江西省宜春市上高二中2019-2020学年高二下学期期末考试数学(理)试题(图片版含答案)

2019-2020学年江西省宜春市重点高中高二下学期期末数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}2230,A x x x x Z =--≤∈，集合{}0B x x =>，则集合A B 的子集个数为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8 【答案】D【解析】解一元二次不等式求集合A ，求出A B ，即可得结果. 【详解】 ∵{}{}2230,1,0,1,2,3A x x x x Z =--≤∈=-，{}0B x x =>， ∴{}1,2,3A B =，∴集合A B 的子集个数为8个，故选：D.【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，交集的运算以及子集的个数，属于基础题. 2．若复数1z 对应复平面内的点()2,3，且121z z i ⋅=+，则复数2z 的虚部为（ ） A ．513- B ．513 C ．113 D ．113【答案】C 【解析】根据已知求出2511313z i =-，即得复数2z 的虚部. 【详解】由题意12+3z i =，由121z z i ⋅=+得21(1)(23)3512+3(2+3)(2)1313i i i z i i i i ++-===--， ∴复数2z 的虚部为113， 故选：C.【点睛】本题主要考查复数的运算和复数的虚部的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.3．“ln ln a b >”是“11a b <”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】由对数函数的性质可得“ln ln a b >”的充要条件是“0a b >>”，利用不等式的性质，即可判定，得到答案．【详解】由对数函数的性质可得“ln ln a b >”的充要条件是“0a b >>”，当0a b >>时，则11a b <是成立的，例如：0a b <<，此时11a b<也成立， 所以“0a b >>”是“11a b <”的充分不必要条件．故选A ． 【点睛】本题主要考查了对数的运算性质，以及不等式的性质和充分不必要条件的判定，其中解答中熟练应用对数函数的性质，以及不等式的性质，合理判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．4．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2a ，8a 是方程2430x x --=的两根，则9S =（ ）A ．18B ．8C ．9D ．36 【答案】A【解析】根据根与系数关系求得28a a +，结合等差数列的性质求得19a a +，由此求得9S .【详解】∵2a ，8a 是方程2430x x --=的两根，∴284a a +=．由等差数列的性质可得：194a a +=．则()1999941822a a S +⨯===． 故选：A【点睛】本小题主要考查等差数列下标和的性质，考查等差数列前n 项和公式，属于基础题. 5．已知x ，y ∈R ，且x >y >0，则（ ）A ．11x y x y ->-B ．cos cos 0x y -<C ．110x y-> D ．ln x +ln y >0【答案】A【解析】结合选项逐个分析，可选出答案.【详解】 结合x ，y ∈R ，且x >y >0，对选项逐个分析：对于选项A ，0x y ->，110y x x y xy--=<，故A 正确； 对于选项B ，取2πx =，3π2y =，则3cos cos cos 2cos 1002x y -=π-π=->，故B 不正确；对于选项C ，110y x x y xy--=<，故C 错误； 对于选项D ，ln ln ln x y xy +=，当1xy <时，ln 0xy <，故D 不正确.故选A.【点睛】本题考查了不等式的性质，属于基础题.6．执行如图的程序框图，最后输出结果为8.若判断框填入的条件是s a ≥，则实数a 的取值范围是( )A ．(]21,28B ．[)21,28C ．(]28,36D ．[)28,36【答案】A 【解析】根据循环结构程序框图的运算，求得k =7及k =8时s 的值，判断框填入的条件是s a ≥，即可得a 的取值范围.【详解】1k =，0s =，①条件不满足，1s =，2k =；②条件不满足，3s =，3k =；③条件不满足，6s =，4k =；④条件不满足，10s =，5k =；⑤条件不满足，15s =，6k =；⑥条件不满足，21s =，7k =；⑦条件不满足，28s =，8k ；满足条件，退出循环.2128a ∴<≤.故选：A .【点睛】本题考查程序框图计算，此类问题需要分析程序框图中各个变量、语句的作用，根据流程图的顺序依次计算即可，属于基础题.7．下列命题中是真命题的个数是（ ）（1）垂直于同一条直线的两条直线互相平行（2）与同一个平面夹角相等的两条直线互相平行（3）平行于同一个平面的两条直线互相平行（4）两条直线能确定一个平面（5）垂直于同一个平面的两个平面平行A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】A【解析】分析：逐一分析判断每一个命题的真假.详解：对于（1），垂直于同一条直线的两条直线可能平行，也可能异面或相交.所以是错误的.对于（2），与同一个平面夹角相等的两条直线可能互相平行，也可能相交或异面，所以是错误的.对于（3），平行于同一个平面的两条直线可能互相平行，也可能异面或相交，所以是错误的.对于（4）两条直线能不一定确定一个平面，还有可能不能确定一个平面,所以是错误的.对于（5），垂直于同一个平面的两个平面不一定平行，还有可能相交,所以是错误的.故答案为A点睛：（1）本题主要考查空间位置关系的判断，意在考查学生对该基础知识的掌握能力和空间想象能力. (2)判断空间位置关系命题的真假，可以直接证明或者举反例. 8．若函数()x f x e cosx =在点()()0,0f 处的切线与直线210x ay -+=互相垂直，则实数a 等于（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】A【解析】求出函数()x f x e cosx =的导数，切线斜率为(0)k f '=，根据切线与直线210x ay -+=互相垂直即可求出a .【详解】因为()xf x e cosx =，所以()(cos sin )x f x e x x '=-，(0)1k f '==，因为切线与直线210x ay -+=互相垂直，所以21a=-，解得2a =-， 故选A【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，直线垂直斜率之间的关系，属于中档题. 9．如图所示，在ABC ∆中，AD DB =，F 在线段CD 上，设AB a =，AC b =，AF xa yb =+，则14x y+的最小值为（ ）A ．6+22B ．9C ．9D ．6+42【答案】D【解析】【详解】 因为D 是AB 中点，故2AF xa yb x AD y AC =+=+且x ＞0，y ＞0因为C 、F 、D 三点共线，故2x ＋y ＝1 于是14148()(2)662y x x y x y x y x y +=++=++≥+当且仅当822y x x y ==21,222x y -==-时，等号成立. 选D【考点】平面向量，基本不等式 10．已知双曲线2221(0)x y a a -=>的左、右焦点分别为1F ，2F 23，P 为双曲线右支上一点，且满足2212415PF PF -=12PF F △的周长为（ ） A ．5B ．252 C ．254+ D ．234【答案】C 【解析】利用双曲线的离心率列方程，由此求得,a c ，结合双曲线的定义求得12PF PF +，由此求得12PF F △的周长. 【详解】 由题意可得1b =，21c a =+， 即有2123a e +==， 可得3a =，2c =，P 为双曲线右支上一点，可得12223PF PF a -==，又()()22121212415PF PF PF PF PF PF -=-+=⋅，可得1225PF PF +=，则12PF F △的周长为252425c +=+，故选：C【点睛】本小题主要考查双曲线的离心率和定义，属于基础题.11．黄金三角形有两种，其中底和腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是顶角为36︒的等腰三角形(另一种是顶角为108︒的等腰三角形)例如，正五角星由五个黄金三角形和一个正五边形组成，如图所示，在一个黄金三角形ABC 中，512BC AC -=，根据这些信息，可得sin 234︒=（ ）A ．125-B ．35+C ．15+D ．45+【答案】C【解析】利用正弦定理求出cos36︒==. 【详解】 由正弦定理得sin sin A BC ABC AC =∠，即sin36sin36sin 722sin36cos36︒︒==︒︒︒，得cos36︒==则sin 234=sin(27036)cos36︒︒-︒=-︒=， 故选C ．【点睛】本题主要考查正弦定理以及诱导公式的应用，属于中档题.12．已知函数()()222sin cos sin 024x f x x x ωπωωω⎛⎫=--> ⎪⎝⎭在区间25,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，且在区间[]0,π上恰好取得一次最大值，则ω的取值范围是（ ） A ．30,5⎛⎤ ⎥⎝⎦ B ．13,25⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．13,25⎛⎤ ⎥⎝⎦ D ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】先化简函数，根据()f x 在区间25,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，则为函数含有零的增区间的子集，再根据区间[]0,π上恰好取得一次最大值，则取得最大值时对应的最小正数解属于[]0,π，最后取交集.【详解】因为()222sin cos sin 24x f x x x ωπωω⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， ()2sin 1sin sin x x x ωωω=+-，22sin sin sin x x x ωωω=+-，sin x ω=，因为()f x 在区间25,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，所以223562πωπωππ⎧-≤-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得35ω≤， 令2,2x k k Z πωπ=+∈，因为在区间[]0,π上恰好取得一次最大值， 所以02ππω≤≤， 所以12ω≥， 所以ω的取值范围是1325ω≤≤. 故选：B【点睛】本题主要考查三角函数的单调性和最值以及二倍角公式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.二、填空题13．已知向量(2,1)a =-，(4,3)b =，(1,)c λ=-，若()//a b c +，则λ=__________．【答案】2-【解析】先求得a b +，然后根据向量平行的坐标表示列方程，解方程求得λ的值.【详解】由题，(2,4)a b +=，(1,)c λ=-，∵()//a b c +，∴()241λ⨯=⨯-，∴2λ=-．故答案为：2-【点睛】本小题主要考查向量平行的坐标表示，属于基础题.14．已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆上存在点P ，使得90APB ∠=，则m 的取值范围是 ．【答案】[4,6]【解析】设点P 的坐标为(),x y ，可得出点P 的轨迹方程为222x y m +=，进而可知圆222x y m +=与圆C 有公共点，可得出关于正数m 的不等式，由此可求得正数m 的取值范围.