徐汇区2016年高三数学理科一模试卷(含答案)

2０16年上海市徐汇区高考数学一模试卷（文科）一．填空题:（本题满分５6分,每小题4分）1．设抛物线的顶点在原点,准线方程为x=﹣2，则抛物线的标准方程是.2．方程的解是.3．设,则数列｛a n}的各项和为．４．函数的单调递增区间是.x的图象关于直线x＋ｙ=0对称，则f(ｘ）的解析式为f（x) 5．若函数f（x)的图象与对数函数y=log４＝．6.函数f（x）=|4x﹣x2|﹣ａ有四个零点，则a的取值范围是．7.设x、y∈R＋且=1，则x+y的最小值为.8.若三条直线ax+y＋3=０，x＋y+２=０和2x﹣y+1＝0相交于一点，则行列式的值为. ９．在△ABC中，边ＢC=2，AB=，则角C的取值范围是．１0.已知四面体AＢCＤ的外接球球心O在棱ＣD上,，CD=２,则A、B两点在四面体ABCD的外接球上的球面距离是.11.(x3+2x＋１）（3x2+4)展开后各项系数的和等于．12.已知函数f （ｘ)＝x ２﹣1的定义域为D,值域为｛0，１｝，则这样的集合D 最多有 个．13.正四面体的四个面上分别写有数字０，1，2,3把两个这样的四面体抛在桌面上,则露在外面的6个数字之和恰好是9的概率为 ．14.设ｘ1,x 2是实系数一元二次方程ax ２+ｂx+ｃ=0的两个根，若ｘ1是虚数，是实数,则S=1+= ．二.选择题：（本题满分2０分,每小题5分) １５.已知向量与不平行,且,则下列结论中正确的是（ ） A ．向量与垂直 B.向量与垂直 C ．向量与垂直ﻩD.向量与平行1６.若a,b 为实数，则“0＜a ｂ＜1”是“”的( )A.充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 Ｃ.充分必要条件ﻩD ．既不充分也不必要条件１７．（文)设x 、y 均是实数,i 是虚数单位，复数(x ﹣2ｙ)＋(5﹣2ｘ﹣ｙ）i 的实部大于0,虚部不小于0，则复数ｚ=ｘ＋yi 在复平面上的点集用阴影表示为图中的( ）A ．ﻩB. C. D.18．设函数y=f(ｘ）的定义域为Ｄ,若对于任意x 1、x ２∈D,当ｘ１+ｘ2=2a 时,恒有f （x 1)+f(x 2)=2ｂ,则称点(ａ,ｂ）为函数ｙ=f(ｘ）图象的对称中心.研究函数f （x ）=x+sin πx ﹣3的某一个对称中心,并利用对称中心的上述定义,可得到的值为（ )A．﹣4０３１Ｂ.4０31 Ｃ．﹣80６2ﻩD.8062三．解答题:(本大题共5题，满分74分）19.三棱锥S﹣ABC中,SＡ⊥AB，SA⊥AC,AC⊥BC且ＡＣ=2，ＢＣ=，SB=．(1）证明：ＳC⊥ＢC;．（2)求三棱锥的体积V S﹣ABC20．已知函数f(x）=sin2２x﹣sin2ｘcos２x．（1)化简函数ｆ(ｘ）的表达式,并求函数ｆ（x）的最小正周期；）是ｙ=f（x）图象的对称中心，且，求点A的坐标.（2）若点A(x0，y０２１．已知实数x满足32x﹣４﹣+9≤0且ｆ(x)=lｏg2.（1）求实数x的取值范围；(２)求f(x)的最大值和最小值，并求此时ｘ的值.22．数列{a n}满足ａ1=5，且（n≥2，n∈N＊）.（１）求a2,a3,a4;（２）求数列{a n}的通项公式；(３）令b n=,求数列{b n}的最大值与最小值.2３.某地拟建造一座大型体育馆，其设计方案侧面的外轮廓如图所示:曲线AＢ是以点Ｅ为圆心的圆的一部分，其中E(0，t)(０<t≤25）;曲线BC是抛物线ｙ=﹣ax２+50（a＞０）的一部分;CＤ⊥AD，且CD恰好等于圆Ｅ的半径．假定拟建体育馆的高ＯB=50(单位:米,下同）.（1）若t=２０、a＝,求ＣD、AD的长度；（２）若要求体育馆侧面的最大宽度ＤF不超过75米，求ａ的取值范围; （３)若a=,求AD的最大值．20１6年上海市徐汇区高考数学一模试卷(文科）参考答案与试题解析一．填空题：（本题满分５6分,每小题4分)1．设抛物线的顶点在原点，准线方程为ｘ=﹣２,则抛物线的标准方程是ｙ2=8x.【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；方程思想；综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】先根据准线求出ｐ的值,然后可判断抛物线的标准方程的焦点在x轴的正半轴上进而可设抛物线的标准形式,将p的值代入可得答案．【解答】解：由题意可知：＝２,∴p＝4且抛物线的标准方程的焦点在x轴的正半轴上故可设抛物线的标准方程为：y２＝2px将p代入可得y2＝8x．故答案为:y2＝８ｘ.【点评】本题主要考查抛物线的标准方程.属基础题．２．方程的解是ｘ=2 ．【考点】对数的运算性质．【专题】计算题．【分析】由方程可得3x﹣5=4,即3ｘ=3２,由此求得方程的解.【解答】解:由方程可得3x﹣5=4，即3x=32,解得x=2,故答案为ｘ＝2．【点评】本题主要考查对数方程的解法,对数的运算性质应用，属于基础题.3.设，则数列｛a n}的各项和为.【考点】等比数列的前n项和.【专题】计算题．}为公比的等比数列,要求等比数列的各项和,即【分析】由已知可知=,从而可得数列{aｎ求前n项和的极限,由求和公式先求前n项和，然后代入求解极限即可【解答】解：∵=,∴=,则数列｛a n}是以为首项以为公比的等比数列∴=所以数列的各项和S=＝故答案为【点评】本题所涉及的知识:等比数列定义在判断等比数列中的应用,等比数列的求和公式，等比数列的各项和与前ｎ项和是不同的概念,要注意区别４．函数的单调递增区间是[kπ﹣,kπ＋],ｋ∈Z .【考点】正弦函数的图象．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用正弦函数的单调性，得出结论．【解答】解：对于函数,令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，故函数的增区间为,故答案为：[kπ﹣，ｋπ+],k∈Z.【点评】本题主要考查正弦函数的单调性,属于基础题．5．若函数f(x）的图象与对数函数y=log4x的图象关于直线ｘ+y=０对称,则f（x)的解析式为f(x)＝y=﹣4﹣x .【考点】对数函数的图象与性质；函数的图象．【专题】计算题;数形结合．【分析】先设f(x)上一点(x，y），求这个点关于ｘ+y＝０的对称点,则根据题意该对称点在函数y=log4ｘ的图象上，满足函数ｙ=loｇ4x的解析式,从而可求出点(ｘ,y)的轨迹方程【解答】解:设函数f(x)的图象上一点(ｘ，ｙ),则点（x,y）关于x+y=0的对称点(x',y'）在对数函数ｙ=log4x 的图象由题意知，解得ｘ'=﹣y,y'=﹣xｘ的图象又∵点（x'，y＇）在对数函数ｙ=ｌog４∴﹣x＝log4（﹣y)∴﹣y=4﹣ｘ∴y＝﹣4﹣x故答案为:ｙ=﹣4﹣x【点评】本题考查函数的图象与性质，求函数的解析式.解题的关键是会求点个关于直线的对称点．属简单题６．函数f（x）=|4ｘ﹣x２|﹣a有四个零点,则a的取值范围是（0，4）．【考点】函数的零点与方程根的关系.【专题】函数的性质及应用.【分析】由题意可得,直线ｙ=a和函数ｙ=｜4x﹣ｘ2|的图象有4个交点，数形结合求得a的取值范围. 【解答】解:∵函数f（x)=｜4x﹣x2｜﹣a有四个零点,故直线y=a和函数y=|4ｘ﹣x2|的图象有4个交点，如图所示：结合图象可得0＜a<4,故答案为(０,4）．【点评】本题考查了根的存在性及根的个数判断,以及函数与方程的思想，解答关键是运用数形结合的思想，属于中档题.7．设x、ｙ∈R+且=1，则ｘ+y的最小值为16 .【考点】基本不等式．【专题】计算题.【分析】将x、ｙ∈R+且=１，代入x＋y=(x+ｙ)•()，展开后应用基本不等式即可．【解答】解:∵＝1，x、ｙ∈R＋,∴x＋y＝（x＋ｙ）•（)==1０+≥10+２=16(当且仅当，x=4,ｙ＝１2时取“＝”）．故答案为:16.【点评】本题考查基本不等式,着重考查学生整体代入的思想及应用基本不等式的能力,属于中档题．8.若三条直线aｘ+y＋3=0，x+ｙ＋2=0和2x﹣y+１＝０相交于一点，则行列式的值为1.【考点】二阶矩阵；两条直线的交点坐标．【专题】计算题;方程思想；综合法;矩阵和变换.【分析】先由三条直线aｘ+y+3=０,ｘ+ｙ＋2=0和2x﹣y＋1＝0相交于一点,求出a,再由二阶行列式展开法则能求出的值.【解答】解:联立,得x=﹣１，y＝﹣１,∵三条直线ax＋y+3=0,ｘ+y+2=0和2x﹣ｙ+1=０相交于一点,∴直线aｘ+ｙ+3=0过点（﹣1，﹣１），∴﹣a﹣1+3＝0,解得a＝2，∴=a﹣1=2﹣1＝１.故答案为：１.【点评】本题考查二阶行列式的值的求法,是基础题，解题时要认真审题，注意二阶行列式展开法则的合理运用.９.在△AＢＣ中，边BC=2，AＢ=,则角C的取值范围是（0，].【考点】余弦定理的应用．【专题】综合题．【分析】利用余弦定理构建方程,利用判别式可得不等式,从而可求角C的取值范围.【解答】解:由题意,设ＡC＝ｂ,3＝ｂ2+4﹣4bcosC∴b２﹣4bcosC+1=０∴△＝16cos2Ｃ﹣４≥０∵AB<BC∴Ｃ不可能是钝角∴∴角Ｃ的取值范围是（0,]故答案为:(0,]【点评】本题考查余弦定理的运用，考查解不等式,解题的关键是利用余弦定理构建方程，利用判别式得不等式.10．已知四面体ABCD的外接球球心O在棱ＣD上，，ＣD=2,则Ａ、B两点在四面体ABＣＤ的外接球上的球面距离是.【考点】球面距离及相关计算．【专题】计算题；方程思想；综合法;球．【分析】根据球心到四个顶点距离相等可推断出O为ＣD的中点，且OA＝ＯB=OC=OD,进而在△A０B 中,利用余弦定理求得cos∠AOB的值,则∠AＯB可求,进而根据弧长的计算方法求得答案．【解答】解:球心到四个顶点距离相等,故球心Ｏ在ＣD中点,则OＡ＝ＯＢ＝OC=OD=1，再由AB＝,在△Ａ0B中，利用余弦定理cos∠ＡOＢ=＝﹣，则∠AＯＢ=，则弧AB=•１＝.故答案为：．【点评】本题主要考查了余弦定理的应用、四面体外接球的性质等,考查了学生观察分析和基本的运算能力．１1．(x3+2ｘ+１）(３x２+4)展开后各项系数的和等于２８.【考点】二项式系数的性质．【专题】对应思想；转化法；二项式定理.【分析】根据题意，令x=１,代入多项式即可求出展开式中各项系数的和．【解答】解：(x3+2ｘ+1）(３x2+4)展开后含有字母x，令x=1,则展开式中各项系数的和为:(13+2×１+1)(3×１2+4)＝28.故答案为:28.【点评】本题考查了求多项式展开式的各项系数和的应用问题,解题时应利用x=1进行计算,是基础题.１2.已知函数f(x)=x2﹣1的定义域为D，值域为｛0，1｝，则这样的集合Ｄ最多有9 个．【考点】函数的定义域及其求法;二次函数的性质.【专题】计算题;函数思想;综合法;函数的性质及应用.【分析】根据值域中的几个函数值,结合函数表达式推断出定义域中可能出现的几个x值，再加以组合即可得到定义域Ｄ的各种情况．【解答】解:∵ｆ(x）=x2﹣1,∴f(±1)=０,f(±)=1，因此，定义域D有：{1,}，{﹣1，﹣},{﹣１，}，｛1,﹣}，｛﹣1，1，}，{﹣１,1,﹣},{1,，﹣},{﹣1，,﹣},｛﹣1，1，,﹣}共9种情况．故答案为:9.【点评】本题给出二次函数的一个值域，要我们求函数的定义域最多有几个,着重考查了函数的定义与进行简单合情推理等知识，属于基础题．１３.正四面体的四个面上分别写有数字0，1，2，３把两个这样的四面体抛在桌面上,则露在外面的6个数字之和恰好是9的概率为.【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【专题】计算题;转化思想;综合法；概率与统计.【分析】称求出基本事件总数ｎ=4×4=１6,再由列举法求出露在外面的６个数字之和恰好是９包含的基本事件个数,由此能求出露在外面的6个数字之和恰好是9的概率．【解答】解：正四面体的四个面上分别写有数字0,1,2，3把两个这样的四面体抛在桌面上，露在外面的６个数字之和包含的基本事件总数n=4×4＝16，设两个正四面体中压在桌面的数字分别为ｍ，ｎ,则露在外面的6个数字之和恰好是9的基本情况有：(０,3),(3，０)，(1，２)，（2,1）,共包含４个基本事件,∴露在外面的6个数字之和恰好是９的概率ｐ=.故答案为:.【点评】本题考查概率的求法，是基础题,解题时要认真审题,注意列举法的合理运用．1４．设ｘ1，x２是实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根,若x1是虚数，是实数，则S=1+＝﹣2.【考点】复数代数形式的混合运算.【专题】方程思想;转化思想;数系的扩充和复数.【分析】设x1=s+ti(s,ｔ∈Ｒ，t≠0)．则x2=s﹣ti．则x1+x２＝2s,ｘ１x２=s2＋ｔ２.利用=s3﹣３ｓt2＋(3ｓ2ｔ﹣ｔ3)i是实数，可得3s２=t2.于是ｘ1+x２=2s,ｘ1x2＝s2+t2.+１=０，取＝ω,则ω２＋ω+1=０，ω3=1.代入化简即可得出.【解答】解:设x１=ｓ＋ti（s,ｔ∈R，t≠0)．则x2＝s﹣tｉ.则ｘ１+x2=2s,x1x2=ｓ2+t2.∵==ｓ3﹣3st2+（3ｓ２t﹣ｔ3)ｉ是实数,∴3ｓ2t﹣t3=0,∴3s2=t２．∴x1+x2=2ｓ，xx2＝s2+t２.１∴4s2＝=+２x1x2＝x1ｘ2，∴+1=0，取＝ω，则ω２+ω+１=0，∴ω３=1．则S＝1＋=1+ω+ω２+ω4+ω8+ω1６+ω32=0+ω+ω２＋ω+ω２＝﹣２．故答案为:﹣2．【点评】本题考查了复数的运算法则、实系数一元二次方程虚根成对原理及其根与系数的关系,考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二.选择题:(本题满分２0分,每小题5分)15.已知向量与不平行，且，则下列结论中正确的是()A.向量与垂直ﻩB.向量与垂直C．向量与垂直ﻩＤ．向量与平行【考点】平面向量数量积的运算．【专题】对应思想;分析法;平面向量及应用.【分析】计算各向量的数量积判断数量积是否为0得出向量是否垂直.【解答】解:设的夹角为θ,则0<θ<π，∵（)•（)＝=0，∴()⊥（）,故A正确；D错误.∵(）•＝﹣=﹣cｏsθ≠0，∴与不垂直;故B错误;∵=＝+ｃosθ≠0,∴与不垂直,故C错误;故选:Ａ．【点评】本题考查了平面向量的数量积与向量垂直的关系，属于基础题.1６．若a，b为实数,则“0<ab<1”是“”的（)A.充分而不必要条件ﻩB．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断;不等式的基本性质．【专题】简易逻辑．【分析】根据不等式的性质,我们先判断“０<ab<1”⇒“”与“”⇒“0<ab＜1”的真假,然后结合充要条件的定义即可得到答案．【解答】解:若“0<ab<１”当a,ｂ均小于0时，即“0<ab＜１”⇒“”为假命题若“”当a<0时，ab＞1即“”⇒“0＜aｂ＜1”为假命题综上“０<ａｂ＜1”是“”的既不充分也不必要条件故选D.【点评】本题考查的知识点是必要条件，充分条件与充要条件的判断，及不等式的性质，其中根据不等式的性质判断“0<ab<1”⇒“”与“”⇒“0<ab＜1”的真假，是解答本题的关键.１7.（文)设x、y均是实数，ｉ是虚数单位，复数（ｘ﹣2ｙ）+(５﹣２x﹣y）i的实部大于0，虚部不小于0，则复数z＝x+ｙi在复平面上的点集用阴影表示为图中的（）A．B． C. D.【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【专题】数系的扩充和复数．【分析】由复数（ｘ﹣2y)＋（５﹣２x﹣y)i的实部大于０，虚部不小于0,可得,利用线性规划的知识可得可行域即可.【解答】解：∵复数（x﹣2y）+（5﹣2x﹣y)ｉ的实部大于0，虚部不小于0，∴,由线性规划的知识可得:可行域为直线x＝2y的右下方和直线的左下方,因此为A．故选:A.【点评】本题考查了复数的几何意义和线性规划的可行域,属于中档题．18．设函数y＝f(x)的定义域为D,若对于任意x1、x2∈D,当ｘ１＋x2＝2a时,恒有f（ｘ1)+f(x2）=２b，则称点（a，ｂ)为函数y＝ｆ（x）图象的对称中心.研究函数f（x）=x+sｉnπx﹣３的某一个对称中心,并利用对称中心的上述定义,可得到的值为( )A．﹣4031ﻩB．4０３1ﻩC．﹣８0６２ﻩD.８062【考点】函数的值；抽象函数及其应用．【专题】计算题;转化思想；综合法;函数的性质及应用.【分析】利用函数对称中心的性质得到当x１+x2＝2时，恒有f（x1)＋f(x2）＝﹣4，能此能求出结果. 【解答】解：∵ｆ（x)=x＋sｉnπx﹣3,∴当ｘ=１时,f(1）=1+sinπ﹣３=﹣2，∴根据对称中心的定义，可得当x１＋x２=2时,恒有ｆ（x1）+ｆ(x2）=﹣4，∴=2０１5[f(）+ｆ()]+f（）=201５×（﹣4）﹣２=﹣8０62.故选：Ｃ.【点评】本题考查函数值的求法,是基础题，解题时要认真审题,注意函数性质的合理运用.三．解答题：（本大题共５题,满分7４分）19．三棱锥S﹣AＢC中，SA⊥AB，ＳＡ⊥AC,AC⊥ＢＣ且AC=２，ＢＣ=，SB=．（１)证明：ＳC⊥BC；（2)求三棱锥的体积V S．﹣ABC【考点】直线与平面垂直的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积.【专题】计算题;空间位置关系与距离.【分析】(１)因为SA⊥面ABC,AC为SC在面AＢＣ内的射影，由三垂线定理可直接得证．(2）由题意可直接找出侧面SＢＣ与底面ABC所成二面角的平面角是∠SCA，在直角三角形中求解即可．【解答】解:（1）∵SA⊥AＢSＡ⊥AC AB∩AC=A∴SA⊥平面ABC,∴AＣ为SC在平面ABC内的射影,又∵BC⊥ＡＣ，由三重线定理得：ＳＣ⊥ＢC(2）在△ＡBC中,AＣ⊥ＢC,AC＝２,BC=,∴AB==，∵SＡ⊥ＡB，∴△ＳAB为Ｒt△，SB=，∴ＳA==2，∵ＳA⊥平面AＢC，∴SＡ为棱锥的高，∴Ｖ=××ＡＣ×BC×ＳA=×2××=．Ｓ﹣ABC【点评】本题考查了三垂线定理的应用，考查了棱锥的体积计算及学生的推理论证能力,计算能力;三垂线定理也可看作是线线垂直的判定定理，是证明异面直线垂直的常用方法.20．已知函数f(x）＝ｓin２２ｘ﹣ｓin2xcoｓ2x.(１)化简函数ｆ(x）的表达式，并求函数f（x）的最小正周期;(2）若点A（x０,y0)是ｙ=f(x)图象的对称中心，且，求点A的坐标．【考点】三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象．【专题】函数思想;综合法；三角函数的图像与性质.【分析】（1）利用降次公式，二倍角公式，和角公式化简f（x)＝,代入周期公式计算周期；（２）由对称中心的性质可知sｉｎ（４ｘ0+)=0，结合x0∈［0,]求出x0，得到A点坐标.【解答】解：（1）=,所以f(ｘ)的最小正周期.（2)∵点Ａ（x0,y0）是y=f（ｘ）图象的对称中心,∴sｉn(4x0＋）＝0,∴４x0+=kπ，x0=﹣．ｋ∈Ｚ．∵x０∈［0，］,∴，解得k＝1或ｋ=2,∴x0=或x０＝．∴点Ａ的坐标为或.【点评】本题考查了三角函数的恒等变换，正弦函数的图象与性质,属于中档题．21．已知实数x满足３2ｘ﹣４﹣+9≤0且ｆ（x)＝ｌoｇ２．(1）求实数x的取值范围；（2）求f(x）的最大值和最小值,并求此时x的值．【考点】对数的运算性质；函数的最值及其几何意义.【专题】函数思想;综合法;函数的性质及应用．【分析】（1）将3x﹣2看作一个整体,因式分解结合指数的运算性质从而求出x的范围即可；（2）先将ｆ(x)配方，结合二次函数的性质求出其最值即可．【解答】解:(1）由,得3２x﹣4﹣10•3ｘ﹣２＋9≤0,即(3ｘ﹣2﹣1）（３x﹣２﹣9）≤0,∴1≤3x ﹣2≤9，2≤ｘ≤4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ (2)因为=,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 当,即时,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣当log 2x=1或log 2x ＝2,即x ＝2或x ＝4时,y ｍax =0.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣【点评】本题考察了对数以及指数的运算性质，考察二次函数的性质，是一道中档题.22．数列{a n }满足a １＝5，且(ｎ≥２，n ∈N *）.（1)求a ２，ａ３，a ４;（2)求数列{a n ｝的通项公式； (３)令b n =，求数列{b n ｝的最大值与最小值．【考点】数列递推式；数列的求和.【专题】方程思想;转化思想；等差数列与等比数列. 【分析】(1）由a 1=5,且（n ≥２,ｎ∈N *）．分别令n ＝２,3，4,即可得出.(２)设数列的前n 项和为Ｓn ，利用递推关系可得：，得即,再利用等比数列的通项公式即可得出.（3）,变形利用单调性即可得出.【解答】解：（1）∵a １=5,且(n ≥2,ｎ∈N *）．分别令n ＝2,3,４,可得:．(２）设数列的前n项和为S n，则,∴,得即，∴｛a n}从第二项起成等比数列,又a2=1０，∴．(3)，由，得,所以当n=3时，，当n＝4时，但，综上所述,,（ｂn)max=b1=5．【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式、数列的单调性、递推关系，考查了推理能力与计算能力,属于中档题.2３.某地拟建造一座大型体育馆，其设计方案侧面的外轮廓如图所示:曲线AB是以点E为圆心的圆的一部分，其中E（0,t）(0＜t≤25);曲线BC是抛物线y＝﹣aｘ2+50（a＞0）的一部分；CＤ⊥AD,且CD恰好等于圆Ｅ的半径.假定拟建体育馆的高OB=50(单位:米,下同）．（１)若t=20、ａ=，求CD、AD的长度;(2）若要求体育馆侧面的最大宽度ＤＦ不超过75米，求a的取值范围;(3）若a=，求AD的最大值．【考点】直线和圆的方程的应用.【专题】数形结合;综合法;直线与圆．【分析】(1）分别求出ＯD和AＯ的长,相加即可；(2）问题转化为恒成立,根据级别不等式的性质解出即可;(3）法一：根据三角函数知识解答；法二:根据圆的知识解答即可.【解答】解：(1)因为圆E的半径为OＢ﹣ＯＥ=５0﹣ｔ=３0，所以CD=30.在中令y=30,得．在圆E:ｘ2+(ｙ﹣２0)2＝３02,中令ｙ=0，得,所以．（2)由圆Ｅ的半径为ＯB﹣ＯＥ＝50﹣ｔ,得CD=50﹣t．在y=﹣ax2+50中令y＝50﹣t,得.．由题意知,对t∈（0，25]恒成立，所以恒成立.当,即t=25时,取得最小值10，故,解得.（3）当时,．又圆E的方程为x2＋(y﹣t）2=（５0﹣t)2，令y＝0,得,所以,从而．下求的最大值．方法一:令,则=，其中φ是锐角,且, 从而当时，AD取得最大值.方法二:令，则题意相当于：已知x２＋y2=2５(x≥0，y≥0),求z=AＤ=5（2ｘ＋y)的最大值．当直线与圆弧x2+y2=25（x≥0，y≥0）相切时,z取得最大值.答：当t=5米时,AD的最大值为米．【点评】本题考查了直线和圆的位置关系，考查三角函数问题，考查函数恒成立问题，是一道难题．。

