦定理求得DC 的值，由()BE AB BD DE AB BD AB DE AB BD AB ⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅可得结果.【详解】根据题意，3,2AB BD AD ==，则1AD =在ADC 中，又2AC =,60BAC ∠=︒则2222cos 3DC AD AC AD DC BAC =+⋅∠=-则DC =则CD AB ⊥则()32cos1806BE AB BD DE AB BD AB DE AB BD AB ⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅=⨯⨯=-故选：B【点睛】此题考查余弦定理和向量的数量积运算，掌握基本概念和公式即可解决，属于简单题目.5．已知函数22,0,()1,0,x x x f x x x ⎧-=⎨+<⎩，则((1))f f -=（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】A【解析】【分析】根据分段函数直接计算得到答案.【详解】 因为22,0,()1,0,x x x f x x x ⎧-=⎨+<⎩所以2((1))(2)222f f f -==-=. 故选：A .【点睛】本题考查了分段函数计算，意在考查学生的计算能力.6．阅读下面的程序框图，运行相应的程序，程序运行输出的结果是（ ）A ．1．1B ．1C ．2．9D ．2．8【答案】C【解析】【分析】 根据程序框图的模拟过程，写出每执行一次的运行结果，属于基础题.【详解】初始值0n =，1S =第一次循环：1n =，11122S =⨯=； 第二次循环：2n =，121233S =⨯=； 第三次循环：3n =，131344S =⨯=； 第四次循环：4n =，141455S =⨯=； 第五次循环：5n =，151566S =⨯=； 第六次循环：6n =，161677S =⨯=； 第七次循环：7n =，171788S =⨯=； 第九次循环：8n =，181899S =⨯=； 第十次循环：9n =，1910.191010S =⨯=≤； 所以输出190.910S =⨯=. 故选：C【点睛】本题考查了循环结构的程序框图的读取以及运行结果，属于基础题.7．若函数f(x)＝a |2x －4|(a>0，a≠1)满足f(1)＝19，则f(x)的单调递减区间是( ) A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2] 【答案】B【解析】由f(1)=得a 2=,∴a=或a=-(舍),即f(x)=(.由于y=|2x-4|在(-∞,2]上单调递减,在[2,+∞)上单调递增,所以f(x)在(-∞,2]上单调递增,在[2,+∞)上单调递减,故选B.8．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，3C π=，若()6,m c a b =-，(,6n a b c =-，且//m n ，则ABC ∆的面积为（ ）A ．3B ．93C 33D ．33【答案】C【解析】由//m n ，可得2()(6)(6)a b c c -=-+，化简利用余弦定理可得2221cos 322a b c ab π+-==，解得ab ．即可得出三角形面积．【详解】解：()6,m c a b =--，(),6n a b c =-+，且//m n ，2()(6)(6)a b c c ∴-=-+，化为：22226a b c ab +-=-．222261cos 3222a b c ab ab ab π+--∴===，解得6ab =． 11333sin 622ABC S ab C ∆∴==⨯⨯=． 故选：C ．【点睛】本题考查了向量共线定理、余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．函数()cos2xf x x =的图象可能为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】先根据()f x 是奇函数，排除A ，B ，再取特殊值验证求解.【详解】因为()()cos2cos2x xf x x x f x --=-==--， 所以()f x 是奇函数，故排除A ，B ，又()1cos20f =<，【点睛】本题主要考查函数的图象，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.10．若集合{}A=|2x x x R ≤∈，，{}2B=|y y x x R =-∈，，则A B ⋂=（ ）A ．{}|02x x ≤≤B ．{}2|x x ≤C ．{}2|0x x -≤≤D ．∅ 【答案】C【解析】试题分析：化简集合故选C ．考点：集合的运算．11．已知变量x ，y 满足不等式组210x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则2x y -的最小值为（） A ．4- B ．2- C ．0 D ．4【答案】B【解析】【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值.【详解】解：由变量x ，y 满足不等式组210x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，画出相应图形如下：可知点()1,1A ,()0,2B ，2x y -在B 处有最小值，最小值为2-.故选：B.【点睛】本题主要考查简单的线性规划，运用了数形结合的方法，属于基础题.12．记n S 为数列{}n a 的前n 项和数列{}n a 对任意的*,p q ∈N 满足13p q p q a a a +=++.若37a =-，则当n S 取最小值时，n 等于（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9 【答案】A【解析】【分析】先令1,1p q ==，找出21,a a 的关系，再令1,2p q ==，得到213,,a a a 的关系，从而可求出1a ，然后令,1p n q ==，可得12n n a a +-=，得出数列{}n a 为等差数列，得212n n S n =-，可求出n S 取最小值.【详解】解法一：由()()3121113132137a a a a a =++=+++=-，所以111a =-，由条件可得，对任意的*11,132n n n n a a a a +∈=++=+N ，所以{}n a 是等差数列，213n a n =-，要使n S 最小，由10,0n n a a +⎧⎨≥⎩解得111322n ，则6n =. 解法二：由赋值法易求得212311,9,7,,213,12n n a a a a n S n n =-=-=-=-=-，可知当6n =时，n S 取最小值.故选：A【点睛】此题考查的是由数列的递推式求数列的通项，采用了赋值法，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。