【详解】设点P 的坐标为(),x y ，90APB ∠=，且坐标原点O 为AB 的中点， 所以，12OP AB m ==，则点P 的轨迹方程为222x y m +=， 由题意可知，圆222x y m +=与圆C 有公共点，且圆心()3,4C ， 则11m OC m -≤≤+，即151m m -≤≤+，0m >，解得46m ≤≤.因此，实数m 的取值范围是[]4,6.故答案为：[]4,6.【点晴】本题主要考查利用圆与圆的位置关系求参数的取值范围，由90APB ∠=求得点P 的轨迹方程是解题的关键，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.15．设1m >-，函数22()321()f x x mx m x m =-++<，若存在4k πθπ≠+，使得()()sin cos f f θθ=，则m 的取值范围是______.【答案】03m -<< 【解析】由()()sin cos f f θθ=，可知sin θ与cos θ的关于二次函数的轴对称，解出m 与θ的关系，进而求出m 的取值范围即可.【详解】 由题意可知323cos sin m m m θθ⎧<⎪⎨⎪=+⎩ ， 因为4k πθπ≠+，解得0cos 34m m πθ<⎧⎪⎨⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭⎩，解得03m -<<，故答案为：03m -<< 【点睛】本题考查了余弦函数的值域、二次函数的性质，掌握函数的性质是解题的关键，属于基础题.16．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3a =，2b =，2A B =，则c =______． 【答案】52【解析】根据题意，先由正弦定理，以及二倍角公式，求出cos A ，再由余弦定理，即可得出结果.【详解】因为3a =，2b =，2A B =， 由正弦定理可知sin sin a b A B=，即32sin 2sin B B =，所以3cos 4B =， 因此21cos 2cos 18A B =-=， 由余弦定理可得：2221cos 28b c a A bc +-==，即25148c c -=，即22100c c --=， 解得：2c =-（舍）或52c =. 故答案为：52． 【点睛】本题主要考查正余弦定理解三角形，涉及二倍角公式，属于常考题型.三、解答题17．已知公差不为零的等差数列{}n a 满足510a =，且1a ，3a ，9a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，求数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ． 【答案】（1）2n a n =；（2）1n n +．【解析】（1）根据已知条件求得1,a d ，由此求得数列{}n a 的通项公式. （2）先求得n S ，然后利用裂项求和法求得n T . 【详解】（1）由题意，设公差为d ，所以5231910a a a a =⎧⎨=⎩，则()()1211141028a d a d a a d +=⎧⎪⎨+=+⎪⎩， ∴12141044a d d a d +=⎧⎨=⎩∵0d ≠，∴12a =，2d =， ∴2(1)22n a n n =+-⨯=； （2）由（1）知，2(22)2n n n S n n +==+， ∴211111n S n n n n ==-++， ∴数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和 11111111223111n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=-= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 【点睛】本小题主要考查等比中项的性质，考查等差数列通项公式和前n 项和公式，考查裂项求和法，属于中档题.18．如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ACC A 与侧面11CBB C 都是菱形，11160ACC CC B ∠=∠=︒，2AC =．（1）求证：11AB CC ⊥；（2）若16AB =，求四棱锥11A BB C C -的体积． 【答案】（1）证明见解析；（2）2.【解析】（1）连接11,AC CB ，取1CC 中点O ，连接OA ，1OB ，根据等边三角形的性质得到1CC OA ⊥，11CC OB ⊥，由此证得1CC ⊥平面1OAB ，进而证得11AB CC ⊥. （2）先证得OA ⊥平面11BB C C ，求得四边形11BB C C 的面积，由此求得四棱锥11A BB C C -的体积.【详解】（1）连接11,AC CB ，则1ACC △和11B CC 皆为正三角形． 取1CC 中点O ，连接OA ，1OB ，则1CC OA ⊥，11CC OB ⊥，又1AOB O O =，∴1CC ⊥平面1OAB ， ∴11AB CC ⊥．（2）由（1）知，13OA OB ==，又16AB =，∴22211OA OB AB +=∴1OA OB ⊥． 又1OA CC ⊥，11OB CC O =，∴OA ⊥平面11BB C C ．111sin 6023BB C CSBC BB =⨯︒=⨯，故1111123A BBC C BB C CV S OA -=⨯=．【点睛】本小题主要考查线线垂直的证明，考查锥体体积的求法，属于中档题.19．某校高三（1）班在一次语文测试结束后，发现同学们在背诵内容方面失分较为严重.为了提升背诵效果，班主任倡议大家在早､晩读时间站起来大声诵读，为了解同学们对站起来大声诵读的态度，对全班50名同学进行调查，将调查结果进行整理后制成如表：（1）欲使测试优秀率为30%，则优秀分数线应定为多少分？（2）依据第1问的结果及样本数据研究是否赞成站起来大声诵读的态度与考试成绩是否优秀的关系，列出2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为赞成与否的态度与成绩是否优秀有关系.参考公式及数据：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.【答案】（1）125分.（2）2×2列联表答案见解析，没有90%的把握认为赞成与否的态度与成绩是否优秀有关系.【解析】（1）计算测试成绩优秀的人数，结合表中数据得出结论； （2）由题意计算并填写列联表，求出观测值，对照临界值得出结论. 【详解】解：（1）因为测试的优秀率为30%，所以测试成绩优秀的人数为5030%15⨯=， 由表中数据知，优秀分数线应定为125分.（2）由（1）知，测试成绩优秀的学生有500.315⨯=.人，其中“赞成的”有10人；测试成绩不优秀的学生有501535-=人，其中“赞成的”有22人； 填写2×2列联表如下：计算()22501013522250.066 2.70632181535378K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯， 因此，没有90%的把握认为赞成与否的态度与成绩是否优秀有关系. 【点睛】本题考查了列联表与独立性检验问题，属于基础题．20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点与抛物线2y =的焦点重合，（1）求椭圆C 的标准方程；（2）不过原点的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，若三直线OM ．l 、ON 的斜率与1k ，k ，2k 点成等比数列，求直线l 的斜率及22||||OM ON +的值．【答案】（1）2214x y +=；（2）221,||52OM ON ±+=． 【解析】（1）由题得关于a ，b ，c 的方程组，解方程组即得椭圆的标准方程； （2）设直线l 的方程为y kx m =+，(0)m ≠，1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，根据2121212y y k k k x x ==和韦达定理求出k 的值．再根据2222221122||||OM ON x y x y +=+++和韦达定理求出22||||5OM ON +=． 【详解】解：（1）依题意得c =2c a =，得2a =，又223a b -=得1b =，∴椭圆C 的方程为2214x y +=．（2）设直线l 的方程为y kx m =+，(0)m ≠，()11,M x y ，()22,N x y ，由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()()222148410k x kmx m +++-=， ∴122814km x x k -+=+，()21224114m x x k-=+．由题设知21212121212()()y y kx m kx m k k k x x x x ++=== ()212212km x x m k x x ++=+∴()2120km x x m ++=，∴22228014k m m k-+=+， ∵0m ≠，∴214k =，12k =±，此时()2221228414km x x m k -⎛⎫+== ⎪+⎝⎭，()()22122412114m x x m k-==-+， 则2222221122||||OM ON x y x y +=+++22221122111144x x x x =+-++- ()2212324x x =⨯++()212123224x x x x x ⎡⎤=+-+⎣⎦ ()223441254m m ⎡⎤=⨯--+=⎣⎦ 故直线l 的斜率为12k =±，22||||5OM ON +=．【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的计算和简单几何性质，考查直线和椭圆的位置关系和定值问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力，属于中档题． 21．设函数()()11xxf x xe a e=+-+.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在()0,∞+有零点，证明：2a >.【答案】（1）增区间()1,a -+∞，减区间(),1a -∞-；（2）证明见解析.【解析】（1）求得()()1xf x x a e '=--⎡⎤⎣⎦，分析导数的符号变化，可得出函数()y f x =的单调递增区间和递减区间； （2）令()0f x =可得11x x a x e +=+-，令()11x x g x x e +=+-，利用导数分析函数()y g x =的单调性与极值，并求得函数()y g x =的极值的取值范围，进而可证得2a >成立. 【详解】 （1）()()11x x f x xe a e =+-+，该函数的定义域为R ，()()()11x x xf x x e ae x a e ∴'⎡⎤=+-=--⎣⎦，当1x a >-时，()0f x '>；当1x a <-时，()0f x '<.所以，函数()y f x =的单调递减区间为(),1a -∞-，单调递增区间为()1,a -+∞； （2）函数()y f x =在()0,∞+有零点，可得方程()0f x =有解，()1111111xx x x x x e x xe x a x e e e -++++∴===+---有解， 令()11x x g x x e +=+-，则()()()()()22211111x x x xxxe e xe x e g x ee'----+=+=--，设函数()2xh x e x =--，()0,x ∈+∞，()10xh x e '=->，∴函数()y h x =在()0,∞+上单调递增，又()130h e =-<，()2240h e =->，函数()y h x =在()0,∞+上单调递增，∴存在()01,2x ∈，当()00,x x ∈时，()0g x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0g x '>， ∴函数()y g x =存在唯一最小值()0g x ，满足002x e x =+，()()00000112,31x x g x x x e +∴=+=+∈-， 11xx a x e +=+-有解，()02a g x ∴≥>，2a ∴>，得证. 