上海市徐汇区2015 -2016学年度第一学期期末试卷高三理科数学分析一、综述、易错点和难点分析这套试卷无论是试题结构或试题形式，还是解决方法上都是延续以往的特点。

首先是依托教材，部分题型较新，保持了能力立意；二是二期课改的教材的新增内容也占一定比例，紧扣“标准”；三是比较注重“双基”的考查。

主要体现在：1.突出基本知识，基本技能的考查；2. 对于指点交叉考查的比较多；3. 注重对知识的灵活应用能力；4. 常考的知识点并没有什么变化；5. 对于新增部分的知识点考查比较多。

注重基础，考查课本中的基本知识和基本技能。

教材的新增内容占相当一部分比例，并且与其它知识点相结合。

考查学生逻辑思维能力，培养学生利用数学思想和方法解决问题的能力。

填空题、选择题考查了抛物线、函数、等比数列、三角函数、不等式、行列式、立体几何等知识点，大部分属于常规题型，是学生在平时训练中常见的类型．同时，在函数、行列式等题目上进行了一些微创新，这些题目的设计回归教材和中学教学实际．知识点考查全面，覆盖了考纲中要求的所有知识点。

教材的新增内容占相当比例，但难度有所增加，并且与其它知识点相结合。

突出能力考查，重视思想方法。

试卷总体上体现了能力立意。

一是试卷前面比较注重双基考查，布局上基础知识考查居多题目比较简单顺手。

后面对于数学思维的考查要求比较高，部分题目还体现发散和探索的要求。

这些年高考数学题型和数量已成定势，一般来说，能力立意保持依旧。

能力立意一直是上海高考数学卷的特色之一。

这套试题依然设计试题考查自主学习和探究问题的能力。

比如，填空题中关于矩阵对角线元素之和的题目，要求考生具有一定的观察、分析能力以及归纳发现能力；14题在分类讨论、思维的严密性等方面具有一定要求。

这种题目考的就是学生是不是具有细心与耐心的品质，做出这种题目要么就是有超人一等能直接洞察题目本质的能力，要么就是勤勤恳恳一个一个给他举出来。

在提供问题解决路径的同时也适度降低了试题的难度。

2016年上海市徐汇区高考数学一模试卷（理科）一．填空题：（本题满分56分，每小题4分）1．（4分）设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝﹣2，则抛物线的标准方程是．2．（4分）方程的解是．3．（4分）设，则数列{a n}的各项和为．4．（4分）函数y＝cos2x+sin x cos x的最小值为．5．（4分）若函数f（x）的图象与对数函数y＝log4x的图象关于直线x+y＝0对称，则f（x）的解析式为f（x）＝．6．（4分）函数f（x）＝|4x﹣x2|﹣a有四个零点，则a的取值范围是．7．（4分）设x、y∈R+且＝1，则x+y的最小值为．8．（4分）若三条直线ax+y+3＝0，x+y+2＝0和2x﹣y+1＝0相交于一点，则行列式的值为．9．（4分）（x3+2x+1）（3x2+4）展开后各项系数的和等于．10．（4分）已知四面体ABCD的外接球球心O在棱CD上，，CD＝2，则A、B两点在四面体ABCD的外接球上的球面距离是．11．（4分）已知函数f（x）＝x2﹣1的定义域为D，值域为{﹣1，0，1}，试确定这样的集合D最多有个．12．（4分）正四面体的四个面上分别写有数字0，1，2，3把两个这样的四面体抛在桌面上，则露在外面的6个数字之和恰好是9的概率为．13．（4分）设x1，x2是实系数一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，若x1是虚数，是实数，则S＝1+＝．14．（4分）已知O是锐角△ABC的外心，．若，则实数m＝．二．选择题：（本题满分20分，每小题5分）15．（5分）已知向量与不平行，且，则下列结论中正确的是（）A．向量与垂直B．向量与垂直C．向量与垂直D．向量与平行16．（5分）若a，b为实数，则“0＜ab＜1”是“b＜”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件17．（5分）（文）设x、y均是实数，i是虚数单位，复数（x﹣2y）+（5﹣2x﹣y）i的实部大于0，虚部不小于0，则复数z＝x+yi在复平面上的点集用阴影表示为图中的（）A．B．C．D．18．（5分）设函数y＝f（x）的定义域为D，若对于任意x1、x2∈D，当x1+x2＝2a时，恒有f（x1）+f（x2）＝2b，则称点（a，b）为函数y＝f（x）图象的对称中心．研究函数f（x）＝x+sinπx﹣3的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到的值为（）A．﹣4031B．4031C．﹣8062D．8062三．解答题：（本大题共5题，满分74分）19．（12分）三棱锥S﹣ABC中，SA⊥AB，SA⊥AC，AC⊥BC且AC＝2，BC＝，SB＝．（1）证明：SC⊥BC；（2）求三棱锥的体积V S．﹣ABC20．（14分）已知实数x满足（）2x﹣4﹣（）x﹣（）x﹣2+≤0且f（x）＝log2（1）求实数x的取值范围；（2）求f（x）的最大值和最小值，并求此时x的值．21．（14分）节能环保日益受到人们的重视，水污染治理也已成为“十三五”规划的重要议题．某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的两个顶点A、B及CD的中点P处，AB＝30km，BC＝15km，为了处理三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界），且与A、B等距离的一点O处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO、BO、PO．设∠BAO＝x（弧度），排污管道的总长度为ykm．（1）将y表示为x的函数；（2）试确定O点的位置，使铺设的排污管道的总长度最短，并求总长度的最短公里数（精确到0.01km）．22．（16分）给定数列{a n}，记该数列前i项a1，a2，…，a i中的最大项为A i，即A i＝max{a1，a2，…，a i}；该数列后n﹣i项a i+1，a i+2，…，a n中的最小项为B i，即B i＝min{a i+1，a i+2，…，a n}；d i＝A i﹣B i（i＝1，2，3，…，n﹣1）（1）对于数列：3，4，7，1，求出相应的d1，d2，d3；（2）若S n是数列{a n}的前n项和，且对任意n∈N*，有，其中λ为实数，λ＞0且．①设，证明数列{b n}是等比数列；②若数列{a n}对应的d i满足d i+1＞d i对任意的正整数i＝1，2，3，…，n﹣2恒成立，求实数λ的取值范围．23．（18分）已知直线l1、l2与曲线W：mx2+ny2＝1（m＞0，n＞0）分别相交于点A、B和C、D，我们将四边形ABCD称为曲线W的内接四边形．（1）若直线l1：y＝x+a和l2：y＝x+b将单位圆W：x2+y2＝1分成长度相等的四段弧，求a2+b2的值；（2）若直线与圆W：x2+y2＝4分别交于点A、B和C、D，求证：四边形ABCD为正方形；（3）求证：椭圆的内接正方形有且只有一个，并求该内接正方形的面积．2016年上海市徐汇区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一．填空题：（本题满分56分，每小题4分）1．（4分）设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝﹣2，则抛物线的标准方程是y2＝8x．【解答】解：由题意可知：＝2，∴p＝4且抛物线的标准方程的焦点在x轴的正半轴上故可设抛物线的标准方程为：y2＝2px将p代入可得y2＝8x．故答案为：y2＝8x．2．（4分）方程的解是x＝2．【解答】解：由方程可得3x﹣5＝4，即3x＝32，解得x＝2，故答案为x＝2．3．（4分）设，则数列{a n}的各项和为．【解答】解：∵＝，∴＝，则数列{a n}是以为首项以为公比的等比数列∴＝所以数列的各项和S＝＝故答案为4．（4分）函数y＝cos2x+sin x cos x的最小值为﹣．【解答】解：函数y＝cos2x+sin x cos x＝+sin2x＝+sin（2x+），故当2x+＝2kπ﹣，k∈z时，函数y取得最小值为﹣1＝﹣，故答案为：﹣．5．（4分）若函数f（x）的图象与对数函数y＝log4x的图象关于直线x+y＝0对称，则f（x）的解析式为f（x）＝y＝﹣4﹣x．【解答】解：设函数f（x）的图象上一点（x，y），则点（x，y）关于x+y＝0的对称点（x'，y'）在对数函数y＝log4x的图象由题意知，解得x'＝﹣y，y'＝﹣x又∵点（x'，y'）在对数函数y＝log4x的图象∴﹣x＝log4（﹣y）∴﹣y＝4﹣x∴y＝﹣4﹣x故答案为：y＝﹣4﹣x6．（4分）函数f（x）＝|4x﹣x2|﹣a有四个零点，则a的取值范围是（0，4）．【解答】解：∵函数f（x）＝|4x﹣x2|﹣a有四个零点，故直线y＝a和函数y＝|4x ﹣x2|的图象有4个交点，如图所示：结合图象可得0＜a＜4，故答案为（0，4）．7．（4分）设x、y∈R+且＝1，则x+y的最小值为16．【解答】解：∵＝1，x、y∈R+，∴x+y＝（x+y）•（）＝＝10+≥10+2＝16（当且仅当，x＝4，y＝12时取“＝”）．故答案为：16．8．（4分）若三条直线ax+y+3＝0，x+y+2＝0和2x﹣y+1＝0相交于一点，则行列式的值为0．【解答】解：解方程组得交点坐标为（﹣1，﹣1），代入ax+y+3＝0，得a＝2．行列式＝2+4﹣3﹣6+4﹣1＝0．故答案为：0．9．（4分）（x3+2x+1）（3x2+4）展开后各项系数的和等于28．【解答】解：（x3+2x+1）（3x2+4）展开后含有字母x，令x＝1，则展开式中各项系数的和为：（13+2×1+1）（3×12+4）＝28．故答案为：28．10．（4分）已知四面体ABCD的外接球球心O在棱CD上，，CD＝2，则A、B两点在四面体ABCD的外接球上的球面距离是．【解答】解：球心到四个顶点距离相等，故球心O在CD中点，则OA＝OB＝OC＝OD＝1，再由AB＝，在△A0B中，利用余弦定理cos∠AOB＝＝﹣，则∠AOB＝，则弧AB＝•1＝．故答案为：．11．（4分）已知函数f（x）＝x2﹣1的定义域为D，值域为{﹣1，0，1}，试确定这样的集合D最多有9个．【解答】解：∵f（x）＝x2﹣1∴f（0）＝﹣1，f（±1）＝0，f（±）＝1因此，定义域D有：{0，1，}，{0，﹣1，﹣}，{0，﹣1，}，{0，1，﹣}，{0，﹣1，1，}，{0，﹣1，1，﹣}，{0，1，，﹣}，{0，﹣1，，﹣}，{0，﹣1，1，，﹣}共9种情况故答案为：912．（4分）正四面体的四个面上分别写有数字0，1，2，3把两个这样的四面体抛在桌面上，则露在外面的6个数字之和恰好是9的概率为．【解答】解：正四面体的四个面上分别写有数字0，1，2，3把两个这样的四面体抛在桌面上，露在外面的6个数字之和包含的基本事件总数n＝4×4＝16，设两个正四面体中压在桌面的数字分别为m，n，则露在外面的6个数字之和恰好是9的基本情况有：（0，3），（3，0），（1，2），（2，1），共包含4个基本事件，∴露在外面的6个数字之和恰好是9的概率p＝．故答案为：．13．（4分）设x1，x2是实系数一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，若x1是虚数，是实数，则S＝1+＝﹣2．【解答】解：设x1＝s+ti（s，t∈R，t≠0）．则x2＝s﹣ti．则x1+x2＝2s，x1x2＝s2+t2．∵＝＝+i是实数，∴3s2t﹣t3＝0，∴3s2＝t2．∴x1+x2＝2s，x1x2＝s2+t2．∴4s2＝＝+2x1x2＝x1x2，∴+1＝0，取＝ω，则ω2+ω+1＝0，∴ω3＝1．则S＝1+＝1+ω+ω2+ω4+ω8+ω16+ω32＝0+ω+ω2+ω+ω2＝﹣2．故答案为：﹣2．14．（4分）已知O是锐角△ABC的外心，．若，则实数m＝．【解答】解：设外接圆的半径为R，∵，∴（﹣）+（﹣）＝2m，∵∠AOB＝2∠C，∠AOC＝2∠B，∴（﹣）•+（﹣）•＝2m•，即•R2•（cos2C﹣1）+•R2•（cos2B﹣1）＝﹣2mR2，即﹣2sin C cos B+（﹣2sin B cos C）＝﹣2m，故sin C cos B+sin B cos C＝m，故sin（B+C）＝m，故m＝sin A＝，故答案为：．二．选择题：（本题满分20分，每小题5分）15．（5分）已知向量与不平行，且，则下列结论中正确的是（）A．向量与垂直B．向量与垂直C．向量与垂直D．向量与平行【解答】解：设的夹角为θ，则0＜θ＜π，∵（）•（）＝＝0，∴（）⊥（），故A正确；D错误．∵（）•＝﹣＝﹣cosθ≠0，∴与不垂直；故B错误；∵＝＝+cosθ≠0，∴与不垂直，故C错误；故选：A．16．（5分）若a，b为实数，则“0＜ab＜1”是“b＜”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若“0＜ab＜1”当a，b均小于0时，即“0＜ab＜1”⇒“”为假命题若“”当a＜0时，ab＞1即“”⇒“0＜ab＜1”为假命题综上“0＜ab＜1”是“”的既不充分也不必要条件故选：D．17．（5分）（文）设x、y均是实数，i是虚数单位，复数（x﹣2y）+（5﹣2x﹣y）i的实部大于0，虚部不小于0，则复数z＝x+yi在复平面上的点集用阴影表示为图中的（）A．B．C．D．【解答】解：∵复数（x﹣2y）+（5﹣2x﹣y）i的实部大于0，虚部不小于0，∴，由线性规划的知识可得：可行域为直线x＝2y的右下方和直线的左下方，因此为A．故选：A．18．（5分）设函数y＝f（x）的定义域为D，若对于任意x1、x2∈D，当x1+x2＝2a时，恒有f（x1）+f（x2）＝2b，则称点（a，b）为函数y＝f（x）图象的对称中心．研究函数f（x）＝x+sinπx﹣3的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到的值为（）A．﹣4031B．4031C．﹣8062D．8062【解答】解：∵f（x）＝x+sinπx﹣3，∴当x＝1时，f（1）＝1+sinπ﹣3＝﹣2，∴根据对称中心的定义，可得当x1+x2＝2时，恒有f（x1）+f（x2）＝﹣4，∴＝2015[f（）+f（）]+f（）＝2015×（﹣4）﹣2＝﹣8062．故选：C．三．解答题：（本大题共5题，满分74分）19．（12分）三棱锥S﹣ABC中，SA⊥AB，SA⊥AC，AC⊥BC且AC＝2，BC＝，SB＝．（1）证明：SC⊥BC；（2）求三棱锥的体积V S．﹣ABC【解答】解：（1）∵SA⊥ABSA⊥ACAB∩AC＝A∴SA⊥平面ABC，∴AC为SC在平面ABC内的射影，又∵BC⊥AC，由三垂线定理得：SC⊥BC（2）在△ABC中，AC⊥BC，AC＝2，BC＝，∴AB＝＝，∵SA⊥AB，∴△SAB为Rt△，SB＝，∴SA＝＝2，∵SA⊥平面ABC，∴SA为棱锥的高，＝××AC×BC×SA＝×2××＝．∴V S﹣ABC20．（14分）已知实数x满足（）2x﹣4﹣（）x﹣（）x﹣2+≤0且f（x）＝log2（1）求实数x的取值范围；（2）求f（x）的最大值和最小值，并求此时x的值．【解答】解：（1）∵（）2x﹣4﹣（）x﹣（）x﹣2+≤0，∴81（）2x﹣10（）x+≤0，∴≤9（）x≤1，∴0≤x﹣2≤2，故实数x的取值范围为[2，4]；（2）f（x）＝log2＝（log2x﹣1）（log2x﹣2）＝（log2x﹣）2﹣，∵x∈[2，4]，∴log2x∈[1，2]，∴﹣≤（log2x﹣）2﹣≤0，∴当x＝2时，f（x）有最小值﹣，当x＝2或4时，f（x）有最大值0．21．（14分）节能环保日益受到人们的重视，水污染治理也已成为“十三五”规划的重要议题．某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的两个顶点A、B及CD的中点P处，AB＝30km，BC＝15km，为了处理三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界），且与A、B等距离的一点O处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO、BO、PO．设∠BAO＝x（弧度），排污管道的总长度为ykm．（1）将y表示为x的函数；（2）试确定O点的位置，使铺设的排污管道的总长度最短，并求总长度的最短公里数（精确到0.01km）．【解答】解：（1）由已知得，即（其中）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）记，则sin x+p cos x＝2，则有，解得或﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）由于y＞0，所以，当，即点O在CD中垂线上离点P距离为km处，y取得最小值（km）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）22．（16分）给定数列{a n}，记该数列前i项a1，a2，…，a i中的最大项为A i，即A i＝max{a1，a2，…，a i}；该数列后n﹣i项a i+1，a i+2，…，a n中的最小项为B i，即B i＝min{a i+1，a i+2，…，a n}；d i＝A i﹣B i（i＝1，2，3，…，n﹣1）（1）对于数列：3，4，7，1，求出相应的d1，d2，d3；（2）若S n是数列{a n}的前n项和，且对任意n∈N*，有，其中λ为实数，λ＞0且．①设，证明数列{b n}是等比数列；②若数列{a n}对应的d i满足d i+1＞d i对任意的正整数i＝1，2，3，…，n﹣2恒成立，求实数λ的取值范围．【解答】解：（1）∵给定数列{a n}，A i＝max{a1，a2，…，a i}，B i＝min{a i+1，a i+2，…，a n}，d i＝A i﹣B i（i＝1，2，3，…，n﹣1）对于数列：3，4，7，1，A1＝3，B1＝1，d1＝3﹣1＝2，A2＝4，B2＝1，d2＝4﹣1＝3，A3＝7，B3＝1，d3＝7﹣1＝6，∴d1＝2，d2＝3，d3＝6．（3分）证明：（2）①当n＝1时，（1﹣λ）a1＝﹣λa1+1，∴a1＝1，（4分）当n≥2时，，，两式相减得，∴＝，又，∴数列{b n}是以为首项、λ为公比的等比数列．（9分）解：②由①知：；又d i＝max{a1，a2，…，a i}﹣min{a i+1，a i+2，…，a n}，d i+1＝max{a1，a2，…，a i+1}﹣min{a i+2，a i+3，…，a n}由于min{a i+1，a i+2，…，a n}≤min{a i+2，a i+3，…，a n}，∴由d i+1＞d i推得max{a1，a2，…，a i}＜max{a1，a2，…，a i+1}．∴max{a1，a2，…，a i+1}＝a i+1对任意的正整数i＝1，2，3，…，n﹣2恒成立．（13分）∵d i＝a i﹣a i+1，d i+1＝a i+1﹣a i+2，∴．（14分）由d i﹣d i+1＜0，得，但λ＞0且λ≠1，∴，解得，∴．（16分）23．（18分）已知直线l1、l2与曲线W：mx2+ny2＝1（m＞0，n＞0）分别相交于点A、B和C、D，我们将四边形ABCD称为曲线W的内接四边形．（1）若直线l1：y＝x+a和l2：y＝x+b将单位圆W：x2+y2＝1分成长度相等的四段弧，求a2+b2的值；（2）若直线与圆W：x2+y2＝4分别交于点A、B和C、D，求证：四边形ABCD为正方形；（3）求证：椭圆的内接正方形有且只有一个，并求该内接正方形的面积．【解答】解：（1）由于直线l1：y＝x+a和l2：y＝x+b将单位圆W：x2+y2＝（1分）成长度相等的四段弧，所以，在等腰直角△OAB中，圆心O（0，0）到直线l1：y＝x+a的距离为，同理|b|＝1，∴a2+b2＝2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（2）由题知，直线l1，l2关于原点对称，因为圆W：x2+y2＝4的圆心为原点O，所以，故四边形ABCD为平行四边形．易知，O点在对角线AC，BD上．联立解得，由得＝，所以，于是，因为，所以四边形ABCD为正方形．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）（3）证明：假设椭圆存在内接正方形，其四个顶点为A，B，C，D．当直线AB的斜率不存在时，设直线AB、CD的方程为x＝m，x＝n，因为A，B，C，D在椭圆上，所以，由四边形ABCD为正方形，易知，，直线AB、CD的方程为，正方形ABCD的面积．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）当直线AB的斜率存在时，设直线AB、CD的方程分别为l AB：y＝kx+m，l CD：y ＝kx+n（k≠0，m≠0），显然m≠n．设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），联立得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2＝0，所以代人，得，同理可得，因为ABCD为正方形，所以|AB|2＝|CD|2解得m2＝n2因为m≠n，所以m＝﹣n，因此，直线AB与直线CD关于原点O对称，所以原点O为正方形的中心（由m＝﹣n知，四边形ABCD为平行四边形）由ABCD为正方形知，即代人得，解得（注：此时四边形ABCD为菱形）由ABCD为正方形知|AB|＝|AD|，因为直线AB与直线CD的距离为，故但，由得4k4+5k2+1＝4k4+4k2+1，∴k2＝0即k＝0，与k≠0矛盾．所以|AD|2≠|AB|2，这与|AD|＝|AB|矛盾．即当直线AB的斜率k≠0存在时，椭圆内不存在正方形．综上所述，椭圆的内接正方形有且只有一个，且其面积为．﹣﹣（18分）。

