沪教版高中数学高三下册第十七章 本章小结 随机变量和数学期望 课件(共13张PPT)

2
3、函数 f(x ) a x 2 2 x 2 (a R )对于满足1x4的
一切 x 的值，都有 f (x)0，求实数a 的值。
小结：
数学的学习没有太多捷径可以走， 关键在于熟能生巧。学习需要我 们付出辛勤努力，需要汗水浇灌 我们的知识花园，所以，希望同 学们努力拼搏，为实现自己的梦
想而努力，努力，再努力！
练一练：
已 知 P ( x ,y ) 为 椭 圆 x 2 y 2 1 上 一 点 ， 点 A ( a ,0 ) 在 4
x 轴 上 ， 试 求 |P A |的 最 小 值 。
思考：一个球队共有10人，其中
有正、副班长各1人，从球队中选3人参加 一项比赛，要求正、副班长至少有1人参
互斥性 赛，问有多少种不同选法？ 原则
分析：
如果在解决某一问题时需要分类讨论，当确定 了某一标准进行分类讨论后问题并没有解决， 还需要继续分类讨论，这时，我们称之为两个 不同层次的讨论，这就是分类讨论的层次性。 层次性原则要求按同一标准的层次进行，不同 标准的不同层次的讨论不能混淆。层次性原则 的实质就是要求有层次的分类讨论不错位。
分类讨论的步骤
如果把研究对象全体看成全集Ｉ，并 且把它分成若干类，每一类看成是一 个子集：A1，A2，……An，且任何两 个子集Ai，Aj的交集都是空集，即 Ai∩Aj=∮，则称这种分类符合互斥性原 则。其实质是分类时不重复。
求解：
解 关 于 x 的 不 等 式 a x 2 ( a 2 ) x 2 0 。
想一想：以下两个问题分别
从哪些方面进行讨论。为什么？
• 问题1：
已 知 直 线 l : 4 x y s i n 1 0 ， 求 它 的 斜 率 以 及 斜 率 取
值 范 围 和 倾 斜 角 的 取 值 范 围m 0 的 两 个 复 数 根 为 、 ，

小结
1．古典概型： 我们将具有： ①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;（有限性） ②每个基本事件出现的可能性相等。 （等可能性）
这样两个特点的概率模型称为古典概型。
2．古典概型计算任何事件的概率计算公式为：
P （ A ） ＝ A 所 包 基 含 本 的 事 基 件 本 的 事 总 件 数 的 个 数
第 一
6
78
9 10 11 12
次 抛
5
67
8
9
10 11
掷 后
4
56
7
8
9 10
向3 4 5 6 7 8 9
上 的
2
34
5
6
7
8
点1
数
23 4 5
6
7
12 3 4 5 6
第二次抛掷后向上的点数
变式2：一个质地均匀的骰子抛三次，问抛 掷三次的点数之和等于5的概率是多少？
探究提高
有一人忘了房间的钥匙，只好不重复一一试 开，设共有3把不同的钥匙，问恰好第三次打开 房门的概率是多少？ 变式： 有一醉汉忘了房间的钥匙，只好一一试开，设 共有3把不同钥匙，问恰好第三次打开房门的概率 是多少？ 三次之内打开的概率是多少？
（1）点数和共有多少个试验结果? （2）两数之和为多少时概率最大？
白 骰
6
78
9 10 11 12
子 抛
5
67
8
9
10 11
掷 后 10
向3 4 5 6 7 8 9
上 的
2
34
5
6
7
8
点1
数
23
4
5
6
7
12 3 4 5 6