【点睛】本题考查利用导数求解函数的单调区间，同时也考查了利用导数求解函数的零点问题，考查参变量分离法的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 12sin x y ϕϕ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（ϕ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）在曲线C 上取两点M ，N 与原点O 构成MON ∆，且满足2MON π∠=，求MON ∆面积的最大值.【答案】（1）4sin()3πρθ=+；（2）4【解析】（1）利用22cos sin 1ϕϕ+=消掉参数ϕ，求得曲线C 的直角坐标方程，在利用极坐标和直角坐标相互转化的公式，求得曲线C 的极坐标.（2）设出,M N 两点的极坐标，写出三角形面积的表达式，并利用三角函数性质求得面积的最大值. 【详解】（1）可知曲线C 的普通方程为(()2214x y -+-=，所以曲线C 的极坐标方程为2cos 2sin 0ρθρθ--=， 即4sin 3πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭. （2）由（1）不妨设()1,M ρθ，2,2N πρθ⎛⎫+⎪⎝⎭，12(0,0)ρρ>>， 121122MON S OM ON ρρ∆=== 8sin sin 323πππθθ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭24sin 243πθ⎛⎫=+≤ ⎪⎝⎭，所以MON ∆面积的最大值为4. 【点睛】本小题主要考查参数方程、直角坐标方程和和极坐标方程相互转化，考查利用极坐标求解三角形面积的最大值问题.属于中档题.23．已知不等式2315x x -++≤的解集为[],a b ． （Ⅰ）求+a b 的值；（Ⅱ）若0x >，0y >，40bx y a ++=，求证：9x y xy +≥. 【答案】（Ⅰ）0；（Ⅱ）证明见解析. 【解析】（1）根据13x <-，123x -≤≤，2x >进行分类讨论，求出不等式2315x x -++≤的解集，由此能求出a+b ．（2）由x ＞0，y ＞0，41x y +=，知()11114x y x y xy y x y x ⎛⎫+=+=++ ⎪⎝⎭414x yy x=+++，由此利用作商法和基本不等式的性质能证明x +y ≥9xy ． 【详解】（Ⅰ）原不等式等价于13415x x ⎧<-⎪⎨⎪-+≤⎩或123325x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪+≤⎩或2415x x >⎧⎨-≤⎩， 解得113x -≤<或113x ≤≤，即11x -≤≤ ∴1a =-，1b =， ∴0a b +=.（Ⅱ）由（Ⅰ）知410x y +-=，即41x y +=，且0x >，0y >，∴()11114x y x y xy y x y x ⎛⎫+=+=++ ⎪⎝⎭41459x y y x =+++≥=， 当且仅当16x =，13y =时取“=”,∴9x y xy +≥. 【点睛】本题考查含绝对值不等式的解法，考查不等式的证明，考查了基本不等式求最值，运用了推理论证能力、运算求解能力，是中档题．。

江西省宜春市重点高中2019-2020学年高二下学期期末（文科）数学试题一、单选题(★★) 1. 已知集合，集合，则集合的子集个数为（）A．2B．4C．6D．8(★★) 2. 若复数对应复平面内的点，且，则复数的虚部为（）A．B．C．D．(★★★) 3. “ ”是“ ”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(★★) 4. 等差数列的前项和为，若，是方程的两根，则（）A．18B．8C．9D．36(★★★) 5. 已知 x，y∈ R，且 x> y>0，则（）A．B．C．D．lnx+lny>0(★★) 6. 执行如图的程序框图，最后输出结果为8.若判断框填入的条件是，则实数的取值范围是( )A．B．C．D．(★★) 7. 下列命题中是真命题的个数是（）（1）垂直于同一条直线的两条直线互相平行（2）与同一个平面夹角相等的两条直线互相平行（3）平行于同一个平面的两条直线互相平行（4）两条直线能确定一个平面（5）垂直于同一个平面的两个平面平行A．B．C．D．(★★) 8. 若函数在点处的切线与直线互相垂直，则实数等于（）A．B．C．D．(★★) 9. 如图所示，在中，，在线段上，设，，，则的最小值为（）A．B．9C．9D．(★★) 10. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为， P为双曲线右支上一点，且满足，则的周长为（）A．B．C．D．(★★★) 11. 黄金三角形有两种，其中底和腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是顶角为的等腰三角形（另一种是顶角为的等腰三角形）.例如，正五角星由5个黄金三角形和一个正五边形组成，如图所示，在一个黄金三角形 中，，根据这些信息，可得（）A ．B ．C ．D ．(★★★) 12. 已知函数在区间 上是增函数，且在区间上恰好取得一次最大值，则 的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题(★★) 13. 已知向量 ，， ，若，则__________． (★★★) 14. 已知圆和两点，，若圆上存在点 ，使得，则的取值范围是 ．(★★) 15. 设 ，函数 ，若存在，使得，则的取值范围是______.(★★) 16. 在 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，若 ， ， ，则______．三、解答题(★★★) 17. 已知公差不为零的等差数列满足，且 ，，成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）设为数列的前项和，求数列的前项和．(★★★) 18. 如图，在斜三棱柱中，侧面与侧面都是菱形，，．（1）求证：；（2）若，求四棱锥的体积．(★★) 19. 某校高三（1）班在一次语文测试结束后，发现同学们在背诵内容方面失分较为严重.为了提升背诵效果，班主任倡议大家在早､晩读时间站起来大声诵读，为了解同学们对站起来大声诵读的态度，对全班50名同学进行调查，将调查结果进行整理后制成如表：考试分数，，，，，，频数510155105赞成人数469364（1）欲使测试优秀率为，则优秀分数线应定为多少分？（2）依据第1问的结果及样本数据研究是否赞成站起来大声诵读的态度与考试成绩是否优秀的关系，列出2×2列联表，并判断是否有的把握认为赞成与否的态度与成绩是否优秀有关系.参考公式及数据：，.0.1000.0500.0250.0102.7063.841 5.024 6.635(★★★) 20. 已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且离心率为．（1）求椭圆 C的标准方程；（2）不过原点的直线与椭圆 C交于 M， N两点，若三直线 OM ．、 ON的斜率与，，点成等比数列，求直线的斜率及的值．(★★★★) 21. 设函数.（1）求函数的单调区间；（2）若函数在有零点，证明：.(★★★) 22. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线的极坐标方程；（2）在曲线上取两点，与原点构成，且满足，求面积的最大值.(★★★) 23. 已知不等式的解集为．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，，，求证：.。

2020年江西省宜春市井江中学高二数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如右图将无盖正方体纸盒展开，直线AB与CD原来的位置关系是（）A．相交成60° B．相交且垂直C．异面 D．平行参考答案：A略2. 若函数f（x）=x+在点P处取得极值，则P点坐标为（）A．（2，4）B．（2，4）、（﹣2，﹣4） C．（4，2）D．（4，2）、（﹣4，﹣2）参考答案：B【考点】函数在某点取得极值的条件．【分析】先求出导函数，找到导数为0的根，在检验导数为0的根两侧导数的符号，得到极值点，从而求出极值点坐标即可．【解答】解：因为f'（x）=1﹣=0?x=±2．又∵x≠0，∴x＜﹣2或x＞2时，f'（x）＞0?f（x）为增函数；﹣2＜x＜0或0＜x＜2时，f'（x）＜0，的f（x）为减函数．故±2是函数的极值点．所以点P的坐标为（2，4）、（﹣2，﹣4）故选B．3. 已知i为虚数单位, 若复数i，i，则=( )A．i B. i C. i D．i参考答案：A4. 在△ABC中，“A=60°”是“ cosA=”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：C【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】三角函数的求值．【分析】判断出若“cosA=”成立，则有“A=60°成立；反之在△ABC中，若“A=60°成立则“cosA=”成立，利用充要条件的定义得到结论．【解答】解：在△ABC中，若“cosA=”成立，则有“A=60°成立；反之在△ABC中，若“A=60°成立则有“cosA=”成立，所以，“A=60°”是“”的充要条件．故选C．【点评】判断一个命题是另一个命题的什么条件，应该先确定出条件，然后两边互推，利用充要条件的有关定义进行判断．5. 已知，过点可作曲线的三条切线，则的取值范围为A．B．C．D．参考答案：A6. 甲、乙两班在我校举行的“勿忘国耻，振兴中华”合唱比赛中，7位评委的评分情况如茎叶图所示，其中甲班成绩的中位数是81，乙班成绩的平均数是86，若正实数a、b满足：a，G，b成等差数列且x，G，y成等比数列，则的最小值为（）A. B. 2 C. 8 D.参考答案：D【分析】根据题目所给中位数和平均数，求得的值，根据等差中项和等比中项的性质求得的关系式，进而利用基本不等式求得所求表达式的最小值.【详解】由于甲班成绩的中位数是81，乙班成绩的平均数是，结合茎叶图可知，，，解得.由于正实数a、b满足：a，G，b成等差数列且x，G，y成等比数列，所以，即.所以.故选：D.【点睛】本小题主要考查茎叶图的识别，考查平均数、中位数的概念，考查等差中项、等比中项的性质，考查利用基本不等式求最值的方法，属于中档题.7. 若点A的坐标是（4，2），F是抛物线y2=2x的焦点，点P在抛物线上移动，为使得|PA|+|PF|取得最小值，则P点的坐标是A．（1，2）B．（2，1）C．（2，2）D．（0，1）参考答案：C8. 某程序框图如图所示，现输入如下四个函数: ，，，，则可以输出的函数是（）A． B．C． D．参考答案：B有程序框图可知可以输出的函数既是奇函数，又要存在零点．满足条件的函数是B．9. 执行如图所示的程序框图，若x=4，则输出的y=( )A ．2B ．4C ．8D ．16参考答案：A【考点】程序框图．【专题】计算题；图表型；分类讨论；分析法；算法和程序框图．【分析】模拟执行程序框图，可得其功能是计算并输出y=的值，代入即可求值．【解答】解：模拟执行程序框图，可得其功能是计算并输出y=的值，∵x=4＞0， ∴y==2，故选：A ．【点评】本题考查的知识点是程序框图，其中分析出程序的功能是解答的关键． 10. 设。

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版权所有@高考资源网 - 1 - 2021届高二年级下学期第一次月考数学（文科）试卷 一、选择题（共12小题）
1.若0,0,a b c d >><<则一定有（ ） A. a b c d > B. a b c d < C. a b d c > D. a b d c
< 【答案】D
【解析】
本题主要考查不等关系．已知0,0a b c d >><<,所以110d c
->->，所以a b d c ->-，故a b d c
<．故选D
2.设11z i i
=++，则|z =（ ） A. 12 B. 22 3 D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】
由复数的四则运算以及模长公式求解即可.
【详解】111111(1)(1)222i i i i i i i i i --+=+=+=+++-，则22112222z ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，故选B .
【点睛】本题主要考查了复数的四则运算以及模长公式，属于基础题.