2016-2017学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科2016. 12一. 填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，其中第1题至第6题每小题4分，第7 题至笫12题每小题5分，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填対得 4分（或5分），否则一律得0分.2.已知抛物线C 的顶点在平面直角坐标系原点，焦点在轴上，若C 经过点M （l,3）,则其焦点 到准线的距离为 ______________ .4.若复数满足：二內+ i （是虚数单位），贝ijz 7 ,5•在（x + —）6的二项展开式中第四项的系数是 _________ •（结果用数值表示）x6. ________________ 在长方体ABCD — ABCQ 屮，若AB = BC = 1,AA ]=42,则异而直线与CC ；所成 角的大小为 .7.若函数/（x ） = \2 \ _________________________________ 的值域为（-00,1],则实数加的取值范围是 ______________________________________________ . -x 2 + m. x> 0&如图： 在 MBC 中， 若 AB = AC = 3,cos ZBAC = -.DC = 2BD , 则 2AD BC= ______________ ・9.定义在R 上的偶函数y = f （x ）,当兀二0时,/（x ） = lg （x 2-3x+3），则于（兀）在R 上的 零点个数为 __________ 个.10.将辆不同的小汽车和辆不同的卡车驶入如图所示的10个车位中的某个内，其中辆卡车必须 停在A 与B 的位置，那么不同的停车位置安排共有 _____________ 种？（结果用数值表示） 1. lim MT8 2H -5 n + l3•若线性方程组的增广矩阵为| J解为胃彳 [y=[第8题图 第10題團£11•已知数列｛匕｝是首项为，公差为2加的等差数列，前项和为S”.设n- 2n若数列｛仇｝是递减数列，则实数"2的取值范围是___________ ・12.若使集合A = ｛x| (fct-P -6)(x-4) > 0,%e z］中的元素个数最少，则实数的取值范围是二.选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得0分.13. a x = k7V + -伙wZ)” 是“tanx = l” 成立的( )4(A)充分非必要条件(B)必要非充分条件(C)充要条件(D)既非充分也非必要条件14.若1-5/办(是虚数单位)是关于的实系数方程X+bx + c = 0的一个复数根，则( )(A) /? = 2,c = 3 (B) b = 2.c = -\(C) b = -2,c = -1 (D) b = -2,c = 315.已知函数/&)为/?上的单调函数，广©)是它的反函数，点A(-1,3)和点3(1,1)均在函数/&)的图像上，则不等式|广吃)|v 1的解集为( )(A) (-1,1) (B) (1,3) (C) (0,log23) (D) (l,log23)2 2 2 216.如图，两个椭圆二+丄=1,丄+丄二1内部重叠区域的边界记为曲线C, P是曲线C25 9 25 9上的任意一点，给出下列三个判断：①P 到片(—4,0)、笃(4,0)、厶(0,—4)、E2(0,4)0点的距离之和为定值；②曲线C关于直线y =兀、y =—兀均对-称；③曲线C所围区域面积必小于36.上述判断中正确命题的个数为( )(A)个(B)个(C)个(D) 3个三.解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.如图，已知PA丄平面ABC , AC丄AB, AP=BC = 2, ZCBA = 30° , D 是AB 的中点. （1）求PD与平面P4C所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）求\PDB绕直线PA旋转一周所构成的旋转体的体积（结果保留龙）.18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 宀、A/3 COS2 x -sinx己知函数/（x） =COSX 17T（1）当xw 0,—时，求/（x）的值域；（2）已知MBC的内角的对边分别为a,b,c,若/（△） = J3,Q =4』+C =5, 求AABC的面积.19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.某创业团队拟生产A、B两种产品，根据市场预测，A产品的利润与投资额成正比（如图1）, B产品的利润与投资额的算术平方根成正比（如图2）.（注：利润与投资额的单位均为万元）（1）分别将A、B两种产品的利润/（力、g（x）表示为投资额的函数；（2）该团队已筹集到10万元资金，并打算全部投入A、B两种产品的生产，问：当B产品的投资额为多少万元时，生产A、B两种产殆能获得最大利润，最大利润为多少？20•（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6 分，第3小题满分6分.兀2如图：双曲线「：一—尸=1的左、右焦点分别为片,耳,过笃作直线交y轴于点Q・（1）当直线平行于「的一条渐近线时，求点耳到直线的距离；（2）当直线的斜率为时，在「的石支占是否存在点P,满足F\PF\Q = 0 ?若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由；（3）若直线与「交于不同两点A、B,且「上存在一点M,满足鬲+丽+ 4丽=0（其中O为坐标原点），求直线的方程.21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6 分，第3小题满分8分.正数数列｛色｝、［b n ］满足：a x >b^且对一切k>2,keN*f 兔是％［与乞一的等差中项,Q 是％1与俵.］的等比中项.（1） 若a 2 = 2,/?2 = 1,求。