注意事项
在计算过程中需要注意积分的上下 限以及概率密度函数的取值范围。
连续型随机变量的数学期望的性质
01
02
03
非负性
E(X) ≥ 0，即数学期望的 值总是非负的。
可加性
如果X和Y是两个独立的随 机变量，那么E(X+Y) = E(X) + E(Y)。
线性性质
如果a和b是常数，那么 E(aX+b) = aE(X)+b。
方差是数学期望的度量，表示随机变量取值 与数学期望的偏离程度。
04
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连续型随机变量的数学期望
连续型随机变量的定义
连续型随机变量
如果一个随机变量X的所有可能 取值是实数轴上的一个区间变量。
概率密度函数
描述连续型随机变量X在各个点 上取值的概率分布情况，其数学
《数学期望》PPT课件
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目 录
• 引言 • 数学期望的基本性质 • 离散型随机变量的数学期望 • 连续型随机变量的数学期望 • 数学期望的应用 • 总结与展望
01
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引言
数学期望的定义
数学期望是概率论和统计学中的 一个重要概念，它表示随机变量
取值的平均数或加权平均数。
数学期望的定义基于概率论的基 本原理，通过将每个可能的结果 与其对应的概率相乘，然后将这
些乘积相加得到。
数学期望具有一些重要的性质， 如线性性质、期望值不变性质等 ，这些性质在概率论和统计学中
有着广泛的应用。
数学期望的起源和历史
数学期望的起源可以追溯到17世纪，当时的一些数学家开始研究概率论和统计学中 的一些基本概念。
通过计算投资组合的数学期望， 我们可以了解投资组合的预期收 益，从而制定更加合理的投资策

概率论与数理统计
第一节 数学期望
离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质 课堂练习
ppt课件
2
在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分 布，如果知道了随机变量X的概率分布，那么X的 全部概率特征也就知道了.
然而，在实际问题中，概率分布一般是较难 确定的. 而在一些实际应用中，人们并不需要知 道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些 数字特征就够了.
分布为pij , i,j=1,2, …，则
E(Z) E[g(X ,Y )]
g(xi , y j ) pij
j1 i1
(2) 如果X、Y是连续型随机变量，联合概
率密度为f(x,y)，则
E(Z ) E[g( X ,Y )] g( x, y) f ( x, y)dxdy
ppt课件
24
例4.6 设 ( X , Y ) 的分布律为
概率
1/6 3/6 2/6
一旅客8:20到车站,求他候车时间的数学期望.
ppt课件
12
解：设旅客的候车时间为X (以分计),其分布率为
X 10 30 50 70 90
pk 3 6
上表中例如
2 11 13 12 6 66 66 66
P{X 70} P(AB) P( A)P(B) 1 3 66
ppt课件
32
例10 设二维连续型随机变量（X ,Y）的概率密度为
f
( x,
y)
Asin( x
y)
0 x
2
0
其它
(1)求系数A, (2)求E( X ), E( XY ).
解：（1）由于
f
( x,
y)dxdy

《数学期望》PPT课件
欢迎来到《数学期望》PPT课件。从定义到应用，本课程将为您全面介绍数学 期望的相关知识。
什么是数学期望
1 定义
数学期望是随机变量取值的加权平均数，是 一个平均性的数值特征。
2 意义
数学期望能够用来描述随机变量的中心位置， 是概率分布的重要特征之一。
离散型随机变量的期望
1
期望的运算规律
期望的运算规律
期望也具有线性性、单调性和保号性等运算规律， 但概率密度函数的图像更难以直观展示。
期望的性质
期望的线性性质
期望具有加法和数乘的线性运算规律，对于相互独 立的随机变量，期望还满足可加性。
期望的矩估计
期望的矩估计可以帮助我们了解随机变量的高阶特 征，如方差、偏度和峰度等。
应用实例
期望在概率分布中的应用
量的期望
离散型随机变量的期望等于随机变量取
每个值的概率乘以该值的加权和，连续
型随机变量的期望等于其概率密度函数
3
期望的运算规律和性质
的加权积分。
期望具有线性性、单调性和保号性等运
算规律，还具有可加性和矩估计等特性。
应用实例
4
期望在概率分布中和随机变量期望在实 际问题中都有广泛应用。
参考资料
• 离散数学 • 概率论与数理统计 • 数理统计方法及其应用
2
期望具有线性性、单调性和保号性等运
算规律。
3
离散型随机变量的期望定义
离散型随机变量的期望等于随机变量取 每个值的概率乘以该值的加权和。
概率分布的图像
概率分布的图像能够直观地展示数学期 望的定义和特性。
连续型随机变量的期望
连续型随机变量的期望定义
连续型随机变量的期望等于其概率密度函数的加权 积分。