3.下列有关命题的说法正确的是（ ）．
A. 命题“若21x =，则1x =”的否命题为：“若21x =，则1x ≠”
B. “1x =-”是“2560x x --=”必要不充分条件
C. 命题“R x ∃∈，使得210x x ++<”的否定是：“R x ∀∈，均有210x x ++<”。

2021届高二年级第一次月考数学（理科）试卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．圆224210x y x y +--+=的圆心在（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 2．已知,m n 是两条不同直线， ,,αβγ是三个不同平面，则下列正确的是（ ） A. 若//m α， //n α，则//m n B. 若αγ⊥， βγ⊥，则//αβ C. 若//m α， //m β，则//αβ D. 若m α⊥， n α⊥，则//m n3．过半径为2的球O 表面上一点A 作球O 的截面，若OA 与该截面所成的角是30， 则截面的面积是（ ） A ．π B ．2π C ．3π D． 4．若圆与圆有三条公切线，则的值为（ ）A ．2B ．C ．4D ．6 5．圆锥的母线长为4，侧面展开图为一个半圆，则该圆锥表面积为（ ）A ．10πB ．12πC ．16πD ．18π6．圆224210x y x y ++--=上存在两点关于直线()2200,0ax by a b -+=>>对称，则14a b+的最小值为（ ） A ．8B ．9C ．16D ．187．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为线段11A C 的中点， 则异面直线DE 与1B C 所成角的大小为（ ） A.15 B.30C.45D.608．如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．23 B ．43C ．83D ．49．若x 、y 满足x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0，则x 2＋y 2的最小值是( )5 B. 5C. 30－D. 无法确定10．在正方体1111ABCD A B C D -中， 2AB =，平面αα截该正方体所得截面的面积为（ ）A. B.C. D. 使得以点P 为11．已知圆22:8150C x y x +-+=，直线2y kx =+上至少存在一点P ，圆心，半径为1的圆与圆C 有公共点，则k 的最小值是（ ）A ．43-B ．54-C ．35-D ．53- 12．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，2AB =,1AA =D ，F 分别是棱AB ，1AA 的中点，E 为棱AC 上的动点，则DEF ∆的周长的最小值为( )A ．2B ．2C 2D 2二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．如图所示，A O B '''∆表示水平放置的AOB ∆的直观图，B '在x '轴上，A O ''与x '轴垂直，且2A O ''=，则AOB ∆的OB 边上的高为______．两条切线间的14．从原点O 向圆2212270x y y +-+=作两条切线，则该圆夹在劣弧长为__________．15．若直线l x my =：:C y =相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当AOB ∆的面积取最大值时，实数m 的取值 ．16．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点E ，F ，G 分别为棱AB ，AA 1，C 1D 1的中点．下列结论中，正确结论的序号是______．①过E ，F ，G 三点作正方体的截面，所得截面为正六边形； ②B 1D 1∥平面EFG ； ③BD 1⊥平面ACB 1；④异面直线EF 与BD 1所成角的正切值为22； ⑤四面体ACB 1D 1的体积等于12a 3 三、解答题(17题10分，其他各题12分，共70分) 17．(本题10分)如图，菱形ABCD 与正三角形BCE 的边长均为2，且平面ABCD ⊥平面BCE ，FD ⊥平面ABCD ，FD =． (1)求证：//EF 平面ABCD ； (2)求证：平面ACF ⊥平面BDF ．18．（12分）已知圆C 的圆心C 在直线y x =上，且与x 轴正半轴相切，点C 与坐标原点O . （1）求圆C 的标准方程；（2）斜率存在的直线l 过点1(1,)2M 且与圆C 相交于,A B 两点，求弦长AB 的最小值.19．（12分）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，若112AP AB AD ===，AC =（1）求证：平面PAC ⊥平面PCD ； （2）计算四棱锥P ABCD -的表面积.20．（12分）如图，四边形ABCD 为矩形，A ，E ，B ，F 四点共面，且ABE ∆和ABF ∆均为等腰直角三角形，90BAE AFB ∠=∠=︒.（1）求证：平面//BCE 平面ADF ；锥A CEF -的体（2）若平面ABCD ⊥平面AEBF ，1AF =，2BC =，求三棱积．21．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 的方程为()2214x y -+=，M 点的坐标为()3,3-.（1）求过点M 且与圆C 相切的直线方程；（2）过点M 任作一条直线l 与圆C 交于不同两点A ，B ，且圆C 交x 轴正半轴于点P ，求证：直线PA 与PB 的斜率之和为定值.22．（12分）正三角形ABC 的边长为a ，将它沿平行于BC 的线段PQ 折起（其中P 在边AB 上，Q 在AC 边上），使平面APQ ⊥平面BPQC 。

2019～2020学年江西省宜春市上高中二年级中高中二年级第一学期第二次月考理科数学试题一、选择题(本大题共12小题)1.已知命题p：“,有成立”,则命题为A. ,有成立B. ,有成立C. ,有成立D. ,有成立2.已知圆,过点的直线l交该圆于A,B两点,O为坐标原点,则面积的最大值是A. B. 2 C. D. 43.若命题“,”是假命题,则实数x的取值范围是A. B.C. D.4.圆心为的圆,在直线上截得的弦长为,那么,这个圆的方程为A. B.C. D.5.如图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得几何体的表面积是A. B. C. D.6.如图在正方体中,O是底面ABCD的中心,,H为垂足,则与平面的位置关系是A. 垂直B. 平行C. 斜交D. 以上都不对7.命题p：函数且的图象必过定点,命题q：如果函数的图象关于点对称,那么函数的图象关于点对称,则A. 为真B. 为假C. p真q假D. p假q真8.已知命题p：,命题q：,,则p成立是q成立的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件9.已知圆截直线所得线段的长度是,则圆M与圆的位置关系是A. 内切B. 相交C. 外切D. 相离10.已知圆C：,平面区域：,若圆心,且圆C与x轴相切,则的最大值为A. 5B. 29C. 37D. 4911.已知三棱锥四个顶点均在半径为R的球面上,且,,若该三棱锥体积的最大值为1,则这个球的表面积为A. B. C. D.12.在长方体中,二面角的大小为,与平面ABCD所成角的大小为,那么异面直线与所成角的余弦值是.A. B. C. D.二、填空题(本大题共4小题)13.给下列三个结论：命题“,”的否定是“,”；若,则的逆命题为真；命题“若,则”的否命题为：“若,则”；其中正确的结论序号是______填上所有正确结论的序号.14.已知点在圆上运动,则的最小值为______.15.如图所示,已知三棱柱的所有棱长均为1,且底面ABC,则三棱锥的体积为______.16.已知三棱锥中,,,,,,则三棱锥的外接球的表面积为______.三、解答题(本大题共6小题)17.已知直线l过点,圆C：,直线l与圆C交于A,B两点.求直线PC的方程；求直线l的斜率k的取值范围；Ⅲ是否存在过点且垂直平分弦AB的直线？若存在,求直线斜率的值,若不存在,请说明理由.18.已知函数,.若对任意,都有成立,求实数m的取值范围.若对任意,总存在,使得成立,求实数m的取值范围.19.已知,命题p：对,不等式恒成立；命题q：对,不等式恒成立.若命题p为真命题,求实数m的取值范围；若为假,为真,求实数m的取值范围.20.已知在四棱锥中,底面ABCD是矩形,且,,平面ABCD,E、F分别是线段AB、BC的中点.Ⅰ判断并说明PA上是否存在点G,使得平面PFD？若存在,求出的值；若不存在,请说明理由；Ⅱ若PB与平面ABCD所成的角为,求二面角的平面角的余弦值.21.如图,平面平面ADEF,其中ABCD为矩形,ADEF为梯形,,,.Ⅰ求证：平面BAF；Ⅱ若二面角的平面角的余弦值为,求AB的长.22.在平面直角坐标系中,点,,动点P满足.求动点P的轨迹E的方程；若直线l：和轨迹E交于M,N两点,且点B在以MN为直径的圆内,求k的取值范围.答案和解析1.【试题参考答案】B【试题解答】解：因为特称命题的否定是全称命题,命题p：“,有成立”,则命题为：,有成立.故选：B.直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可.本题考查命题的否定.特称命题与全称命题的否定关系,基本知识的考查.2.【试题参考答案】B【试题解答】【解答】解：当直线l不存在斜率时,,当直线存在斜率时,设斜率为k,则直线l的方程为,即,圆心到直线的距离..,当且仅当等号成立,即,.面积的最大值是2.故选B.讨论l斜率不存在和存在的情况,当斜率存在时,设出方程求出圆心到直线的距离d,利用基本不等式求出,即可得出结论.本题考查直线与圆的位置关系,以及基本不等式的应用,属于中档题.3.【试题参考答案】A【试题解答】解：若命题为真命题时,不等式变为：,设函数,,单调增,解得：,即或.所以命题为假命题时的实数x的取值范围是：.故选：A.先求真命题时的x的范围,再求它的补集,将不等式转化成关于a的函数,通过单调性端点值的函数值都大于零即可.考查不等式转化函数,再用函数的主参换位的单调性来求x的取值范围.属于中难题.4.【试题参考答案】A【试题解答】此题考查了直线与圆相交的性质,以及圆的标准方程,涉及的知识有：点到直线的距离公式,垂径定理,勾股定理,熟练掌握定理及公式是解本题的关键,属于中档题.由垂径定理,根据弦长的一半及圆心到直线的距离求出圆的半径,即可写出圆的标准方程.【解答】解：圆心到直线的距离,弦长为,圆的半径,则圆的方程为.故选A.【试题解答】解：由三视图可知此几何体是一个简单的组合体：上面一个半径为1球,下面一个底面边长为2高为3正四棱柱球的表面积为,正三棱柱的表面积为原几何体的表面积为故选B首先由三视图还原成原来的几何体,再根据边长关系求表面积本题考查由三视图求几何体的表面积,须能由三视图还原成原几何体并能找准长度关系,须有较强的空间立体感.属简单题6.【试题参考答案】A【试题解答】解：连结,BD,因为几何体是正方体,底面ABCD是正方形,所以,又,平面,平面,,,,平面C.故选A.连结,BD,证明平面,通过证明,,,推出结果.本小题主要考查空间线面垂直关系,化归与转化的数学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力.7.【试题参考答案】C【试题解答】解：当时,函数,图象过定点,命题p正确；当的图象关于点对称时,的图象向左平移3个单位,得到的图象,的图象关于原点对称,命题q错误；真q为假；故选：C.判定命题p、q的真假,利用函数的性质进行判断即可.本题通过判定命题的真假,考查了函数的性质与应用问题,是基础题.8.【试题参考答案】A【试题解答】本题考查了充分必要条件,考查集合的包含关系以及二次函数的性质,是一道基础题.分别求出关于p,q成立的a的范围,根据集合的包含关系判断即可.【解答】解：由,解得：,故命题p：；若,,则,解得：,或时,恒成立,故q：；故命题p是命题q的充分不必要条件,故选：A.【试题解答】本题考查直线和圆的位置关系及两圆位置关系的判断,根据相交弦长公式求出a的值是解决本题的关键.根据直线与圆相交的弦长公式,求出a的值,结合两圆的位置关系进行判断即可.【解答】解：圆的标准方程为M：,则圆心为,半径,圆心到直线的距离,圆M：截直线所得线段的长度是,,即,即,,则圆心为,半径,圆N：的圆心为,半径,则,,,,即两个圆相交.