2016年上海市徐汇区高考数学一模试卷（文科）一．填空题：（本题满分56分，每小题4分）1．（4分）设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝﹣2，则抛物线的标准方程是．2．（4分）方程的解是．3．（4分）设，则数列{a n}的各项和为．4．（4分）函数的单调递增区间是．5．（4分）若函数f（x）的图象与对数函数y＝log4x的图象关于直线x+y＝0对称，则f（x）的解析式为f（x）＝．6．（4分）函数f（x）＝|4x﹣x2|﹣a有四个零点，则a的取值范围是．7．（4分）设x、y∈R+且＝1，则x+y的最小值为．8．（4分）若三条直线ax+y+3＝0，x+y+2＝0和2x﹣y+1＝0相交于一点，则行列式的值为．9．（4分）在△ABC中，边BC＝2，AB＝，则角C的取值范围是．10．（4分）已知四面体ABCD的外接球球心O在棱CD上，，CD＝2，则A、B两点在四面体ABCD的外接球上的球面距离是．11．（4分）（x3+2x+1）（3x2+4）展开后各项系数的和等于．12．（4分）已知函数f（x）＝x2﹣1的定义域为D，值域为{0，1}，则这样的集合D最多有个．13．（4分）正四面体的四个面上分别写有数字0，1，2，3把两个这样的四面体抛在桌面上，则露在外面的6个数字之和恰好是9的概率为．14．（4分）设x1，x2是实系数一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，若x1是虚数，是实数，则S＝1+＝．二．选择题：（本题满分20分，每小题5分）15．（5分）已知向量与不平行，且，则下列结论中正确的是（）A．向量与垂直B．向量与垂直C．向量与垂直D．向量与平行16．（5分）若a，b为实数，则“0＜ab＜1”是“b＜”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件17．（5分）（文）设x、y均是实数，i是虚数单位，复数（x﹣2y）+（5﹣2x﹣y）i的实部大于0，虚部不小于0，则复数z＝x+yi在复平面上的点集用阴影表示为图中的（）A．B．C．D．18．（5分）设函数y＝f（x）的定义域为D，若对于任意x1、x2∈D，当x1+x2＝2a时，恒有f（x1）+f（x2）＝2b，则称点（a，b）为函数y＝f（x）图象的对称中心．研究函数f（x）＝x+sinπx﹣3的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到的值为（）A．﹣4031B．4031C．﹣8062D．8062三．解答题：（本大题共5题，满分74分）19．（12分）三棱锥S﹣ABC中，SA⊥AB，SA⊥AC，AC⊥BC且AC＝2，BC＝，SB＝．（1）证明：SC⊥BC；．（2）求三棱锥的体积V S﹣ABC20．（14分）已知函数f（x）＝sin22x﹣sin2x cos2x．（1）化简函数f（x）的表达式，并求函数f（x）的最小正周期；（2）若点A（x0，y0）是y＝f（x）图象的对称中心，且，求点A 的坐标．21．（14分）已知实数x满足32x﹣4﹣+9≤0且f（x）＝log2．（1）求实数x的取值范围；（2）求f（x）的最大值和最小值，并求此时x的值．22．（16分）数列{a n}满足a1＝5，且（n≥2，n∈N*）．（1）求a2，a3，a4；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）令b n＝，求数列{b n}的最大值与最小值．23．（18分）某地拟建造一座大型体育馆，其设计方案侧面的外轮廓如图所示：曲线AB是以点E为圆心的圆的一部分，其中E（0，t）（0＜t≤25）；曲线BC 是抛物线y＝﹣ax2+50（a＞0）的一部分；CD⊥AD，且CD恰好等于圆E的半径．假定拟建体育馆的高OB＝50（单位：米，下同）．（1）若t＝20、a＝，求CD、AD的长度；（2）若要求体育馆侧面的最大宽度DF不超过75米，求a的取值范围；（3）若a＝，求AD的最大值．2016年上海市徐汇区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一．填空题：（本题满分56分，每小题4分）1．（4分）设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝﹣2，则抛物线的标准方程是y2＝8x．【解答】解：由题意可知：＝2，∴p＝4且抛物线的标准方程的焦点在x轴的正半轴上故可设抛物线的标准方程为：y2＝2px将p代入可得y2＝8x．故答案为：y2＝8x．2．（4分）方程的解是x＝2．【解答】解：由方程可得3x﹣5＝4，即3x＝32，解得x＝2，故答案为x＝2．3．（4分）设，则数列{a n}的各项和为．【解答】解：∵＝，∴＝，则数列{a n}是以为首项以为公比的等比数列∴＝所以数列的各项和S＝＝故答案为4．（4分）函数的单调递增区间是[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．【解答】解：对于函数，令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，故函数的增区间为，故答案为：[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．5．（4分）若函数f（x）的图象与对数函数y＝log4x的图象关于直线x+y＝0对称，则f（x）的解析式为f（x）＝y＝﹣4﹣x．【解答】解：设函数f（x）的图象上一点（x，y），则点（x，y）关于x+y＝0的对称点（x'，y'）在对数函数y＝log4x的图象由题意知，解得x'＝﹣y，y'＝﹣x又∵点（x'，y'）在对数函数y＝log4x的图象∴﹣x＝log4（﹣y）∴﹣y＝4﹣x∴y＝﹣4﹣x故答案为：y＝﹣4﹣x6．（4分）函数f（x）＝|4x﹣x2|﹣a有四个零点，则a的取值范围是（0，4）．【解答】解：∵函数f（x）＝|4x﹣x2|﹣a有四个零点，故直线y＝a和函数y＝|4x ﹣x2|的图象有4个交点，如图所示：结合图象可得0＜a＜4，故答案为（0，4）．7．（4分）设x、y∈R+且＝1，则x+y的最小值为16．【解答】解：∵＝1，x、y∈R+，∴x+y＝（x+y）•（）＝＝10+≥10+2＝16（当且仅当，x＝4，y＝12时取“＝”）．故答案为：16．8．（4分）若三条直线ax+y+3＝0，x+y+2＝0和2x﹣y+1＝0相交于一点，则行列式的值为1．【解答】解：联立，得x＝﹣1，y＝﹣1，∵三条直线ax+y+3＝0，x+y+2＝0和2x﹣y+1＝0相交于一点，∴直线ax+y+3＝0过点（﹣1，﹣1），∴﹣a﹣1+3＝0，解得a＝2，∴＝a﹣1＝2﹣1＝1．故答案为：1．9．（4分）在△ABC中，边BC＝2，AB＝，则角C的取值范围是（0，]．【解答】解：由题意，设AC＝b，3＝b2+4﹣4b cos C∴b2﹣4b cos C+1＝0∴△＝16cos2C﹣4≥0∵AB＜BC∴C不可能是钝角∴∴角C的取值范围是（0，]故答案为：（0，]10．（4分）已知四面体ABCD的外接球球心O在棱CD上，，CD＝2，则A、B两点在四面体ABCD的外接球上的球面距离是．【解答】解：球心到四个顶点距离相等，故球心O在CD中点，则OA＝OB＝OC＝OD＝1，再由AB＝，在△A0B中，利用余弦定理cos∠AOB＝＝﹣，则∠AOB＝，则弧AB＝•1＝．故答案为：．11．（4分）（x3+2x+1）（3x2+4）展开后各项系数的和等于28．【解答】解：（x3+2x+1）（3x2+4）展开后含有字母x，令x＝1，则展开式中各项系数的和为：（13+2×1+1）（3×12+4）＝28．故答案为：28．12．（4分）已知函数f（x）＝x2﹣1的定义域为D，值域为{0，1}，则这样的集合D最多有9个．【解答】解：∵f（x）＝x2﹣1，∴f（±1）＝0，f（±）＝1，因此，定义域D有：{1，}，{﹣1，﹣}，{﹣1，}，{1，﹣}，{﹣1，1，}，{﹣1，1，﹣}，{1，，﹣}，{﹣1，，﹣}，{﹣1，1，，﹣}共9种情况．故答案为：9．13．（4分）正四面体的四个面上分别写有数字0，1，2，3把两个这样的四面体抛在桌面上，则露在外面的6个数字之和恰好是9的概率为．【解答】解：正四面体的四个面上分别写有数字0，1，2，3把两个这样的四面体抛在桌面上，露在外面的6个数字之和包含的基本事件总数n＝4×4＝16，设两个正四面体中压在桌面的数字分别为m，n，则露在外面的6个数字之和恰好是9的基本情况有：（0，3），（3，0），（1，2），（2，1），共包含4个基本事件，∴露在外面的6个数字之和恰好是9的概率p＝．故答案为：．14．（4分）设x1，x2是实系数一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，若x1是虚数，是实数，则S＝1+＝﹣2．【解答】解：设x1＝s+ti（s，t∈R，t≠0）．则x2＝s﹣ti．则x1+x2＝2s，x1x2＝s2+t2．∵＝＝+i是实数，∴3s2t﹣t3＝0，∴3s2＝t2．∴x1+x2＝2s，x1x2＝s2+t2．∴4s2＝＝+2x1x2＝x1x2，∴+1＝0，取＝ω，则ω2+ω+1＝0，∴ω3＝1．则S＝1+＝1+ω+ω2+ω4+ω8+ω16+ω32＝0+ω+ω2+ω+ω2＝﹣2．故答案为：﹣2．二．选择题：（本题满分20分，每小题5分）15．（5分）已知向量与不平行，且，则下列结论中正确的是（）A．向量与垂直B．向量与垂直C．向量与垂直D．向量与平行【解答】解：设的夹角为θ，则0＜θ＜π，∵（）•（）＝＝0，∴（）⊥（），故A正确；D错误．∵（）•＝﹣＝﹣cosθ≠0，∴与不垂直；故B错误；∵＝＝+cosθ≠0，∴与不垂直，故C错误；故选：A．16．（5分）若a，b为实数，则“0＜ab＜1”是“b＜”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若“0＜ab＜1”当a，b均小于0时，即“0＜ab＜1”⇒“”为假命题若“”当a＜0时，ab＞1即“”⇒“0＜ab＜1”为假命题综上“0＜ab＜1”是“”的既不充分也不必要条件故选：D．17．（5分）（文）设x、y均是实数，i是虚数单位，复数（x﹣2y）+（5﹣2x﹣y）i的实部大于0，虚部不小于0，则复数z＝x+yi在复平面上的点集用阴影表示为图中的（）A．B．C．D．【解答】解：∵复数（x﹣2y）+（5﹣2x﹣y）i的实部大于0，虚部不小于0，∴，由线性规划的知识可得：可行域为直线x＝2y的右下方和直线的左下方，因此为A．故选：A．18．（5分）设函数y＝f（x）的定义域为D，若对于任意x1、x2∈D，当x1+x2＝2a时，恒有f（x1）+f（x2）＝2b，则称点（a，b）为函数y＝f（x）图象的对称中心．研究函数f（x）＝x+sinπx﹣3的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到的值为（）A．﹣4031B．4031C．﹣8062D．8062【解答】解：∵f（x）＝x+sinπx﹣3，∴当x＝1时，f（1）＝1+sinπ﹣3＝﹣2，∴根据对称中心的定义，可得当x1+x2＝2时，恒有f（x1）+f（x2）＝﹣4，∴＝2015[f（）+f（）]+f（）＝2015×（﹣4）﹣2＝﹣8062．故选：C．三．解答题：（本大题共5题，满分74分）19．（12分）三棱锥S﹣ABC中，SA⊥AB，SA⊥AC，AC⊥BC且AC＝2，BC＝，SB＝．（1）证明：SC⊥BC；（2）求三棱锥的体积V S．﹣ABC【解答】解：（1）∵SA⊥ABSA⊥ACAB∩AC＝A∴SA⊥平面ABC，∴AC为SC在平面ABC内的射影，又∵BC⊥AC，由三垂线定理得：SC⊥BC（2）在△ABC中，AC⊥BC，AC＝2，BC＝，∴AB＝＝，∵SA⊥AB，∴△SAB为Rt△，SB＝，∴SA＝＝2，∵SA⊥平面ABC，∴SA为棱锥的高，＝××AC×BC×SA＝×2××＝．∴V S﹣ABC20．（14分）已知函数f（x）＝sin22x﹣sin2x cos2x．（1）化简函数f（x）的表达式，并求函数f（x）的最小正周期；（2）若点A（x0，y0）是y＝f（x）图象的对称中心，且，求点A 的坐标．【解答】解：（1）＝，所以f（x）的最小正周期．（2）∵点A（x0，y0）是y＝f（x）图象的对称中心，∴sin（4x0+）＝0，∴4x0+＝kπ，x0＝﹣．k∈Z．∵x0∈[0，]，∴，解得k＝1或k＝2，∴x0＝或x0＝．∴点A的坐标为或．21．（14分）已知实数x满足32x﹣4﹣+9≤0且f（x）＝log2．（1）求实数x的取值范围；（2）求f（x）的最大值和最小值，并求此时x的值．【解答】解：（1）由，得32x﹣4﹣10•3x﹣2+9≤0，即（3x﹣2﹣1）（3x﹣2﹣9）≤0，∴1≤3x﹣2≤9，2≤x≤4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）因为＝，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）当，即时，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）当log2x＝1或log2x＝2，即x＝2或x＝4时，y max＝0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）22．（16分）数列{a n}满足a1＝5，且（n≥2，n∈N*）．（1）求a2，a3，a4；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）令b n＝，求数列{b n}的最大值与最小值．【解答】解：（1）∵a1＝5，且（n≥2，n∈N*）．分别令n＝2，3，4，可得：．（2）设数列的前n项和为S n，则，∴，得即，∴{a n}从第二项起成等比数列，又a2＝10，∴．（3），由，得，所以当n＝3时，，当n＝4时，但，综上所述，，（b n）max＝b1＝5．23．（18分）某地拟建造一座大型体育馆，其设计方案侧面的外轮廓如图所示：曲线AB是以点E为圆心的圆的一部分，其中E（0，t）（0＜t≤25）；曲线BC 是抛物线y＝﹣ax2+50（a＞0）的一部分；CD⊥AD，且CD恰好等于圆E的半径．假定拟建体育馆的高OB＝50（单位：米，下同）．（1）若t＝20、a＝，求CD、AD的长度；（2）若要求体育馆侧面的最大宽度DF不超过75米，求a的取值范围；（3）若a＝，求AD的最大值．【解答】解：（1）因为圆E的半径为OB﹣OE＝50﹣t＝30，所以CD＝30．在中令y＝30，得．在圆E：x2+（y﹣20）2＝302，中令y＝0，得，所以．（2）由圆E的半径为OB﹣OE＝50﹣t，得CD＝50﹣t．在y＝﹣ax2+50中令y＝50﹣t，得．．由题意知，对t∈（0，25]恒成立，所以恒成立．当，即t＝25时，取得最小值10，故，解得．（3）当时，．又圆E的方程为x2+（y﹣t）2＝（50﹣t）2，令y＝0，得，所以，从而．下求的最大值．方法一：令，则＝，其中φ是锐角，且，从而当时，AD取得最大值．方法二：令，则题意相当于：已知x2+y2＝25（x≥0，y≥0），求z＝AD＝5（2x+y）的最大值．当直线与圆弧x2+y2＝25（x≥0，y≥0）相切时，z取得最大值．答：当t＝5米时，AD的最大值为米．。

2017年上海徐汇区数学高考一模一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 25lim1n n n →∞-=+2. 已知抛物线C 的顶点在平面直角坐标系原点，焦点在x 轴上，若C 经过点(1,3)M ，则其焦点到准线的距离为3. 若线性方程组的增广矩阵为0201a b ⎛⎫⎪⎝⎭，解为21x y =⎧⎨=⎩，则a b += 4. 若复数z满足：i z i ⋅=（i 是虚数单位），则||z = 5. 在622()x x +的二项展开式中第四项的系数是 （结果用数值表示） 6. 在长方体1111ABCD A BC D -中，若1AB BC ==，1AA ，则异面直线1BD与1CC 所成角的大小为7. 若函数22,0(),0xx f x x m x ⎧≤⎪=⎨-+>⎪⎩的值域为(,1]-∞，则实数m 的取值范围是8. 如图，在△ABC 中，若3AB AC ==，1cos 2BAC ∠=，2DC BD =，则AD BC ⋅=9. 定义在R 上的偶函数()y f x =，当0x ≥时，2()lg(33)f x x x =-+， 则()f x 在R 上的零点个数为 个10. 将6辆不同的小汽车和2辆不同的卡车驶入如图所示的10个车位中的某8个内，其中2辆卡车必须停在A 与B 的位置，那么不同的停车位置安排共有 种（结果用数值表示）11. 已知数列{}n a 是首项为1，公差为2m 的等差数列，前n 项和为n S ，设2n n nS b n =⋅*()n N ∈，若数列{}n b 是递减数列，则实数m 的取值范围是12. 若使集合2{|(6)(4)0,}A x kx k x x Z =--->∈中的元素个数最少，则实数k 的取值范围是二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. “4x k ππ=+()k Z ∈”是“tan 1x =”的（ ）条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充分必要D. 既不充分也不必要 14.若1（i 是虚数单位）是关于x 的方程20x bx c ++=的一个复数根，则（ ） A. 2b =，3c = B. 2b =，1c =- C. 2b =-，1c =- D. 2b =-，3c =15. 已知函数f (x )为R 上的单调函数，f -1(x )是它的反函数，点A (-1,3)和点B (1,1)均在函数f (x )的图像上，则不等式1|(2)|1x f -<的解集为（ ）A. (1,1)-B. (1,3)C. 2(0,log 3)D. 2(1,log 3)16. 如图，两个椭圆221259y x+=、221259y x +=内部重叠区域的边界记为曲线C ，P 是曲线C 上的任意一点，给出下列三个判断：（1）P 到1(4,0)F -、2(4,0)F 、1(0,4)E -、2(0,4)E 四点的距离之和为定值 （2）曲线C 关于直线y x =、y x =-均对称 （3）曲线C 所围区域面积必小于36 上述判断中正确命题的个数为（ ）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 已知PA ⊥平面ABC ，AC AB ⊥，2AP BC ==，30CBA ︒∠=，D 是AB 的中点；（1）求PD 与平面PAC 所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）（2）求△PDB 绕直线PA 旋转一周所构成的旋转体的体积；（结果保留π）18. 已知函数2sin ()1x xf x x -=；（1）当[0,]2x π∈时，求()f x 的值域；（2）已知△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()2A f =4a =，5b c +=，求△ABC 的面积；19. 某创业团队拟生产A 、B 两种产品，根据市场预测，A 产品的利润与投资额成正比（如图1），B 产品的利润与投资额的算术平方根成正比（如图2）； （注：利润与投资额的单位均为万元） （1）分别将A 、B 两种产品的利润f (x )、g (x )表示为投资额x 的函数；（2）该团队已筹集到10万元资金，并打算全部投入A 、B 两种产品生产，问：当B 产品的投资额为多少万元时，生产A 、B 两种产品能获得最大利润，最大利润为多少？20. 如图，双曲线22:13x y Γ-=的左、右焦点1F 、2F ，过2F 作直线l 交y 轴于点Q ； （1）当直线l 平行于Γ的一条渐近线时，求点1F 到直线l 的距离；（2）当直线l 的斜率为1时，在Γ的右支上是否存在点P ，满足110F P FQ ⋅=？，若存在，求点P 的坐标，若不存在，说明理由；（3）若直线l 与Γ交于不同两点A 、B ，且Γ上存在一点M ，满足40OA OB OM ++=（其中O 为坐标原点），求直线l 的方程；21. 正数数列{}n a 、{}n b 满足：11a b ≥，且对一切2k ≥，k N *∈，k a 是1k a -与1k b -的等差中项，k b 是1k a -与1k b -的等比中项；（1）若22a =，21b =，求1a 、1b 的值；（2）求证：{}n a 是等差数列的充要条件是n a 为常数数列；（3）记||n n n c a b =-，当2n ≥，n N *∈，指出2n c c ++ 与1c 的大小关系并说明理由；参考答案一. 填空题 1. 2 2. 92 3. 2 4. 2 5. 160 6. 4π7. 01m <≤ 8. 32- 9. 4 10. 40320 11. [0,1) 12. [3,2]--二. 选择题13. C 14. D 15. C 16. C三. 解答题17.（1）；（2）32π；18.（1）；（219.（1）1()(0)4f x x x =≥，()0)g x x =≥； （2）对A 投资3.75万元，对B 投资6.25万元，可获得最大利润6516万元；20.（1）2；（2）不存在；（3）20x -=；21.（1）12a =12b =；（2）证明略；（3）21n c c c ++< ，理由略；。