k
1
2
3
4
56
P(ξ=k) 0.2 0.4 0.25 0.05 0.05 0.05
如何估计小强今晚完成作业的时间呢？是取k的算术 平均数吗？
小强完成作业的期望值应该是ξ取值的加权平均数，即：
1×0.2+2×0.4+3×0.25+4×0.05+5×0.05+6×0.05=2.5
因此，小强平均作业时间，即随机变量ξ的数学期望等于2.5 小时。
3、一般的，随机变量所有的取值x1,x2,…，xn对应的 概率所成的数列p1,p2,…,pn叫做随机变量的概率分布
律，简称随机变量的分布律。
思考：你注意到随机变量的概率分布律有什么特征
吗？ 如果Pk,k＝1,2, …n是分布律，那么有：
练习册
P 1 P 2 P n 1P i 0 ,1
Ex：已知随机变量ξ的分布律由表给出
上题中Dξ1=0.4,Dξ2=4.3. 说明：随机变量的方差或标准差刻画了随机变量取 值的离散程度，方差越小，离散程度越小。
书后练习
播下一个行动，收获一种习惯；播下一种习惯，收获一种性格；播下一种性格，收获一种命运。思想会变成语言，语言会变成行动，行动会变成习惯，习惯会变成性格。性 制，会变成生活的必需品，不良的习惯随时改变人生走向。人往往难以改变习惯，因为造习惯的就是自己，结果人又成为习惯的奴隶！人生重要的不是你从哪里来，而是你 时侯，一定要抬头看看你去的方向。方向不对，努力白费！你来自何处并不重要，重要的是你要去往何方，人生最重要的不是所站的位置，而是所去的方向。人只要不失去 这个世界唯一不变的真理就是变化，任何优势都是暂时的。当你在占有这个优势时，必须争取主动，再占据下一个优势，这需要前瞻的决断力，需要的是智慧！世上本无移 是：山不过来，我就过去。人生最聪明的态度就是：改变可以改变的一切，适应不能改变的一切！亿万财富不是存在银行里，而是产生在人的思想里。你没找到路，不等于 什么，你必须知道现在应该先放弃什么！命运把人抛入最低谷时，往往是人生转折的最佳期。谁能积累能量，谁就能获得回报；谁若自怨自艾，必会坐失良机人人都有两个 一个是心门，成功的地方。能赶走门中的小人，就会唤醒心中的巨人！要想事情改变，首先自己改变，只有自己改变，才可改变世界。人最大的敌人不是别人，而是自己， 1、烦恼的时候，想一想到底为什么烦恼，你会发现其实都不是很大的事，计较了，就烦恼。我们要知道，所有发生的一切都是该发生的，都是因缘。顺利的就感恩，不顺 渡寒潭，雁过而潭不留影；风吹疏竹，风过而竹不留声。”修行者的心境，就是“过而不留”。忍得住孤独；耐得住寂寞；挺得住痛苦；顶得住压力；挡得住诱惑；经得起 子；担得起责任；1提得起精神。闲时多读书，博览凝才气；众前慎言行，低调养清气；交友重情义，慷慨有人气；困中善负重，忍辱蓄志气；处事宜平易，不争添和气； 泊且致远，修身立正气；居低少卑怯，坦然见骨气；卓而能合群，品高养浩气淡然于心，自在于世间。云淡得悠闲，水淡育万物。世间之事，纷纷扰扰，对错得失，难求完 反而深陷于计较的泥潭，不能自拔。若凡事但求无愧于心，得失荣辱不介怀，自然落得清闲自在。人活一世，心态比什么都重要。财富名利毕竟如云烟，心情快乐才是人生 在路上，在脚踏实地的道路上；我们的期待在哪里？在路上，在勤劳勇敢的心路上；我们的快乐在哪里？在路上，在健康阳光的大道上；我们的朋友在哪里？在心里，在真 钟，对自己负责；善于发现看问题的角度；不满足于现状，别自我设限；勇于承认错误；不断反省自己，向周围的成功者学习；不轻言放弃。做事要有恒心；珍惜你所拥有 学会赞美；不找任何借口。与贤人相近，则可重用；与小人为伍，则要当心；只满足私欲，贪图享乐者，则不可用；处显赫之位，任人唯贤，秉公办事者，是有为之人；身 则可重任；贫困潦倒时，不取不义之财者，品行高洁；见钱眼开者，则不可用。人最大的魅力，是有一颗阳光的心态。韶华易逝，容颜易老，浮华终是云烟。拥抱一颗阳光 随缘。心无所求，便不受万象牵绊；心无牵绊，坐也从容，行也从容，故生优雅。一个优雅的人，养眼又养心，才是魅力十足的人。