故选B.10.【试题参考答案】C【试题解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：圆心为,半径为1.圆心,且圆C与x轴相切,,则,要使的取得最大值,则只需a最大即可,由图象可知当圆心C位于B点时,a取值最大,由,解得,即,当,时,,即最大值为37,故选：C.画出不等式组对应的平面区域,利用圆C与x轴相切,得到为定值,此时利用数形结合确定a的取值即可得到结果.本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法.11.【试题参考答案】D【试题解答】由题意可知：为直角三角形,根据三棱锥的体积公式,即可求得D到平面ABC的最大距离为3,利用勾股定理即可求得球O半径,求得球O的表面积.本题考查球的表面积及体积公式,考查勾股定理的应用,属于基础题.【解答】解：设的外接圆的半径为r,,,,,,三棱锥的体积的最大值为1,到平面ABC的最大距离为3,球的半径为R,则,,球O的表面积为.故选：D.12.【试题参考答案】B【试题解答】本题考查异面直线所成角的求法,考查余弦定理等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是中档题.由题意画出图形,连接,可得为异面直线与所成角,然后解直角三角形及余弦定理求得答案.【解答】解：如图,由二面角的大小为,可知,,又与平面ABCD所成角的大小为,,.连接,,设,则,.,,在中,由余弦定理可得：.异面直线与所成角的余弦值是.故选：B.13.【试题参考答案】【试题解答】解：命题“,”的否定是“,”；满足命题的否定形式,所以正确；若,则的逆命题为：,则,显然不正确,所以不正确；命题“若,则”的否命题为：“若,则”；所以不正确；故答案为：.利用命题的否定判断的正误；写出命题的逆命题,然后判断真假即可.写出命题的否命题,推出正误即可.本题考查命题的真假的判断应用,考查转化思想以及计算能力.14.【试题参考答案】1【试题解答】解：由,得,即,.当且仅当,即时,取得最小值,为1.故答案为：1.由已知可得,再由,展开多项式乘多项式,再由基本不等式求最值.本题考查基本不等式的性质以及应用,考查数学转化思想方法,是中档题.15.【试题参考答案】【试题解答】解：三棱柱的所有棱长均为1,且底面ABC,,点A到平面的距离,三棱锥的体积：.故答案为：.由已知得,点A到平面的距离,由此能求出三棱锥的体积.本题考查三棱锥的体积的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.16.【试题参考答案】【试题解答】解：解：如图：,,,满足,又,,平面ABC,,,,平面DAB,是三棱锥的外接球的直径,,,,三棱锥的外接球的表面积为.故答案为：,根据勾股定理可判断,,从而可得三棱锥的各个面都为直角三角形,求出三棱锥的外接球的直径,即可求出三棱锥的外接球的表面积.本题考查了三棱锥的外接球的表面积,关键是根据线段的数量关系判断CD是三棱锥的外接球的直径.17.【试题参考答案】解：设圆C：,圆心为,直线l过点,故直线PC的方程为,即直线l的方程为,则由得由得故Ⅲ假设存在直线垂直平分于弦AB,此时直线过,,则,故AB的斜率,由可知,不满足条件.所以,不存在存在直线垂直于弦AB.【试题解答】求出圆的圆心坐标,利用截距式方程求直线PC的方程；联立直线与圆的方程,通过判别式求解k的范围即可；Ⅲ求出直线的斜率,利用垂直关系,判断是否存在直线方程.本题考查直线与圆的方程的应用,考查转化思想以及计算能力.18.【试题参考答案】解：由题设知：,在上递减,在上递增,,又在上递减,,有,m的范围为；由题设知,有,即,的范围为.【试题解答】问题转化为,分别求出函数的最小值和最大值,得到关于m的不等式,解出即可；问题转化为,分别求出函数的最小值和最大值,得到关于m的不等式,解出即可.本题考查了求函数的最值问题,考查转化思想,是一道中档题.19.【试题参考答案】解：对,不等式,则,即,即,解得,则实数m的取值范围是.若,不等式恒成立,即,即恒成立,当,函数为增函数,,则,即q：,若为假,为真,则p,q中一个为真命题,一个为假命题,若p真q假,则,无解,若p假q真,则,得,综上,即实数m的取值范围是.【试题解答】本题主要考查复合命题真假关系的应用,根据不等式恒成立求出命题p,q 的等价条件是解决本题的关键.根据不等式恒成立,转化为最值问题进行求解即可根据复合命题真假关系判断命题p,q一个为真命题,一个为假命题,然后进行求解即可.20.【试题参考答案】解：Ⅰ假设在PA上存在点G,使得平面PFD,建立如图所示的空间直角坐标系,设,.1,,2,,0,,0,,0,,,.设平面PFD的一个法向量.,令,则,,.,..PA上存在点G,使得平面PFD.Ⅱ为直线PB与平面ABCD所成的角,所以：由Ⅰ得：平面PDF的法向量为：由于：所以：二面角的平面角的余弦值.【试题解答】Ⅰ首先假设点的存在,建立空间直角坐标系利用法向量建立向量间的关系. Ⅱ利用线面的夹角,和法向量,求出夹角的余弦值.本题考查的知识要点：存在性问题的应用,二面角的应用.法向量的应用,空间直角坐标系的建立,属于基础题型.21.【试题参考答案】Ⅰ证明：平面平面ADEF,且ABCD为矩形,平面ADEF,又平面ADEF,,又且,平面BAF；Ⅱ解：设.以F为原点,AF,FE所在的直线分别为x轴,y轴建立空间直角坐标系.则0,,0,,,,0,,,0,.平面ABF,平面ABF的法向量可取1,.设y,为平面BFD的法向量,则,取,可得1,,得,.【试题解答】Ⅰ由平面平面ADEF,且ABCD为矩形,可得平面ADEF,得到,又,由线面垂直的判定可得平面BAF；Ⅱ设以F为原点,AF,FE所在的直线分别为x轴,y轴建立空间直角坐标系可得平面ABF 的法向量可取1,再求出平面BFD的法向量1,结合二面角的平面角的余弦值为求AB的长.本题考查直线与平面垂直的判定,考查空间想象能力与思维能力,训练了利用空间向量求解线面角,是中档题.22.【试题参考答案】解：设,动点P满足.,化为：则,设,,,满足,故k的取值范围是.【试题解答】设,根据动点P满足可得,化简即可得出.,设,,,把根与系数的关系代入即可得出.本题考查了圆的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、数量积运算性质、两点之间的距离公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.。

2021届高二年级下学期第二次月考数学（文科）试卷一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 已知复数z 满足()13i z i +=+，其中i 为虚数单位，则z =等于（ ） A. 10B.C. 5D.【答案】D 【解析】由题意23(3)(1)3321(1)(1)2i i i i i i z i i i i ++--+-====-++-，则2z i =-=，故选D ． 2. 抛掷两枚均匀骰子，观察向上的点数，记事件A 为“两个点数不同”，事件B 为“两个点数中最大点数为4”，则()P B A =（ ） A.112B.16C.15D.56【答案】C 【解析】 【分析】抛掷两枚均匀骰子，构成的基本事件的总数共有36种，其中记事件A 为“两个点数不同”的基本事件共有30种，再由“两个点数不同且最大点数为4”的基本事件共有6种，利用条件概率的计算公式，即可求解． 【详解】由题意，抛掷两枚均匀骰子，构成的基本事件的总数共有36种， 其中记事件A 为“两个点数不同”的基本事件共有36630-=种，又由事件“两个点数不同且最大点数为4”的基本事件为：(1,4),(2,4),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)，共有6种，所以6()136()30()536P A B P B A P A ⋂===，故选C ． 【点睛】本题主要考查了条件概率的计算，其中解答中熟记条件概率的计算方法，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 3. 设x ∈R ，则“3x >”是“21x ≥”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】分析：若3x >，则根据不等式的性质有21x ≥成立，但21x >推不出3x >，据此判断充分必要性.详解：当3x >时，291x >>，取2x =，则241x =>，当23<，故“3x > ”是“21x > ”的充分不必要条件，故选A.点睛：充分性与必要性的判断，可以依据命题的真假来判断，若“若p 则q ”是真命题，“若q 则p ”是假命题，则p 是q 的充分不必要条件；若“若p 则q ”是真命题，“若q 则p ”是真命题，则p 是q 的充分必要条件；若“若p 则q ”是假命题，“若q 则p ”是真命题，则p 是q 的必要不充分条件；若“若p 则q ”是假命题，“若q 则p ”是假命题，则p 是q 的既不充分也不必要条件. 4. 执行如图所示的程序框图，若输入的16n =，则输出的i ，k 的值分别为（ ）A. 3，5B. 4，7C. 5，9D. 6，11【答案】C 【解析】执行第一次循环后，11s =+，2,3i k ==，执行第二次循环后，112316s =+++<，3,5i k ==，执行第三次循环后，11233516s =+++++<，4,7i k ==，执行第四次循环后1123354716s =+++++++>，此时5,9i k ==，不再执行循环体，故选C .点睛：对于比较复杂的流程图，可以模拟计算机把每个语句依次执行一次，找出规律即可.5. 已知,x y 的取值如下表：（ ） 若依据表中数据所画的散点图中，所有样本点()(,)1,2,3,4,5i i x y i =都在曲线212y x a =+附近波动，则a =（ ） A .1B.12C.13D. 12-【答案】A 【解析】设2t x = ，则11(014916)6,(1 1.3 3.2 5.68.9)455t y =++++==++++=，所以点（6,4）在直线12y t a =+上，求出1a =，选A.点睛：本题主要考查了散点图，属于基础题．样本点的中心(),x y 一定在直线回归直线上，本题关键是将原曲线变形为12y t a =+，将点（6,4）代入，求出值． 6. 不等式2313x x a a +--≤-对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A. (,1][4,)-∞-⋃+∞ B. (,2][5,)-∞-⋃+∞ C. [1,2] D. (,1][2,)-∞⋃+∞【答案】A 【解析】 因为24314313x x x x a a-≤+--≤+--≤-对对任意x 恒成立，所以22343041a a a a a a -≥-≥≥≤-即，解得或．7. 甲、乙、丙三位同学将独立参加英语听力测试，根据平时训练的经验，甲、乙、丙三人能达标的概率分别为P 、23、35，若三人中有人达标但没有全部达标的概率为23，则P 等于（ ） A.23B. 34C.45D.56【答案】B 【解析】试题分析：人中有人达标但没有全部达标，其对立事件“人都达标或全部没有达标”，则()231221135353P P ⨯+⨯-=-，解得34P =.故选B.考点：古典概型.8. 图一是美丽的“勾股树”，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到.图二是第1代“勾股树”，重复图二的作法，得到图三为第2代“勾股树”，以此类推，已知最大的正方形面积为1，则第n 代“勾股树”所有正方形的面积的和为（ ）A. nB. 2nC. 1n +D. 1n -【答案】C 【解析】 【分析】由图二，可以求出当1n =时，所有正方形的面积，结合选项即可排除A 、B 、D 选项．【详解】由题意知，当1n =时，“勾股树”所有正方形的面积的和为2，当2n =时，“勾股树”所有正方形的面积的和为3，以此类推，可得所以正方形面积的和为1n +；也可以通过排除法，当1n =时，“勾股树”所有正方形的面积的和为2，选项A 、B 、D 都不满足题意，从而选出答案． 故选C.【点睛】本题考查了归纳推理，考查了勾股定理的应用，属于基础题．9. 观察下列各式：332123+=，33321236++=，33332123410+++=……，则3337815++⋯⋯+=（ ） A. 14400 B. 13959C. 14175D. 13616【答案】B【解析】 【分析】由有限项可得2333(1)12...2n n n +⎡⎤+++=⎢⎥⎣⎦，再代入运算即可得解.