2015学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷 数学学科（理科）参考答案及评分标准2016.4一． 填空题：(本题满分56分，每小题4分) １．)0,1( 2．1,33⎛⎫- ⎪⎝⎭3．1i - 4．23π 5．35x6．12 7．(3,)6π-8．47 9．8- 10．4或7 11．2c = 12．200 13．12a- 14．(212n +二．选择题：（本题满分20分，每小题5分）15．C 16．Ｂ 17．Ｄ 18．Ｃ 三． 解答题：（本大题共5题，满分74分） 19．（本题满分12分；第（1）小题６分，第（2）小题6分） 【解答】（1）1)42sin(2)(++=πx x f ， --------------3分由)(224222Z k k x k ∈+≤+≤-πππππ得：)(x f 的单调递增区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-8,83ππππk k )(Z k ∈；--6分 （2）由已知，142sin 2)(+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=πx x g ， -------------9分由1)(=x g ，得042sin 2=⎪⎭⎫⎝⎛-πx ， 82ππ+=∴k x ，)(Z k ∈. -----------------------12分20．（本题满分14分；第（1）小题6分，第（2）小题8分）【解答】如图建立空间直角坐标系，则由题意得，()()10,0,,1,0,0A a B ，()()111,0,,0,1,B a C a 所以()()1111,0,,1,1,0A B a BC =-=-。

-3分 设向量111,AB BC 所成角为θ，则060θ=，或0120θ=，由于cos 0θ=<，所以0120θ=，得1cos 2θ=-，解得1a =--------------6分（2）连接C B 1，1ACy则三棱锥BC A B 11-的体积等于三棱锥B B A C 11-的体积，B B A C BC A B V V 1111--=B B A 11∆的面积21=S ，BC A 1∆的面积23)2(432=⋅='S ，………（11分） 又⊥∴⊥⊥CA AB CA A A CA ,,1平面C B A 11，所以611213111=⨯⨯=-B B A C V ，所以6111=-BC A B V ………（14分）21．（本题满分14分；第（1）小题6分，第（2）小题8分） 【解答】（1）()26,f x x a a =-+<即26.x a a -<-60,626,a a x a a ->⎧∴⎨-+<-<-⎩即6,33,a a x <⎧⎨-<<⎩-----------------------------------------3分 6,31, 2.33,a a a <⎧⎪∴-=-=⎨⎪=⎩即----------------------------------------------------------------------6分 （2）2a =时，()22 2.f x x =-+若存在0,x R ∈使00()(),f x t f x ≤--即00()(),t f x f x ≥+----------------------8分 则[]min ()().t f x f x ≥+------------------------------------------------------------------10分()()22224f x f x x x +-=-+++ (22)(22)48,x x ≥--++=当[]1,1x ∈-时等号成立8,t ∴≥即[)8,.t ∈+∞----------------------------------------14分 22．（本题满分16分；第（1）小题3分，第（2）小题6分，第（3）小题7分） 【解答】（1）由题意得， 1.c =所以221,a b =+ 又点3(1,)2P 在椭圆C 上，所以22191,4a b+=解得224,3,a b == 所以椭圆C 的标准方程为22 1.43x y +=----------------------------------------------3分 （2）由（1）知，2213:1,44x y C +=设点112233(,),(,),(,),Q x y M x y N x y 则直线QM 的方程为224,3x x y y +=① 直线QN 的方程为334,3x x y y += ② 把点Q 的坐标代入①②得2121313143,43x x y y x x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩所以直线MN 的方程为114,3x x y y +=令0,y =得14,3m x =令0,x =得14,3n y = 所以1144,,33x y m n ==又点Q 在椭圆1C 上， 所以2244()3()4,33m n +=即22113,34m n +=为定值．-------------------------------9分 （3）由椭圆的对称性，不妨设12(,),(,),P m n P m n -由题意知，点E 在x 轴上， 设点(,0),E t 则圆E 的方程为2222()().x t y m t n -+=-+----------------------11分 由椭圆的内切圆的定义知，椭圆上的点到点E 的距离的最小值是1,PE 设点(,)M x y 是椭圆2C 上任意一点，则222223()21,4ME x t y x tx t =-+=-++ 当x m =时，2ME 最小，所以24.332t tm -=-= ① 假设椭圆2C 存在过左焦点1F的内切圆，则222()().t m t n =-+ ②又点1P 在椭圆2C 上，所以221.4m n =- ③------------------------------------14分由①②③得t =t =当t =时，42,3t m ==<-不合题意，舍去，且经验证，t = 综上，椭圆2C 存在过左焦点F 的内切圆，圆心E的坐标是(---------16分 23．（本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分） 【解答】（1）对于数列{},n a 35410,2a a a +=> 不满足集合W 的条件①，∴数列{}n a 不是集合W 中的元素. 对于数列{},nb 13222log log 22b b b +=<=，24223log log 3,2b bb +=<=35224log log 4,2b b b +=<=而且，当{}1,2,3,4,5n ∈时有22log 1log 5,n b ≤≤显然满足集合W 的条件①②，故数列{}n b 是集合W 中的元素. -------------------4分 （2）因为点1(,)n nc S +在直线220x y +-=上，所以1220n n c S ++-= ①当2n ≥时，有 1220n n c S -+-= ②①-②，得1220(2),n n n c c c n +-+=≥所以，当2n ≥时，有11.2n n c c += 又2111220,1,c S S c +-=== 所以2111.22c c == 因此，对任意正整数,n 都有11,2n n c c +=所以，数列{}n c 是公比为12的等比数列，故()1111,2.22n n n n c S n N *--==-∈ 对任意正整数,n 都有21211122,2222nn n n n n S S S ++++=--<-=且12,n S ≤<故{},n S W ∈实数a 的取值范围是(],1,-∞实数b 的取值范围是[)2,.+∞-------------------10分 （3）假设数列{}n d 不是单递增数列，则一定存在正整数0,k 使001.k k d d +≥------12分 此时，我们用数学归纳法证明：对于任意的正整数,n 当0n k ≥时都有1n n d d +≥成立. ①0n k =时，显然有1n n d d +≥成立； ②假设0()n m m k =≥时，1,m m d d +≥ 则当1n m =+时，由212m m m d d d +++<可得212,m m m d d d ++<-从而有1211(2)m m m m m d d d d d ++++->--10,m m d d +=-≥所以12.m m d d ++>由①②知，对任意的0,n k ≥都有1.n n d d +≥-----------------------------------------16分显然012,,,k d d d 这0k 个值中一定有一个最大的，不妨记为0.n d 于是0*(),n n d d n N ≥∈从而00,n d b =与已知条件*0()n d b n N ≠∈相矛盾.所以假设不成立，故命题得证．---------------------------------------------------------18分。