容貌乃天成，浮华在身外，心里满是阳 飞，心随流水宁。心无牵挂起，开阔空净明。幸福并不复杂，饿时，饭是幸福，够饱即可；渴时，水是幸福，够饮即可；裸时，衣是幸福，够穿即可；穷时，钱是幸福，够 畅即可；困时，眠是幸福，够时即可。爱时，牵挂是幸福，离时，回忆是幸福。人生，由我不由天，幸福，由心不由境。心是一个人的翅膀，心有多大，世界就有多大。很 的环境，也不是他人的言行，而是我们自己。人心如江河，窄处水花四溅，宽时水波不兴。世间太大，一颗心承载不起。生活的最高境界，一是痛而不言，二是笑而不语。 人生的幸福在于祥和，生命的祥和在于宁静，宁静的心境在于少欲。无意于得，就无所谓失去，无所谓失去，得失皆安谧。闹市间虽见繁华，却有名利争抢；田园间无争， 和升平，最终不过梦一场。心静，则万象皆静。知足者常在静中邂逅幸福。顺利人生，善于处理关系；普通人生，只会使用关系；不顺人生，只会弄僵关系。为人要心底坦 脑清醒，不为假象所惑。智者，以别人惨痛的教训警示自己；愚者，用自己沉重的代价唤醒别人。对人多一份宽容，多一份爱心；对事多一份认真，多一份责任；对己多一 长，志不可满，乐不可极，警醒自己。静能生慧。让心静下来，你才能看淡一切。静中，你才会反观自己，知道哪些行为还需要修正，哪些地方还需要精进，在静中让生命 觉悟。让心静下来，你才能学会放下。你放下了，你的心也就静了。心不静，是你没有放下。静，通一切境界。人与人的差距，表面上看是财富的差距，实际上是福报的差 实际上是人品的差距；表面上看是气质的差距，实际上是涵养的差距；表面上看是容貌的差距，实际上是心地的差距；表面上看是人与人都差不多，内心境界却大不相同， 很重要的一件事。因为当一个人具有感恩的心，心会常常欢喜，总是觉得很满足，一个不感恩不满足的人，总是会觉得欠缺、饥渴。一个常感恩的人，会觉得自己很幸运， 这样一想、一感恩，就变得很快乐。这种感恩的心，对自己其实是有很大利益。压力最大的时候，效率可能最高；最忙碌的时候，学的东西可能最多；最惬意的时候，往往 太阳就要光临。成长不是靠时间，而是靠勤奋；时间不是靠虚度，而是靠利用；感情不是靠缘分，而是靠珍惜；金钱不是靠积攒，而是靠投资；事业不是靠满足，而是靠踏 件事。因为当一个人具有感恩的心，心会常常欢喜，总是觉得很满足，一个不感恩不满足的人，总是会觉得欠缺、饥渴。一个常感恩的人，会觉得自己很幸运，有时候其实 一感恩，就变得很快乐。这种感恩的心，对自己其实是有很大利益。压力最大的时候，效率可能最高；最忙碌的时候，学的东西可能最多；最惬意的时候，往往是失败的开 光临。成长不是靠时间，而是靠勤奋；时间不是靠虚度，而是靠利用；感情不是靠缘分，而是靠珍惜；金钱不是靠积攒，而是靠投资；事业不是靠满足，而是靠踏实。以平 在危险面前，平常心就是勇敢；在利诱面前，平常心就是纯洁；在复杂的环境面前，平常心就是保持清醒智慧。平常心不是消极遁世，而是一种境界，一种积极的人生。不 一个有价值的人而努力。命运不是机遇，而是选择；命运不靠等待，全靠争取。成熟就是学会在逆境中保持坚强，在顺境时保持清醒。时间告诉你什么叫衰老，回忆告诉你 要外来的赞许时，心灵才会真的自由。你没那么多观众，别那么累。温和对人对事。不要随意发脾气，谁都不欠你的。现在很痛苦，等过阵子回头看看，会发现其实那都不 交。人有绝交，才有至交学会宽容伤害自己的人，因为他们很可怜，各人都有自己的难处，大家都不容易。学会放弃，拽的越紧，痛苦的是自己。低调，取舍间，必有得失 错误面前没人爱听那些借口。慎言，独立，学会妥协的同时，也要坚持自己最基本的原则。付出并不一定有结果。坚持可能会导致失去更多过去的事情可以不忘记，但一定 作一个最好的打算和最坏的打算。做一个简单的人，踏实而务实。不沉溺幻想。不庸人自扰。不说谎话，因为总有被拆穿的一天。别人光鲜的背后或者有着太多不为人知的 学习。不管学习什么，语言，厨艺，各种技能。注意自己的修养，你就是孩子的第一位老师。孝顺父母。不只是嘴上说说，即使多打几个电话也是很好的。爱父母，因为他 爱的最无私的人。