【详解】解：由332123+=，33321236++=，33332123410+++=……，则2333(1)12...2n n n +⎡⎤+++=⎢⎥⎣⎦， 则3337815++⋯⋯+215(151)2⨯+⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦26(61)2⨯+⎡⎤⎢⎥⎣⎦2212021(12021)(12021)13959=-=+-=， 故选：B.【点睛】本题考查了归纳推理能力，重点考查了运算能力，属中档题. 10. 若2x =-是函数21()(1)x f x x ax e-=+-的极值点，则()f x 的极小值为（ ）．A. 1-B. 32e --C. 35e -D. 1【答案】A 【解析】由题可得()()()()121212121x x x f x x a ex ax e x a x a e ---⎡⎤=+++-=+++-⎣⎦'， 因为()20f '-=，所以1a =-，()()211x f x x x e -=--，故()()212x f x x x e --'=+，令()0f x '>，解得2x <-或1x >，所以()f x 在()(),2,1,-∞-+∞上单调递增，在()2,1-上单调递减， 所以()f x 的极小值为()()1111111f e-=--=-，故选A ．【名师点睛】（1）可导函数y ＝f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0，且在x 0左侧与右侧f ′(x )的符号不同；（2）若f (x )在(a ，b )内有极值，那么f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．11. 若曲线3222y x x =-+在点A 处的切线方程为46y x =-，且点A 在直线10mx ny +-=（其中0m >，0n >）上，则12m n+的最小值为（ ）A.B. 3+C. 6+D. 【答案】C 【解析】 【分析】设点A 的横坐标为t ，利用切线斜率求得t 的值，可求得点A 的坐标为()2,2，可得出221m n +=，将代数式22m n +与12m n +相乘，展开后利用基本不等式可求得12m n+的最小值. 【详解】设点A 的横坐标为t ，对函数3222y x x =-+求导得234y x x '=-， 由题意可得2344t t -=，即23440t t --=，解得2t =或23t =-. ①若2t =，则点A 的坐标为()2,2，此时点A 在直线46y x =-上，合乎题意； ②若23t =-，则点A 的坐标为222,327⎛⎫- ⎪⎝⎭，此时点A 不在直线46y x =-上，不合乎题意.所以，点A 的坐标为()2,2，由于点A 在直线10mx ny +-=，可得221m n +=，0m >，0n >，()12124222666m n m n m n m n n m ⎛⎫∴+=++=++≥=+ ⎪⎝⎭当且仅当n =时，等号成立，因此，12m n+的最小值为6+. 故选：C.【点睛】本题考查利用曲线的切线方程求切点坐标，同时也考查了利用基本不等式求代数式的最值，考查计算能力，属于中等题.12. 函数()f x 的定义域为(,2)-∞，()'f x 为其导函数，若'1(2)()()xxx f x f x e --+=且(0)0f =，则()0f x <的解集为（ ）A. (,0)-∞B. (0,1)C. (1,2)D. (0,2)【答案】D 【解析】 【分析】设()(2)()g x x f x =-，由已知可得()g x 在(1,2)上单调递减，在(,1)-∞单调递增，且(0)0g =，(2)0=g ，()0f x <⇔()0>g x ，结合图象即可得到答案.【详解】设()(2)()g x x f x =-，由已知，得'1()x xg x e-=，显然当12x <<时，'()0g x <， 当1x <时，'()0g x >，故()g x 在(1,2)上单调递减，在(,1)-∞单调递增，且(0)(02)(0)0g f =-=，(2)(22)(2)0g f =-=，作出示意图如图()()002g x f x x <⇔<-，所以只需()0>g x 即可，解得02x <<. 故选：D【点睛】本题考查构造法解不等式，涉及到利用导数研究函数的单调性，考查学生的转化与化归的思想，是一道中档题.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 复数()()223456z m m m m i =--+--为纯虚数，则实数m =________【答案】4 【解析】 【分析】若复数z a bi =+为纯虚数，则00a b =⎧⎨≠⎩，再将题设中的条件代入运算即可. 【详解】解：因为复数()()223456z m m m m i =--+--为纯虚数，所以22340560m m m m ⎧--=⎨--≠⎩，解得4161m m m m ==-⎧⎨≠≠-⎩或且，即4m =，故答案为4.【点睛】本题考查了纯虚数的概念，属基础题.14. 已知命题:p 方程22113x ym m+=+-表示焦点在y 轴上的椭圆，命题:q 关于x 的方程22230x mx m +++=无实根，若“p q ∧”为假命题，“p q ∨”为真命题.则实数m 的取值范围为_______.【答案】13m ≤< 【解析】 【分析】分别由命题p 和命题q 为真，求出m 的范围，再根据复合命题的真假得到命题p 与命题q 必是一真一假，再分两种情况列式即可解得结果.【详解】由方程22113x y m m+=+-表示焦点在y 轴上的椭圆，可得310m m ->+>，解得11m -<<.由关于x 的方程22230x mx m +++=无实根，可得244(23)0m m =-+<，即2230m m --<，解得13m -<<.因为“p q ∧”为假命题，“p q ∨”为真命题，所以命题p 与命题q 必是一真一假， 当p 真q 假时，有1113m m m -<<⎧⎨≤-≥⎩或，此时无解，当p 假q 真时，有1113m m m ≤-≥⎧⎨-<<⎩或，解得13m ≤<.所以实数m 的取值范围为13m ≤<.\ 故答案为：13m ≤<.【点睛】本题考查了由复合命题的真假判断命题的真假，考查了由命题的真假求参数的取值范围，考查了椭圆的标准方程，考查了二次方程的实根的问题，属于中档题.15. 用反证法证明命题“若实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝c ＋d ＝1，ac ＋bd >1，则a ，b ，c ，d 中至少有一个是非负数”时，第一步要假设结论的否定成立，那么结论的否定是________________． 【答案】a ，b ，c ，d 全是负数 【解析】 【分析】考虑命题的反面，即可得出结论.【详解】“至少有一个”的否定是“一个也没有”， 故结论的否定是“a ，b ，c ，d 中没有一个是非负数， 即a ，b ，c ，d 全是负数”．故答案为：a ，b ，c ，d 全是负数【点睛】本题考查用反证法证明数学命题，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，属于基础题.16. 设P 是边长为a 的正ABC ∆内的一点，P 点到三边的距离分别为123h h h 、、，则1232h h h a ++=；类比到空间，设P 是棱长为a 的空间正四面体ABCD 内的一点，则P 点到四个面的距离之和1234h h h h +++=___________．【答案】3a . 【解析】 【分析】由平面几何类比到空间几何体，注意式子结构上的变化．【详解】根据等边三角形面积公式2S a =，因为P 点到三边的距离分别为123h h h 、、，所以()212312a h h h ⨯⨯++=即1232h h h a ++=正四面体的体积为312V a =P 点到四个面的距离为1234h h h h 、、、，所以()2312341312h h h h a ⨯+++=所以1234h h h h +++=【点睛】本题考查了类比推理的简单应用，从平面几何到空间几何体，属于基础题．三、解答题（共70分）17. 已知函数()|2||2|f x x ax =+--.（1）当2a =时，求不等式()21f x x ≥+的解集；（2）若不等式()2f x x >-对任意的(0,2)x ∈恒成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）{|5x x ≤-或}1x =；（2）[]1,3-. 【解析】【分析】（1）当a ＝2时，结合函数的解析式零点分段求解不等式的解集即可； （2）原问题等价于26a x x-<<，据此结合恒成立的条件确定实数a 的取值范围即可. 【详解】（1）当a ＝2时，()4,22223,214,1x x f x x x x x x x -≤-⎧⎪=+--=-<<⎨⎪-+≥⎩，当x ≤－2时，由x －4≥2x ＋1，解得x ≤－5； 当－2＜x ＜1时，由3x ≥2x ＋1，解得x ∈∅； 当x ≥1时，由－x ＋4≥2x ＋1，解得x ＝1． 综上可得，原不等式的解集为{x |x ≤－5或x ＝1}．（2）因为x ∈（0，2），所以f （x ）＞x －2等价于|ax －2|＜4，即等价于26a x x-<<， 所以由题设得26a x x-<<在x ∈（0，2）上恒成立，又由x ∈（0，2），可知21x -<-，63x>，所以－1≤a ≤3，即a 的取值范围为[－1，3]． 【点睛】绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．18. 在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为2sin cos 0ρθθ-=，以极点O 为原点，以极轴为x 轴正半轴，建立直角坐标系，已知M 点的坐标为(0,1)，直线l的参数方程为212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），且与曲线C 交于,A B 两点.（1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； （2）求||||MA MB 的值. 【答案】（1）1y x =-+；（2）2. 【解析】试题分析：（1）将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入可得曲线C 的直角坐标方程，消去参数t 可得直线l 的普通方程；（2）将直线的参数方程代入带抛物线中，根据参数的几何意义可得MA MB 的值.试题解析：（1）∵cos x ρθ=，sin y ρθ=，由2sin cos 0ρθθ-=，得22sin cos ρθρθ=.∴2y x =，即为曲线C 的直角坐标方程；由22212x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消去参数t 可得直线l 的普通方程为1y x =-+. （2）把直线l 的参数方程为22212x ty t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）代入曲线C 的方程，得：222122t t ⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭，即23220t t ++=，()23242100∆=-⨯=>，设,A B 对应的参数分别为12,t t ，则1212322t t t t ⎧+=-⎪⎨=⎪⎩，又直线l 经过点M ，故由t 的几何意义得：点M 到,A B 两点的距离之积12122MA MB t t t t ===. 19. 目前，新冠病毒引发的肺炎疫情在全球肆虐，为了解新冠肺炎传播途径，采取有效防控措施，某医院组织专家统计了该地区500名患者新冠病毒潜伏期的相关信息，数据经过汇总整理得到如图所示的频率分布直方图（用频率作为概率）.潜伏期低于平均数的患者，称为“短潜伏者”，潜伏期不低于平均数的患者，称为“长潜伏者”.（1）求这500名患者潜伏期的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），并计算出这500名患者中“长潜伏者”的人数；（2）为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否高于平均数为标准进行分层抽样，从上述500名患者中抽取300人，得到如下列联表，请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有97.5%的把握认为潜伏期长短与患者年龄有关；附表及公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++【答案】（1）平均数6；人数250人（2）见解析，有97.5%的把握认为潜伏期长短与年龄有关 【解析】 【分析】（1）用各个矩形的面积乘以矩形底边的中点值再相加即可得到平均数，用样本容量乘以频率可得频数； （2）根据分层抽样完善列联表，根据公式计算出2K 的值，结合临界值表可得结论.