2015 学年第二学期徐汇、金山、松江区学习能力诊疗卷高三数学理科试卷2016.4一．填空题： (此题满分 56 分，每题4 分)1．抛物线y24x的焦点坐标是 _____________.2．若会合A x 3x 1 0 , B x x 1 2，则 A B =_______________．1ii , 此中i为虚数单位，则z ________________．3．若复数z知足zarcsin32 24．求值：________________ 弧度．3=arctan3315．试写出xx 7睁开式中系数最大的项________________ ．n n6．若函数y 4x22x 3 的最小值为 a ，最大值为b，则lim an2b n＝ _________．n3a4b7．在极坐标系中，点(3,) 对于直线的对称点的坐标为 ________________ ．268．某学校要从 5 名男生和 2 名女生中选出 2 人作为志愿者，若用随机量表示选出的志愿者中女生的人数，则数学希望E_______________．（结果用最简分数表示）9．已知平面上三点A、B、C 知足 | AB |=3,|BC|= 5 ，|CA |= 2 2 ，则 ABBC BCCA CAAB的值等于 _______________．10．从会合A1,2,3,4,5,6,7,8,9,10中任取两个数，欲使取到的一个数大于k, 另一个数小于 k（此中 k A) 的概率是2, 则 k __________________．511．有一个解三角形的题因纸张损坏有一个条件不清，详细以下：“在 ABC 中，角 A, B, C 所对的边分别为a, b, c. 已知 a3, B 450 , ______________，求角 A ．”经推测损坏处的条件为三角形一边的长度，且答案提示A600 , 试将条件增补完好．12．在等差数列a n 中，首项 a 1 3,公差 d2, 若某学生对此中连续10 项进行乞降，在遗遗漏一项的状况下，求得余下9 项的和为185，则此连续 10 项的和为 __________________ ．log 1 ( x 1), x0,1 ,13．定义在 R 上的奇函数 f ( x), 当 x0 时， f (x)21 x 3 , x 1, ,则对于 x 的函数 F ( x)f ( x) a(0a 1) 的全部零点之和为 ________________（结果用 a 表示）．na , a , a ,2a 2R14．对于给定的正整数 和正数 R ，若等差数列 a2n 1 ，则123知足 1Sa2 n 1a 2n 2a2 n3a 4n 1 的最大值为 __________________ ．二．选择题：（此题满分 20 分，每题 5 分）15．已知非零向量 a 、 b ，“函数f ( x) (ax b)2 为偶函数”是“ a b ”的 ---------- （）（ A ） 充足非必需条件 （ B ） 必需非充足条件（ C ） 充要条件（ D ） 既非充足也非必需条件2x, x 0,（）16．函数 y=x 2 , x 的反函数是 ------------------------------------------------------------------（ A ） yx, x 0（ B ） yx, x 0（ C ） y2x, x（D ） y2x, x22x , x 0 x, x 0x , x 0x, x 017．如图，圆锥形容器的高为h, 圆锥内水面的高为 h 1 , 且 h 11h 2 , 则 h 2h, 若将圆锥倒置，水面高为3等于 -----------------------------------------------------------------------------------------------------------（ ）（ A ） 2h（ B ）19h （C ） 36h（ D ） 319 h3 27 3 318． 设 x 1 、 x 2 是对于 x 的方程 x 2mx m 2 m 0 的两个不相等的实数根，那么过两点A(x 1, x 12 ) 、2y 1 2B( x 2 , x 22 ) 的直线与圆 x 11 的地点关系是 ----------------------------------------( )（A ）相离（B ）相切 （C ）订交（ D ）随 m 的变化而变化三．解答题：（本大题共 5 题，满分 74 分）19．（此题满分12 分；第（ 1）小题６分，第（2）小题 6 分）已知函数 f ( x) 2 sin x cosx 2 cos2 x ．（ 1）求函数 f (x) 的单一递加区间；（ 2）将函数y f (x)图像向右平移个单位后，获得函数y g (x) 的图像，求方程 g(x)1的解.420．（此题满分 14 分；第（ 1）小题６分，第（ 2）小题８分）在直三棱柱 ABC A1B1C1中，AB AC 1， BAC900，且异面直线A1B 与 B1 C1所成的角等于 600，设AA1 a .（ 1）求a的值；A1（ 2）求三棱锥B1A1 BC 的体积．C1B1ACB21．（此题满分14 分；第（ 1）小题６分，第（2）小题８分）已知函数 f (x) 2x a a.（ 1）若不等式f (x) 6的解集为1,3 ，求 a 的值；（ 2）在（ 1）的条件下，若存在x0R, 使 f (x0 ) t f ( x0 ) ，求 t 的取值范围．22．（此题满分16 分；第（ 1）小题 3 分，第（ 2）小题 6 分，第（ 3）小题 7 分）已知椭圆x2y2的右焦点为F1,03C :a2b21(a b 0)，且点 P(1, ) 在椭圆 C 上．2（ 1）求椭圆C的标准方程；（ 2）过椭圆x2y2上异于其极点的随意一点Q作圆 O : x2y24C1:a2251的两条切线，切点b33分别为 M , N (M , N 不在座标轴上），若直线 MN 在x 轴，y 轴上的截距分别为m, n, 证明：113m2n2为定值；（ 3）若P1, P2x23y2PP xE 过P1, P2 ,是椭圆C2: 221上不一样的两点，轴，圆且椭圆a b 1 2C2上随意一点都不在圆 E 内，则称圆 E 为该椭圆的一个内切圆. 试问：椭圆C2能否存在过左焦点F1的内切圆？若存在，求出圆心 E 的坐标；若不存在，请说明原因．23．（此题满分 18 分，第（ 1）小题 4 分，第（ 2）小题 6 分，第（ 3）小题 8 分）设会合 W 由知足以下两个条件的数列a na n a n 2a n 1 ; ②存在实数a,b 使 a a n b 组成：①2对随意正整数 n 都成立．（ 1）此刻给出只有 5 项的有限数列a, b, 此中 a12,a26, a3 8,a4 9,a512；n nb k log 2 k (k1,2,3,4,5). 试判断数列 a n, b n能否为会合 W 的元素；（ 2）数列cn 的前n项和为 S , c1, 且对随意正整数n,点 (cn 1, S ) 在直线 2x y20 上，证n 1n明：数列 S n W , 并写出实数 a,b 的取值范围；（ 3）设数列d n W , 且对知足条件②中的实数 b 的最小值b0,都有d n b0( n N * ). 求证：数列d n必定是单一递加数列．2016 年松江区高考数学（理科）二模卷一、填空题1.【丈量目标】数学基本知识和基本技术 /理解或掌握初等数学中相关图形与几何的基本知识 .【知识内容】图形与几何 /曲线与方程 /抛物线的标准方程和几何性质 .【参照答案】(1,0)【试题剖析】抛物线 y2 2 px 的焦点坐标为(p,0)，抛物线 y24x 中p 2 ，所2以焦点为 (1,0)，故答案为 (1,0) .2.【丈量目标】数学基本知识和基本技术/理解或掌握初等数学中相关方程与代数的基本知识 .【知识内容】方程与代数/会合与命题 /交集，并集，补集 .【参照答案】 ( 1 ,3)3【试题剖析】解 |x - 1| <2 得 1x3，所以 A { x | 3x 10}(1, )，3B { x || x 1| 2}=( - 1,3) ，所以 A B1,故答案为A B(1 ( ,3),3) . 333.【丈量目标】数学基本知识和基本技术/理解或掌握初等数学中相关数与运算的基本知识 .【知识内容】数与运算/复数初步 /复数的四则运算 .【参照答案】 1 i1i 1 i i(1i)1+i z 1 i【试题剖析】因为i ，所以 z i i2，所以，故答案为z1 i .5.【丈量目标】数学基本知识和基本技术 /理解或掌握初等数学中相关方程与代数的基本知识 .【知识内容】方程与代数/矩阵与队列式初步 /二阶、三阶队列式 .2π3arcsin 3 2π2π 2π,故答案为 2π.2 3π【试题剖析】3 2 arctan3 3 π 336 3 3635.【丈量目标】数学基本知识和基本技术 /能依据必定的规则和步骤进行计算、绘图和推理 .【知识内容】整理与概率统计 /摆列、组合、二项式定理 /二项式定理 .【参照答案】 35xx17C r 7 x 7 r ( 1) r【试题剖析】睁开式的第 r 项为 T r 1( 1)r C 7r x 7 2 r ，其系xxrr≤(0r ≤ ，7) 当 其最 大 时 ， 取 r 4，所以系数最大的项为数为( 1) 7C T 5 =C 74 x 135 ，故答案为 35 .xx6.【丈量目标】数学基本知识和基本技术/理解或掌握初等数学中相关方程与代数的基本知识 .【知识内容】函数与剖析 /函数及其基天性质 /函数的基天性质 ;方程与代数 /数列与数学归纳法 /数列的极限 .12【试题剖析】因为 0≤ x 22x 3( x 1)2 4≤4 ，所以 2≤y4x 2 2x 3≤4 ，n nnn( 2)n 21 .所以 a2, b 4 ， lim an2b n = lim2 n2 3 nlim 3 nn3a4bn3 24 3n223 ( )437.【丈量目标】数学基本知识和基本技术/能依据必定的规则和步骤进行计算、绘图和推理 .【知识内容】图形与几何 /参数方程和极坐标 /极坐标 ;图形与几何 /平面直线的方程 /两条直线的平行关系与垂直关系 .【参照答案】 (3,π)6【试题剖析】直线π3x ，点 (3, π对应直角坐标系中 =化为一般方程为 y)63 2b3 31,,设点 (0,3) 对于直线 y3a 3的点为 (0,3)，x 的对称的点为 (a, b) ，则3 a b 333 22a3 3 ,3 33π 解得2 ，所以点的坐标为(,) ，化为极坐标系中的点为(3,) .b322628.【丈量目标】数学基本知识和基本技术 /理解或掌握初等数学中相关数据整理与概率统计的基本知识 .【知识内容】数据整理与概率统计 /概率与统计 /随机变量的散布及数字特点 .【参照答案】 4721 110 ，【试题剖析】依据题意， 的取值为 0,1,2，P(=0)=C2510, P( =1)=C 5C2 2 =C 7 21C 72121，所以E1 104，故答案为 4.P( =2)=C22=21C 7 212121779.【丈量目标】运算能力 /能经过运算，对问题进行推理和研究 .【知识内容】图形与几何 /平面向量的坐标表示 /平面向量的数目积 ; 函数与剖析 /三角比 /正弦定理和余弦定理 . 【参照答案】8222【试题剖析】因为 AB3, BC5, CA2 2 ,所以 cos ABBC CABAB BC22 3 5 8 0,AB BCAB BC cos B0 ,同理，可求得 cos C10 ,3 54BC CA5 , cos A6,CA AB3,所以 AB BCBC CA CA AB8 ，故答案42为 8 .(或 AB BC BC CACA AB8 )AB BC- AC10.【丈量目标】数学基本知识和基本技术 /理解或掌握初等数学中相关数据整理与概率统计的基本知识 .【知识内容】数据整理与概率统计 /概率与统计初步 /等可能事件的概率 .【参照答案】 4 或 7【试题剖析】从会合 A 中任取两个数的取法有 C 102 45 种，因为取到的两个数中一个数大于 k,另一个数小于 k 的概率是 2，所以事件的可能有 45 5 =185 2种，即 (k 1)(10 k) 18 ，解得 k 4或 7，故答案为 4 或 7.11.【丈量目标】数学基本知识和基本技术 /理解或掌握初等数学中相关函数与剖析的基本知识 .【知识内容】函数与剖析 /三角比 /正弦定理和余弦定理 .6+ 2 【参照答案】 c2【试题剖析】由 B=45 °，A=60 °，得 C=75 °，由a b得,即 3= b sin Asin B3 222 所以 b2 ，所以 c a sin c = 6+ 2，若填入 “b 2 ”，由 sin Aa sin B3sin A2b2A=60°或 120°，故只好填入 c6+ 2，故答案为 c6+ 2 .22，得12.【丈量目标】逻辑思想能力 /拥有对数学识题进行察看、剖析、综合、比较、抽象、归纳、判断和论证的能力.【知识内容】方程与代数 /数列与数学归纳法 /等差数列 .【参照答案】 200【试题剖析】等差数列 { a n } 中的连续 10 项为 a x , a x +1 ,a x 2 , ,a x 9 ,( x N * ) ，遗漏的项为 a x+n , n N * 且 1≤ n ≤9, 则 ( a x a x 9) 10 a x n (a x a x 2 18) 10 (a x 2n)29(3 2x 2)2n185 ，化简得 44≤9x 43 n ≤52 ，所以 x5， a 5 11 ，则连续10 项的和为(1111+18) 10=200 ,故答案为 200.213.【丈量目标】剖析问题与解决问题的能力 /能综合运用基本知识、基本技能、数学基本思想方法和适合的解题策略，解决相关数学识题.【知识内容】函数与剖析 /函数及其基天性质 /函数的基天性质；函数与剖析 /指数函数和对数函数 /指数方程和对数方程 .【参照答案】 1 2a【试题剖析】 函数 F ( x) f ( x) a 有零点，则函数 f (x) 的图像与直线 y a 有交点，它们的图像以下图，当 时，图像无交点，当 1≤ x ≤0 时，，x[0,1）x [0,1]所以 f ( x)log 1 ( x 1)，因为函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数，所以2f ( x)f ( x)log 1 ( x 1)，令 f (x) log ( 1 x1)a ，得 x 1 2a ，当 x [1, )22时，由 f (x) a 得1 | x 3| a ，|x 3|=1 - a ， x 1 x 2 6 ，同理，可适合 x (, 1)时， x 3 x 46 ，所以函数 F ( x) 的全部零点之和为6 1 2a6 1 2a ，故答案为 1 2a .