提
知
升
初 求η的分布列的繁琐计算，简化了解题过程.
探
基
础
【规范解答】E(η)=E(3ξ-3)=3E(ξ)-3
自
主
课 =3×（200×0.12+220×0.18+240×0.20+260×0.20+
演
堂
练
互 动
280×0.18+300×0.12)-3=3×250-3=747（元）.
课
探
后
究 所以这个月出租车行驶一天收费均值为747元.
初
探 即用数字来说明问题.数字期望反映了随机变量取值的平均水 基 础
平.用它来刻画、比较和描述取值的平均情况，在一些实际问
自
主
课 堂
题中有重要的价值.因此，需要用期望来解决这一问题.
演 练
互
动
课
探
后
究
巩
固
作
业
规
范
课
警
前 【规范解答】设来领奖的人数
示
新
提
知 ξ=k,(k=0,1,2,…,3 000),所以
变量，司机收费为η（元），则η=3ξ-3，
警 示
新 知
已知出租车一天内可能的行车路程（单位：
提 升
初
探 km)及概率如下
基
础
自
主
课
演
堂
练
互
动
课
探
后
究
巩
求出租车行驶一天收费的均值.
固
作
业
规
范
课 【审题指导】利用公式E（aX+b)=aE(X)+b,将求
警

▪
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰

▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
高三数学课件：随机变量
26、机遇对于有准备的头脑有特别的 亲和力 。 27、自信是人格的核心。
28、目标的坚定是性格中最必要的力 量泉源 之一， 也是成 功的利 器之一 。没有 它，天 才也会 在矛盾 无定的 迷径中 ，徒劳 无功。- -查士 德斐尔 爵士。 29、困难就是机遇。--温斯顿．丘吉 尔。 30、我奋斗，所以我快乐。--格林斯 潘。
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
29