【详解】（1）平均数为()0.0210.0830.1550.1870.0390.03110.011326⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=. “长潜伏者”即潜伏期时间不低于6天的频率为()0.180.030.030.0120.5+++⨯=， 所以500人中“长潜伏者”的人数为5000.5250⨯=人（2）因为500人中“长潜伏者”的人数为250人，“短潜伏者”的人数为250人，按分层抽样可知，300人中“长潜伏者”的人数为150人，“短潜伏者”的人数为150人， 因为60岁及以上的“短潜伏者”的人数为90人，所以60岁以下的“短潜伏者”的人数为60人，又60岁以下的人数为140人，所以60岁以下的“长潜伏者”的人数为80人，所以60岁及以上的“长潜伏者”的人数为70人，由此可得补充后的列联表如图：短潜伏者长潜伏者合计 60岁及以上907016060岁以下 60 80 140 合计 150150300所以2K 的观测值为22300(90806070)755.357 5.02415015016014014K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，经查表，得()25.0240.025P K ≥≈，所以有97.5%的把握认为潜伏期长短与年龄有关.【点睛】本题考查了利用频率分布直方图求平均数、频数，考查了分层抽样，考查了完善列联表，考查了独立性检验，属于基础题.20. 如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=，1,PA AB E ==为PC 的中点.（1）求证：//PA 平面BDE ； （2）求三棱锥P BDE -的体积. 【答案】(1)见解析；(2) 324P BDE V -=．【解析】 【分析】 （1）设ACBD O =，连接OE ，由中位线定理可得//PA OE ，根据线面平行的判定定理可得结论；（2）根据等积变换及棱锥的体积公式可得，13224P BDE A BDE E ABD P ABD V V V V ----====. 【详解】（1）证明：设ACBD O =，连接OE ，则//PA OE ，又OE ⊂平面BDE ，且PA ⊄平面,//BDE PA ∴平面BDE .（2）111133112232224P BDE A BDE E ABD P ABD V V V V ----====⨯⨯⨯⨯⨯=. 21. 已知函数()()xf x ae x a R =-∈，其中e 为自然对数的底数． （Ⅰ）试判断函数()f x 的单调性； （Ⅱ）当21a e =时，不等式()2ln f x x x t ≥-+恒成立，求实数t 的取值范围． 【答案】(Ⅰ)见解析； (Ⅱ) (],12ln2-∞- 【解析】 【分析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，然后对a 分类，当a ≤0时，()f x '＜0，f （x ）为R 上的减函数；当a ＞0时，由导函数为0求得导函数的零点，再由导函数的零点对定义域分段，根据导函数在各段内的符号得到原函数的单调性；（Ⅱ）分离参数t ，可得22ln x e t x e ≤-恒成立．令()22ln xe g x x e=-，则问题等价于求解函数g （x ）的最小值，然后利用导数分析求解函数g （x ）的最小值得答案．【详解】（Ⅰ）由题可得函数()f x 的定义域为R ，()1xf x ae '=-，当0a ≤时，因为0x e >，所以()0f x '<，所以函数()f x 在R 上单调递减； 当0a >时，令()0f x '<，解得ln x a <-；令()0f x '>，解得ln x a >-， 所以函数()f x 在(),ln a -∞-上单调递减，在[)ln ,a -+∞上单调递增．综上，当0a ≤时，函数()f x 在R 上单调递减；当0a >时，函数()f x 在(),ln a -∞-上单调递减，在[)ln ,a -+∞上单调递增．（Ⅱ）当21a e =时，()2xe f x x e=-，则不等式()2ln f x x x t ≥-+可化为22ln xe t x e≤-，因为不等式()2ln f x x x t ≥-+恒成立，所以原问题可转化为2min2ln x e t x e ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭．设()22ln x e g x x e =-，显然函数()g x 的定义域为()0,+∞，()22x e g x e x ='-，令()22(0)x e h x x e x =->，则()222'0x e h x e x=+>恒成立，所以函数()h x 在()0,+∞上单调递增，又()222202e h e =-=，所以当02x <<时，()0g x '<；当2x >时，()0g x '>，所以函数()g x 在()0,2上单调递减，在[)2,+∞上单调递增， 所以()()min 212ln2g x g ==-，所以12ln2t ≤-， 故实数t 的取值范围为(],12ln2-∞-．【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数最值的求法，考查了利用分离变量法求解恒成立问题，考查了分类讨论的数学思想，是中档题．22. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点()2,1P ，且离心率e =（1）求椭圆C 的方程； （2）直线l 的斜率为12，直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，求PAB ∆的面积的最大值.【答案】（1）22182x y +=；（2）2. 【解析】 【分析】（1）由椭圆C 的离心率可得出224a b =，将点P 的坐标代入椭圆C 的方程，可得出2a 和2b 的值，由此可得出椭圆C 的标准方程； （2）设直线l 的方程为12y x m =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，由0∆>求出2m 的范围，列出韦达定理，利用弦长公式计算出AB ，利用点到直线的距离公式求出PAB ∆的高，然后利用三角形的面积公式结合基本不等式可求出该三角形面积的最大值.【详解】（1）设椭圆C 的焦距为()20c c >，则22222222314c a b b e a a a -===-=，224a b ∴=. 则椭圆C 的方程可化为222214x y b b+=，将点P 的坐标代入椭圆C 的方程得224114b b+=，可得22b =，28a =， 因此，椭圆C 的方程为22182x y +=；（2）设直线l 的方程为12y x m =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ， 将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立2212182y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 消去y ，整理得222240x mx m ++-=，()2244240m m ∆=-->，得24m <.由韦达定理得122x x m +=-，21224x x m =-.则12AB x x =-==直线l 的一般方程为220x y m -+=，点P 到直线l 的距离为d ==，所以，221142222PABm m S AB d ∆-+=⋅==≤=，当且仅当224m m -=时，即当m = 因此，PAB ∆面积的最大值为2.【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了椭圆中三角形面积最值的计算，在求解直线与椭圆的综合问题时，一般将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理设而不求法求解，考查运算求解能力，属于中等题.。

2019-2020学年宜春市上高二中高二(下)期末数学试卷(文科)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.设复数z1，z2在复平面内的点关于实轴对称，z1=1+i，则z1z2=()A. −iB. iC. −1D. 12.要证明不等式√3+√7<2√5，可选择的方法有()A. 分析法B. 综合法C. 反证法D. 以上三种方法均可3.已知A(2,0，1)，B(2,2，1)，C(0,0，2)M(2，λ，2)，(λ>0)，那么点M到平面ABC的距离为()A. 2√55B. √2λ C. 2√23λ D. 2√34.阅读如图的程序框图，运行相应的程序，当输入N=6时，输出的s=()A. 62B. 64C. 126D. 1245.某学生的四次500米测试成绩如下表(单位：分钟)所用时间y与测试次数x的线性回归方程为：y=ax+5.25，则a=()测试次数x1234所用时间y 4.543 2.5A. 0.7B. −0.6C. 0.6D. −0.76.已知命题p：函数y=sinπ2x在x=a处取到最大值；命题q：直线x−y+2=0与圆(x−3)2+ (y−a)2=8相切；则p是q的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 即不充分也不必要条件7.9.已知函数若存在且，使得成立，则实数a的取值范围是A. B. C. D.8.设函数f(x)是定义在(−∞,0)上的可导函数，其导函数为f′(x)，且有xf′(x)<3f(x)，则不等式8f(x+2)+(x+2)3f(−2)>0的解集为()A. (−4,−2)B. (−2,0)C. (−∞,−2)D. (−∞,−4)9.函数，在定义域内任取一点，使的概率是()．A. B. C. D.10.已知函数，则在点处的切线的倾斜角为()A. B. C. D.11.某多面体的三视图如图所示，则该几何体的体积与其外接球的表面积的数值之比为()A. 13πB. 29πC. 23πD. 19π12.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)=f(x−6)，且当0≤x<3时，f(x)={a+log√2(x+1),0≤x≤12(x−2)2,1<x<3，则f(2019)+f(2020)+f(2021)的值为()A. 2B. −12C. 12D. −2二、单空题（本大题共3小题，共15.0分）13.以下四个命题：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每20分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样．②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1．③在回归直线∧y=0.2x+12中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量∧y平均增加0.2单位．④对分类变量X与Y，它们的随机变量K2的观测值k来说，k越小，“X与Y有关系”的把握程度越大．其中正确的命题是______ ．14.在等差数列{a n}中，若a20=0，则有等式a1+a2+a3+⋯+a n=a1+a2+⋯+a39−n(n≤38,n∈N∗)成立.类比这一性质，相应地在等比数列{b n}中，若b10=1，则有等式______ ．15.设F1，F2分别为双曲线C：x2a −y2b=1(a>0,b>0)的左、右焦点，过F1的直线交双曲线C左支于A，B两点，且|AF2|=6，|BF2|=10，|AB|=8，则双曲线C的离心率为______．三、多空题（本大题共1小题，共5.0分）16.已知圆O1：x2+y2−ax+2=0与直线l相切于点P(3,1)，则直线l的方程为，设直线l与圆O2：(x−1)2+(y−1)2=4相交于A，B两点，则|AB|=．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.设函数f(x)=|x−3|−|x+a|，其中a∈R．