第 13 题图 apto214.【丈量目标】剖析问题与解决问题的能力 /能综合运用基本知识、基本技能、数学基本思想方法和适合的解题策略，解决相关数学识题.【知识内容】方程与代数 /数列与数学归纳法 /等差数列 ;方程与代数 /不等式 /一元二次不等式 (组)的解法 .【参照答案】 (2n 1) 10R2【试题剖析】因为数列 { a n } 是等差数列，所以 a 2n 1 a4 n 1a2 n 2a4n=2a 3 n 1 ，所以S (2 n 1)a 3n 1 ，又因为 a 12 a 22 n 1( a3 n 13nd) 2 (a 3 n 1 nd )2≤R ,即 2a n 2 1 8da 3n 110n 2 d 2 R ≥0, 关 于 d 的 二 次 方 程 10n 2d 2 8da 3 n 1 2a n 2 1 R ≥0 有解，则=( - 8a 3n 1 )2 40n 2 (2a n 2 1 R)≥0 ，化简得 (64 80n 2 )a 32n 1≥ - 40n 2R ,所以 a 32n 1≤40n 2R1 32≤ 5R , 10R ≤≤10R , 所以 ≤ (2n1) 10R ，故答2R(264 )22a 3n 12S280 n 64280 n案为 (2 n1) 10R .2二、选择题15.【丈量目标】逻辑思想能力 /能从数学的角度有条理地思虑问题 . 【知识内容】函数与剖析 /函数及其基天性质 /函数的基天性质；图形与几何 /平面向量的坐标表示 /向量平行与垂直的坐标关系；方程与代数 /会合与命题 /充足条件，必需条件，充足必需条件 .【正确选项】 C【试题剖析】函数 f (x)(ax22a bx2b)2 a x2 b ，若函数f (x)为偶函数，则f ( x) f ( x) ，所以a b0 ，a b ，充足性成立；反之由 a b 可得函数f ( x)是偶函数，必需性也成立，所以“函数 f (x) (ax b)2为偶函数”是“a b”的充要条件，故答案为 C.16.【丈量目标】数学基本知识和基本技术/理解或掌握初等数学中相关函数与剖析的基本知识 .【知识内容】函数与剖析/指数函数和对数函数 /反函数 .【正确选项】 B【试题剖析】当 x≥0 时， y2x≥0, x y，所以 f 1 ( x)x, x≥ 0 ；当 x 0 时，22y x20, x y ，所以 f1 ( x)x , x0 ，故答案为B.17.【丈量目标】数学基本知识和基本技术/理解或掌握初等数学中相关图形与几何的基本知识 .【知识内容】图形与几何 /简单几何体的研究 /锥体 .【正确选项】 D【试题分析】设圆锥底面半径为 r，则依据题意有1 π2h 1π (2)221π(h2r)2h2，化简得h23193 19r3r h3 h h2h ，所以 h2h ，故答案333273为 D.18.【丈量目标】剖析问题与解决问题的能力/能综合运用基本知识、基本技能、数学基本思想方法和适合的解题策略，解决相关数学识题.【知识内容】函数与剖析 /函数及其基天性质 /简单的幂函数、二次函数的性质；图形与几何 /曲线与方程 /圆的标准方程和一般方程 ;图形与几何 /平面直线的方程 /点到直线的距离 . 【正确选项】 C【试题剖析】因为方程 x 2mx m 2m=0 有两个不相等的实数根 x 1 , x 2 ，所以x 12 mx 1m m 2，且m24(m2m) 0 ，解得 0 m4，因为 x 1≠ x 2 ，所以直线 AB 的3斜率为x 12x 22 x 1 x 2 = - m ，所以直线 AB 的方程为 y x 12m( x x 1) ，则圆x 1x 2( x 1)2 ( y 1)2m(1 x 1 ) x 12 1m 211 的圆心 (1, 1) 到直线的距离 dm 21m 21=m 4 1 2m 224 225 ， f (t)= t+ 4，易知其m 2 +1= (m 1)m 2 4 ，令 t m +1, 1 t941t在 (1,2] 上单一递减，在 (2,25) 上单一递加，且 f (1) 1, f (2)0, f (25) 1 ，所以990≤ f (t ) 1， 0≤ d 1，又圆的半径为1，所以直线 AB 与圆订交，故答案为 C.三、解答题19．（此题满分 12 分，第（ 1）小题 6 分，第（ 2）小题 6 分）【丈量目标 】（1）运算能力 /能依据法例正确地进行运算、变形 . （2）运算能力 /能经过运算，对问题进行推理和研究 .【知识内容 】（1）函数与剖析 /三角函数 /函数 y A sin( x ) 的图像和性质 . （2）函数与剖析 /三角函数 /函数 y A sin( x) 的图像和性质 . 【参照答案 】（ 1） f ( x)2 sin(2 xπ 分) 1 ， --------------3πππ4由2k π ≤2x≤2k π( k Z ) ,得242f ( x) 的单一递加区间是k π3π π分, k π(k Z ) . --688（2）由已知， g( x)2 sin π1 ， -------------9分2x4 由g(x)，得2 sin 2xπ 0 ，14xk π π， k Z . ----------------------- 12 分2820.（此题满分 14 分，第（ 1）小题 6 分，第（ 2）小题 8 分）【丈量目标 】（1）空间想象能力 /能正确地剖析图形中的基本元素和互相关系 .（ 2）空间想象能力 /能正确地剖析图形中的基本元素和互相关系 . 【知识内容 】（ 1）图形与几何 /空间向量及其应用 /距离和角 .（ 2）图形与几何 /简单几何体的研究 /锥体 .【参照答案 】（ 1）如图成立空间直角坐标系，XHLD1第20题图则由题意得， A 1 0,0, a , B 1,0,0 ， B 1 1,0, a , C 1 0,1, a ，1 1 11,1,0 .------------3 分 所以 A B 1,0, a , BC设向量 AB 1 , BC 1 1 所成角为 ，则 600 ，或120 0 ，因为 cos 120 ，所以1200，得 cos1，解得 a 1. --------------61 a 22分（2）连结 B 1C ， AC 1 ,则三棱锥 B 1 A 1 BC 的体积等于三棱锥 C A 1 B 1B 的体积， V B A BCV C ABB ,111 1△A 1B 1B 的面积 S 1 ， △A 1BC 的面积 S 3 ( 2)23，11分242又 CA A 1A,CA AB, CA 平面 A 1B 1C ，所以 V C A 1B 1 B 1 1 1 1，所以 V B 1 A 1BC 1 .14 分3 2 6621．（此题满分 14 分，第（ 1）小题 6 分，第（ 2）小题 8 分）【丈量目标】（1）数学基本知识和基本技术 /理解或掌握初等数学中相关方程与代数的基本知识 .（2）逻辑思想能力 /会进行演绎、归纳和类比推理，能符合逻辑地、正确地论述自己的思想和看法 .【知识内容】（1）方程与代数 /不等式 /含有绝对值不等式的解法 .（2）函数与剖析 /函数及其基天性质 /函数的基天性质 .【参照答案】（ 1）f ( x)2x a a 6, 即 2x a 6 a.6a0,即a6,x-----------------------------------------3 分6a2x a 6 a,a33,a6,a31,即 a 2. ----------------------------------------------------------------------6 33,分（2）a 2 时，f ( x)2x2 2.若存在 x0R,使f (x0)≤t f (x0 ), 即 t≥f ( x0 )f ( x0 ), ---------------------8 分则 t≥ f (x) f ( x)min . -----------------------------------------------------------------10分f ( x) f (x) 2x22x 2 4 ≥ (2 x 2)(2 x 2) 48,当 x1,1时等号成立t≥8, 即t 8,.----------------------------------------14分22．（此题满分 16 分，第（ 1）小题 3分，第（ 2）小题 6 分，第（ 3）小题7分）【丈量目标】（1）数学基本知识和基本技术 /理解或掌握初等数学中相关图形与几何的基本知识 .（2）逻辑思想能力 /会正确而简洁地表述推理过程，能合理地、切合逻辑地解说演绎推理的正确性 .（3）逻辑思想能力 /会进行演绎、归纳和类比推理，能符合逻辑地、正确地论述自己的思想和看法 .【知识内容】（1）图形与几何 /曲线与方程 /椭圆的标准方程和几何性质 .（2）图形与几何 /曲线与方程 /椭圆的标准方程和几何性质 .（ 3）图形与几何 /曲线与方程 /椭圆的标准方程和几何性质、 圆的标准方程和几何性质 .【参照答案 】（ 1）由题意得， c1.所以 a 2b 2 1,又点 P(1, 3) 在椭圆 C 上，所以 1292 1, 解得 a 2 4,b 2 3,2a4b所以椭圆 C 的标准方程为x 2y 2 1. ----------------------------------------------3分43（2）由（ 1）知， C 1 : x 2 3 y 2 1, 设点 Q(x 1, y 1 ), M ( x 2 , y 2 ), N ( x 3 , y 3 ),4 4则直线 QM 的方程为 x 2 xy 2 y4 ,①直线 QN 的方程为 x 3 x y 3 y 4 , ②33x 2 x 14y 2 y 1把点Q 的坐标代入①②得3 ,所以直线 MN 的方程为x 3x 14y 3 y 13x 1x y 1 y 4 ,3令 y 0, 得 m4, 令 x0, 得 n4 ,3x 13 y 1所以 x 14 , y 1 4,又点 Q 在椭圆 C 1上，3m 3n所以( 4)23(4) 24,即11 3 , 为定值． -------------------------------9 分3m3n3m 2n 24（3）由椭圆的对称性，不如设 P 1( m,n), P 2 (m, n), 由题意知，点 E 在 x 轴上， 设点 E(t,0), 则圆 E 的方程为 ( xt )2 y 2 (m t) 2n 2 . ----------------------11 分由椭圆的内切圆的定义知，椭圆上的点到点 E 的距离的最小值是 PE ,1设点 M (x, y) 是椭圆 C 2 上随意一点，则 2( x t )2y23 x 2 2tx t 21,ME4当 x m 时， ME 2最小，所以 m2t4t ①3 .32假定椭圆 C 2 存在过左焦点 F 的内切圆，则 (3 t)2(m t) 2 n 2 .②又点 P1在椭圆 C2上，所以n21m2.③------------------------------------14分4由①②③得 t 3或 t3, 2当 t 3 时，m4t 4 32, 不合题意，舍去，且经考证， t 3切合题332意.综上，椭圆 C2存在过左焦点F的内切圆，圆心E的坐标是(3,0). ---------16 2分23．（此题满分 18 分，第（ 1）小题 4 分，第（ 2）小题 6 分，第（ 3）小题8分）【丈量目标】（1）剖析问题与解决问题的能力 /能自主地学习一些新的数学知识（看法、定理、性质和方法等），并能初步应用 .（2）剖析问题与解决问题的能力 /能综合运用基本知识、基本技术、数学思想方法和适合的解题策略，解决相关数学识题 .（3）数学研究与创新能力 /能运用相关的数学思想方法和科学研究方法，对问题进行研究，追求数学对象的规律和联系；能正确地表述研究过程和结果，并予以证明 .【知识内容】（1）方程与代数 /数列与数学归纳法 /数列的相关看法 .（2）方程与代数 /数列与数学归纳法 /数列的相关看法 .（3）方程与代数 /数列与数学归纳法 /数学归纳法 .【参照答案 】（1）对于数列 a n , a 3a 510 a 4 , 不知足会合 W 的条件①，2数列 a n 不是会合 W 中的元素 .对于数列 b n ,b 1 b 3log 2 3 log 22b 2 ，b 2 b 4 log 28log 2 3b 3,22b 3 b 5log 2 15 log 2 4 b 4 , 并且，当 n1,2,3,4,5 时有 log 2 1≤b n ≤ log 2 5, 明显满2足会合 W 的条件①②，故数列 b n 是会合 W 中的元素 . -------------------4 分 （2）因为点 (c n 1 , S n ) 在直线 2x y 2 0 上，所以 2c n 1 S n 2 0①，当 n ≥ 2 时，有 2cS2 0②，nn 1① ②，得 2c n 12cnc n0(n ≥2), 所以，当 n ≥ 2 时，有 c n 11c n .2又 2c 2 S 1 2 0,S 1 c 1 1, 所以 c 21 1c 1.2 2所以，对随意正整数 n, 都有cn11,所以，数列 c n是公比为 1的等比数列，c n22故 c n 112n 1 , Sn 2 2n 1 n N .对随意正整数 n, 都有 S nS n 221 12 1 S ,≤S W,22n2n 22n n 1且1 S n 2, 故 n实数 a 的取值范围是,1 , 实数 b 的取值范围是 2,. -------------------10 分（3）假定数列 d n 不是单递加数列，则必定存在正整数 k 0 , 使 d k 0≥ d k 1 .------12分此时，我们用数学归纳法证明： 对于随意的正整数n,当 n ≥ k 0 时都有 d n ≥d n 1 成立.① n k 0 时，明显有 d n ≥d n 1 成立；②假定 n m(m ≥ k 0 ) 时， d m ≥d m 1,则 当 n m 1 时 ， 由d mdm 2 d m 1 可 得 d m 22d m 1 d m , 从 而 有2d m 1dm 2d m 1 (2d m 1 d m ) d m d m 1≥0, 所以 d m 1 d m 2 .由①②知，对随意的 n ≥ k 0 , 都有 d n ≥d n 1.-----------------------------------------16 分显 然 d 1, d 2 , , d k 这 k 0 个值 中 一 定 有 一个 最 大 的 ， 不如 记 为 d n . 于 是dn 0≥dn(nN * ) ,进而 d n 0 b 0 , 与已知条件 d n b 0 (n N *) 相矛盾 .所以假定不可立，故命题得证． ------------------------------------------ 18 分。