且E i
p i
1
1
p i
0
1
5 6
20
,
i 1, 2,L ,6
E E 1 2 L 6 E 1 E 2 L E 6
6
1
5 6
20
11
:
U 10,0.1, g 求 1。20,,
2
,
2
E
解：E
Eg
10 k 0
g
k p
k
10 g
k 0
k C1k0 pk q10k
2 0.910 C110 0.110.99 10
10 k 2
C1k0
0.1k
0.910k
4.1112086
8
定理 2.2 设有离散型随机矢量,,联合分布列为 p xn, ym ,n,m 0,
10
例11、20个互不相识的人在某建筑物底层进入同一部电梯，
楼上共有6层。假若每个乘客在6层楼中任何一层走出电梯的可能
性相同，且电梯中乘客只出不进，求直到电梯中乘客走空时电梯
需停次数的平均值。
解 令η为直到电梯中乘客走空时电梯需停次数。
0,
i 1,
第 第ii层 层楼 楼无 有人 人走 走出 出电 电梯 梯，i 1, 2,L ,6，则 1 2 L 6
注１随机变量的数学期望可能存在，也可能不存在。
注 2 随机变量的数学期望若存在，必唯一。 注 3 随机变量的数学期望若存在，是一个刻划随机变量取值平均的实数。
4
例1、若 : b1，, p求 。E 例2、若 : bn，, p求 。E 例3、若 : p ，求 。E 例4、若服从几何分布，求 E 。
一数学期望的定义11201120141207120211202112042120351207157151151515151521633521120120120120二数学期望的性质定理21设有离散型随机变量分布列为若函数连续且eexpx推论1若随机变量的数学期望存在则eeggkp10101010101191010102090109100109kk定理22设有离散型随机矢量联合分布列为若函数连续且例10若在某电路中电流i和电阻r是相互独立的随机变量分别服从参数为05和2的poisson分布求电压vir的数学期望

这两个实验都不属于古典概型。
例1. （1）向一个圆面内随机地投一个点， 如果该点落在圆内任意一点都是等可能的， 你认为这是古典概型吗？为什么？
（2）如图所示，射击运动员向一靶心进 行射击，这一实验的结果只有有限个：
命中1环、命中2环、…命中10环
和命中0环(即不命中)。你认为
这是古典概型吗？为什么？
(3, 4), (2, 5), (1, 6).
所以P(A)=
6 36
1 6
（2）记“出现两个4点”的事件为B，
则从图中看出，事件B包括的基本事
件只有1个，即(4，4)。
所以P(B)= 1
36
拓展: (3)两数之和是3的倍数的概率是多
少？
P(C ) 12 1 36 3
(4)两数之和不低于10的的概率是多少？
（1）取出的球是黑球的概率； 0 （2）取出的球是红球的概率； —31— （3）取出的球是白球或红球的概率；1
3、一个口袋内装有白球、红球、黑球、 黄球大小相同的四个小球，求：
（1）从中任意取出两球，求取出是白 球、红球的概率。 1
6
（2）先后各取一球，求取出是白球、 红球的概率。 1
12Leabharlann 4、用三种不同的颜色给图中的3个矩形随 机涂色,每个矩形只能涂一种颜色,求: (1)3个矩形的颜色都相同的概率; (2)3个矩形的颜色都不同的概率.
解 ： 本题的等可能基本事件共有27个 (1)同一颜色的事件记为A,P(A)=3/27 =1/9;
(2)不同颜色的事件记为B,P(B)=6/27 =2/9.
红 红黄
蓝 红 红 黄黄
蓝 红 蓝黄 蓝
红 红黄
蓝 红 黄 黄黄
蓝 红 蓝黄 蓝