(Ⅰ)当a=2时，解不等式f(x)<1；(Ⅱ)若对于任意实数x，恒有f(x)≤2a成立，求a的取值范围．18.有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到如下的列联表．已知在全部105人中随机抽取一人为优秀的概率为27．(1)请完成上面的列联表；(2)根据列联表的数据，若按97.5%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”；(3)若按下面的方法从甲班优秀的学生抽取一人：把甲班优秀的10名学生从2到11进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的序号．试求抽到8或9号的概率．参考公式和数据：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)19.如图，正方体ABCD—A 1B 1C 1D 1中，E为DD 1中点，(1)求证：BD 1//平面AEC；(2)求：异面直线BD与AD 1所成的角的大小.20. 证明：(1)cos3α=4cos3α−3cosα(2)若sinα2=35，cosα2=−45，则角α的终边在第四象限．21. 已知抛物线E：x2=2py(p>0)，其焦点为F，过F且斜率为1的直线被抛物线截得的弦长为8．(1)求抛物线E的方程；(2)设A为E上一动点(异于原点)，E在点A处的切线交x轴于点P，原点O关于直线PF的对称点为点B，直线AB与y轴交于点C，求△OBC面积的最大值．22. 已知函数f(x)=a(x−1x)−2lnx (a∈R)．(1)求函数f(x)的单调增区间；.若至少存在一个x0∈[1,e]，使得f(x0)>g(x0)成立，求实数a的取值范围．(2)设函数g(x)=−ax【答案与解析】1.答案：B解析：解：∵复数z 1，z 2在复平面内的点关于实轴对称，z 1=1+i ， ∴z 2=1−i ， 则z 1z 2=1+i1−i =(1+i)2(1−i)(1+i)=2i 2=i ，故选：B ．复数z 1，z 2在复平面内的点关于实轴对称，z 1=1+i ，可得z 2=1−i ，再利用复数的运算法则即可得出．本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.答案：D解析：解：用分析法证明如下：要证明√3+√7<2√5， 需证(√3+√7)2<(2√5)2， 即证10+2√21<20，即证√21<5，即证21<25，显然成立， 故原结论成立．综合法：∵(√3+√7)2−(2√5)2=10+2√21−20=2(√21−5)<0，∴√3+√7<2√5． 反证法：假设√3+√7≥2√5通过两端平方后导出矛盾，从而肯定原结论． 从以上证法中，可知三种方法均可． 故选：D ．利用三种方法，给出不等式的证明，即可得出结论．本题考查分析法、综合法、反证法的应用，考查分析与判定思维能力，属于中档题．3.答案：A解析：解：因为A(2,0，1)，B(2,2，1)，C(0,0，2)M(2，λ，2)(λ>0)， 所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0,1),AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,λ,1)， 设平面ABC 的法向量为n⃗ =(x,y,z)， 则有{n ⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{2y =0−2x +z =0， 令x =1，则y =0，z =2， 所以n⃗ =(1,0,2)，所以点M 到平面ABC 的距离为d =|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|cos <AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ >|=|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=√5=2√55． 故选：A ．利用已知点的坐标求出平面的法向量，然后利用点到直线距离的计算公式求解即可．本题考查了点到面距离的求解，主要考查了平面法向量的求解以及点到面距离公式的运用，属于中档题．4.答案：A解析：解：模拟程序的运行，可得 N =6，k =1，s =0 执行循环体，s =21，k =2不满足条件k ≥6，执行循环体，s =21+22，k =3 不满足条件k ≥6，执行循环体，s =21+22+23，k =4 不满足条件k ≥6，执行循环体，s =21+22+23+24，k =5 不满足条件k ≥6，执行循环体，s =21+22+23+24+25，k =6 满足条件k ≥6，退出循环，输出s =21+22+23+24+25=62． 故选：A ．由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于基础题．5.答案：D解析：解：由题意，x =1+2+3+44=2.5，y =4.5+4+3+2.54=3.5，代入y =ax +5.25，可得3.5=2.5a +5.25， 所以a =−0.7， 故选：D ． 计算x =1+2+3+44=2.5，y =4.5+4+3+2.54=3.5，代入y =ax +5.25，可得3.5=2.5a +5.25，即可求出a ．本题主要考查回归分析，考查运算能力、应用意识，属于基础题．6.答案：B解析：解：当π2x =π2+2kπ，k ∈Z ，即x =1+4k ，k ∈Z 时，函数y =sin π2x 取到最大值； 故命题p ：a =1+4k ，k ∈Z ；若直线x −y +2=0与圆(x −3)2+(y −a)2=8相切， 则√2=2√2，解得：a =1，或a =9， 即命题q ：a =1，或a =9， 故p 是q 的必要不充分条件， 故选：B ．根据三角函数的图象和性质，可得命题p ：a =1+4k ，k ∈Z ；根据直线与圆的位置关系，可得命题q ：a =1，或a =9，进而根据充要条件的定义，可得答案．本题考查的知识点是充要条件的定义，函数的最值及其几何意义，直线与圆的位置关系，难度中档．7.答案：B解析：本题考查函数图像的应用，分段函数，抽象函数中含参数的问题。

江西省宜春市上高县第二中学2019-2020学年高一下学期期末考试数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．已知集合{}03A x x =≤≤，{}1B y y ==，则A B =（ ）．A ．[]1,3B ．(]1,3C ．∅D ．[]0,32．已知0.130.2log 0.2,log 0.3,10,a b c ===则（ ） A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<3．为了得到函数sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，可以将函数cos 2y x =的图像（ ） A ．向左平移512π个单位 B ．向右平移512π个单位 C ．向右平移6π个单位 D ．向左平移6π个单位 4．已知角α的终边在函数23y x =的图象上，则212sin cos 3cos ααα--的值为（ ） A ．213-B ．213± C ．2- D ．2±5．若n S 是等比数列{}n a 的前项和，3S ，9S ，6S 成等差数列，且82a =，则25a a +=（ ） A ．12-B ．4-C ．4D ．126．设等差数列{}n a 前n 项和为n S ，等差数列{}n b 前n 项和为n T ，若20121n n S n T n -=-．则33a b =（ ） A ．595B ．11C ．12D ．137．在等比数列{}n a 中，4a ，16a 是方程2640x x ++=的两根，则21810a a a +=（ ） A ．2B ．6C ．2或6D ．-28．已知向量,a b 满足2(1,2),(1,)+==a b m b m ，且a 在b，则实数m =（ ） A ．2±B ．2C．D9．已知ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，ABC ∆的外接圆的面积为3π，且222cos cos cos A B C -+1sin sin A C =+，则ABC ∆的最大边长为（ ）A ．2B ．3CD．10．已知实数x ，y 满足260,{0,2,x y x y x -+≥+≥≤若目标函数z mx y =-+的最大值为210m -+，最小值为22m --，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[]2,1-B ．[]1,3-C ．[]1,2-D ．[]2,311．数列{}n a 满足1(1)21nn n a a n ++-=-，则{}n a 的前20项和为（ ） A ．210B ．220C ．230D ．24012．已知函数()sin 1(0,01)4f x A x A πωω⎛⎫=+-><< ⎪⎝⎭的图象经过点0,2⎛ ⎝⎭，且将图象向左平移3π个长度单位后恰与原图象重合.若对任意的[]12,0,x x t ∈，都有()()122f x f x ≥成立，则实数t 的最大值是（ ）A ．34πB ．23π C ．712π D ．2π 13．在数列{}n a 中，已知11a =，()()122122n n n a a a a a n --=++++≥，则n a =____________．14．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1sin 12n n a n π+⎛⎫=+⎪⎝⎭，则2018S =______. 15．已知,a b R +∈，且()(2)9a b a b a b ++++=，则34a b +的最小值等于_______． 16．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，且(12cos )6cos a C A -=，3c =，则ABC 面积的最大值为________.17．如图,在矩形ABCD 中,点E 是BC 边上的中点,点F 在边CD 上(1)若点F 是CD 上靠近C 的三等分点,设EF AB AD λμ=+,求λμ+的值 (2)若2AB BC ==,当1AE BF ⋅=时,求DF 的长18．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，22181a a =+，公差0d >，1S 、4S 、16S 成等比数列，数列{}n b 满足()22log 1log n n b a =-（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）已知11n n n c a a +=，求数列{}n n c b +的前n 项和n T . 19．如图：在ABC ∆中，22223b ac ac =+-，点D 在线段AC 上，且2AD DC =.（Ⅰ）若2AB =，3BD =．求BC 的长； （Ⅱ）若2AC =，求△DBC 的面积最大值． 20．在ABC ∆中，已知向量cos ,12A B m +⎛⎫= ⎪⎝⎭，且254m =，记角,,A B C 的对边依次为,,a b c .（1）求角C 的大小；（2）若2c =，且ABC ∆是锐角三角形，求22a b +的取值范围.21．如图,某大型景区有两条直线型观光路线AE ，AF ,120EAF ∠=︒ ,点D 位于EAF ∠的平分线上，且与顶点A 相距1公里.现准备过点D 安装一直线型隔离网BC(,B C 分别在AE 和AF 上)，围出三角形区域ABC ，且AB 和AC 都不超过5公里.设AB x =，AC y =(单位：公里).（Ⅰ）求,x y 的关系式；（Ⅱ）景区需要对两个三角形区域ABD ，ACD 进行绿化.经测算，ABD 区城每平方公里的绿化费用是ACD 区域的两倍，试确定,x y 的值,使得所需的总费用最少.22．已知数列{}n a 的各项均为正值，11,a =对任意21,14(1)n n n n N a a a *+∈-=+，2log (1)n n b a =+都成立.(1)求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；(2)令n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T ;(3)当7k >且k *∈N 时，证明对任意,n N *∈都有121111132n n n nk b b b b ++-++++>成立.。