高考衣食住用行衣：高考前这段时间，提醒同学们出门一定要看天气，否则淋雨感冒，就会影响考场发挥。

穿着自己习惯的衣服，可以让人在紧张时产生亲切感和安全感，并能有效防止不良情绪产生。

食：清淡的饮食最适合考试，切忌吃太油腻或者刺激性强的食物。

如果可能的话，每天吃一两个水果，补充维生素。

另外，进考场前一定要少喝水！住：考前休息很重要。

好好休息并不意味着很早就要上床睡觉，根据以往考生的经验，太早上床反而容易失眠。

考前按照你平时习惯的时间上床休息就可以了，但最迟不要超过十点半。

用：出门考试之前，一定要检查文具包。

看看答题的工具是否准备齐全，应该带的证件是否都在，不要到了考场才想起来有什么工具没带，或者什么工具用着不顺手。

行：看考场的时候同学们要多留心，要仔细了解自己住的地方到考场可以坐哪些路线的公交车？有几种方式可以到达？大概要花多长时间？去考场的路上有没有修路堵车的情况？考试当天，应该保证至少提前20分钟到达考场。

2016年上海高考数学（理科）真题一、解答题（本大题共有14题，满分56分）1. 设x ∈R ，则不等式31x -<的解集为________________ 【答案】(2,4)【解析】131x -<-<，即24x <<，故解集为(2,4)2. 设32iiz +=，其中i 为虚数单位，则Im z =_________________【答案】3-【解析】i(32i)23i z =-+=-，故Im 3z =-3. 1l :210x y +-=, 2l :210x y ++=, 则12,l l 的距离为__________________25【解析】22112521d +==+4. 某次体检，6位同学的身高（单位:米）分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77，则这组数据的中位数是___ （米） 【答案】1.765. 已知点(3,9)在函数()1x f x a =+的图像上，则()f x 的反函数1()f x -=____________ 【答案】2log (1)x -【解析】319a +=，故2a =，()12x f x =+∴2log (1)x y =-∴12()log (1)f x x -=-6. 如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 的边长为3，1BD 与底面所成角的大小为2arctan 3， 则该正四棱柱的高等于____________________ 【答案】2【解析】32BD =12223DD BD =⋅=7. 方程3sin 1cos2x x =+在区间[0,2π]上的解为________________【答案】π5π,66x =【解析】23sin 22sin x x =-，即22sin 3sin 20x x +-=∴(2sin 1)(sin 2)0x x -+=∴1sin 2x =∴π5π,66x =8. 在32n x x ⎫⎪⎭-的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_______________【答案】112【解析】2256n =， 8n =通项88433882()(2)r rr r r rC x C x x--⋅⋅-=-⋅取2r =常数项为228(2)112C -=9. 已知ABC V 的三边长为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于________________【解析】3,5,7a b c ===，2221cos 22a b c C ab +-==-∴sin C∴2sin c R C ==10. 设0,0a b >>，若关于,x y 的方程组11ax y x by +=⎧⎨+=⎩无解，则a b +的取值范围是_____________【答案】(2,)+∞【解析】由已知，1ab =，且a b ≠，∴2a b +>11. 无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和，若对任意*n ∈N ，{2,3}n S ∈，则k 的最大值为___________ 【答案】412. 在平面直角坐标系中，已知(1,0)A , (0,1)B -, P 是曲线y =BP BA ⋅u u u r u u u r的取值范围是____________【答案】[0,1+【解析】设(cos ,sin )P αα, [0,π]α∈，(1,1)BA =u u u r, (cos ,sin 1)BP αα=+u u u rπcos [0,1sin 1)14BP BA ααα⋅=+++∈+u u u r u u u r13. 设,,a b ∈R , [0,2π)c ∈，若对任意实数x 都有π2sin(3)sin()3x a bx c -=+，则满足条件的有序实数组(,,)a b c 的组数为______________ 【答案】4【解析】(i)若2a =若3b =，则5π3c =； 若3b =-，则4π3c =(ii)若2a =-，若3b =-，则π3c =；若3b =，则2π3c =共4组14. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为正八边形128A A A L 的中心，1(1,0)A ，任取不同的两点,i j A A ，点P 满足0i j OP OA OA ++=u u u r u u u r u u u u r r ，则点P 落在第一象限的概率是_______________【答案】528 【解析】285528C =二、选择题（本大题共有4题，满分20分）15. 设a ∈R ，则“1a >”是“21a >”的( )A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件 【答案】A16. 下列极坐标方程中，对应的曲线为右图的是( ) A. 65cos ρθ=+ B. 65sin ρθ=+ C. 65cos ρθ=- D. 65sin ρθ=- 【答案】D【解析】π2θ=-时，ρ达到最大17. 已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且lim n n S S →∞=，下列条件中，使得*2()n S S n <∈N 恒成立的是( )A. 10a >, 0.60.7q <<B. 10a <, 0.70.6q -<<-C. 10a >, 0.70.8q <<D. 10a <, 0.80.7q -<<-【答案】B【解析】1(1)1n n a q S q-=-, 11a S q =-, 11q -<<2n S S <，即1(21)0n a q -> 若10a >，则12nq >，不可能成立若10a <，则12nq <，B 成立18. 设(),(),()f x g x h x 是定义域为R 的三个函数，对于命题:①若()()f x g x +，()()f x h x +，()()g x h x +均为增函数，则(),(),()f x g x h x 中至少有一个为增函数；②若()()f x g x +，()()f x h x +，()()g x h x +均是以T 为周期的函数，则(),(),()f x g x h x 均是以T 为周期的函数，下列判断正确的是( )A. ①和②均为真命题B. ①和②均为假命题C. ①为真命题，②为假命题D. ①为假命题，②为真命题【答案】D【解析】①不成立，可举反例2,1)1(3,x x f x x x ≤-+>⎧=⎨⎩, 03,023,21()1,x x x x x x g x ≤-+<+⎧≥=<⎪⎨⎪⎩, 0(0)2,,x h x x x x -=≤>⎧⎨⎩②()()()()f x g x f x T g x T +=+++ ()()()()f x h x f x T h x T +=+++ ()()()()g x h x g x T h x T +=+++前两式作差，可得()()()()g x h x g x T h x T -=+-+ 结合第三式，可得()()g x g x T =+, ()()h x h x T =+ 也有()()f x f x T =+ ∴②正确 故选D三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19. （本题满分12分）将边长为1的正方形11AA O O （及其内部）绕1OO 旋转一周形成圆柱，如图，»AC 长为23π，¼11A B 长为3π，其中1B 与C 在平面11AA O O 的同侧 (1) 求三棱锥111C O A B -的体积(2) 求异面直线1B C 与1AA 所成角的大小【解析】(1) 连11O B ，则¼111113AO A B B π∠== ∴111O A B V 为正三角形∴1113O A B S =V ∴1111111133C O A B O A B V OO S -=⋅=V(2) 设点1B 在下底面圆周的射影为B ，连1BB ，则11BB AA ∥ ∴1BB C ∠为直线1B C 与1AA 所成角（或补角）111BB AA == 连,,BC BO OC»¼113AB A B π==, »23AC π= ∴»3BCπ=∴3BOC π∠=∴BOC V 为正三角形 ∴1BC BO ==∴11tan 1BCBB C BB ∠== ∴145BB C ∠=︒∴直线1B C 与1AA 所成角大小为45︒20．（本题满分14分）有一块正方形菜地EFGH , EH 所在直线是一条小河，收货的蔬菜可送到F 点或河边运走。